工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 36 )
（下册）
§ 20 动量原理本章内容动量定理质心运动定理动量矩定理
：系统的动量变化与外力的冲量之关系
：系统质心的运动与外力系的主矢之关系
：系统的动量矩变化与外力系的主矩之关系运动 力动力学运动 力速度变化大小变化
（动能变化）
力的功大小、方向变化
（动量变化）
力的冲量质心平动
+
绕质心转动刚体的运动力系的主矢力系的主矩动能定理动量定理质心运动定理动量矩定理
§ 20.1 动量
1.质点的动量
vmp (20.1)
表示质点机械运动的强弱程度，
是一个矢量，与速度的方向一致。
当质点之间存在力的相互作用时，动量可描述质点之间机械运动的传递关系。
m v?
p?
质点动量的本质：
动量的传递
ii
n
i
vmp
1
(20.2)
m
rm
r
ii
n
i
C
1 (质点系质心的矢径公式 )
对时间求导得到：
m
vm
v
ii
n
i
C
1
ii
n
i
C vmvm
1
(20.3)
质点系动量等于想象地将质点系的质量都集中于质心时质心的动量。
2.质点系动量
Cv?
Cr?
C
Cvmp
(20.4)
定义为各质点动量的矢量和：
O
mi
iv?
3,刚体与刚体系统的动量
Cii
n
i
vmp
1
(20.5)
：第 i个刚体的质量；im
：第 i个刚体的质心的速度；
Civ?
Cvmp
(20.4)
刚体 系统的动量：
刚体的动量：
质点系动量是表示其质心运动的一个特征量,而质心运动只是质点系 整体运动 的一个部分。
质点系的动量的特点：
§ 20.2 冲量元冲量：
力的冲量 —— 度量力在一段时间内的积累效果。
将 定义为任意力 在微小时间间隔 内的元冲量，tFd? tdF?
将 定义为力 在时间间隔 内的冲量，
并用 表示，即：
F2
1
dtt tF? 12 tt?
I?
力系的冲量：
将作用于质点系上各力 的冲量的矢量和定义为力系的冲量，其表达式为 iF
ni,,2,1
dtFtFI t
t
n
i
i
t
t i
n
i
)(d 2
1
2
1 11?
tFt
t R d
2
1
21 dtt tFI (20.6)力的冲量：
力系的冲量
tFI t
t R
d2
1?
(20.7)
（ 1） 力系的冲量等于力系的主矢在同一时间间隔内的冲量 。
（ 2）由于 内力系 和 力偶系 的主矢均为零，故 这两种力系的冲量均为零 。
冲量的特点：
0?ov?
0?p?
ovMp
o?
例 题 20-1
§ 20 动量原理?例题
o
M o
v? p
L M
Cv
p?
2
LMp ( )
求以下刚体的动量：
例 题 20-2 § 20 动量原理
例题均质杆 OD长 l，质量为 m1，均质杆 AB长 2l，质量为 2m1，滑块 A,B质量均为 m2,D为 AB的中点，
OD杆绕 O轴以角速度 转动，当 OD杆与水平方向的夹角为 时，求系统的动量。
O
y
x
A
B
D
O
y
x
A
B
D
例 题 20-2 § 20 动量原理
例题解,系统包括四部分：
滑块 A,B，杆 AB,OD，
CDBA vmvmvmvmp
1122 2
Av
Dv
Cv?
Bv
P
1.求各刚体质心的速度
OD杆定轴转动,?
2
lv
C?
（方向垂直于 OD）
lv D? （方向垂直于 OD）
AB杆一般平面运动，速度瞬心为 P：
AB?
l
l
PD
v D
AB
（?）
例 题 20-2 § 20 动量原理
例题
c os2 lAPv ABA （?）
l
l
PD
v D
AB
（?）
（?）
s i n2 lBPv ABB
注意,为各刚体动量的矢量和
2.求系统的动量 p
s i n)
2
5
2(
s i ns i n2
12
112
lmm
vmvmvmp CDBx
CDBA vmvmvmvmp
1122 2
O
y
x
A
B
D
Av
Dv
Cv?
Bv
P
AB?
例 题 20-2 § 20 动量原理
例题
co s)
2
5
2(
co sco s2
12
112
lmm
vmvmvmp CDAy
O
y
x
A
B
D
Av
Dv
Cv?
Bv
P
AB?
]c oss i n[)252( 12 jilmmp
或表示为：
lmmppp yx )252( 1222
c ott a n
x
y
p
p
2
x
y
p?
§ 20.3 动量定理
1,质点的动量定理当质点质量不变时，牛顿第二定律可写为, Fvm
t
d
d
tFvm dd (20.8)
物理意义,质点的动量的微分等于作用于其上的合力的元冲量,称为 质点动量定理的微分形式 。
ItFvmvm tt d2
1
12
(20.9)
物理意义：质点在 至 时间间隔内动量的改变量等于作用于其上的合力在同一时间间隔内的冲量，
称为 质点动量定理的积分形式 。
2t1t
在时间间隔 内积分, tFvm t
t
t
t dd
2
1
2
1
21 ~ tt
已知质点系中质点,其质量为,速度为,
iD im iv?
2.质点系动量定理作用于质点系中质点 上的内力为,外力为
iDiiF
eiF?
由质点的动量定理式 (20.8)有：
tFvm iiii )dF(d ( e )i)( (20.10)ni,,2,1
tFFvm iin
i
ii
n
i
dd ei
11
ii
n
i
vmp
1
)2.20(
0i
1
i
R
i
n
i
FFe
1
e
R i
n
i
FF
tFp dd e
R
(20.11)
物理意义,质点系动量的微分等于作用于其上的外力系主矢的元冲量,称为 质点系动量定理的微分形式 。
对上式积分 tFp t
t
t
t dd
e
R
2
1
2
1
ee
R12 d
2
1
ItFpp tt (20.12)
质点系在 至 时间间隔内动量的改变量等于作用于其上的外力系的主矢在同一时间间隔内的冲量，
称为 质点系动量定理的积分形式 。
2t1t
3.动量定理的投影式动量定理的表达式 (20.11),(20.12)都是矢量式，它们可以向固连于 惯性参考空间 的 固定直角坐标轴 如 x轴上投影，得到相应的投影式
tFpp xxx ddd eR (20.13)
e12 xxx Ipp (20.14)
4.质点系的动量守恒定律若质点系的外力系的主矢, 0eR?F?
由此得到 0dd e
R tFp
则质点系的动量守恒：
若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间的直角坐标轴如 x轴上的投影, 0e
R?xF
由此得到 0ddd e
R tFpp xxx?
则质点系的动量在该轴上的投影守恒：
以上结论统称为 质点系的动量守恒定律 。
常矢量?p? (20.15)
c o n s t?xp (20.16)
注意 1.动量为矢量,刚体系统的动量为各刚体动量的 矢量和 。
2.系统的动量的本质是描述其质量全部放在质心后 质心所在点的运动 。
3.从质点系动量定理可知,质点系的内力不改变质点系的动量 （但引起各部分动量的改变）。
太空中拔河,谁胜谁负？
系统不受外力作用，动量守恒不分胜负！
( ) 0A A B B A B Cm m m mp v v v
炮弹在空中爆炸质点系质心的运动只与外力系的主矢有关，内力并不影响质点系质心的运动。WF
N1Ff1 FN2 Ff2
人骑自行车在水平路面上由静止出发开始前进。是什么力使它有向前运动的速度？
汽车在水平路面上的起动和停止，起主要作用的是什么力？
4.写动量定理或动量守恒定律的投影式，投影轴必须是 惯性系中的固定坐标轴 。
§ 20.4 质心运动定理
1,质点系的质心运动定理
tFp dd eR)11.20(
Cvmp
)4.20(
tFvm C dd eR
对不变质点系 c o n s t?m
tFvm C dd eRe
Rd
d F
t
vm C
eRFam C (20.15)
物理意义：质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用于其上外力系的主矢，称为 质心运动定理 。
质点系质心的运动不仅与质点系的内力无关，而且与作用于质点系上各外力的作用点位置也无关。
若质点系由 n个刚体组成，则由质心矢径公式知，其质心运动定理可表示为：
e
R
1
Fam Cii
n
i
(20.16)
式中,im 为第 i个刚体的质量；
Cia? 为第 i个刚体的质心加速度。
质心运动定理的投影式为：
)( eRxCx Fma? （ 20.17)
)(
1
e
RxCix
n
i
i Fam
（ 20.18)
2,质心运动守恒定律当一个质点系由 n个刚体组成时，若作用于其上的外力系主矢, 0e
R?F
且初始时系统的质心速度为零，则根据式 (20.15)容易知道，系统的质心相对于某固定点 O的矢径：
设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内产生有限位移,
Cir
则由上式及系统的质心矢径公式可得：
Cii
n
i
C rmrm
1
CiCii
n
i
rrm
1
常矢量?Cr? (20.17)
0
1
Cii
n
i
rm? (20.18)
若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直角坐标轴如 x轴上的投影为零，即,且初始时系统质心速度在该轴上的投影等于零，则
0eR?xF
0eR xCx Fma
(20.19)
Cii
n
i
C xmmx?
1
CiCii
n
i
xxm
1
假设各刚体的质心对该轴的坐标值在同一时间间隔产生有限改变量,
Cix?
以上结论称为 质心运动的守恒定律 。
c o n s t?Cx (20.20)
0
1
Cii
n
i
xm (20.21)
tFp dd e
R
(20.11)
ee
R12 d
2
1
ItFpp tt (20.12)
tFpp xxx ddd eR (20.13)
e12 xxx Ipp (20.14)
若质点系的外力系的主矢, 0eR?F?
常矢量?p? (20.15)
若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间的直角坐标轴如 x轴上的投影, 0e
R?xF
c o n s t?xp (20.16)
若质点系由 n个刚体组成，其质心运动定理可表示为：
e
R
1
Fam Cii
n
i
(20.16)
式中,im 为第 i个刚体的质量；
Cia? 为第 i个刚体的质心加速度。
质心运动定理的投影式为：
)( eRxCx Fma? （ 20.17)
)(
1
e
RxCix
n
i
i Fam
（ 20.18)
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题椭圆摆由质量为 mA的滑块 A和质量为 mB的单摆小球 B构成。
滑块可沿光滑水平面滑动,AB
杆长为 l,质量不计。试建立系统的运动微分方程，并求水平面对滑块 A的约束力。
x
y
B
AO
x
y
B
AO
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题根据质点系动量定理在 x,y方向上的投影式：
gmA?
gmB?
AF
x
解,1.系统受力和运动分析系统受的外力有重力，地面约束力。
系统包括滑块和小球，为 2个自由度，取 x和?为广义坐标
0)( eRxx Fdtdp
gmgmFFdtdp BAAeRyy )(
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
x
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
2,系统的动量
Av
Ae vv
rv
Bv
xvAlvr?
reB vvv
c o s?lvv ABx
s in?lv By?
此式向 x,y投影：
系统的动量为：
)c os( lxmxm
vmvmp
BA
BxBAxAx
)s i n( lxmvmvmp BByBAyAy
d [ ( c o s ) ] 0
d ABm x m x lt
gmgmFlxmdtd BAAB )]s i n([
系统运动微分方程代入动量定理
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
x
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
3.求地面的约束力列系统的质心运动定理（ y 轴投影式）：
)( e
Ryiy
i
i Fam
Aa
Ae aa
ra?
nra?
c o ss i n
c o ss i n
2 ll
aaa nrrBy
代入（ 1）式，得地面约束力为：
gmgmFamam BAAByBAyA (1)
nrreB aaaa又
)c o ss i n()( 2 lmgmmF BBAA （?）
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
x
Aa
Ae aa
ra?
nra?
注意：本题的易错之处
（ 1）将 视为小球的绝对速度。
l
(2)在非惯性系中列动量方程。
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
mm
M
r
质量为 m的两个相同小球，穿在质量为 M，半径为 r的光滑圆环上，
无初速地从最高处滑下，圆环竖直立于地面上，求 M与 m满足何种关系时，圆环能从地面跳起来？
解,以小球为对象，分析其受力及运动状态：
NF
gm?
小球受重力及环的约束力，运动轨迹为圆周。
na
a?
取 为广义坐标，有：?
2ra nra?
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
NF
gm?
na
a
n
s inrg
对小球用积分形式动能定理：
)c o s1()(21 12212 mgrWrmTT?
)c o s1(22 rg?
此式适用于任意位置，求导可得：
mm
M
r
)co s1(22 gra n?
s i ngra
s i n22 rg
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
mm
M
r
以圆环和小球组成质点系，在铅垂方向列质点系质心运动定理：
)( e
RyCiy
i
i Fam
Nn FmgMgaamM 2)s i nc o s(20
gm?gm?
gM?
NF
NF
gm?
na
a
n
s i nco s aaa nmy （?）
0?Mya
)co s1(22 gra n?
s ingra
)c os2c os3(2
)]c os)c os1(2( s i n1[2
2
2
mgMg
mgMgF N
若圆环脱离地面，则 0?
NF
)2c o s3(c o s2mM
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
mm
M
r
若有,mM
3
2?
则上式必在某一 值处可以满足！?
)2c o s3(c o s2mM
22 )
3
1( c o s6
3
2)c o s
3
2( c o s6 mmmM
)0(
即：
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题已知 AB=l,质量为 m ；平板 DE的质量为 2m，水平面光滑,初始系统静止 。求 AB倒至 角时 ED的位移?x和速度 v 。
60?
A
B
D E A
B
D EA
B
D E
xv?
例 题 20-5 § 20 动量原理
例题解,系统为 AB+DE，外力仅有铅垂方向的重力和地面支持力。初始系统静止，故水平方向质心运动守恒。
1.水平方向质心运动守恒
0 Ci
i
i xm?
0)s i n2()(2 slmsm?
设板 DE水平方向位移为向左移动了 s,
A
B
D E
x
y
sx C1? slx
Cs in22
A
B
D E
v?
1Cx?
代入得：
llmmls 12 3s i n632 s i n
（?）
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
2,水平方向动量守恒
00 xx pp
设 时 DE的速度为 v 60? （?）
A
B
D E
x
y
AD E
v?
1Cx?
B
CAB杆的质心为 C，取动点为
AB杆上的 C点，动系固连于
DE （平动），则：
reC vvv
rv
v
AB
l?
2
c o s2 ABCx lvv
0)c os2()(2 ABx lvmvmp
l
v
l
v
AB
12
co s
6
（?）
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
3,机械能守恒
A
B
D E
x
y
AD E
v?
1Cx?
B
C
rv
取地面为势能零点，
00 VTVT
初始：
2,0 00
lmgVT
当 时： 60?
460c o s21
mg llmgV
222
1 2
1
2
12
2
1
ABCC JmvmvT
22
2
2
222
31c o s
12
)
12
(
4
)c o s (
2
2)
2
(
v
l
v
vl
l
vl
v
l
v
l
vv
ABABC
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
A
B
D E
x
y
AD E
v?
1Cx?
B
C
rv
22
2
2
222
31c o s
12
)
12
(
4
)c o s (
2
2)
2
(
v
l
v
vl
l
vl
v
l
v
l
vv
ABABC
代入，得：
2
1 2
45 mvT?
242
45 2 mg lmg lmv
90
2 glv?
103
1 glv （?）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 36 )
（下册）
§ 20 动量原理本章内容动量定理质心运动定理动量矩定理
：系统的动量变化与外力的冲量之关系
：系统质心的运动与外力系的主矢之关系
：系统的动量矩变化与外力系的主矩之关系运动 力动力学运动 力速度变化大小变化
（动能变化）
力的功大小、方向变化
（动量变化）
力的冲量质心平动
+
绕质心转动刚体的运动力系的主矢力系的主矩动能定理动量定理质心运动定理动量矩定理
§ 20.1 动量
1.质点的动量
vmp (20.1)
表示质点机械运动的强弱程度，
是一个矢量，与速度的方向一致。
当质点之间存在力的相互作用时，动量可描述质点之间机械运动的传递关系。
m v?
p?
质点动量的本质：
动量的传递
ii
n
i
vmp
1
(20.2)
m
rm
r
ii
n
i
C
1 (质点系质心的矢径公式 )
对时间求导得到：
m
vm
v
ii
n
i
C
1
ii
n
i
C vmvm
1
(20.3)
质点系动量等于想象地将质点系的质量都集中于质心时质心的动量。
2.质点系动量
Cv?
Cr?
C
Cvmp
(20.4)
定义为各质点动量的矢量和：
O
mi
iv?
3,刚体与刚体系统的动量
Cii
n
i
vmp
1
(20.5)
：第 i个刚体的质量；im
：第 i个刚体的质心的速度；
Civ?
Cvmp
(20.4)
刚体 系统的动量：
刚体的动量：
质点系动量是表示其质心运动的一个特征量,而质心运动只是质点系 整体运动 的一个部分。
质点系的动量的特点：
§ 20.2 冲量元冲量：
力的冲量 —— 度量力在一段时间内的积累效果。
将 定义为任意力 在微小时间间隔 内的元冲量，tFd? tdF?
将 定义为力 在时间间隔 内的冲量，
并用 表示，即：
F2
1
dtt tF? 12 tt?
I?
力系的冲量：
将作用于质点系上各力 的冲量的矢量和定义为力系的冲量，其表达式为 iF
ni,,2,1
dtFtFI t
t
n
i
i
t
t i
n
i
)(d 2
1
2
1 11?
tFt
t R d
2
1
21 dtt tFI (20.6)力的冲量：
力系的冲量
tFI t
t R
d2
1?
(20.7)
（ 1） 力系的冲量等于力系的主矢在同一时间间隔内的冲量 。
（ 2）由于 内力系 和 力偶系 的主矢均为零，故 这两种力系的冲量均为零 。
冲量的特点：
0?ov?
0?p?
ovMp
o?
例 题 20-1
§ 20 动量原理?例题
o
M o
v? p
L M
Cv
p?
2
LMp ( )
求以下刚体的动量：
例 题 20-2 § 20 动量原理
例题均质杆 OD长 l，质量为 m1，均质杆 AB长 2l，质量为 2m1，滑块 A,B质量均为 m2,D为 AB的中点，
OD杆绕 O轴以角速度 转动，当 OD杆与水平方向的夹角为 时，求系统的动量。
O
y
x
A
B
D
O
y
x
A
B
D
例 题 20-2 § 20 动量原理
例题解,系统包括四部分：
滑块 A,B，杆 AB,OD，
CDBA vmvmvmvmp
1122 2
Av
Dv
Cv?
Bv
P
1.求各刚体质心的速度
OD杆定轴转动,?
2
lv
C?
（方向垂直于 OD）
lv D? （方向垂直于 OD）
AB杆一般平面运动，速度瞬心为 P：
AB?
l
l
PD
v D
AB
（?）
例 题 20-2 § 20 动量原理
例题
c os2 lAPv ABA （?）
l
l
PD
v D
AB
（?）
（?）
s i n2 lBPv ABB
注意,为各刚体动量的矢量和
2.求系统的动量 p
s i n)
2
5
2(
s i ns i n2
12
112
lmm
vmvmvmp CDBx
CDBA vmvmvmvmp
1122 2
O
y
x
A
B
D
Av
Dv
Cv?
Bv
P
AB?
例 题 20-2 § 20 动量原理
例题
co s)
2
5
2(
co sco s2
12
112
lmm
vmvmvmp CDAy
O
y
x
A
B
D
Av
Dv
Cv?
Bv
P
AB?
]c oss i n[)252( 12 jilmmp
或表示为：
lmmppp yx )252( 1222
c ott a n
x
y
p
p
2
x
y
p?
§ 20.3 动量定理
1,质点的动量定理当质点质量不变时，牛顿第二定律可写为, Fvm
t
d
d
tFvm dd (20.8)
物理意义,质点的动量的微分等于作用于其上的合力的元冲量,称为 质点动量定理的微分形式 。
ItFvmvm tt d2
1
12
(20.9)
物理意义：质点在 至 时间间隔内动量的改变量等于作用于其上的合力在同一时间间隔内的冲量，
称为 质点动量定理的积分形式 。
2t1t
在时间间隔 内积分, tFvm t
t
t
t dd
2
1
2
1
21 ~ tt
已知质点系中质点,其质量为,速度为,
iD im iv?
2.质点系动量定理作用于质点系中质点 上的内力为,外力为
iDiiF
eiF?
由质点的动量定理式 (20.8)有：
tFvm iiii )dF(d ( e )i)( (20.10)ni,,2,1
tFFvm iin
i
ii
n
i
dd ei
11
ii
n
i
vmp
1
)2.20(
0i
1
i
R
i
n
i
FFe
1
e
R i
n
i
FF
tFp dd e
R
(20.11)
物理意义,质点系动量的微分等于作用于其上的外力系主矢的元冲量,称为 质点系动量定理的微分形式 。
对上式积分 tFp t
t
t
t dd
e
R
2
1
2
1
ee
R12 d
2
1
ItFpp tt (20.12)
质点系在 至 时间间隔内动量的改变量等于作用于其上的外力系的主矢在同一时间间隔内的冲量，
称为 质点系动量定理的积分形式 。
2t1t
3.动量定理的投影式动量定理的表达式 (20.11),(20.12)都是矢量式，它们可以向固连于 惯性参考空间 的 固定直角坐标轴 如 x轴上投影，得到相应的投影式
tFpp xxx ddd eR (20.13)
e12 xxx Ipp (20.14)
4.质点系的动量守恒定律若质点系的外力系的主矢, 0eR?F?
由此得到 0dd e
R tFp
则质点系的动量守恒：
若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间的直角坐标轴如 x轴上的投影, 0e
R?xF
由此得到 0ddd e
R tFpp xxx?
则质点系的动量在该轴上的投影守恒：
以上结论统称为 质点系的动量守恒定律 。
常矢量?p? (20.15)
c o n s t?xp (20.16)
注意 1.动量为矢量,刚体系统的动量为各刚体动量的 矢量和 。
2.系统的动量的本质是描述其质量全部放在质心后 质心所在点的运动 。
3.从质点系动量定理可知,质点系的内力不改变质点系的动量 （但引起各部分动量的改变）。
太空中拔河,谁胜谁负？
系统不受外力作用，动量守恒不分胜负！
( ) 0A A B B A B Cm m m mp v v v
炮弹在空中爆炸质点系质心的运动只与外力系的主矢有关，内力并不影响质点系质心的运动。WF
N1Ff1 FN2 Ff2
人骑自行车在水平路面上由静止出发开始前进。是什么力使它有向前运动的速度？
汽车在水平路面上的起动和停止，起主要作用的是什么力？
4.写动量定理或动量守恒定律的投影式，投影轴必须是 惯性系中的固定坐标轴 。
§ 20.4 质心运动定理
1,质点系的质心运动定理
tFp dd eR)11.20(
Cvmp
)4.20(
tFvm C dd eR
对不变质点系 c o n s t?m
tFvm C dd eRe
Rd
d F
t
vm C
eRFam C (20.15)
物理意义：质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用于其上外力系的主矢，称为 质心运动定理 。
质点系质心的运动不仅与质点系的内力无关，而且与作用于质点系上各外力的作用点位置也无关。
若质点系由 n个刚体组成，则由质心矢径公式知，其质心运动定理可表示为：
e
R
1
Fam Cii
n
i
(20.16)
式中,im 为第 i个刚体的质量；
Cia? 为第 i个刚体的质心加速度。
质心运动定理的投影式为：
)( eRxCx Fma? （ 20.17)
)(
1
e
RxCix
n
i
i Fam
（ 20.18)
2,质心运动守恒定律当一个质点系由 n个刚体组成时，若作用于其上的外力系主矢, 0e
R?F
且初始时系统的质心速度为零，则根据式 (20.15)容易知道，系统的质心相对于某固定点 O的矢径：
设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内产生有限位移,
Cir
则由上式及系统的质心矢径公式可得：
Cii
n
i
C rmrm
1
CiCii
n
i
rrm
1
常矢量?Cr? (20.17)
0
1
Cii
n
i
rm? (20.18)
若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直角坐标轴如 x轴上的投影为零，即,且初始时系统质心速度在该轴上的投影等于零，则
0eR?xF
0eR xCx Fma
(20.19)
Cii
n
i
C xmmx?
1
CiCii
n
i
xxm
1
假设各刚体的质心对该轴的坐标值在同一时间间隔产生有限改变量,
Cix?
以上结论称为 质心运动的守恒定律 。
c o n s t?Cx (20.20)
0
1
Cii
n
i
xm (20.21)
tFp dd e
R
(20.11)
ee
R12 d
2
1
ItFpp tt (20.12)
tFpp xxx ddd eR (20.13)
e12 xxx Ipp (20.14)
若质点系的外力系的主矢, 0eR?F?
常矢量?p? (20.15)
若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间的直角坐标轴如 x轴上的投影, 0e
R?xF
c o n s t?xp (20.16)
若质点系由 n个刚体组成，其质心运动定理可表示为：
e
R
1
Fam Cii
n
i
(20.16)
式中,im 为第 i个刚体的质量；
Cia? 为第 i个刚体的质心加速度。
质心运动定理的投影式为：
)( eRxCx Fma? （ 20.17)
)(
1
e
RxCix
n
i
i Fam
（ 20.18)
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题椭圆摆由质量为 mA的滑块 A和质量为 mB的单摆小球 B构成。
滑块可沿光滑水平面滑动,AB
杆长为 l,质量不计。试建立系统的运动微分方程，并求水平面对滑块 A的约束力。
x
y
B
AO
x
y
B
AO
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题根据质点系动量定理在 x,y方向上的投影式：
gmA?
gmB?
AF
x
解,1.系统受力和运动分析系统受的外力有重力，地面约束力。
系统包括滑块和小球，为 2个自由度，取 x和?为广义坐标
0)( eRxx Fdtdp
gmgmFFdtdp BAAeRyy )(
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
x
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
2,系统的动量
Av
Ae vv
rv
Bv
xvAlvr?
reB vvv
c o s?lvv ABx
s in?lv By?
此式向 x,y投影：
系统的动量为：
)c os( lxmxm
vmvmp
BA
BxBAxAx
)s i n( lxmvmvmp BByBAyAy
d [ ( c o s ) ] 0
d ABm x m x lt
gmgmFlxmdtd BAAB )]s i n([
系统运动微分方程代入动量定理
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
x
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
3.求地面的约束力列系统的质心运动定理（ y 轴投影式）：
)( e
Ryiy
i
i Fam
Aa
Ae aa
ra?
nra?
c o ss i n
c o ss i n
2 ll
aaa nrrBy
代入（ 1）式，得地面约束力为：
gmgmFamam BAAByBAyA (1)
nrreB aaaa又
)c o ss i n()( 2 lmgmmF BBAA （?）
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
x
Aa
Ae aa
ra?
nra?
注意：本题的易错之处
（ 1）将 视为小球的绝对速度。
l
(2)在非惯性系中列动量方程。
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
mm
M
r
质量为 m的两个相同小球，穿在质量为 M，半径为 r的光滑圆环上，
无初速地从最高处滑下，圆环竖直立于地面上，求 M与 m满足何种关系时，圆环能从地面跳起来？
解,以小球为对象，分析其受力及运动状态：
NF
gm?
小球受重力及环的约束力，运动轨迹为圆周。
na
a?
取 为广义坐标，有：?
2ra nra?
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
NF
gm?
na
a
n
s inrg
对小球用积分形式动能定理：
)c o s1()(21 12212 mgrWrmTT?
)c o s1(22 rg?
此式适用于任意位置，求导可得：
mm
M
r
)co s1(22 gra n?
s i ngra
s i n22 rg
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
mm
M
r
以圆环和小球组成质点系，在铅垂方向列质点系质心运动定理：
)( e
RyCiy
i
i Fam
Nn FmgMgaamM 2)s i nc o s(20
gm?gm?
gM?
NF
NF
gm?
na
a
n
s i nco s aaa nmy （?）
0?Mya
)co s1(22 gra n?
s ingra
)c os2c os3(2
)]c os)c os1(2( s i n1[2
2
2
mgMg
mgMgF N
若圆环脱离地面，则 0?
NF
)2c o s3(c o s2mM
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
mm
M
r
若有,mM
3
2?
则上式必在某一 值处可以满足！?
)2c o s3(c o s2mM
22 )
3
1( c o s6
3
2)c o s
3
2( c o s6 mmmM
)0(
即：
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题已知 AB=l,质量为 m ；平板 DE的质量为 2m，水平面光滑,初始系统静止 。求 AB倒至 角时 ED的位移?x和速度 v 。
60?
A
B
D E A
B
D EA
B
D E
xv?
例 题 20-5 § 20 动量原理
例题解,系统为 AB+DE，外力仅有铅垂方向的重力和地面支持力。初始系统静止，故水平方向质心运动守恒。
1.水平方向质心运动守恒
0 Ci
i
i xm?
0)s i n2()(2 slmsm?
设板 DE水平方向位移为向左移动了 s,
A
B
D E
x
y
sx C1? slx
Cs in22
A
B
D E
v?
1Cx?
代入得：
llmmls 12 3s i n632 s i n
（?）
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
2,水平方向动量守恒
00 xx pp
设 时 DE的速度为 v 60? （?）
A
B
D E
x
y
AD E
v?
1Cx?
B
CAB杆的质心为 C，取动点为
AB杆上的 C点，动系固连于
DE （平动），则：
reC vvv
rv
v
AB
l?
2
c o s2 ABCx lvv
0)c os2()(2 ABx lvmvmp
l
v
l
v
AB
12
co s
6
（?）
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
3,机械能守恒
A
B
D E
x
y
AD E
v?
1Cx?
B
C
rv
取地面为势能零点，
00 VTVT
初始：
2,0 00
lmgVT
当 时： 60?
460c o s21
mg llmgV
222
1 2
1
2
12
2
1
ABCC JmvmvT
22
2
2
222
31c o s
12
)
12
(
4
)c o s (
2
2)
2
(
v
l
v
vl
l
vl
v
l
v
l
vv
ABABC
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
A
B
D E
x
y
AD E
v?
1Cx?
B
C
rv
22
2
2
222
31c o s
12
)
12
(
4
)c o s (
2
2)
2
(
v
l
v
vl
l
vl
v
l
v
l
vv
ABABC
代入，得：
2
1 2
45 mvT?
242
45 2 mg lmg lmv
90
2 glv?
103
1 glv （?）
