Chapter 1
多元函数微分学小结第一部分,内容小结一、极限，连续，偏导数，全微分
1,二元函数的定义 ),( yxfz?
2,二元函数的极限 Ayxf
yy
xx
),(l i m
0
0
3,二元函数的连续性
(1)定义 ),(),(lim 00),(),(
00
yxfyxfyxyx
(2)性质 连续函数的和差积商是连续函数,
连续函数的复合函数是连续函数,
一切多元初等函数在其定义区域内连续,
(3)闭区域上连续函数的性质 最大最小值定理介值定理
4,偏导数
(1) 一阶偏导数定义,x yxfyxxfyxf xx ),(),(lim),( 0000000
),(),(lim
0
000
),( 000 xx
yxfyxf
x
f
xxyx?
),(),(lim),( 0000
000 y
yxfyyxfyxf
yy?
计算方法,求偏导时,只须对所讨论的变量求导,而把其余的变量看作常数,
几何意义,).,(t a n),,(t a n yxfyxf yx
(2) 高阶偏导数
xzxx zyxfyxf xxxx 2
2
),(),(
xzyyx zyxfyxf xyxy
2
),(),(
yzxxy zyxfyxf yxyx
2
),(),(
yzyy zyxfyxf yyyy 2
2
),(),(
5,全微分
).,(),( 0000 yxfyyxxfz全增量为
,dyyzdxxzdz全微分为
6,极限存在、连续、可偏导、可微分的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导二、微分法
1、全导数公式则设 ),(),(),,( xvxuvufz
dxdvvfdxduufvuffdxdz
21
2、偏导数公式则设 ),,(),,(),,( yxvyxuvufz
y
v
v
z
y
u
u
z
v
u
ff
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
v
u
ff
x
z
y
y
x
x
21
21
3、一阶全微分形式不变性则设 ),,(),,(),,( yxvyxuvufz
dvvfduufdz
4、隐函数的微分法
.,0;,0,0),( )1(
x
y
x
y
x
y
F
F
dy
dx
F
F
F
dx
dy
FyxF
时当时当设
.,
,0,0),,( )2(
z
y
z
x
z
F
F
y
z
F
F
x
z
FzyxF
时当设
(3) 方程组情形
0),,(
0),,( )1
zyxG
zyxF
确定了两个一元函数,
0),,,(
0),,,( )2
vuyxG
vuyxF
确定了两个二元函数,
),(
),(
),(
)3
vuzz
vuyy
vuxx
确定了一个以 u,v为中间变量
x,y为自变量的二元函数,
三、微分学的应用
1,几何上的应用的切线和法平面为参数空间曲线 )(
)(
)(
)(
)1( t
tz
ty
tx
)(),(),(,000 tttT切向量为
)()()(,0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
切线方程为
.0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
法平面方程为的切线和法平面空间曲线
0),,(
0),,()2(
zyxG
zyxF
切向量为,
},,1{
),,(),,( 000000 zyxzyx dx
dz
dx
dyT
},1,{
),,(),,( 000000 zyxzyx dy
dz
dy
dxT
}1,,{
),,(),,( 000000 zyxzyx dz
dy
dz
dxT
0),,()3( 的切平面与法线曲面?zyxF
),,( 000},,{,zyxzyx FFFn?
法向量为
0)()())(,,( 000000 zzFyyFxxzyxF zyx
切平面为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
法线为的切平面与法线曲面 ),()4( yxfz?
,0)()()(,000 zzyyfxxf yx切平面
.1),(),(,0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
法线
2,方向导数与梯度
,s i nc o s),()1( yx ffl yxf
,的转角轴到方向为其中 lx?
c o sc o sc o s),,( zfyfxfl zyxf
),(),()2( yfxfjyfixfyxg r a d f
),,(),,( zfyfxfkzfjyfixfzyxg r a d f
),co s (|),(|),()3( eg r a d fyxg r a d fl yxf
3,极值
(1) 无条件极值极值存在的必要条件
.0),(,0),(,
),(,),(),(
0000
0000
yxfyxf
yxyxyxfz
yx则极值取得且在具有偏导数在设极值存在的充分条件
,
,),(),( 0
偏导数且有一阶及二阶连续内连续在设?PUyxfz?
,0),(,0),( 0000 yxfyxf yx又
),,(),,(),,( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx令
,,0)1( 2 有极值时当则 BAC;0,0 时有极小值时有极大值 AA;,0)2( 2 没有极值时当 BAC
.,,0)3( 2 需另作讨论为可能极值时当 BAC
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤,
第一步 解方程组,0),(?yxf x 0),(?yxf y
求出实数解，得驻点,
).,(),,(),,( yxfyxfyxf yyxyxx求第二步第三步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A,B,C,
第四步 定出 2BAC? 的符号，再判定是否是极值,
(2) 条件极值降元法（化为无条件极值）
升元法（ Lagrange乘数法）
,0),(),( 条件下的可能极值点在要找 yxyxfz?
),,(),(),,( yxyxfyxF先构造拉格朗日函数
0),(
0
0
yxF
fF
fF
yyy
xxx
令 解出 (x,y)即为可能极值点,
判断是否为极值点通常由实际问题来定,
,0),(,0),(),( 下的可能极值点在求 yxyxyxfu
).,(),(),(),,,( yxyxyxfyxF构造函数
(3) 最大最小值
1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值,
将函数 f (x,y) 在 D内的所有驻点处的函数值与在 D
的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值,
2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断,若问题存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为所求的最值点,
第二部分,题型小结一、二元函数的定义域，函数值，极限
1、求定义域与函数关系
,,)3ar c s in (),(,1 2
22
并作图的定义域求
yx
yxyxfex
Solution.
0
13
2
22
yx
yx
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD
).,(,),(,2 22 yxfyxyxyxfex 求设
Solution,))((),( yxyxyxyxf 2)( yxyx yx,)(
1
1
2
yx
y
x
y
x
.11),( 2xyyyxf
2、求二元函数极限常用的方法
(1)用定义 ; (2)利用极限性质计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法,对于未定型，不再有 L`Hospital
法则，须化成确定型,
).1co s1s i n(lim,3
0
0 x
y
y
xex
y
x
计算
Solution,xyyx 1c os1s i n0
xyyx
1c os1s in
yx )0,0( 0 yx
由夹逼准则得,.0)
1co s1s i n(lim
0
0
x
y
y
x
y
x
.)(lim,4 )(22 yx
y
x
eyxex
计算
Solution,)(22 )(0 yxeyx )(2)( yxeyx
t
t
tyx
yx
y
x
eteyx?
2)(2 lim)(lim
tt e
t 2li m
02l i m
tt e
t
.0)(lim )(22
yx
y
x
eyx
3,确定极限不存在的方法
.,
,),(),( 000
就可断定此极限不存在不同值函数趋于时以不同方式趋于当 yxPyxP
一般选择下列极限方式：
; )4(; )3(;0 )2(;0 )1(
2
kxy
kxy
y
x
).,(lim,
0 0
0
)(,5
0
0
22
22
22
yxf
yx
yx
yx
xy
x,yfex
y
x
计算设
Solution,),(lim),(lim
0
0
kxxfyxf
x
x
kxy?
222
2
0
li m xkx kx
x?
21 k
k
其值随着 k的不同而改变,
故所求极限不存在,
二、连续、可偏导、可微的讨论
,
)0,0(),( 0
)0,0(),(
1
s i n
),(.6 22
yx
yx
yx
xy
yxfex 设
)3(
)2?()1(,)0,0(
是否可微偏导数是否存在是否连续处在
Solution,xyyxxy 22
1s i n0)1(?
)0,0( 0 yx
),0,0(01s i nlim 22
)0,0(),(
f
yx
xy
yx
故函数连续,
x
fxff
xx?
)0,0()0,(lim)0,0()2(
0
,000lim
0
xx
.0)0,0(?yf同理 故偏导数存在,
yBxAf0 )3( 22
22
)()(
)()(
1
s i n
yx
yx
yx
2
)()( 22 yx )0,0( 0 yx
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0(?df
三、偏导数的计算
).1,(,a r c s in)1(),(,7 xfyxyxyxfex x求设
Solution.,)1,( xxf,1)1,( xf x
.,,,.8 zyxz
y
uuuxuex 求设?
Solution,?xu,
1?zy
xzy
yu yz
y
z
yxx )(ln,ln1 xx
z
z
y
zu zz
y
z
yxx )(ln,ln
2 xxz
y zy
.,,,.9 zuyuxuxuex zy 求设
Solution,yu?xx zy ln yzy )(? 1ln zy zyxx z
yu?xx zy ln zzy )(? yyxx zy z lnln
.,,)(),(.10 10 2 yFxFdxedssfyxFex xxyy 求设
Solution,yxyfxF )(
)()( yfxxyfyF
.,),,s i n(.11 xzfxyyefzex x 求可微设
Solution,
2
21
s i n
),(
x
y
ye
ff
x
z
x
.s i n 221 x yfyef x
.),()(1.12
2
yx
zyxyxyf
xzex
求设?
Solution,),()(1)(1 2 yxyyxyfxxyfxxz
)(1)(1)(1 2
2
xyfxxyxyfxxxyf
xyx
z
)()( yxyyx )( fy
.,
,),,(.13
2
zx
u
x
u
fxyzzyxfuex
求具有二阶连续偏导设
Solution, yzffxu
1,
21 21 fyzf
注意 ),,(11 x yzzyxff ),(22 x y zzyxff
zx
u
2
)( 222121211 xyffyzfyxyff
22221211 )( fyfzxyfzxyf
xyff
1,
1211 2fy
xyffyz
1,
2221
.,
,),(.14
2
zx
u
x
u
fxyzzyxfuex
求具有二阶连续导数设
Solution,)1( yzfxu
注意 )( x y zzyxff
yfyzxyf
zx
u
)1)(1(2
.,),(.15 22 yzyzyzxex 求可微其中设
法 1,),(),,( 22 yzyzxzyxF设
,)( 2 yzy zyF y
,212 zyyzF z,2?
z
y
z
F
F
y
z
z
y
法 2:,2 2y
zy
y
z
y
y
z
z
,
2?
z
y
z
y
z
法 1:
.,3.16
2
33
yx
zaxyzxex
求设
,3),,( 33 axy zxzyxF设
,33 2 yzxF x,xzF y,3 xyF z
,
2
x
z
y
x
xy
yzx
x
z
,
y
z
xy
xz
y
z
x
z
y
x
yyx
z2
y
z
xy
x
1
2
)(12 yzxyx,2
2
xy
xyz
法 2,两边对 x,y求偏导,并得到对 x,y的二阶混合偏导,
法 3,化成 z关于 x,y的显函数,再求偏导,
,
,0,),(.17
xyz
y
z
y
x
z
x
x
z
y
y
z
xFyxzzex
证明所确定由函数
x
zy
y
zxFzyx,),,(令
2
21
2
21
1
,F
x
z
F
x
zFF
x
21
2
2
21
1
,FF
y
z
y
z
FFy
Method1.
2121
11
1
1
,F
x
F
y
x
y
FFz
,
)(
)(
21
1
2
2
FyFxx
FxFzy
x
z
z
x
)(
)(
21
2
2
1
FyFxy
FyFzx
y
z
z
y
代入所证等式的左边即可得结论,
Method2,0, xzyyzxF?
等式两边对 x求偏导得：
0
1
1
1
,
2
21?
x
z
x
z
x
x
z
y
FF
0)1()11( 221
x
z
x
z
x
F
x
z
y
F即
x
z
0)11()1( 221 yzxFy zyzyF同理可得 yz
代入所证等式左边即可得结论成立,
.,,),,(.18 zyyxxzx yzzyxfzex 求设
solution.,),(),,( zxy zzyxfzyxF令
,21 yz ffF x则,21 xz ffF y,121 x y ffF z
z
x
F
F
x
z
121
21
x yff
yz ff ;
1 21
21
x yff
yz ff
x
y
F
F
y
x
;
21
21
yz ff
x z ff
y
z
F
F
z
y
21
21 1
x z ff
x yff
,1
21
21
x z ff
x yff
.,,)()(),(.19 yzxzdttPuuufzex xy 求设?
solution.,)()(),,( udttPuuyxF x
y设
),( xPF x? ),( yPF y,1uF
,1 )( xPxu,1 )( yPyu
,1 )( xPfxufxz
,1 )(?
yPf
y
uf
y
z
.,,,,
1
0
.20
y
v
x
v
y
u
x
u
xvyu
yvxu
ex
求设
Solution.
方程组两边对 x求导得
0
0
x
v
xv
x
u
y
x
v
y
x
u
xu
,22
yx
yvxu
x
u
从而
22 yx
xvyu
x
v
.,
y
v
y
uy
求导可得同理方程组两边对
vu
xu
dx
dv
,
x
xu
xudxddx ud 2
2
2x
ux
dx
du
,2
2
u?
.,,,
1
0
.21
2
2
222 dx
ud
dx
dv
dx
du
vux
vux
ex 求设
Solution.?
0222
01
dx
dv
v
dx
du
ux
dx
dv
dx
du
vu
xv
dx
du
,
x
u
.,0,0
,),,(.22
dx
du
xyeze
zyxfuex
zxy 求且有连续偏导数设
Solution,求导可得两边对由 x
xye
ze
zyxfu
z
xy
0
0
),,(
dx
dz
f
dx
dy
f
dx
du
321
0)( dxdzdxdyxye xy
0)( dxdyxydxdze z
dxdu
四、全微分的计算
.),,(.23 dzxyyxfzex 求设
Solution,),( xyyxdfdz
)()( 21 xydfyxdf
)()( 21 ydxxdyfdydxf
dyfxfdxfyf )()( 2121
五、微分学的应用题
,
)32,2()2,1()2,1(.24 22
的方向的方向导数到处沿从在点求 yxzex
Solution.,2|2)2,1( 1xx xz? 4|2)2,1( 2yy yz
}3,1{?l方向
,2131 1c o s 2 331 3s i n
.321s i n)2,1(co s)2,1( yx zzlz
处的切线在求曲线 )1,2,1(
0
6.25 222?
zyx
zyxex
Solution.
01
0222
zy
zzyyx?
代入得将 )1,2,1(
01
021
zy
zy
1,0 zy从而 },0,1{ T?
,
1
1
0
2
1
1
zyx切线方程为
.0 zx法平面方程为及法平面方程,
ex 26,求曲面 32 xyez z 在点 )0,2,1( 处的切平面及法线方程,
Solution.,32),,( xyezzyxF z令
,42 )0,2,1()0,2,1( yF x,22 )0,2,1()0,2,1( xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF
切平面方程法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 zyx
,042 yx
.0 01 22 1 zyx
),0,2,4( n?
ex 27,求曲面 2132 222 zyx 上平行于平面
064 zyx 的切平面方程,
Solution.,),,( 000 为曲面上的切点设 zyx
依题意，切平面平行于已知平面，得
,664412 000 zyx ( * * ) 2 000 zyx
( *) 2132 202020 zyx则
}6,4,2{ 000 zyxn又切平面的法向量为
,1 ( * ) ( * * ) 0x解得由,200 zy
所求切点为 ),2,2,1( ),2,2,1(
0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
0)2(12)2(8)1(2 zyx
.2164 zyx
切平面方程①
切平面方程②
.1323),(.28 2233 的极值求 xyyxyxfex
Solution,1,0 2,0 yy xx
)1,2(),0,2(),1,0(),0,0( 驻点有
,0 xyfB 36 yfC yy
,3,0,06)0,0()3( CBA处在
,3,0,06)1,0( CBA处在得由
033
063
)1(
2
2
yyf
xxf
y
x
,66)2( xfA xx;,0182 有极大值 BAC;,0182 无极值 BAC
,3,0,06)0,2( CBA处在
,23)1,0( f极大值为
.3)0,2(f极小值为
,3,0,06)1,2( CBA处在;,0182 有极小值 BAC
.0182 无极值 BAC
ex29,三个正数的倒数和为 1，求使三个正数和为最小的三个正数,
Solution,0,0,0,,, zyxzyx 则设三个正数为
1111 zyx且条件下的最小值在问题即为求 1111 zyxzyxu
)1111(),,,( zyxzyxzyxF设
)1111(),,,( zyxzyxzyxF设
令
1222 zyx
.3 为所求由题意 zyx
222 zyx
zyx
3 zyx
01 2 xF x?
01 2 yF y?
01 2 zF z?
01111 zyxF?
,)3,3,3( 为唯一驻点,又实际问题存在最小值
ex 30,在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,
Solution.设 ),,( zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
czbyaxzyxF,
则 22|
a
xF
Px,2
2|
b
yF
Py,2
2|
c
zF
Pz
过 ),,( zyxP 的切平面方程为
)(2 xXa x )(2 yYb y 0)(2 zZc z,
化简为 1222 Zc zYb yXa x,
该切平面在三个轴上的截距各为
xaX
2
,ybY
2
,
z
cZ 2?,
所围四面体的体积
xy z
cbaX Y ZV
66
1 222,
在条件 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln zyxu x yzux yzu 或令,1
构造 ),,,(?zyxG zyx lnlnln )1( 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x?,
01
0
21
0
21
0
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
G
c
z
z
G
b
y
y
G
a
x
x
G
z
y
x
令
,2
22
ax
,2
22
by
,2
22
cz
.23
3
3
3
c
z
b
y
a
x
,)3,3,3( 时当切点坐标为 zba
四面体体积最小,
.2 3m i n abcV?且
The end
多元函数微分学小结第一部分,内容小结一、极限，连续，偏导数，全微分
1,二元函数的定义 ),( yxfz?
2,二元函数的极限 Ayxf
yy
xx
),(l i m
0
0
3,二元函数的连续性
(1)定义 ),(),(lim 00),(),(
00
yxfyxfyxyx
(2)性质 连续函数的和差积商是连续函数,
连续函数的复合函数是连续函数,
一切多元初等函数在其定义区域内连续,
(3)闭区域上连续函数的性质 最大最小值定理介值定理
4,偏导数
(1) 一阶偏导数定义,x yxfyxxfyxf xx ),(),(lim),( 0000000
),(),(lim
0
000
),( 000 xx
yxfyxf
x
f
xxyx?
),(),(lim),( 0000
000 y
yxfyyxfyxf
yy?
计算方法,求偏导时,只须对所讨论的变量求导,而把其余的变量看作常数,
几何意义,).,(t a n),,(t a n yxfyxf yx
(2) 高阶偏导数
xzxx zyxfyxf xxxx 2
2
),(),(
xzyyx zyxfyxf xyxy
2
),(),(
yzxxy zyxfyxf yxyx
2
),(),(
yzyy zyxfyxf yyyy 2
2
),(),(
5,全微分
).,(),( 0000 yxfyyxxfz全增量为
,dyyzdxxzdz全微分为
6,极限存在、连续、可偏导、可微分的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导二、微分法
1、全导数公式则设 ),(),(),,( xvxuvufz
dxdvvfdxduufvuffdxdz
21
2、偏导数公式则设 ),,(),,(),,( yxvyxuvufz
y
v
v
z
y
u
u
z
v
u
ff
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
v
u
ff
x
z
y
y
x
x
21
21
3、一阶全微分形式不变性则设 ),,(),,(),,( yxvyxuvufz
dvvfduufdz
4、隐函数的微分法
.,0;,0,0),( )1(
x
y
x
y
x
y
F
F
dy
dx
F
F
F
dx
dy
FyxF
时当时当设
.,
,0,0),,( )2(
z
y
z
x
z
F
F
y
z
F
F
x
z
FzyxF
时当设
(3) 方程组情形
0),,(
0),,( )1
zyxG
zyxF
确定了两个一元函数,
0),,,(
0),,,( )2
vuyxG
vuyxF
确定了两个二元函数,
),(
),(
),(
)3
vuzz
vuyy
vuxx
确定了一个以 u,v为中间变量
x,y为自变量的二元函数,
三、微分学的应用
1,几何上的应用的切线和法平面为参数空间曲线 )(
)(
)(
)(
)1( t
tz
ty
tx
)(),(),(,000 tttT切向量为
)()()(,0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
切线方程为
.0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
法平面方程为的切线和法平面空间曲线
0),,(
0),,()2(
zyxG
zyxF
切向量为,
},,1{
),,(),,( 000000 zyxzyx dx
dz
dx
dyT
},1,{
),,(),,( 000000 zyxzyx dy
dz
dy
dxT
}1,,{
),,(),,( 000000 zyxzyx dz
dy
dz
dxT
0),,()3( 的切平面与法线曲面?zyxF
),,( 000},,{,zyxzyx FFFn?
法向量为
0)()())(,,( 000000 zzFyyFxxzyxF zyx
切平面为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
法线为的切平面与法线曲面 ),()4( yxfz?
,0)()()(,000 zzyyfxxf yx切平面
.1),(),(,0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
法线
2,方向导数与梯度
,s i nc o s),()1( yx ffl yxf
,的转角轴到方向为其中 lx?
c o sc o sc o s),,( zfyfxfl zyxf
),(),()2( yfxfjyfixfyxg r a d f
),,(),,( zfyfxfkzfjyfixfzyxg r a d f
),co s (|),(|),()3( eg r a d fyxg r a d fl yxf
3,极值
(1) 无条件极值极值存在的必要条件
.0),(,0),(,
),(,),(),(
0000
0000
yxfyxf
yxyxyxfz
yx则极值取得且在具有偏导数在设极值存在的充分条件
,
,),(),( 0
偏导数且有一阶及二阶连续内连续在设?PUyxfz?
,0),(,0),( 0000 yxfyxf yx又
),,(),,(),,( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx令
,,0)1( 2 有极值时当则 BAC;0,0 时有极小值时有极大值 AA;,0)2( 2 没有极值时当 BAC
.,,0)3( 2 需另作讨论为可能极值时当 BAC
求函数 ),( yxfz? 极值的一般步骤,
第一步 解方程组,0),(?yxf x 0),(?yxf y
求出实数解，得驻点,
).,(),,(),,( yxfyxfyxf yyxyxx求第二步第三步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A,B,C,
第四步 定出 2BAC? 的符号，再判定是否是极值,
(2) 条件极值降元法（化为无条件极值）
升元法（ Lagrange乘数法）
,0),(),( 条件下的可能极值点在要找 yxyxfz?
),,(),(),,( yxyxfyxF先构造拉格朗日函数
0),(
0
0
yxF
fF
fF
yyy
xxx
令 解出 (x,y)即为可能极值点,
判断是否为极值点通常由实际问题来定,
,0),(,0),(),( 下的可能极值点在求 yxyxyxfu
).,(),(),(),,,( yxyxyxfyxF构造函数
(3) 最大最小值
1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值,
将函数 f (x,y) 在 D内的所有驻点处的函数值与在 D
的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值,
2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断,若问题存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为所求的最值点,
第二部分,题型小结一、二元函数的定义域，函数值，极限
1、求定义域与函数关系
,,)3ar c s in (),(,1 2
22
并作图的定义域求
yx
yxyxfex
Solution.
0
13
2
22
yx
yx
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD
).,(,),(,2 22 yxfyxyxyxfex 求设
Solution,))((),( yxyxyxyxf 2)( yxyx yx,)(
1
1
2
yx
y
x
y
x
.11),( 2xyyyxf
2、求二元函数极限常用的方法
(1)用定义 ; (2)利用极限性质计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法,对于未定型，不再有 L`Hospital
法则，须化成确定型,
).1co s1s i n(lim,3
0
0 x
y
y
xex
y
x
计算
Solution,xyyx 1c os1s i n0
xyyx
1c os1s in
yx )0,0( 0 yx
由夹逼准则得,.0)
1co s1s i n(lim
0
0
x
y
y
x
y
x
.)(lim,4 )(22 yx
y
x
eyxex
计算
Solution,)(22 )(0 yxeyx )(2)( yxeyx
t
t
tyx
yx
y
x
eteyx?
2)(2 lim)(lim
tt e
t 2li m
02l i m
tt e
t
.0)(lim )(22
yx
y
x
eyx
3,确定极限不存在的方法
.,
,),(),( 000
就可断定此极限不存在不同值函数趋于时以不同方式趋于当 yxPyxP
一般选择下列极限方式：
; )4(; )3(;0 )2(;0 )1(
2
kxy
kxy
y
x
).,(lim,
0 0
0
)(,5
0
0
22
22
22
yxf
yx
yx
yx
xy
x,yfex
y
x
计算设
Solution,),(lim),(lim
0
0
kxxfyxf
x
x
kxy?
222
2
0
li m xkx kx
x?
21 k
k
其值随着 k的不同而改变,
故所求极限不存在,
二、连续、可偏导、可微的讨论
,
)0,0(),( 0
)0,0(),(
1
s i n
),(.6 22
yx
yx
yx
xy
yxfex 设
)3(
)2?()1(,)0,0(
是否可微偏导数是否存在是否连续处在
Solution,xyyxxy 22
1s i n0)1(?
)0,0( 0 yx
),0,0(01s i nlim 22
)0,0(),(
f
yx
xy
yx
故函数连续,
x
fxff
xx?
)0,0()0,(lim)0,0()2(
0
,000lim
0
xx
.0)0,0(?yf同理 故偏导数存在,
yBxAf0 )3( 22
22
)()(
)()(
1
s i n
yx
yx
yx
2
)()( 22 yx )0,0( 0 yx
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0(?df
三、偏导数的计算
).1,(,a r c s in)1(),(,7 xfyxyxyxfex x求设
Solution.,)1,( xxf,1)1,( xf x
.,,,.8 zyxz
y
uuuxuex 求设?
Solution,?xu,
1?zy
xzy
yu yz
y
z
yxx )(ln,ln1 xx
z
z
y
zu zz
y
z
yxx )(ln,ln
2 xxz
y zy
.,,,.9 zuyuxuxuex zy 求设
Solution,yu?xx zy ln yzy )(? 1ln zy zyxx z
yu?xx zy ln zzy )(? yyxx zy z lnln
.,,)(),(.10 10 2 yFxFdxedssfyxFex xxyy 求设
Solution,yxyfxF )(
)()( yfxxyfyF
.,),,s i n(.11 xzfxyyefzex x 求可微设
Solution,
2
21
s i n
),(
x
y
ye
ff
x
z
x
.s i n 221 x yfyef x
.),()(1.12
2
yx
zyxyxyf
xzex
求设?
Solution,),()(1)(1 2 yxyyxyfxxyfxxz
)(1)(1)(1 2
2
xyfxxyxyfxxxyf
xyx
z
)()( yxyyx )( fy
.,
,),,(.13
2
zx
u
x
u
fxyzzyxfuex
求具有二阶连续偏导设
Solution, yzffxu
1,
21 21 fyzf
注意 ),,(11 x yzzyxff ),(22 x y zzyxff
zx
u
2
)( 222121211 xyffyzfyxyff
22221211 )( fyfzxyfzxyf
xyff
1,
1211 2fy
xyffyz
1,
2221
.,
,),(.14
2
zx
u
x
u
fxyzzyxfuex
求具有二阶连续导数设
Solution,)1( yzfxu
注意 )( x y zzyxff
yfyzxyf
zx
u
)1)(1(2
.,),(.15 22 yzyzyzxex 求可微其中设
法 1,),(),,( 22 yzyzxzyxF设
,)( 2 yzy zyF y
,212 zyyzF z,2?
z
y
z
F
F
y
z
z
y
法 2:,2 2y
zy
y
z
y
y
z
z
,
2?
z
y
z
y
z
法 1:
.,3.16
2
33
yx
zaxyzxex
求设
,3),,( 33 axy zxzyxF设
,33 2 yzxF x,xzF y,3 xyF z
,
2
x
z
y
x
xy
yzx
x
z
,
y
z
xy
xz
y
z
x
z
y
x
yyx
z2
y
z
xy
x
1
2
)(12 yzxyx,2
2
xy
xyz
法 2,两边对 x,y求偏导,并得到对 x,y的二阶混合偏导,
法 3,化成 z关于 x,y的显函数,再求偏导,
,
,0,),(.17
xyz
y
z
y
x
z
x
x
z
y
y
z
xFyxzzex
证明所确定由函数
x
zy
y
zxFzyx,),,(令
2
21
2
21
1
,F
x
z
F
x
zFF
x
21
2
2
21
1
,FF
y
z
y
z
FFy
Method1.
2121
11
1
1
,F
x
F
y
x
y
FFz
,
)(
)(
21
1
2
2
FyFxx
FxFzy
x
z
z
x
)(
)(
21
2
2
1
FyFxy
FyFzx
y
z
z
y
代入所证等式的左边即可得结论,
Method2,0, xzyyzxF?
等式两边对 x求偏导得：
0
1
1
1
,
2
21?
x
z
x
z
x
x
z
y
FF
0)1()11( 221
x
z
x
z
x
F
x
z
y
F即
x
z
0)11()1( 221 yzxFy zyzyF同理可得 yz
代入所证等式左边即可得结论成立,
.,,),,(.18 zyyxxzx yzzyxfzex 求设
solution.,),(),,( zxy zzyxfzyxF令
,21 yz ffF x则,21 xz ffF y,121 x y ffF z
z
x
F
F
x
z
121
21
x yff
yz ff ;
1 21
21
x yff
yz ff
x
y
F
F
y
x
;
21
21
yz ff
x z ff
y
z
F
F
z
y
21
21 1
x z ff
x yff
,1
21
21
x z ff
x yff
.,,)()(),(.19 yzxzdttPuuufzex xy 求设?
solution.,)()(),,( udttPuuyxF x
y设
),( xPF x? ),( yPF y,1uF
,1 )( xPxu,1 )( yPyu
,1 )( xPfxufxz
,1 )(?
yPf
y
uf
y
z
.,,,,
1
0
.20
y
v
x
v
y
u
x
u
xvyu
yvxu
ex
求设
Solution.
方程组两边对 x求导得
0
0
x
v
xv
x
u
y
x
v
y
x
u
xu
,22
yx
yvxu
x
u
从而
22 yx
xvyu
x
v
.,
y
v
y
uy
求导可得同理方程组两边对
vu
xu
dx
dv
,
x
xu
xudxddx ud 2
2
2x
ux
dx
du
,2
2
u?
.,,,
1
0
.21
2
2
222 dx
ud
dx
dv
dx
du
vux
vux
ex 求设
Solution.?
0222
01
dx
dv
v
dx
du
ux
dx
dv
dx
du
vu
xv
dx
du
,
x
u
.,0,0
,),,(.22
dx
du
xyeze
zyxfuex
zxy 求且有连续偏导数设
Solution,求导可得两边对由 x
xye
ze
zyxfu
z
xy
0
0
),,(
dx
dz
f
dx
dy
f
dx
du
321
0)( dxdzdxdyxye xy
0)( dxdyxydxdze z
dxdu
四、全微分的计算
.),,(.23 dzxyyxfzex 求设
Solution,),( xyyxdfdz
)()( 21 xydfyxdf
)()( 21 ydxxdyfdydxf
dyfxfdxfyf )()( 2121
五、微分学的应用题
,
)32,2()2,1()2,1(.24 22
的方向的方向导数到处沿从在点求 yxzex
Solution.,2|2)2,1( 1xx xz? 4|2)2,1( 2yy yz
}3,1{?l方向
,2131 1c o s 2 331 3s i n
.321s i n)2,1(co s)2,1( yx zzlz
处的切线在求曲线 )1,2,1(
0
6.25 222?
zyx
zyxex
Solution.
01
0222
zy
zzyyx?
代入得将 )1,2,1(
01
021
zy
zy
1,0 zy从而 },0,1{ T?
,
1
1
0
2
1
1
zyx切线方程为
.0 zx法平面方程为及法平面方程,
ex 26,求曲面 32 xyez z 在点 )0,2,1( 处的切平面及法线方程,
Solution.,32),,( xyezzyxF z令
,42 )0,2,1()0,2,1( yF x,22 )0,2,1()0,2,1( xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF
切平面方程法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 zyx
,042 yx
.0 01 22 1 zyx
),0,2,4( n?
ex 27,求曲面 2132 222 zyx 上平行于平面
064 zyx 的切平面方程,
Solution.,),,( 000 为曲面上的切点设 zyx
依题意，切平面平行于已知平面，得
,664412 000 zyx ( * * ) 2 000 zyx
( *) 2132 202020 zyx则
}6,4,2{ 000 zyxn又切平面的法向量为
,1 ( * ) ( * * ) 0x解得由,200 zy
所求切点为 ),2,2,1( ),2,2,1(
0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
0)2(12)2(8)1(2 zyx
.2164 zyx
切平面方程①
切平面方程②
.1323),(.28 2233 的极值求 xyyxyxfex
Solution,1,0 2,0 yy xx
)1,2(),0,2(),1,0(),0,0( 驻点有
,0 xyfB 36 yfC yy
,3,0,06)0,0()3( CBA处在
,3,0,06)1,0( CBA处在得由
033
063
)1(
2
2
yyf
xxf
y
x
,66)2( xfA xx;,0182 有极大值 BAC;,0182 无极值 BAC
,3,0,06)0,2( CBA处在
,23)1,0( f极大值为
.3)0,2(f极小值为
,3,0,06)1,2( CBA处在;,0182 有极小值 BAC
.0182 无极值 BAC
ex29,三个正数的倒数和为 1，求使三个正数和为最小的三个正数,
Solution,0,0,0,,, zyxzyx 则设三个正数为
1111 zyx且条件下的最小值在问题即为求 1111 zyxzyxu
)1111(),,,( zyxzyxzyxF设
)1111(),,,( zyxzyxzyxF设
令
1222 zyx
.3 为所求由题意 zyx
222 zyx
zyx
3 zyx
01 2 xF x?
01 2 yF y?
01 2 zF z?
01111 zyxF?
,)3,3,3( 为唯一驻点,又实际问题存在最小值
ex 30,在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,
Solution.设 ),,( zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
czbyaxzyxF,
则 22|
a
xF
Px,2
2|
b
yF
Py,2
2|
c
zF
Pz
过 ),,( zyxP 的切平面方程为
)(2 xXa x )(2 yYb y 0)(2 zZc z,
化简为 1222 Zc zYb yXa x,
该切平面在三个轴上的截距各为
xaX
2
,ybY
2
,
z
cZ 2?,
所围四面体的体积
xy z
cbaX Y ZV
66
1 222,
在条件 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln zyxu x yzux yzu 或令,1
构造 ),,,(?zyxG zyx lnlnln )1( 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x?,
01
0
21
0
21
0
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
G
c
z
z
G
b
y
y
G
a
x
x
G
z
y
x
令
,2
22
ax
,2
22
by
,2
22
cz
.23
3
3
3
c
z
b
y
a
x
,)3,3,3( 时当切点坐标为 zba
四面体体积最小,
.2 3m i n abcV?且
The end
