工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(21)
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件的内力分析
§ 9.1 变形固体静力学概述变形固体静力学的任务：
对象 —— 工程中的各种构件、结构 —— 变形体目的 —— 构件与结构能正常安全地工作内容强度：构件受外力不破坏刚度：构件具有抵抗变形的能力稳定性：构件保持原有平衡状态的能力安全 经济一对矛盾
§ 9.2 变形固体基本假设
1.连续性变形前，变形后，不开裂，不相入变形前的一个点 —— 变形后仍为一个点变形前的一条线 —— 变形后仍为一条线
2.均匀性固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同注意区别均匀性和各向同性
4.小变形一般要求：最大变形小于最小尺寸
—— 变形后的平衡可按变形前的位置计算
—— 计算变形量时可略去高阶小量
§ 9.3 杆件变形的基本形式
1.构件分类杆 板 壳 块
2,简图
（ 1） 杆的几何特性：
轴线,横截面,形心,轴线过横截面的形心,横截面与轴线垂直,杆可用其轴线表示 。
轴线形心
（ 2）载荷（外力）
包括：主动力，约束力横截面
（ 3）载荷分类静载 —— 外力从零缓慢增加至终值后保持不变动载 —— 外力随 t 变化或构件运动
（ 4）载荷作用方式分布载荷 —— 线分布集度 q(x),[力 ]/[长度 ]
面分布集度 q(x,y),[力 ]/[长度 ]2
集中载荷 —— 集中力，集中力偶
（ 5）约束条件 —— 各种支座、铰链
3.杆件变形的基本形式
(1)轴向拉伸或压缩 (常称为杆）,
1F
2F?
3F
拉伸（压缩）演示拉伸（压缩）演示
1M 2M
(3)扭转 （ 常称为轴 ）,
(2)剪切,
F
F
F
F
剪 切 演 示 （单剪切）
剪 切 演 示 （ 双剪切 ）
扭 转 演 示矩 形 扭 转
4,弯曲 （ 常称为梁 ）,
F
q M
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时,
称为组合变形 。
变形体静力学主要研究 杆件的拉（压）、扭、弯和组合变形
§ 9.4 一般杆件的内力分析引起 内力变形体产生变形的原因：
产生变形变形体的分析思路：
载荷、温度湿度变化、尺寸误差外力 ( )
找出外力 求出内力 求出变形截面法 （对静定杆件）
内力 —— 在外力的作用下构件一部分对另一部分的作用力。
载荷 —— 包括主动力和约束力对特殊的杆件 —— 桁 架中的二力杆：
FN FN
1.一般杆件的内力分量及分类横截面上只有轴向拉力或压力
—— 用截面法：
对一般杆件 —— 非二力杆
M
RF?
A C
A
BC
BC
RF
M?
对截面 C用截面法
M
RF?
A C BCRF
M?
建立杆件横截面形心直角坐标系，
RF
横截面分布内力系的主矢
x
y
z
向坐标轴投影
x方向分量
y方向分量
z方向分量
—— 轴力 FN
合力为 剪力 FS
横截面分布内力系的主矩 M?
—— 扭矩 Tx方向分量
y方向分量
z方向分量 合力矩为 弯矩 M
NF
SF
M
T
截面的内力分量
2.内力方程 内力图以 x坐标表示不同位置的横截面，则该横截面上的内力分量可表示为：
FN=FN(x),FS=FS(x)
T=T(x),M=M(x)
内力方程 （ 9.1）
将内力方程用函数图形表示出来 —— 内力图注意 （ 1）内力方程常分段用不同的函数表示
（ 2）分段点也称为控制面，通常,以集中外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（ 3）根据分段点，分别对每一段杆件运用截面法列出该段的内力方程若无特别说明,x轴原点在最左端截面，向右为正
3.轴力方程 轴力图
AB段在 n-n处切开,取左半或右半为分离体,用内力 FN1替代
B CA
1P
2P
3P
n
n
m
m
1NF
1P
n
n
2P
3P
n
n
m
m
3P
2P
1P
m
m
1NF
2NF
2NF
轴力的符号规定：拉为正压为负
（ 1）分段：分为 AB,BC两段
（ 2）对各段用截面法,
对左半段列平衡方程：
111 )( PxF N?
BC段在 m-m处切开,取左半或右半为分离体,用内力 FN2替代对右半段列平衡方程：
322 )( PxF N
xx
1
x2
1P
3P
CA
1P
2P
3P
Ba l111 )( PxF N?
322 )( PxF N
轴力方程为：
ax 10
lxa 2
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
（ 2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
（ 1） 标出特征点内力的绝对值
（ 3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入截面法的步骤：
（ 1）切开 （ 2）代替 （ 3）平衡未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
(FN)
AM
4.扭矩方程 扭矩图扭矩的符号规定：扭矩矢量方向与截面外法线方向一致为正，反之为负
（ 1）求出固定端 A的约束力偶：
a b
A CB
0m
n
n
AM
bmM A 0? 方向如图
（ 2）分段：分为 AB,BC两段
AB段用 n-n截面切开，去掉右半段，用 T (x1)代替
n
n
x1平衡方程,T(x1)=MA=m0b
m0
x2
)( 1xT
)( 2xT
m
m
BC段用 m-m截面切开，去掉左半段，用 T (x2)代替平衡方程,T(x2)=m0(a+b-x2)
扭矩图如图
CBA
bm0
)(T
a b
A CB
0mT(x1)=MA=m0b (0<x1? a)
T(x2)=m0(a+b-x2) (a? x1? a+b)
扭矩方程为：
北京理工大学理学院力学系 韩斌
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§ 9 变形体静力学概述及一般杆件的内力分析
§ 9.1 变形固体静力学概述变形固体静力学的任务：
对象 —— 工程中的各种构件、结构 —— 变形体目的 —— 构件与结构能正常安全地工作内容强度：构件受外力不破坏刚度：构件具有抵抗变形的能力稳定性：构件保持原有平衡状态的能力安全 经济一对矛盾
§ 9.2 变形固体基本假设
1.连续性变形前，变形后，不开裂，不相入变形前的一个点 —— 变形后仍为一个点变形前的一条线 —— 变形后仍为一条线
2.均匀性固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同注意区别均匀性和各向同性
4.小变形一般要求：最大变形小于最小尺寸
—— 变形后的平衡可按变形前的位置计算
—— 计算变形量时可略去高阶小量
§ 9.3 杆件变形的基本形式
1.构件分类杆 板 壳 块
2,简图
（ 1） 杆的几何特性：
轴线,横截面,形心,轴线过横截面的形心,横截面与轴线垂直,杆可用其轴线表示 。
轴线形心
（ 2）载荷（外力）
包括：主动力，约束力横截面
（ 3）载荷分类静载 —— 外力从零缓慢增加至终值后保持不变动载 —— 外力随 t 变化或构件运动
（ 4）载荷作用方式分布载荷 —— 线分布集度 q(x),[力 ]/[长度 ]
面分布集度 q(x,y),[力 ]/[长度 ]2
集中载荷 —— 集中力，集中力偶
（ 5）约束条件 —— 各种支座、铰链
3.杆件变形的基本形式
(1)轴向拉伸或压缩 (常称为杆）,
1F
2F?
3F
拉伸（压缩）演示拉伸（压缩）演示
1M 2M
(3)扭转 （ 常称为轴 ）,
(2)剪切,
F
F
F
F
剪 切 演 示 （单剪切）
剪 切 演 示 （ 双剪切 ）
扭 转 演 示矩 形 扭 转
4,弯曲 （ 常称为梁 ）,
F
q M
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时,
称为组合变形 。
变形体静力学主要研究 杆件的拉（压）、扭、弯和组合变形
§ 9.4 一般杆件的内力分析引起 内力变形体产生变形的原因：
产生变形变形体的分析思路：
载荷、温度湿度变化、尺寸误差外力 ( )
找出外力 求出内力 求出变形截面法 （对静定杆件）
内力 —— 在外力的作用下构件一部分对另一部分的作用力。
载荷 —— 包括主动力和约束力对特殊的杆件 —— 桁 架中的二力杆：
FN FN
1.一般杆件的内力分量及分类横截面上只有轴向拉力或压力
—— 用截面法：
对一般杆件 —— 非二力杆
M
RF?
A C
A
BC
BC
RF
M?
对截面 C用截面法
M
RF?
A C BCRF
M?
建立杆件横截面形心直角坐标系，
RF
横截面分布内力系的主矢
x
y
z
向坐标轴投影
x方向分量
y方向分量
z方向分量
—— 轴力 FN
合力为 剪力 FS
横截面分布内力系的主矩 M?
—— 扭矩 Tx方向分量
y方向分量
z方向分量 合力矩为 弯矩 M
NF
SF
M
T
截面的内力分量
2.内力方程 内力图以 x坐标表示不同位置的横截面，则该横截面上的内力分量可表示为：
FN=FN(x),FS=FS(x)
T=T(x),M=M(x)
内力方程 （ 9.1）
将内力方程用函数图形表示出来 —— 内力图注意 （ 1）内力方程常分段用不同的函数表示
（ 2）分段点也称为控制面，通常,以集中外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（ 3）根据分段点，分别对每一段杆件运用截面法列出该段的内力方程若无特别说明,x轴原点在最左端截面，向右为正
3.轴力方程 轴力图
AB段在 n-n处切开,取左半或右半为分离体,用内力 FN1替代
B CA
1P
2P
3P
n
n
m
m
1NF
1P
n
n
2P
3P
n
n
m
m
3P
2P
1P
m
m
1NF
2NF
2NF
轴力的符号规定：拉为正压为负
（ 1）分段：分为 AB,BC两段
（ 2）对各段用截面法,
对左半段列平衡方程：
111 )( PxF N?
BC段在 m-m处切开,取左半或右半为分离体,用内力 FN2替代对右半段列平衡方程：
322 )( PxF N
xx
1
x2
1P
3P
CA
1P
2P
3P
Ba l111 )( PxF N?
322 )( PxF N
轴力方程为：
ax 10
lxa 2
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
（ 2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
（ 1） 标出特征点内力的绝对值
（ 3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入截面法的步骤：
（ 1）切开 （ 2）代替 （ 3）平衡未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
(FN)
AM
4.扭矩方程 扭矩图扭矩的符号规定：扭矩矢量方向与截面外法线方向一致为正，反之为负
（ 1）求出固定端 A的约束力偶：
a b
A CB
0m
n
n
AM
bmM A 0? 方向如图
（ 2）分段：分为 AB,BC两段
AB段用 n-n截面切开，去掉右半段，用 T (x1)代替
n
n
x1平衡方程,T(x1)=MA=m0b
m0
x2
)( 1xT
)( 2xT
m
m
BC段用 m-m截面切开，去掉左半段，用 T (x2)代替平衡方程,T(x2)=m0(a+b-x2)
扭矩图如图
CBA
bm0
)(T
a b
A CB
0mT(x1)=MA=m0b (0<x1? a)
T(x2)=m0(a+b-x2) (a? x1? a+b)
扭矩方程为：
