工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 40 )
（下册）
§ 22 变形固体的动力失效问题
§ 22,1 概述构件所受载荷
—— 构件运动（有加速度）
载荷随时间变化
—— 从零缓慢增至终值引起静应力,静位移
st? st?
§ 10—
§ 18
动载荷静载荷引起动应力,动位移
d? d?
实验证明,只要胡克定律仍成立，弹性模量 E也不变
Pd
载荷随时间变化构件运动（有加速度） —— 惯性力问题动载荷 冲击载荷载荷随时间周期变化 —— 交变应力与 静载荷 相比，构件在 动载荷 下的强度问题有所不同，如：冲击载荷的时间效应和周期载荷的载荷作用积累效应等。
相同点：线弹性、小变形假设和材料常数（如弹性模量、切变模量、泊松比、屈服极限、强度极限等）
不变。
动载荷下的强度条件可类比于静载荷下的强度条件，仅将工作应力取为动应力即可。
§ 22,2 惯性力问题构件作有加速度的运动时,根据达朗贝尔原理，在构件上加上相应惯性力 —— 在形式上可转化为静力学问题求解。
构件作有加速度的运动时的强度、
刚度、稳定性加上相应惯性力 按变形体静力学问题求解工程中常见例子：
构件作匀加速（匀减速）直线运动,吊车起吊重物构件作匀速转动构件作匀加速（匀减速）转动：
：传动轴飞轮传动轴正常的启动和刹车均质杆 OA质量 m，长 l,由铅垂位置受扰动倒下。试求杆中的弯矩分布，
最大弯矩及位置。
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
A
O
B
mgl?
ICF?
nICF?
ICM
NdF
dM
SdF
解,以 A为原点，沿杆轴方向任一部位 B处切开，以 AB为研究对象。截面 B上的内力为动轴力,动剪力,动弯矩
NdF
SdF
dM
212 lmM IC?
)2( llmF IC 2)2( llmF nIC
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
A
O
B
mgl?
ICF?
nICF?
ICM
NdF
dM
SdF
0
1222
2
s in
2
m
l
l
m
mg
l
M
d
)62(s i n2
3
2
2
l
mmg
l
mM
d
1.列 B截面的内力方程
212 lmM IC?
)2( llmF IC 2)2( llmF nIC
对 AB部分,0 Bm
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
02s i n:0 lmgMm IOo?
2．求?
对杆 OA,画出受力图
OxF
OyF
IOF?
nIOF?
IOM
2lmF IO? 2
2?
lmF n
IO?
3
2ml
M IO?
对 OA：
2s i n3
2 l
mgml l
g
2
s in3
s i n)1(4)62(s i n2
23
2
2
ll
mg
l
mmg
l
mM
d
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
OxF
OyF
IOF?
nIOF?
IOM
s i n)1(4
2
ll
mgM
d
3.求动弯矩最大的危险截面
0?dtdM d
令得：
01)1(2 2 ll
3
2 l
危险截面在距 O点 处
3
l
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
OxF
OyF
IOF?
nIOF?
IOM
危险截面距 O点 处
s i n)1(4
2
ll
mgM
d 3
2 l
3
l
讨论,拆除旧烟囱，在根部定向爆破后，
根部开始断裂，烟囱倒下。当倾斜角度增大时，烟囱横截面上的弯矩也增大。
当弯矩 最大值所在截面（距根部处的最大拉应力达到强度极限时（砖石结构），烟囱就产生第二次断裂。这第二次断裂由惯性力引起。断裂从面向地面一侧开始。（若静载应在背向地面一侧有最大拉应力）。
dM 3/l
例 题 22-2 § 22 变形固体的动力失效问题
例题传动轴的正常刹车：
传动轴上的飞轮转动惯量很大,A端有一刹车离合器，
轴的转速为 n转 /分，轴的直径为 d，切变模量为 G，刹车时,A端施加一与轴的转动方向相反的常阻力偶，使飞轮在 的时间间隔内完全停止转动。求刹车时轴中的动应力。
t?
A B
例 题 22-2 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
AM
解,A端刹车时施加一与 方向相反的阻力偶矩,
飞轮和传动轴匀减速，角加速度为,
AM
tt?
0
（负号表示与角速度方向相反）
惯性力偶矩
tJJM I?
IM
对系统, 0m
AI MM?
对轴的任意横截面，扭矩为：
tJMT Id?
故轴内最大动应力：
tW
J
W
T
PP
d
d?
m a x
IM
dT
B
例 题 22-2 § 22 变形固体的动力失效问题
例题故轴内最大动应力：
tW
J
W
T
PP
d
d?
m a x
故：飞轮的转动惯量越大，刹车时间越短，轴内的动应力就越大。
A B
AM
IM
IM
dT
B
因此，高速转动轴都规定了严格的刹车时间。
§ 22,3 冲击问题设冲击物为 A，被冲击物为 B，研究被冲击物 B的强度。
假定,（ 1）冲击物 A为刚体，不储存变形能。
（ 2）被冲击物 B的质量远小于冲击物 A的质量 —— 可略去被冲击物 B的动能和势能。
（ 3）被冲击物在冲击时，始终处于线弹性。
（ 4）冲击物与被冲击物一经接触即附着在一起不分离。
22.3.1 铅垂冲击当冲击开始时，即冲击物与被冲击物将接触时，
冲击物的速度是铅垂方向的。
1.自由落体铅垂冲击初速为零的冲击物重量为 P,从高度 h处自由下落到被冲击物的 K点。
hP
KA B
二者接触前,P有一铅垂向下的速度；
二者接触后,P与梁共同向下运动，速度逐渐减小；
二者速度最终减小为零时，
结构变形达到最大值；
设此时被冲击物在冲击点处的位移为
Kd?
Kd?
dP
相应的动载荷为梁中应力为,
d? dP
(不同于静载荷 P）
hP
KA B
Kd?
dP
根据机械能守恒,位置 1：冲击前,P在高 h处，系统各点速度为零，构件变形为零 ;
位置 2：冲击后速度为零的位置，
构件达到变形最大，
取位置 2为势能零点
222111 dd UVTUVT
0 )(,0 111 UhPVT Kd?
KddPUVT?2
1,0,0
222
KddKd PhP 2
1)(
在线弹性范围内有：
d
st
d
st
dd K
P
P
（ 22.1）
st
d
st
dd
d P
PK
（ 22.1）动荷因数
hP
KA B
Kd?
dP
记 为将 冲击物的重力 P以静载方式作用于冲击点 K处，沿冲击方向产生的静位移 。
Kst?
PPPKP
K s t
Kd
st
d
dd?
KddKd PhP 2
1)(
代入能量守恒：
Kd
K s t
Kd
Kd PhP
2
1)( 0222 hK s tKdK s tKd整理：
)211(2 842
2
K s t
K s t
K s tK s tK s t
Kd
hh
K s t
K s t
K s tK s tK s t
Kd
hh
211
2
842 2
hP
KA B
Kd?
dP
自由落体铅垂冲击动荷因数
K s tK s t
Kd
d
hK
211 (22.2)
动荷因数与结构的静载变形有关（即与结构的刚度有关），与自由落体的下落高度有关。
若某个结构的动荷因数 Kd
已知，则：
stdd MKM?
stdd K
stdd K
(22.3)
关于动荷因数的讨论：
K s tK s t
Kd
d
hK
211 (22.2)
（ 1） 为冲击物的重力 P以静载方式作用于冲击点 K处，沿冲击方向上的静位移。
Kst?
例如：
hP
KA B PA B
Kd? Kst?
K s tdKd K
m a xm a x stdd K
m a xm a x stdd MKM?
k
P
EI
Pl
K s t
22
1
48
2
1
3
弹簧简支梁中点
其中,K点静位移：
dK dddM,,
关于动荷因数的讨论：
K s tK s t
Kd
d
hK
211 (22.2)
（ 2）在自由落体铅垂冲击的动荷因数式子中，令
h=0，即结构施加一个 突加载荷,则有：
2?dK
故突加载荷引起的应力和位移是同样大小静载荷的 2倍
2.重量为 P的冲击物以初速 铅垂冲击0v
BA
0v
机械能守恒，则其余与自由落体铅垂冲击同
2
01 2
1 v
g
PT
可得,
K s t
K s tKd g
hgv
211 20
以初速 铅垂冲击动荷因数
0v
st
d g
ghvK
211 20 (22.4)
22.3.2 水平冲击重量为 P 的冲击物以速度 v 沿水平方向冲击构件上 K点。 冲击过程中无势能变化，机械能守恒：
v
P
K
Kd?
dP
初始：
2
1 2
1 v
g
PT
终了：
KddPU?2
1
2?
22
2 KddPv
g
P
Kd
K s t
Kd P?
2
1
K s t
K s tKd g
v
2
K s tK s t
Kd
d g
vK
2
K s tK s t
Kd
d g
vK
2 (22.5)水平冲击动荷因数
22.3.3 扭转冲击
A B
例 22.2中的传动轴 正常刹车 时的最大动应力为：
tW
J
W
T
PP
d
d?
m a x
如果传动轴 A端 突然紧急刹车,
A端瞬间就停止转动，而 B端飞轮由于惯性继续转动，
AB轴将发生突然的扭转 —— 扭转冲击冲击物 —— 飞轮 被冲击物 —— AB轴机械能守恒,初始,2
1 2
1?JT?
终了：
P
d
dd GI
lTTU
22
1 2
2
A B
P
d
GI
lTJ
22
22
l
JGIT P
d
轴V
GJ
dl
GJ
lW
JGI
W
T
P
P
P
d
d
2
)4/(
2
22m a x
扭转冲击时，最大动应力与 飞轮的转动惯量 J成正比，与 传动轴的体积 V成反比。
A B
M p a
V
GJ
d 1 0 5 74/)1.0(1
50010802
60
10022
22
9
m a x
轴突然刹车：
正常刹车,
M p a
tW
J
P
d 67.2
10)1.0(
16
60
1002
500
2
m a x?
若轴长 l =1m，转速,
飞轮 J=500kgm2,d=100mm，
G=80Gpa,则：
r p mn 100?
若刹车时间,秒 10 t
两者相差 396倍！
故高速传动轴禁止突然刹车，且严格规定刹车时间。
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题直径为 d 的圆截面曲轴 ABC，
CD钢丝绳长 l,截面积为 A，
重物 P从 h处自由下落至托盘上，
轴与绳材料相同，已知弹性模量 E，泊松比,求轴内危险点的第三强度理论相当应力及绳内最大正应力。
3/1
A B
C
D
h P
a a
l
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题解：
EEEG 83)3/11(2)1(2
1.求动荷因数自由落体铅垂冲击：
K s t
d
hK
211
D s tK s t
本题中的
A B
C
D
h P
a a
l
2.求静位移可用单位载荷法（图乘法）：
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
C
D
P
a a
l
静载荷及内力图如图所示：
P
)( NF
Pa
（ M）
Pa （ T）
Pa（ M）
绳子：轴向拉伸杆 CB段：弯曲杆 AB段：弯曲 +扭转单位力及内力图如图所示：
A B
C
D
1
a a
l 1
)( NF
a
（ M）
a（ M）
a （ T）
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
C
D
P
a a
l P
)( NF
Pa
（ M）
Pa （ T）
Pa（ M）
A B
C
D
1
a a
l 1
)( NF
a
（ M）
a（ M）
a （ T）
)1 2 84(
2
3
4
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
32
4
3
3333
ald
dE
P
EI
Pa
EA
Pl
EI
Pa
EI
Pa
EA
Pl
GI
Pa
EI
Pa
EA
Pl
GI
aaPa
EI
aaPa
EA
lP
P
P
D s t
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
C
D
h P
a a
l
3.求
dK
)642(
11
)1 2 84(
2
11
32
4
32
4
aldP
hdE
aldP
dEh
K
d
4.轴内危险点为 A截面轴表面上、下缘
a
b
b
a
22223 44 ststddddr K
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
C
D
P
a a
l P
)( NF
Pa
（ M）
Pa （ T）
Pa（ M）
W
Pa
st W
Pa
W
Pa
P
st 2
W
Pa
aldP
hdE
W
Pa
W
Pa
KK
dststddr
2
]
)642(
1[1
)
2
(4)(4
32
4
2222
3
5.绳内最大正应力
A
P
aldP
hdEK
stdd ))642(11( 22
4
例 题 22-4 § 22 变形固体的动力失效问题
例题直径 d=4cm,长 l=4m的圆截面杆，
下端固连一刚性托盘，盘上有一弹簧，弹簧在 1kN静载压力下缩短 0.0625cm,杆的 E=200Gpa，
[?]=100Mpa,重物 A的重量
P=15kN,求其自由下落高度 h的最大许可值 ； 若无弹簧，则 h又为多少？
hl
d
A
例 题 22-4 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
hl
d
A
解,1.受力分析重物自由落体铅垂冲击，杆为轴向拉伸，
弹簧的刚度系数：
mmNmmNcmkNk /1 6 0 06 2 5.0 100 6 2 5.0 1
3
2.求动荷因数
dK
K s t
h
211
mmmm
k
P
EA
Pl
ll
K s t
3 7 5.92 3 9.0
1 6 0 0
1015
)40(
4
102 0 0
1041015
3
23
33
弹簧杆
d
P
mm6 1 4.9?
例 题 22-4 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
hl
d
A
动荷因数
614.9
211211 hhK
K s t
d
d
P
3.根据杆受冲击时的强度确定 h
][4 2m a xm a x d PKK dstdd
][4)6 1 4.9 211( 2 d Ph
mm
P
d
h
8.2 5 6}1)1
10154
)40(1 0 0
{(
2
6 1 4.9
}1)1
4
]{ ( [
2
6 1 4.9
2
3
2
2
2
mmh 8.256][
例 题 22-4 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
hl
d
A
d
P
mmh 8.256][
（有弹簧时）
4.无弹簧时
mmEAPlK s t 239.0
mm
P
d
h
38.6
}1)1
10154
)40(100
{(
2
239.0
}1)1
4
]{([
2
239.0
2
3
2
2
2
无弹簧时：
mmh 38.6][?
注意 （ 1）关于冲击载荷下结构的强度、刚度计算自由落体铅垂冲击动荷因数
K s tK s t
Kd
d
hK
211 (22.2)
以初速 铅垂冲击动荷因数
0v
st
d g
ghvK
211 20 (22.4)
K s tK s t
Kd
d g
vK
2 (22.5)水平冲击动荷因数除这几种情形，其他冲击载荷下的动荷因数表达式，
可根据机械能守恒定律推导，注意正确写出冲击前和冲击后达到变形最大值时的机械能。
关键是求出动荷因数
dK
，其他类比于静载。
(书中习题 22.16)
A
C O
v?
l
P
钢索起吊重物,P=25kN，以匀速
v=1m/s下降，当钢索长度 l=20m
时，滑轮突然卡住，钢索横截面积 A=414mm2,E=200Gpa,求动荷因数及钢索中的动载荷。
例 题 22-5
§ 22 变形固体的动力失效问题?例题
A
C O
v?
l
P
例 题 22-5
§ 22 变形固体的动力失效问题?例题解,1.分析滑轮卡住前的瞬间为状态 1，
卡住后 C点不动，但重物由于惯性继续下降，直到降至最低点 v=0，
绳子变形达到最大值，为状态 2，
令状态 2为重力势能零点。
状态 1：
自然状态
Kst?
Kd?
2
)(
2
1
1
2
1
K s t
K s tKd
P
U
PVv
g
P
T
状态 2：
2 0 0 211
KddPUVT
例 题 22-5
§ 22 变形固体的动力失效问题?例题
A
C O
v?
l
P
自然状态
Kst?
Kd?
2.代入机械能守恒定律
222111 UVTUVT
22)(2
2 KddK s t
K s tKd
PPPv
g
P
又
PPKP
K s t
Kd
dd?
代入得：
K s t
Kd
K s tK s tKdg
v
22 )(2
)1(
2
K s t
K s tKd g
v
K s tK s t
Kd
d g
vK
21
例 题 22-5
§ 22 变形固体的动力失效问题?例题
A
C O
v?
l
P
自然状态
Kst?
Kd?
3.求静位移
mmEAPlK s t 04.64 1 4102 0 0 10201025 3
33
11.51004.68.9 111 3
22
K s t
d g
vK
4.求动载荷
kNPKP dd 8.1272511.5
注意 （ 2）冲击与其他问题的组合
—— 冲击载荷作用于静不定结构，
dK
c．求
b．求静载方式下冲击点的静位移（静不定结构上求位移，可用单位载荷法、图乘法）。
a．首先将冲击物重力 P以静载方式沿冲击方向作用在被冲击结构的冲击点上，求解此静不定结构。
冲击 +静不定冲击 +稳定 —— 冲击载荷作用的结构中有压杆压杆涉及稳定性，要求：
][][m a xm a x st
st
cr
stdd nK?
A
C
B
1l
D
2l
a
v?
P
例如（书上例 22.5）：
冲击 +静不定 +稳定
1．,EAGIEI
p,,
若能选择 E,G 较低的材料，可以提高抗冲击能力。若仅仅减小,则在减小了刚度的同时，也会使静应力增大。结果未必能达到降低冲击应力目的。工程上一般采用的方法是增设 缓冲装置（弹簧，垫圈，弹性支承等） 。如课上例题 22.4，增加弹簧既能增加静位移，又不增加静应力。
AII p,,
22.3.4 提高构件抗冲击能力的措施
K s tK s t
Kd
d
hK
211dK?st?
若令 则结构静位移
EA
Pl
PGI
Tl
EI
Pl
48
3,.....
st?
与 有关
2A)2( P
v
∵ m a x2m a x1 stst
stst 21
EA
Pll
∴ 且 a 越小，动应力越大。dd 21
2,尽量增加构件长度 （ 许可范围 ）,以增加静位移 。
3,受拉压冲击构件最好采用等截面杆 。
1A 1A2A
a
)1( P
v
EA
Pl
PGI
Tl
EI
Pl
48
3,.....
st?
与 有关
§ 22,4 交变应力
24.4.1 交变应力与疲劳失效
1．交变应力：随时间作周期性变化的应力。
* 齿轮每转一周，每个轮齿只啮合一次。
啮合时，作用于轮齿上的力 P由 0迅速增大到最大值。然后又减小为零。引起齿根部的弯曲正应力也由 0增大到,再减小为零。
max?
实例,
* 火车轮轴若火车行驶，轮轴以角速度 转动，则除轴心外，任一点的应力都随时间变化。
tRIMIMy s in
* 弹簧等
t?
2R
2．疲劳失效的概念及特点实际上，疲劳是一种损伤积累的过程。其破坏完全不同于静载应力引起的破坏。
疲劳失效,某些构件（由于设计或加工工艺有问题），在交变应力作用下,经过长期的应力重复变化，会发生 突然断裂 。这种破坏现象习惯上称为疲劳失效（或疲劳破坏）。
（ 2）无论是脆性还是塑性材料。发生疲劳破坏时，
均表现为脆性断裂，即使塑性好的材料，事先也没有明显的塑性变形。
特点：
（ 1） 最大工作应力远低于静强度指标时,疲劳破坏就可能发生 。 （ 所以进行强度计算时,不能再采用静强度指标 ） 。 但这种破坏不是立刻发生的,而要经历一段时间,甚至很长时间 。
∴ 疲劳破坏没有先兆 。 断裂突然,后果严重 。
断口包含光滑区和粗糙区，疲劳失效过程分为三阶段：
（ 1）裂纹疲劳源的形成
（ 2）疲劳裂纹的扩展
（ 3）最后发生脆性断裂
3．疲劳失效的断口特征及成因循环特征（应力比）：
max
min
r
应力幅：
2
m i nm a x
a
平均应力,2 m i nm a xm
24.4.2 交变应力的描述应力最大值：
max?
应力最小值：
min?
一个应力循环?
max?
min?
a?
m?
t
任何一个交变应力均可用 表示其特征。
rma,,,,m i nm a x
（ 1）对称循环
mi nmax
例如：火车轮轴
0,,1 m a x mar
（ 2）脉动循环
0min
例如：齿轮的齿根部
m a x2
1,0
mar
（ 3）静载
minmax m i nm a x,0,1 mar
三种典型的交变应力：
t
t
t
max?
min?
a?
m?
t
任意非对称循环交变应力总可看成以下二者的叠加：
一个静载 +一个对称循环除对称循环外，所有 的交变应力统称为非对称循环。
1r
，以上均适用
对交变切应力：
（ 1）高循环疲劳（高周疲劳）：破坏时循环次数较高
24.4.3 材料的持久极限在交变应力下,产生疲劳破坏所需的应力循环数称 疲劳寿命 。
按疲劳寿命的高低将疲劳分为：
1,疲劳寿命
fN
54 10~10?N
（ 2）低循环疲劳：破坏时循环次数较低材料处于塑性状态。 例如：压力容器
54 10~10?N
∵ 时，疲劳破坏就可发生。所以静强度指标 不能用。那么许用应力怎么定？
m a x
n
构件的持久极限许用应力?
2,材料的持久极限：
持久极限：标准试件经历“无限次” 应力循环而不发生疲劳失效的最大应力。
标准试件：国家标准规定的光滑小试件，每组十根。
)10( 7
（ 1）弯曲对称循环疲劳试验加载形式：令 r = -1
取静载b %601.m a x
记录疲劳寿命
1N
当 减小到某一数值时，疲劳曲线趋于水平。
即 。 ∴ 称 为材料在对称循环下的材料持久极限。
1
N
imax,?
),,( 11m a x,N),,( 22m a x,N),,( m a x,ii N?实验结果：
max?
1
)(寿命N1N
1max,?
2max,?
imax,?
2N iN
同理可测定拉压疲劳极限，扭转疲劳极限等。
b
b
b
25.0
38.0)(
43.0(
1
1
1
拉压弯曲）
经验公式，可用于估算。
（ 2）同一种材料在不同循环特征的交变应力作用下，
持久极限是不同的。仍可设计不同 r值的试验进行测定。
画出一组曲线：
max?
N
1r
0?r
3.0?r
6.0?r
A
C
D
E
1
0?
实际构件的形状、尺寸、表面质量均不同于标准试件，必须考虑这些因素。
构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，截面尺寸突变引起应力集中。导致 （促裂纹产生、扩展、脆断），由有效应力集中系数 修正：
r?
k
1．构件外形的影响（应力集中）
22.4.4 对称循环下构件的持久极限修正
r?材料的持久极限?r? 构件的持久极限
K
k )(
1
1
1,无应力集中标准试件
K)( 1,有应力集中试件（除应力集中外，其它均与标准试件同）
显然 1?
k?k
也可类比定义
2．构件尺寸的影响随着试件横截面尺寸的增大,?
r?
（试件中处于高应力状态的金属结晶颗粒多，
包含的缺陷就多，更多形成疲劳纹）
尺寸系数,
1
1 )(
：大试件（除尺寸大外，其它同标准试件） )( 1?
：标准试件1
一般尺寸 >标准试件时,但当轴向拉压时，因横截面上应力均匀分布，尺寸大小对 无影响。可取 。
1
r?
1
3．构件表面加工质量的影响表面加工时的切削痕迹、擦伤等都会成为疲劳裂纹源，使
r?
表面质量因数,?
1
1 )(
：其它各种表面加工工艺的试件（其它参数同标准试件）
)( 1?
：标准试件（表面磨削加工）1
若想提高构件持久极限的值，可对表面进行强化处理。
使 。1
（ 1）淬火、渗碳、氮化等热处理及化学处理。
（ 2）滚压、喷丸等机械处理，使表面形成预压应力，减弱容易引起裂纹的工作拉应力。
综合上述三种因素,构件的持久极限 为：
11
k
11
k
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 40 )
（下册）
§ 22 变形固体的动力失效问题
§ 22,1 概述构件所受载荷
—— 构件运动（有加速度）
载荷随时间变化
—— 从零缓慢增至终值引起静应力,静位移
st? st?
§ 10—
§ 18
动载荷静载荷引起动应力,动位移
d? d?
实验证明,只要胡克定律仍成立，弹性模量 E也不变
Pd
载荷随时间变化构件运动（有加速度） —— 惯性力问题动载荷 冲击载荷载荷随时间周期变化 —— 交变应力与 静载荷 相比，构件在 动载荷 下的强度问题有所不同，如：冲击载荷的时间效应和周期载荷的载荷作用积累效应等。
相同点：线弹性、小变形假设和材料常数（如弹性模量、切变模量、泊松比、屈服极限、强度极限等）
不变。
动载荷下的强度条件可类比于静载荷下的强度条件，仅将工作应力取为动应力即可。
§ 22,2 惯性力问题构件作有加速度的运动时,根据达朗贝尔原理，在构件上加上相应惯性力 —— 在形式上可转化为静力学问题求解。
构件作有加速度的运动时的强度、
刚度、稳定性加上相应惯性力 按变形体静力学问题求解工程中常见例子：
构件作匀加速（匀减速）直线运动,吊车起吊重物构件作匀速转动构件作匀加速（匀减速）转动：
：传动轴飞轮传动轴正常的启动和刹车均质杆 OA质量 m，长 l,由铅垂位置受扰动倒下。试求杆中的弯矩分布，
最大弯矩及位置。
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
A
O
B
mgl?
ICF?
nICF?
ICM
NdF
dM
SdF
解,以 A为原点，沿杆轴方向任一部位 B处切开，以 AB为研究对象。截面 B上的内力为动轴力,动剪力,动弯矩
NdF
SdF
dM
212 lmM IC?
)2( llmF IC 2)2( llmF nIC
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
A
O
B
mgl?
ICF?
nICF?
ICM
NdF
dM
SdF
0
1222
2
s in
2
m
l
l
m
mg
l
M
d
)62(s i n2
3
2
2
l
mmg
l
mM
d
1.列 B截面的内力方程
212 lmM IC?
)2( llmF IC 2)2( llmF nIC
对 AB部分,0 Bm
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
02s i n:0 lmgMm IOo?
2．求?
对杆 OA,画出受力图
OxF
OyF
IOF?
nIOF?
IOM
2lmF IO? 2
2?
lmF n
IO?
3
2ml
M IO?
对 OA：
2s i n3
2 l
mgml l
g
2
s in3
s i n)1(4)62(s i n2
23
2
2
ll
mg
l
mmg
l
mM
d
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
OxF
OyF
IOF?
nIOF?
IOM
s i n)1(4
2
ll
mgM
d
3.求动弯矩最大的危险截面
0?dtdM d
令得：
01)1(2 2 ll
3
2 l
危险截面在距 O点 处
3
l
例 题 22-1 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A
O
mg
OxF
OyF
IOF?
nIOF?
IOM
危险截面距 O点 处
s i n)1(4
2
ll
mgM
d 3
2 l
3
l
讨论,拆除旧烟囱，在根部定向爆破后，
根部开始断裂，烟囱倒下。当倾斜角度增大时，烟囱横截面上的弯矩也增大。
当弯矩 最大值所在截面（距根部处的最大拉应力达到强度极限时（砖石结构），烟囱就产生第二次断裂。这第二次断裂由惯性力引起。断裂从面向地面一侧开始。（若静载应在背向地面一侧有最大拉应力）。
dM 3/l
例 题 22-2 § 22 变形固体的动力失效问题
例题传动轴的正常刹车：
传动轴上的飞轮转动惯量很大,A端有一刹车离合器，
轴的转速为 n转 /分，轴的直径为 d，切变模量为 G，刹车时,A端施加一与轴的转动方向相反的常阻力偶，使飞轮在 的时间间隔内完全停止转动。求刹车时轴中的动应力。
t?
A B
例 题 22-2 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
AM
解,A端刹车时施加一与 方向相反的阻力偶矩,
飞轮和传动轴匀减速，角加速度为,
AM
tt?
0
（负号表示与角速度方向相反）
惯性力偶矩
tJJM I?
IM
对系统, 0m
AI MM?
对轴的任意横截面，扭矩为：
tJMT Id?
故轴内最大动应力：
tW
J
W
T
PP
d
d?
m a x
IM
dT
B
例 题 22-2 § 22 变形固体的动力失效问题
例题故轴内最大动应力：
tW
J
W
T
PP
d
d?
m a x
故：飞轮的转动惯量越大，刹车时间越短，轴内的动应力就越大。
A B
AM
IM
IM
dT
B
因此，高速转动轴都规定了严格的刹车时间。
§ 22,3 冲击问题设冲击物为 A，被冲击物为 B，研究被冲击物 B的强度。
假定,（ 1）冲击物 A为刚体，不储存变形能。
（ 2）被冲击物 B的质量远小于冲击物 A的质量 —— 可略去被冲击物 B的动能和势能。
（ 3）被冲击物在冲击时，始终处于线弹性。
（ 4）冲击物与被冲击物一经接触即附着在一起不分离。
22.3.1 铅垂冲击当冲击开始时，即冲击物与被冲击物将接触时，
冲击物的速度是铅垂方向的。
1.自由落体铅垂冲击初速为零的冲击物重量为 P,从高度 h处自由下落到被冲击物的 K点。
hP
KA B
二者接触前,P有一铅垂向下的速度；
二者接触后,P与梁共同向下运动，速度逐渐减小；
二者速度最终减小为零时，
结构变形达到最大值；
设此时被冲击物在冲击点处的位移为
Kd?
Kd?
dP
相应的动载荷为梁中应力为,
d? dP
(不同于静载荷 P）
hP
KA B
Kd?
dP
根据机械能守恒,位置 1：冲击前,P在高 h处，系统各点速度为零，构件变形为零 ;
位置 2：冲击后速度为零的位置，
构件达到变形最大，
取位置 2为势能零点
222111 dd UVTUVT
0 )(,0 111 UhPVT Kd?
KddPUVT?2
1,0,0
222
KddKd PhP 2
1)(
在线弹性范围内有：
d
st
d
st
dd K
P
P
（ 22.1）
st
d
st
dd
d P
PK
（ 22.1）动荷因数
hP
KA B
Kd?
dP
记 为将 冲击物的重力 P以静载方式作用于冲击点 K处，沿冲击方向产生的静位移 。
Kst?
PPPKP
K s t
Kd
st
d
dd?
KddKd PhP 2
1)(
代入能量守恒：
Kd
K s t
Kd
Kd PhP
2
1)( 0222 hK s tKdK s tKd整理：
)211(2 842
2
K s t
K s t
K s tK s tK s t
Kd
hh
K s t
K s t
K s tK s tK s t
Kd
hh
211
2
842 2
hP
KA B
Kd?
dP
自由落体铅垂冲击动荷因数
K s tK s t
Kd
d
hK
211 (22.2)
动荷因数与结构的静载变形有关（即与结构的刚度有关），与自由落体的下落高度有关。
若某个结构的动荷因数 Kd
已知，则：
stdd MKM?
stdd K
stdd K
(22.3)
关于动荷因数的讨论：
K s tK s t
Kd
d
hK
211 (22.2)
（ 1） 为冲击物的重力 P以静载方式作用于冲击点 K处，沿冲击方向上的静位移。
Kst?
例如：
hP
KA B PA B
Kd? Kst?
K s tdKd K
m a xm a x stdd K
m a xm a x stdd MKM?
k
P
EI
Pl
K s t
22
1
48
2
1
3
弹簧简支梁中点
其中,K点静位移：
dK dddM,,
关于动荷因数的讨论：
K s tK s t
Kd
d
hK
211 (22.2)
（ 2）在自由落体铅垂冲击的动荷因数式子中，令
h=0，即结构施加一个 突加载荷,则有：
2?dK
故突加载荷引起的应力和位移是同样大小静载荷的 2倍
2.重量为 P的冲击物以初速 铅垂冲击0v
BA
0v
机械能守恒，则其余与自由落体铅垂冲击同
2
01 2
1 v
g
PT
可得,
K s t
K s tKd g
hgv
211 20
以初速 铅垂冲击动荷因数
0v
st
d g
ghvK
211 20 (22.4)
22.3.2 水平冲击重量为 P 的冲击物以速度 v 沿水平方向冲击构件上 K点。 冲击过程中无势能变化，机械能守恒：
v
P
K
Kd?
dP
初始：
2
1 2
1 v
g
PT
终了：
KddPU?2
1
2?
22
2 KddPv
g
P
Kd
K s t
Kd P?
2
1
K s t
K s tKd g
v
2
K s tK s t
Kd
d g
vK
2
K s tK s t
Kd
d g
vK
2 (22.5)水平冲击动荷因数
22.3.3 扭转冲击
A B
例 22.2中的传动轴 正常刹车 时的最大动应力为：
tW
J
W
T
PP
d
d?
m a x
如果传动轴 A端 突然紧急刹车,
A端瞬间就停止转动，而 B端飞轮由于惯性继续转动，
AB轴将发生突然的扭转 —— 扭转冲击冲击物 —— 飞轮 被冲击物 —— AB轴机械能守恒,初始,2
1 2
1?JT?
终了：
P
d
dd GI
lTTU
22
1 2
2
A B
P
d
GI
lTJ
22
22
l
JGIT P
d
轴V
GJ
dl
GJ
lW
JGI
W
T
P
P
P
d
d
2
)4/(
2
22m a x
扭转冲击时，最大动应力与 飞轮的转动惯量 J成正比，与 传动轴的体积 V成反比。
A B
M p a
V
GJ
d 1 0 5 74/)1.0(1
50010802
60
10022
22
9
m a x
轴突然刹车：
正常刹车,
M p a
tW
J
P
d 67.2
10)1.0(
16
60
1002
500
2
m a x?
若轴长 l =1m，转速,
飞轮 J=500kgm2,d=100mm，
G=80Gpa,则：
r p mn 100?
若刹车时间,秒 10 t
两者相差 396倍！
故高速传动轴禁止突然刹车，且严格规定刹车时间。
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题直径为 d 的圆截面曲轴 ABC，
CD钢丝绳长 l,截面积为 A，
重物 P从 h处自由下落至托盘上，
轴与绳材料相同，已知弹性模量 E，泊松比,求轴内危险点的第三强度理论相当应力及绳内最大正应力。
3/1
A B
C
D
h P
a a
l
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题解：
EEEG 83)3/11(2)1(2
1.求动荷因数自由落体铅垂冲击：
K s t
d
hK
211
D s tK s t
本题中的
A B
C
D
h P
a a
l
2.求静位移可用单位载荷法（图乘法）：
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
C
D
P
a a
l
静载荷及内力图如图所示：
P
)( NF
Pa
（ M）
Pa （ T）
Pa（ M）
绳子：轴向拉伸杆 CB段：弯曲杆 AB段：弯曲 +扭转单位力及内力图如图所示：
A B
C
D
1
a a
l 1
)( NF
a
（ M）
a（ M）
a （ T）
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
C
D
P
a a
l P
)( NF
Pa
（ M）
Pa （ T）
Pa（ M）
A B
C
D
1
a a
l 1
)( NF
a
（ M）
a（ M）
a （ T）
)1 2 84(
2
3
4
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
32
4
3
3333
ald
dE
P
EI
Pa
EA
Pl
EI
Pa
EI
Pa
EA
Pl
GI
Pa
EI
Pa
EA
Pl
GI
aaPa
EI
aaPa
EA
lP
P
P
D s t
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
C
D
h P
a a
l
3.求
dK
)642(
11
)1 2 84(
2
11
32
4
32
4
aldP
hdE
aldP
dEh
K
d
4.轴内危险点为 A截面轴表面上、下缘
a
b
b
a
22223 44 ststddddr K
例 题 22-3 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
A B
C
D
P
a a
l P
)( NF
Pa
（ M）
Pa （ T）
Pa（ M）
W
Pa
st W
Pa
W
Pa
P
st 2
W
Pa
aldP
hdE
W
Pa
W
Pa
KK
dststddr
2
]
)642(
1[1
)
2
(4)(4
32
4
2222
3
5.绳内最大正应力
A
P
aldP
hdEK
stdd ))642(11( 22
4
例 题 22-4 § 22 变形固体的动力失效问题
例题直径 d=4cm,长 l=4m的圆截面杆，
下端固连一刚性托盘，盘上有一弹簧，弹簧在 1kN静载压力下缩短 0.0625cm,杆的 E=200Gpa，
[?]=100Mpa,重物 A的重量
P=15kN,求其自由下落高度 h的最大许可值 ； 若无弹簧，则 h又为多少？
hl
d
A
例 题 22-4 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
hl
d
A
解,1.受力分析重物自由落体铅垂冲击，杆为轴向拉伸，
弹簧的刚度系数：
mmNmmNcmkNk /1 6 0 06 2 5.0 100 6 2 5.0 1
3
2.求动荷因数
dK
K s t
h
211
mmmm
k
P
EA
Pl
ll
K s t
3 7 5.92 3 9.0
1 6 0 0
1015
)40(
4
102 0 0
1041015
3
23
33
弹簧杆
d
P
mm6 1 4.9?
例 题 22-4 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
hl
d
A
动荷因数
614.9
211211 hhK
K s t
d
d
P
3.根据杆受冲击时的强度确定 h
][4 2m a xm a x d PKK dstdd
][4)6 1 4.9 211( 2 d Ph
mm
P
d
h
8.2 5 6}1)1
10154
)40(1 0 0
{(
2
6 1 4.9
}1)1
4
]{ ( [
2
6 1 4.9
2
3
2
2
2
mmh 8.256][
例 题 22-4 § 22 变形固体的动力失效问题
例题
hl
d
A
d
P
mmh 8.256][
（有弹簧时）
4.无弹簧时
mmEAPlK s t 239.0
mm
P
d
h
38.6
}1)1
10154
)40(100
{(
2
239.0
}1)1
4
]{([
2
239.0
2
3
2
2
2
无弹簧时：
mmh 38.6][?
注意 （ 1）关于冲击载荷下结构的强度、刚度计算自由落体铅垂冲击动荷因数
K s tK s t
Kd
d
hK
211 (22.2)
以初速 铅垂冲击动荷因数
0v
st
d g
ghvK
211 20 (22.4)
K s tK s t
Kd
d g
vK
2 (22.5)水平冲击动荷因数除这几种情形，其他冲击载荷下的动荷因数表达式，
可根据机械能守恒定律推导，注意正确写出冲击前和冲击后达到变形最大值时的机械能。
关键是求出动荷因数
dK
，其他类比于静载。
(书中习题 22.16)
A
C O
v?
l
P
钢索起吊重物,P=25kN，以匀速
v=1m/s下降，当钢索长度 l=20m
时，滑轮突然卡住，钢索横截面积 A=414mm2,E=200Gpa,求动荷因数及钢索中的动载荷。
例 题 22-5
§ 22 变形固体的动力失效问题?例题
A
C O
v?
l
P
例 题 22-5
§ 22 变形固体的动力失效问题?例题解,1.分析滑轮卡住前的瞬间为状态 1，
卡住后 C点不动，但重物由于惯性继续下降，直到降至最低点 v=0，
绳子变形达到最大值，为状态 2，
令状态 2为重力势能零点。
状态 1：
自然状态
Kst?
Kd?
2
)(
2
1
1
2
1
K s t
K s tKd
P
U
PVv
g
P
T
状态 2：
2 0 0 211
KddPUVT
例 题 22-5
§ 22 变形固体的动力失效问题?例题
A
C O
v?
l
P
自然状态
Kst?
Kd?
2.代入机械能守恒定律
222111 UVTUVT
22)(2
2 KddK s t
K s tKd
PPPv
g
P
又
PPKP
K s t
Kd
dd?
代入得：
K s t
Kd
K s tK s tKdg
v
22 )(2
)1(
2
K s t
K s tKd g
v
K s tK s t
Kd
d g
vK
21
例 题 22-5
§ 22 变形固体的动力失效问题?例题
A
C O
v?
l
P
自然状态
Kst?
Kd?
3.求静位移
mmEAPlK s t 04.64 1 4102 0 0 10201025 3
33
11.51004.68.9 111 3
22
K s t
d g
vK
4.求动载荷
kNPKP dd 8.1272511.5
注意 （ 2）冲击与其他问题的组合
—— 冲击载荷作用于静不定结构，
dK
c．求
b．求静载方式下冲击点的静位移（静不定结构上求位移，可用单位载荷法、图乘法）。
a．首先将冲击物重力 P以静载方式沿冲击方向作用在被冲击结构的冲击点上，求解此静不定结构。
冲击 +静不定冲击 +稳定 —— 冲击载荷作用的结构中有压杆压杆涉及稳定性，要求：
][][m a xm a x st
st
cr
stdd nK?
A
C
B
1l
D
2l
a
v?
P
例如（书上例 22.5）：
冲击 +静不定 +稳定
1．,EAGIEI
p,,
若能选择 E,G 较低的材料，可以提高抗冲击能力。若仅仅减小,则在减小了刚度的同时，也会使静应力增大。结果未必能达到降低冲击应力目的。工程上一般采用的方法是增设 缓冲装置（弹簧，垫圈，弹性支承等） 。如课上例题 22.4，增加弹簧既能增加静位移，又不增加静应力。
AII p,,
22.3.4 提高构件抗冲击能力的措施
K s tK s t
Kd
d
hK
211dK?st?
若令 则结构静位移
EA
Pl
PGI
Tl
EI
Pl
48
3,.....
st?
与 有关
2A)2( P
v
∵ m a x2m a x1 stst
stst 21
EA
Pll
∴ 且 a 越小，动应力越大。dd 21
2,尽量增加构件长度 （ 许可范围 ）,以增加静位移 。
3,受拉压冲击构件最好采用等截面杆 。
1A 1A2A
a
)1( P
v
EA
Pl
PGI
Tl
EI
Pl
48
3,.....
st?
与 有关
§ 22,4 交变应力
24.4.1 交变应力与疲劳失效
1．交变应力：随时间作周期性变化的应力。
* 齿轮每转一周，每个轮齿只啮合一次。
啮合时，作用于轮齿上的力 P由 0迅速增大到最大值。然后又减小为零。引起齿根部的弯曲正应力也由 0增大到,再减小为零。
max?
实例,
* 火车轮轴若火车行驶，轮轴以角速度 转动，则除轴心外，任一点的应力都随时间变化。
tRIMIMy s in
* 弹簧等
t?
2R
2．疲劳失效的概念及特点实际上，疲劳是一种损伤积累的过程。其破坏完全不同于静载应力引起的破坏。
疲劳失效,某些构件（由于设计或加工工艺有问题），在交变应力作用下,经过长期的应力重复变化，会发生 突然断裂 。这种破坏现象习惯上称为疲劳失效（或疲劳破坏）。
（ 2）无论是脆性还是塑性材料。发生疲劳破坏时，
均表现为脆性断裂，即使塑性好的材料，事先也没有明显的塑性变形。
特点：
（ 1） 最大工作应力远低于静强度指标时,疲劳破坏就可能发生 。 （ 所以进行强度计算时,不能再采用静强度指标 ） 。 但这种破坏不是立刻发生的,而要经历一段时间,甚至很长时间 。
∴ 疲劳破坏没有先兆 。 断裂突然,后果严重 。
断口包含光滑区和粗糙区，疲劳失效过程分为三阶段：
（ 1）裂纹疲劳源的形成
（ 2）疲劳裂纹的扩展
（ 3）最后发生脆性断裂
3．疲劳失效的断口特征及成因循环特征（应力比）：
max
min
r
应力幅：
2
m i nm a x
a
平均应力,2 m i nm a xm
24.4.2 交变应力的描述应力最大值：
max?
应力最小值：
min?
一个应力循环?
max?
min?
a?
m?
t
任何一个交变应力均可用 表示其特征。
rma,,,,m i nm a x
（ 1）对称循环
mi nmax
例如：火车轮轴
0,,1 m a x mar
（ 2）脉动循环
0min
例如：齿轮的齿根部
m a x2
1,0
mar
（ 3）静载
minmax m i nm a x,0,1 mar
三种典型的交变应力：
t
t
t
max?
min?
a?
m?
t
任意非对称循环交变应力总可看成以下二者的叠加：
一个静载 +一个对称循环除对称循环外，所有 的交变应力统称为非对称循环。
1r
，以上均适用
对交变切应力：
（ 1）高循环疲劳（高周疲劳）：破坏时循环次数较高
24.4.3 材料的持久极限在交变应力下,产生疲劳破坏所需的应力循环数称 疲劳寿命 。
按疲劳寿命的高低将疲劳分为：
1,疲劳寿命
fN
54 10~10?N
（ 2）低循环疲劳：破坏时循环次数较低材料处于塑性状态。 例如：压力容器
54 10~10?N
∵ 时，疲劳破坏就可发生。所以静强度指标 不能用。那么许用应力怎么定？
m a x
n
构件的持久极限许用应力?
2,材料的持久极限：
持久极限：标准试件经历“无限次” 应力循环而不发生疲劳失效的最大应力。
标准试件：国家标准规定的光滑小试件，每组十根。
)10( 7
（ 1）弯曲对称循环疲劳试验加载形式：令 r = -1
取静载b %601.m a x
记录疲劳寿命
1N
当 减小到某一数值时，疲劳曲线趋于水平。
即 。 ∴ 称 为材料在对称循环下的材料持久极限。
1
N
imax,?
),,( 11m a x,N),,( 22m a x,N),,( m a x,ii N?实验结果：
max?
1
)(寿命N1N
1max,?
2max,?
imax,?
2N iN
同理可测定拉压疲劳极限，扭转疲劳极限等。
b
b
b
25.0
38.0)(
43.0(
1
1
1
拉压弯曲）
经验公式，可用于估算。
（ 2）同一种材料在不同循环特征的交变应力作用下，
持久极限是不同的。仍可设计不同 r值的试验进行测定。
画出一组曲线：
max?
N
1r
0?r
3.0?r
6.0?r
A
C
D
E
1
0?
实际构件的形状、尺寸、表面质量均不同于标准试件，必须考虑这些因素。
构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，截面尺寸突变引起应力集中。导致 （促裂纹产生、扩展、脆断），由有效应力集中系数 修正：
r?
k
1．构件外形的影响（应力集中）
22.4.4 对称循环下构件的持久极限修正
r?材料的持久极限?r? 构件的持久极限
K
k )(
1
1
1,无应力集中标准试件
K)( 1,有应力集中试件（除应力集中外，其它均与标准试件同）
显然 1?
k?k
也可类比定义
2．构件尺寸的影响随着试件横截面尺寸的增大,?
r?
（试件中处于高应力状态的金属结晶颗粒多，
包含的缺陷就多，更多形成疲劳纹）
尺寸系数,
1
1 )(
：大试件（除尺寸大外，其它同标准试件） )( 1?
：标准试件1
一般尺寸 >标准试件时,但当轴向拉压时，因横截面上应力均匀分布，尺寸大小对 无影响。可取 。
1
r?
1
3．构件表面加工质量的影响表面加工时的切削痕迹、擦伤等都会成为疲劳裂纹源，使
r?
表面质量因数,?
1
1 )(
：其它各种表面加工工艺的试件（其它参数同标准试件）
)( 1?
：标准试件（表面磨削加工）1
若想提高构件持久极限的值，可对表面进行强化处理。
使 。1
（ 1）淬火、渗碳、氮化等热处理及化学处理。
（ 2）滚压、喷丸等机械处理，使表面形成预压应力，减弱容易引起裂纹的工作拉应力。
综合上述三种因素,构件的持久极限 为：
11
k
11
k
