Chapter 2(2)
二重积分的计算教学要求：
1,掌握二重积分的计算方法 ——
直角坐标、极坐标、对称性简化,
,积分在直角坐标下计算二重一
,分在极坐标下计算二重积二
,分数的奇偶性计算二重积利用区域的对称性和函三
,积分在直角坐标下计算二重一
,),()(:,0),( 21 bxaxyxDyxf设
.),(,)(),( 21
D
dyxfxx 求连续
a x b
z
y
x
),( yxfz?Solution.
围成的立体为曲顶柱体,
)( xA
)(1 xy
)(2 xy
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
ba dxxAV )(则面的截面面积为平行于其中 y ozxA )(
是一个曲边梯形，如图
o
y
z ),( yxfz?
)(1 x? )(2 x?
)(xA
)( )(21 ),()( xx dyyxfxA
dxdyyxfdyxf ba xx
D
]),([),( )( )(21
注意,
(1)先对 y后对 x的二次积分，计算时先把 x看作常数，
对 y积分得到关于 x的函数，再对 x在 [a,b]上积分，记为
)( )(21 ),(),( xxba
D
dyyxfdxdyxf
.0),()2( 时公式仍成立?yxf
bxaxyxx ),()(:)3( 21型区域
)(2 xy
a b
D
)(1 xy
D
ba
)(2 xy
)(1 xy
特点,穿过 D的内部且平行于 y轴的直线与 D的边界的交点不多于两个，利用先积 y后积 x的次序计算二重积分时，积分区域必须是 x型区域,
dycyxyyD ),()(,,)4( 21型区域时为类似地
)(2 yx)(1 yx D
c
d
c
d
)(2 yx
)(1 yx D
特点,穿过 D的内部且平行于 x轴的直线与 D的边界的交点不多于两个，利用先积 x后积 y的次序计算二重积分时，积分区域必须是 y型区域,
D
d
c
y
y dxyxfdydyxf
)(
)(
2
1
),(),(此时则型区域时又可表为型区域既可表为若,,)5( yxD
o x
y
a b
c
d
o x
y
a b
c
d
D
b
a
y
y
d
c
x
x dxyxfdydyyxfdxdyxf
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
),(),(),(
,
,)6(
型区域型区域和分块得到一些则把型区域时型区域又不是既不是若
yxD
yxD
o x
y
o x
y
1D
2D
3D
321 DDDD
1D
2D
3D
4D
5D
54321 DDDDDD,,,,
.,)7(
不能颠倒次序上从下右从左两次积分中关键在于确定积分限化二重积分为二次积分
yx
计算二重积分的步骤,
(1) 画区域图 ;
(2) 列出 x型或 y型区域的不等式表示 ;
(3) 计算二次积分
(若一种次序积不出来时,换另一种次序 ),
.2,1,.1 围成及由直线计算 xyxyDxy dex
D
Solution,(1)画区域图
(2)列出区域的不等式表示
21,1, xxyx 型
21,2, yxyy 型
(3)将二重积分表示成二次积分并计算
D
x xydydxxyd
1
2
1
21
1
2
2
dxyx
x
21 2 )1(2 dxxx,89?
221 y
C
xy dxdyxy d?,8
9
2
2
1
22
dyxy
y
或者
o x
y
1?y
2?x
xy?
2
1
1
2
.2,.2 2 围成和由计算 xyxyDx ydex
D
Solution,(1) 画区域图
(2) 列出区域的不等式表示
:型?x 10,:1 xxyxD
41,2:2 xxyxD
:型?y 21,22 yyxy
(3) 列出二次积分并计算
D DD
x y dx y dx y d
21
41 210 xxx x xy dydxxy dydx
.84522 1 2
D
y
y xy dxdyxy d?
o x
y
)2,4(
)1,1(?
1D 2
D
.,1,0,.3 22 围成由计算 xyyxDdexIex
D
y
Solution.
:型?x 10,1 xyx
:型?y 10,0 yyx
10 1 2 2x y dyexdxI
10 12 2x y dyedxx 积不出来，须换另一种积分次序
dxexdyI yy 20 210 dy
xe
y
y
0
31
0 3
2
dyey y 10 3 231,3161 e
o x
y
1?y
xy?
1
1
,),(.4
D
dxdyyxfex 求
其他0
0,0),( 22 yxyxyxf
)0(,babyxaD
Solution.
D
d xd yyxf ),(
2
)( 22
D
d x dyyx
xb xaa dyyxdx )( 220
o x
y
2D
3D
ayx
a
byx
b
321 DDD
f d x d yf d x d yf d x d y
1D
xbba dyyxdx 0 22 )(
,|)s i n (|.5 dxdyyxex
D
计算,20, yxD
Solution.
xyxy
xyxyxy
)s in (
)s in ()s in (?
21
)s in()s in()s in(
DDD
d x d yxyd x d yxyd x d yyx
21
)s in()s in(
DD
d x d yxyd x d yxy
20 )s in(x dyxydx xx dyxydx )s in(0
o x
y
xy2
xy
1D
2D
2
22 )s in(x dyxydx
,:,),()(.6 tyxDdxdyyxftFex
D
其中设
).(,0 10,10 1),( tFoth e r s yxyxf 求
Solution.
x
y
o 1
tyx
,0时当?t ;00)(
D
dxdytF
,10 时当 t
D
dxdytF )(
xtt dydx 00 ;2
2t
,21 时当 t
D
dxdytF )( 1010 dydxt xtt dydx 01 1;122
2
tt
,2时当?t
x
y
o 1
tyx
.1)(
D
dxdytF
2 1
21 12
2
10
2
0 0
)(
2
2
t
tt
t
t
t
t
tF
e x 7,设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 Adxxf
1
0
)(,
求
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
Solution,? 1 )(
x dyyf? 不能直接积出,故 改变积分次序,
令 11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
则 I y dxxfdyyf 010 )()(
x dyyfdxxf
0
1
0 )()
故 110 )()(2 x dyyfdxxfI
x dyyfdxxf
0
1
0 )()(
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx
.)()( 21010 Adyyfdxxf,2
2A
I
x
y
1 xy?
xo
D
,分在极坐标下计算二重积二
D
n
i
iiifdyxf
10
),(lim),(
用一族同心圆和一族射线形成的网把区域
D分块 (如图 )此时 i
irr?
ii rrr ii
i iiiiii rrr
22
2
1)(
2
1
iiiii r
rrr
2
)(
iii rr
则相对应的直角坐标为取圆周上一点 ),,(),( iiiir
),( ii
iiiiii rr s i n,c o s
i
n
i
iiiiii
n
i
iii rrrrff
1010
)s in,c os(lim),(lim故
D D
r dr drrfdyxf )s i n,c os(),(即极坐标下的二重积分可用二次积分来计算则若,),()(:)1( 21 rD
o x?
)(2r
)(1r
x
D
o?
)(1r )(2r
x
o
D
)( )(21 )s i n,c o s()s i n,c o s( r d rrrfdr d r drrf
D
则若,),(0:)2( rD
xo
D
)(r
)(
0
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
D
o x
)(r
且此时,20),(0:)3( rD
2
0
)(
0
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
o x
)(1r
)(2r
且此时,20),()(:)4( 21 rD
2
0
)(
)(
2
1
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
要点与步骤,
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算 ;;
,,)2(
22 等有含扇形区域以及被积函数圆环极坐标适用于圆
yx?
(3) 画区域图,列出?型区域,写成极坐标下的二次积分,
.1:,
1
.8 2222
yxD
yx
dxdyIex
D
计算
Solution.
20,10|),( rrD 1?r
D r
r dr dI
21
.2
1
1
0 2
2
0
r
r d rd
d
c
b
a
dyc
bxa
dyygdxxfdxdyygxf )()()()(,一般地
x
y
.:,.9 22222 ayxDdxd yeIex
D
yx计算
Solution.
ar?
x
y
20,0|),( arrD
D
r r dr deI?2
a r drred 020 2 ).1( 2ae
e x 1 0,计算二重积分
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 yxyxD
,
Solution.
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (?
2120 s in r d rd,4
}20,21|),{( rrD
D
r dr dr r )s in (
1?r
2?r
ex 1 1,计算 d x d yyx
D
)( 22,其 D 为由圆
yyx 222,yyx 422 及直线 yx 3? 0?,
03 xy 所围成的平面闭区域,
Solution.
3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15?
6
3
s in2?r?s in4?r
.
36
:
D
,s i n4s i n2 r
d x d yyx
D
)( 22
D
r d r dr?2
ex12.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
,)(3 2220xx dyyxfdx
Solution,20,3, xxyxD依题意有;20, yy 型区域
34,
型区域
dxyxfdydxyxfdy yy y 2
3
2232
2
3
222
0 )()(原式
c o s
2
0
3
4
)( r d rrfd原式
o x
y
xy?
xy 3?
2
2
32
322 y
,co s20 r
,3 yxy
,23 xy
.),(2010 x dyyxfdx
10,0,2 xxyD?
o x
y 2xy?
1
1
10, yy 型区域
40,
型区域
dxyxfdy y 110 ),(原式
.)s i n,c os(c o s
1
c o s
s i n40
2
r drrrfd原式
ex13.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
Solution.
,1 xy
,c os1c oss i n 2 r
.
22
0
2
0
xaxa dy
x
yfdx
Solution.
axxaxyD 20,20,2
o x
y
2a
a
ayy0,型区域
20,
型区域
.)( t a nc o s2020
a r d rfd原式
ex14.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
,2222 yaaxyaa
,c o s20?ar
.),(),(21 2211
2
1
y y
dxyxfdydxyxfdy
21,2
1
2
1
,2
1
:
yxy
yx
y
D?
o x
y
yx
1?
xy?
2
1
21, xx 型区域
.441a r ct a n,型区域
ex15.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
Solution.
,1 xyx
,c o s2c o ss in 1 r
ex 16,改变积 分 )0(),(20 22 2 adyyxfdxa ax xax 的次序,
axy 2?
Solution.
=a yaa
a
y dxyxfdy0
2
22
2 ),( 原式
a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2 aa aay dxyxfdy
22 xaxy 22 yaax
a2a
a2
a
,20,22,2 axaxyxaxD
,分数的奇偶性计算二重积利用区域的对称性和函三
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
,)1(
yxfyxf
yxfyxfd xd yyxf
d xd yyxf
yD
D
D
右则轴对称关于若
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
,)2(
yxfyxf
yxfyxfdx dyyxf
dx dyyxf
xD
D
D
上则轴对称关于若
..17
1
yx
dxdyxyex 计算
Solution,
由区域的对称性和函数的奇偶性可得
o x
y
D
dxd yxy
D
4原式
.4 1010 x x y d ydx
..18
10
11
2
y
x
dxdyxyex 计算
Solution.
o x
y
11?
1
D
d x d yxy
D
22原式 1D
2D
dx dyxydx dyxy
DD
21
22 22
1 210 2 )(2 x dyxydx,)(2 20 210 x dyyxdx
dxd yyxdxd yxy
DD
21
)(2)(2 22
The end
二重积分的计算教学要求：
1,掌握二重积分的计算方法 ——
直角坐标、极坐标、对称性简化,
,积分在直角坐标下计算二重一
,分在极坐标下计算二重积二
,分数的奇偶性计算二重积利用区域的对称性和函三
,积分在直角坐标下计算二重一
,),()(:,0),( 21 bxaxyxDyxf设
.),(,)(),( 21
D
dyxfxx 求连续
a x b
z
y
x
),( yxfz?Solution.
围成的立体为曲顶柱体,
)( xA
)(1 xy
)(2 xy
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
ba dxxAV )(则面的截面面积为平行于其中 y ozxA )(
是一个曲边梯形，如图
o
y
z ),( yxfz?
)(1 x? )(2 x?
)(xA
)( )(21 ),()( xx dyyxfxA
dxdyyxfdyxf ba xx
D
]),([),( )( )(21
注意,
(1)先对 y后对 x的二次积分，计算时先把 x看作常数，
对 y积分得到关于 x的函数，再对 x在 [a,b]上积分，记为
)( )(21 ),(),( xxba
D
dyyxfdxdyxf
.0),()2( 时公式仍成立?yxf
bxaxyxx ),()(:)3( 21型区域
)(2 xy
a b
D
)(1 xy
D
ba
)(2 xy
)(1 xy
特点,穿过 D的内部且平行于 y轴的直线与 D的边界的交点不多于两个，利用先积 y后积 x的次序计算二重积分时，积分区域必须是 x型区域,
dycyxyyD ),()(,,)4( 21型区域时为类似地
)(2 yx)(1 yx D
c
d
c
d
)(2 yx
)(1 yx D
特点,穿过 D的内部且平行于 x轴的直线与 D的边界的交点不多于两个，利用先积 x后积 y的次序计算二重积分时，积分区域必须是 y型区域,
D
d
c
y
y dxyxfdydyxf
)(
)(
2
1
),(),(此时则型区域时又可表为型区域既可表为若,,)5( yxD
o x
y
a b
c
d
o x
y
a b
c
d
D
b
a
y
y
d
c
x
x dxyxfdydyyxfdxdyxf
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
),(),(),(
,
,)6(
型区域型区域和分块得到一些则把型区域时型区域又不是既不是若
yxD
yxD
o x
y
o x
y
1D
2D
3D
321 DDDD
1D
2D
3D
4D
5D
54321 DDDDDD,,,,
.,)7(
不能颠倒次序上从下右从左两次积分中关键在于确定积分限化二重积分为二次积分
yx
计算二重积分的步骤,
(1) 画区域图 ;
(2) 列出 x型或 y型区域的不等式表示 ;
(3) 计算二次积分
(若一种次序积不出来时,换另一种次序 ),
.2,1,.1 围成及由直线计算 xyxyDxy dex
D
Solution,(1)画区域图
(2)列出区域的不等式表示
21,1, xxyx 型
21,2, yxyy 型
(3)将二重积分表示成二次积分并计算
D
x xydydxxyd
1
2
1
21
1
2
2
dxyx
x
21 2 )1(2 dxxx,89?
221 y
C
xy dxdyxy d?,8
9
2
2
1
22
dyxy
y
或者
o x
y
1?y
2?x
xy?
2
1
1
2
.2,.2 2 围成和由计算 xyxyDx ydex
D
Solution,(1) 画区域图
(2) 列出区域的不等式表示
:型?x 10,:1 xxyxD
41,2:2 xxyxD
:型?y 21,22 yyxy
(3) 列出二次积分并计算
D DD
x y dx y dx y d
21
41 210 xxx x xy dydxxy dydx
.84522 1 2
D
y
y xy dxdyxy d?
o x
y
)2,4(
)1,1(?
1D 2
D
.,1,0,.3 22 围成由计算 xyyxDdexIex
D
y
Solution.
:型?x 10,1 xyx
:型?y 10,0 yyx
10 1 2 2x y dyexdxI
10 12 2x y dyedxx 积不出来，须换另一种积分次序
dxexdyI yy 20 210 dy
xe
y
y
0
31
0 3
2
dyey y 10 3 231,3161 e
o x
y
1?y
xy?
1
1
,),(.4
D
dxdyyxfex 求
其他0
0,0),( 22 yxyxyxf
)0(,babyxaD
Solution.
D
d xd yyxf ),(
2
)( 22
D
d x dyyx
xb xaa dyyxdx )( 220
o x
y
2D
3D
ayx
a
byx
b
321 DDD
f d x d yf d x d yf d x d y
1D
xbba dyyxdx 0 22 )(
,|)s i n (|.5 dxdyyxex
D
计算,20, yxD
Solution.
xyxy
xyxyxy
)s in (
)s in ()s in (?
21
)s in()s in()s in(
DDD
d x d yxyd x d yxyd x d yyx
21
)s in()s in(
DD
d x d yxyd x d yxy
20 )s in(x dyxydx xx dyxydx )s in(0
o x
y
xy2
xy
1D
2D
2
22 )s in(x dyxydx
,:,),()(.6 tyxDdxdyyxftFex
D
其中设
).(,0 10,10 1),( tFoth e r s yxyxf 求
Solution.
x
y
o 1
tyx
,0时当?t ;00)(
D
dxdytF
,10 时当 t
D
dxdytF )(
xtt dydx 00 ;2
2t
,21 时当 t
D
dxdytF )( 1010 dydxt xtt dydx 01 1;122
2
tt
,2时当?t
x
y
o 1
tyx
.1)(
D
dxdytF
2 1
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2
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2
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)(
2
2
t
tt
t
t
t
t
tF
e x 7,设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 Adxxf
1
0
)(,
求
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
Solution,? 1 )(
x dyyf? 不能直接积出,故 改变积分次序,
令 11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
则 I y dxxfdyyf 010 )()(
x dyyfdxxf
0
1
0 )()
故 110 )()(2 x dyyfdxxfI
x dyyfdxxf
0
1
0 )()(
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx
.)()( 21010 Adyyfdxxf,2
2A
I
x
y
1 xy?
xo
D
,分在极坐标下计算二重积二
D
n
i
iiifdyxf
10
),(lim),(
用一族同心圆和一族射线形成的网把区域
D分块 (如图 )此时 i
irr?
ii rrr ii
i iiiiii rrr
22
2
1)(
2
1
iiiii r
rrr
2
)(
iii rr
则相对应的直角坐标为取圆周上一点 ),,(),( iiiir
),( ii
iiiiii rr s i n,c o s
i
n
i
iiiiii
n
i
iii rrrrff
1010
)s in,c os(lim),(lim故
D D
r dr drrfdyxf )s i n,c os(),(即极坐标下的二重积分可用二次积分来计算则若,),()(:)1( 21 rD
o x?
)(2r
)(1r
x
D
o?
)(1r )(2r
x
o
D
)( )(21 )s i n,c o s()s i n,c o s( r d rrrfdr d r drrf
D
则若,),(0:)2( rD
xo
D
)(r
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)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
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D
D
o x
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且此时,20),(0:)3( rD
2
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0
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
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D
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且此时,20),()(:)4( 21 rD
2
0
)(
)(
2
1
)s i n,c o s(
)s i n,c o s(
r d rrrfd
r d r drrf
D
要点与步骤,
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算 ;;
,,)2(
22 等有含扇形区域以及被积函数圆环极坐标适用于圆
yx?
(3) 画区域图,列出?型区域,写成极坐标下的二次积分,
.1:,
1
.8 2222
yxD
yx
dxdyIex
D
计算
Solution.
20,10|),( rrD 1?r
D r
r dr dI
21
.2
1
1
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2
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b
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x
y
.:,.9 22222 ayxDdxd yeIex
D
yx计算
Solution.
ar?
x
y
20,0|),( arrD
D
r r dr deI?2
a r drred 020 2 ).1( 2ae
e x 1 0,计算二重积分
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 yxyxD
,
Solution.
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (?
2120 s in r d rd,4
}20,21|),{( rrD
D
r dr dr r )s in (
1?r
2?r
ex 1 1,计算 d x d yyx
D
)( 22,其 D 为由圆
yyx 222,yyx 422 及直线 yx 3? 0?,
03 xy 所围成的平面闭区域,
Solution.
3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15?
6
3
s in2?r?s in4?r
.
36
:
D
,s i n4s i n2 r
d x d yyx
D
)( 22
D
r d r dr?2
ex12.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
,)(3 2220xx dyyxfdx
Solution,20,3, xxyxD依题意有;20, yy 型区域
34,
型区域
dxyxfdydxyxfdy yy y 2
3
2232
2
3
222
0 )()(原式
c o s
2
0
3
4
)( r d rrfd原式
o x
y
xy?
xy 3?
2
2
32
322 y
,co s20 r
,3 yxy
,23 xy
.),(2010 x dyyxfdx
10,0,2 xxyD?
o x
y 2xy?
1
1
10, yy 型区域
40,
型区域
dxyxfdy y 110 ),(原式
.)s i n,c os(c o s
1
c o s
s i n40
2
r drrrfd原式
ex13.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
Solution.
,1 xy
,c os1c oss i n 2 r
.
22
0
2
0
xaxa dy
x
yfdx
Solution.
axxaxyD 20,20,2
o x
y
2a
a
ayy0,型区域
20,
型区域
.)( t a nc o s2020
a r d rfd原式
ex14.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
,2222 yaaxyaa
,c o s20?ar
.),(),(21 2211
2
1
y y
dxyxfdydxyxfdy
21,2
1
2
1
,2
1
:
yxy
yx
y
D?
o x
y
yx
1?
xy?
2
1
21, xx 型区域
.441a r ct a n,型区域
ex15.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
Solution.
,1 xyx
,c o s2c o ss in 1 r
ex 16,改变积 分 )0(),(20 22 2 adyyxfdxa ax xax 的次序,
axy 2?
Solution.
=a yaa
a
y dxyxfdy0
2
22
2 ),( 原式
a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2 aa aay dxyxfdy
22 xaxy 22 yaax
a2a
a2
a
,20,22,2 axaxyxaxD
,分数的奇偶性计算二重积利用区域的对称性和函三
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
,)1(
yxfyxf
yxfyxfd xd yyxf
d xd yyxf
yD
D
D
右则轴对称关于若
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
,)2(
yxfyxf
yxfyxfdx dyyxf
dx dyyxf
xD
D
D
上则轴对称关于若
..17
1
yx
dxdyxyex 计算
Solution,
由区域的对称性和函数的奇偶性可得
o x
y
D
dxd yxy
D
4原式
.4 1010 x x y d ydx
..18
10
11
2
y
x
dxdyxyex 计算
Solution.
o x
y
11?
1
D
d x d yxy
D
22原式 1D
2D
dx dyxydx dyxy
DD
21
22 22
1 210 2 )(2 x dyxydx,)(2 20 210 x dyyxdx
dxd yyxdxd yxy
DD
21
)(2)(2 22
The end
