工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 37)
（下册）
§ 20 动量原理
§ 20.5 动量矩
20.5.1.质点的动量矩质点的动量对某点之矩 vmrvmL
O
(20.17)
若在点 O建立直角坐标系 Oxyz，则
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
vmL
kyvxvmjxvxvmizvyvm xyzxyz
x,y,z为质点的坐标，
，,分别为质点的速度 在 x,y,z轴上的投影。xv yv zv v?
x
y
z
m
O r?
v?
OL
(20.18)kLjLiL
zyx
（类比于力对点之矩、力对轴之矩）
x
y
z
m
O r?
v?
OL
其中，质点动量对 x,y,z轴之矩分别为：
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
vmL
kyvxvmjxvxvmizvyvm xyzxyz
kLjLiL zyx (20.18)
xyzzxyyzx yvxvmLxvxvmLzvyvmL,,
(20.19)
质点动量对任意 l 轴之矩：
其中 O为 l 轴上任意一点。
0)( lvmLL Ol (20.20)
l 轴显然，质点对点的动量矩是一个定位矢量，而质点对轴的动量矩是一个代数量。
当质点作平面运动时，动量对平面内某点 O之矩或对 Oz轴之矩均为,O v?
mm vhL O （ 20.21）
符号规定,?为正,?为负
20.5.2,质点系的动量矩设质点系中质点 相对于某一固定点 O的矢径为,iD
ir?
动量为 。iivmni,,2,1
iD
ir?
iivm?
x
y
z
O
iiin
i
iiO
n
i
O vmrvmLL
11
(20.22)
质点系对某固定点 O的动量矩 为：OL?
1.质点系对 固定点、固定轴 的动量矩质点系对某一固定轴 l 的动量矩 为：
lL
iiln
i
l vmLL
1
(20.23)
ir?
iivm?
x
y
z
O
l 轴
n
i
iiiO hvmL
1
（ 20.24）
同理，质点系平面运动时，质点系动量对平面内某点 O之矩或对 Oz轴之矩均为：
O v?
m符号规定,?为正,?为负
2,质点系对 动点 的动量矩设在惯性参考系中有任意一动点 A，其速度为 。
Av?
固连于动点 A建立平移直角坐标系,zyxA
Aii vvv rni,,2,1
(20.25)
iiin
i
iiA
n
i
A vmrvmLL
11
(20.26) x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
ir
riv
ir
将质点系中各质点的绝对动量 对动点 A的矩的矢量和定义为 质点系对动点
A的绝对动量矩,用 表示，即：AL?
iivm?
ir质点系中质点
iD
ivr?
相对速度绝对速度
iv
相对矢径绝对矢径
ir?
将质点系中各质点的相对动量 对动点 A的矩的矢量和定义为 质点系对动点 A的相对动量矩,用 表示，
即：
iivm r?
rAL?
iiin
i
iiA
n
i
A vmrvmLL r
1
r
r
1
r
(20.27)
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
ir
riv
ir
质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系：
将式 (20.25)代入式 (20.26):
)()(
11
riAi
n
i
iii
n
i
iA vvmrvmrL
Ai
n
i
i
r
A
Ai
n
i
irii
n
i
i
vmrL
vmrvmr
)(
)()(
1
11
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
ir
riv
ir
ACAA vmrLL r (20.28)
Ai
n
i
i
r
AA vmrLL
)(
1
由质点系质心 C相对于动点 A
的矢径公式 可得：
m
rm
r
ii
n
i
C
1
i
n
i
iC mrmr?
1
故 质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系为：
其中 为质点系质心 C在动系中的相对坐标,为动点的绝对速度。
Cr
Av?
ACAA vmrLL r (20.29)
若取动点 A为质点系的质心 C时，,0
CAC vvr
故：
r
CC LL
(20.30)
质点系对质心的动量矩,无论是在固定坐标系还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。
故质点系对不同的 A,O两点的动量矩的关系为：
pAOLL OA
i
n
i
i vmp
1
（ 20.31）
注意 质点系对某点的动量矩不等于质点系动量对该点之矩！
即
i
n
i
iCCii
n
i
iO vmrprvmrL
11
（见书上例 22.4）
3.对惯性系中不同的 A,O两点的动量矩之间关系类比于力对不同两点的力矩之间的关系，
力对 A,O两点之矩关系为 FAOFmFm
OA
)()(
A
O
F?
20.5.3 刚体的动量矩
1,平移刚体的动量矩当刚体作平移时，建立质心平移坐标系，各质点的相对速度,故0
r?iv
0r CC LL (20.32)
平移刚体对任意固定点 A的动量矩为：
pACLL CA
CA vmACL (20.33)
平移刚体对任意确定点 A的动量矩等于将平移刚体的质量视为全部集中在质心 C上时对点 A的动量矩。
O
x
y
z
x’
y’
z’
C
Cv
A
当平移刚体作平面曲线运动时，对该平面内任一点的动量矩可视为代数量 。hmvL
CA
h
2,定轴转动刚体的动量矩
O
x
y
z
md
r?
OL
在转轴上任取一点 O，
建立惯性参考空间中的直角坐标系 Oxyz，
使 z轴与转轴重合，
则定轴转动刚体的角速度为 k
设质量为 的微元，相对于点 O的矢径为,md r?
在直角坐标系 Oxyz中的坐标为,zyx,,
kzjyixr
其速度为 rv
定轴转动刚体对定点 O的动量矩为
mvrL mO d mrrm d mrrr
m d
2
mkzjyixzkzyxm d222
kmyxjmyzimxz mmm ddd 22
kJjJiJ zyzxz (20.34)
mvrL mO d kJjJiJ zyzxz (20.34)
故,定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量一般不沿转轴的方向 。
O
x
y
z
md
r?
OL
特别,当转轴 z 轴为刚体的惯量主轴时,有
0,0 yzxz JJ
zzO JkJL 动量矩矢量沿转轴方向也可用代数量表示：
zO JL?
与 转向相同? (20.35)
例如，刚体作平面定轴转动，转轴垂直于刚体的质量对称面时。
3,一般平面运动刚体的动量矩建立惯性参考空间中的定系 Oxyz和质心平移坐标系,zyxC
kJjJiJLL zzyzxCC r (20.36)
C?
CL
O
z
x
y
使三对坐标轴分别平行，且使,
轴垂直于刚体的运动平面，则一般平面运动刚体相对该平移坐标系为绕轴的定轴转动：
Oz zC?
zC?
若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面，
则 轴为刚体对点 C的惯量主轴，即,
上式变为
0 zyzx JJzC?
CC JL?
(20.37)
式中 为一般平面运动刚体对 的转动惯量。CJ zC?
CC JL? (20.38)
也可视为代数量CL?
C?
CL
O
z
x
y
Cv?
CC JL?
(20.37)
若对该刚体运动平面上的任意固定点 A，则有：
对任意固定点 A，则有：
hA
hvmLL CCA (20.40)
CCA vmACLL
(20.39)
例 题 20-6
§ 20 动量原理?例题
Or
BM
m
求系统对转轴 O点的动量矩。
解,轮 O定轴转动，块 B平动，
)(rv B
2221 MrmrrMvJL BOO
（负号表示转向为?）
例 题 20-7
§ 20 动量原理?例题
A
C rm
Cv
均质圆柱，半径为 r，质量为 m，绕有细绳，
A端固定，圆柱质心 C以速度 vC向下运动，
求圆柱对质心 C及定点 A的动量矩。
解,圆柱作一般平面运动
r
vC （?）
CC
r
CC mr vmrJLL 2
1
2
1 2
若建立质心平移坐标系，则轮子的相对运动为绕质心的定轴转动
（负号表示?）
CCCCCA mvmr vmr vrmvLL 2
3
2
1
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题圆盘 O半径为 r，质量 m，以角速度?转动,均质杆 AB质量为
m，长为 2r，滑块 B质量为 m，
在水平轨道内运动,A,B处为铰接，某瞬时杆 AB处于水平位置，求此瞬时系统的动能，动量，对 O点的动量矩。
O
A B
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
O
A B
解,圆盘为定轴转动，滑块为平动，杆为一般平面运动，
Av
Bv
杆 AB此瞬时为平动
)(rvv BA
系统该时刻的动能：
222222
222
4
5
2
1
2)
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
mrmrmr
mvmvJT BAO
系统该时刻的动量：
Ci
i
i vmp
3
1
)( 2mrmvmvp BA
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
O
A B
Av
Bv
系统该瞬时对点 O的动量矩：
222
2
5
2
2
1
mrmrmr
rvmrvmJL BAOO
块杆盘
（?）
注意：系统该瞬时的动能、动量、动量矩都是特殊位置的量，不可求导！
§ 20.6 动量矩定理
20.6.1 质点的动量矩定理质点对固定点的动量矩定理
vmrtvmLt O dddd
设质量为 的质点 D对固定点 O的矢径为,作用其上的合力为
r?m
F?
vmtrvmtr dddd
vmtrvmv ddvm
tr
d
d amr FrFM O
质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的合力对同一点的矩。
(20.41)
)(dd FMvmLt OO
20.6.2 质点系的动量矩定理
1,质点系对固定点的动量矩定理设作用于质点系中各质点 上内力和外力的合力分别为 和,
iDni,,2,1
iiFeiF? 各质点质量为,对每个质点：im
(20.42)
iiO vmLt
d
dei iOiO FMFMni,,2,1
iiO
n
i
vmLt
1d
de
1
i
1
iO
n
i
iO
n
i
FMFM
0i
1
iO
n
i
FM
tLOdd
e
1
iO
n
i
FM
eOM (20.43)
质点系对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的外力系对同一点的主矩。
iiO
n
i
vmLtdd
1
e
1
i
1
iO
n
i
iO
n
i
FMFM
对系统内所有质点求和：
ir?
iivm?
x
y
z
O
)(iiF?
)(eiF?
质点系对某一固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的外力系对同一轴的矩。
式 (20.43)为一矢量式，它可以向过点 O的某一固定直角坐标轴（如 z轴）上投影：
e
d
d
z
z M
t
L? (20.44)
tLLttL zzO
z
O
d
d
d
d
d
d
)()( )( e
zzeO MM?
ir?
iivm?
x
y
z
O )(eiF?
若质点系作平面运动,O点为平面内一点，
可取为代数量,O
L?
)( e
O
O M
dt
dL? (20.45)
平面运动时 质点系对固定点的动量矩定理
)(,eOO ML 均以逆时针转动为正质点系对固定轴的动量矩定理e
d
d
z
z M
t
L? (20.44)
tLOdd
e
1
iO
n
i
FM
eOM (20.43)
质点系对固定点的动量矩定理
2,质点系对动点的动量矩定理
ACAA vmrLL r
OArr
CC
AAC
AA amACvmv
t
L
t
L
dddd
r (20.46)
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z任选动点 A，建立定坐标系及固连于动点 A的平移动坐标系，由对动点 A的绝对、相对动量矩之关系式（ 20.29）：
ACACAA amrvmtrtLtL
dddddd
r求导：
Cv
Cr
Cr C
AC
CC vv
dt
OAd
dt
rd
dt
rd )(求导：
0 AA vv又：
质点系对动点 A的绝对、相对动量矩导数之关系
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
Cv
Cr
Cr C
pOALL AO
设点 O为惯性空间中某一固定点，
由 O,A两点的动量矩之间关系：
Cvmp其中
t
pOAp
t
OA
t
L
t
L AO
d
d
d
d
d
d
d
d
求导：
43.20
d
d?
t
L O
eOM?
由对定点 O的动量矩定理
e
R
15.20
Famdt pd C
动量定理的微分形式 CA vmvptOAdd及得,)()( e
RCA
e
O
A FOAvmvM
dt
Ld
eRee FAOMM OA又
ACA
A vmvM
t
L
edd?
(20.47)
由式 (20.46)和 (20.47)得到
ACA
A vmvM
t
L
edd (20.47)
质点系对动点的绝对动量矩定理
AA
A amACM
t
L
e
r
d
d (20.48)
质点系对动点的相对动量矩定理
)(
d
d
d
d
)(
A
e
A
AAC
A
r
A
amACM
amACvmv
t
L
t
L
(20.46)
AAC
AA amACvmv
t
L
t
L
d
d
d
d r
由此可见，质点系对动点的动量矩定理形式复杂，
通常,对动点的动量矩定理只用其特例,
（ 1） 取动点 A为质点系的质心 C
ACA
A vmvM
t
L
edd (20.47)
质点系对动点的绝对动量矩定理
AA
A amACM
t
L
e
r
d
d (20.48)
质点系对动点的相对动量矩定理
)()(,0,,eCeACACCCA MMACvvLLLL 且
)( e
C
C M
dt
Ld （ 20.49)
质点系对质心的动量矩定理
ACA
A vmvM
t
L
edd (20.47)
质点系对动点的绝对动量矩定理
AA
A amACM
t
L
e
r
d
d (20.48)
质点系对动点的相对动量矩定理
（ 2）当动点 A的加速度 时，即固连于动点
A的平移动系也为一惯性系（ A点在该惯性系中为一定点）：
0?Aa?
)( e
A
r
A M
dt
Ld
(20.50)
注意 如果动点是任意选定的，动点的速度、加速度一般未知，故对动点的动量矩定理的一般形式
（ 20.47）和（ 20.48）并不常用，经常使用的是 质点系对质心的动量矩定理（ 20.49） 。
对刚体、刚体系，动量矩定理常取以下形式：
对固定轴的动量矩定理e
d
d
z
z M
t
L? (20.44)
t
LO
d
d
eOM (20.43)
对固定点 O的动量矩定理
)( e
C
C M
dt
Ld (20.49)
对质心 C的动量矩定理小结
3,有质量对称面的一般平面运动刚体的动量矩定理的表达式若所研究的质点系为一个具有质量对称面的刚体，作用了与质量对称面重合的平面力系，在其质量对称面内作平面运动。 设 A为刚体运动平面内某一定点，则该刚体对 A点的相对动量矩为 AA JL?r (20.51)
为刚体对 Az轴的转动惯量，是一个常数； 为该刚体运动的角速度。
AJ?
AA
A amACM
t
L e47.20r
d
d
dt
d 为刚体运动的角加速度。
AAA amACMJ e? (20.52)
由对动点的相对动量矩定理下面研究式 (20.52)的几种特殊情形：
（ 1）若 点 A固定不动（记为 O点）,则刚体绕 O轴作定轴转动，则有：
eOO MJ (20.53)
（ 2）若 点 A取为刚体的质心 C,则有,
eCC MJ (20.54)
（ 3）若在某一瞬时,点 A为该刚体的速度瞬心 P，则有：
(20.55)PPP amPCMJ e?
AAA amACMJ
e? (20.52)
式 (20.55)与式 (20.53)的形式不同，反映了 瞬时定轴转动与定轴转动的差别 。
但若在不同瞬时，平面运动刚体的速度瞬心 P与刚体质心 C的距离 恒等于某一常数,则,PC b?bv
C?
求导得,根据平面运动刚体的两点加速度关系：
ba C?t
ntnt PCPCCCP aaaaa (20.56)
(20.55)PPP amPCMJ e?
eOO MJ (20.53)对固定点 O
对速度瞬心 P
一般地说，,,也不与 平行，
所以 故一般
0?PC 0?Pa? Pa? PC
ePP MJ0)(
PamPC
将上式沿图示 轴（其正向与 相同）投影得到?
Cv?
P
C
tPCa?
nPCa?
tCa?n
Ca?
Cv
0 bba P
(20.57)
因 PC与 轴垂直，说明,于是? PCa
P //?
PPP amPCMJ
e57.20?
当平面运动刚体的 速度瞬心 P与刚体质心 C的距离恒保持不变时,平面运动刚体对速度瞬心的动量矩定理才具有定轴转动的动量矩定理或对质心的动量矩定理同样简单的形式。
ntnt PCPCCCP aaaaa
(20.56)
ePP MJ (20.58)
0
例如,均质圆盘沿水平地面或固定不动曲面作平面纯滚动；均质直杆的两端分别沿在同一平面内相互垂直的两条固定直线运动，刚体的速度瞬心与其质心的距离恒保持不变。
P
C C
P
在动力学中，将一般平面运动刚体的基点选在质心，
根据质心运动定理和对质心的动量矩定理，建立平面运动刚体的运动微分方程，形式最简单，且不易出错。
动力学刚体的质心运动 外力系的主矢质心运动定理相对于质心的动量矩定理刚体相对于质心平移坐标系的转动外力系对质心的主矩刚体的运动 刚体所受到的力系刚体平面运动微分方程
)( eRC Fam
)( eCC MJ
（ 21.59）
20.6.3 质点系的动量矩守恒定律若外力系对某固定点 O的主矩为零，即 0)(?e
OM
则
0?dtLd O
若外力系对质点系质心 C的主矩为零，即 0)(?e
CM
则
0?dtLd O
若外力系对某固定轴 l 的矩为零，即 0)(?e
lM
则
0?dtdL l
若外力系对过质心的某轴 l’ 的矩为零，即 0)(elM
则
0dtdL l
常矢量?OL?
(20.60)
常数?lL
(20.61)
常数lL
(20.63)
常矢量?CL?
(20.62)
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 37)
（下册）
§ 20 动量原理
§ 20.5 动量矩
20.5.1.质点的动量矩质点的动量对某点之矩 vmrvmL
O
(20.17)
若在点 O建立直角坐标系 Oxyz，则
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
vmL
kyvxvmjxvxvmizvyvm xyzxyz
x,y,z为质点的坐标，
，,分别为质点的速度 在 x,y,z轴上的投影。xv yv zv v?
x
y
z
m
O r?
v?
OL
(20.18)kLjLiL
zyx
（类比于力对点之矩、力对轴之矩）
x
y
z
m
O r?
v?
OL
其中，质点动量对 x,y,z轴之矩分别为：
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
vmL
kyvxvmjxvxvmizvyvm xyzxyz
kLjLiL zyx (20.18)
xyzzxyyzx yvxvmLxvxvmLzvyvmL,,
(20.19)
质点动量对任意 l 轴之矩：
其中 O为 l 轴上任意一点。
0)( lvmLL Ol (20.20)
l 轴显然，质点对点的动量矩是一个定位矢量，而质点对轴的动量矩是一个代数量。
当质点作平面运动时，动量对平面内某点 O之矩或对 Oz轴之矩均为,O v?
mm vhL O （ 20.21）
符号规定,?为正,?为负
20.5.2,质点系的动量矩设质点系中质点 相对于某一固定点 O的矢径为,iD
ir?
动量为 。iivmni,,2,1
iD
ir?
iivm?
x
y
z
O
iiin
i
iiO
n
i
O vmrvmLL
11
(20.22)
质点系对某固定点 O的动量矩 为：OL?
1.质点系对 固定点、固定轴 的动量矩质点系对某一固定轴 l 的动量矩 为：
lL
iiln
i
l vmLL
1
(20.23)
ir?
iivm?
x
y
z
O
l 轴
n
i
iiiO hvmL
1
（ 20.24）
同理，质点系平面运动时，质点系动量对平面内某点 O之矩或对 Oz轴之矩均为：
O v?
m符号规定,?为正,?为负
2,质点系对 动点 的动量矩设在惯性参考系中有任意一动点 A，其速度为 。
Av?
固连于动点 A建立平移直角坐标系,zyxA
Aii vvv rni,,2,1
(20.25)
iiin
i
iiA
n
i
A vmrvmLL
11
(20.26) x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
ir
riv
ir
将质点系中各质点的绝对动量 对动点 A的矩的矢量和定义为 质点系对动点
A的绝对动量矩,用 表示，即：AL?
iivm?
ir质点系中质点
iD
ivr?
相对速度绝对速度
iv
相对矢径绝对矢径
ir?
将质点系中各质点的相对动量 对动点 A的矩的矢量和定义为 质点系对动点 A的相对动量矩,用 表示，
即：
iivm r?
rAL?
iiin
i
iiA
n
i
A vmrvmLL r
1
r
r
1
r
(20.27)
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
ir
riv
ir
质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系：
将式 (20.25)代入式 (20.26):
)()(
11
riAi
n
i
iii
n
i
iA vvmrvmrL
Ai
n
i
i
r
A
Ai
n
i
irii
n
i
i
vmrL
vmrvmr
)(
)()(
1
11
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
ir
riv
ir
ACAA vmrLL r (20.28)
Ai
n
i
i
r
AA vmrLL
)(
1
由质点系质心 C相对于动点 A
的矢径公式 可得：
m
rm
r
ii
n
i
C
1
i
n
i
iC mrmr?
1
故 质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系为：
其中 为质点系质心 C在动系中的相对坐标,为动点的绝对速度。
Cr
Av?
ACAA vmrLL r (20.29)
若取动点 A为质点系的质心 C时，,0
CAC vvr
故：
r
CC LL
(20.30)
质点系对质心的动量矩,无论是在固定坐标系还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。
故质点系对不同的 A,O两点的动量矩的关系为：
pAOLL OA
i
n
i
i vmp
1
（ 20.31）
注意 质点系对某点的动量矩不等于质点系动量对该点之矩！
即
i
n
i
iCCii
n
i
iO vmrprvmrL
11
（见书上例 22.4）
3.对惯性系中不同的 A,O两点的动量矩之间关系类比于力对不同两点的力矩之间的关系，
力对 A,O两点之矩关系为 FAOFmFm
OA
)()(
A
O
F?
20.5.3 刚体的动量矩
1,平移刚体的动量矩当刚体作平移时，建立质心平移坐标系，各质点的相对速度,故0
r?iv
0r CC LL (20.32)
平移刚体对任意固定点 A的动量矩为：
pACLL CA
CA vmACL (20.33)
平移刚体对任意确定点 A的动量矩等于将平移刚体的质量视为全部集中在质心 C上时对点 A的动量矩。
O
x
y
z
x’
y’
z’
C
Cv
A
当平移刚体作平面曲线运动时，对该平面内任一点的动量矩可视为代数量 。hmvL
CA
h
2,定轴转动刚体的动量矩
O
x
y
z
md
r?
OL
在转轴上任取一点 O，
建立惯性参考空间中的直角坐标系 Oxyz，
使 z轴与转轴重合，
则定轴转动刚体的角速度为 k
设质量为 的微元，相对于点 O的矢径为,md r?
在直角坐标系 Oxyz中的坐标为,zyx,,
kzjyixr
其速度为 rv
定轴转动刚体对定点 O的动量矩为
mvrL mO d mrrm d mrrr
m d
2
mkzjyixzkzyxm d222
kmyxjmyzimxz mmm ddd 22
kJjJiJ zyzxz (20.34)
mvrL mO d kJjJiJ zyzxz (20.34)
故,定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量一般不沿转轴的方向 。
O
x
y
z
md
r?
OL
特别,当转轴 z 轴为刚体的惯量主轴时,有
0,0 yzxz JJ
zzO JkJL 动量矩矢量沿转轴方向也可用代数量表示：
zO JL?
与 转向相同? (20.35)
例如，刚体作平面定轴转动，转轴垂直于刚体的质量对称面时。
3,一般平面运动刚体的动量矩建立惯性参考空间中的定系 Oxyz和质心平移坐标系,zyxC
kJjJiJLL zzyzxCC r (20.36)
C?
CL
O
z
x
y
使三对坐标轴分别平行，且使,
轴垂直于刚体的运动平面，则一般平面运动刚体相对该平移坐标系为绕轴的定轴转动：
Oz zC?
zC?
若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面，
则 轴为刚体对点 C的惯量主轴，即,
上式变为
0 zyzx JJzC?
CC JL?
(20.37)
式中 为一般平面运动刚体对 的转动惯量。CJ zC?
CC JL? (20.38)
也可视为代数量CL?
C?
CL
O
z
x
y
Cv?
CC JL?
(20.37)
若对该刚体运动平面上的任意固定点 A，则有：
对任意固定点 A，则有：
hA
hvmLL CCA (20.40)
CCA vmACLL
(20.39)
例 题 20-6
§ 20 动量原理?例题
Or
BM
m
求系统对转轴 O点的动量矩。
解,轮 O定轴转动，块 B平动，
)(rv B
2221 MrmrrMvJL BOO
（负号表示转向为?）
例 题 20-7
§ 20 动量原理?例题
A
C rm
Cv
均质圆柱，半径为 r，质量为 m，绕有细绳，
A端固定，圆柱质心 C以速度 vC向下运动，
求圆柱对质心 C及定点 A的动量矩。
解,圆柱作一般平面运动
r
vC （?）
CC
r
CC mr vmrJLL 2
1
2
1 2
若建立质心平移坐标系，则轮子的相对运动为绕质心的定轴转动
（负号表示?）
CCCCCA mvmr vmr vrmvLL 2
3
2
1
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题圆盘 O半径为 r，质量 m，以角速度?转动,均质杆 AB质量为
m，长为 2r，滑块 B质量为 m，
在水平轨道内运动,A,B处为铰接，某瞬时杆 AB处于水平位置，求此瞬时系统的动能，动量，对 O点的动量矩。
O
A B
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
O
A B
解,圆盘为定轴转动，滑块为平动，杆为一般平面运动，
Av
Bv
杆 AB此瞬时为平动
)(rvv BA
系统该时刻的动能：
222222
222
4
5
2
1
2)
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
mrmrmr
mvmvJT BAO
系统该时刻的动量：
Ci
i
i vmp
3
1
)( 2mrmvmvp BA
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
O
A B
Av
Bv
系统该瞬时对点 O的动量矩：
222
2
5
2
2
1
mrmrmr
rvmrvmJL BAOO
块杆盘
（?）
注意：系统该瞬时的动能、动量、动量矩都是特殊位置的量，不可求导！
§ 20.6 动量矩定理
20.6.1 质点的动量矩定理质点对固定点的动量矩定理
vmrtvmLt O dddd
设质量为 的质点 D对固定点 O的矢径为,作用其上的合力为
r?m
F?
vmtrvmtr dddd
vmtrvmv ddvm
tr
d
d amr FrFM O
质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的合力对同一点的矩。
(20.41)
)(dd FMvmLt OO
20.6.2 质点系的动量矩定理
1,质点系对固定点的动量矩定理设作用于质点系中各质点 上内力和外力的合力分别为 和,
iDni,,2,1
iiFeiF? 各质点质量为,对每个质点：im
(20.42)
iiO vmLt
d
dei iOiO FMFMni,,2,1
iiO
n
i
vmLt
1d
de
1
i
1
iO
n
i
iO
n
i
FMFM
0i
1
iO
n
i
FM
tLOdd
e
1
iO
n
i
FM
eOM (20.43)
质点系对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的外力系对同一点的主矩。
iiO
n
i
vmLtdd
1
e
1
i
1
iO
n
i
iO
n
i
FMFM
对系统内所有质点求和：
ir?
iivm?
x
y
z
O
)(iiF?
)(eiF?
质点系对某一固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的外力系对同一轴的矩。
式 (20.43)为一矢量式，它可以向过点 O的某一固定直角坐标轴（如 z轴）上投影：
e
d
d
z
z M
t
L? (20.44)
tLLttL zzO
z
O
d
d
d
d
d
d
)()( )( e
zzeO MM?
ir?
iivm?
x
y
z
O )(eiF?
若质点系作平面运动,O点为平面内一点，
可取为代数量,O
L?
)( e
O
O M
dt
dL? (20.45)
平面运动时 质点系对固定点的动量矩定理
)(,eOO ML 均以逆时针转动为正质点系对固定轴的动量矩定理e
d
d
z
z M
t
L? (20.44)
tLOdd
e
1
iO
n
i
FM
eOM (20.43)
质点系对固定点的动量矩定理
2,质点系对动点的动量矩定理
ACAA vmrLL r
OArr
CC
AAC
AA amACvmv
t
L
t
L
dddd
r (20.46)
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z任选动点 A，建立定坐标系及固连于动点 A的平移动坐标系，由对动点 A的绝对、相对动量矩之关系式（ 20.29）：
ACACAA amrvmtrtLtL
dddddd
r求导：
Cv
Cr
Cr C
AC
CC vv
dt
OAd
dt
rd
dt
rd )(求导：
0 AA vv又：
质点系对动点 A的绝对、相对动量矩导数之关系
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
Cv
Cr
Cr C
pOALL AO
设点 O为惯性空间中某一固定点，
由 O,A两点的动量矩之间关系：
Cvmp其中
t
pOAp
t
OA
t
L
t
L AO
d
d
d
d
d
d
d
d
求导：
43.20
d
d?
t
L O
eOM?
由对定点 O的动量矩定理
e
R
15.20
Famdt pd C
动量定理的微分形式 CA vmvptOAdd及得,)()( e
RCA
e
O
A FOAvmvM
dt
Ld
eRee FAOMM OA又
ACA
A vmvM
t
L
edd?
(20.47)
由式 (20.46)和 (20.47)得到
ACA
A vmvM
t
L
edd (20.47)
质点系对动点的绝对动量矩定理
AA
A amACM
t
L
e
r
d
d (20.48)
质点系对动点的相对动量矩定理
)(
d
d
d
d
)(
A
e
A
AAC
A
r
A
amACM
amACvmv
t
L
t
L
(20.46)
AAC
AA amACvmv
t
L
t
L
d
d
d
d r
由此可见，质点系对动点的动量矩定理形式复杂，
通常,对动点的动量矩定理只用其特例,
（ 1） 取动点 A为质点系的质心 C
ACA
A vmvM
t
L
edd (20.47)
质点系对动点的绝对动量矩定理
AA
A amACM
t
L
e
r
d
d (20.48)
质点系对动点的相对动量矩定理
)()(,0,,eCeACACCCA MMACvvLLLL 且
)( e
C
C M
dt
Ld （ 20.49)
质点系对质心的动量矩定理
ACA
A vmvM
t
L
edd (20.47)
质点系对动点的绝对动量矩定理
AA
A amACM
t
L
e
r
d
d (20.48)
质点系对动点的相对动量矩定理
（ 2）当动点 A的加速度 时，即固连于动点
A的平移动系也为一惯性系（ A点在该惯性系中为一定点）：
0?Aa?
)( e
A
r
A M
dt
Ld
(20.50)
注意 如果动点是任意选定的，动点的速度、加速度一般未知，故对动点的动量矩定理的一般形式
（ 20.47）和（ 20.48）并不常用，经常使用的是 质点系对质心的动量矩定理（ 20.49） 。
对刚体、刚体系，动量矩定理常取以下形式：
对固定轴的动量矩定理e
d
d
z
z M
t
L? (20.44)
t
LO
d
d
eOM (20.43)
对固定点 O的动量矩定理
)( e
C
C M
dt
Ld (20.49)
对质心 C的动量矩定理小结
3,有质量对称面的一般平面运动刚体的动量矩定理的表达式若所研究的质点系为一个具有质量对称面的刚体，作用了与质量对称面重合的平面力系，在其质量对称面内作平面运动。 设 A为刚体运动平面内某一定点，则该刚体对 A点的相对动量矩为 AA JL?r (20.51)
为刚体对 Az轴的转动惯量，是一个常数； 为该刚体运动的角速度。
AJ?
AA
A amACM
t
L e47.20r
d
d
dt
d 为刚体运动的角加速度。
AAA amACMJ e? (20.52)
由对动点的相对动量矩定理下面研究式 (20.52)的几种特殊情形：
（ 1）若 点 A固定不动（记为 O点）,则刚体绕 O轴作定轴转动，则有：
eOO MJ (20.53)
（ 2）若 点 A取为刚体的质心 C,则有,
eCC MJ (20.54)
（ 3）若在某一瞬时,点 A为该刚体的速度瞬心 P，则有：
(20.55)PPP amPCMJ e?
AAA amACMJ
e? (20.52)
式 (20.55)与式 (20.53)的形式不同，反映了 瞬时定轴转动与定轴转动的差别 。
但若在不同瞬时，平面运动刚体的速度瞬心 P与刚体质心 C的距离 恒等于某一常数,则,PC b?bv
C?
求导得,根据平面运动刚体的两点加速度关系：
ba C?t
ntnt PCPCCCP aaaaa (20.56)
(20.55)PPP amPCMJ e?
eOO MJ (20.53)对固定点 O
对速度瞬心 P
一般地说，,,也不与 平行，
所以 故一般
0?PC 0?Pa? Pa? PC
ePP MJ0)(
PamPC
将上式沿图示 轴（其正向与 相同）投影得到?
Cv?
P
C
tPCa?
nPCa?
tCa?n
Ca?
Cv
0 bba P
(20.57)
因 PC与 轴垂直，说明,于是? PCa
P //?
PPP amPCMJ
e57.20?
当平面运动刚体的 速度瞬心 P与刚体质心 C的距离恒保持不变时,平面运动刚体对速度瞬心的动量矩定理才具有定轴转动的动量矩定理或对质心的动量矩定理同样简单的形式。
ntnt PCPCCCP aaaaa
(20.56)
ePP MJ (20.58)
0
例如,均质圆盘沿水平地面或固定不动曲面作平面纯滚动；均质直杆的两端分别沿在同一平面内相互垂直的两条固定直线运动，刚体的速度瞬心与其质心的距离恒保持不变。
P
C C
P
在动力学中，将一般平面运动刚体的基点选在质心，
根据质心运动定理和对质心的动量矩定理，建立平面运动刚体的运动微分方程，形式最简单，且不易出错。
动力学刚体的质心运动 外力系的主矢质心运动定理相对于质心的动量矩定理刚体相对于质心平移坐标系的转动外力系对质心的主矩刚体的运动 刚体所受到的力系刚体平面运动微分方程
)( eRC Fam
)( eCC MJ
（ 21.59）
20.6.3 质点系的动量矩守恒定律若外力系对某固定点 O的主矩为零，即 0)(?e
OM
则
0?dtLd O
若外力系对质点系质心 C的主矩为零，即 0)(?e
CM
则
0?dtLd O
若外力系对某固定轴 l 的矩为零，即 0)(?e
lM
则
0?dtdL l
若外力系对过质心的某轴 l’ 的矩为零，即 0)(elM
则
0dtdL l
常矢量?OL?
(20.60)
常数?lL
(20.61)
常数lL
(20.63)
常矢量?CL?
(20.62)
