Chapter 4(3)
Green公式及应用教学要求：
1,掌握 Green公式 ;
2,会运用平面曲线积分与路径无关的条件 ;
3,会求全微分的原函数 ;
G r e e n,公式一
,条件曲线积分与路径无关的二
G r e e n,公式一
Green公式叙述了曲线积分与二重积分的关系,
1,单连通区域设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
D?D
单连通区域 —— 不含有“洞”或“点洞” ;
复连通区域 —— 含有“洞”或“点洞” ;
2,D的边界曲线 L的正向规定当观察者沿 L 的正向行走时,区域 D 内离他近处的那一部分总在他的左边,
D D
3,Green公式定理,围成由分段光滑的曲线设闭区域 LD
则上有一阶连续偏导数在,),(),,( DyxQyxP
,)(
DL
dxdyyPxQQ d yP d x
.)()c o sc o s(
DL
d x d yyPxQdsQP或
,的取正向的边界曲线为其中 DL
,c o s,c o s 的切向量的方向余弦为 L
Proof,根据 D的不同形状,分三种情况进行讨论,
,)1( 型区域型区域又是既是 yxD
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy
)(2 xy
A
B
C
E
)(2 yx
)(1 yx }
),()(|),{( 21
bxa
xyxyxD
}
),()(|),{( 21
dyc
yxyyxD
dxxQdydxdyxQ yydc
D
)( )(21 dc dyyyQyyQ ]}),([]),([{ 12
dcdc dyyyQdyyyQ ]),([]),([ 12
L dyyxQ ),( E A CC B E dyyxQdyyxQ ),(),(
dc dyyyQ ]),([ 2 dc dyyyQ ]),([ 1?
L
D
dyyxQdxdyxQ ),(
同理可证,),( L
D
dxyxPdxdyyP
两式相加得
LD QdyP d xd x d yy
P
x
Q )(
,)2( 线围成由一条分段光滑的闭曲D
将 D 分成三个既是?X 型又是
Y 型的区域 1D,2D,3D,
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
321 LLL Q dyP dxQ dyP dxQ dyP dx
L Q dyP dx ),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
,)3( 为复连通域D
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B由 (2)知
D
dxd yyPxQ )(
CEAFCBALAB 2{ C G AECL Qd yP d x )(}3
2 3 1 ))(( L L L Qd yP d x
L Q dyP dx ),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
注意,
(1)便于记忆形式,
DL
dxdy
QP
yxQdyP dx
(2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积分符号前添,?”号 !
(3)应用 Green公式条件缺一不可,
3,Green公式的简单应用
(1) 简化曲线积分
dymeydxmyeyex x
L
x )3()(.1 23计算
.),0,3()1,2()0,1( 是半圆弧再到到从其中曲线 FGGFEL
Solution,如图所示
x
y
o )0,1(E
)1,2(F
)0,3(G
作辅助线 GE,运用 Green公式,
,3 2 meyyP x xeyxQ 23
GEGEL
原式
GED
d x d yyPxQ )(
dymeydxmyeyd x d ym x
GE
x
D
)3()( 23
.)41( m
为闭合曲为任一给定方向其中求 nldsnlex
C
,,),c o s(.2?
Solution,),)(c o s,( c o s 常数的方向余弦为设 bal?
),c o s,( c o s的方向余弦为n?
),c o s,( c o s)c o s,( c o s),c o s ( banl则
dsbadsnl
CC
)c o sc o sc o s( c o s),c o s(
dybadx
C
c o sc o s,00
D
G r een
d x d y
公式
.的切向量线 C
ex 3,计算?
L yx
y d xx d y
22,其中 L 为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向,
Solution,令 2222,yx
xQ
yx
yP
,
则当 022 yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
222
22
)(
,
记 L 所围成的闭区域为 D,
x
y
o
LD
y
xo
L
D
y
xo
L
D
(1 ) 当 D?)0,0( 时,
x
y
o
LD符合 Green公式的条件,
.0022 DL dxdyyx y d xxdy
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
作位于 D 内的 足够 小圆周 222,ryxl,
l
r
记 1D 由 L 和 l 所围成,
在 D1上符合 Green公式的条件,
llL yx y dxxdyyx y dxxdy 2222原式
lD yx y d xxdydxdy 220
l yx y dxxdy 22 dr rr 2 2222 s i nc os 20,2
注意,
,
)()(
22 lbyax
dydxI
L
如何选择辅助曲线若计算?
,
4
2
2 l
y
x
dydx
I
L
如何选择辅助曲线若计算?
(2) 简化二重积分ex 4,计算
D
y d xd ye 2,其中 D 是以
)1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点的三角形闭区域,
则 2yeyPxQ,
应用 G r e e n 公式,有
BOABOA
y
D
y dyxedxd ye 22
OA y dyxe 2 ).1(21 1 e
Solution,
x
y
o
D
AB
令 2,0 yxeQP,
10 2 dxxe x
(3) 计算平面面积
G r e e n 公式,
L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP 得 L
D
y dxxdydxdy2
闭区域 D 的面积
L
yd xx d yA 21,
取,,0 xQP 得 L xdyA
取,0, QyP 得 L y d xA
,条件曲线积分与路径无关的二
1,曲线积分与路径无关的定义
G
y
xo
1L Q d yP d x
则称曲线积分L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
2L Q d yP d x
1L
2L
B
A
如果在区域 G内有;,0 )1( 线中一光滑或分段光滑曲为 GLQ dyP dx
L
,)2(
),(
与路径无关
BAL
Q d yP d x;有关和终点的起点仅与 BAL;),(),,( )3( Q dyP dxyxduyxuG使得内有函数在
,)4( 内恒成立在 GxQyP
2,与路径无关的四个等价关系定理,
:,
),(),,(,
则以下四个命题等价一阶连续偏导内有在是单连通区域设 GyxQyxPG
Proof.
)2()1(? 如图所示
A
B
R
S
BRAA S BL
Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
0
ARBA S B
Q d yP d xQ d yP d x
.
ARBA S B
Q d yP d xQ d yP d x
)3()2(?
),(),,(,),( yxQyuyxPxuQ d yPd xyxdu 即要
,),( ),( ),(
00?
yx yx Q d yP d xyxu作
y
yxuyyxu
y
u
y?
),(),(lim
0
则
y
yx
yx
yyx
yx
y?
),(
),(
),(
),(
0
0000lim
y
Q d yPd xyyx yx
y?
),(
),(
0
l i m
y
dyyxQyyy
y?
),(
l i m
0
y
yyyxQ
y?
),(lim
0
),( yxQ?
).,(,yxPxu同理
)4()3(?,,yuQxuP
,
2
yx
u
y
P
xy
u
x
Q
2
,),(),,( 得具有一阶连续偏导数可由 yxQyxP
.xQyP
)1()4(? 由 Green公式得
.0)( d x d yyPxQQ d yPd x
DL
注意,
(1)曲线积分与路径无关要求在单连通区域内考虑，
而 Green公式只要求封闭路径；;,)2( 推出其它三个结论通常由对给定的曲线积分 xQyP
,),(,),()3( ),( ),(
00
CQ d yP d xyxuQ d yP d xyxdu yx yx时当具体求法为：
),( yxM?),( 0 yxS?
x
y
o
),( 000 yxM? ),( 0yxR?
,0 时沿 RMM
,0 时沿 SMM
).,(),(),(
,),()4(
1122
),(
),(
),(
),(
22
11
22
11
yxuyxuyxuQdyP d x
QdyP d xyxu
yx
yx
yx
yx
则的原函数是若;),(),(),(
00 0
CdyyxQdxyxPyxu yyxx
.),(),(),(
00 0
CdxyxPdyyxQyxu xxyy
或者,),(),( 2
1
2
1
22
11 21
),(
),(
y
y
x
x
yx
yx dyyxQdxyxPQd yP dx
.)56()4(.5 )0,3( )1,2( 42234 dyyyxdxxyxex 计算
Solution.,12 2
x
Qxy
y
P
所以积分与路径无关,
Cdyyyxdxxyxyxu yx ),( )0,0( 42234 )56()4(),(且
Cdyyyxdxxx y0 0 4224 )56(
Cyyxx 5325 251
)0,3(
)1,2(
5325 |)2
5
1(
Cyyxx原式,62?
或者
)0,3( )1,2( 42234 )56()4( dyyyxdxxyx
3 2 34 ])1(4[ dxxx 0 1 422 ]536[ dyyy
3 2 4 )4( dxxx 0 1 42 )554( dyyy
,)()(.6 22?
L yx
dyyxdxyxex 计算;1)1()1()1( 22 的正向为 yxL;1)2( 的正向为 yxL
.20c o s1 s i n)3( 的一段到从为摆线
tt
ty
ttxL
Solution.,
)(
2
222
22
x
Q
yx
xxyy
y
P
.0,)1(?原式件可得公式或与路径无关的条由 G r e e n
C
x
y
1
L
o
,)2( 如图由 Green公式有,
CCL
原式
CC
.220 2
2
dtrr
x
y
o
(3) 如图,
,s inc o s
ty
tx
选择
.0 dt原式
,0由t
,s i nc o s
try
trx作适当小的圆由积分与路径无关，
CD
d x d y0
ex 7,设曲线积分
L
dyxydxxy )(2? 与路径无关,其中?
具有连续的导数,且 0)0(,计算
)1,1(
)0,0(
2 )( dyxydxxy?,
Solution.,2)( 2 xyxyyyP ),()]([ xyxyxxQ
由积分与路径无关,得,xQyP
,2)( xyxy即,2)( xx,)( 2 Cxx
,)(0)0( 2xx 得由
)1,1( )0,0( 22)1,1( )0,0( 2 )( dyyxdxxydyxydxxy?
1010 0 y dydx,21?
L
dyyxxydxxyxyex )3s i n21()co s2(.8 2223计算
.)1,2()0,0(2 2 的一段弧到上由为其中 yxL?
Solution,
x
y
o
)1,2(?
xyxyyP co s26 2 xQ
.曲线积分与路径无关?
A
B
可选择折线 OAB积分,
L
dyyxxydxxyxy )3s i n21()co s2( 2223
10 2220 ])2(321[0 dyyydx?
.4
2?
L
dyxyxydxyyxex ]3)co s (2[]2)[ co s (.9 22计算
.0s i n 的段弧到上自为其中 xxxyL
Solution,
x
y
o?
)s i n (22 2yxyyP
)s i n (23 2yxyxQ A
添加辅助线 AO,应用 Green公式,
AOAOL
原式
AOD
dxd y
x dydx si n000 c os xdx.2
The end
Green公式及应用教学要求：
1,掌握 Green公式 ;
2,会运用平面曲线积分与路径无关的条件 ;
3,会求全微分的原函数 ;
G r e e n,公式一
,条件曲线积分与路径无关的二
G r e e n,公式一
Green公式叙述了曲线积分与二重积分的关系,
1,单连通区域设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
D?D
单连通区域 —— 不含有“洞”或“点洞” ;
复连通区域 —— 含有“洞”或“点洞” ;
2,D的边界曲线 L的正向规定当观察者沿 L 的正向行走时,区域 D 内离他近处的那一部分总在他的左边,
D D
3,Green公式定理,围成由分段光滑的曲线设闭区域 LD
则上有一阶连续偏导数在,),(),,( DyxQyxP
,)(
DL
dxdyyPxQQ d yP d x
.)()c o sc o s(
DL
d x d yyPxQdsQP或
,的取正向的边界曲线为其中 DL
,c o s,c o s 的切向量的方向余弦为 L
Proof,根据 D的不同形状,分三种情况进行讨论,
,)1( 型区域型区域又是既是 yxD
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy
)(2 xy
A
B
C
E
)(2 yx
)(1 yx }
),()(|),{( 21
bxa
xyxyxD
}
),()(|),{( 21
dyc
yxyyxD
dxxQdydxdyxQ yydc
D
)( )(21 dc dyyyQyyQ ]}),([]),([{ 12
dcdc dyyyQdyyyQ ]),([]),([ 12
L dyyxQ ),( E A CC B E dyyxQdyyxQ ),(),(
dc dyyyQ ]),([ 2 dc dyyyQ ]),([ 1?
L
D
dyyxQdxdyxQ ),(
同理可证,),( L
D
dxyxPdxdyyP
两式相加得
LD QdyP d xd x d yy
P
x
Q )(
,)2( 线围成由一条分段光滑的闭曲D
将 D 分成三个既是?X 型又是
Y 型的区域 1D,2D,3D,
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
321 LLL Q dyP dxQ dyP dxQ dyP dx
L Q dyP dx ),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
,)3( 为复连通域D
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B由 (2)知
D
dxd yyPxQ )(
CEAFCBALAB 2{ C G AECL Qd yP d x )(}3
2 3 1 ))(( L L L Qd yP d x
L Q dyP dx ),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
注意,
(1)便于记忆形式,
DL
dxdy
QP
yxQdyP dx
(2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积分符号前添,?”号 !
(3)应用 Green公式条件缺一不可,
3,Green公式的简单应用
(1) 简化曲线积分
dymeydxmyeyex x
L
x )3()(.1 23计算
.),0,3()1,2()0,1( 是半圆弧再到到从其中曲线 FGGFEL
Solution,如图所示
x
y
o )0,1(E
)1,2(F
)0,3(G
作辅助线 GE,运用 Green公式,
,3 2 meyyP x xeyxQ 23
GEGEL
原式
GED
d x d yyPxQ )(
dymeydxmyeyd x d ym x
GE
x
D
)3()( 23
.)41( m
为闭合曲为任一给定方向其中求 nldsnlex
C
,,),c o s(.2?
Solution,),)(c o s,( c o s 常数的方向余弦为设 bal?
),c o s,( c o s的方向余弦为n?
),c o s,( c o s)c o s,( c o s),c o s ( banl则
dsbadsnl
CC
)c o sc o sc o s( c o s),c o s(
dybadx
C
c o sc o s,00
D
G r een
d x d y
公式
.的切向量线 C
ex 3,计算?
L yx
y d xx d y
22,其中 L 为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向,
Solution,令 2222,yx
xQ
yx
yP
,
则当 022 yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
222
22
)(
,
记 L 所围成的闭区域为 D,
x
y
o
LD
y
xo
L
D
y
xo
L
D
(1 ) 当 D?)0,0( 时,
x
y
o
LD符合 Green公式的条件,
.0022 DL dxdyyx y d xxdy
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
作位于 D 内的 足够 小圆周 222,ryxl,
l
r
记 1D 由 L 和 l 所围成,
在 D1上符合 Green公式的条件,
llL yx y dxxdyyx y dxxdy 2222原式
lD yx y d xxdydxdy 220
l yx y dxxdy 22 dr rr 2 2222 s i nc os 20,2
注意,
,
)()(
22 lbyax
dydxI
L
如何选择辅助曲线若计算?
,
4
2
2 l
y
x
dydx
I
L
如何选择辅助曲线若计算?
(2) 简化二重积分ex 4,计算
D
y d xd ye 2,其中 D 是以
)1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点的三角形闭区域,
则 2yeyPxQ,
应用 G r e e n 公式,有
BOABOA
y
D
y dyxedxd ye 22
OA y dyxe 2 ).1(21 1 e
Solution,
x
y
o
D
AB
令 2,0 yxeQP,
10 2 dxxe x
(3) 计算平面面积
G r e e n 公式,
L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP 得 L
D
y dxxdydxdy2
闭区域 D 的面积
L
yd xx d yA 21,
取,,0 xQP 得 L xdyA
取,0, QyP 得 L y d xA
,条件曲线积分与路径无关的二
1,曲线积分与路径无关的定义
G
y
xo
1L Q d yP d x
则称曲线积分L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
2L Q d yP d x
1L
2L
B
A
如果在区域 G内有;,0 )1( 线中一光滑或分段光滑曲为 GLQ dyP dx
L
,)2(
),(
与路径无关
BAL
Q d yP d x;有关和终点的起点仅与 BAL;),(),,( )3( Q dyP dxyxduyxuG使得内有函数在
,)4( 内恒成立在 GxQyP
2,与路径无关的四个等价关系定理,
:,
),(),,(,
则以下四个命题等价一阶连续偏导内有在是单连通区域设 GyxQyxPG
Proof.
)2()1(? 如图所示
A
B
R
S
BRAA S BL
Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
0
ARBA S B
Q d yP d xQ d yP d x
.
ARBA S B
Q d yP d xQ d yP d x
)3()2(?
),(),,(,),( yxQyuyxPxuQ d yPd xyxdu 即要
,),( ),( ),(
00?
yx yx Q d yP d xyxu作
y
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y
u
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0
则
y
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y
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y
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l i m
0
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y?
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),( yxQ?
).,(,yxPxu同理
)4()3(?,,yuQxuP
,
2
yx
u
y
P
xy
u
x
Q
2
,),(),,( 得具有一阶连续偏导数可由 yxQyxP
.xQyP
)1()4(? 由 Green公式得
.0)( d x d yyPxQQ d yPd x
DL
注意,
(1)曲线积分与路径无关要求在单连通区域内考虑，
而 Green公式只要求封闭路径；;,)2( 推出其它三个结论通常由对给定的曲线积分 xQyP
,),(,),()3( ),( ),(
00
CQ d yP d xyxuQ d yP d xyxdu yx yx时当具体求法为：
),( yxM?),( 0 yxS?
x
y
o
),( 000 yxM? ),( 0yxR?
,0 时沿 RMM
,0 时沿 SMM
).,(),(),(
,),()4(
1122
),(
),(
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22
11
22
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yxuyxuyxuQdyP d x
QdyP d xyxu
yx
yx
yx
yx
则的原函数是若;),(),(),(
00 0
CdyyxQdxyxPyxu yyxx
.),(),(),(
00 0
CdxyxPdyyxQyxu xxyy
或者,),(),( 2
1
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11 21
),(
),(
y
y
x
x
yx
yx dyyxQdxyxPQd yP dx
.)56()4(.5 )0,3( )1,2( 42234 dyyyxdxxyxex 计算
Solution.,12 2
x
Qxy
y
P
所以积分与路径无关,
Cdyyyxdxxyxyxu yx ),( )0,0( 42234 )56()4(),(且
Cdyyyxdxxx y0 0 4224 )56(
Cyyxx 5325 251
)0,3(
)1,2(
5325 |)2
5
1(
Cyyxx原式,62?
或者
)0,3( )1,2( 42234 )56()4( dyyyxdxxyx
3 2 34 ])1(4[ dxxx 0 1 422 ]536[ dyyy
3 2 4 )4( dxxx 0 1 42 )554( dyyy
,)()(.6 22?
L yx
dyyxdxyxex 计算;1)1()1()1( 22 的正向为 yxL;1)2( 的正向为 yxL
.20c o s1 s i n)3( 的一段到从为摆线
tt
ty
ttxL
Solution.,
)(
2
222
22
x
Q
yx
xxyy
y
P
.0,)1(?原式件可得公式或与路径无关的条由 G r e e n
C
x
y
1
L
o
,)2( 如图由 Green公式有,
CCL
原式
CC
.220 2
2
dtrr
x
y
o
(3) 如图,
,s inc o s
ty
tx
选择
.0 dt原式
,0由t
,s i nc o s
try
trx作适当小的圆由积分与路径无关，
CD
d x d y0
ex 7,设曲线积分
L
dyxydxxy )(2? 与路径无关,其中?
具有连续的导数,且 0)0(,计算
)1,1(
)0,0(
2 )( dyxydxxy?,
Solution.,2)( 2 xyxyyyP ),()]([ xyxyxxQ
由积分与路径无关,得,xQyP
,2)( xyxy即,2)( xx,)( 2 Cxx
,)(0)0( 2xx 得由
)1,1( )0,0( 22)1,1( )0,0( 2 )( dyyxdxxydyxydxxy?
1010 0 y dydx,21?
L
dyyxxydxxyxyex )3s i n21()co s2(.8 2223计算
.)1,2()0,0(2 2 的一段弧到上由为其中 yxL?
Solution,
x
y
o
)1,2(?
xyxyyP co s26 2 xQ
.曲线积分与路径无关?
A
B
可选择折线 OAB积分,
L
dyyxxydxxyxy )3s i n21()co s2( 2223
10 2220 ])2(321[0 dyyydx?
.4
2?
L
dyxyxydxyyxex ]3)co s (2[]2)[ co s (.9 22计算
.0s i n 的段弧到上自为其中 xxxyL
Solution,
x
y
o?
)s i n (22 2yxyyP
)s i n (23 2yxyxQ A
添加辅助线 AO,应用 Green公式,
AOAOL
原式
AOD
dxd y
x dydx si n000 c os xdx.2
The end
