工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(11)
§ 5 静力学基本概念
§ 5.0 概述静力学 —— 研究物体系统在力系作用下平衡的规律。
力系 —— 一群力。
平衡 —— 相对于惯性系静止或匀速直线运动。
本章重点 ——?力对点之矩、力对轴之矩的计算
(§ 5.1,§ 5.2)
基本力学概念和基本公理 (§ 5.3,§ 5.4)
物体系统的受力分析,取分离体、画受力图 (§ 5.5,§ 5.6)
§ 5.1 力和力偶
1,力的定义力是物体与物体之间的机械作用,其结果
（ 1）改变物体的运动状态 —— 外效应、运动效应
（ 2）使物体产生变形 —— 内效应、变形效应力的三要素作用于变形体的力：大小、方向、作用点作用于刚体的力：大小、方向、作用线特例（力系的主矢）：大小、方向一般 （定位矢量） ),( Fr
O r?
F?
（滑动矢量） F?
（自由矢量）
F?
2.力对点之矩，力对轴之矩力的单位 —— N,kN
力的合成与分解力的投影 见 § 1.1矢量代数基础
（ 1）力对点之矩（矢量）
F?
r?
x
y
z
O
h
力矢 ),( Fr矩心 O，
特点
)(FMO
① 力对点之矩为一个定位矢量；
② 三要素：大小、方向、矩心；
③ 的大小为 MO=Fh,单位,N·m,kN ·m 。)(FM
O
kFMjFMiFM
kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
FrFM
OzOyOx
xyzxyz
zyx
O
)()()(
)()()(
)(
(5.1)
定义
平面力系,力对点之矩可用代数量表示。
（ 2）力对轴之矩（代数量）
力对点之矩式中 kMjMiMFM
OzOyOxO
)(
—— 力对 x 轴之矩
—— 力对 y 轴之矩
—— 力对 z 轴之矩)()(
)()(
)()(
FMFM
FMFM
FMFM
zOz
yOy
xOx
力对任意 l 轴（方向 l° ）之矩为
lFMFM Al )()( A为 l 轴上任意一点 (5.2)定义
F?
x
y
z
A
r?
)(FMA l 轴
l?
特点 ① 力对轴之矩为一代数量,单位,N·m,kN ·m ；
② 代数量的符号由右手螺旋法则定出；
③ 当力与某轴共面时，力对该轴之矩为 0。 （ 力和轴平行或力的作用线通过矩轴）
力 Ｆ 对任一 z
轴的矩,等于这力在 z轴的垂直面上的投影 F? 对该投影面和 z轴交点的矩 。
④ 力对轴之矩的大小
(3)合力矩定理若
)()()( 21
21
FMFMFM
FFF
OOO
则 （ 5.3）
（ 4）合力对轴之矩定理若则 )()()( 21 FMFMFM FFF lll
（ 5.4）
（ 5） 力对点之矩、力对轴之矩的计算利用合力矩定理计算力对点之矩方向垂直于 与 组成平面
FhFM O?)( r
F?
计算力对轴之矩 利用定义 利用合力对轴之矩定理 lFMFM Al
)()(
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题手柄 ABCE在平面 Axy内,
在 D处作用一个力 F,如图所示,它在垂直于 y轴的平面内,
偏离铅直线的角度为 α。 如果
CD=b,杆 BC平行于 x轴,杆 CE
平行于 y轴,AB和 BC的长度都等于 l。 试求力 对 x,y和 z
三轴的矩 。
F?
应用合力矩定理求解。
力 F 沿坐标轴的投影分别为：
c os
0
s in
FF
F
FF
z
y
x
由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有解,方法 1
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题
xF?
zF?
应用力对轴的矩之解析表达式求解。
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
F
F
F
c o s,0,s i n FFFFF zyx
因为力在坐标轴上的投影分别为：
0,, zblylx
力作用点 D 的坐标为：
则方法 2
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题在直角弯杆的 C端作用着力 F，试求这力对坐标轴以及坐标原点 O的矩。
已知 OA =a = 6 m,AB=b=
4 m,BC=c=3 m,α=30o,
β=60o。
由图示可以求出力 F 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点 C 的坐标分别为：
解：
x= b = 4 m
y= a = 6 m
z= c =－ 3 m
c o s c o sFF x?
s in c o sFF y?
s inFF z?
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
mN 105 s i n c o s s i n cFaFM x
mN 66
s i n c o s c o s
bFcFM y
mN 8 c o s c o s s i n c o s aFbFM z
mN 3.124222 zyxO MMMM
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题力 F 对坐标轴之矩为：
则可求得力 F 对坐标轴之矩及对原点 O之矩的大小和方向 。
力 F 对原点 O之矩大小：
8 4 5.0),c o s (
O
x
O M
MiM
5 3 1.0),c o s (
O
y
O M
MjM
064.0),c o s (
O
z
O M
MkM
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题力 F 对原点 O之矩方向余弦：
3.力偶和力偶矩定义 大小相等、方向相反、不共线的两个力 和组成的力系称为 力偶,记为 。
21 FF
),( 21 FF
力偶的性质
1F
2F
（ 1）力偶中的两力矢量和恒为 0。 0
21 FF
（ 2）力偶中的两力对空间任意点之矩的矢量和恒相等且不为 0，称为 力偶矩 。),(
21 FFM
)()(
)()(),(
2122112112
12112211
2121
FMFrFMFr
FrFrFrFr
FMFMFFM
DD
OO
(5.5)
O
D2D1
1r?
2r?
12r?
21r?
1F
2F
O
D2D1
1r?
2r?
(3)力偶的三要素：
① 作用面 —— 两个力所在的平面
② 力偶的转向 —— 在力偶的作用面内，
由右手螺旋法确定。
③ 力偶矩的大小 ——
FdFFM?),( 21
d
力偶矩为自由矢量！
力偶矩的大小只取决于乘积 Fd !
d0
M=F0d0=Fd
例 题 3
§ 5 静力学基本概念?例题
O
x
y
z
C(0,0,c)
B(0,b,0)
A(a,0,0)
1F
2F
已知,a=5m,b=4m,c=3m,
,二 力大小相等方向相反，求力偶矩。
kNFFF 1021
),( 21 FFM
例 题 3
§ 5 静力学基本概念?例题解：
21
2121 )()(),(
FCAFAC
FMFMFFM CA
kciaAC
kFjFF co ss i n1
c o ss i n0
0),( 121
ca
kji
FFACFFM
mkNkji )403924(
5
3c o s
5
4s i n
O
x
y
z
C(0,0,c)
B(0,b,0)
A(a,0,0)
1F
2F
5 4
3
§ 5.2 力系的主矢和力系对某点的主矩
1.力系的分类共线力系平面力系空间力系平行力系汇交力系力偶系特殊力系任意力系 一般力系从力的作用线区分为：
2.力系的特征量
（ 1）力系的 主矢力系的特征量 —— 表征力系的整体作用效应力系中各力的矢量和，记为
RF
izRziyRyixRx
RzRyRx
n
i
iR
FFFFFF
kFjFiFFF
,,
1
(5.6)
R
Rz
R
R
Ry
R
R
Rx
R
RzRyRxRR
F
F
kF
F
F
jF
F
F
iF
FFFFF
),c o s (,),c o s (,),c o s (
222
(5.7)
力系主矢的特点 —— 主矢为自由矢量 （只有大小、方向，
无起始 点）
RF
1F
3F
4F
2F
M?
（ 2）力系对某点的 主矩取矩心为 O,力系中各力对 O点之矩的矢量和,记为 OM?
i
n
i
i
n
i
iOO FrFMM
11
)( (5.8)
力系主矩的特点 — 主矩与矩心有关,对不同的矩心 O与 A，
若两矩心满足
ii rOAr
则
ARiii
iiiiO
MFOAFrFOA
FrOAFrM
)(
O
A
iF
ir?
ir
RAO FOAMM
（ 5.9）
力系对不同点主矩的之间的关系故力系的 主矩是一个定位矢量,位于矩心处，一般将主矢也画于矩心点上。
1F
3F
4F
2F
RF
O
OM
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
如图，力系中 分别作用于点 A(0,0,a)和点
B(0,0,2a)，已知,a=3m,
F1=4kN,F2=6kN,求力系的主矢及力系对点 O、点
C(a,a,0)的主矩。
21,FF
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题解：
kjkjF
iF
2323)
2
2
2
2(6
4
2
1
又 jiCOkrkr 3363 21
主矢
kjiFF iR 23234对点 O的主矩
ji
kjikji
FrFrM O
12218
23230
600
004
3002211
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题求对点 C的主矩，利用两点主矩关系
kji
kji
ji
FCOMM
ROC
)2912()2912(29
23234
03312218
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
例 题 4 § 5 静力学基本概念
例题
O
x
y
z
C(a,a,0)
O
x
y
z
C(a,a,0)
RF
RF
OM
CM
力系的主矢和力系对点 O的主矩力系的主矢和力系对点 C的主矩主矢 kjiF
R
23234
jiM O 12218 kjiM C )2912()2912(29
主矩
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(11)
§ 5 静力学基本概念
§ 5.0 概述静力学 —— 研究物体系统在力系作用下平衡的规律。
力系 —— 一群力。
平衡 —— 相对于惯性系静止或匀速直线运动。
本章重点 ——?力对点之矩、力对轴之矩的计算
(§ 5.1,§ 5.2)
基本力学概念和基本公理 (§ 5.3,§ 5.4)
物体系统的受力分析,取分离体、画受力图 (§ 5.5,§ 5.6)
§ 5.1 力和力偶
1,力的定义力是物体与物体之间的机械作用,其结果
（ 1）改变物体的运动状态 —— 外效应、运动效应
（ 2）使物体产生变形 —— 内效应、变形效应力的三要素作用于变形体的力：大小、方向、作用点作用于刚体的力：大小、方向、作用线特例（力系的主矢）：大小、方向一般 （定位矢量） ),( Fr
O r?
F?
（滑动矢量） F?
（自由矢量）
F?
2.力对点之矩，力对轴之矩力的单位 —— N,kN
力的合成与分解力的投影 见 § 1.1矢量代数基础
（ 1）力对点之矩（矢量）
F?
r?
x
y
z
O
h
力矢 ),( Fr矩心 O，
特点
)(FMO
① 力对点之矩为一个定位矢量；
② 三要素：大小、方向、矩心；
③ 的大小为 MO=Fh,单位,N·m,kN ·m 。)(FM
O
kFMjFMiFM
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FFF
zyx
kji
FrFM
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xyzxyz
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O
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)(
(5.1)
定义
平面力系,力对点之矩可用代数量表示。
（ 2）力对轴之矩（代数量）
力对点之矩式中 kMjMiMFM
OzOyOxO
)(
—— 力对 x 轴之矩
—— 力对 y 轴之矩
—— 力对 z 轴之矩)()(
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FMFM
FMFM
FMFM
zOz
yOy
xOx
力对任意 l 轴（方向 l° ）之矩为
lFMFM Al )()( A为 l 轴上任意一点 (5.2)定义
F?
x
y
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A
r?
)(FMA l 轴
l?
特点 ① 力对轴之矩为一代数量,单位,N·m,kN ·m ；
② 代数量的符号由右手螺旋法则定出；
③ 当力与某轴共面时，力对该轴之矩为 0。 （ 力和轴平行或力的作用线通过矩轴）
力 Ｆ 对任一 z
轴的矩,等于这力在 z轴的垂直面上的投影 F? 对该投影面和 z轴交点的矩 。
④ 力对轴之矩的大小
(3)合力矩定理若
)()()( 21
21
FMFMFM
FFF
OOO
则 （ 5.3）
（ 4）合力对轴之矩定理若则 )()()( 21 FMFMFM FFF lll
（ 5.4）
（ 5） 力对点之矩、力对轴之矩的计算利用合力矩定理计算力对点之矩方向垂直于 与 组成平面
FhFM O?)( r
F?
计算力对轴之矩 利用定义 利用合力对轴之矩定理 lFMFM Al
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例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题手柄 ABCE在平面 Axy内,
在 D处作用一个力 F,如图所示,它在垂直于 y轴的平面内,
偏离铅直线的角度为 α。 如果
CD=b,杆 BC平行于 x轴,杆 CE
平行于 y轴,AB和 BC的长度都等于 l。 试求力 对 x,y和 z
三轴的矩 。
F?
应用合力矩定理求解。
力 F 沿坐标轴的投影分别为：
c os
0
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FF
F
FF
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y
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由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有解,方法 1
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题
xF?
zF?
应用力对轴的矩之解析表达式求解。
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
F
F
F
c o s,0,s i n FFFFF zyx
因为力在坐标轴上的投影分别为：
0,, zblylx
力作用点 D 的坐标为：
则方法 2
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题在直角弯杆的 C端作用着力 F，试求这力对坐标轴以及坐标原点 O的矩。
已知 OA =a = 6 m,AB=b=
4 m,BC=c=3 m,α=30o,
β=60o。
由图示可以求出力 F 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点 C 的坐标分别为：
解：
x= b = 4 m
y= a = 6 m
z= c =－ 3 m
c o s c o sFF x?
s in c o sFF y?
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例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
mN 105 s i n c o s s i n cFaFM x
mN 66
s i n c o s c o s
bFcFM y
mN 8 c o s c o s s i n c o s aFbFM z
mN 3.124222 zyxO MMMM
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题力 F 对坐标轴之矩为：
则可求得力 F 对坐标轴之矩及对原点 O之矩的大小和方向 。
力 F 对原点 O之矩大小：
8 4 5.0),c o s (
O
x
O M
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5 3 1.0),c o s (
O
y
O M
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064.0),c o s (
O
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例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题力 F 对原点 O之矩方向余弦：
3.力偶和力偶矩定义 大小相等、方向相反、不共线的两个力 和组成的力系称为 力偶,记为 。
21 FF
),( 21 FF
力偶的性质
1F
2F
（ 1）力偶中的两力矢量和恒为 0。 0
21 FF
（ 2）力偶中的两力对空间任意点之矩的矢量和恒相等且不为 0，称为 力偶矩 。),(
21 FFM
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(5.5)
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1F
2F
O
D2D1
1r?
2r?
(3)力偶的三要素：
① 作用面 —— 两个力所在的平面
② 力偶的转向 —— 在力偶的作用面内，
由右手螺旋法确定。
③ 力偶矩的大小 ——
FdFFM?),( 21
d
力偶矩为自由矢量！
力偶矩的大小只取决于乘积 Fd !
d0
M=F0d0=Fd
例 题 3
§ 5 静力学基本概念?例题
O
x
y
z
C(0,0,c)
B(0,b,0)
A(a,0,0)
1F
2F
已知,a=5m,b=4m,c=3m,
,二 力大小相等方向相反，求力偶矩。
kNFFF 1021
),( 21 FFM
例 题 3
§ 5 静力学基本概念?例题解：
21
2121 )()(),(
FCAFAC
FMFMFFM CA
kciaAC
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0),( 121
ca
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O
x
y
z
C(0,0,c)
B(0,b,0)
A(a,0,0)
1F
2F
5 4
3
§ 5.2 力系的主矢和力系对某点的主矩
1.力系的分类共线力系平面力系空间力系平行力系汇交力系力偶系特殊力系任意力系 一般力系从力的作用线区分为：
2.力系的特征量
（ 1）力系的 主矢力系的特征量 —— 表征力系的整体作用效应力系中各力的矢量和，记为
RF
izRziyRyixRx
RzRyRx
n
i
iR
FFFFFF
kFjFiFFF
,,
1
(5.6)
R
Rz
R
R
Ry
R
R
Rx
R
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F
F
kF
F
F
jF
F
F
iF
FFFFF
),c o s (,),c o s (,),c o s (
222
(5.7)
力系主矢的特点 —— 主矢为自由矢量 （只有大小、方向，
无起始 点）
RF
1F
3F
4F
2F
M?
（ 2）力系对某点的 主矩取矩心为 O,力系中各力对 O点之矩的矢量和,记为 OM?
i
n
i
i
n
i
iOO FrFMM
11
)( (5.8)
力系主矩的特点 — 主矩与矩心有关,对不同的矩心 O与 A，
若两矩心满足
ii rOAr
则
ARiii
iiiiO
MFOAFrFOA
FrOAFrM
)(
O
A
iF
ir?
ir
RAO FOAMM
（ 5.9）
力系对不同点主矩的之间的关系故力系的 主矩是一个定位矢量,位于矩心处，一般将主矢也画于矩心点上。
1F
3F
4F
2F
RF
O
OM
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
如图，力系中 分别作用于点 A(0,0,a)和点
B(0,0,2a)，已知,a=3m,
F1=4kN,F2=6kN,求力系的主矢及力系对点 O、点
C(a,a,0)的主矩。
21,FF
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题解：
kjkjF
iF
2323)
2
2
2
2(6
4
2
1
又 jiCOkrkr 3363 21
主矢
kjiFF iR 23234对点 O的主矩
ji
kjikji
FrFrM O
12218
23230
600
004
3002211
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题求对点 C的主矩，利用两点主矩关系
kji
kji
ji
FCOMM
ROC
)2912()2912(29
23234
03312218
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
2F?
45o
例 题 4 § 5 静力学基本概念
例题
O
x
y
z
C(a,a,0)
O
x
y
z
C(a,a,0)
RF
RF
OM
CM
力系的主矢和力系对点 O的主矩力系的主矢和力系对点 C的主矩主矢 kjiF
R
23234
jiM O 12218 kjiM C )2912()2912(29
主矩
