工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 28)
（下册）
§ 14 组合变形
§ 14.1 组合变形的概念与分析方法
1,组合变形的概念组合变形 —— 杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基本变形的情况。
例如：（ a）坡屋顶上的横梁斜弯曲例如：（ b)厂房边柱压（拉）弯组合
M
FN
例如：（ c）传动轴弯扭组合
FT1 FT2
MT
弯曲弯扭组合弯曲弯扭拉组合斜弯曲（双向弯曲）
2.组合变形的分析方法分析方法：在线弹性小变形范围内，采用叠加原理，
先分解成基本变形，分别计算相应的应力分量，然后将同一点的同一截面上的相应应力分量叠加 。
分解 分算 叠加条件,（ 1）材料处于线弹性
（ 2）小变形 —— 各基本变形之间无耦合
w F
F1
当挠度 w 较大时梁的横截面上有：
M附加 =Fw 轴向拉压与弯曲耦合！
分解 —— 将载荷分解为几组静力等效的载荷，每组对应一种基本变形。
分算 —— 每种基本变形分别计算。
叠加 —— 将几种基本变形的结果（内力、应力、应变、位移等）分别叠加。
3.组合变形的强度计算找出结构中的危险截面和危险点危险点为单向应力状态危险点为纯剪应力状态危险点为复杂应力状态（二向、三向应力状态）
m a xm a x 强度理论
§ 14.2 强度理论强度理论 —— 依据实验及材料破坏现象的分析，
所提出的强度失效假说，适用于任意应力状态。
统一表达式,
ri
1.第一强度理论（最大拉应力理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应力（即某点的第一主应力 ）
是破坏的原因,1
强度条件为,
11r
(14.1)
其中 称为该强度理论的相当应力
ri?
b1
当 时破坏发生。
缺点：未考虑第二、第三主应力的影响，
单压、二向压缩无法使用。
2.第二强度理论（最大拉应变理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应变（即某点的第一主应变 ）
是破坏的原因。 1
强度条件为,
)( 3212r
(14.2)
b1
当 时破坏发生。
EE
b )( 321
1?
缺点：与实际情况不完全符合，用途不如第一强度理论更广。
3.第三强度理论（最大切应力理论）
解释屈服失效，适用于塑性材料。
某点的最大切应力是引起该点屈服的原因。
22
31
m a x
S
S
当 时屈服发生。
强度条件为,
313r
(14.3)
缺点：未考虑第二主应力的影响。
4.第四强度理论（畸变能理论）
解释屈服失效，适用于塑性材料。
某点的畸变比能是引起该点屈服的原因。
22
13
2
32
2
21 3
1])()()[(
6
1
Sd EEu?
强度条件为：
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214r
(14.4)5.莫尔强度理论适用于拉压不同性的脆性材料。
强度条件为,
31rM
(14.5)
根据大量的材料力学性能实验结果归纳而成。
当 时转化为第三强度理论。
6.几种常见的典型危险点的强度计算工程上常见的拉、扭、弯及它们的组合变形，
其危险点常为以下三类应力状态：
（ 1）第一类危险点 —— 单向应力状态如：轴向拉伸的危险点
FF?=F/A?
弯曲时的正应力危险点
F?=M/W?
对第一类危险点，主应力为：
0,321
选用不同强度理论时的相当应力为：
1
2
1
2
14
313
3212
11
][
2
1
)(
rM
r
r
r
r
F
（ 2）第二类危险点 —— 纯剪切应力状态如：扭转时的危险点
TT
PW
T
弯曲时的切应力危险点?
bI
SF
z
zS
m a x?
对第二类危险点，主应力为：
321,0,
选用不同强度理论时的相当应力为：
)1(
3]4[
2
1
2
)1()(
31
222
4
313
3212
11
rM
r
r
r
r
选用不同强度理论时,ki不同可改写为,
i
ii k?
（ 3）第三类危险点 —— 二向应力状态如：弯曲时拉 +扭组合变形：
TT
FF
T
F
弯 +扭组合变形：
对第三类危险点，主应力为：
22
1 4/2
22
3 4/2
02
若选用第三或第四强度理论：
223 4r
224 3r
对第三类危险点，第三或第四强度理论的强度条件为：
22 4第三强度理论 (14.6)
22 3第四强度理论 (14.7)
T
F
若为弯 +扭组合变形，危险截面的弯矩 M，扭矩 T，则：
zW
M
PW
T
由于圆轴有：
32
3d
W z zP WdW 216
3
zPz
r W
TM
W
T
W
M 2222
3 )(4)(
zPz
r W
TM
W
T
W
M 2222
4
75.0)(3)(
（ 4）其他类型危险点如：危险点为三向应力状态
若 0
321,,
若 0
321,,
代入 的表达式中，得各强度理论的强度条件。ri?
例 题 14-1 § I4 组合变形
例题
（ 1）图示结构,F力沿 z方向作用，求 A截面上的内力分量。z
x
y F
L2L
LA
B
C
D 解：
F
L2L
LA
B
C
D
沿 A截面切开，
取整体为对象，
列平衡方程：
FSz M
y
T
A截面上的内力分量
FF Sz?剪力
FLM y 2?弯矩
FLT?扭矩方向如图杆的 AD段为弯 +扭,CD段为弯曲,DB段无变形例 题 14-1 § I4 组合变形
例题
（ 2）一端固支的空间刚架受力如图，
2Fa力偶作用在 xy平面内,F力沿 x方向作用，求 A,B-,B+,C+截面上的内力分量。
解：
2Fa
F
A B
C
D
沿 A截面切开：
FNA
MzA MyA
弯矩轴力 FF
NA?
FaFaFaM zA 2
FaM yA?
F
x
z
y
A B
C
D
2Fa
例 题 14-1 § I4 组合变形
例题沿 B- 截面切开,F
NB-
MzB-
MyB-
弯矩轴力 FF
NB
FaFaFaM zB 2
FaM yB
沿 B+ 截面切开：
B
F
2Fa C
D
F
x
z
y
A B
2Fa C
D
TB+FSxB+
MyB+
F
B
C
D
2Fa
FF S x B剪力扭矩 FaFaFaT
B 2
弯矩
FaM yB
例 题 14-1 § I4 组合变形
例题沿 C+ 截面切开：
MzC+
F
C
D
F
x
z
y
A B
2Fa C
D
FSxC+
FF S x c剪力弯矩 FaM
zC
§ 14.3 组合变形典型之一 —— 斜弯曲斜弯曲 —— 梁上横向载荷的作用方向过横截面的弯曲中心，但不与横截面形心主轴平行。
1.斜弯曲与对称弯曲、平面弯曲的区别：
§ 13中讨论过的 对称弯曲,
截面有一纵向对称轴（ y轴），载荷作用于纵向对称面内。
§ 13中讨论过的 平面弯曲,
截面虽无纵向对称轴，但载荷作用面过弯曲中心，且平行于截面的形心惯性主轴。
o o
对称弯曲、平面弯曲 —— 中性轴都与载荷平面垂直
EI
M
dx
wd
bI
SF
I
My
z
zS
2
2
,,
截面有纵向对称轴，但载荷不作用在纵向对称面内截面无纵向对称轴，载荷过弯曲中心，但不平行于形心惯性主轴斜弯曲
（双向弯曲）
F
o
F
斜弯曲可分解为截面两个相互垂直的形心主惯性平面内的弯曲
F
o
F
若载荷不过弯曲中心，且不平行于主惯性平面
—— 可将载荷平移致弯曲中心,为斜弯曲 +扭转
F
c
F
T T
例 题 14-2 § I4 组合变形
例题
F
x
y
z
L
A B
矩形截面梁的斜弯曲 y
z
F?
解：
外力过弯曲中心（即形心），但外力作用线不与形心主惯性轴重合,将其沿两个主惯性轴分解。
产生以 z 为中性轴的弯曲，?cosF
sinF 产生以 y 为中性轴的弯曲，
cosF
sinF
1.分解例 题 14-2 § I4 组合变形
例题
F
x
y
z
L
A B
y
z
FcosF
sinF
2.分算
x
y
cosF
L
x
弯矩,)(c o s)( xLFxM
z
x截面上任意点处 (y,z)的正应力：
zz
z
I
yxLF
I
yM )(co s
（ y,z）
（ 1） 产生以?cosF
z 为中性轴的弯曲
cosFL
例 题 14-2 § I4 组合变形
例题
F
x
y
z
L
A B
y
z
FcosF
sinF
弯矩,)(s i n)( xLFxM
y
x截面上任意点处 (y,z)的正应力：
yy
y
I
zxLF
I
zM )(s i n
（ y,z）
（ 2） 产生以?sinF
y 为中性轴的弯曲
x
z
sinF
L
x
sinFL
例 题 14-2 § I4 组合变形
例题
F
x
y
z
L
A B
y
z
FcosF
sinF
x截面上任意点处 (y,z)的总正应力：
)
s i nc o s
)((
)(s i n)(c o s
yz
yz
I
z
I
y
xLF
I
zxLF
I
yxLF
（ y,z）
0,00,0
0,0 0,0
sinF
cosF
x
z
L
x
z
3.叠加总应力是 y,z的线性函数，在截面上分布为一斜平面
2.斜弯曲的特点
(1)斜弯曲的中性轴位置中性轴 —— 由截面上弯曲正应力为零的点组成令 0
0s i nco s z
I
y
I yz
上式为中性轴应满足的方程，
为一条过原点的直线
y
z
F?
中性轴的斜率为：
t ant an
y
z
I
I
z
y
)s i nco s)((
yz I
z
I
yxLF斜弯曲的应力中性轴与载荷垂直 —— 平面弯曲
t ant an
y
z
I
I
z
y中性轴的斜率为：
y
z
F?
若
yz II
则
yz II
若 则中性轴与载荷不垂直 —— 斜弯曲例如：圆形、正多边形截面均有
yz II?
故总是平面弯曲！F
F
y
z
例如：圆形、正多边形截面均有
yz II?
故总是平面弯曲！
F?
F
y
z
F
y
z
My
Mz
y
z
M总
Wm a x
总M
对圆截面轴
（ 2）中性轴把截面划分为拉应力区和压应力区
y
z
F?
拉应力区压应力区
0
（ 3）斜弯曲梁的强度计算正确找出危险截面,在危险截面上正确找出危险点危险点 —— 距中性轴最远的点外凸尖角处截面周边平行于中性轴的切线与周边的切点
max?
max?
F
0
max?
max?
y
z
FcosF
sinF
b
h
F
yzy
y
z
z
W
LF
W
LF
W
M
W
M
s i nc o sm a xm a xm a x
yzy
y
z
z
W
LF
W
LF
W
M
W
M
s i nc o sm a xm a xm a x
LFM z?c o sm a x?
LFM y?s inm a x?
危险截面在固支端：
例如：例 14.2中
F
若截面改为圆形，
危险点应力为何？
max?
max?
特别注意：圆形截面总是平面弯曲，且无尖点，
F?
F
y
z
F
y
z
My
Mz
y
z
M总故危险点应力 应按矢量合成后的 M总 计算。
max?
22
zy MMM总
max?
max?
max?
max
max?
max?
max?
max?
中性轴总
W
M
m a x
对圆截面轴强度条件：
m a xm a x
（ 4）斜弯曲的挠度分别计算出两个方向的挠度分量后，按矢量合成为总挠度。
22
zy www
wy
例如例 14.2
y
z
FcosF
sinF
wz
w
y
z
z
y EI
LFw
EI
LFw
3
s i n
3
c os 33
t ant ant an
y
z
y
z
I
I
w
w
总挠度矢量方向总是垂直于中性轴！
但一般不在载荷的作用面内！
§ 14.3 组合变形典型之二
—— 拉（压）弯组合、偏心拉压拉（压）弯组合 —— 载荷为轴向力 +横向力（或轴向平面内力偶）
偏心拉压 —— 所受轴向力作用线不与轴线重合
（偏心力）
拉弯组合
e
偏心拉伸例 题 14-3 § I4 组合变形
例题矩形截面偏心拉伸载荷作用在横截面任意 （ yp,zp）
位置,求与轴线垂直的横截面上任意点 （ y,z）
的应力 。
例 题 14-3 § I4 组合变形
例题解,偏心拉伸力 F向截面的形心 O处简化得1.分解
z
y
F?z
F
yFO
轴向拉力 F,xy平面内的力偶
Fz yFM
xz平面内的力偶
Fy zFM
y
z
F
My My
My
Mz
F
My
Mz
y
F
z
F
I
zFz
I
yFy
A
F
例 题 14-3 § I4 组合变形
例题
z
y
F?z
F
yFOF
3.叠加
2.分算
y
F
y
y
z
F
z
z
I
zFz
I
zM
I
yFy
I
yM
A
F
在任意横截面上的点（ y,z）处：
拉压正应力以 z为中性轴弯曲正应力以 y为中性轴弯曲正应力例 题 14-3 § I4 组合变形
例题
)1(
)
//
1(
22
z
i
z
y
i
y
A
F
z
AI
z
y
AI
y
A
F
I
zFz
I
yFy
A
F
y
F
z
F
y
F
z
F
y
F
z
F
总应力为截面上的中性轴：
01 22 z
i
zy
i
y
y
F
z
F
令 0 得中性轴方程
z
y
F?z
F
yFOM
y
Mz
中性轴
ay
ax
F
z
y y
ia 2
F
y
z z
ia 2
截距中性轴与偏心拉力作用点分布于形心两侧例 题 14-3 § I4 组合变形
例题
z
y
F（ zF,yF）
O
中性轴拉应力区压应力区
max?
max?
中性轴将截面划分为受拉区和受压区：
危险点：外凸尖点，或周边平行于中性轴的切线切点。
中性轴截面核心的概念：
轴向压力 F 作用点若在靠近横截面形心的某一区域内，则横截面上的正应力均为压应力，该区域称为该截面的核心。
F
z
y y
ia 2
F
y
z z
ia 2
截距
z
y
Fz
F
yFOM
y
Mz
中性轴
ay
ax
中性轴
h
b
h/6
b/6
D
D/4
此概念常用于建筑结构
§ 14.3 组合变形典型之三 —— 弯扭组合常见于各种传动轴、曲柄、空间折杆，载荷为横向力或轴线平面内的力偶与横截面内的力偶共同作用
FT1 FT2
MT
已知曲拐 ABC的 AB段直径 d及,试写出校核杆 AB强度时的强度条件。
][?
杆 AB为弯扭组合变形
l y
z
a
P
A
B
C
x
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题解：
A
B
z
y
P
Pam?
x
杆 BC 为弯曲变形
1.分解危险截面为固支端 A
PlM
PaT
Pa
T
P
M
Pl
PaT?
A
B
z
y
P
PaM?
x
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题危险点为 K,K’
危险截面上的应力分布：
圆周边界上的扭转切应力最大：
PW
T
W
M水平直径两端的弯曲正应力最大：
A
B
z
y
P
PaM?
x
K?
K
z
y
PW
T
K
K?
z
y
W
M
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题
2.叠加
22)
2(2?
3
1
0
2
K?
危险点的应力状态为第三类危险点
K
+
K
=
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题
3.强度条件
][4 223r
][3 224r
A
B
z
y
P
PaM?
x
][
)()(1
)(4)(
22
22
2222
3
W
alP
W
PaPl
TM
WW
T
W
M
p
r
][
75.0
75.0
1
22
22
4
W
alP
TM
W
r
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题圆轴弯曲正应力
3
32 dW
W
M 抗弯截面系数
162
3d
WW p
圆轴扭转切应力
PW
T 抗扭截面系数
A
B
z
y
P
PaM?
x
45K K
z
y
例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
圆截面直角拐 ABC处于水平面内，直径 d=20mm。测得 AB
杆上的 K点沿与轴线 45度方向的线应变为 （ K
点在水平直径的前端）。若材料,弹性模量 E=200GPa,泊松比,且 P=200N。试用第三强度理论校核该直角拐的强度（不计弯曲剪应力）。
5
45 10
10
解：
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa危险截面可能在截面 A或 B+处例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
画出杆的内力图截面 A处的内力为,
AB段为扭 +斜弯曲
PaT?
PM z 24.0?
PM y 36.0?
(单位
N·m)
BC段为弯曲截面 B+处的内力为：
PaM B
例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
PPPMMM yz 43.036.024.0 2222总图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
对圆截面杆的斜弯曲，应求出总弯矩后按平面弯曲计算：
A截面上的扭转：
A截面上的斜弯曲：
PP W
Pa
W
T
需要先求出 a =？
3
16 dW P
3
32 dW
例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
PPPMMM yz 43.036.024.0 2222总
x
y
45
1?
3?
EE 11 32145?
PP W
Pa
W
TE
1
45?
1302
P
WEa P?
1
45?
mm40
200
20
16
25.01
101010200 353
K点处为纯剪切应力状态
M P a
PP
W
MT
W
r
110
43.004.0
1
1
22
22
3
总
例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
PPaT 04.0
PMMM yz 43.022总
A截面：
B+截面：
PPaM B 04.0
根据第三强度理论，显然危险截面应为 A截面
3r 安全
，皮带轮直径,mmD 300?
传动轴 ACB，电动机输出力矩,
皮带张力
21 2TT?
，轴用钢材的,M Pa160][
根据第四强度理论设计传动轴的直径 d 。
例 题 14-6 § I4 组合变形
例题
T1 T2
MtA
BC
2l 2l
例 题 14-6 § I4 组合变形
例题
P
Mt
解,1.轴 AB外力的分解
T1 T2
MtA
BC
2l 2l
A
B
C
2l 2l
221 3 TTTP
tt MDT
DTDTM
2211 2
1
22?
Mt1 kNTP 203 2
NDMT t 3
6
2 1067.63 0 0
1022
kN67.6?
杆的 AC段为弯曲，
CB段为弯 +扭。
外力向轴线处简化例 题 14-6 § I4 组合变形
例题
2.画内力图
mkNPlM 14 2.0204
mkNMT t 1
危险截面为 C
3.按强度条件设计 d
][75.01 224 TMWr
mmd 8.431 6 0 1075.01323
6
可取 mmd 44?
Pl/4
(M)
(T)
Mt
P
Mt
A
B
C
2l 2l
Mt1
=20kN
mkN1
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题试按第三强度理论校核齿轮轴 AB的强度。
mmDmmD 1 3 0,50 21
kNP y 83.3?
kNP z 3 9 3.1?
kNP y 4 7 3.1'?
kNP z 5 3 6.0'?
mmd 22?
M Pa180][
50
50
50
x
y
z
yP
zP
zP?
yP?
1
2
A
E
C
B
D1
D2
d
解,1.分解
mmNDPM yt 5
3
1
1 10958.02
501083.3
2
mmNDPM yt 5
3
2'
2 10958.02
13010473.1
2
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题将外力向 AB的轴线上简化
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
2.分别画内力图
mmNM t 52 109 5 8.0
)(T
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
扭矩图例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
铅垂面内的弯矩图
y
yP yP?
523.1
125.1
)( zM
单位：
mmN?510
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
z
zP zP? 水平面内的弯矩图
375.0
0535.0
)( yM
单位：
mmN?510
各截面双向弯曲的总弯矩
22 yz MMM总
)10( 5 mmNM?总
568.1
130.1
危险截面例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
C mmNT
510958.0
mmNM 5105 6 8.1
3.强度条件
][1 223 TMWr 332 dW
M p aM P ar 180][17610958.0568.12232 5223
3
安全 !
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题折架结构 ABC水平放置,AB与 BC垂直,AB为圆形截面，直径 D,试求,A截面圆周上与水平 y 轴成 60° 角的直径相交点 K的主应力。
a
2P
P
x
y
z
2a A
B
C
y60°
K
A截面
z
D
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题
a
2P
P
x
y
z
2a A
B
C
y60°
K
A截面
z
D
AB段内力分析外力向 B截面 简化如图解：
2P
P
T=Pa y
z
x
A
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题
A截面内力
2P
P
T=Pa y
z
x
A
PaT
PaaPM
PaaPM
z
y
422
22
3
16
D
Pa
W
T
p?
3
64)60co s
2( D
PaD
I
M
z
z
M
（拉）
3
332)60s i n
2( D
PaD
I
M
y
y
M
（拉）
分别计算 K点各项应力：
60°
Mz
My
y
zK
T
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题
3
16
D
Pa
W
T
p?
3
64)60co s
2( D
PaD
I
M
z
zM
（拉）
3
332)60s i n
2( D
PaD
I
M
y
y
M
（拉）
K点的单元体为二向应力状态
K点的正应力叠加后为：
)32(32 3 DPaMM
13.0
6.716)
2(2 3
22
3
1
D
aP
0
2
K
MM
60°
Mz
My
y
zK
T
另法：先将弯矩 Mz,My在 KL轴和其垂直方向 QN投影
PaPaPa
MMM yzQN
)32(32
60s i n60c o s
)32(32 3 D aPWM KL
3
16
D
aP
W
aP
p?
Q
N
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题
K点仅有 MQN引起的弯曲正应力及 T 引起的扭转切应力
60°
My
Mz
K
L
y
z
T
MKL MQN
§ 14.4 组合变形的一般情况计算任意截面上的内力,找出危险截面
m
m
比如 m-m截面：
x
m
m
z
y
SzF
SyF
NF T
yM
zM
内力分量有
zySzSyN MMTFFF,,,,,
A
F N
N
p
T I
T
z
I
M
y
y
M?
'? y
I
M
z
z
M
扭矩 T
内力,轴力
NF
x
m
m
z
y
SzF
SyF
NF T
yM
zM
弯曲剪力
SzF SyF
弯矩
yMzM
bI
SF
z
zSy
w
（弯曲切应力一般可忽略）
bI
SF
y
ySz
w
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 28)
（下册）
§ 14 组合变形
§ 14.1 组合变形的概念与分析方法
1,组合变形的概念组合变形 —— 杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基本变形的情况。
例如：（ a）坡屋顶上的横梁斜弯曲例如：（ b)厂房边柱压（拉）弯组合
M
FN
例如：（ c）传动轴弯扭组合
FT1 FT2
MT
弯曲弯扭组合弯曲弯扭拉组合斜弯曲（双向弯曲）
2.组合变形的分析方法分析方法：在线弹性小变形范围内，采用叠加原理，
先分解成基本变形，分别计算相应的应力分量，然后将同一点的同一截面上的相应应力分量叠加 。
分解 分算 叠加条件,（ 1）材料处于线弹性
（ 2）小变形 —— 各基本变形之间无耦合
w F
F1
当挠度 w 较大时梁的横截面上有：
M附加 =Fw 轴向拉压与弯曲耦合！
分解 —— 将载荷分解为几组静力等效的载荷，每组对应一种基本变形。
分算 —— 每种基本变形分别计算。
叠加 —— 将几种基本变形的结果（内力、应力、应变、位移等）分别叠加。
3.组合变形的强度计算找出结构中的危险截面和危险点危险点为单向应力状态危险点为纯剪应力状态危险点为复杂应力状态（二向、三向应力状态）
m a xm a x 强度理论
§ 14.2 强度理论强度理论 —— 依据实验及材料破坏现象的分析，
所提出的强度失效假说，适用于任意应力状态。
统一表达式,
ri
1.第一强度理论（最大拉应力理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应力（即某点的第一主应力 ）
是破坏的原因,1
强度条件为,
11r
(14.1)
其中 称为该强度理论的相当应力
ri?
b1
当 时破坏发生。
缺点：未考虑第二、第三主应力的影响，
单压、二向压缩无法使用。
2.第二强度理论（最大拉应变理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应变（即某点的第一主应变 ）
是破坏的原因。 1
强度条件为,
)( 3212r
(14.2)
b1
当 时破坏发生。
EE
b )( 321
1?
缺点：与实际情况不完全符合，用途不如第一强度理论更广。
3.第三强度理论（最大切应力理论）
解释屈服失效，适用于塑性材料。
某点的最大切应力是引起该点屈服的原因。
22
31
m a x
S
S
当 时屈服发生。
强度条件为,
313r
(14.3)
缺点：未考虑第二主应力的影响。
4.第四强度理论（畸变能理论）
解释屈服失效，适用于塑性材料。
某点的畸变比能是引起该点屈服的原因。
22
13
2
32
2
21 3
1])()()[(
6
1
Sd EEu?
强度条件为：
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214r
(14.4)5.莫尔强度理论适用于拉压不同性的脆性材料。
强度条件为,
31rM
(14.5)
根据大量的材料力学性能实验结果归纳而成。
当 时转化为第三强度理论。
6.几种常见的典型危险点的强度计算工程上常见的拉、扭、弯及它们的组合变形，
其危险点常为以下三类应力状态：
（ 1）第一类危险点 —— 单向应力状态如：轴向拉伸的危险点
FF?=F/A?
弯曲时的正应力危险点
F?=M/W?
对第一类危险点，主应力为：
0,321
选用不同强度理论时的相当应力为：
1
2
1
2
14
313
3212
11
][
2
1
)(
rM
r
r
r
r
F
（ 2）第二类危险点 —— 纯剪切应力状态如：扭转时的危险点
TT
PW
T
弯曲时的切应力危险点?
bI
SF
z
zS
m a x?
对第二类危险点，主应力为：
321,0,
选用不同强度理论时的相当应力为：
)1(
3]4[
2
1
2
)1()(
31
222
4
313
3212
11
rM
r
r
r
r
选用不同强度理论时,ki不同可改写为,
i
ii k?
（ 3）第三类危险点 —— 二向应力状态如：弯曲时拉 +扭组合变形：
TT
FF
T
F
弯 +扭组合变形：
对第三类危险点，主应力为：
22
1 4/2
22
3 4/2
02
若选用第三或第四强度理论：
223 4r
224 3r
对第三类危险点，第三或第四强度理论的强度条件为：
22 4第三强度理论 (14.6)
22 3第四强度理论 (14.7)
T
F
若为弯 +扭组合变形，危险截面的弯矩 M，扭矩 T，则：
zW
M
PW
T
由于圆轴有：
32
3d
W z zP WdW 216
3
zPz
r W
TM
W
T
W
M 2222
3 )(4)(
zPz
r W
TM
W
T
W
M 2222
4
75.0)(3)(
（ 4）其他类型危险点如：危险点为三向应力状态
若 0
321,,
若 0
321,,
代入 的表达式中，得各强度理论的强度条件。ri?
例 题 14-1 § I4 组合变形
例题
（ 1）图示结构,F力沿 z方向作用，求 A截面上的内力分量。z
x
y F
L2L
LA
B
C
D 解：
F
L2L
LA
B
C
D
沿 A截面切开，
取整体为对象，
列平衡方程：
FSz M
y
T
A截面上的内力分量
FF Sz?剪力
FLM y 2?弯矩
FLT?扭矩方向如图杆的 AD段为弯 +扭,CD段为弯曲,DB段无变形例 题 14-1 § I4 组合变形
例题
（ 2）一端固支的空间刚架受力如图，
2Fa力偶作用在 xy平面内,F力沿 x方向作用，求 A,B-,B+,C+截面上的内力分量。
解：
2Fa
F
A B
C
D
沿 A截面切开：
FNA
MzA MyA
弯矩轴力 FF
NA?
FaFaFaM zA 2
FaM yA?
F
x
z
y
A B
C
D
2Fa
例 题 14-1 § I4 组合变形
例题沿 B- 截面切开,F
NB-
MzB-
MyB-
弯矩轴力 FF
NB
FaFaFaM zB 2
FaM yB
沿 B+ 截面切开：
B
F
2Fa C
D
F
x
z
y
A B
2Fa C
D
TB+FSxB+
MyB+
F
B
C
D
2Fa
FF S x B剪力扭矩 FaFaFaT
B 2
弯矩
FaM yB
例 题 14-1 § I4 组合变形
例题沿 C+ 截面切开：
MzC+
F
C
D
F
x
z
y
A B
2Fa C
D
FSxC+
FF S x c剪力弯矩 FaM
zC
§ 14.3 组合变形典型之一 —— 斜弯曲斜弯曲 —— 梁上横向载荷的作用方向过横截面的弯曲中心，但不与横截面形心主轴平行。
1.斜弯曲与对称弯曲、平面弯曲的区别：
§ 13中讨论过的 对称弯曲,
截面有一纵向对称轴（ y轴），载荷作用于纵向对称面内。
§ 13中讨论过的 平面弯曲,
截面虽无纵向对称轴，但载荷作用面过弯曲中心，且平行于截面的形心惯性主轴。
o o
对称弯曲、平面弯曲 —— 中性轴都与载荷平面垂直
EI
M
dx
wd
bI
SF
I
My
z
zS
2
2
,,
截面有纵向对称轴，但载荷不作用在纵向对称面内截面无纵向对称轴，载荷过弯曲中心，但不平行于形心惯性主轴斜弯曲
（双向弯曲）
F
o
F
斜弯曲可分解为截面两个相互垂直的形心主惯性平面内的弯曲
F
o
F
若载荷不过弯曲中心，且不平行于主惯性平面
—— 可将载荷平移致弯曲中心,为斜弯曲 +扭转
F
c
F
T T
例 题 14-2 § I4 组合变形
例题
F
x
y
z
L
A B
矩形截面梁的斜弯曲 y
z
F?
解：
外力过弯曲中心（即形心），但外力作用线不与形心主惯性轴重合,将其沿两个主惯性轴分解。
产生以 z 为中性轴的弯曲，?cosF
sinF 产生以 y 为中性轴的弯曲，
cosF
sinF
1.分解例 题 14-2 § I4 组合变形
例题
F
x
y
z
L
A B
y
z
FcosF
sinF
2.分算
x
y
cosF
L
x
弯矩,)(c o s)( xLFxM
z
x截面上任意点处 (y,z)的正应力：
zz
z
I
yxLF
I
yM )(co s
（ y,z）
（ 1） 产生以?cosF
z 为中性轴的弯曲
cosFL
例 题 14-2 § I4 组合变形
例题
F
x
y
z
L
A B
y
z
FcosF
sinF
弯矩,)(s i n)( xLFxM
y
x截面上任意点处 (y,z)的正应力：
yy
y
I
zxLF
I
zM )(s i n
（ y,z）
（ 2） 产生以?sinF
y 为中性轴的弯曲
x
z
sinF
L
x
sinFL
例 题 14-2 § I4 组合变形
例题
F
x
y
z
L
A B
y
z
FcosF
sinF
x截面上任意点处 (y,z)的总正应力：
)
s i nc o s
)((
)(s i n)(c o s
yz
yz
I
z
I
y
xLF
I
zxLF
I
yxLF
（ y,z）
0,00,0
0,0 0,0
sinF
cosF
x
z
L
x
z
3.叠加总应力是 y,z的线性函数，在截面上分布为一斜平面
2.斜弯曲的特点
(1)斜弯曲的中性轴位置中性轴 —— 由截面上弯曲正应力为零的点组成令 0
0s i nco s z
I
y
I yz
上式为中性轴应满足的方程，
为一条过原点的直线
y
z
F?
中性轴的斜率为：
t ant an
y
z
I
I
z
y
)s i nco s)((
yz I
z
I
yxLF斜弯曲的应力中性轴与载荷垂直 —— 平面弯曲
t ant an
y
z
I
I
z
y中性轴的斜率为：
y
z
F?
若
yz II
则
yz II
若 则中性轴与载荷不垂直 —— 斜弯曲例如：圆形、正多边形截面均有
yz II?
故总是平面弯曲！F
F
y
z
例如：圆形、正多边形截面均有
yz II?
故总是平面弯曲！
F?
F
y
z
F
y
z
My
Mz
y
z
M总
Wm a x
总M
对圆截面轴
（ 2）中性轴把截面划分为拉应力区和压应力区
y
z
F?
拉应力区压应力区
0
（ 3）斜弯曲梁的强度计算正确找出危险截面,在危险截面上正确找出危险点危险点 —— 距中性轴最远的点外凸尖角处截面周边平行于中性轴的切线与周边的切点
max?
max?
F
0
max?
max?
y
z
FcosF
sinF
b
h
F
yzy
y
z
z
W
LF
W
LF
W
M
W
M
s i nc o sm a xm a xm a x
yzy
y
z
z
W
LF
W
LF
W
M
W
M
s i nc o sm a xm a xm a x
LFM z?c o sm a x?
LFM y?s inm a x?
危险截面在固支端：
例如：例 14.2中
F
若截面改为圆形，
危险点应力为何？
max?
max?
特别注意：圆形截面总是平面弯曲，且无尖点，
F?
F
y
z
F
y
z
My
Mz
y
z
M总故危险点应力 应按矢量合成后的 M总 计算。
max?
22
zy MMM总
max?
max?
max?
max
max?
max?
max?
max?
中性轴总
W
M
m a x
对圆截面轴强度条件：
m a xm a x
（ 4）斜弯曲的挠度分别计算出两个方向的挠度分量后，按矢量合成为总挠度。
22
zy www
wy
例如例 14.2
y
z
FcosF
sinF
wz
w
y
z
z
y EI
LFw
EI
LFw
3
s i n
3
c os 33
t ant ant an
y
z
y
z
I
I
w
w
总挠度矢量方向总是垂直于中性轴！
但一般不在载荷的作用面内！
§ 14.3 组合变形典型之二
—— 拉（压）弯组合、偏心拉压拉（压）弯组合 —— 载荷为轴向力 +横向力（或轴向平面内力偶）
偏心拉压 —— 所受轴向力作用线不与轴线重合
（偏心力）
拉弯组合
e
偏心拉伸例 题 14-3 § I4 组合变形
例题矩形截面偏心拉伸载荷作用在横截面任意 （ yp,zp）
位置,求与轴线垂直的横截面上任意点 （ y,z）
的应力 。
例 题 14-3 § I4 组合变形
例题解,偏心拉伸力 F向截面的形心 O处简化得1.分解
z
y
F?z
F
yFO
轴向拉力 F,xy平面内的力偶
Fz yFM
xz平面内的力偶
Fy zFM
y
z
F
My My
My
Mz
F
My
Mz
y
F
z
F
I
zFz
I
yFy
A
F
例 题 14-3 § I4 组合变形
例题
z
y
F?z
F
yFOF
3.叠加
2.分算
y
F
y
y
z
F
z
z
I
zFz
I
zM
I
yFy
I
yM
A
F
在任意横截面上的点（ y,z）处：
拉压正应力以 z为中性轴弯曲正应力以 y为中性轴弯曲正应力例 题 14-3 § I4 组合变形
例题
)1(
)
//
1(
22
z
i
z
y
i
y
A
F
z
AI
z
y
AI
y
A
F
I
zFz
I
yFy
A
F
y
F
z
F
y
F
z
F
y
F
z
F
总应力为截面上的中性轴：
01 22 z
i
zy
i
y
y
F
z
F
令 0 得中性轴方程
z
y
F?z
F
yFOM
y
Mz
中性轴
ay
ax
F
z
y y
ia 2
F
y
z z
ia 2
截距中性轴与偏心拉力作用点分布于形心两侧例 题 14-3 § I4 组合变形
例题
z
y
F（ zF,yF）
O
中性轴拉应力区压应力区
max?
max?
中性轴将截面划分为受拉区和受压区：
危险点：外凸尖点，或周边平行于中性轴的切线切点。
中性轴截面核心的概念：
轴向压力 F 作用点若在靠近横截面形心的某一区域内，则横截面上的正应力均为压应力，该区域称为该截面的核心。
F
z
y y
ia 2
F
y
z z
ia 2
截距
z
y
Fz
F
yFOM
y
Mz
中性轴
ay
ax
中性轴
h
b
h/6
b/6
D
D/4
此概念常用于建筑结构
§ 14.3 组合变形典型之三 —— 弯扭组合常见于各种传动轴、曲柄、空间折杆，载荷为横向力或轴线平面内的力偶与横截面内的力偶共同作用
FT1 FT2
MT
已知曲拐 ABC的 AB段直径 d及,试写出校核杆 AB强度时的强度条件。
][?
杆 AB为弯扭组合变形
l y
z
a
P
A
B
C
x
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题解：
A
B
z
y
P
Pam?
x
杆 BC 为弯曲变形
1.分解危险截面为固支端 A
PlM
PaT
Pa
T
P
M
Pl
PaT?
A
B
z
y
P
PaM?
x
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题危险点为 K,K’
危险截面上的应力分布：
圆周边界上的扭转切应力最大：
PW
T
W
M水平直径两端的弯曲正应力最大：
A
B
z
y
P
PaM?
x
K?
K
z
y
PW
T
K
K?
z
y
W
M
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题
2.叠加
22)
2(2?
3
1
0
2
K?
危险点的应力状态为第三类危险点
K
+
K
=
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题
3.强度条件
][4 223r
][3 224r
A
B
z
y
P
PaM?
x
][
)()(1
)(4)(
22
22
2222
3
W
alP
W
PaPl
TM
WW
T
W
M
p
r
][
75.0
75.0
1
22
22
4
W
alP
TM
W
r
例 题 14-4 § I4 组合变形
例题圆轴弯曲正应力
3
32 dW
W
M 抗弯截面系数
162
3d
WW p
圆轴扭转切应力
PW
T 抗扭截面系数
A
B
z
y
P
PaM?
x
45K K
z
y
例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
圆截面直角拐 ABC处于水平面内，直径 d=20mm。测得 AB
杆上的 K点沿与轴线 45度方向的线应变为 （ K
点在水平直径的前端）。若材料,弹性模量 E=200GPa,泊松比,且 P=200N。试用第三强度理论校核该直角拐的强度（不计弯曲剪应力）。
5
45 10
10
解：
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa危险截面可能在截面 A或 B+处例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
画出杆的内力图截面 A处的内力为,
AB段为扭 +斜弯曲
PaT?
PM z 24.0?
PM y 36.0?
(单位
N·m)
BC段为弯曲截面 B+处的内力为：
PaM B
例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
PPPMMM yz 43.036.024.0 2222总图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
对圆截面杆的斜弯曲，应求出总弯矩后按平面弯曲计算：
A截面上的扭转：
A截面上的斜弯曲：
PP W
Pa
W
T
需要先求出 a =？
3
16 dW P
3
32 dW
例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
PPPMMM yz 43.036.024.0 2222总
x
y
45
1?
3?
EE 11 32145?
PP W
Pa
W
TE
1
45?
1302
P
WEa P?
1
45?
mm40
200
20
16
25.01
101010200 353
K点处为纯剪切应力状态
M P a
PP
W
MT
W
r
110
43.004.0
1
1
22
22
3
总
例 题 14-5 § I4 组合变形
例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
PPaT 04.0
PMMM yz 43.022总
A截面：
B+截面：
PPaM B 04.0
根据第三强度理论，显然危险截面应为 A截面
3r 安全
，皮带轮直径,mmD 300?
传动轴 ACB，电动机输出力矩,
皮带张力
21 2TT?
，轴用钢材的,M Pa160][
根据第四强度理论设计传动轴的直径 d 。
例 题 14-6 § I4 组合变形
例题
T1 T2
MtA
BC
2l 2l
例 题 14-6 § I4 组合变形
例题
P
Mt
解,1.轴 AB外力的分解
T1 T2
MtA
BC
2l 2l
A
B
C
2l 2l
221 3 TTTP
tt MDT
DTDTM
2211 2
1
22?
Mt1 kNTP 203 2
NDMT t 3
6
2 1067.63 0 0
1022
kN67.6?
杆的 AC段为弯曲，
CB段为弯 +扭。
外力向轴线处简化例 题 14-6 § I4 组合变形
例题
2.画内力图
mkNPlM 14 2.0204
mkNMT t 1
危险截面为 C
3.按强度条件设计 d
][75.01 224 TMWr
mmd 8.431 6 0 1075.01323
6
可取 mmd 44?
Pl/4
(M)
(T)
Mt
P
Mt
A
B
C
2l 2l
Mt1
=20kN
mkN1
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题试按第三强度理论校核齿轮轴 AB的强度。
mmDmmD 1 3 0,50 21
kNP y 83.3?
kNP z 3 9 3.1?
kNP y 4 7 3.1'?
kNP z 5 3 6.0'?
mmd 22?
M Pa180][
50
50
50
x
y
z
yP
zP
zP?
yP?
1
2
A
E
C
B
D1
D2
d
解,1.分解
mmNDPM yt 5
3
1
1 10958.02
501083.3
2
mmNDPM yt 5
3
2'
2 10958.02
13010473.1
2
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题将外力向 AB的轴线上简化
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
2.分别画内力图
mmNM t 52 109 5 8.0
)(T
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
扭矩图例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
铅垂面内的弯矩图
y
yP yP?
523.1
125.1
)( zM
单位：
mmN?510
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
z
zP zP? 水平面内的弯矩图
375.0
0535.0
)( yM
单位：
mmN?510
各截面双向弯曲的总弯矩
22 yz MMM总
)10( 5 mmNM?总
568.1
130.1
危险截面例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
C mmNT
510958.0
mmNM 5105 6 8.1
3.强度条件
][1 223 TMWr 332 dW
M p aM P ar 180][17610958.0568.12232 5223
3
安全 !
例 题 14-7 § I4 组合变形
例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题折架结构 ABC水平放置,AB与 BC垂直,AB为圆形截面，直径 D,试求,A截面圆周上与水平 y 轴成 60° 角的直径相交点 K的主应力。
a
2P
P
x
y
z
2a A
B
C
y60°
K
A截面
z
D
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题
a
2P
P
x
y
z
2a A
B
C
y60°
K
A截面
z
D
AB段内力分析外力向 B截面 简化如图解：
2P
P
T=Pa y
z
x
A
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题
A截面内力
2P
P
T=Pa y
z
x
A
PaT
PaaPM
PaaPM
z
y
422
22
3
16
D
Pa
W
T
p?
3
64)60co s
2( D
PaD
I
M
z
z
M
（拉）
3
332)60s i n
2( D
PaD
I
M
y
y
M
（拉）
分别计算 K点各项应力：
60°
Mz
My
y
zK
T
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题
3
16
D
Pa
W
T
p?
3
64)60co s
2( D
PaD
I
M
z
zM
（拉）
3
332)60s i n
2( D
PaD
I
M
y
y
M
（拉）
K点的单元体为二向应力状态
K点的正应力叠加后为：
)32(32 3 DPaMM
13.0
6.716)
2(2 3
22
3
1
D
aP
0
2
K
MM
60°
Mz
My
y
zK
T
另法：先将弯矩 Mz,My在 KL轴和其垂直方向 QN投影
PaPaPa
MMM yzQN
)32(32
60s i n60c o s
)32(32 3 D aPWM KL
3
16
D
aP
W
aP
p?
Q
N
例 题 14-8 § I4 组合变形
例题
K点仅有 MQN引起的弯曲正应力及 T 引起的扭转切应力
60°
My
Mz
K
L
y
z
T
MKL MQN
§ 14.4 组合变形的一般情况计算任意截面上的内力,找出危险截面
m
m
比如 m-m截面：
x
m
m
z
y
SzF
SyF
NF T
yM
zM
内力分量有
zySzSyN MMTFFF,,,,,
A
F N
N
p
T I
T
z
I
M
y
y
M?
'? y
I
M
z
z
M
扭矩 T
内力,轴力
NF
x
m
m
z
y
SzF
SyF
NF T
yM
zM
弯曲剪力
SzF SyF
弯矩
yMzM
bI
SF
z
zSy
w
（弯曲切应力一般可忽略）
bI
SF
y
ySz
w
