Chapter 1(2)
偏导数与全微分教学要求：
1,理解偏导数的概念,并掌握各阶偏导数的求法 ;
3,了解全微分存在的必要条件和充分条件,
2,理解全微分的概念 ;
,导数的定义与计算偏一
,系函数连续与偏导数的关二
,高阶偏导数三
,全微分四
,导数的定义与计算偏一
1,偏导数的定义
),,( ),,( 000 yxPyxfz?设
),,(),(,00000 yxxPyxPxx 即由以增量给
);,(),( 0000 yxfyxxfzx则得
),,(),(,00000 yyxPyxPyy 即由以增量给
);,(),( 0000 yxfyyxfzy则得定义,
,),(),(
,
),(),(
limlim
00
0000
00
的偏导数处对在则称此极限值为存在若
xyxyxfz
x
yxfyxxf
x
z
x
x
x
),(,),,(,,,0000
0
0
0
0
0
0
0
0
yxfzyxfz
x
f
x
z
xyy xxxxyy xxx
yy
xx
yy
xx
记为注意,
),(),( )1( 00 的偏导数为处对在 yyxyxfz?
),(),(li mli m 0000
00 y
yxfyyxf
y
z
y
y
y?
),(,),,(,,,0000
0
0
0
0
0
0
0
0
yxfzyxfz
y
f
y
z
y
yy
xxyy
yy
xxy
yy
xx
yy
xx
记为
),,(),,( )2( 000 处的偏导数为在 zyxzyxfu?
),,(),,(l i m),,( 000000
0000 x
zyxfzyxxfzyxf
xx?
),,(),,(lim 000000
0
0
0
0 y
zyxfzyyxf
y
u
y
zz
yy
xx?
),,(),,(li m 000000
0
0
0
0
z
zyxfzzyxfu
zzz yy
xx
z?
记为函数则称这个偏导数为偏导内每一点的偏导数存在在若
,
,),( )3( Dyxfz?
),(,,,);,(,,,yxfzyfyzyxfzxfxz yyxx
.),(
),(),(
00
00
的函数值偏导函数在处的偏导数就是在
yx
yxyxfz
则令,,)4( 00 yyyxxx
),(),(l i m),(
0
00000
0 xx
yxfyxfyxf
xxx?
),(),(l i m),(
0
00000
0 yy
yxfyxfyxf
yyy?
2,偏导数的计算;,求导看作常数而对把时求 xyxf
,,求导看作常数而对把时求 yxyf
e x 1,求 22 3 yxyxz 在点 )2,1( 处的偏导数,
Method1,xz ;32 yx
y
z,23 yx?
2
1
y
xx
z,82312
2
1
y
xy
z,72213
Method2.,46)2,( 2 xxxz?,31),1( 2yyyz
2
1
y
xx
z
,8)62( 1xx
2
1
y
xy
z
.7)23( 2yy
).1,(,a r c s in)1(),(,2 xfyxyxyxfex x求设
Solution.,)1,( xxf,1)1,( xf x
.,,,.3 zyxz
y
uuuxuex 求设?
Solution,?xu,
1?zy
xzy
yu yz
y
z
yxx )(ln,ln1 xx
z
z
y
zu zz
y
z
yxx )(ln,ln
2 xxz
y zy
ex 4,已知理想气体的状态 方程 RTpV?
（ R 为常数），求证,1
p
T
T
V
V
p
,
Proof, VRTp ;2VRTVp
pRTV ;pRTV RpVT ;RVpT
pTTVVp 2VRT? pR? RV?,1pVRT
( 1 ) 偏导数 xu 是一个整体记号，不能拆分 ;
).0,0(),0,0(,),(,yx ffxyyxfz 求设例如
注意,
(2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求,
Solution.
x
xf
xx
0|0|lim)0,0(
0
0? ).0,0(yf?
3,偏导数的几何意义
,),(),( 0000 处的导数在是 xyxfzyxf x?
.),(),( 00 的交线与是而 yyyxfzyxfz
.
),(
0
0
0
00
轴的斜率对处的切线在点的曲线所截得就是曲面被平面故偏导数
xTM
M
yy
yxf
x
x
.
),(,
00
000
轴的斜率对处的切线的曲线在点所截得就是曲面被平面偏导数同理
yTMM
xxyxf
y
y?
,系函数连续与偏导数的关二例如,函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( yx ff,
但函数在该点处并不连续,偏导数存在 连续,
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，
.),(),(,),( 0000 连续在关于则存在若 yxxyxfzyxf x?
,高阶偏导数三对偏导数继续求偏导,可得高阶偏导数,
xzxyxfyxfx z xxxx ),(),(2
2
xzyyxfyxfyx z xyxy ),(),(
2
yzxyxfyxfxy z yxyx ),(),(
2
yzyyxfyxfy z yyyy ),(),(2
2
混合偏导
纯偏导定义,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,
ex 5,设 13
323
xyxyyxz,
求
2
2
x
z
、
xy
z
2
、
yx
z
2
、
2
2
y
z
及
3
3
x
z
,
Solution.
x
z
,33
322 yyyx y
z
;92 23 xxyyx
2
2
x
z
,6
2xy?
xy
z
2
,196 22 yyx
yx
z
2;196 22 yyx
2
2
y
z
;182 3 xyx
3
3
x
z
.6 2y?
定理 如果函数 ),( yxfz? 的两个二阶混合偏
xy
z
2
及
yx
z
2
在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,
混合偏导在连续条件下与求导次序无关 !
.),ln()s in(),,(,6 zy xx y z ffxyzyzxzyxfex 求证设
Proof,xyyzyzf x )s i n ( xzyz )s in (
)c os ( yzzf xy?
)s i n()c o s ( yzyzyzf x yz
)l n ()c o s ( xyyzxyf z
yyzx yzyzxf zy
1)s i n ()cos (
)s i n()c o s ( yzyzyzf z yx
.z y xx y z ff
,全微分四
);,(),(,0000 yxfyxxfzx x 时有
);,(),(,0000 yxfyyxfzy y 时有
).,(),(,,0000 yxfyyxxfzyx 时有偏增量
全增量
),(),( yxfyxxf xyxf x ),(
),(),( yxfyyxf yyxf y ),(
二元函数对 x 和对 y 的 偏微分二元函数对 x 和对 y 的 偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得
1,全微分的定义如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为
)(?oyBxAz,其中 BA,不依赖于
yx,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx,
则称函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA 称为函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分,记为 dz,即 dz = yBxA,
验证函数可微,须考察两个方面,;,)1( 的线性函数是 yxdz
).0(,0 )2( yBxAz
2,连续与可微的关系定理,如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分,则函数在该点连续,
Proof,),(?oyBxAz
,0lim 0 z?
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
]),([lim 0 zyxf
),( yxf?
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处连续,
3,可微的必要条件定理,
,
,,,),(),(
y
y
z
x
x
z
dz
y
z
x
z
yxyxfz
且存在则可微在若
Proof,),(?oyBxAz,,成立对任意 yx
),(),(,0 yxfyyxfx 有时当 |),(| yoyB
By yoBy yxfyyxf
yy
])([lim),(),(lim
00
,Byz即,Axz同理,yyzxxzdz
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
.)0,0(
00
0
),(,7
22
22
22
处的可微性在讨论
yx
yx
yx
xy
yxfex
Solution,x fxff
xx
)0,0()0,(lim)0,0(
0
,0?
.0)0,0(),0(l i m)0,0(
0
y
fyff
yy
yBxAz
22 )()( yx
yx
22 )()( yx
yx
2
0
)(2 x
xxxy
,0
2
1
.)0,0(),( 处不可微在yxf?
可微可偏导?
4,可微的充分条件定理,
如果函数 ),( yxfz? 的偏导数
x
z
、
y
z
在点 ),( yx
连续，则该函数在点 ),( yx 可微分,
Proof,),(),( yxfyyxxfz
)],(),([ yyxfyyxxf
)],,(),([ yxfyyxf
xyyxxf x ),( 1?中值定理 yyyxf y ),( 2?
)1,0( 21
xyxf x ]),([ 1?偏导连续 yyxf y ]),([ 2?
)0,0,( 21 时的无穷小为 yx
yxyyxfxyxf yx 21),(),(
21
21
yx?
,00
)(21 oyx即故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微,
5,全微分的记号与计算习惯上，记全微分为,dyyzdxxzdz
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
).1,1,1(,),,(.8 dfyxzyxfex z 求设?
Solution.,)1,1,( xxf
,1)1,,1( yyf?,1),1,1(?zf
,1)1,1,1( xf
,11)1,1,1(
1
2
y
y yf,0)1,1,1(?zf
.)1,1,1( dydxdf
.,),,(.9 dfyxzzyxfex 求设
Solution.,2 xyzxf
,2 yy xzyf
,yxzf
.22 dzyxdyyy xzdxxyzdf
,
)0,0(),( 0
)0,0(),(
1
s i n
),(.10 22
yx
yx
yx
xy
yxfex 设
)4?()3(
)2?()1(,)0,0(
是否可微偏导数是否连续偏导数是否存在是否连续处在
Solution,xyyxxy 22
1s i n0)1(?
)0,0( 0 yx
),0,0(01s i nlim 22
)0,0(),(
f
yx
xy
yx
故函数连续,
x
fxff
xx?
)0,0()0,(lim)0,0()2(
0
,000lim
0
xx
.0)0,0(?yf同理
,)0,0(),( 时当?yx
),( yxf x,1c os)(1s i n 22322
2
22 yxyx
yx
yxy
( 3 ) 当点 ),( yxP 沿直线 xy? 趋于 )0,0( 时,
),(l i m
0
yxf x
x
xy
,||2
1c os
||22||2
1s i nlim
3
3
0
xx
x
xxx
不存在,
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
yBxAf0 )4( 22
22
)()(
)()(
1
s i n
yx
yx
yx
2
)()( 22 yx )0,0( 0 yx
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0(?df
多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导
The end
偏导数与全微分教学要求：
1,理解偏导数的概念,并掌握各阶偏导数的求法 ;
3,了解全微分存在的必要条件和充分条件,
2,理解全微分的概念 ;
,导数的定义与计算偏一
,系函数连续与偏导数的关二
,高阶偏导数三
,全微分四
,导数的定义与计算偏一
1,偏导数的定义
),,( ),,( 000 yxPyxfz?设
),,(),(,00000 yxxPyxPxx 即由以增量给
);,(),( 0000 yxfyxxfzx则得
),,(),(,00000 yyxPyxPyy 即由以增量给
);,(),( 0000 yxfyyxfzy则得定义,
,),(),(
,
),(),(
limlim
00
0000
00
的偏导数处对在则称此极限值为存在若
xyxyxfz
x
yxfyxxf
x
z
x
x
x
),(,),,(,,,0000
0
0
0
0
0
0
0
0
yxfzyxfz
x
f
x
z
xyy xxxxyy xxx
yy
xx
yy
xx
记为注意,
),(),( )1( 00 的偏导数为处对在 yyxyxfz?
),(),(li mli m 0000
00 y
yxfyyxf
y
z
y
y
y?
),(,),,(,,,0000
0
0
0
0
0
0
0
0
yxfzyxfz
y
f
y
z
y
yy
xxyy
yy
xxy
yy
xx
yy
xx
记为
),,(),,( )2( 000 处的偏导数为在 zyxzyxfu?
),,(),,(l i m),,( 000000
0000 x
zyxfzyxxfzyxf
xx?
),,(),,(lim 000000
0
0
0
0 y
zyxfzyyxf
y
u
y
zz
yy
xx?
),,(),,(li m 000000
0
0
0
0
z
zyxfzzyxfu
zzz yy
xx
z?
记为函数则称这个偏导数为偏导内每一点的偏导数存在在若
,
,),( )3( Dyxfz?
),(,,,);,(,,,yxfzyfyzyxfzxfxz yyxx
.),(
),(),(
00
00
的函数值偏导函数在处的偏导数就是在
yx
yxyxfz
则令,,)4( 00 yyyxxx
),(),(l i m),(
0
00000
0 xx
yxfyxfyxf
xxx?
),(),(l i m),(
0
00000
0 yy
yxfyxfyxf
yyy?
2,偏导数的计算;,求导看作常数而对把时求 xyxf
,,求导看作常数而对把时求 yxyf
e x 1,求 22 3 yxyxz 在点 )2,1( 处的偏导数,
Method1,xz ;32 yx
y
z,23 yx?
2
1
y
xx
z,82312
2
1
y
xy
z,72213
Method2.,46)2,( 2 xxxz?,31),1( 2yyyz
2
1
y
xx
z
,8)62( 1xx
2
1
y
xy
z
.7)23( 2yy
).1,(,a r c s in)1(),(,2 xfyxyxyxfex x求设
Solution.,)1,( xxf,1)1,( xf x
.,,,.3 zyxz
y
uuuxuex 求设?
Solution,?xu,
1?zy
xzy
yu yz
y
z
yxx )(ln,ln1 xx
z
z
y
zu zz
y
z
yxx )(ln,ln
2 xxz
y zy
ex 4,已知理想气体的状态 方程 RTpV?
（ R 为常数），求证,1
p
T
T
V
V
p
,
Proof, VRTp ;2VRTVp
pRTV ;pRTV RpVT ;RVpT
pTTVVp 2VRT? pR? RV?,1pVRT
( 1 ) 偏导数 xu 是一个整体记号，不能拆分 ;
).0,0(),0,0(,),(,yx ffxyyxfz 求设例如
注意,
(2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求,
Solution.
x
xf
xx
0|0|lim)0,0(
0
0? ).0,0(yf?
3,偏导数的几何意义
,),(),( 0000 处的导数在是 xyxfzyxf x?
.),(),( 00 的交线与是而 yyyxfzyxfz
.
),(
0
0
0
00
轴的斜率对处的切线在点的曲线所截得就是曲面被平面故偏导数
xTM
M
yy
yxf
x
x
.
),(,
00
000
轴的斜率对处的切线的曲线在点所截得就是曲面被平面偏导数同理
yTMM
xxyxf
y
y?
,系函数连续与偏导数的关二例如,函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( yx ff,
但函数在该点处并不连续,偏导数存在 连续,
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，
.),(),(,),( 0000 连续在关于则存在若 yxxyxfzyxf x?
,高阶偏导数三对偏导数继续求偏导,可得高阶偏导数,
xzxyxfyxfx z xxxx ),(),(2
2
xzyyxfyxfyx z xyxy ),(),(
2
yzxyxfyxfxy z yxyx ),(),(
2
yzyyxfyxfy z yyyy ),(),(2
2
混合偏导
纯偏导定义,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,
ex 5,设 13
323
xyxyyxz,
求
2
2
x
z
、
xy
z
2
、
yx
z
2
、
2
2
y
z
及
3
3
x
z
,
Solution.
x
z
,33
322 yyyx y
z
;92 23 xxyyx
2
2
x
z
,6
2xy?
xy
z
2
,196 22 yyx
yx
z
2;196 22 yyx
2
2
y
z
;182 3 xyx
3
3
x
z
.6 2y?
定理 如果函数 ),( yxfz? 的两个二阶混合偏
xy
z
2
及
yx
z
2
在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,
混合偏导在连续条件下与求导次序无关 !
.),ln()s in(),,(,6 zy xx y z ffxyzyzxzyxfex 求证设
Proof,xyyzyzf x )s i n ( xzyz )s in (
)c os ( yzzf xy?
)s i n()c o s ( yzyzyzf x yz
)l n ()c o s ( xyyzxyf z
yyzx yzyzxf zy
1)s i n ()cos (
)s i n()c o s ( yzyzyzf z yx
.z y xx y z ff
,全微分四
);,(),(,0000 yxfyxxfzx x 时有
);,(),(,0000 yxfyyxfzy y 时有
).,(),(,,0000 yxfyyxxfzyx 时有偏增量
全增量
),(),( yxfyxxf xyxf x ),(
),(),( yxfyyxf yyxf y ),(
二元函数对 x 和对 y 的 偏微分二元函数对 x 和对 y 的 偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得
1,全微分的定义如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为
)(?oyBxAz,其中 BA,不依赖于
yx,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx,
则称函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA 称为函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 的全微分,记为 dz,即 dz = yBxA,
验证函数可微,须考察两个方面,;,)1( 的线性函数是 yxdz
).0(,0 )2( yBxAz
2,连续与可微的关系定理,如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 可微分,则函数在该点连续,
Proof,),(?oyBxAz
,0lim 0 z?
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
]),([lim 0 zyxf
),( yxf?
故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处连续,
3,可微的必要条件定理,
,
,,,),(),(
y
y
z
x
x
z
dz
y
z
x
z
yxyxfz
且存在则可微在若
Proof,),(?oyBxAz,,成立对任意 yx
),(),(,0 yxfyyxfx 有时当 |),(| yoyB
By yoBy yxfyyxf
yy
])([lim),(),(lim
00
,Byz即,Axz同理,yyzxxzdz
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
.)0,0(
00
0
),(,7
22
22
22
处的可微性在讨论
yx
yx
yx
xy
yxfex
Solution,x fxff
xx
)0,0()0,(lim)0,0(
0
,0?
.0)0,0(),0(l i m)0,0(
0
y
fyff
yy
yBxAz
22 )()( yx
yx
22 )()( yx
yx
2
0
)(2 x
xxxy
,0
2
1
.)0,0(),( 处不可微在yxf?
可微可偏导?
4,可微的充分条件定理,
如果函数 ),( yxfz? 的偏导数
x
z
、
y
z
在点 ),( yx
连续，则该函数在点 ),( yx 可微分,
Proof,),(),( yxfyyxxfz
)],(),([ yyxfyyxxf
)],,(),([ yxfyyxf
xyyxxf x ),( 1?中值定理 yyyxf y ),( 2?
)1,0( 21
xyxf x ]),([ 1?偏导连续 yyxf y ]),([ 2?
)0,0,( 21 时的无穷小为 yx
yxyyxfxyxf yx 21),(),(
21
21
yx?
,00
)(21 oyx即故函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微,
5,全微分的记号与计算习惯上，记全微分为,dyyzdxxzdz
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
).1,1,1(,),,(.8 dfyxzyxfex z 求设?
Solution.,)1,1,( xxf
,1)1,,1( yyf?,1),1,1(?zf
,1)1,1,1( xf
,11)1,1,1(
1
2
y
y yf,0)1,1,1(?zf
.)1,1,1( dydxdf
.,),,(.9 dfyxzzyxfex 求设
Solution.,2 xyzxf
,2 yy xzyf
,yxzf
.22 dzyxdyyy xzdxxyzdf
,
)0,0(),( 0
)0,0(),(
1
s i n
),(.10 22
yx
yx
yx
xy
yxfex 设
)4?()3(
)2?()1(,)0,0(
是否可微偏导数是否连续偏导数是否存在是否连续处在
Solution,xyyxxy 22
1s i n0)1(?
)0,0( 0 yx
),0,0(01s i nlim 22
)0,0(),(
f
yx
xy
yx
故函数连续,
x
fxff
xx?
)0,0()0,(lim)0,0()2(
0
,000lim
0
xx
.0)0,0(?yf同理
,)0,0(),( 时当?yx
),( yxf x,1c os)(1s i n 22322
2
22 yxyx
yx
yxy
( 3 ) 当点 ),( yxP 沿直线 xy? 趋于 )0,0( 时,
),(l i m
0
yxf x
x
xy
,||2
1c os
||22||2
1s i nlim
3
3
0
xx
x
xxx
不存在,
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
yBxAf0 )4( 22
22
)()(
)()(
1
s i n
yx
yx
yx
2
)()( 22 yx )0,0( 0 yx
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0(?df
多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导
The end
