工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 26)
（下册）
附录 II 平面图形的几何性质
1,静矩（一次矩）与形心任意平面图形 A （例如杆的横截面）
建立 yz 坐标系（ x轴为杆的轴线）
O
C(yc,zc)
y
z
平面图形的形心 C(yc,zc)
定义 图形对 y 轴的 静矩
A
y z dAS
(II.1)
图形对 z 轴的 静矩
A
z y dAS
(II.2)静矩的单位,m3,cm3,mm3
A
dA
静矩与形心
O
C(yc,zc)
y
z
A
A
S
A
y d A
y zAC
A
S
A
z d A
z yAC
，
（ II.3）静矩的性质
（ 1）静矩与轴有关，可正可负可为零。
（ 2）若 yC,zC坐标轴过形心，则有
0?CyS 0?CzS
yC
zC
（ 3）组合图形静矩可分块计算求代数和
A2
c2
A1 c1
221121 CCzzz yAyASSS
（ 4）求形心
A
yAyA
A
Sy CCz
C 2211
A
zAzA
A
Sz CCy
C
2211
2.惯性矩（二次矩）
定义 图形对 y,z 轴的 轴惯性矩
A
y dAzI
2
(II.4)
A
z dAyI
2
(II.5)
图形对原点的 极惯性矩
yz
AA
p IIdAzydAI )(
222? (II.6)
惯性矩的单位,m4,cm4,mm4
O
C(yc,zc)
y
z
A
dA
O
y
z
A
惯性矩的性质：
（ 1）惯性矩与轴有关，恒为正。
（ 2）组合图形惯性矩可分块计算求代数和。
A2
c2
A1 c1
z
y
(3)定义 惯性半径 iz,iy
A
Ii z
z? A
Ii y
y?
(II.7)
A
iz
iy
例 题 II-1 § II 平面图形的几何性质
例题求矩形截面对 z轴的惯性矩
zh
b
解：
123
)
2
()
2
( 3
33
2
2
222
bh
hh
b
dyybb d yydAyI
h
hAA
z
dA
dy
常见图形的惯性矩：
矩形：
h
b
y
z
圆形：
y
z
d
12
3bh
I z?
12
3hb
I y?
64
4d
II yz
32
4d
I p
z
空心圆形：
y
d
D
)1(
64
64
4
4
44
D
dD
II zy
)1(32 44 DI p
Dd
3.惯性积定义
A
yz y z dAI
(II.8)
惯性积的性质：
（ 1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。
（ 2）若 y,z 轴有一为图形的对称轴，则 Iyz = 0。
O
C(yc,zc)
y
z
A
dA
4.平行移轴公式若两组坐标轴分别平行，且其中一组为形心轴，则O C(a,b)
y
z
A
yC
zC
a
b
2AaII
Cyy
2AbII
Czz
A a bII CC zyyz
(II.9)
(II.11)
(II.10)
A 为图形的面积,a,b 为形心 C 在 yz 坐标系中的坐标平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩例 题 II-2 § II 平面图形的几何性质
例题求 T形截面对其形心轴的惯性矩。
解：
建立过形心的 zCyC坐标系，及平行于
zC轴的 z轴
24
6)(5
)
4
(
12
)
4
(
12
)
2
()
2
(
22
2
3
2
3
2
2
2
1 21
HhhH
Hh
Hh
Hh
hHHh
Hh
Hh
y
H
hHhI
h
yHhII CzCzz
CCC
C zC
yC
z
(1)求形心的位置h
h
H
H
A1
A2
4
3
2
)
2
(
2
21
2211 Hh
Hh
H
hHh
h
Hh
AA
yAyA
y CCC
yC
(2)求惯性矩
C1
C2
5,转轴公式
O y
z
A
y’z’ 设 y,z为任一对坐标轴，将其绕 O点逆时针旋转 角，
得到新坐标轴 y’,z’，则有：
zyzy
yz
zyzy
z
yz
zyzy
y
IIII
I
IIII
I
I
IIII
I
2s i n2c o s
22
2s i n2c o s
22
2c o s2s in2 yzzyzy IIII
6,主惯性轴,主惯性矩
（ 1）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。
（ 2）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。
注意：图形对过某点的所有轴的惯性矩中，两个主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。
（ 3）形心主惯性轴：通过形心 C的主惯性轴。
注意：对称轴一定是形心主惯性轴。
（ 4）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。
比较：应力的主方向，主应力求图示截面对 z轴的惯性矩 。
R
z)1(
R
)2( z
a
a
z)3(
864
)2(
2
1 44 RRI
z
1682
1 44 RRI
z
42
24
3
1
212 aa
aaI
z
4
44
163
1
163 a
aaI
z
例 题 II-3 § II 平面图形的几何性质
例题
z
a
a
)4(
负面积法
a a
z)5(
'z
'y
例 题 II-3 § II 平面图形的几何性质
例题正方形对 和 轴的惯性矩均为 。
而 与 轴是形心主惯性轴，,
都是形心主惯性矩。对所有的形心轴来说,及 中的一个是最大值，
另一个是最小值。
'y 'z
12
4a
'y 'z 'yI 'zI
'yI 'zI
实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴，
对其任意形心轴的惯性矩为一常数。
所以正方形对任一形心轴的惯性 12
4
''
aII
zy
12
4a
12
4a
I z?
矩也等于,即：
而,
此结论可推广到任意正多边形，即任意正多边形对其任意一形心轴的惯性矩为常量。
z
a
a2 a2
22244
4
)2(
6412
2 aaaaaI
z
4
64
17
3
7 a?
例如，求图示图形对 z
轴的惯性矩判断正误
bhhII yy 2121
1212
33 bhBH
I z
hH
b
B
z
z轴为槽形的形心轴例 题 II-4 § II 平面图形的几何性质
例题错！
错！
h
y
1y
b
例 题 II-5 § II 平面图形的几何性质
例题画出下列图形形心主惯性轴的大致方位
C C C C
C C C
7.工程上常用的各种型钢截面几何参数工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录 III型钢表例如：型号为 25a的工字钢
b
d
XX
Y
Y
h
查表可知：
mmd
cmi
cm
h
I
W
cmI
cmA
x
x
x
x
0.8
2.10
4 0 2
2
5 0 2 0
5 4 1.48
3
4
2
cmSISI
x
x
xx 6.21,
§ 13 梁的弯曲
§ 13.1 弯曲的概念
1.弯曲的特点外力 —— 垂直于杆轴线的横向力或作用于轴线所在平面内的力偶变形 —— 杆轴线由直线变为曲线内力 —— 杆件横截面内的剪力 FS，弯矩 M
m
m
2.常见的几种弯曲类型平面弯曲 —— 外力系为轴线所在平面内的平面力系，
变形后轴线变为平面曲线对称弯曲 —— 横截面有一纵向对称轴（ y轴），外力作用于该对称轴与杆轴组成的纵向对称面内，内力分量为剪力 FS，弯矩 M
纯弯曲：横截面上只有 M，无 FS
剪切弯曲（一般弯曲）,FS,M均有例如：
a a a
F F
F F
F
F
（ FS）
Fa
（ M）
A B C D
AB,CD段：
剪切弯曲
BC段：纯弯曲
3.列剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图
—— 复习上学期内容
§ 13.2 纯弯曲时横截面上的应力弯曲正应力公式纯弯曲实验观察：
M M
平面假设：变形后横截面保持平面且仍与轴线正交
M M
横截面单向受力假设：纵向纤维间无挤压中性层中性轴将中性轴取为 z轴，纵向对称轴取为 y轴，
杆轴取为 x轴
z
y
x
1,变形几何关系
dx
m
m
n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
MM
d
O
1O
2O
m
m
n
n
a a
b by
微段,截面 mm相对 nn转动,中性层曲率半径设 bb线段的线应变
y
d
ddy )(
（ a）
bb变形后长度
bb变形前长度变形几何关系
y? (a)
2.物理关系由单向受力假设：
yEE (b)
中性轴处y 0,0
y
z
x
横截面
z
y
3.静力学关系横截面上的正应力分布力系向截面形心简化得到截面上的内力分量
dA?
M
y
z
C
0
A
N dAF?
(c)
MdAyM
A
z
(e)
0 dAzM
A
y?
(d)
x
横截面
z
y
0
A
N dAF?
(c)
变形几何关系
y? (a)
yEE (b)物理关系
0 z
A
SEyd AE
0
A
z y d AS
中性轴 z轴必过截面形心
0 dAzM
A
y?
(d)
0 yz
A
IEyz d AE
0
A
yz y z dAI
yz轴为截面形心主惯性轴
（ y为对称轴，已满足）
MMdAyM z
A
y
(e)
z
A
IEdAyEM 2
zEI
M?
1 (13.1)
EIz为梁的 弯曲刚度纯弯曲时横截面正应力公式
zI
My (13.2)
拉应力区压应力区
x
M
max?
max?
zzz W
M
yI
M
I
My
m a x
m a x
m a x /?
横截面上的最大正应力 (13.3)
截面对 z轴的弯曲截面系数
m a xy
IW z
z?
(13.4)
m
m y
z
m-m
注意 若截面关于 z轴上下对称，则有：
z
y
ymax1
ymax2 zzzzz Wy IWy IW
2m a x
2
1m a x
1
zW
M
m i nm a x
若截面关于 z轴上下不对称，则有：
C
y
z
ymax1
ymax2
max?
max?
1m a x
1 y
IW z
z?
2m a x
2 y
IW z
z?
m a xm a x
应分别计算M
max?
max?
如 M为正，则
1
m a x
zW
M
2
m a x
zW
M
常见各种形状截面的弯曲截面系数：
矩形：
h
b
y
z
12
3bh
I z?
62
2bh
h
IW z
z
圆形：
y
z
d
64
4d
I z
322
3d
d
IW z
z
z
空心圆形：
y
d
D
)1(64 4
4
DI z
Dd
)1(32
2
4
3
DDIW zz
拉（或压）应力最大值位置
§ 13.3 剪切弯曲时横截面上的应力弯曲切应力公式
1.剪切弯曲（一般弯曲）时横截面上的正应力剪切弯曲（一般弯曲）时，横截面上既有 M，也有 FS
横截面上既有?,也有?
存在 FS使平面假设不再满足，
不再准确，但梁为细长梁时（即 l/h 较大），
故纯弯曲正应力公式误差不大，满足工程要求，
剪切弯曲时 )( xMM?
某横截面上的正应力
zI
yxM )(
zz W
M
I
yM m a xm a xm a x
m a x
zz W
M
I
yM m a xm a xm a x
m a x
弯曲正应力的最大值
2,剪切弯曲时横截面上的切应力切应力分布与截面形状有关,
（ 1）矩形截面上的弯曲切应力假设：
横截面上各点切应力方向平行于剪力的方向横截面上切应力沿 z方向均布
)( y
x
y
z
FS
)(y?
y
x
y
z
FS
)(y?
y x
y
z
)(y?yF
N1
A1
FN2
dx
M M+dM
y
从梁中切出分离体：
x方向平衡,0
12 SNN FFF
z
z
A zA
N
S
I
dMM
yd A
I
dMM
dAF
11
2
z
z
N SI
MF
1
b d xyF S )(
b
1A
z y d AS
其中
0)( b d xySIMSI dMM z
z
z
z
bI
SF
dx
dM
bI
Sy
z
zS
z
z
)(?
bI
SF
dx
dM
bI
Sy
z
zS
z
z
)(?
矩形截面弯曲切应力公式 (13.5)
y
y
z
A1
矩形截面：
)4(2))2(21()2()( 2
2
yhbyhyyhbyS z
)
4
(
2
)( 2
2
yh
I
Fy
z
S
y
max
中性轴上切应力最大：
2
3
2
3
4
12
2
2
3m a x
A
Fh
bh
F SS
横截面上下缘处,? = 0
max?
max?
M
y
z
b
B
Hh
（ 2）工字形截面上的弯曲切应力主要考虑腹板上的弯曲切应力腹板翼缘
)/( m a x
m a x
m a x?
zz
S
z
zS
SIb
F
bI
SF?
max
y
min
min 其中
A
z y dAS m a x
A*
FS
（ 3）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力
y
z
FS 最大切应力在中性轴处：
3434m a x AF S
bI
SF
z
zS
y
任意水平线上某点处切应力的 y 方向分量K
y
y
z
FS
最大切应力也在中性轴处：
22m a x AF S
max?
max?
y?
注意 （ 1）横截面上切应力的存在使得梁在弯曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。
（ 2）横截面上的正应力与切应力最大值之比
h
l?
m a x
m a x
对细长梁 ( l/h > 5 ),主要为弯曲正应力。
（ 3）某些形状的截面（薄壁梁如 T梁,L梁、工字梁）
或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截面上的切应力是主要应力。
max?
中性轴处,m a x
上下缘,0
F
4m a x
FlM?
2m a x
FF
S?
h
l2
m a x
m a x?
22m a x 2
36
4 bh
Fl
bh
Fl
bh
F
bh
F
8
3
24
3
m a x
3.弯曲中心的概念观察薄壁杆件弯曲切应力的特点
沿壁厚方向均布
方向与周边相切
O
在截面上形成 切应力流
截面上分布切应力系向该平面内任意一点简化，即为该截面上的内力分量力 FS
力偶 T
剪力扭矩一定存在 某点 e,向 e 点 简化的结果只有一个合力即剪力 FS而没有扭矩 T
e 点 称为该截面的 弯曲中心
T
FSF
S
e
外力若作用在弯曲中心所在的纵向截面内该梁仅产生弯曲而不会产生扭转使梁产生扭转！（梁为弯扭组合变形）
截面的弯曲中心位置的确定 —— 决定于截面的几何形状、尺寸例如，确定槽钢的弯曲中心：
常见各种形状截面的弯心位置见书中表 13.1
而各种实心形状截面的弯心与其形心十分接近弯曲中心的位置通常有以下规律：
（ 1）具有两个对称轴的截面，两个对称轴的交点为弯曲中心。
（ 2）具有一个对称轴的截面，弯曲中心一定位于对称轴上。
（ 3）开口薄壁截面，当其各直线段的中线交于一点时，该点为弯曲中心。
O O
O
O
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 26)
（下册）
附录 II 平面图形的几何性质
1,静矩（一次矩）与形心任意平面图形 A （例如杆的横截面）
建立 yz 坐标系（ x轴为杆的轴线）
O
C(yc,zc)
y
z
平面图形的形心 C(yc,zc)
定义 图形对 y 轴的 静矩
A
y z dAS
(II.1)
图形对 z 轴的 静矩
A
z y dAS
(II.2)静矩的单位,m3,cm3,mm3
A
dA
静矩与形心
O
C(yc,zc)
y
z
A
A
S
A
y d A
y zAC
A
S
A
z d A
z yAC
，
（ II.3）静矩的性质
（ 1）静矩与轴有关，可正可负可为零。
（ 2）若 yC,zC坐标轴过形心，则有
0?CyS 0?CzS
yC
zC
（ 3）组合图形静矩可分块计算求代数和
A2
c2
A1 c1
221121 CCzzz yAyASSS
（ 4）求形心
A
yAyA
A
Sy CCz
C 2211
A
zAzA
A
Sz CCy
C
2211
2.惯性矩（二次矩）
定义 图形对 y,z 轴的 轴惯性矩
A
y dAzI
2
(II.4)
A
z dAyI
2
(II.5)
图形对原点的 极惯性矩
yz
AA
p IIdAzydAI )(
222? (II.6)
惯性矩的单位,m4,cm4,mm4
O
C(yc,zc)
y
z
A
dA
O
y
z
A
惯性矩的性质：
（ 1）惯性矩与轴有关，恒为正。
（ 2）组合图形惯性矩可分块计算求代数和。
A2
c2
A1 c1
z
y
(3)定义 惯性半径 iz,iy
A
Ii z
z? A
Ii y
y?
(II.7)
A
iz
iy
例 题 II-1 § II 平面图形的几何性质
例题求矩形截面对 z轴的惯性矩
zh
b
解：
123
)
2
()
2
( 3
33
2
2
222
bh
hh
b
dyybb d yydAyI
h
hAA
z
dA
dy
常见图形的惯性矩：
矩形：
h
b
y
z
圆形：
y
z
d
12
3bh
I z?
12
3hb
I y?
64
4d
II yz
32
4d
I p
z
空心圆形：
y
d
D
)1(
64
64
4
4
44
D
dD
II zy
)1(32 44 DI p
Dd
3.惯性积定义
A
yz y z dAI
(II.8)
惯性积的性质：
（ 1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。
（ 2）若 y,z 轴有一为图形的对称轴，则 Iyz = 0。
O
C(yc,zc)
y
z
A
dA
4.平行移轴公式若两组坐标轴分别平行，且其中一组为形心轴，则O C(a,b)
y
z
A
yC
zC
a
b
2AaII
Cyy
2AbII
Czz
A a bII CC zyyz
(II.9)
(II.11)
(II.10)
A 为图形的面积,a,b 为形心 C 在 yz 坐标系中的坐标平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩例 题 II-2 § II 平面图形的几何性质
例题求 T形截面对其形心轴的惯性矩。
解：
建立过形心的 zCyC坐标系，及平行于
zC轴的 z轴
24
6)(5
)
4
(
12
)
4
(
12
)
2
()
2
(
22
2
3
2
3
2
2
2
1 21
HhhH
Hh
Hh
Hh
hHHh
Hh
Hh
y
H
hHhI
h
yHhII CzCzz
CCC
C zC
yC
z
(1)求形心的位置h
h
H
H
A1
A2
4
3
2
)
2
(
2
21
2211 Hh
Hh
H
hHh
h
Hh
AA
yAyA
y CCC
yC
(2)求惯性矩
C1
C2
5,转轴公式
O y
z
A
y’z’ 设 y,z为任一对坐标轴，将其绕 O点逆时针旋转 角，
得到新坐标轴 y’,z’，则有：
zyzy
yz
zyzy
z
yz
zyzy
y
IIII
I
IIII
I
I
IIII
I
2s i n2c o s
22
2s i n2c o s
22
2c o s2s in2 yzzyzy IIII
6,主惯性轴,主惯性矩
（ 1）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。
（ 2）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。
注意：图形对过某点的所有轴的惯性矩中，两个主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。
（ 3）形心主惯性轴：通过形心 C的主惯性轴。
注意：对称轴一定是形心主惯性轴。
（ 4）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。
比较：应力的主方向，主应力求图示截面对 z轴的惯性矩 。
R
z)1(
R
)2( z
a
a
z)3(
864
)2(
2
1 44 RRI
z
1682
1 44 RRI
z
42
24
3
1
212 aa
aaI
z
4
44
163
1
163 a
aaI
z
例 题 II-3 § II 平面图形的几何性质
例题
z
a
a
)4(
负面积法
a a
z)5(
'z
'y
例 题 II-3 § II 平面图形的几何性质
例题正方形对 和 轴的惯性矩均为 。
而 与 轴是形心主惯性轴，,
都是形心主惯性矩。对所有的形心轴来说,及 中的一个是最大值，
另一个是最小值。
'y 'z
12
4a
'y 'z 'yI 'zI
'yI 'zI
实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴，
对其任意形心轴的惯性矩为一常数。
所以正方形对任一形心轴的惯性 12
4
''
aII
zy
12
4a
12
4a
I z?
矩也等于,即：
而,
此结论可推广到任意正多边形，即任意正多边形对其任意一形心轴的惯性矩为常量。
z
a
a2 a2
22244
4
)2(
6412
2 aaaaaI
z
4
64
17
3
7 a?
例如，求图示图形对 z
轴的惯性矩判断正误
bhhII yy 2121
1212
33 bhBH
I z
hH
b
B
z
z轴为槽形的形心轴例 题 II-4 § II 平面图形的几何性质
例题错！
错！
h
y
1y
b
例 题 II-5 § II 平面图形的几何性质
例题画出下列图形形心主惯性轴的大致方位
C C C C
C C C
7.工程上常用的各种型钢截面几何参数工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录 III型钢表例如：型号为 25a的工字钢
b
d
XX
Y
Y
h
查表可知：
mmd
cmi
cm
h
I
W
cmI
cmA
x
x
x
x
0.8
2.10
4 0 2
2
5 0 2 0
5 4 1.48
3
4
2
cmSISI
x
x
xx 6.21,
§ 13 梁的弯曲
§ 13.1 弯曲的概念
1.弯曲的特点外力 —— 垂直于杆轴线的横向力或作用于轴线所在平面内的力偶变形 —— 杆轴线由直线变为曲线内力 —— 杆件横截面内的剪力 FS，弯矩 M
m
m
2.常见的几种弯曲类型平面弯曲 —— 外力系为轴线所在平面内的平面力系，
变形后轴线变为平面曲线对称弯曲 —— 横截面有一纵向对称轴（ y轴），外力作用于该对称轴与杆轴组成的纵向对称面内，内力分量为剪力 FS，弯矩 M
纯弯曲：横截面上只有 M，无 FS
剪切弯曲（一般弯曲）,FS,M均有例如：
a a a
F F
F F
F
F
（ FS）
Fa
（ M）
A B C D
AB,CD段：
剪切弯曲
BC段：纯弯曲
3.列剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图
—— 复习上学期内容
§ 13.2 纯弯曲时横截面上的应力弯曲正应力公式纯弯曲实验观察：
M M
平面假设：变形后横截面保持平面且仍与轴线正交
M M
横截面单向受力假设：纵向纤维间无挤压中性层中性轴将中性轴取为 z轴，纵向对称轴取为 y轴，
杆轴取为 x轴
z
y
x
1,变形几何关系
dx
m
m
n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
MM
d
O
1O
2O
m
m
n
n
a a
b by
微段,截面 mm相对 nn转动,中性层曲率半径设 bb线段的线应变
y
d
ddy )(
（ a）
bb变形后长度
bb变形前长度变形几何关系
y? (a)
2.物理关系由单向受力假设：
yEE (b)
中性轴处y 0,0
y
z
x
横截面
z
y
3.静力学关系横截面上的正应力分布力系向截面形心简化得到截面上的内力分量
dA?
M
y
z
C
0
A
N dAF?
(c)
MdAyM
A
z
(e)
0 dAzM
A
y?
(d)
x
横截面
z
y
0
A
N dAF?
(c)
变形几何关系
y? (a)
yEE (b)物理关系
0 z
A
SEyd AE
0
A
z y d AS
中性轴 z轴必过截面形心
0 dAzM
A
y?
(d)
0 yz
A
IEyz d AE
0
A
yz y z dAI
yz轴为截面形心主惯性轴
（ y为对称轴，已满足）
MMdAyM z
A
y
(e)
z
A
IEdAyEM 2
zEI
M?
1 (13.1)
EIz为梁的 弯曲刚度纯弯曲时横截面正应力公式
zI
My (13.2)
拉应力区压应力区
x
M
max?
max?
zzz W
M
yI
M
I
My
m a x
m a x
m a x /?
横截面上的最大正应力 (13.3)
截面对 z轴的弯曲截面系数
m a xy
IW z
z?
(13.4)
m
m y
z
m-m
注意 若截面关于 z轴上下对称，则有：
z
y
ymax1
ymax2 zzzzz Wy IWy IW
2m a x
2
1m a x
1
zW
M
m i nm a x
若截面关于 z轴上下不对称，则有：
C
y
z
ymax1
ymax2
max?
max?
1m a x
1 y
IW z
z?
2m a x
2 y
IW z
z?
m a xm a x
应分别计算M
max?
max?
如 M为正，则
1
m a x
zW
M
2
m a x
zW
M
常见各种形状截面的弯曲截面系数：
矩形：
h
b
y
z
12
3bh
I z?
62
2bh
h
IW z
z
圆形：
y
z
d
64
4d
I z
322
3d
d
IW z
z
z
空心圆形：
y
d
D
)1(64 4
4
DI z
Dd
)1(32
2
4
3
DDIW zz
拉（或压）应力最大值位置
§ 13.3 剪切弯曲时横截面上的应力弯曲切应力公式
1.剪切弯曲（一般弯曲）时横截面上的正应力剪切弯曲（一般弯曲）时，横截面上既有 M，也有 FS
横截面上既有?,也有?
存在 FS使平面假设不再满足，
不再准确，但梁为细长梁时（即 l/h 较大），
故纯弯曲正应力公式误差不大，满足工程要求，
剪切弯曲时 )( xMM?
某横截面上的正应力
zI
yxM )(
zz W
M
I
yM m a xm a xm a x
m a x
zz W
M
I
yM m a xm a xm a x
m a x
弯曲正应力的最大值
2,剪切弯曲时横截面上的切应力切应力分布与截面形状有关,
（ 1）矩形截面上的弯曲切应力假设：
横截面上各点切应力方向平行于剪力的方向横截面上切应力沿 z方向均布
)( y
x
y
z
FS
)(y?
y
x
y
z
FS
)(y?
y x
y
z
)(y?yF
N1
A1
FN2
dx
M M+dM
y
从梁中切出分离体：
x方向平衡,0
12 SNN FFF
z
z
A zA
N
S
I
dMM
yd A
I
dMM
dAF
11
2
z
z
N SI
MF
1
b d xyF S )(
b
1A
z y d AS
其中
0)( b d xySIMSI dMM z
z
z
z
bI
SF
dx
dM
bI
Sy
z
zS
z
z
)(?
bI
SF
dx
dM
bI
Sy
z
zS
z
z
)(?
矩形截面弯曲切应力公式 (13.5)
y
y
z
A1
矩形截面：
)4(2))2(21()2()( 2
2
yhbyhyyhbyS z
)
4
(
2
)( 2
2
yh
I
Fy
z
S
y
max
中性轴上切应力最大：
2
3
2
3
4
12
2
2
3m a x
A
Fh
bh
F SS
横截面上下缘处,? = 0
max?
max?
M
y
z
b
B
Hh
（ 2）工字形截面上的弯曲切应力主要考虑腹板上的弯曲切应力腹板翼缘
)/( m a x
m a x
m a x?
zz
S
z
zS
SIb
F
bI
SF?
max
y
min
min 其中
A
z y dAS m a x
A*
FS
（ 3）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力
y
z
FS 最大切应力在中性轴处：
3434m a x AF S
bI
SF
z
zS
y
任意水平线上某点处切应力的 y 方向分量K
y
y
z
FS
最大切应力也在中性轴处：
22m a x AF S
max?
max?
y?
注意 （ 1）横截面上切应力的存在使得梁在弯曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。
（ 2）横截面上的正应力与切应力最大值之比
h
l?
m a x
m a x
对细长梁 ( l/h > 5 ),主要为弯曲正应力。
（ 3）某些形状的截面（薄壁梁如 T梁,L梁、工字梁）
或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截面上的切应力是主要应力。
max?
中性轴处,m a x
上下缘,0
F
4m a x
FlM?
2m a x
FF
S?
h
l2
m a x
m a x?
22m a x 2
36
4 bh
Fl
bh
Fl
bh
F
bh
F
8
3
24
3
m a x
3.弯曲中心的概念观察薄壁杆件弯曲切应力的特点
沿壁厚方向均布
方向与周边相切
O
在截面上形成 切应力流
截面上分布切应力系向该平面内任意一点简化，即为该截面上的内力分量力 FS
力偶 T
剪力扭矩一定存在 某点 e,向 e 点 简化的结果只有一个合力即剪力 FS而没有扭矩 T
e 点 称为该截面的 弯曲中心
T
FSF
S
e
外力若作用在弯曲中心所在的纵向截面内该梁仅产生弯曲而不会产生扭转使梁产生扭转！（梁为弯扭组合变形）
截面的弯曲中心位置的确定 —— 决定于截面的几何形状、尺寸例如，确定槽钢的弯曲中心：
常见各种形状截面的弯心位置见书中表 13.1
而各种实心形状截面的弯心与其形心十分接近弯曲中心的位置通常有以下规律：
（ 1）具有两个对称轴的截面，两个对称轴的交点为弯曲中心。
（ 2）具有一个对称轴的截面，弯曲中心一定位于对称轴上。
（ 3）开口薄壁截面，当其各直线段的中线交于一点时，该点为弯曲中心。
O O
O
O
