Chapter 1(4)
复合函数微分法教学要求：
1,掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法,
,导数一阶偏一
,高阶偏导数二
,一阶全微分形式不变性三
,导数一阶偏一定理,
且可偏导在则有连续偏导在相应点可偏导在点若
,),()],(),,([
),(),(( 2 );),(),(),,()1(
yxyxvyxufz
vuvufz
yxyxvvyxuu





y
y
x
x
v
u
ff
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
v
u
ff
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
21
21
注意,,,),()1( 定理失效仅有偏导vufz?
.,),()2( 可减弱到可微有连续偏导vufz?
(3) 利用公式计算复合函数的偏导数时，首先要搞清楚函数的复合过程,哪个是自变量,哪个是中间变量，通常用树枝图表示,
z
u
v
x
y
x
y
(4) 对自变量求偏导数时，先要经过一切有关的中间变量,最后归结到自变量,
其它情形讨论如下：
),(),,(),,(),,,()1( yxwyxvyxuwvufz
z
u
v
w
x
yx
y
x
y
x
w
w
f
x
v
v
f
x
u
u
f
x
z






y
w
w
f
y
v
v
f
y
u
u
f
y
z







x
w
x
v
x
u
w
f
v
f
u
f

y
w
y
v
y
u
w
f
v
f
u
f
),(),,,()2( yxuyxufz
z
u
x
y
x
y
,xfxuufxz,yfyuufyz
把复合函数 ],),,([ yxyxfz 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数把 ),,( yxufz?
中的 u 及 y 看作不变而对 x 的偏导数两者的区别区别类似

0
1
x
u
y
f
x
ff
),(),()3( yxuufz
z u xy xududfxz yududfyz
z uv xx dxdvvfdxduufdxdz
)(),(),,()4( xvxuvufz
)(),(),(),,,()5( twtvtuwvufz
z
u
v
w
t
t
t dt
dw
w
f
dt
dv
v
f
dt
du
u
f
dt
dz?



z
u
v
t
t
t tfdtdvvfdtduufdtdz
注意,当函数复合后,最终的自变量只有一个时求全导,
其它情况都得求偏导。
为了记法上方便，常用以下记号：
)(),,()6( xuxufz
z
u
x
x
x
f
dx
du
u
f
dx
dz


)(),(),,,()7( tvtutvufz
,),( 11 ffu vuf ),( 2121
2
ffuv vuf
.),(),,(),,,(.1 dxduxyyxfzzyxFuex 求设
Solution.
u
x
y
z xy
x
x






dx
dy
y
f
x
f
z
F
dx
dy
y
F
x
F
dx
du
231321 fFfFFF
.,,,,.2 22 yzxzxyvyxuuzex v 求设
Solution.
z
u
v
x
yx
y
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z




yuuxvu vv ln21
)]ln ()(2[)( 22222122 yxyxyyxyx xy
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z




xuuyvu vv ln21
)]ln()(2[)( 22222122 yxyxxxyyx xy
.,,s i n,),,(.3 2222 yuxuyxzezyxfuex zyx 求设
Solution.
u
x
y
z
x
y
x
z
z
f
x
f
x
u



2222 zyxxe
y
z
z
f
y
f
y
u



2222 zyxye
yxze zyx s in22 222
yxze zyx c o s2 2222
.,,
)(
.4
y
z
x
z
x
y
f
y
zex
求设
Method1.
z
y
u xy
),()(,uyFuf yzxyu
令则令



x
u
u
F
y
F
x
z 0,
x
u
u
F

)(
)(
)(
22 x
y
uf
ufy





y
u
u
F
y
F
y
z 1,
y
u
u
F
y
F



xuf
uf
y
uf
1
)(
)(
)(
1
2



x
x
y
f
x
y
f
y
x
y
f
1
)(
)(
)(
1
2

xf
f
y
f
11
2



或
Method2.
:
)(
求偏导得直接对
x
yf
yz?
)(
)()(0
2
2
x
y
f
x
y
x
y
fy
x
z

2
2
2
f
f
x
y?
22
2
fx
fy
)(
)
1
()()(
2
x
y
f
xx
y
fy
x
y
f
y
z

2f
f
x
yf
2xf
fyxf
,高阶偏导数二
.),(
)],(),,([
,),(),(
,),(),(),,(
有二阶连续偏导在则复合函数有二阶连续偏导在有二阶连续偏导在设
yx
yxyxfz
vuvufz
yxyxvyxu



求导过程须注意,
vzuz,
u
v
x
y
x
y

y
v
x
v
y
u
x
u,,,x
y
.,
,),,(.5
2
zx
u
x
u
fxyzzyxfuex


求具有二阶连续偏导设
Solution, yzffxu
1,
21 21 fyzf
注意 ),,(11 x yzzyxff ),(22 x y zzyxff
zx
u

2
)( 222121211 xyffyzfyxyff
22221211 )( fyfzxyfzxyf



xyff
1,
1211 2fy


xyffyz
1,
2221
.,
,),(.6
2
zx
u
x
u
fxyzzyxfuex


求具有二阶连续导数设
Solution,)1( yzfxu
注意 )( x y zzyxff
yfyzxyf
zx
u

)1)(1(2
.:
,),(.7
2
2
2
2
转化为极坐标形式表达式将下列有二阶连续偏导数设
y
u
x
u
yxfuex
Solution.,a r ct g,22 xyyxr
),(),(),( 22 yxfxyar c t gyxuruu
记为

x
u
x
r
r
u
x
u







r
y
r
u
r
x
2
r
u
r
u?

s i nco s?


x
r
r
u
r
u
rx
u







s i nc os
2
2
xr
u
r
u






s i nco s
c oss i ns i nc os 2
2
2
2







r
u
rr
u
r
u








rr
u
r
u
r
u
r
u
s i nc oss i ns i nc os 2
22
2
22
2
2
2
22
2
2 2s ins in2s ins in
c o s rurr urrurur u
y
u
y
r
r
u
y
u





同理

u
r
x
r
u
r
y
2
r
u
r
u?

co ss i n



2
2
y
u
求得
2
2
22
2
2
2
2
2 11





u
rr
u
rr
u
y
u
x
u
,一阶全微分形式不变性三设函数 ),( vufz? 具有连续偏导数，则有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
;
)],(),,([,
),,(),,(,,,
的全微分为则有连续偏导且即的函数是又若
yxyxfz
yxvyxuyxvu



dyyzdxxzdz
dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz?







dy
y
udx
x
u
u
z?


dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz,dvvz
都有是自变量还是中间变量无论,,vu
dvvzduuzdz
这就是一阶全微分形式不变性,
.),,(.8 dzxyyxfzex 求设
Solution,),( xyyxdfdz
)()( 21 xydfyxdf
)()( 21 ydxxdyfdydxf
dyfxfdxfyf )()( 2121
.),()(1,)(.9
2
yx
zyxyfxyf
xztfex
求连续设
Method1.
dyyxfyxydfxdxyfxydfxdz )()(1)()(1
dyyxf
yxdyxfydxxyf
x
xyd
x
xyf
)(
)()()(
1
)(
)(
2


首先给出求一阶偏导的几种方法,
直接求微分，得
dyyxfyxfyxyf
dxyxfy
x
xyf
xyf
x
y
)()()(
)(
)(
)(
2




)()()( 2 yxfyx xyfxyfxyxz
Method2,)()(1 yxyfxyfxz
)()(1)(1 2 yxfyyxyfxxyfxxz
Method3,yxvxyu,设
)()(1 vyfufxz则 ),,,( vuyxF令
4314321
1
0
1
,,,FFyF
y
FFFF
x
z


)()(1)(1 2 vfyufxyufx
)()()(1 2 yxfyxyfxyxyfx
)()()(
2
yxfyxfyxyfyyx z
ex 1 0,已知 02 zxy eze,求 xz 和 yz,
Solution.,0)2( zxy ezed?
,02)( dzedzxyde zxy
)()2( y d xxdyedze xyz
dyexedxeyedz z
xy
z
xy
22

x
z
,
2
z
xy
e
ye
y
z
,
2
z
xy
e
xe
The end