工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 29)
（下册）
§ 15 能量法
§ 15.1 弹性变形势能及功能原理弹性变形能（ 应变能 ）
单位,1J=1N·m
—— 构件由于发生弹性变形而储存的能量（如同弹簧）,。表示为
V
变形体的 功能原理
—— 弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过程中，能量守恒，即,外力功 =变形能
VW?
(15.1)略去动能及能量损耗
F1
1
注意 外力从 0缓慢增加到终值 F1外力作用点的位移从 0增加到?
1
静载 ——
F
F=F(?)
O?1
F1
d?
dF
任意受力构件
F
O
VW?
F1
1
线弹性、小变形结构对线弹性、小变形：
112
1?FW?
(15.3)
10FdW
外力功 (15.2)
F1 F2M
设结构中的广义力、广义位移分别为,则
iiF?,
ii
i
FWV 21?
(15.4)
其中，广义位移 是与广义力 相应的
iFi?
1.轴向拉压的应变能
l?l
EA
lFlFV N
N 22
1 2
轴力沿 x变化：
l
N
EA
dxxFV
2
)(2
对 桁 架结构,
i ii
iNi
AE
lFV
2
2
(15.5)
2.扭转应变能 T
T
lPGI
lTTV
22
1 2
dx
GI
xTV
l P
2 )(
2
(15.6)
3.弯曲应变能 (一般可略去剪力引起的剪切应变能 )
dx
EI
xMV
l
2 )(
2
(15.7)
各种基本变形的应变能统一表达式,dxV
l
（刚度） 内力）2(
2
(15.8)
拉压 扭转 弯曲内力 FN T M
刚度 EA GIP EI
EI
dxMdxMMddV 2
EI
M?
1
MM? d?
M M
dx
应变能与内力（或载荷）不是线性关系，故多个载荷作用时，求应变能不可随意用叠加法。
注意
4.组合变形应变能组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），
分别计算并求和：
dx
EI
xMdx
GI
xTdx
EA
xFV
ll l P
N
2
)(
2
)(
2
)( 222
(15.9)
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
A
B
C
F1
F2
a
a
直杆 AC，作用了轴向力 F1 =P,F2 =2P,求：
（ 1）全部外力作的总外力功
（ 2）若先加 F1,再加 F2,计算总外力功
（ 3）若先加 F2,再加 F1,计算总外力功
（ 4）计算 F1,F2 共同作用下杆的总变形能
（ 5）分别计算 F1 和 F2单独作用时杆的应变能设杆的 EA已知。
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
A
B
C
F1
F2
a
a
解,1.二力共同作用的总外力功
CBii FFFW 21 2
1
2
1
2
1
3P
2P EAPal ABB 3
EA
Pa
EA
Pa
EA
Pall
BCABC
523
EA
aP
EA
PaP
EA
PaPW
2
1352
2
13
2
1 2
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
A
B
C
F2
a
a
2.先加 F1,再加 F2的外力功
EA
aP
EA
PaF
EA
aPF
EA
PaFW
2
13222
2
1
2
1 2
1211
A
B
C
F1
a
a
P
2P
常力作功静载 (变力 )作功
F1 EA
PaF
B?)( 1?
EA
aPF
C
22)(
2
EA
aPF
B
2)(
2?
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
A
B
C
F2
a
a
3.先加 F2,再加 F1的外力功
EA
aP
EA
PaF
EA
PaF
EA
aPFW
2
13
2
122
2
1 2
2122
A
B
C
F1
a
a
P
2P
常力作功静载 (变力 )作功
F2
EA
PaF
B?)( 1?
EA
aPF
C
22)(
2
EA
aPF
C
)(
1?
外力功与加载次序无关显然
21 WWW
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
4,F1,F2 共同作用下杆的总变形能
EA
aP
EA
aP
EA
aPV
2
13
2
)2(
2
)3( 222
A
B
C
F1
F2
a
a
3P
2P 5.分别算 F
1,F2单独作用时杆的应变能
F1 单独作用 A
B
C
F1
a
a
EA
aPV
2
2
1
F2 单独作用
F2
A
B
C
a
aEA aPEA aPV 222 42 2)2(
显然
VVV 21
5,应变能密度应变能密度（ 应变比能 ） —— 单位体积内储存的应变能
，单位,1J/m3表示为
v
o
线弹性、小变形单拉构件
o
任意单向拉伸构件
dv )(10
(15.10)
v
1
2
3
单向应力状态任意应力状态主单元体)(
2
1
332211v
(15.11)
21?v
体积改变能密度 和畸变能密度
Vv dv
1
2
3
m
m
m
1 -?m
2 -?m
3 -?m
+
平均应力,)(
3
1
321m
2
321 )(6
21
Ev v
])()()[(61 213232221 Ev d
dv vvv
(15.12)
利用变形体的功能原理可计算结构在某点处的位移
B例如：求 B点位移?B
F
AB x
L
FxxM)(弯矩方程弯曲应变能
L
l EI
LFdx
EI
Fxdx
EI
xMV
0
3222
62
)(
2
)(
外力功
BFW 2
1
根据功能原理
VW?
(15.1)
EI
LFF
B 62
1 32
EI
FL
B 3
3
若求?中 或?B 则无法直接利用功能原理 ！
§ 15.2 变形体的虚位移原理复习 刚体系统的虚位移原理：
对无弹簧的刚体系统,0?eW?
外力的虚功对有弹簧的刚体系统,0 ie WW
外力的虚功 弹簧力的虚功对变形体，也有,0 ie WW
外力的虚功 内力的虚功
(15.13)ei WW变形体虚功原理
NFNF
T MM
dx
SF
内力虚功的计算（略去剪力 的影响）
从构件中切出微段 dx,FN,T,M 为该微段的外力
d
d
)( ld?
相应的虚位移为,,dd?)( ld?
对该单元体，由虚功方程 0)()( ie WdWd
得：
])([
)()(
MdTdldF
WdWd
N
ei
])([
)()(
MdTdldF
WdWd
N
ei
dx
Fi
对整个构件，由虚功方程 0 ie WW
i
i
i
e FW
i?
])([ MdTdldFW
l
N
i
])([ MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
变形体的虚位移原理
])([ MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
dx
Fi
i?
式中,Fi —— 外力，
MTF N,,—— 外力引起的内力
i?
—— 外力作用点的相应虚位移
ddld,,)( —— 与内力相应的虚变形符号规定, ddld
i,,)(,
分别与 Fi,MTF
N,,
方向一致时为正
])([ MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
变形体虚位移原理中，外力 Fi 及相应内力注意
ddldi,,)(,MTF N,,
之间毫无关系！是同一结构中的两种不同状态。
与虚位移和虚变形
Fi
MTF N,,
i?
ddld,,)(
§ 15.3 单位载荷法用于计算结构中任意某点处位移的一般方法，
适用于任意受力结构（拉压，扭转，弯曲或组合变形
1.单位载荷法的推导设有任意受力结构，求 K点沿 aa方向引起的位移?
K
a
a?
选取两个状态：
状态 (a)和状态 (b)
K
a
a?状态（ a）
K
a
a状态（ b）
F0=1
去掉原载荷，仅在 K点沿 aa
方向加一单位载荷 F0=1利用虚位移原理将（ a）中的位移取为虚位移将（ b）中的载荷视为外载，引起的内力为 MTF
N,,
dMdTdF
lll N )(1
(15.14)
式中 为原载荷下的位移和变形 ddld,,)(,
MTF N,,而 为仅有单位力作用下的内力
2.莫尔定理
dMdTdF
lll N )(1
单位载荷法将单位载荷法用于 线弹性 结构，原载荷引起的变形为：
上式适用于各类结构、各类材料
EI
M d xd
GI
T d xd
EA
dxFld
P
N )(
K
a
a状态（ a）
K
a
a状态（ b）
F0=1
式中,为原载荷引起的内力MTF
N,,
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN
莫尔积分公式
(15.15)
对 n 根杆的桁 架，上式变为
i ii
iNiNi
AE
lFF?
(15.16)
(1)式中 MTF
N,,
为实际载荷作用下的内力
MTF N,,
为仅有单位载荷作用下的内力注意
(2) 式中已略去了剪力的影响，对平面刚架、曲杆，
一般轴力 FN的影响也可略去，即只计 T,M的影响
（ 3）单位载荷的施加方法求 K点某方向的 线位移
—— 在 K点沿相应方向加 单位集中力 F0=1
求 K点某转向的 角位移
—— 在 K点沿相应方向加 单位集中力偶 m0=1
F q
F0=1 F q
m0=1
—— 在两点处沿相应方向加 一对方向相反的单位集中力 F0=1
求两点间的 相对线位移求两点间的 相对角位移
—— 在两点处沿相应方向加一对 方向相反的单位集中力偶 m0=1
F F
F
A B
求 AB两点间的相对位移?AB
F0=1 F0=1 F
BA C
求 B+与 B-截面的相对转角
m0=1m0=1
F q F0=1 F q m
0=1
(4)计算出的位移的方向计算出的位移若为正：表示该位移与所加单位载荷的方向一致，
计算出的位移若为负：表示该位移与所加单位载荷的方向相反，
(5)注意（ 15.15) 式的量纲：
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN
莫尔积分公式
(15.15)
[力 ]?[长度 ] —— 功，能
1
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题
x
y
z
O
D
C
B
F水平面内一端固支的 3/4圆弧杆，横截面是直径为 d 的圆形，
圆弧半径 R,O点受铅垂力 F
作用，设杆的材料弹性模量与切变模量的关系为,
求 O点铅垂位移及 O截面绕 y
轴转过的转角。
EG 8
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题解：
x
y
z
O
D
C
B
FA
y
x
A
B
C
D
O
1.分段求内力方程
OA段：弯曲
FxxM?)(
M(x)
Ox
F
T
FS
F? OA
ABCD弧段：
剪力,FF
S?
（可略去不计）
扭矩,FRT?)(? )
2
30(
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题
x
y
z
O
D
C
B
A
2.求 O点铅垂位移 wo
在 O点加铅垂单位力 F0=1
产生的内力为：
OA段：弯曲 xxM?)(
ABCD弧段：
扭矩,FRT?)(? )
2
30(
F0=1
莫尔积分：
PP
R
O GI
FR
EI
PRRd
GI
RFRdx
EI
xFxw 3323
00 2
3
3
（ ）
4
33 64
3
19)
4
3
3
1(
d
FR
EGEI
FRw
O?
（ ）
圆轴有
322
4d
II P 又 EG 8
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题
x
y
z
O
D
C
B
A
3,求 O截面绕 y轴的转角在 O截面上加一绕 y 轴转动的单位力偶 m0=1
y
x
A
B
C
D
O
m0=1
产生的内力为：
OA段：弯曲 1)(?xM
ABCD弧段：
OA m
0=1
1
扭矩, c o s)(?T
)230(
s in)(?M弯矩：
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题
x
y
z
O
D
C
B
A
OA段：弯曲 1)(?xM
ABCD弧段,扭 +弯：
c o s)(?T
)230(
s in)(?M
y
x
A
B
C
D
O
m0=1
OA m
0=1
)
8
1(
32
2
c o s1
4
222
Ed
FR
GI
FR
EI
FR
R d x
GI
RFR
dx
EI
Fx
P
A B C D POA
Oy
方向如图
§ 15.4 计算莫尔积分的图乘法
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN
莫尔积分公式
(15.15)
对于等截面直杆（及等截面折杆、等截面阶梯杆）
EA,GIP,EI 可移出积分号外，积分只需计算：
ll
N
l
N M dxMT dxTdxFF,,
若将 图及 图分别画出，
可利用几何图形计算莫尔积分 —— 图乘法。
MTF N,,MTF N,,
以 的计算为例：
l
M d xM
画出梁在原载荷作用下的弯矩图 （ M 图）
及梁在单位载荷下的弯矩图（ M 图）
若在某段梁上，
M 图为一条斜率为 tan?的斜 直线
M 图形状任意
M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
CxC
设 M 图过原点 O，则
t a n)( xxM? (a)
CC
l
l
l
l
B
A
Mx
dxxxM
dxxxMM d xM
B
A
B
A
t a n
)(t a n
t a n)(
CM
图乘法计算莫尔积分：
M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
CxC
CM
B
A
l
l
C
EI
Mdx
EI
MM
(15.16)
同理：
B
A
l
l
P
C
P GI
Tdx
GI
TT
式中,? 为 M 图的面积,MC是 M图形心 C对应的
M图上的纵坐标
B
A
l
l
NCNN
EA
Fdx
EA
FF
M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
CxC
CM
（ 1）式中 的面积?与 MC均有正负,M图与
M图在 x轴同侧时，图乘后为正，反之为负。注意
（ 2） M 与 M 图互乘时，要求 M 图为一条斜直线，
当 M 图为折线（分段直线）时，可分为几段与 M
图分别互乘再叠加。
（ M）
（ M）
c1
1
c2
2
MC1 MC2
EI
M
EI
M CC 2211
（ 3）若梁的弯曲刚度 EI 有变化 时，应按 EI 变化处分段互乘再叠加。
i ii
Cii
IE
M
（ 4） M 图的形状较复杂时，可将 M 图分块 划分为几个简单图形,分别与 M 图互乘再叠加 。
（ M）
（ M）
1
2
c1
c2
MC1MC2
EI
M
EI
M CC 2211
(5)多个载荷同时作用下的 M 图一般较复杂，可分别画出各载荷单独作用时的 Mi 图，分别与 M 图作图乘，
然后相加。
Fl
（ M1）
m（ M
2）
l
（ M）
Fm
l
F0=1
l
EI
M
EI
M CC 2211
1
c1
2
c2
MC1MC2
（ 6）实际上，作图乘的两张内力图，只要其中之一为斜直线即可（取其纵坐标），另一张图取面积。
（ 7）只有同种内力图才可互乘。
（ 8）常见图形面积与形心
h
l
S=lh/2
2l/3 h
l
S=2lh/3
5l/8
l
3l/4 h
S=lh/3
§ 15.5 互等定理在线弹性、小变形条件下，有以下两个定理：
1.功互等定理同一结构，两种受力状态
2点受 F2 ——
引起位移
11?21
引起位移
12?22
1点受 F1——
记：
jF
为作用于点 j 的广义力
ij?
为 的作用在 i 点引起的广义位移
jF
1 2
F1
1 2
F2
11?21?12?22
若将两种受力状态叠加，计算全部广义力的功，
可按以下两种加载方式计算：
（ 1）先加 F1,后加 F2,
1 2
F1
11?21
F2
12?22
121222111 2
1
2
1 FFFW
1 2
12?22
F2
11?21
212111222 2
1
2
1 FFFW
F1
（ 2）先加 F2,后加 F1,
功与加载次序无关，故 WW
212121 FF
(15.17)功互等定理
（ 2）位移互等定理
212121 FF
(15.17)功互等定理功互等定理：第一组广义力在第二组广义力引起的位移上作的功，等于第二组广义力在第一组广义力引起的位移上所作之功。
在 (15,17)式中，令 F1 = F2 即 广义力的数值相等,则有：
2112
(15.18)位移互等定理注意：力是广义力,F1 与 F2可以量纲不同
（如一个是集中力 N，另一个是力偶 N·m ），
故?12与?21也可量纲不同，仅数值相同。
例如：
1 2
F=1kN
2F
1 2
M= 1kN·m
1M
FM MF 21
由功互等定理：
又 F=1kN,M= 1kN·m
FM 21
二者仅数值相等！
§ 15.5 变形体的势能驻值原理和最小势能原理在上册 § 8中曾给出刚体系统（在有势力作用下）的势能驻值原理（平衡时势能取驻值）及最小势能原理（稳定平衡时势能取最小值），
对变形体，以上二原理仍成立，但在总势能中应加上系统的总变形势能（总应变能）,即：
V
VV
总势能 = 外力势能 + 变形势能势能驻值原理 平衡时 0)(
VV
最小势能原理 稳定平衡时 0)(22
VV
VV
势能驻值原理 平衡时 0)(
VV
最小势能原理 稳定平衡时 0)(22
VV
计算总势能时，定义未变形状态为势能零点外力势：
iiFV
Fi 广义外力
i Fi 作用点的广义位移变形能：
dx
EI
xMdx
GI
xTdx
EA
xFV
ll l P
N
2
)(
2
)(
2
)( 222
(15.9)
例 题 15-3 § I5 能量法
例题已知,AD=DB=BC=,
求 C点的挠度
a
cw
F = qa q
A B C
D
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
M
解,1.画内力图
4
qa
4
7qa求支座约束力：
)(
42
2
qa
a
a
qaaqa
F A
)(474 qaqaqaqaF B
(M)
4/2qa
2/2qa
例 题 15-3 § I5 能量法
例题
F0= 1
A B C
D
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
M
2.求 wC，加单位力 F0=1
M
a
画内力图 M 图
1/2 3/2
例 题 15-3 § I5 能量法
例题
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
M
3.图乘法求 wC
21
aM
c?
aM c 322?
M
a
321 3211 cccc MMMEIw
EI
qa
aqa
a
aqa
a
aqa
a
EI
24
5
]
4
3
23
1
3
2
2
2
2
1
22
2
2
1
[
1
4
2
22
aM c 433?
例 题 15-4 § I5 能量法
例题
4/Fl
8
2ql
4
2ql
1?
2? 3?
4
M
求中间铰两侧截面相对转角。
qF
A
B
C
D E
l/2 l/2 l/2 l
解,1.画内力图例 题 15-4 § I5 能量法
例题
M
2/3
1
2.加单位载荷求 D截面两侧的相对转角，在 D截面两侧加一对单位力偶：
A
B
C
D E
l/2 l/2 l/2 l
m0=1
l/1
10?ml/1
l/1
l2/5l2/3
10?m
例 题 15-4 § I5 能量法
例题
2
3
3
2
42
1
4
3
42
11 2qlllFl
EI?
2
1
83
2
2
1
3
21
422
1 22 qllqll
32
3
6
1 23 Flql
EI
M
2/3
1
4/Fl
8
2ql
4
2ql
1?
2? 3?
4
M
4.图乘法例 题 15- 5 § I5 能量法
例题
q
A B
C
l
l
y
z
x
求 C处的线位移 。
解,1.画内力图
BC段为弯曲（ x 轴为中性轴）
AB段为弯曲（ z 轴为中性轴） +扭转 )( TM?
2ql
2
2ql
2
2ql
例 题 15-5 § I5 能量法
例题
2.求,应在 C处沿 x方向加单位力。
cx?
3.求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
0?cx? （ ∵ 弯矩不在一个平面内）
1
l
zM l
)( TM?
2ql
2
2ql
2
2ql
1
l l
TM?
l
例 题 15-5 § I5 能量法
例题
3.求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
ll
ql
GI
lqlll
ql
l
EI pcy 2
1
3
2
2
1
4
3
23
11 222?
GEdql 23118 44?
)( TM?
2ql
2
2ql
2
2ql1
l l
TM?
l
例 题 15-5 § I5 能量法
例题
4.求,在 C处沿 z向加单位力。
cz?
l
1
zM
0?cz?
)( TM?
2ql
2
2ql
2
2ql
例 题 15-6 § I5 能量法
例题
CA B
D
45o
F 组合结构由梁 ABC，
杆 BD组成，求 C截面的转角。
解,1.画内力图梁 ABC为弯曲 +拉伸
FN
FN
FN（可略去拉伸）
NF2
2
NF2
2 FFF
N 222/2
2 （压）
例 题 15-6 § I5 能量法
例题
A
B C
D
45o
F 1.画内力图
FN
FN
FFF N 22
2/2
2 （压）
画出 AC的 M图,DB
的轴力图。
FFN 222?
F
F
Fa
(M)
F22
例 题 15-6 § I5 能量法
例题
A
B C
D
45o
F 2.加单位载荷 m
0=1，画内力图
aa
F N 2
2/2
1
（压）
画出 AC的 M 图,DB
的 FN图。
1
（ M）
a
2F
N
FN
FN NF22
NF2
2
m0=1
例 题 15-6 § I5 能量法
例题
3.图乘法
1
（ M）
a
2
(FN)
Fa
(M)
F22(F
N)
EI
Fa
EA
F
EI
a
Fa
EI
a
Fa
EA
a
aF
C
6
52
1
23
2
2
2
222
2
（?）
例 题 15-7 § I5 能量法
例题
c o s1
s i n
2
0
qR
RqR dM
M1,q作用下任一截面上
B
Aq
d?qRd
B
Aq AB?
求 A,B之间相对位移半径为 R 的开口圆环，沿圆周有均布法向力 q,
解：
例 题 15-7 § I5 能量法
例题
c o s12 qRM
c o s1 RM
M2,单位力作用下?
1
1
EI
qR
Rd
EI
MM
ds
EI
MM
AB
4
00
3
22
3.计算莫尔积分例 题 15-8 § I5 能量法
例题已知 各杆 EI相同，求 D截面转角 θD 和垂直位移 fD
q
2
2qa
qa
A B
C
D
a a
a
解：
1.先画载荷内力图可将均布载荷、集中力、
集中力偶单独作用时的内力图分别画出。
求 D截面铅垂位移，
在 D点加单位力例 题 15-8 § I5 能量法
例题
(M1)
2
2qa
A B
C
D
2
qa
2
2qa
2
qa
A B
C
D
q
(M2)
2
qa
2
2qa
2
qa
qaqa
A B
C
D
qa
2qa
qa
qa
(M3)
A B
C
Da
1
1
1
1
(M1)
)(
3
]
3
2
2
1[2]
3
2
22
1[21 422
EI
qaaaqaaaqa
EI
f D
例 题 15-8 § I5 能量法
例题
(M1)
2
2qa
A B
C
D
2
qa
2
2qa
2
qa
A B
C
D
q
(M2)
2
qa
2
2qa
2
qa
qaqa
A B
C
D
qa
2qa
qa
qa
(M3)
EI
qaaqaaqaaqa
EID 2]3
2
2
1
2
1[2
3
2
2
11
2
11 3222
A B
C
Da1
11
a
1(M2)
负表示 (?)
F
1
思考,若想求杆 1 的转角（杆 1 长 l ）,如何加单位载荷？
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 29)
（下册）
§ 15 能量法
§ 15.1 弹性变形势能及功能原理弹性变形能（ 应变能 ）
单位,1J=1N·m
—— 构件由于发生弹性变形而储存的能量（如同弹簧）,。表示为
V
变形体的 功能原理
—— 弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过程中，能量守恒，即,外力功 =变形能
VW?
(15.1)略去动能及能量损耗
F1
1
注意 外力从 0缓慢增加到终值 F1外力作用点的位移从 0增加到?
1
静载 ——
F
F=F(?)
O?1
F1
d?
dF
任意受力构件
F
O
VW?
F1
1
线弹性、小变形结构对线弹性、小变形：
112
1?FW?
(15.3)
10FdW
外力功 (15.2)
F1 F2M
设结构中的广义力、广义位移分别为,则
iiF?,
ii
i
FWV 21?
(15.4)
其中，广义位移 是与广义力 相应的
iFi?
1.轴向拉压的应变能
l?l
EA
lFlFV N
N 22
1 2
轴力沿 x变化：
l
N
EA
dxxFV
2
)(2
对 桁 架结构,
i ii
iNi
AE
lFV
2
2
(15.5)
2.扭转应变能 T
T
lPGI
lTTV
22
1 2
dx
GI
xTV
l P
2 )(
2
(15.6)
3.弯曲应变能 (一般可略去剪力引起的剪切应变能 )
dx
EI
xMV
l
2 )(
2
(15.7)
各种基本变形的应变能统一表达式,dxV
l
（刚度） 内力）2(
2
(15.8)
拉压 扭转 弯曲内力 FN T M
刚度 EA GIP EI
EI
dxMdxMMddV 2
EI
M?
1
MM? d?
M M
dx
应变能与内力（或载荷）不是线性关系，故多个载荷作用时，求应变能不可随意用叠加法。
注意
4.组合变形应变能组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），
分别计算并求和：
dx
EI
xMdx
GI
xTdx
EA
xFV
ll l P
N
2
)(
2
)(
2
)( 222
(15.9)
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
A
B
C
F1
F2
a
a
直杆 AC，作用了轴向力 F1 =P,F2 =2P,求：
（ 1）全部外力作的总外力功
（ 2）若先加 F1,再加 F2,计算总外力功
（ 3）若先加 F2,再加 F1,计算总外力功
（ 4）计算 F1,F2 共同作用下杆的总变形能
（ 5）分别计算 F1 和 F2单独作用时杆的应变能设杆的 EA已知。
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
A
B
C
F1
F2
a
a
解,1.二力共同作用的总外力功
CBii FFFW 21 2
1
2
1
2
1
3P
2P EAPal ABB 3
EA
Pa
EA
Pa
EA
Pall
BCABC
523
EA
aP
EA
PaP
EA
PaPW
2
1352
2
13
2
1 2
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
A
B
C
F2
a
a
2.先加 F1,再加 F2的外力功
EA
aP
EA
PaF
EA
aPF
EA
PaFW
2
13222
2
1
2
1 2
1211
A
B
C
F1
a
a
P
2P
常力作功静载 (变力 )作功
F1 EA
PaF
B?)( 1?
EA
aPF
C
22)(
2
EA
aPF
B
2)(
2?
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
A
B
C
F2
a
a
3.先加 F2,再加 F1的外力功
EA
aP
EA
PaF
EA
PaF
EA
aPFW
2
13
2
122
2
1 2
2122
A
B
C
F1
a
a
P
2P
常力作功静载 (变力 )作功
F2
EA
PaF
B?)( 1?
EA
aPF
C
22)(
2
EA
aPF
C
)(
1?
外力功与加载次序无关显然
21 WWW
例 题 15-1 § I5 能量法
例题
4,F1,F2 共同作用下杆的总变形能
EA
aP
EA
aP
EA
aPV
2
13
2
)2(
2
)3( 222
A
B
C
F1
F2
a
a
3P
2P 5.分别算 F
1,F2单独作用时杆的应变能
F1 单独作用 A
B
C
F1
a
a
EA
aPV
2
2
1
F2 单独作用
F2
A
B
C
a
aEA aPEA aPV 222 42 2)2(
显然
VVV 21
5,应变能密度应变能密度（ 应变比能 ） —— 单位体积内储存的应变能
，单位,1J/m3表示为
v
o
线弹性、小变形单拉构件
o
任意单向拉伸构件
dv )(10
(15.10)
v
1
2
3
单向应力状态任意应力状态主单元体)(
2
1
332211v
(15.11)
21?v
体积改变能密度 和畸变能密度
Vv dv
1
2
3
m
m
m
1 -?m
2 -?m
3 -?m
+
平均应力,)(
3
1
321m
2
321 )(6
21
Ev v
])()()[(61 213232221 Ev d
dv vvv
(15.12)
利用变形体的功能原理可计算结构在某点处的位移
B例如：求 B点位移?B
F
AB x
L
FxxM)(弯矩方程弯曲应变能
L
l EI
LFdx
EI
Fxdx
EI
xMV
0
3222
62
)(
2
)(
外力功
BFW 2
1
根据功能原理
VW?
(15.1)
EI
LFF
B 62
1 32
EI
FL
B 3
3
若求?中 或?B 则无法直接利用功能原理 ！
§ 15.2 变形体的虚位移原理复习 刚体系统的虚位移原理：
对无弹簧的刚体系统,0?eW?
外力的虚功对有弹簧的刚体系统,0 ie WW
外力的虚功 弹簧力的虚功对变形体，也有,0 ie WW
外力的虚功 内力的虚功
(15.13)ei WW变形体虚功原理
NFNF
T MM
dx
SF
内力虚功的计算（略去剪力 的影响）
从构件中切出微段 dx,FN,T,M 为该微段的外力
d
d
)( ld?
相应的虚位移为,,dd?)( ld?
对该单元体，由虚功方程 0)()( ie WdWd
得：
])([
)()(
MdTdldF
WdWd
N
ei
])([
)()(
MdTdldF
WdWd
N
ei
dx
Fi
对整个构件，由虚功方程 0 ie WW
i
i
i
e FW
i?
])([ MdTdldFW
l
N
i
])([ MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
变形体的虚位移原理
])([ MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
dx
Fi
i?
式中,Fi —— 外力，
MTF N,,—— 外力引起的内力
i?
—— 外力作用点的相应虚位移
ddld,,)( —— 与内力相应的虚变形符号规定, ddld
i,,)(,
分别与 Fi,MTF
N,,
方向一致时为正
])([ MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
变形体虚位移原理中，外力 Fi 及相应内力注意
ddldi,,)(,MTF N,,
之间毫无关系！是同一结构中的两种不同状态。
与虚位移和虚变形
Fi
MTF N,,
i?
ddld,,)(
§ 15.3 单位载荷法用于计算结构中任意某点处位移的一般方法，
适用于任意受力结构（拉压，扭转，弯曲或组合变形
1.单位载荷法的推导设有任意受力结构，求 K点沿 aa方向引起的位移?
K
a
a?
选取两个状态：
状态 (a)和状态 (b)
K
a
a?状态（ a）
K
a
a状态（ b）
F0=1
去掉原载荷，仅在 K点沿 aa
方向加一单位载荷 F0=1利用虚位移原理将（ a）中的位移取为虚位移将（ b）中的载荷视为外载，引起的内力为 MTF
N,,
dMdTdF
lll N )(1
(15.14)
式中 为原载荷下的位移和变形 ddld,,)(,
MTF N,,而 为仅有单位力作用下的内力
2.莫尔定理
dMdTdF
lll N )(1
单位载荷法将单位载荷法用于 线弹性 结构，原载荷引起的变形为：
上式适用于各类结构、各类材料
EI
M d xd
GI
T d xd
EA
dxFld
P
N )(
K
a
a状态（ a）
K
a
a状态（ b）
F0=1
式中,为原载荷引起的内力MTF
N,,
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN
莫尔积分公式
(15.15)
对 n 根杆的桁 架，上式变为
i ii
iNiNi
AE
lFF?
(15.16)
(1)式中 MTF
N,,
为实际载荷作用下的内力
MTF N,,
为仅有单位载荷作用下的内力注意
(2) 式中已略去了剪力的影响，对平面刚架、曲杆，
一般轴力 FN的影响也可略去，即只计 T,M的影响
（ 3）单位载荷的施加方法求 K点某方向的 线位移
—— 在 K点沿相应方向加 单位集中力 F0=1
求 K点某转向的 角位移
—— 在 K点沿相应方向加 单位集中力偶 m0=1
F q
F0=1 F q
m0=1
—— 在两点处沿相应方向加 一对方向相反的单位集中力 F0=1
求两点间的 相对线位移求两点间的 相对角位移
—— 在两点处沿相应方向加一对 方向相反的单位集中力偶 m0=1
F F
F
A B
求 AB两点间的相对位移?AB
F0=1 F0=1 F
BA C
求 B+与 B-截面的相对转角
m0=1m0=1
F q F0=1 F q m
0=1
(4)计算出的位移的方向计算出的位移若为正：表示该位移与所加单位载荷的方向一致，
计算出的位移若为负：表示该位移与所加单位载荷的方向相反，
(5)注意（ 15.15) 式的量纲：
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN
莫尔积分公式
(15.15)
[力 ]?[长度 ] —— 功，能
1
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题
x
y
z
O
D
C
B
F水平面内一端固支的 3/4圆弧杆，横截面是直径为 d 的圆形，
圆弧半径 R,O点受铅垂力 F
作用，设杆的材料弹性模量与切变模量的关系为,
求 O点铅垂位移及 O截面绕 y
轴转过的转角。
EG 8
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题解：
x
y
z
O
D
C
B
FA
y
x
A
B
C
D
O
1.分段求内力方程
OA段：弯曲
FxxM?)(
M(x)
Ox
F
T
FS
F? OA
ABCD弧段：
剪力,FF
S?
（可略去不计）
扭矩,FRT?)(? )
2
30(
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题
x
y
z
O
D
C
B
A
2.求 O点铅垂位移 wo
在 O点加铅垂单位力 F0=1
产生的内力为：
OA段：弯曲 xxM?)(
ABCD弧段：
扭矩,FRT?)(? )
2
30(
F0=1
莫尔积分：
PP
R
O GI
FR
EI
PRRd
GI
RFRdx
EI
xFxw 3323
00 2
3
3
（ ）
4
33 64
3
19)
4
3
3
1(
d
FR
EGEI
FRw
O?
（ ）
圆轴有
322
4d
II P 又 EG 8
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题
x
y
z
O
D
C
B
A
3,求 O截面绕 y轴的转角在 O截面上加一绕 y 轴转动的单位力偶 m0=1
y
x
A
B
C
D
O
m0=1
产生的内力为：
OA段：弯曲 1)(?xM
ABCD弧段：
OA m
0=1
1
扭矩, c o s)(?T
)230(
s in)(?M弯矩：
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
例题
x
y
z
O
D
C
B
A
OA段：弯曲 1)(?xM
ABCD弧段,扭 +弯：
c o s)(?T
)230(
s in)(?M
y
x
A
B
C
D
O
m0=1
OA m
0=1
)
8
1(
32
2
c o s1
4
222
Ed
FR
GI
FR
EI
FR
R d x
GI
RFR
dx
EI
Fx
P
A B C D POA
Oy
方向如图
§ 15.4 计算莫尔积分的图乘法
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN
莫尔积分公式
(15.15)
对于等截面直杆（及等截面折杆、等截面阶梯杆）
EA,GIP,EI 可移出积分号外，积分只需计算：
ll
N
l
N M dxMT dxTdxFF,,
若将 图及 图分别画出，
可利用几何图形计算莫尔积分 —— 图乘法。
MTF N,,MTF N,,
以 的计算为例：
l
M d xM
画出梁在原载荷作用下的弯矩图 （ M 图）
及梁在单位载荷下的弯矩图（ M 图）
若在某段梁上，
M 图为一条斜率为 tan?的斜 直线
M 图形状任意
M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
CxC
设 M 图过原点 O，则
t a n)( xxM? (a)
CC
l
l
l
l
B
A
Mx
dxxxM
dxxxMM d xM
B
A
B
A
t a n
)(t a n
t a n)(
CM
图乘法计算莫尔积分：
M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
CxC
CM
B
A
l
l
C
EI
Mdx
EI
MM
(15.16)
同理：
B
A
l
l
P
C
P GI
Tdx
GI
TT
式中,? 为 M 图的面积,MC是 M图形心 C对应的
M图上的纵坐标
B
A
l
l
NCNN
EA
Fdx
EA
FF
M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
CxC
CM
（ 1）式中 的面积?与 MC均有正负,M图与
M图在 x轴同侧时，图乘后为正，反之为负。注意
（ 2） M 与 M 图互乘时，要求 M 图为一条斜直线，
当 M 图为折线（分段直线）时，可分为几段与 M
图分别互乘再叠加。
（ M）
（ M）
c1
1
c2
2
MC1 MC2
EI
M
EI
M CC 2211
（ 3）若梁的弯曲刚度 EI 有变化 时，应按 EI 变化处分段互乘再叠加。
i ii
Cii
IE
M
（ 4） M 图的形状较复杂时，可将 M 图分块 划分为几个简单图形,分别与 M 图互乘再叠加 。
（ M）
（ M）
1
2
c1
c2
MC1MC2
EI
M
EI
M CC 2211
(5)多个载荷同时作用下的 M 图一般较复杂，可分别画出各载荷单独作用时的 Mi 图，分别与 M 图作图乘，
然后相加。
Fl
（ M1）
m（ M
2）
l
（ M）
Fm
l
F0=1
l
EI
M
EI
M CC 2211
1
c1
2
c2
MC1MC2
（ 6）实际上，作图乘的两张内力图，只要其中之一为斜直线即可（取其纵坐标），另一张图取面积。
（ 7）只有同种内力图才可互乘。
（ 8）常见图形面积与形心
h
l
S=lh/2
2l/3 h
l
S=2lh/3
5l/8
l
3l/4 h
S=lh/3
§ 15.5 互等定理在线弹性、小变形条件下，有以下两个定理：
1.功互等定理同一结构，两种受力状态
2点受 F2 ——
引起位移
11?21
引起位移
12?22
1点受 F1——
记：
jF
为作用于点 j 的广义力
ij?
为 的作用在 i 点引起的广义位移
jF
1 2
F1
1 2
F2
11?21?12?22
若将两种受力状态叠加，计算全部广义力的功，
可按以下两种加载方式计算：
（ 1）先加 F1,后加 F2,
1 2
F1
11?21
F2
12?22
121222111 2
1
2
1 FFFW
1 2
12?22
F2
11?21
212111222 2
1
2
1 FFFW
F1
（ 2）先加 F2,后加 F1,
功与加载次序无关，故 WW
212121 FF
(15.17)功互等定理
（ 2）位移互等定理
212121 FF
(15.17)功互等定理功互等定理：第一组广义力在第二组广义力引起的位移上作的功，等于第二组广义力在第一组广义力引起的位移上所作之功。
在 (15,17)式中，令 F1 = F2 即 广义力的数值相等,则有：
2112
(15.18)位移互等定理注意：力是广义力,F1 与 F2可以量纲不同
（如一个是集中力 N，另一个是力偶 N·m ），
故?12与?21也可量纲不同，仅数值相同。
例如：
1 2
F=1kN
2F
1 2
M= 1kN·m
1M
FM MF 21
由功互等定理：
又 F=1kN,M= 1kN·m
FM 21
二者仅数值相等！
§ 15.5 变形体的势能驻值原理和最小势能原理在上册 § 8中曾给出刚体系统（在有势力作用下）的势能驻值原理（平衡时势能取驻值）及最小势能原理（稳定平衡时势能取最小值），
对变形体，以上二原理仍成立，但在总势能中应加上系统的总变形势能（总应变能）,即：
V
VV
总势能 = 外力势能 + 变形势能势能驻值原理 平衡时 0)(
VV
最小势能原理 稳定平衡时 0)(22
VV
VV
势能驻值原理 平衡时 0)(
VV
最小势能原理 稳定平衡时 0)(22
VV
计算总势能时，定义未变形状态为势能零点外力势：
iiFV
Fi 广义外力
i Fi 作用点的广义位移变形能：
dx
EI
xMdx
GI
xTdx
EA
xFV
ll l P
N
2
)(
2
)(
2
)( 222
(15.9)
例 题 15-3 § I5 能量法
例题已知,AD=DB=BC=,
求 C点的挠度
a
cw
F = qa q
A B C
D
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
M
解,1.画内力图
4
qa
4
7qa求支座约束力：
)(
42
2
qa
a
a
qaaqa
F A
)(474 qaqaqaqaF B
(M)
4/2qa
2/2qa
例 题 15-3 § I5 能量法
例题
F0= 1
A B C
D
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
M
2.求 wC，加单位力 F0=1
M
a
画内力图 M 图
1/2 3/2
例 题 15-3 § I5 能量法
例题
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
M
3.图乘法求 wC
21
aM
c?
aM c 322?
M
a
321 3211 cccc MMMEIw
EI
qa
aqa
a
aqa
a
aqa
a
EI
24
5
]
4
3
23
1
3
2
2
2
2
1
22
2
2
1
[
1
4
2
22
aM c 433?
例 题 15-4 § I5 能量法
例题
4/Fl
8
2ql
4
2ql
1?
2? 3?
4
M
求中间铰两侧截面相对转角。
qF
A
B
C
D E
l/2 l/2 l/2 l
解,1.画内力图例 题 15-4 § I5 能量法
例题
M
2/3
1
2.加单位载荷求 D截面两侧的相对转角，在 D截面两侧加一对单位力偶：
A
B
C
D E
l/2 l/2 l/2 l
m0=1
l/1
10?ml/1
l/1
l2/5l2/3
10?m
例 题 15-4 § I5 能量法
例题
2
3
3
2
42
1
4
3
42
11 2qlllFl
EI?
2
1
83
2
2
1
3
21
422
1 22 qllqll
32
3
6
1 23 Flql
EI
M
2/3
1
4/Fl
8
2ql
4
2ql
1?
2? 3?
4
M
4.图乘法例 题 15- 5 § I5 能量法
例题
q
A B
C
l
l
y
z
x
求 C处的线位移 。
解,1.画内力图
BC段为弯曲（ x 轴为中性轴）
AB段为弯曲（ z 轴为中性轴） +扭转 )( TM?
2ql
2
2ql
2
2ql
例 题 15-5 § I5 能量法
例题
2.求,应在 C处沿 x方向加单位力。
cx?
3.求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
0?cx? （ ∵ 弯矩不在一个平面内）
1
l
zM l
)( TM?
2ql
2
2ql
2
2ql
1
l l
TM?
l
例 题 15-5 § I5 能量法
例题
3.求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
ll
ql
GI
lqlll
ql
l
EI pcy 2
1
3
2
2
1
4
3
23
11 222?
GEdql 23118 44?
)( TM?
2ql
2
2ql
2
2ql1
l l
TM?
l
例 题 15-5 § I5 能量法
例题
4.求,在 C处沿 z向加单位力。
cz?
l
1
zM
0?cz?
)( TM?
2ql
2
2ql
2
2ql
例 题 15-6 § I5 能量法
例题
CA B
D
45o
F 组合结构由梁 ABC，
杆 BD组成，求 C截面的转角。
解,1.画内力图梁 ABC为弯曲 +拉伸
FN
FN
FN（可略去拉伸）
NF2
2
NF2
2 FFF
N 222/2
2 （压）
例 题 15-6 § I5 能量法
例题
A
B C
D
45o
F 1.画内力图
FN
FN
FFF N 22
2/2
2 （压）
画出 AC的 M图,DB
的轴力图。
FFN 222?
F
F
Fa
(M)
F22
例 题 15-6 § I5 能量法
例题
A
B C
D
45o
F 2.加单位载荷 m
0=1，画内力图
aa
F N 2
2/2
1
（压）
画出 AC的 M 图,DB
的 FN图。
1
（ M）
a
2F
N
FN
FN NF22
NF2
2
m0=1
例 题 15-6 § I5 能量法
例题
3.图乘法
1
（ M）
a
2
(FN)
Fa
(M)
F22(F
N)
EI
Fa
EA
F
EI
a
Fa
EI
a
Fa
EA
a
aF
C
6
52
1
23
2
2
2
222
2
（?）
例 题 15-7 § I5 能量法
例题
c o s1
s i n
2
0
qR
RqR dM
M1,q作用下任一截面上
B
Aq
d?qRd
B
Aq AB?
求 A,B之间相对位移半径为 R 的开口圆环，沿圆周有均布法向力 q,
解：
例 题 15-7 § I5 能量法
例题
c o s12 qRM
c o s1 RM
M2,单位力作用下?
1
1
EI
qR
Rd
EI
MM
ds
EI
MM
AB
4
00
3
22
3.计算莫尔积分例 题 15-8 § I5 能量法
例题已知 各杆 EI相同，求 D截面转角 θD 和垂直位移 fD
q
2
2qa
qa
A B
C
D
a a
a
解：
1.先画载荷内力图可将均布载荷、集中力、
集中力偶单独作用时的内力图分别画出。
求 D截面铅垂位移，
在 D点加单位力例 题 15-8 § I5 能量法
例题
(M1)
2
2qa
A B
C
D
2
qa
2
2qa
2
qa
A B
C
D
q
(M2)
2
qa
2
2qa
2
qa
qaqa
A B
C
D
qa
2qa
qa
qa
(M3)
A B
C
Da
1
1
1
1
(M1)
)(
3
]
3
2
2
1[2]
3
2
22
1[21 422
EI
qaaaqaaaqa
EI
f D
例 题 15-8 § I5 能量法
例题
(M1)
2
2qa
A B
C
D
2
qa
2
2qa
2
qa
A B
C
D
q
(M2)
2
qa
2
2qa
2
qa
qaqa
A B
C
D
qa
2qa
qa
qa
(M3)
EI
qaaqaaqaaqa
EID 2]3
2
2
1
2
1[2
3
2
2
11
2
11 3222
A B
C
Da1
11
a
1(M2)
负表示 (?)
F
1
思考,若想求杆 1 的转角（杆 1 长 l ）,如何加单位载荷？
