Chapter 2
重积分小结第一部分,内容小结一,二重积分定义,,),(lim),(
10
n
i
iii
D
fdyxf
几何意义,;),(,0),( 为体积时
D
dxdyyxfyxf;,),(,0),( 但本身值为负为体积时
D
dxdyyxfyxf
.),( 数和表示曲顶柱体体积的代故
D
dxdyyxf
二重积分的性质,
性质 1,).( ),(),( 为常数kdyxfkdyxkf
DD
性质 2.
D
dyxgyxf?)],(),([
.),(),(
DD
dyxgdyxf
性质 3,对区域具有可加性
.),(),(),(
21
DDD
dyxfdyxfdyxf
)( 21 DDD
性质 4,?若 为 D的面积,.1
D D
dd
性质 5,),,(),( yxgyxfD?上若在
.),(),(
DD
dyxgdyxf则特殊地,),(),(
DD
dyxfdyxf
性质 6,设 M,m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
D
Mdyxfm ),(（二重积分估值不等式）
性质 7,设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得
（二重积分中值定理）
),(),( fdyxf
D
二重积分的计算,
bxaxyxxD ),()(,21型区域时为
)( )(21 ),(),( xxba
D
dyyxfdxdyxf
dycyxyyD ),()(,21型区域时为
D
d
c
y
y dxyxfdydyxf
)(
)(
2
1
),(),(
计算二重积分的步骤,
(1) 画区域图 ;
(2) 列出 x型或 y型区域的不等式表示 ;
(3) 计算二次积分
(若一种次序积不出来时,换另一种次序 ),
1,在直角坐标下有,
:.2 在极坐标下有
D D
r d r drrfdyxf )s in,c o s(),(
极坐标下的二重积分可用二次积分来计算则若,),()(:)1( 21 rD
o x?
)(2r
)(1r
x
D
o?
)(1r )(2r
x
o
D
)( )(21 )s i n,c o s()s i n,c o s( r d rrrfdr d r drrf
D
则若,),(0:)2( rD
xo
D
)(r
)(
0
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
D
o x
)(r
且此时,20),(0:)3( rD
2
0
)(
0
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
o x
)(1r
)(2r
且此时,20),()(:)4( 21 rD
2
0
)(
)(
2
1
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
要点与步骤,
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算 ;;
,,)2(
22 等有含扇形区域以及被积函数圆环极坐标适用于圆
yx?
(3) 画区域图,列出?型区域,写成极坐标下的二次积分,
,3 分数的奇偶性计算二重积利用区域的对称性和函
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
,)1(
yxfyxf
yxfyxfd xd yyxf
d xd yyxf
yD
D
D
右则轴对称关于若
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
,)2(
yxfyxf
yxfyxfdx dyyxf
dx dyyxf
xD
D
D
上则轴对称关于若
,4 分利用换元法计算二重积
,),(),,( 具有一阶连续偏导设 vuyyvuxx
,0
),(
),(
),(?
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx
vuJ且雅可比式
.),()],(),,([),(
uvxy DD
du dvvuJvuyvuxfdxd yyxf则
,uvxy DD 一一对应二,三重积分定义,,),,(lim),,(
10
n
i
iiii vfdvzyxf
三重积分的计算,
1,直角坐标系中将三重积分化为三次积分
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1
ba xy xy yxz yxz dzzyxfdydx
需把一般区域先投影到 xoy面得 D,再作平行于 z轴的直线求得,,,21?得到简单区域zz
则有面上面或投影到若将,y ozz ox?
.),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
b
a
xz
xz
zxy
zxy dyzyxfdzdxdvzyxf
.),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
d
c
yz
yz
zyx
zyx dxzyxfdzdydvzyxf
投影要求,
投到 xoy面,平行于 z轴的直线与?边界不多于两个交点,
投到 yoz面,平行于 x轴的直线与?边界不多于两个交点,
投到 zox面,平行于 y轴的直线与?边界不多于两个交点,
2.,先二后一”法
z
(1) 把积分区域? 向某轴（例如 z 轴）投影,
得投影区间 ],[ 21 cc ； (2 ) 对 ],[
21 ccz? 用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去截?,得截面 zD ;
zD
c
c dxdyzyxfdzdxd y dzzyxf ),,(),,()3(
2
1
).,(),,()(),,( yxgzyxfzgzyxf 或用于
3,柱面坐标系中将三重积分化为三次积分
d x d y d zzyxf ),,(
dzr dr dzrrf ),s i n,c o s(
4,球面坐标系中将三重积分化为三次积分
d xd y dzzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dddf
,5 分数的奇偶性计算三重积利用区域的对称性和函则面对称关于,)1( xoy?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 上则面对称关于,)2( yoz?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 前则面对称关于,)3( z o x?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 右
,6 分利用换元法计算三重积
,
),,(),,,(),,,(
连续偏导具有一阶设 wvuzzwvuyywvuxx
,0
),,(
),,(
),,(?
w
z
v
z
v
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
wvu
zyx
wvuJ且雅可比式
.),,()],,(),,,(),,,([
),,(
dwd u d vwvuJwvuzwvuywvuxf
dzd x dyzyxf
则
,u v wx y z 一一对应三,重积分的应用
,1 的面积平面区域 D
D
d
,2 的体积空间立体?
xyxy DD
dxd yyxfyxfdxd yzzV ),(),( 2121
dvV
,3 质量
(1) 平面薄片 D的质量
D
dyxm ),(
(2) 物体?的质量
dvzyxm ),,(?
,4 重心
),()1( yxD 的重心平面薄片
).,(),,( yxyxD 求其重心的面密度为设平面薄片?
D
dyxxmx ),(1
D
D
dyx
dyxx
),(
),(
D
dyxymy ),(1
D
D
dyx
dyxy
),(
),(若分布均匀,则
D
xdx1
D
ydy1
),,()2( zyx的重心物体?
).,,(),,,( zyxzyx 求其重心的体密度为设物体
dvzyxxmx ),,(1? vdzyx
vdzyxx
),,(
),,(
dvzyxymy ),,(1? vdzyx
vdzyxy
),,(
),,(
dvzyxzmz ),,(1? vdzyx
zxz
),,(
),,(
若分布均匀,则
x d vVx 1
y d vVy 1
z d vVz 1
,5 转动惯量
)1( ID 动惯量关于坐标轴与原点的转平面薄片
.,,),,( oyx IIIyxD 求的面密度为设平面薄片?
D
x dyxyI ),(2
D
y dyxxI ),(2
D
o dyxyxI ),()( 22
.)2( I动惯量关于坐标轴与原点的转物体?
.,,,),,,( ozyx IIIIzyx 求的体密度为设物体
dvzyxzyI x ),,()( 22?
dvzyxzxI y ),,()( 22?
dvzyxyxI z ),,()( 22?
dvzyxzyxI o ),,()( 222?
6,万有引力
.2,.1 2 围成和由计算 xyxyDx y dex
D
Solution,(1) 画区域图
(2) 列出区域的不等式表示
:型?x 10,:1 xxyxD
41,2:2 xxyxD
:型?y 21,22 yyxy
(3) 列出二次积分并计算
D DD
x y dx y dx y d
21
41 210 xxx x xy dydxxy dydx
.84522 1 2
D
y
y xy dxdyxy d?
o x
y
)2,4(
)1,1(?
1D 2
D
第二部分,题型小结
.,1,0,.2 22 围成由计算 xyyxDdexIex
D
y
Solution.
:型?x 10,1 xyx
:型?y 10,0 yyx
10 1 2 2x y dyexdxI
10 12 2x y dyedxx 积不出来，须换另一种积分次序
dxexdyI yy 20 210 dy
xe
y
y
0
31
0 3
2
dyey y 10 3 231,3161 e
o x
y
1?y
xy?
1
1
}.1|),{(,.3 yxyxDdeex
D
yx?计算
Solution.
o x
y
1 yx
1 yx
1 yx
1 yx
x x yx dyedxI 1 10 1 xx yx dyedx 1 110
.1 ee
ex 4,计算二重积分
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 yxyxD
,
Solution.
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (?
2120 s in r d rd,4
}20,21|),{( rrD
D
r dr dr r )s in (
1?r
2?r
.21
,1,1,)(.5 222
围成和直线由计算
xy
yyxDdyxex
D
Solution.
xo
y
1
1?
2?
半圆形正方形
d x d yyxd x d yyxI )()( 2222
1 1 220 2 )( dyyxdx
1
0
22
3
2
r d rrd
.),(2010 x dyyxfdx
10,0,2 xxyD?
o x
y 2xy?
1
1
10, yy 型区域
40,
型区域
dxyxfdy y 110 ),(原式
.)s i n,c os(c o s
1
c o s
s i n40
2
r drrrfd原式
ex6.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
Solution.
,1 xy
,c os1c oss i n 2 r
..7
1
yx
dxdyxyex 计算
Solution,
由区域的对称性和函数的奇偶性可得
o x
y
D
dxd yxy
D
4原式
.4 1010 x x y d ydx
u
v
o
.4,,2
,1,.8 22
区域所围成的第一象限内的是由其中计算二重积分
xyxyxy
xyDdx dyyxex
D
Solution.,xyu?令
,xyv
uvy
v
u
x
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
),(
3
v
v
u
u
v
v
u
uvvuJ?
则
1 2
1
4
uvDD
d u d vvud x d yyx 21222 4121 2 21 dvvduu,2ln37?
e x 9,计算
z d x d y d zI,其中? 是球面
4
222 zyx
与抛物面 zyx 3
22
所围的立体,
Method1.
x
y
z
在 xoy面上的投影区域为 322 yx
}2,030 |),,{( rzr则
dzz r dr dI?
232 420 30 rr z d zrdrd
.413
,43 2
2
rzr
24 rz
3
2r
z?
Method2,
,10:1 z
,21:2 z;3,221 zyxD z;4,2222 zyxD z
21
z d x d y d zz d x d y d zI
zD
dxdyz dz
1
1
0
10 3 z dzz?
zD
dxdyz dz
2
2
1
21 2 )4( dzzz?
,.10 22
dxdy dz
yx
eex z计算
.2,1,22 围成由 zzyxzMethod1.
x
y
z
o
21 }1,21|),,{( 22 yxzzyx
}41,2|),,{( 2222 yxzyxzyx
}20,10,21|),,{( rzzr
}20,21,2|),,{( rzrzr
dzr dr dre
z
原式
211020 dzedrd z 22120 r z dzedrd
.2 2e
Method2.
x
y
z
o
1
2
小大 }4,2|),,{( 2222 yxzyxzyx
}1,1|),,{( 2222 yxzyxzyx
}20,20,2|),,{( rzrzr
}20,10,2|),,{( rzrzr
dzr dr dre
z
原式
22020 r z dzedrd 210 r z dzedrd
.2 2e
Method3.,先二后一”法
x
y
z
o
1
2,21 z
.,222 zyxD z
zD
z dx dy
yx
dze 2221 1原式
zD
z dr ddze?2
1
zz drddze 02021 212 dzze z?
.2 2e
,.11 222
d x d yd zzyxex 计算,222 围成由 zzyx
Solution.
x
y
z
o
1
2
1|),,{(
}20
,20
,c o s0
dddd x d y d zzyx s in2222
c o s0 32020 s i n ddd,10
c o s?
,.12 2
dvzex 计算
.22222222 围成与由 RzzyxRzyx
Method1.
x
y
z
o
R2
R
2
R
21
}20
}20
ddddvz s i nco s 2222
R ddd 0 430 220 s i ncos
c o s2
0
42
3
22
0 s i nco s
R ddd
.4 8 059 5R
,30,0{ R
,23,c o s20{ R R
co s2 R?
Method2.,先二后一”法
x
y
z
o
R2
R
2
R
21
,20{ Rz
,2{ RzR
1
2
0
22
zD
R
d x d ydzzdvz
22
2
zD
R
R dxdydzz
20 22 )2(
R
dzzRzz RR dzzRz
2
222 )(?,
4 8 0
59 5R
}2,2221 zRzyxD z
},22222 zRyxD z
Method3.,柱面坐标”法
x
y
z
o
R2
R
2
R
在 xoy面上的投影区域为 222 43 Ryx
2222 rRzrRR
22
22
22
3
0
2
0
2 rR
rRR
R
r dzzdrddvz
三重积分的计算关键在于选取适当的坐标系,确定单积分的积分上下限,
通常?是球形域或球与圆锥面围成时用球坐标,
是圆柱形或投影域为圆时用柱坐标,
22 rRz
22 rRRz
.)(
1
lim
,0)0(,)(.13
2222
222
4
0
tzyx
t
d x d yd zzyxf
t
fufex
求且具有连续的导数设
Solution,利用球面坐标得
tt dfddt 0 202040 )(s i n1lim原式
4
0
2
0
)(4
lim
t
dft
t?
3
2
0 4
)(4l im
t
tft
t
t
tf
t
)(lim
0
)(lim
0 tft
).0(f
,.15
dvxy zex 计算
.4 2222 围成及由 yxzyxz
Solution.
y
z
ox
2
:41 1?区域为在第一卦限的
.20,40,20
1
4 x y z d vdvx y z
1
c oss i nc oss i n4 35 ddd
.34 20 354020 c o ss i nc o ss i n4
ddd
.,
,)(.16
2222
222
azyx
d x d yd znzmylxIex
其中计算
Solution,由对称性可知,
d x d yd zzd x d yd zyd x d yd zx 222
d x d yd zznmlI 2)(
2222
2)(
zayx
a
a dxd ydzznml
a a dzzaznml )()( 222?).(154 nml
,)0(25.17 2 围成图形的面积及计算 aayxaxyex
Solution,
x
y
o
)2,2( aa
)2,2( aa
D
d
a
a dx
2
2
x
a
x
a
dy2
5
2
aa dxxaxa2
2
2
)
2
5(
.)2ln2815( 2a
,
c o s1c o s3.18
的面积围成图形的公共部分及计算 rrex
Solution,
o x
)3,23(?
}30,co s10|),{(1 rrD
}23,co s30|),{(2 rrD
)(2
21
DD
dd )(2
21
DD
r d r dr d r d
c o s1030(2 r d rd )
c o s3
0
2
3
r d rd,4
5
,
262.19 2222
的立体体积所围成及计算由曲面 yxzyxzex
Solution,
ox
y
z
立体在 xoy面上的投影区域为,
,2,22 yxD
D
d x d yyxyxV )]2()26[( 2222
D
dxdyyx )](36[ 22
D
r d r dr?)36( 2
20 220 )36( r d rrd,6
ex20,穿过半径为 4厘米的铜球的中心，钻一个半径为
1厘米的圆孔，问损失掉的铜的体积,(铜以球直径为中心对称轴 ).
Solution,
o
x
y
z
2222 4 zyx球面方程为所考察立体?在 xoy面上的投影区域为,
1,22 yxD
dvV
dzr d r d?
2 216 161020 r r dzr d rd
).151564(34
ex21,在均匀半圆形薄片的直径上，连接一边与直径重合与半圆同材料的矩形薄片，为了使整个薄片重心恰好落在圆心上，问连接的矩形薄片另一边长度为多少?
Solution,
x
y
o
设半圆的半径为 R,矩形的另一边长为 h,
R
h?
,0,0 得由 yx
,0
D
xdxdy,0
D
y dx dy
22 xR
h
R
R
D
y dydxy dxd y而 R R dxhxR )(21 222
RhR 2332,0?,32 Rh The end
重积分小结第一部分,内容小结一,二重积分定义,,),(lim),(
10
n
i
iii
D
fdyxf
几何意义,;),(,0),( 为体积时
D
dxdyyxfyxf;,),(,0),( 但本身值为负为体积时
D
dxdyyxfyxf
.),( 数和表示曲顶柱体体积的代故
D
dxdyyxf
二重积分的性质,
性质 1,).( ),(),( 为常数kdyxfkdyxkf
DD
性质 2.
D
dyxgyxf?)],(),([
.),(),(
DD
dyxgdyxf
性质 3,对区域具有可加性
.),(),(),(
21
DDD
dyxfdyxfdyxf
)( 21 DDD
性质 4,?若 为 D的面积,.1
D D
dd
性质 5,),,(),( yxgyxfD?上若在
.),(),(
DD
dyxgdyxf则特殊地,),(),(
DD
dyxfdyxf
性质 6,设 M,m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
D
Mdyxfm ),(（二重积分估值不等式）
性质 7,设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得
（二重积分中值定理）
),(),( fdyxf
D
二重积分的计算,
bxaxyxxD ),()(,21型区域时为
)( )(21 ),(),( xxba
D
dyyxfdxdyxf
dycyxyyD ),()(,21型区域时为
D
d
c
y
y dxyxfdydyxf
)(
)(
2
1
),(),(
计算二重积分的步骤,
(1) 画区域图 ;
(2) 列出 x型或 y型区域的不等式表示 ;
(3) 计算二次积分
(若一种次序积不出来时,换另一种次序 ),
1,在直角坐标下有,
:.2 在极坐标下有
D D
r d r drrfdyxf )s in,c o s(),(
极坐标下的二重积分可用二次积分来计算则若,),()(:)1( 21 rD
o x?
)(2r
)(1r
x
D
o?
)(1r )(2r
x
o
D
)( )(21 )s i n,c o s()s i n,c o s( r d rrrfdr d r drrf
D
则若,),(0:)2( rD
xo
D
)(r
)(
0
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
D
o x
)(r
且此时,20),(0:)3( rD
2
0
)(
0
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
o x
)(1r
)(2r
且此时,20),()(:)4( 21 rD
2
0
)(
)(
2
1
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
要点与步骤,
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算 ;;
,,)2(
22 等有含扇形区域以及被积函数圆环极坐标适用于圆
yx?
(3) 画区域图,列出?型区域,写成极坐标下的二次积分,
,3 分数的奇偶性计算二重积利用区域的对称性和函
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
,)1(
yxfyxf
yxfyxfd xd yyxf
d xd yyxf
yD
D
D
右则轴对称关于若
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
,)2(
yxfyxf
yxfyxfdx dyyxf
dx dyyxf
xD
D
D
上则轴对称关于若
,4 分利用换元法计算二重积
,),(),,( 具有一阶连续偏导设 vuyyvuxx
,0
),(
),(
),(?
v
y
u
y
v
x
u
x
vu
yx
vuJ且雅可比式
.),()],(),,([),(
uvxy DD
du dvvuJvuyvuxfdxd yyxf则
,uvxy DD 一一对应二,三重积分定义,,),,(lim),,(
10
n
i
iiii vfdvzyxf
三重积分的计算,
1,直角坐标系中将三重积分化为三次积分
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1
ba xy xy yxz yxz dzzyxfdydx
需把一般区域先投影到 xoy面得 D,再作平行于 z轴的直线求得,,,21?得到简单区域zz
则有面上面或投影到若将,y ozz ox?
.),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
b
a
xz
xz
zxy
zxy dyzyxfdzdxdvzyxf
.),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
d
c
yz
yz
zyx
zyx dxzyxfdzdydvzyxf
投影要求,
投到 xoy面,平行于 z轴的直线与?边界不多于两个交点,
投到 yoz面,平行于 x轴的直线与?边界不多于两个交点,
投到 zox面,平行于 y轴的直线与?边界不多于两个交点,
2.,先二后一”法
z
(1) 把积分区域? 向某轴（例如 z 轴）投影,
得投影区间 ],[ 21 cc ； (2 ) 对 ],[
21 ccz? 用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去截?,得截面 zD ;
zD
c
c dxdyzyxfdzdxd y dzzyxf ),,(),,()3(
2
1
).,(),,()(),,( yxgzyxfzgzyxf 或用于
3,柱面坐标系中将三重积分化为三次积分
d x d y d zzyxf ),,(
dzr dr dzrrf ),s i n,c o s(
4,球面坐标系中将三重积分化为三次积分
d xd y dzzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dddf
,5 分数的奇偶性计算三重积利用区域的对称性和函则面对称关于,)1( xoy?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 上则面对称关于,)2( yoz?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 前则面对称关于,)3( z o x?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 右
,6 分利用换元法计算三重积
,
),,(),,,(),,,(
连续偏导具有一阶设 wvuzzwvuyywvuxx
,0
),,(
),,(
),,(?
w
z
v
z
v
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
wvu
zyx
wvuJ且雅可比式
.),,()],,(),,,(),,,([
),,(
dwd u d vwvuJwvuzwvuywvuxf
dzd x dyzyxf
则
,u v wx y z 一一对应三,重积分的应用
,1 的面积平面区域 D
D
d
,2 的体积空间立体?
xyxy DD
dxd yyxfyxfdxd yzzV ),(),( 2121
dvV
,3 质量
(1) 平面薄片 D的质量
D
dyxm ),(
(2) 物体?的质量
dvzyxm ),,(?
,4 重心
),()1( yxD 的重心平面薄片
).,(),,( yxyxD 求其重心的面密度为设平面薄片?
D
dyxxmx ),(1
D
D
dyx
dyxx
),(
),(
D
dyxymy ),(1
D
D
dyx
dyxy
),(
),(若分布均匀,则
D
xdx1
D
ydy1
),,()2( zyx的重心物体?
).,,(),,,( zyxzyx 求其重心的体密度为设物体
dvzyxxmx ),,(1? vdzyx
vdzyxx
),,(
),,(
dvzyxymy ),,(1? vdzyx
vdzyxy
),,(
),,(
dvzyxzmz ),,(1? vdzyx
zxz
),,(
),,(
若分布均匀,则
x d vVx 1
y d vVy 1
z d vVz 1
,5 转动惯量
)1( ID 动惯量关于坐标轴与原点的转平面薄片
.,,),,( oyx IIIyxD 求的面密度为设平面薄片?
D
x dyxyI ),(2
D
y dyxxI ),(2
D
o dyxyxI ),()( 22
.)2( I动惯量关于坐标轴与原点的转物体?
.,,,),,,( ozyx IIIIzyx 求的体密度为设物体
dvzyxzyI x ),,()( 22?
dvzyxzxI y ),,()( 22?
dvzyxyxI z ),,()( 22?
dvzyxzyxI o ),,()( 222?
6,万有引力
.2,.1 2 围成和由计算 xyxyDx y dex
D
Solution,(1) 画区域图
(2) 列出区域的不等式表示
:型?x 10,:1 xxyxD
41,2:2 xxyxD
:型?y 21,22 yyxy
(3) 列出二次积分并计算
D DD
x y dx y dx y d
21
41 210 xxx x xy dydxxy dydx
.84522 1 2
D
y
y xy dxdyxy d?
o x
y
)2,4(
)1,1(?
1D 2
D
第二部分,题型小结
.,1,0,.2 22 围成由计算 xyyxDdexIex
D
y
Solution.
:型?x 10,1 xyx
:型?y 10,0 yyx
10 1 2 2x y dyexdxI
10 12 2x y dyedxx 积不出来，须换另一种积分次序
dxexdyI yy 20 210 dy
xe
y
y
0
31
0 3
2
dyey y 10 3 231,3161 e
o x
y
1?y
xy?
1
1
}.1|),{(,.3 yxyxDdeex
D
yx?计算
Solution.
o x
y
1 yx
1 yx
1 yx
1 yx
x x yx dyedxI 1 10 1 xx yx dyedx 1 110
.1 ee
ex 4,计算二重积分
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 yxyxD
,
Solution.
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (?
2120 s in r d rd,4
}20,21|),{( rrD
D
r dr dr r )s in (
1?r
2?r
.21
,1,1,)(.5 222
围成和直线由计算
xy
yyxDdyxex
D
Solution.
xo
y
1
1?
2?
半圆形正方形
d x d yyxd x d yyxI )()( 2222
1 1 220 2 )( dyyxdx
1
0
22
3
2
r d rrd
.),(2010 x dyyxfdx
10,0,2 xxyD?
o x
y 2xy?
1
1
10, yy 型区域
40,
型区域
dxyxfdy y 110 ),(原式
.)s i n,c os(c o s
1
c o s
s i n40
2
r drrrfd原式
ex6.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
Solution.
,1 xy
,c os1c oss i n 2 r
..7
1
yx
dxdyxyex 计算
Solution,
由区域的对称性和函数的奇偶性可得
o x
y
D
dxd yxy
D
4原式
.4 1010 x x y d ydx
u
v
o
.4,,2
,1,.8 22
区域所围成的第一象限内的是由其中计算二重积分
xyxyxy
xyDdx dyyxex
D
Solution.,xyu?令
,xyv
uvy
v
u
x
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
),(
3
v
v
u
u
v
v
u
uvvuJ?
则
1 2
1
4
uvDD
d u d vvud x d yyx 21222 4121 2 21 dvvduu,2ln37?
e x 9,计算
z d x d y d zI,其中? 是球面
4
222 zyx
与抛物面 zyx 3
22
所围的立体,
Method1.
x
y
z
在 xoy面上的投影区域为 322 yx
}2,030 |),,{( rzr则
dzz r dr dI?
232 420 30 rr z d zrdrd
.413
,43 2
2
rzr
24 rz
3
2r
z?
Method2,
,10:1 z
,21:2 z;3,221 zyxD z;4,2222 zyxD z
21
z d x d y d zz d x d y d zI
zD
dxdyz dz
1
1
0
10 3 z dzz?
zD
dxdyz dz
2
2
1
21 2 )4( dzzz?
,.10 22
dxdy dz
yx
eex z计算
.2,1,22 围成由 zzyxzMethod1.
x
y
z
o
21 }1,21|),,{( 22 yxzzyx
}41,2|),,{( 2222 yxzyxzyx
}20,10,21|),,{( rzzr
}20,21,2|),,{( rzrzr
dzr dr dre
z
原式
211020 dzedrd z 22120 r z dzedrd
.2 2e
Method2.
x
y
z
o
1
2
小大 }4,2|),,{( 2222 yxzyxzyx
}1,1|),,{( 2222 yxzyxzyx
}20,20,2|),,{( rzrzr
}20,10,2|),,{( rzrzr
dzr dr dre
z
原式
22020 r z dzedrd 210 r z dzedrd
.2 2e
Method3.,先二后一”法
x
y
z
o
1
2,21 z
.,222 zyxD z
zD
z dx dy
yx
dze 2221 1原式
zD
z dr ddze?2
1
zz drddze 02021 212 dzze z?
.2 2e
,.11 222
d x d yd zzyxex 计算,222 围成由 zzyx
Solution.
x
y
z
o
1
2
1|),,{(
}20
,20
,c o s0
dddd x d y d zzyx s in2222
c o s0 32020 s i n ddd,10
c o s?
,.12 2
dvzex 计算
.22222222 围成与由 RzzyxRzyx
Method1.
x
y
z
o
R2
R
2
R
21
}20
}20
ddddvz s i nco s 2222
R ddd 0 430 220 s i ncos
c o s2
0
42
3
22
0 s i nco s
R ddd
.4 8 059 5R
,30,0{ R
,23,c o s20{ R R
co s2 R?
Method2.,先二后一”法
x
y
z
o
R2
R
2
R
21
,20{ Rz
,2{ RzR
1
2
0
22
zD
R
d x d ydzzdvz
22
2
zD
R
R dxdydzz
20 22 )2(
R
dzzRzz RR dzzRz
2
222 )(?,
4 8 0
59 5R
}2,2221 zRzyxD z
},22222 zRyxD z
Method3.,柱面坐标”法
x
y
z
o
R2
R
2
R
在 xoy面上的投影区域为 222 43 Ryx
2222 rRzrRR
22
22
22
3
0
2
0
2 rR
rRR
R
r dzzdrddvz
三重积分的计算关键在于选取适当的坐标系,确定单积分的积分上下限,
通常?是球形域或球与圆锥面围成时用球坐标,
是圆柱形或投影域为圆时用柱坐标,
22 rRz
22 rRRz
.)(
1
lim
,0)0(,)(.13
2222
222
4
0
tzyx
t
d x d yd zzyxf
t
fufex
求且具有连续的导数设
Solution,利用球面坐标得
tt dfddt 0 202040 )(s i n1lim原式
4
0
2
0
)(4
lim
t
dft
t?
3
2
0 4
)(4l im
t
tft
t
t
tf
t
)(lim
0
)(lim
0 tft
).0(f
,.15
dvxy zex 计算
.4 2222 围成及由 yxzyxz
Solution.
y
z
ox
2
:41 1?区域为在第一卦限的
.20,40,20
1
4 x y z d vdvx y z
1
c oss i nc oss i n4 35 ddd
.34 20 354020 c o ss i nc o ss i n4
ddd
.,
,)(.16
2222
222
azyx
d x d yd znzmylxIex
其中计算
Solution,由对称性可知,
d x d yd zzd x d yd zyd x d yd zx 222
d x d yd zznmlI 2)(
2222
2)(
zayx
a
a dxd ydzznml
a a dzzaznml )()( 222?).(154 nml
,)0(25.17 2 围成图形的面积及计算 aayxaxyex
Solution,
x
y
o
)2,2( aa
)2,2( aa
D
d
a
a dx
2
2
x
a
x
a
dy2
5
2
aa dxxaxa2
2
2
)
2
5(
.)2ln2815( 2a
,
c o s1c o s3.18
的面积围成图形的公共部分及计算 rrex
Solution,
o x
)3,23(?
}30,co s10|),{(1 rrD
}23,co s30|),{(2 rrD
)(2
21
DD
dd )(2
21
DD
r d r dr d r d
c o s1030(2 r d rd )
c o s3
0
2
3
r d rd,4
5
,
262.19 2222
的立体体积所围成及计算由曲面 yxzyxzex
Solution,
ox
y
z
立体在 xoy面上的投影区域为,
,2,22 yxD
D
d x d yyxyxV )]2()26[( 2222
D
dxdyyx )](36[ 22
D
r d r dr?)36( 2
20 220 )36( r d rrd,6
ex20,穿过半径为 4厘米的铜球的中心，钻一个半径为
1厘米的圆孔，问损失掉的铜的体积,(铜以球直径为中心对称轴 ).
Solution,
o
x
y
z
2222 4 zyx球面方程为所考察立体?在 xoy面上的投影区域为,
1,22 yxD
dvV
dzr d r d?
2 216 161020 r r dzr d rd
).151564(34
ex21,在均匀半圆形薄片的直径上，连接一边与直径重合与半圆同材料的矩形薄片，为了使整个薄片重心恰好落在圆心上，问连接的矩形薄片另一边长度为多少?
Solution,
x
y
o
设半圆的半径为 R,矩形的另一边长为 h,
R
h?
,0,0 得由 yx
,0
D
xdxdy,0
D
y dx dy
22 xR
h
R
R
D
y dydxy dxd y而 R R dxhxR )(21 222
RhR 2332,0?,32 Rh The end
