工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 38)
（下册）
§ 20.7 动力学基本定理的综合应用动力学基本定理包括：动能定理，动量定理（质心运动定理）及动量矩定理。
重点,综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统的动力学问题。
难点,针对具体问题，选择适当的求解思路，应用适当的定理，使求解过程尽量简洁。
解题指导：
1.基本定理中涉及的各基本物理量（动能、动量、
动量矩、转动惯量等）要概念清楚，能正确地进行计算。
2.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的具体问题，适当选用定理。
动能定理 —— 标量方程，仅可求未知量大小
—— 仅与作功的力有关（作功的有外力也可有内力）
动量定理 质心运动定理
—— 矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小和方向
—— 只与外力系的主矢有关动量矩定理
—— 本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象为一标量方程
—— 矩心选固定点或刚体的质心，方程形式最简单动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒
—— 各有其成立的条件，可用于求解系统的运动状态
3.选用定理的基本原则
（ 1）正确分析系统的受力，首先判断是否满足某个守恒定律（包括是否在某投影轴上满足守恒定律），
根据相应守恒定律求出未知运动学量（速度、角速度或位移）。
（ 2）求约束力的问题，一般不能选用动能定理
（理想约束力不作功），可用其他几个定理。
（ 3）当作用力是时间的函数时，优先考虑用动量定理或动量矩定理求速度或角速度，当作用力是路程的函数或力的功容易计算时，优先考虑用动能定理求速度或角速度。
（ 4）单自由度系统：速度（角速度）和加速度
（角加速度）可用动能定理的积分和微分形式求；
进一步求约束力可用其他定理。
（ 5）若求加速度或角加速度，对质点系可用动量或质心运动定理；对定轴转动刚体，可用对转轴的动量矩定理；对一般平面运动刚体，可同时选用质心运动定理和对质心的动量矩定理。
（ 6）研究对象的选取：单自由度系统用动能定理时及不需求系统内部相互作用力时，可选整体为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切取适当分离体为研究对象。
（ 7）列动力学基本定理的方程时，常涉及多个运动学量（如某点速度、加速度，某刚体的角速度、角加速度），需要列出运动学补充方程（如利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成关系、加速度合成关系,角速度合成关系、角加速度合成关系）；有时还需补充力的某些条件。
（ 8）对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体的运动状态（平移、定轴转动、一般平面运动）。
例 题 20-7 § 20 动量原理
例题图示均质细杆 AB质量为 m,长为 L,其 B端与光滑水平面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为 。试求杆无初速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。
0
y
xo
对杆进行受力分析：
Oxyz建立图示直角坐标系解,
C
B
A
NF
mg杆受重力和地面支持力，
0)(?F eRx 0?Cv?由于,且初始常数?Cx
根据质心运动守恒，有
c o s2ly C?
(1)即质心沿铅垂线运动：
例 题 20-7 § 20 动量原理
例题
c o s2s in2c o s22s in
2
2 lllly
C
00
2 s in
212
1 lFml
N
(4)
对时间求导：?c o s
2
ly
C?
(1)
将初瞬时,代入得初瞬时质心
y方向加速度：
0,0
(2)
0
0
0 s in2?
ly
C
由质心运动定理：
y
xo
C
B
A
NF
mg
mgFym NC0
(3)
2s inly C
对质心 C的动量矩定理例 题 20-7 § 20 动量原理
例题
y
xo
C
B
A
NF
mg
联立 (2)(3)(4)解得：
(2)
0
0
0 s in2?
ly
C
mgFym NC0 (3)
00
2 s in
212
1 lFml
N
(4)
l
g
mg
F
N
)s in31(
s in6
s in31
0
2
0
0
0
2
（?）
（?）
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题位于铅垂平面的均质杆 AB和 BD,
长度均为 L，重量都是 P，杆 AB
的 A端固定铰支,B端与杆 BD铰接。杆 BD的 D端与可铅垂滑动的滑块 D铰接。今用一细绳将 B点拉住,使杆 AB和 BD位于同一直线上,
该直线与水平面间的夹角为,
系统保持平衡,各处摩擦和滑块 D
的质量与大小略去不计。
30
试求（ 1）剪断绳子瞬时,滑槽对于滑块 D的约束力
（ 2）杆 AB运动至水平位置时,杆 AB的角速度
030
D
B
A
030
D
B
A
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
1.求剪断绳子后滑槽对滑块 D的约束力由于初瞬时两杆角速度 和均为零，故
1?2
1 Laa BB
解：
设 AB杆有顺时针角加速度,BD杆有逆时针角加速度
1?
2?
以 B点为基点分析
D点的加速度：
绳剪断后,AB杆定轴转动,BD杆作一般平面运动,在初始瞬时，
BB aa
1?
2?
nDBDBBD aaaa
Da?
DBa?
nDBa?
2?L
022L1?L
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题分别在 x,y方向投影：
030s in30s in 21 LLa Dx
nDBDBBD aaaa
2?L
022L1?L
030
D
B
A?BB aa
1?
2?
Da?
DBa?
nDBa?
21
030c os30c os 21 LLa D
对 BD杆的质心 C有：
BDBC aaaa
2
1)(
2
1
故：
12?
La
C?
（方向垂直于 BD）
Ca?
C
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
A?BB aa
1?
2?
Da?
DBa?
nDBa?
Ca?
C
取 BD杆为研究对象，受力如图,BD杆作一般平面运动。
030
D
B
C
DF
ByF
BxF
P
列 BD杆的质心运动方程：
对 BD杆列关于质心 C的动量矩方程：
Ca
2?
DBxC FFag
P030s in
PFagP ByC 030co s
(1)
(2)
000
2
2 30c o s
230s in230s in212
1 LFLFLFL
g
P
ByBxD
(3)
21
12?
La
C?
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
A?BB aa
1?
2?
Da?
DBa?
nDBa?
Ca?
C
030
D
B
C
DF
ByF
BxF
P
Ca
2?
取 AB为研究对象，受力如图,AB杆作定轴转动，列对定点 A的动量矩方程，有：
030
B
A
1?
ByF?
BxF?
AyF
AxF
P?
21
12?
La
C?
30s in30c o s)2(31 12 LFLPLFLgP BxBy? (4)
考虑到：
ByByBxBx FFFF,
及
12?
La
C? 21
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
C
DF
ByF
BxF
P
Ca
2?
030
B
A
1?
ByF?
BxF?
AyF
AxF
P?
21
12?
La
C?
30s in30c o s)2(31 12 LFLPLFLgP BxBy?
(4)
DBxC FFag
P030s in
PFagP ByC 030co s
(1)
(2)
000
2
2 30c o s
230s in230s in212
1 LFLFLFL
g
P
ByBxD
(3)
联立求解
gL4 3321
PF D 43?
解得：
(?)
(方向分别如图 )
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
A
位置 1：剪断绳子的瞬间
01
02
位置 2：
AB运动至水平位置
D
BA
1?
2.求剪断绳子后杆 AB运动至水平位置时的角速度
1?
P?
P?
取整个系统为研究对象，利用动能定理求解。
位置 1：剪断的瞬间，两杆角速度均为零,BD杆质心速度也为零。
01 T
位置 2：当 AB杆定轴转动至水平位置时，设 AB杆角速度为,此时 BD
杆为瞬时平动。 1?
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
A
位置 1：剪断绳子的瞬间
01
02
位置 2：
AB运动至水平位置
D
BA
1?
2
1
22
1
2
1
2
2 3
2)(
2
1)
3
1(
2
1 L
g
PL
g
PL
g
PT
系统在运动过程中重力所作的功：
]
2
332
1[
)]13(
2
[
4
30s in
2
3
30s in
2
2
2
0
0
12
PL
LL
LP
L
PW
1212 WTT
L
g994.0
1
得代入
(?)
P?
P?
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题两根均质杆 AD,BD质量都是 M,长度都为 L,用光滑的铰链 D连接并放在光滑水平面上，如图所示。开始时系统静止于铅直面内，且杆对水平面的倾角是 。
求两杆运动到与水平面成倾角 时铰链 D的速度和加速度，并求水平面的支持力。
0
0
D
A B
C1 C2
解,系统由于质量分布和受力对称，以及所给的初始条件，
将保留在原铅直平面内运动，
它的位置用 角确定。
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
0
D
A B
C1 C2
取整个系统为研究对象，受力如图。
应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理或质心运动定理求地面支持力。
(1) 求铰链 D的速度和加速度由于对称，在系统的铅垂平面内取固定坐标系 Oxy，
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
0
D
A B
C1 C2
D
A B
C2
C1
y
xO
在系统的运动过程中，,系统的初速度等于零，
因此系统的质心 C在水平方向的位置守恒，即 C将沿铅垂线下降。
0)(?eRxF
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
故 D点也沿铅垂线下降,D点速度为铅垂方向。
P1 P2
初始时动能,01?T
)2121(22 212 12 ADCCAD JmvTT
系统在任意位置的动能：
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
0
D
A B
C1 C2
而
co s1 L
v
DP
v DD
AD c o s2c o s2111
DDADC v
L
vLCPv 2
1 12
1 mLJ
C?
)2121(22 212 12 ADCCAD JmvTT
2
2
2 co s2
DmvT
D
A B
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
P1 P2
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
D
A B
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
P1 P2
运动中仅有系统的重力作功：
)s in( s in)s in( s in22 0012 mgLLmgW
代入 得：1212 WTT )s in( s in
co s2 02
2
m g Lmv D
)s in( s in3c o s 0 gLv D
（?）
还可由 求得：
c o sL
v D
AD
L
gL )s in( s in3 0
（?）
2
2
2 co s2 D
mvT?
01?T
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
D
A B
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
P1 P2
)1s in3s ins in2(23 20gva DD?
（?）
D点加速度也为铅垂方向，故可由 D点速度求导得到。
)s in( s in3c o s 0 gLv D LgL )s in( s in3 0
由于例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
D
A B
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
P1 P2
mgFFym BAC 22 1
(2)求水平面的支持力
)( eRyCiy
i i
Fam根据质心运动定理,得：
由对称性得
BA FF?
又由于
21
D
C
yy?
)1s in3s in2(4322 201gayy DDC
即
mg
ymmgFF CBA
)s in
2
3
s in
4
9
4
1
( 02
1
(?)
例 题 20-10 § 20 动量原理
例题
A
BII
I
E
D
均质圆盘 I,II的半径均为 R，质量均为
m，绕有无重的细绳，求系统从静止开始运动时，（ 1）轮 II中心 B的加速度。
（ 2）绳子的张力。
解,系统为 2个自由度，所受外力为重力和铰支座 A处的约束力。
（ 1）求轮 II中心 B的加速度设轮 I角速度为,角加速度为,
轮 II角速度为 角加速度为 。1
1?
2? 2?
1?
1?
2?
2?
建立固连于绳上的平动坐标系，则轮 II的相对运动为沿 DE的纯滚动，轮心 B的速度为：
reB vvv
例 题 20-10 § 20 动量原理
例题
A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
reB vvv
1?Rvv De
Dv
Bv
rv
2?Rv r?
)( 21 Rvvv rDB (?)
AxF
AyF
gm?
gm?
以整体为研究对象，系统外力对定点
A之矩为零，故由动量矩守恒：
00 AA LL
0)(2 12
2
21
mRJJLLL
IIBIAIIAIAA
21
求导,21
22?Rv B?
2
2 22 R
dt
dR
dt
dva B
B
Ba
例 题 20-10 § 20 动量原理
例题
22?Rv B?
2
2 22 R
dt
dR
dt
dva B
B A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
Dv
Bv
rv
AxF
AyF
gm?
gm?
Ba
以轮 II为研究对象，
B E
gm?
Ba
II
2?
2?
TF
对定点 D列轮 II的动量矩定理：
)( e
DIID Mdt
dL?
对轮 II：
4
5)
2(2
2
2
B
B
B
BIIBIID
m R vRmv
R
vmRRmvJL
代入得：
mg RmR vdtd B?)45(
gdtdva BB 54
(?)
R
g
R
a B
5
2
22
还可得到：
例 题 20-10 § 20 动量原理
例题
（ 2）求绳子的张力对轮 II，列对质心 B的动量矩定理：
)(2 eBI I B MJ
即,RFmR
T?2
2
2
1?
55
2
2
1
2
1
2
mg
R
gmRmRF
T
（拉力）
A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
Dv
Bv
rv
AxF
AyF
gm?
gm?
Ba
B E
gm?
Ba
II
2?
2?
TF
R
g
R
a B
5
2
22
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 38)
（下册）
§ 20.7 动力学基本定理的综合应用动力学基本定理包括：动能定理，动量定理（质心运动定理）及动量矩定理。
重点,综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统的动力学问题。
难点,针对具体问题，选择适当的求解思路，应用适当的定理，使求解过程尽量简洁。
解题指导：
1.基本定理中涉及的各基本物理量（动能、动量、
动量矩、转动惯量等）要概念清楚，能正确地进行计算。
2.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的具体问题，适当选用定理。
动能定理 —— 标量方程，仅可求未知量大小
—— 仅与作功的力有关（作功的有外力也可有内力）
动量定理 质心运动定理
—— 矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小和方向
—— 只与外力系的主矢有关动量矩定理
—— 本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象为一标量方程
—— 矩心选固定点或刚体的质心，方程形式最简单动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒
—— 各有其成立的条件，可用于求解系统的运动状态
3.选用定理的基本原则
（ 1）正确分析系统的受力，首先判断是否满足某个守恒定律（包括是否在某投影轴上满足守恒定律），
根据相应守恒定律求出未知运动学量（速度、角速度或位移）。
（ 2）求约束力的问题，一般不能选用动能定理
（理想约束力不作功），可用其他几个定理。
（ 3）当作用力是时间的函数时，优先考虑用动量定理或动量矩定理求速度或角速度，当作用力是路程的函数或力的功容易计算时，优先考虑用动能定理求速度或角速度。
（ 4）单自由度系统：速度（角速度）和加速度
（角加速度）可用动能定理的积分和微分形式求；
进一步求约束力可用其他定理。
（ 5）若求加速度或角加速度，对质点系可用动量或质心运动定理；对定轴转动刚体，可用对转轴的动量矩定理；对一般平面运动刚体，可同时选用质心运动定理和对质心的动量矩定理。
（ 6）研究对象的选取：单自由度系统用动能定理时及不需求系统内部相互作用力时，可选整体为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切取适当分离体为研究对象。
（ 7）列动力学基本定理的方程时，常涉及多个运动学量（如某点速度、加速度，某刚体的角速度、角加速度），需要列出运动学补充方程（如利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成关系、加速度合成关系,角速度合成关系、角加速度合成关系）；有时还需补充力的某些条件。
（ 8）对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体的运动状态（平移、定轴转动、一般平面运动）。
例 题 20-7 § 20 动量原理
例题图示均质细杆 AB质量为 m,长为 L,其 B端与光滑水平面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为 。试求杆无初速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。
0
y
xo
对杆进行受力分析：
Oxyz建立图示直角坐标系解,
C
B
A
NF
mg杆受重力和地面支持力，
0)(?F eRx 0?Cv?由于,且初始常数?Cx
根据质心运动守恒，有
c o s2ly C?
(1)即质心沿铅垂线运动：
例 题 20-7 § 20 动量原理
例题
c o s2s in2c o s22s in
2
2 lllly
C
00
2 s in
212
1 lFml
N
(4)
对时间求导：?c o s
2
ly
C?
(1)
将初瞬时,代入得初瞬时质心
y方向加速度：
0,0
(2)
0
0
0 s in2?
ly
C
由质心运动定理：
y
xo
C
B
A
NF
mg
mgFym NC0
(3)
2s inly C
对质心 C的动量矩定理例 题 20-7 § 20 动量原理
例题
y
xo
C
B
A
NF
mg
联立 (2)(3)(4)解得：
(2)
0
0
0 s in2?
ly
C
mgFym NC0 (3)
00
2 s in
212
1 lFml
N
(4)
l
g
mg
F
N
)s in31(
s in6
s in31
0
2
0
0
0
2
（?）
（?）
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题位于铅垂平面的均质杆 AB和 BD,
长度均为 L，重量都是 P，杆 AB
的 A端固定铰支,B端与杆 BD铰接。杆 BD的 D端与可铅垂滑动的滑块 D铰接。今用一细绳将 B点拉住,使杆 AB和 BD位于同一直线上,
该直线与水平面间的夹角为,
系统保持平衡,各处摩擦和滑块 D
的质量与大小略去不计。
30
试求（ 1）剪断绳子瞬时,滑槽对于滑块 D的约束力
（ 2）杆 AB运动至水平位置时,杆 AB的角速度
030
D
B
A
030
D
B
A
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
1.求剪断绳子后滑槽对滑块 D的约束力由于初瞬时两杆角速度 和均为零，故
1?2
1 Laa BB
解：
设 AB杆有顺时针角加速度,BD杆有逆时针角加速度
1?
2?
以 B点为基点分析
D点的加速度：
绳剪断后,AB杆定轴转动,BD杆作一般平面运动,在初始瞬时，
BB aa
1?
2?
nDBDBBD aaaa
Da?
DBa?
nDBa?
2?L
022L1?L
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题分别在 x,y方向投影：
030s in30s in 21 LLa Dx
nDBDBBD aaaa
2?L
022L1?L
030
D
B
A?BB aa
1?
2?
Da?
DBa?
nDBa?
21
030c os30c os 21 LLa D
对 BD杆的质心 C有：
BDBC aaaa
2
1)(
2
1
故：
12?
La
C?
（方向垂直于 BD）
Ca?
C
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
A?BB aa
1?
2?
Da?
DBa?
nDBa?
Ca?
C
取 BD杆为研究对象，受力如图,BD杆作一般平面运动。
030
D
B
C
DF
ByF
BxF
P
列 BD杆的质心运动方程：
对 BD杆列关于质心 C的动量矩方程：
Ca
2?
DBxC FFag
P030s in
PFagP ByC 030co s
(1)
(2)
000
2
2 30c o s
230s in230s in212
1 LFLFLFL
g
P
ByBxD
(3)
21
12?
La
C?
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
A?BB aa
1?
2?
Da?
DBa?
nDBa?
Ca?
C
030
D
B
C
DF
ByF
BxF
P
Ca
2?
取 AB为研究对象，受力如图,AB杆作定轴转动，列对定点 A的动量矩方程，有：
030
B
A
1?
ByF?
BxF?
AyF
AxF
P?
21
12?
La
C?
30s in30c o s)2(31 12 LFLPLFLgP BxBy? (4)
考虑到：
ByByBxBx FFFF,
及
12?
La
C? 21
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
C
DF
ByF
BxF
P
Ca
2?
030
B
A
1?
ByF?
BxF?
AyF
AxF
P?
21
12?
La
C?
30s in30c o s)2(31 12 LFLPLFLgP BxBy?
(4)
DBxC FFag
P030s in
PFagP ByC 030co s
(1)
(2)
000
2
2 30c o s
230s in230s in212
1 LFLFLFL
g
P
ByBxD
(3)
联立求解
gL4 3321
PF D 43?
解得：
(?)
(方向分别如图 )
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
A
位置 1：剪断绳子的瞬间
01
02
位置 2：
AB运动至水平位置
D
BA
1?
2.求剪断绳子后杆 AB运动至水平位置时的角速度
1?
P?
P?
取整个系统为研究对象，利用动能定理求解。
位置 1：剪断的瞬间，两杆角速度均为零,BD杆质心速度也为零。
01 T
位置 2：当 AB杆定轴转动至水平位置时，设 AB杆角速度为,此时 BD
杆为瞬时平动。 1?
例 题 20-8 § 20 动量原理
例题
030
D
B
A
位置 1：剪断绳子的瞬间
01
02
位置 2：
AB运动至水平位置
D
BA
1?
2
1
22
1
2
1
2
2 3
2)(
2
1)
3
1(
2
1 L
g
PL
g
PL
g
PT
系统在运动过程中重力所作的功：
]
2
332
1[
)]13(
2
[
4
30s in
2
3
30s in
2
2
2
0
0
12
PL
LL
LP
L
PW
1212 WTT
L
g994.0
1
得代入
(?)
P?
P?
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题两根均质杆 AD,BD质量都是 M,长度都为 L,用光滑的铰链 D连接并放在光滑水平面上，如图所示。开始时系统静止于铅直面内，且杆对水平面的倾角是 。
求两杆运动到与水平面成倾角 时铰链 D的速度和加速度，并求水平面的支持力。
0
0
D
A B
C1 C2
解,系统由于质量分布和受力对称，以及所给的初始条件，
将保留在原铅直平面内运动，
它的位置用 角确定。
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
0
D
A B
C1 C2
取整个系统为研究对象，受力如图。
应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理或质心运动定理求地面支持力。
(1) 求铰链 D的速度和加速度由于对称，在系统的铅垂平面内取固定坐标系 Oxy，
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
0
D
A B
C1 C2
D
A B
C2
C1
y
xO
在系统的运动过程中，,系统的初速度等于零，
因此系统的质心 C在水平方向的位置守恒，即 C将沿铅垂线下降。
0)(?eRxF
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
故 D点也沿铅垂线下降,D点速度为铅垂方向。
P1 P2
初始时动能,01?T
)2121(22 212 12 ADCCAD JmvTT
系统在任意位置的动能：
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
0
D
A B
C1 C2
而
co s1 L
v
DP
v DD
AD c o s2c o s2111
DDADC v
L
vLCPv 2
1 12
1 mLJ
C?
)2121(22 212 12 ADCCAD JmvTT
2
2
2 co s2
DmvT
D
A B
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
P1 P2
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
D
A B
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
P1 P2
运动中仅有系统的重力作功：
)s in( s in)s in( s in22 0012 mgLLmgW
代入 得：1212 WTT )s in( s in
co s2 02
2
m g Lmv D
)s in( s in3c o s 0 gLv D
（?）
还可由 求得：
c o sL
v D
AD
L
gL )s in( s in3 0
（?）
2
2
2 co s2 D
mvT?
01?T
例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
D
A B
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
P1 P2
)1s in3s ins in2(23 20gva DD?
（?）
D点加速度也为铅垂方向，故可由 D点速度求导得到。
)s in( s in3c o s 0 gLv D LgL )s in( s in3 0
由于例 题 20-9 § 20 动量原理
例题
D
A B
C2
C1
y
xO
1P
AF
BF
2P
Dv?
1Cv
P1 P2
mgFFym BAC 22 1
(2)求水平面的支持力
)( eRyCiy
i i
Fam根据质心运动定理,得：
由对称性得
BA FF?
又由于
21
D
C
yy?
)1s in3s in2(4322 201gayy DDC
即
mg
ymmgFF CBA
)s in
2
3
s in
4
9
4
1
( 02
1
(?)
例 题 20-10 § 20 动量原理
例题
A
BII
I
E
D
均质圆盘 I,II的半径均为 R，质量均为
m，绕有无重的细绳，求系统从静止开始运动时，（ 1）轮 II中心 B的加速度。
（ 2）绳子的张力。
解,系统为 2个自由度，所受外力为重力和铰支座 A处的约束力。
（ 1）求轮 II中心 B的加速度设轮 I角速度为,角加速度为,
轮 II角速度为 角加速度为 。1
1?
2? 2?
1?
1?
2?
2?
建立固连于绳上的平动坐标系，则轮 II的相对运动为沿 DE的纯滚动，轮心 B的速度为：
reB vvv
例 题 20-10 § 20 动量原理
例题
A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
reB vvv
1?Rvv De
Dv
Bv
rv
2?Rv r?
)( 21 Rvvv rDB (?)
AxF
AyF
gm?
gm?
以整体为研究对象，系统外力对定点
A之矩为零，故由动量矩守恒：
00 AA LL
0)(2 12
2
21
mRJJLLL
IIBIAIIAIAA
21
求导,21
22?Rv B?
2
2 22 R
dt
dR
dt
dva B
B
Ba
例 题 20-10 § 20 动量原理
例题
22?Rv B?
2
2 22 R
dt
dR
dt
dva B
B A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
Dv
Bv
rv
AxF
AyF
gm?
gm?
Ba
以轮 II为研究对象，
B E
gm?
Ba
II
2?
2?
TF
对定点 D列轮 II的动量矩定理：
)( e
DIID Mdt
dL?
对轮 II：
4
5)
2(2
2
2
B
B
B
BIIBIID
m R vRmv
R
vmRRmvJL
代入得：
mg RmR vdtd B?)45(
gdtdva BB 54
(?)
R
g
R
a B
5
2
22
还可得到：
例 题 20-10 § 20 动量原理
例题
（ 2）求绳子的张力对轮 II，列对质心 B的动量矩定理：
)(2 eBI I B MJ
即,RFmR
T?2
2
2
1?
55
2
2
1
2
1
2
mg
R
gmRmRF
T
（拉力）
A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
Dv
Bv
rv
AxF
AyF
gm?
gm?
Ba
B E
gm?
Ba
II
2?
2?
TF
R
g
R
a B
5
2
22
