工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(5)
§ 3 复合运动
§ 3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动
1,固定参考空间（ 定系 ） ----常与地球固连绝对运动 ----研究对象相对于定系的运动
2,运动参考空间（ 动系 ） ----常固连于相对地球作平面运动（平动、定轴转动、一般平面运动）的刚体上研究对象 ----点 M的运动（ 动点 M） ---- 与选取的参考空间有关相对运动 ----研究对象相对于动系的运动牵连运动 ----动系相对于定系的运动
3,复合运动 ---- 研究对象的绝对运动可分解为相对运动与牵连运动的合成绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
4,复合运动的实例
5,本章的研究目的工程机构各部件之间运动的传递通常是通过相互间的 接触点 完成的。接触点有两种：
（ 1）两部件在 接触点无相对运动 ----该点有惟一的轨迹、速度、加速度。
（ 2）两部件在 接触点有相对运动 ----该接触点实际为 两个物质点,这两点的轨迹、速度、加速度一般不完全相同 。
----应用本章复合运动的知识求解
----可用 § 2刚体平面运动的知识求解
O
A
B
O
A A点顶板上的点 A
OA杆上的点 A’
A点 —— 唯一，既是杆 OA上的点，又是杆 AB上的点
6,本章研究的关键解题之前必须明确：
（ 1）研究对象 ----动点 是哪个刚体上的哪一点？
（ 2）参考系 定系：固连大地动系,与哪个运动的物体固连
（ 3）动点的 绝对运动、相对运动、牵连运动 各为如何？
§ 3.2 变矢量的绝对导数与相对导数变矢量 —— 大小、方向随时间 t 变化的矢量)(ta?
变矢量的时间变化率（导数）与参考空间有关
O 定系
O’ 动系
t 时刻
)(ta?
O 定系
d?
t +?t 时刻动系相对定系转过 d?
)(ta?
)( tta a
)(ta?
a~
ea
定系中,矢量的变化为 绝对变化 即 绝对增量,绝对微分a ad?
动系中,矢量的变化为 相对变化 即 相对增量,相对微分a~ ad?~
eaaa ~
从图中可知 其中 为 大小不变，仅方向随动系改变时的变化 e
a )(ta?
故
adadadadad e ~~
故有绝对导数与相对导数之间的关系
)(
~
ta
dt
d
dt
ad
dt
ad?
即
a
dt
ad
dt
ad
e
~ （ 3.1）
其中
dt
d
e
为动系 t 时刻相对定系的角速度矢量特例：当动系相对于定系的牵连运动为平动时，有?e=0，故
dt
ad
dt
ad ~? 当?e=0 时 （ 3.2）
§ 3.3 点的复合运动的分析法求解1,动点的运动方程研究对象：动点 M
定系：参考点 O，直角坐标系 OXi
动系：参考点 O’，直角坐标系 O’Xe
动点 M的绝对运动 )(trr
动点 M的相对运动 )( trr
动系的牵连运动 )( trr
OO
)()()( trtrtr O且 （ 3.3)
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe32,动点的速度、加速度动点 M的绝对速度 (3.4)
dt
rdv
a
动点 M的绝对加速度
dt
vda a
a
（ 3.5)
动点 M的相对速度 (3.6)
dt
rdv
r
~
动点 M的相对加速度
dt
vda r
r
~
(3.7)
3.分析法描述动点 M的运动方程、速度、加速度动点 M 的绝对运动方程)()()(
321 txtxtx iii
动点 M 的相对运动方程
)()()( 321 txtxtx eee
动、定两坐标系的变换矩阵为正交矩阵)(tQ
其中 （ 3.8）
jiij itetQ
)()(
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
两坐标系基矢量的变换关系为
itQte )()(?
)()( tetQi T
(3.10)
(3.9)
不同参考系中的运动方程间关系为
)()()()( txtQtxtx eTiOi
))()(()()( txtxtQtx iOie (3.12)
(3.11)
由 (3.3)(3.9)(3.10)
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
可选择动系的 xe1xe2平面平行于定系的 xi1xi2平面，则牵连运动方程为
)( txx iOiO )(t
,(3.13)
100
0c o ss in
0s inc o s
)(
tQ
坐标变换矩阵为
(3.14)
速度、加速度的分析法解析表达式见教材 § 3.3.2
§ 3.4 点的复合运动的矢量法求解
1,速度合成定理
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or
r? r?
动点 M，定系 O，动系 O’
由运动方程关系 (3.3))()()( trtrtr
O
两边求绝对导数
dt
rd
dt
rd
dt
rd O
根据速度的定义有
O
O v
dt
rd
动系参考点的绝对速度而 为相对矢径的绝对导数，
dt
rd 根据 (3.1)式，有
rvrdt rddt rd ere
~
动点相对速度
avdt
rd 动点绝对速度
rvvv erOa故 (3.15)
记 牵连速度 为 (3.16)rvv
eOe
则 (3.15)变为牵连速度的物理意义：
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or
r? r?
动系（一个刚体）上牵连点 m与参考点 O’的两点速度关系即为
rvmOvv
vvv
eOeOe
OmOm
rea vvv
(3.17)速度合成定理动系中该瞬时与动点 M
重合的点 m（牵连点）
相对于定系的绝对速度
m
关于牵连点的实例：
动点：滑块 M，动系：固连于摇杆任意瞬时的牵连点为 m
利用复合运动求解运动学问题的求解步骤
（ 1）选择适当的 动点与动系同一题目，动点、动系的选择不惟一。
动点的选择 ----部件之间的接触点
----相交点，圆轮的圆心动系的选择 ----注意：
b.相对运动的轨迹要清楚
a.动点对动系一定要有相对运动
（ 3）对动点写出 速度合成关系
rea vvv
分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程
（ 2）分析 动点的绝对运动轨迹,相对运动轨迹 及 动系相对于定系的牵连运动状态
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(5)
§ 3 复合运动
§ 3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动
1,固定参考空间（ 定系 ） ----常与地球固连绝对运动 ----研究对象相对于定系的运动
2,运动参考空间（ 动系 ） ----常固连于相对地球作平面运动（平动、定轴转动、一般平面运动）的刚体上研究对象 ----点 M的运动（ 动点 M） ---- 与选取的参考空间有关相对运动 ----研究对象相对于动系的运动牵连运动 ----动系相对于定系的运动
3,复合运动 ---- 研究对象的绝对运动可分解为相对运动与牵连运动的合成绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
4,复合运动的实例
5,本章的研究目的工程机构各部件之间运动的传递通常是通过相互间的 接触点 完成的。接触点有两种：
（ 1）两部件在 接触点无相对运动 ----该点有惟一的轨迹、速度、加速度。
（ 2）两部件在 接触点有相对运动 ----该接触点实际为 两个物质点,这两点的轨迹、速度、加速度一般不完全相同 。
----应用本章复合运动的知识求解
----可用 § 2刚体平面运动的知识求解
O
A
B
O
A A点顶板上的点 A
OA杆上的点 A’
A点 —— 唯一，既是杆 OA上的点，又是杆 AB上的点
6,本章研究的关键解题之前必须明确：
（ 1）研究对象 ----动点 是哪个刚体上的哪一点？
（ 2）参考系 定系：固连大地动系,与哪个运动的物体固连
（ 3）动点的 绝对运动、相对运动、牵连运动 各为如何？
§ 3.2 变矢量的绝对导数与相对导数变矢量 —— 大小、方向随时间 t 变化的矢量)(ta?
变矢量的时间变化率（导数）与参考空间有关
O 定系
O’ 动系
t 时刻
)(ta?
O 定系
d?
t +?t 时刻动系相对定系转过 d?
)(ta?
)( tta a
)(ta?
a~
ea
定系中,矢量的变化为 绝对变化 即 绝对增量,绝对微分a ad?
动系中,矢量的变化为 相对变化 即 相对增量,相对微分a~ ad?~
eaaa ~
从图中可知 其中 为 大小不变，仅方向随动系改变时的变化 e
a )(ta?
故
adadadadad e ~~
故有绝对导数与相对导数之间的关系
)(
~
ta
dt
d
dt
ad
dt
ad?
即
a
dt
ad
dt
ad
e
~ （ 3.1）
其中
dt
d
e
为动系 t 时刻相对定系的角速度矢量特例：当动系相对于定系的牵连运动为平动时，有?e=0，故
dt
ad
dt
ad ~? 当?e=0 时 （ 3.2）
§ 3.3 点的复合运动的分析法求解1,动点的运动方程研究对象：动点 M
定系：参考点 O，直角坐标系 OXi
动系：参考点 O’，直角坐标系 O’Xe
动点 M的绝对运动 )(trr
动点 M的相对运动 )( trr
动系的牵连运动 )( trr
OO
)()()( trtrtr O且 （ 3.3)
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe32,动点的速度、加速度动点 M的绝对速度 (3.4)
dt
rdv
a
动点 M的绝对加速度
dt
vda a
a
（ 3.5)
动点 M的相对速度 (3.6)
dt
rdv
r
~
动点 M的相对加速度
dt
vda r
r
~
(3.7)
3.分析法描述动点 M的运动方程、速度、加速度动点 M 的绝对运动方程)()()(
321 txtxtx iii
动点 M 的相对运动方程
)()()( 321 txtxtx eee
动、定两坐标系的变换矩阵为正交矩阵)(tQ
其中 （ 3.8）
jiij itetQ
)()(
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
两坐标系基矢量的变换关系为
itQte )()(?
)()( tetQi T
(3.10)
(3.9)
不同参考系中的运动方程间关系为
)()()()( txtQtxtx eTiOi
))()(()()( txtxtQtx iOie (3.12)
(3.11)
由 (3.3)(3.9)(3.10)
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
可选择动系的 xe1xe2平面平行于定系的 xi1xi2平面，则牵连运动方程为
)( txx iOiO )(t
,(3.13)
100
0c o ss in
0s inc o s
)(
tQ
坐标变换矩阵为
(3.14)
速度、加速度的分析法解析表达式见教材 § 3.3.2
§ 3.4 点的复合运动的矢量法求解
1,速度合成定理
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or
r? r?
动点 M，定系 O，动系 O’
由运动方程关系 (3.3))()()( trtrtr
O
两边求绝对导数
dt
rd
dt
rd
dt
rd O
根据速度的定义有
O
O v
dt
rd
动系参考点的绝对速度而 为相对矢径的绝对导数，
dt
rd 根据 (3.1)式，有
rvrdt rddt rd ere
~
动点相对速度
avdt
rd 动点绝对速度
rvvv erOa故 (3.15)
记 牵连速度 为 (3.16)rvv
eOe
则 (3.15)变为牵连速度的物理意义：
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or
r? r?
动系（一个刚体）上牵连点 m与参考点 O’的两点速度关系即为
rvmOvv
vvv
eOeOe
OmOm
rea vvv
(3.17)速度合成定理动系中该瞬时与动点 M
重合的点 m（牵连点）
相对于定系的绝对速度
m
关于牵连点的实例：
动点：滑块 M，动系：固连于摇杆任意瞬时的牵连点为 m
利用复合运动求解运动学问题的求解步骤
（ 1）选择适当的 动点与动系同一题目，动点、动系的选择不惟一。
动点的选择 ----部件之间的接触点
----相交点，圆轮的圆心动系的选择 ----注意：
b.相对运动的轨迹要清楚
a.动点对动系一定要有相对运动
（ 3）对动点写出 速度合成关系
rea vvv
分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程
（ 2）分析 动点的绝对运动轨迹,相对运动轨迹 及 动系相对于定系的牵连运动状态
