Chapter 1(7)
多元函数的极值及应用教学要求：
1,理解多元函数极值和条件极值的概念 ;
3,会求二元函数的极值,
会用拉格朗日乘数法求条件极值 ;
2,掌握多元函数极值存在的必要条件,
了解二元函数极值存在的充分条件 ;
4,会求简单多元函数的最大值和最小值,
并会解决一些简单的应用问题,
,多元函数的极值一
,小值多元函数的最大值和最二
,数法条件极值与拉格朗日乘三
,多元函数的极值一
1.二元函数极值的定义若都适合不等式的点异于对于一切内有定义在设
),,(
,)),,((),(
0
000
yxPP
yxPUyxfz
),(),( 00 yxfyxf?
有极大值在则称 ),(),( 000 yxPyxfz?
)),(),(( 00 yxfyxf?或
).,( 00 yxf或极小值极大值与极小值统称为极值,,),( 000 为极值点yxP
若引进点函数,则 ;)(,)()( 00 为极大值时当 PfPfPf?
,)(,)()( 00 为极小值时当 PfPfPf?
(1)
(2)
(3)
处有极小值．在函数
)0,0(
43 22 yxz
处有极大值．在函数
)0,0(
22 yxz
处无极值．在函数
)0,0(
xyz?
2.极值存在的必要条件和充分条件定理 1（极值存在的必要条件）
.0),(,0),(,
),(,),(),(
0000
0000
yxfyxf
yxyxyxfz
yx则极值取得且在具有偏导数在设
Proof.,),(),( 00 取得极小值在设 yxyxfz?
),,(),(,,00000 yxfyxfyyxx 仍有取
,),( 00 取得极小值在表明一元函数 yyyxf?
.0),( 00 yxf y
.0),( 00?yxf x同理可证
),,(),( 00 yxfyxf?则注意,
.),(
),(,0),(,0),()1( 000000
的驻点为则称若
yxfz
yxyxfyxf yx
,
,),( )2( 0
面平行于在极值点处的切平面为
xoy
zzyxfz
(3 ) 如果三元函数 ),,( zyxfu? 在点 ),,(
000
zyxP 具有偏导数，则它在 ),,(
000
zyxP 有极值的必要条件为
0),,(
000
zyxf
x
,
0),,(
000
zyxf
y
,
0),,( 000?zyxf z,
(4)驻点 极值点（可偏导函数）
定理 2（极值存在的充分条件）
,
,),(),( 0
偏导数且有一阶及二阶连续内连续在设?PUyxfz?
,0),(,0),( 0000 yxfyxf yx又
),,(),,(),,( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx令
,,0)1( 2 有极值时当则 BAC;0,0 时有极小值时有极大值 AA;,0)2( 2 没有极值时当 BAC
.,,0)3( 2 需另作讨论为可能极值时当 BAC
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤,
第一步 解方程组,0),(?yxf x 0),(?yxf y
求出实数解，得驻点,
).,(),,(),,( yxfyxfyxf yyxyxx求第二步第三步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A,B,C,
第四步 定出 2BAC? 的符号，再判定是否是极值,
.1323),(.1 2233 的极值求 xyyxyxfex
Solution,1,0 2,0 yy xx
)1,2(),0,2(),1,0(),0,0( 驻点有
,0 xyfB 36 yfC yy
,3,0,06)0,0()3( CBA处在
,3,0,06)1,0( CBA处在得由
033
063
)1(
2
2
yyf
xxf
y
x
,66)2( xfA xx;,0182 有极大值 BAC;,0182 无极值 BAC
,3,0,06)0,2( CBA处在
,23)1,0( f极大值为
.3)0,2(f极小值为
,3,0,06)1,2( CBA处在;,0182 有极小值 BAC
.0182 无极值 BAC
.),(
010422.2 222
的极值所确定的函数求由方程
yxzz
zyxzyxex
Solution,求偏导得方程两边对 yx,
)2( 04222 yy zzzy
,21 z xz x 21 z yz y
,1,10,0 yxzz yx 得令,2,6 21 z从而的邻域内取值情况及在下面考虑函数 )2,1,1()6,1,1(),( yxzz
)1( 04222 xx zzzx
10422),,( 222 zyxzyxzyxF令
42 zF z则
,08)2,1,1(,08)6,1,1( zz FF由于
),(),,( 21 yxfzyxfz从而确定了
)1( 04222 xx zzzx由于
)2( 04222 yy zzzy
021)1( 2 xxxxx zzzzx 求偏导得对
02)1( xyxyxy zzzzzy 求偏导得对
021)2( 2 yyyyy zzzzy 求偏导得对
,41,0,041,)6,1,1( CBA处在
,41,0,041,)2,1,1( CBA处在
.2)1,1(,6)1,1( zz 极小值为极大值为;,02 有极大值 BAC
.,02 有极小值 BAC
,小值多元函数的最大值和最二
(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值,
将函数 f (x,y) 在 D内的所有驻点处的函数值与在 D
的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值,
(2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断,若问题存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为所求的最值点,
,
0,0,11.3 2222
的最大值内在求 yxyxyxxyzex
Solution,?
令
,
12
12
22
22
yx
yx即
.31 yx得
,1)31,31( 22 内在且 yx
0
1
1 2222?
yx
yxyyxxz
y
0
1
1 2222?
yx
xxyyxyz
x
33
1)
3
1,
3
1(?z而
,对于边界上的点
,0),(1,0,0 22 yxzyxyx 代入函数得以
,)31,31( 为最大值点?
ex4,把一个正数 a表为三个正数之和，使其乘积最大，
求这三个数,
Solution.
,0,0,,,ayaxyxayx 且可设三个数为
,33 1最大值为
)( yxaxyz则
)1()(
)1()(
xyyxaxz
xyyxayz
y
x
0)2(
0)2(
yxaxz
yxayz
y
x令
3
ayx得
,)3,3( 为唯一驻点从而 aa
.3,3 时其乘积取得最大值即三个数为时故在 aayx
,值根据实际问题存在最大
,数法条件极值与拉格朗日乘三
1,条件极值自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，
这种情况下的极值称为 条件极值,
相应地，前面讨论的极值称为 无条件极值,
条件极值与无条件极值的区别和联系，例如的极值求 22)1( yxz
条件下的极值在求 1)2( 22 yxyxz
Solution.(1) 显然函数在（ 0,0）点处取得极小值,
1000.)0,0)(2(点不可能是极值点得代入把 221 yxzxy 122 2 xxz
.21,21,21 取得极小值此时时当 zyx
可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件极值来求,称为,降元法” ；
并非所有条件极值都能用,降元法” 解，
为此必须介绍新的方法,
2,拉格朗日乘数法
,0),(),( 条件下的可能极值点在考虑 yxyxfz?
,
),,(),(),,(,
求其可能极值点作函数一方面 yxyxfyxF
0xxx fF
令
0),(
0
yx
ff xyyx
即说明 F(x,y,?)的可能极值点为上述方程组确定的 (x,y).
),(0),(,xyyx 确定了另一方面
0 yyy fF
0),( yxF
),(
),(
yx
yx
dx
dy
y
x
且的可能极值点为满足而 ))(,( xxfz
0),(,0 yxdxdz?同时的点
,dxdyffdxdz yx又,0),(
0
yx
ff xyyx
即注意,(1) 拉格朗日乘数法,
,0),(),( 条件下的可能极值点在要找 yxyxfz?
),,(),(),,( yxyxfyxF先构造拉格朗日函数
0),(
0
0
yxF
fF
fF
yyy
xxx
令 解出 (x,y)即为可能极值点,
判断是否为极值点通常由实际问题来定,
,0),,(),,( )2( 条件下的可能极值点在求 zyxzyxfu?
),,,(),,(),,,( zyxzyxfzyxF构造函数
0),,(
0
0
0
zyxF
fF
fF
fF
zzz
yyy
xxx
令解出 (x,y,z)即为可能极值点,
,0),(,0),(
),( )3(
条件下的可能极值点在求
yxyx
yxfu
).,(),(),(),,,( yxyxyxfyxF构造函数
ex5,三个正数的倒数和为 1，求使三个正数和为最小的三个正数,
Solution,0,0,0,,, zyxzyx 则设三个正数为
1111 zyx且条件下的最小值在问题即为求 1111 zyxzyxu
)1111(),,,( zyxzyxzyxF设
)1111(),,,( zyxzyxzyxF设
令
1222 zyx
.3 为所求由题意 zyx
222 zyx
zyx
3 zyx
01 2 xF x?
01 2 yF y?
01 2 zF z?
01111 zyxF?
,)3,3,3( 为唯一驻点,又实际问题存在最小值
.
,1.6 22
与最短距离求原点到这椭圆的最长截成椭圆被平面旋转抛物面 zyxyxzex
Solution.,),,( 为椭圆上的点设 zyx
,1,22 zyxyxz且,2222 zyxd则
)1()(
),,,,(
22
222
zyxzyx
zyxzyxF
设
)5( 01
)4( 0
)3( 02
)2( 022
)1( 022
22
zyxF
zyxF
zF
yyF
xxF
z
y
x
令
0)1)(()2()1(yx得
)(21)3(,0)1(1 舍去得再代入得时代入当 z
,
21
2 2
xz
xzyx 时有当
32),31(21 zx解得
)32,2 31,2 31()32,2 31,2 31( 与可能驻点为
,3591 d 3592d
,359,1d最长距离为由此可知
.3592d最短距离为
,由实际问题存在最值
e x 7,在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,
Solution.设 ),,( zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
czbyaxzyxF,
则 22|
a
xF
Px,2
2|
b
yF
Py,2
2|
c
zF
Pz
过 ),,( zyxP 的切平面方程为
)(2 xXa x )(2 yYb y 0)(2 zZc z,
化简为 1222 Zc zYb yXa x,
该切平面在三个轴上的截距各为
xaX
2
,ybY
2
,
z
cZ 2?,
所围四面体的体积
xy z
cbaX Y ZV
66
1 222,
在条件 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln zyxu x yzux yzu 或令,1
构造 ),,,(?zyxG zyx lnlnln )1( 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x?,
01
0
21
0
21
0
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
G
c
z
z
G
b
y
y
G
a
x
x
G
z
y
x
令
,2
22
ax
,2
22
by
,2
22
cz
.23
3
3
3
c
z
b
y
a
x
,)3,3,3( 时当切点坐标为 zba
四面体体积最小,
.2 3m i n abcV?且
The end
多元函数的极值及应用教学要求：
1,理解多元函数极值和条件极值的概念 ;
3,会求二元函数的极值,
会用拉格朗日乘数法求条件极值 ;
2,掌握多元函数极值存在的必要条件,
了解二元函数极值存在的充分条件 ;
4,会求简单多元函数的最大值和最小值,
并会解决一些简单的应用问题,
,多元函数的极值一
,小值多元函数的最大值和最二
,数法条件极值与拉格朗日乘三
,多元函数的极值一
1.二元函数极值的定义若都适合不等式的点异于对于一切内有定义在设
),,(
,)),,((),(
0
000
yxPP
yxPUyxfz
),(),( 00 yxfyxf?
有极大值在则称 ),(),( 000 yxPyxfz?
)),(),(( 00 yxfyxf?或
).,( 00 yxf或极小值极大值与极小值统称为极值,,),( 000 为极值点yxP
若引进点函数,则 ;)(,)()( 00 为极大值时当 PfPfPf?
,)(,)()( 00 为极小值时当 PfPfPf?
(1)
(2)
(3)
处有极小值．在函数
)0,0(
43 22 yxz
处有极大值．在函数
)0,0(
22 yxz
处无极值．在函数
)0,0(
xyz?
2.极值存在的必要条件和充分条件定理 1（极值存在的必要条件）
.0),(,0),(,
),(,),(),(
0000
0000
yxfyxf
yxyxyxfz
yx则极值取得且在具有偏导数在设
Proof.,),(),( 00 取得极小值在设 yxyxfz?
),,(),(,,00000 yxfyxfyyxx 仍有取
,),( 00 取得极小值在表明一元函数 yyyxf?
.0),( 00 yxf y
.0),( 00?yxf x同理可证
),,(),( 00 yxfyxf?则注意,
.),(
),(,0),(,0),()1( 000000
的驻点为则称若
yxfz
yxyxfyxf yx
,
,),( )2( 0
面平行于在极值点处的切平面为
xoy
zzyxfz
(3 ) 如果三元函数 ),,( zyxfu? 在点 ),,(
000
zyxP 具有偏导数，则它在 ),,(
000
zyxP 有极值的必要条件为
0),,(
000
zyxf
x
,
0),,(
000
zyxf
y
,
0),,( 000?zyxf z,
(4)驻点 极值点（可偏导函数）
定理 2（极值存在的充分条件）
,
,),(),( 0
偏导数且有一阶及二阶连续内连续在设?PUyxfz?
,0),(,0),( 0000 yxfyxf yx又
),,(),,(),,( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx令
,,0)1( 2 有极值时当则 BAC;0,0 时有极小值时有极大值 AA;,0)2( 2 没有极值时当 BAC
.,,0)3( 2 需另作讨论为可能极值时当 BAC
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤,
第一步 解方程组,0),(?yxf x 0),(?yxf y
求出实数解，得驻点,
).,(),,(),,( yxfyxfyxf yyxyxx求第二步第三步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A,B,C,
第四步 定出 2BAC? 的符号，再判定是否是极值,
.1323),(.1 2233 的极值求 xyyxyxfex
Solution,1,0 2,0 yy xx
)1,2(),0,2(),1,0(),0,0( 驻点有
,0 xyfB 36 yfC yy
,3,0,06)0,0()3( CBA处在
,3,0,06)1,0( CBA处在得由
033
063
)1(
2
2
yyf
xxf
y
x
,66)2( xfA xx;,0182 有极大值 BAC;,0182 无极值 BAC
,3,0,06)0,2( CBA处在
,23)1,0( f极大值为
.3)0,2(f极小值为
,3,0,06)1,2( CBA处在;,0182 有极小值 BAC
.0182 无极值 BAC
.),(
010422.2 222
的极值所确定的函数求由方程
yxzz
zyxzyxex
Solution,求偏导得方程两边对 yx,
)2( 04222 yy zzzy
,21 z xz x 21 z yz y
,1,10,0 yxzz yx 得令,2,6 21 z从而的邻域内取值情况及在下面考虑函数 )2,1,1()6,1,1(),( yxzz
)1( 04222 xx zzzx
10422),,( 222 zyxzyxzyxF令
42 zF z则
,08)2,1,1(,08)6,1,1( zz FF由于
),(),,( 21 yxfzyxfz从而确定了
)1( 04222 xx zzzx由于
)2( 04222 yy zzzy
021)1( 2 xxxxx zzzzx 求偏导得对
02)1( xyxyxy zzzzzy 求偏导得对
021)2( 2 yyyyy zzzzy 求偏导得对
,41,0,041,)6,1,1( CBA处在
,41,0,041,)2,1,1( CBA处在
.2)1,1(,6)1,1( zz 极小值为极大值为;,02 有极大值 BAC
.,02 有极小值 BAC
,小值多元函数的最大值和最二
(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值,
将函数 f (x,y) 在 D内的所有驻点处的函数值与在 D
的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值,
(2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断,若问题存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为所求的最值点,
,
0,0,11.3 2222
的最大值内在求 yxyxyxxyzex
Solution,?
令
,
12
12
22
22
yx
yx即
.31 yx得
,1)31,31( 22 内在且 yx
0
1
1 2222?
yx
yxyyxxz
y
0
1
1 2222?
yx
xxyyxyz
x
33
1)
3
1,
3
1(?z而
,对于边界上的点
,0),(1,0,0 22 yxzyxyx 代入函数得以
,)31,31( 为最大值点?
ex4,把一个正数 a表为三个正数之和，使其乘积最大，
求这三个数,
Solution.
,0,0,,,ayaxyxayx 且可设三个数为
,33 1最大值为
)( yxaxyz则
)1()(
)1()(
xyyxaxz
xyyxayz
y
x
0)2(
0)2(
yxaxz
yxayz
y
x令
3
ayx得
,)3,3( 为唯一驻点从而 aa
.3,3 时其乘积取得最大值即三个数为时故在 aayx
,值根据实际问题存在最大
,数法条件极值与拉格朗日乘三
1,条件极值自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，
这种情况下的极值称为 条件极值,
相应地，前面讨论的极值称为 无条件极值,
条件极值与无条件极值的区别和联系，例如的极值求 22)1( yxz
条件下的极值在求 1)2( 22 yxyxz
Solution.(1) 显然函数在（ 0,0）点处取得极小值,
1000.)0,0)(2(点不可能是极值点得代入把 221 yxzxy 122 2 xxz
.21,21,21 取得极小值此时时当 zyx
可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件极值来求,称为,降元法” ；
并非所有条件极值都能用,降元法” 解，
为此必须介绍新的方法,
2,拉格朗日乘数法
,0),(),( 条件下的可能极值点在考虑 yxyxfz?
,
),,(),(),,(,
求其可能极值点作函数一方面 yxyxfyxF
0xxx fF
令
0),(
0
yx
ff xyyx
即说明 F(x,y,?)的可能极值点为上述方程组确定的 (x,y).
),(0),(,xyyx 确定了另一方面
0 yyy fF
0),( yxF
),(
),(
yx
yx
dx
dy
y
x
且的可能极值点为满足而 ))(,( xxfz
0),(,0 yxdxdz?同时的点
,dxdyffdxdz yx又,0),(
0
yx
ff xyyx
即注意,(1) 拉格朗日乘数法,
,0),(),( 条件下的可能极值点在要找 yxyxfz?
),,(),(),,( yxyxfyxF先构造拉格朗日函数
0),(
0
0
yxF
fF
fF
yyy
xxx
令 解出 (x,y)即为可能极值点,
判断是否为极值点通常由实际问题来定,
,0),,(),,( )2( 条件下的可能极值点在求 zyxzyxfu?
),,,(),,(),,,( zyxzyxfzyxF构造函数
0),,(
0
0
0
zyxF
fF
fF
fF
zzz
yyy
xxx
令解出 (x,y,z)即为可能极值点,
,0),(,0),(
),( )3(
条件下的可能极值点在求
yxyx
yxfu
).,(),(),(),,,( yxyxyxfyxF构造函数
ex5,三个正数的倒数和为 1，求使三个正数和为最小的三个正数,
Solution,0,0,0,,, zyxzyx 则设三个正数为
1111 zyx且条件下的最小值在问题即为求 1111 zyxzyxu
)1111(),,,( zyxzyxzyxF设
)1111(),,,( zyxzyxzyxF设
令
1222 zyx
.3 为所求由题意 zyx
222 zyx
zyx
3 zyx
01 2 xF x?
01 2 yF y?
01 2 zF z?
01111 zyxF?
,)3,3,3( 为唯一驻点,又实际问题存在最小值
.
,1.6 22
与最短距离求原点到这椭圆的最长截成椭圆被平面旋转抛物面 zyxyxzex
Solution.,),,( 为椭圆上的点设 zyx
,1,22 zyxyxz且,2222 zyxd则
)1()(
),,,,(
22
222
zyxzyx
zyxzyxF
设
)5( 01
)4( 0
)3( 02
)2( 022
)1( 022
22
zyxF
zyxF
zF
yyF
xxF
z
y
x
令
0)1)(()2()1(yx得
)(21)3(,0)1(1 舍去得再代入得时代入当 z
,
21
2 2
xz
xzyx 时有当
32),31(21 zx解得
)32,2 31,2 31()32,2 31,2 31( 与可能驻点为
,3591 d 3592d
,359,1d最长距离为由此可知
.3592d最短距离为
,由实际问题存在最值
e x 7,在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,
Solution.设 ),,( zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
czbyaxzyxF,
则 22|
a
xF
Px,2
2|
b
yF
Py,2
2|
c
zF
Pz
过 ),,( zyxP 的切平面方程为
)(2 xXa x )(2 yYb y 0)(2 zZc z,
化简为 1222 Zc zYb yXa x,
该切平面在三个轴上的截距各为
xaX
2
,ybY
2
,
z
cZ 2?,
所围四面体的体积
xy z
cbaX Y ZV
66
1 222,
在条件 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln zyxu x yzux yzu 或令,1
构造 ),,,(?zyxG zyx lnlnln )1( 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x?,
01
0
21
0
21
0
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
G
c
z
z
G
b
y
y
G
a
x
x
G
z
y
x
令
,2
22
ax
,2
22
by
,2
22
cz
.23
3
3
3
c
z
b
y
a
x
,)3,3,3( 时当切点坐标为 zba
四面体体积最小,
.2 3m i n abcV?且
The end
