工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(20)
§ 8.4 虚位移原理
1,虚位移原理具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是：
虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。
虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。
作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位移上做的虚功之和等于零。即：
0
1
i
n
i
i rFW
（ 8.32）虚功方程对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统,
对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：
0
1
)(
1
n
i
i
n
i
ii WrFW
外
0
1
)(
1
)(
m
i
i
n
i
i WWW
内外
对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。
若系统全部为有势力作功时，虚功方程为
0 VW
0 V?
（ 8.33）
比较 § 7 与 § 8,
条件 应用的系统 平衡的含义
§ 7
力系的平衡单个刚体
（充要条件） 相对惯性系静止或匀速直线运动刚体系统
（必要条件）
§ 8
虚位移原理刚体系统
（充要条件） 相对惯性系静止
0 iF?
0 AM?
0 iW?
2,虚位移原理的应用
0
1
i
n
i
i rFW
（ 8.32）虚功方程
（ 1）对自由度为 k的系统（机构） —— 有 k个独立的广义坐标,k个独立的广义虚位移虚功方程
0)(
)(
1 1
111
j
j
i
k
j
n
i
i
j
k
j j
i
n
i
ii
n
i
i
q
q
r
F
q
q
r
FrFW
（ 8.34）
k个独立方程 已知平衡位置，求此时各主动力之间关系已知各主动力，求平衡时的位置01ni jii qrF
j=1,…k
（ 2）对自由度为零的系统（静定结构） —— 求约束处的约束力自由度为零，系统无虚位移解除一个约束，代之以相应的待求约束力（视为未知大小的主动力）
系统变为 k=1的机构，
按 (1)求解未知约束力若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出一个约束力解题指导
（ 1）对系统，正确写出虚功方程：
0 iWW （ 8.32）
是全部作功的力的虚功之和
iW?
—— 正确找出全部作功之力，
正确写出虚功
（ 2）虚功方程 中的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式
0
1
i
n
i
ii rFWW
（ 3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零。
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题杆 OD,CE,CB,DB，弹簧 AB，刚度为 k，弹簧未变形时,OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求当 θ角为平衡位置时,P＝？
0
A
B
C
DE
P?
O
解,1.分析拆除弹簧 AB,用,表示弹簧对刚体系统的作用F? F
系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功 。
F 'F? klk )s i n( s i n2
0
A
B
C
DE
P?
O
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题
F? F
系统自由度为 1，可选 θ为广义坐标。
2.列虚功方程系统中作功的力：
主动力,弹簧力，P?
0s i n2s i n2 ll
弹簧伸长量故弹簧力的大小为方法一
ll l
l l l
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
DE
P?
O
F? F
建立坐标系 Oxy,各力的虚功表示为：
BP xPW
x
y
AF xFW
BF xFW
利用解析法建立虚位移的关系：
s inlx A?
s in3 lx B?
c o slx A?
c o s3 lx B?
求变分
l
l l
l l
l
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
DE
P?
O
F? F
x
y
l
l l
l l
l
系统的虚功方程为 0
BABi xFxFxPWW
0)c o s3c o s'3c o s( PllFFl
即由于 0 0c o s3c o s'3c o s PllFFl
P?
F32? kl )s i n( s i n34 0
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题方法二 不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）
虚功方程为 0 外内 WWW
外W PWc o s3 Pl?
内W
TWk
A
B
C
DE
P?
O
F? F
x
y
l
l l
l l
l
0s i n2s i n2 ll
由
c o s2 l?
0c o s3c o s2)s i n( s i n2 0 PllklW
同理可得
P?
F32?
kl )s i n( s i n34 0
例 题 6 § 8 虚位移原理
例题
AB,BC,CD为三根等长、等重的均质杆，与铅垂墙壁连成正方形 ABCD，
并用柔绳 EH拉住,E,H
分别为 AB,BC的中点，各杆重 Q，求柔绳的拉力。
H
A
B
CD
E
例 题 6 § 8 虚位移原理
例题
H
A
B
CD
E解,1.分析系统的自由度为 0,静定结构
2Q
1Q
主动力,',,,,
321 TTQQQ
TTTT,'
且
2.列虚功方程 (几何法）
n
i
iWW
1
HEHGE rTrTrQrQrQ
'
321
0? T
'T?
G
T?
'T?
3Q
拆除绳 EH，自由度为 1，用
TT,
表示绳索对结构的作用力。
例 题 6 § 8 虚位移原理
例题且
EG rr
EBH rrr 2
代入上式
0)2'2 22 22( 321 ErTTQQQ?
0?Er
H
A
B
CD
E
G
T?
'T?
2Q
1Q
3Q
Hr
Er
此机构中，杆 AB,DC为定轴转动，杆 BC为平动，可判断 E,G,H各点的虚位移方向。
GrQTT 24
（拉力）
HEHGE rTrTrQrQrQ
'
321
0?
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
杆 AB,CD由光滑铰链 C相连，在 AB杆的 B
端作用一铅垂力,在
CD杆上作用一力偶，其力偶矩为 M，不计杆重，
求 A端的约束反力。
Q?
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题解：系统的自由度为 0
可依次拆除 A端的几个约束，将相应约束力看作主动力求解。
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
AxF
AyF
AM
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
(1)求
AM
去掉 A端的转动约束，
用约束力偶矩 MA代替。
AM
A
系统的自由度为 1
主动力：
QMM A?,,
AB定轴转动,CD一般平面运动，瞬心为 P，
P
AB的虚转角
1
CD的虚转角为
2
则
21 PCACr C 12
2
1
2
Cr
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
0
1
n
i
iW?
03 211 MaQM A
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
AM
1
2
1 AM MW A
13 aQW Q?
2 MW M?
列虚功方程：
12 2
代入
0)23( 1MaQM A 01
123 MaQM A
（?）
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
(2)求
AxF去掉 A端的水平约束，
用约束力 FAx 代替。
系统的自由度为 1
主动力 QMF
Ax
,,
AB,CD只能作平动
BCA rrr
a
b
aa
B
C
D
Q?
M
A
AxF
A
0?QW?
AAxF rFW Ax
0?MW?
0
1
n
i
iW?
0?AAx rF? 0?AxF
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
(3)求 AyF
去掉 A端的铅垂约束系统自由度为 1
主动力,QMF
Ay
,,
AB平动,CD瞬心为 P
BQ rQWAAyF rFW Ay
MW M
Ar a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
A
AyF
P
设 CD的虚转角为
arrr BAC
则有
Cr
Br
0
1
n
i
iW?
列虚功方程：
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
0)( AAy raMFQ?
a
b
aa
B
C
D
Q?
M
A
AyF
Cr
Ar
Br
0 MrFrQ AAyB
n
i
iW
1
即
0?Ar
a
MQF
Ay
（?）
§ 9.5 质点系平衡的广义力
1,广义力 以广义力表示的系统平衡条件
n
i
k
j
j
j
i
i qq
rF
1 1
)(?
k
j
j
n
i j
i
i qq
rF
1 1
)(?
W
n
i
ii rF
1
虚功方程各 之间要满足约束条件，故不是独立的，可用广义虚位移表示为
ir
jq? )~1( kj?
j
k
j j
i
i qq
rr
1
称为广义坐标 对应的广义力
jqjQ
令
n
i j
i
ij q
rFQ
1
kj ~1?
（ 8.35)
因此，虚功方程可写为
W
k
j
jj qQ
1
0?
2,广义力的计算
)( jW
n
i
ii rF
1
k
s
ss qQ
1
jj qQ
由于各个 独立
jq?
0?jQ kj ~1?系统的平衡条件,（ 8.36）
分别计算 k个广义力，
jQ
计算 时，选取一组特殊的广义虚位移，令 0?
jq? 0?sq?
ks ~1? js?但而这组虚位移下系统的虚功为：
则
j
j
j q
W
Q
)( j=1~k (8.37)
3,有势力场质点系的平衡问题设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能 V
),,,( 321 nxxxVV
),,,( 21 kqqqVV
或选取广义坐标与 相应的广义力：
jq
jQ?
n
i j
i
i q
rF
1
n
i j
i
i q
xF3
1
n
i j
i
i q
x
x
V3
1 jq
V
i
i x
VF
)3,,2,1( ni
各有势力直角坐标下的投影 Fi与势能的关系
dVdxFWd i
n
i
i
3
1
则系统的元功选取直角坐标 xi
x2
x1
x3
iF
(xi1,xi2,xi3)
0?
jq
V )~1( kj?平衡条件：
V?
k
k
qqVqqVqqV2
2
1
1
0?或
4.有势力场中质点系平衡的稳定性例如：考虑自重的杆的平衡问题。
即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值（ 或 ）的位形处。0?
jq
V
0?V?
以下仅讨论单自由度系统：
0qq?
设 在 处系统平衡。
)(qVV?
将 在
0q
处台劳展开)(qV
2
02
2
00 )(!2
1)()()(
00
qq
dq
Vdqq
dq
dVqVqV
qqqq
0q
当 q在 附近时，略去二阶以上小量注意到，因 处于平衡位置，所以0q
0
0
qqdq
dV
2
02
2
0 )(!2
1)()(
0
qq
dq
VdqVqV
qq
则在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：
(1)取极小值 (2)取极大值 (3)拐点 (4)不变化
q对应的广义力 Q
dq
dV )(
02
2
0
qq
dq
Vd
qq
2
02
2
0 )(!2
1)()(
0
qq
dq
VdqVqV
qq
则
0)('' 0?qV(a) 当 时，有 )()( 0qVqV?
势能 V在 处取极小值，广义力 Q与广义位移的增量 的符号相反。0q
)( 0qq?
Q可使质点恢复到平衡位置。
0qq?
是质点系的稳定平衡位置。故当 时，0)(''
0?qV
)()( 0qVqV?0)('' 0?qV
(b)当 时，有势能 V在 处取极大值，广义力 Q与广义位移的增量的符号相同。0q)(
0qq?
Q可使质点离开平衡位置。
q对应的广义力 Q
dq
dV )(
02
2
0
qq
dq
Vd
qq
0)('' 0?qV(c)当 时，需考察 V=V(q)更高阶导数
(d)当 V=V(q0)=const时，广义力为零，随遇平衡
0qq?
是质点系的不稳定平衡位置。故 时，0)(''
0?qV
)(a
稳定平衡
)(b
不稳定平衡
)(d
随遇平衡在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为最小，称为最小势能原理。
三铰刚架受力如图，
求 C端的约束力。
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
系统的自由度为 2。
主动力：
CyCx FFQP
,,,
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
解：此为静定结构，自由度为 0,C端约束力有,去掉 C端约束，
CyCx FF
,
2
1
计算这两个广义坐标相应的广义力 Q1和 Q2：
CxF
CyF
2211, qq
取一组广义坐标,
1?
2?
为 AB绕 A点定轴转动的方位角为 BC相对于 AB绕 B点定轴转动的方位角
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2
1
CxF
CyF
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
1
)1(
)2(
aFaQbP
yFyQxP
W
Cy
CCyBD
计算系统的虚功：
0,0 21
(1)令此时 BC相对于 AB静止，整个系统绕 A定轴转动：
1 bx D
1221
22 a
ba
abay
B
12 ay C? 0?Cx?
1Q?
1
)1(
W
aFQaPb Cy 2
y
x
AB不动,BC以 B点为基点定轴转动：
2Q?
2
)2(
W bFaF
CyCx
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2
1
CxF
CyF
y
x
0,0 21（ 2）令
2222
22 b
ba
bbax
C
2222
22 a
ba
abay
C
2)2( )( bFaFW CyCx
系统的虚功为：
QPabF Cy 212 ( )
CyCx Fb
aF
QbaP 22 )22( QbaP ( )
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2
1
CxF
CyF
y
x
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
（ 3）广义力平衡条件
021 aFQaPbQ Cy
02 bFaFQ CyCx
例 题 11 § 8 虚位移原理
例题
O
r
O
r
r
O’
r
O’
放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆柱薄壳（半径均为 r)，分析其平衡的稳定性。
(设物体接触面间有足够的静摩擦力）
r
O
r
r
O
r
解：设上面物体重心为 C，
m为其质量，
仅有重力作功，
有势系统，存在势能 V：
)2c o s'c o s2( COrmgm g yV C
C
C
求导
)2s i n'2s i n2( COrmgV
O’
O’O’
gm?
gm?
)2c o s'4c o s2(2
2
COrmgV
0 为平衡位置
0 时
)'2(22
2
COrmgV
例 题 11 § 8 虚位移原理
例题
(地面为零点 )
O
r
O
r
rr
C
C
O’
O’O’
gm?
gm?
例 题 11 § 8 虚位移原理
例题
)'2(22
2
COrmgV
对半圆柱：
3
4' rCO? 0)
3
42(2
2
2
rrmgV
不稳定平衡！对半圆柱薄壳,?rCO 2'?
0)22(22
2
rrmgV 稳定平衡！
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(20)
§ 8.4 虚位移原理
1,虚位移原理具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是：
虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。
虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。
作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位移上做的虚功之和等于零。即：
0
1
i
n
i
i rFW
（ 8.32）虚功方程对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统,
对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：
0
1
)(
1
n
i
i
n
i
ii WrFW
外
0
1
)(
1
)(
m
i
i
n
i
i WWW
内外
对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。
若系统全部为有势力作功时，虚功方程为
0 VW
0 V?
（ 8.33）
比较 § 7 与 § 8,
条件 应用的系统 平衡的含义
§ 7
力系的平衡单个刚体
（充要条件） 相对惯性系静止或匀速直线运动刚体系统
（必要条件）
§ 8
虚位移原理刚体系统
（充要条件） 相对惯性系静止
0 iF?
0 AM?
0 iW?
2,虚位移原理的应用
0
1
i
n
i
i rFW
（ 8.32）虚功方程
（ 1）对自由度为 k的系统（机构） —— 有 k个独立的广义坐标,k个独立的广义虚位移虚功方程
0)(
)(
1 1
111
j
j
i
k
j
n
i
i
j
k
j j
i
n
i
ii
n
i
i
q
q
r
F
q
q
r
FrFW
（ 8.34）
k个独立方程 已知平衡位置，求此时各主动力之间关系已知各主动力，求平衡时的位置01ni jii qrF
j=1,…k
（ 2）对自由度为零的系统（静定结构） —— 求约束处的约束力自由度为零，系统无虚位移解除一个约束，代之以相应的待求约束力（视为未知大小的主动力）
系统变为 k=1的机构，
按 (1)求解未知约束力若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出一个约束力解题指导
（ 1）对系统，正确写出虚功方程：
0 iWW （ 8.32）
是全部作功的力的虚功之和
iW?
—— 正确找出全部作功之力，
正确写出虚功
（ 2）虚功方程 中的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式
0
1
i
n
i
ii rFWW
（ 3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零。
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题杆 OD,CE,CB,DB，弹簧 AB，刚度为 k，弹簧未变形时,OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求当 θ角为平衡位置时,P＝？
0
A
B
C
DE
P?
O
解,1.分析拆除弹簧 AB,用,表示弹簧对刚体系统的作用F? F
系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功 。
F 'F? klk )s i n( s i n2
0
A
B
C
DE
P?
O
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题
F? F
系统自由度为 1，可选 θ为广义坐标。
2.列虚功方程系统中作功的力：
主动力,弹簧力，P?
0s i n2s i n2 ll
弹簧伸长量故弹簧力的大小为方法一
ll l
l l l
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
DE
P?
O
F? F
建立坐标系 Oxy,各力的虚功表示为：
BP xPW
x
y
AF xFW
BF xFW
利用解析法建立虚位移的关系：
s inlx A?
s in3 lx B?
c o slx A?
c o s3 lx B?
求变分
l
l l
l l
l
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
DE
P?
O
F? F
x
y
l
l l
l l
l
系统的虚功方程为 0
BABi xFxFxPWW
0)c o s3c o s'3c o s( PllFFl
即由于 0 0c o s3c o s'3c o s PllFFl
P?
F32? kl )s i n( s i n34 0
例 题 5 § 8 虚位移原理
例题方法二 不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）
虚功方程为 0 外内 WWW
外W PWc o s3 Pl?
内W
TWk
A
B
C
DE
P?
O
F? F
x
y
l
l l
l l
l
0s i n2s i n2 ll
由
c o s2 l?
0c o s3c o s2)s i n( s i n2 0 PllklW
同理可得
P?
F32?
kl )s i n( s i n34 0
例 题 6 § 8 虚位移原理
例题
AB,BC,CD为三根等长、等重的均质杆，与铅垂墙壁连成正方形 ABCD，
并用柔绳 EH拉住,E,H
分别为 AB,BC的中点，各杆重 Q，求柔绳的拉力。
H
A
B
CD
E
例 题 6 § 8 虚位移原理
例题
H
A
B
CD
E解,1.分析系统的自由度为 0,静定结构
2Q
1Q
主动力,',,,,
321 TTQQQ
TTTT,'
且
2.列虚功方程 (几何法）
n
i
iWW
1
HEHGE rTrTrQrQrQ
'
321
0? T
'T?
G
T?
'T?
3Q
拆除绳 EH，自由度为 1，用
TT,
表示绳索对结构的作用力。
例 题 6 § 8 虚位移原理
例题且
EG rr
EBH rrr 2
代入上式
0)2'2 22 22( 321 ErTTQQQ?
0?Er
H
A
B
CD
E
G
T?
'T?
2Q
1Q
3Q
Hr
Er
此机构中，杆 AB,DC为定轴转动，杆 BC为平动，可判断 E,G,H各点的虚位移方向。
GrQTT 24
（拉力）
HEHGE rTrTrQrQrQ
'
321
0?
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
杆 AB,CD由光滑铰链 C相连，在 AB杆的 B
端作用一铅垂力,在
CD杆上作用一力偶，其力偶矩为 M，不计杆重，
求 A端的约束反力。
Q?
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题解：系统的自由度为 0
可依次拆除 A端的几个约束，将相应约束力看作主动力求解。
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
AxF
AyF
AM
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
(1)求
AM
去掉 A端的转动约束，
用约束力偶矩 MA代替。
AM
A
系统的自由度为 1
主动力：
QMM A?,,
AB定轴转动,CD一般平面运动，瞬心为 P，
P
AB的虚转角
1
CD的虚转角为
2
则
21 PCACr C 12
2
1
2
Cr
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
0
1
n
i
iW?
03 211 MaQM A
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
AM
1
2
1 AM MW A
13 aQW Q?
2 MW M?
列虚功方程：
12 2
代入
0)23( 1MaQM A 01
123 MaQM A
（?）
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
(2)求
AxF去掉 A端的水平约束，
用约束力 FAx 代替。
系统的自由度为 1
主动力 QMF
Ax
,,
AB,CD只能作平动
BCA rrr
a
b
aa
B
C
D
Q?
M
A
AxF
A
0?QW?
AAxF rFW Ax
0?MW?
0
1
n
i
iW?
0?AAx rF? 0?AxF
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
(3)求 AyF
去掉 A端的铅垂约束系统自由度为 1
主动力,QMF
Ay
,,
AB平动,CD瞬心为 P
BQ rQWAAyF rFW Ay
MW M
Ar a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
A
AyF
P
设 CD的虚转角为
arrr BAC
则有
Cr
Br
0
1
n
i
iW?
列虚功方程：
例 题 7 § 8 虚位移原理
例题
0)( AAy raMFQ?
a
b
aa
B
C
D
Q?
M
A
AyF
Cr
Ar
Br
0 MrFrQ AAyB
n
i
iW
1
即
0?Ar
a
MQF
Ay
（?）
§ 9.5 质点系平衡的广义力
1,广义力 以广义力表示的系统平衡条件
n
i
k
j
j
j
i
i qq
rF
1 1
)(?
k
j
j
n
i j
i
i qq
rF
1 1
)(?
W
n
i
ii rF
1
虚功方程各 之间要满足约束条件，故不是独立的，可用广义虚位移表示为
ir
jq? )~1( kj?
j
k
j j
i
i qq
rr
1
称为广义坐标 对应的广义力
jqjQ
令
n
i j
i
ij q
rFQ
1
kj ~1?
（ 8.35)
因此，虚功方程可写为
W
k
j
jj qQ
1
0?
2,广义力的计算
)( jW
n
i
ii rF
1
k
s
ss qQ
1
jj qQ
由于各个 独立
jq?
0?jQ kj ~1?系统的平衡条件,（ 8.36）
分别计算 k个广义力，
jQ
计算 时，选取一组特殊的广义虚位移，令 0?
jq? 0?sq?
ks ~1? js?但而这组虚位移下系统的虚功为：
则
j
j
j q
W
Q
)( j=1~k (8.37)
3,有势力场质点系的平衡问题设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能 V
),,,( 321 nxxxVV
),,,( 21 kqqqVV
或选取广义坐标与 相应的广义力：
jq
jQ?
n
i j
i
i q
rF
1
n
i j
i
i q
xF3
1
n
i j
i
i q
x
x
V3
1 jq
V
i
i x
VF
)3,,2,1( ni
各有势力直角坐标下的投影 Fi与势能的关系
dVdxFWd i
n
i
i
3
1
则系统的元功选取直角坐标 xi
x2
x1
x3
iF
(xi1,xi2,xi3)
0?
jq
V )~1( kj?平衡条件：
V?
k
k
qqVqqVqqV2
2
1
1
0?或
4.有势力场中质点系平衡的稳定性例如：考虑自重的杆的平衡问题。
即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值（ 或 ）的位形处。0?
jq
V
0?V?
以下仅讨论单自由度系统：
0qq?
设 在 处系统平衡。
)(qVV?
将 在
0q
处台劳展开)(qV
2
02
2
00 )(!2
1)()()(
00
dq
Vdqq
dq
dVqVqV
qqqq
0q
当 q在 附近时，略去二阶以上小量注意到，因 处于平衡位置，所以0q
0
0
qqdq
dV
2
02
2
0 )(!2
1)()(
0
dq
VdqVqV
则在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：
(1)取极小值 (2)取极大值 (3)拐点 (4)不变化
q对应的广义力 Q
dq
dV )(
02
2
0
dq
Vd
2
02
2
0 )(!2
1)()(
0
dq
VdqVqV
则
0)('' 0?qV(a) 当 时，有 )()( 0qVqV?
势能 V在 处取极小值，广义力 Q与广义位移的增量 的符号相反。0q
)( 0qq?
Q可使质点恢复到平衡位置。
0qq?
是质点系的稳定平衡位置。故当 时，0)(''
0?qV
)()( 0qVqV?0)('' 0?qV
(b)当 时，有势能 V在 处取极大值，广义力 Q与广义位移的增量的符号相同。0q)(
0qq?
Q可使质点离开平衡位置。
q对应的广义力 Q
dq
dV )(
02
2
0
dq
Vd
0)('' 0?qV(c)当 时，需考察 V=V(q)更高阶导数
(d)当 V=V(q0)=const时，广义力为零，随遇平衡
0qq?
是质点系的不稳定平衡位置。故 时，0)(''
0?qV
)(a
稳定平衡
)(b
不稳定平衡
)(d
随遇平衡在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为最小，称为最小势能原理。
三铰刚架受力如图，
求 C端的约束力。
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
系统的自由度为 2。
主动力：
CyCx FFQP
,,,
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
解：此为静定结构，自由度为 0,C端约束力有,去掉 C端约束，
CyCx FF
,
2
1
计算这两个广义坐标相应的广义力 Q1和 Q2：
CxF
CyF
2211, qq
取一组广义坐标,
1?
2?
为 AB绕 A点定轴转动的方位角为 BC相对于 AB绕 B点定轴转动的方位角
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2
1
CxF
CyF
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
1
)1(
)2(
aFaQbP
yFyQxP
W
Cy
CCyBD
计算系统的虚功：
0,0 21
(1)令此时 BC相对于 AB静止，整个系统绕 A定轴转动：
1 bx D
1221
22 a
ba
abay
B
12 ay C? 0?Cx?
1Q?
1
)1(
W
aFQaPb Cy 2
y
x
AB不动,BC以 B点为基点定轴转动：
2Q?
2
)2(
W bFaF
CyCx
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2
1
CxF
CyF
y
x
0,0 21（ 2）令
2222
22 b
ba
bbax
C
2222
22 a
ba
abay
C
2)2( )( bFaFW CyCx
系统的虚功为：
QPabF Cy 212 ( )
CyCx Fb
aF
QbaP 22 )22( QbaP ( )
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2
1
CxF
CyF
y
x
例 题 8 § 8 虚位移原理
例题
（ 3）广义力平衡条件
021 aFQaPbQ Cy
02 bFaFQ CyCx
例 题 11 § 8 虚位移原理
例题
O
r
O
r
r
O’
r
O’
放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆柱薄壳（半径均为 r)，分析其平衡的稳定性。
(设物体接触面间有足够的静摩擦力）
r
O
r
r
O
r
解：设上面物体重心为 C，
m为其质量，
仅有重力作功，
有势系统，存在势能 V：
)2c o s'c o s2( COrmgm g yV C
C
C
求导
)2s i n'2s i n2( COrmgV
O’
O’O’
gm?
gm?
)2c o s'4c o s2(2
2
COrmgV
0 为平衡位置
0 时
)'2(22
2
COrmgV
例 题 11 § 8 虚位移原理
例题
(地面为零点 )
O
r
O
r
rr
C
C
O’
O’O’
gm?
gm?
例 题 11 § 8 虚位移原理
例题
)'2(22
2
COrmgV
对半圆柱：
3
4' rCO? 0)
3
42(2
2
2
rrmgV
不稳定平衡！对半圆柱薄壳,?rCO 2'?
0)22(22
2
rrmgV 稳定平衡！
