工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(8)
例 题 3
例题如图所示为裁纸板的简图 。
纸板 ABCD放在传送带上,并以匀速 v1=0.05 m·s-1与 传送带一起运动,裁纸刀固定在刀架 K
上,刀架 K以匀速 v2=0.13 m·s-1
沿固定导杆 EF运动,试问导杆
EF的安装角 θ应取何值才能使切割下的纸板成矩形?
§ 3 复合运动
A B
CD
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 3
例题 § 3 复合运动
A B
CD
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 3
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－根据题目裁为矩形纸的要求，裁纸刀 K相于纸板应为垂直于纸板运动方向的直线运动。
牵连运动－ 水平向左的直线平动。
绝对运动－ 沿导杆 EF的直线运动。
动系－固连于纸板 ABCD上 。
动点－取刀架 K为动点。
2,运动分析。
解,
定系－ 固连于机座。
§ 3 复合运动?例题
y
x
y’
x’
例 题 3
例题故导杆的安装角
3,速度分析。
由几何关系可得
§ 3 复合运动方向
大小 v2 v1?
绝对速度 va,va=v2,方向沿杆 EF向左上 。
牵连速度 ve,ve=v1,方向 水平向左 。
相对速度 vr,大小未知，方向垂直于纸板运动方向。
A B
CD
E
F
K
θ
v1 2vva
1vve
θ rv?
速度合成定理例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
曲柄 OA=2l，以角速度?0 绕 O轴作定轴转动，
图示瞬时，杆 BC处于水平位置,AB=OB=l，求此时套筒 D相对于杆 BC
和杆 OA的速度。
例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
解,1,运动状态分析杆 OA定轴转动，杆 BC在水平方向直线平动，杆 AD
为一般平面运动。套筒 B可在杆 OA上滑动，套筒 D可在杆 BC上滑动。
2,动点与动系选取之一动点 1— 套筒 D
动系 1---固连于杆 BC
动系 1的牵连运动为水平平动，动点 1的相对运动轨迹为沿 BC的直线，绝对运动轨迹也为沿 BC的直线。
动系 1
3,速度分析例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
方向
1Drv
1Dev
Dav?
大小？？？
对动点 1，有速度合成关系
11 DrDeDa vvv
(1)
且由于 BC平动，有
BaDe vv
1 (2)
4,动点动系的选取之二动点 2---套筒 B,动系 2---固连于杆 OA
动系 2牵连运动为绕 O轴的定轴转动，动点 2绝对运动轨迹为水平直线，相对运动轨迹为沿 OA的直线。
动系 2
动系 1
Bav
例 题 4 § 3 复合运动
例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
1Drv?
1Dev? Dav?
方向
Bav?
2Brv?
2Bev?
大小？ l?0?
解出
3
2
30c o s
02?lvv Be
Ba
(?)
5,在定系中，由 A,D两点速度关系
D A aAaDa vvv
将（ 1）、（ 2）代入，有
D A aAaDrBa vvvv
1
方向
大小?？ 2l?0?
动系 2
Aav?
DAav
动点动系 2的速度合成关系
22 BrBeBa vvv
(3)
Bav
A aAaDrDe vvv
11
例 题 4 § 3 复合运动
例题
？ 2l?0?
D A aAaDrBa vvvv
1
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
1Drv?
1Dev? Dav?
Bav?
2Brv?
2Bev?
动系 2
Aav?
DAav
在杆 AD方向的?轴上投影
60c o s230c o s30c o s32 010 lvl Dr
求出 0
1?Drv
即 套筒相对于杆 BC的速度为零 。故
BaDeDrDeDa vvvvv
111而套筒 B相对于杆 OA的速度由 B点速度合成关系 (3) 求出
3330 022 /t a n?lvv BeBr (方向如图 )故 2BrOAD vv,
即 套筒 D相对于杆 OA的速度大小为,方向由 B指向 A330 /?l
22 BrBeBa vvv
(3)
§ 3.4.2 加速度合成定理
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or
r? r?
rea vvv
由速度合成定理 (3.17)
其中牵连速度为 (3.16)
rvv eOe
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vd
e
eOe
'
rdt
rdra
eeeO
~
注意 r
dt
rd
dt
rd
e
~
对 (3.17)式求绝对导数
dt
vd
dt
vd
dt
vd rea (3.18)
式中
dt
vda a
a
动点的绝对加速度
rdt
rdra
eeeO
~
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vd
e
eOe
'
)( rvra eereeO
rerre
rr vav
dt
vd
dt
vd~又
rerea vaaa
2故
)( rraa eeeOe定义 动点的牵连加速度 (3.19)
定义 动点的科氏加速度
rec va
2 (3.21)
其中 动点的相对加速度
dt
vda r
r
~
(3.20)
加速度合成关系
crea aaaa
(3.22)因此得动点的加速度合成关系式中各量的物理意义：
绝对加速度 ----定系中动点的加速度
aa
相对加速度 ---- 动系中动点的加速度
ra
牵连加速度 ----动系中与动点 M重合的 m点（牵连点）相对于定系的绝对加速度
ea?
科氏加速度 ----为动点的相对速度与动系的牵连角速度共同引起的附加加速度
ca
科氏加速度的大小
rec va?2?
动系及动点在同一平面内作平面运动时科氏加速度的方向：由 的方向随?e 的转动方向旋转 90o后得到
rv?
e
ca?
rv?
例 题 5
例题 § 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
凸轮在水平面上向右作减速运动,如图所示,
设凸轮半径为 R,图示瞬时的速度和加速度分别为和,求杆 AB在图示位置时的加速度 。
v? a
例 题 5
例题 § 3 复合运动例 题 5
例题解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox′y′，固连于凸轮。
2,运动分析。
绝对运动－直线运动。
牵连运动－水平平 动。
动点－ 顶杆 AB的端点 A。
相对运动－沿凸轮轮廓圆周线运动。
定系－ 固连于机座。
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
O x'
y'
例 题 5
例题
3,速度分析。
φ
根据速度合成定理
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
O x'
y'
ve
vavr
绝对速度,大小未知，方向沿杆
AB 向上 。
av
牵连速度,ve= v,方向 水平向右 。
ev?
相对速度,大小未知，方向沿凸轮圆周的切线 。
rv?
方向
大小？ v?
可求得,(方向如图 )
A
B
n
φ
R
va
O
例 题 5
例题
4,加速度分析。
§ 3 复合运动
ra?
ae
nra
绝对加速度,大小未知,为所要求的量，方向沿直线 AB。
aa
牵连加速度,ae= a,沿 水平 方 向 。
ea
相对加速度切向分量,大小 未知,
垂直于 OA，假设 指向 右下。
ra?
相对加速度法向分量,
大小为 arn = vr 2 / R,方向 沿 OA，
指向 O。
nra?
aa?
例 题 5
例题根据加速度合成定理上式投影到凸轮圆周的法线 n 上，得
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
va
O
ra?
ae
nra aa?
方向
大小？ a?
2
2
sinR
v
0
解得杆 AB在图示位置时的加速度
(?)
例 题 6
例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄 OA以匀角速度?r 作顺时针方向转动，
已知 OA=l,AB= l,求图示瞬时滑块 B的速度和加速度。
3
例 题 6
例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
解,1,运动分析,杆 OA定轴转动，杆 AB一般平面运动，滑块 B水平平动。
2.动点动系选择,动点 ----滑块 B，
动系 ----固连于杆 OA
动点绝对运动轨迹 --水平直线，
动点相对运动轨迹 — 以 A为圆心,AB为半径的圆周动系的牵连运动 — 绕 O轴定轴转动
3.速度分析,由动点 B的速度合成关系
OA
rea vvv
方向
大小？ OB·?OA? AB·?r
由于
rr lv?3?
故求得
rra lvv t a n
rreOA l
v
l
v?
c o s22
(?)
(?)
av?
rv?
ev
l
l3
例 题 6
例题 § 3 复合运动
3,加速度分析：
O
A
B匀?r
OA
由动点加速度合成关系
cnrrneea aaaaaa
0
方向
大小？？ 2l 2
OA? 23 rl? rOA l 32
aa?
ea?nea?
nra?
ra? = 0
上式在?方向投影，得
c o s32c o s32c o s 22 rrrra llla
ca?
由此解得
2
3
3
ra la
(?)
rv
例 题 7
例题 § 3 复合运动
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
杆 OA和杆 O1B的长度均为 r，连杆 AB长为 2r，
当杆 OA以匀角速度?
绕 O轴作定轴转动时，
通过连杆 AB与套筒 C
带动连杆 CD沿水平轨道滑动。在图示位置，
OA水平,O1B铅垂，
AC=CB=r,试求此瞬时杆 CD的速度和加速度。
例 题 7
例题 § 3 复合运动
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
解,1.运动分析,OA,O1B杆为定轴转动,CD杆水平平动,AB杆一般平面运动，套筒 C复合运动。
2.动点动系选择,
动点 ----套筒上的 C点动系 ----固连于 AB杆动点绝对轨迹 ----水平直线动点相对轨迹 ----沿 AB直线运动牵连运动 ----一般平面运动
3.速度分析,由动点 C的速度合成关系
CreCa vvv
其中 即 此瞬时杆 AB上与套筒 C点重合的 C’点的绝对速度
ev?
例 题 7
例题 § 3 复合运动
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
由 A点和 B点的速度方向可确定杆 AB此时的速度瞬心为 P
P 且
r
r
PA
v A
AB
(?)
故
rrPBv
rPCv
ABB
ABc
32
2
3
'
(方向如图）
(?)
Bv?
Av?
'Cv?
故动点 C的速度合成关系为
CrCCreCa vvvvv
'
方向
大小？ r
Cav?
Crv?
由此解得?rvvvv C
CrCaCD 3
3
30co s2
'?
方向分别如图例 题 7
例题 § 3 复合运动
3.加速度分析：
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
其中,为 AB杆上与套筒 C
点重合的点 C’的绝对加速度。
由于 C’点为 AB杆 AB连线的中点，故有
ea
)(21' BACe aaaa
(2)
nAa?
Ba?
nBa?
方向
大小？ r rv
B /2
22 ABr?
BAa?
nBAa?
Crv?
ra?
aa?
Ca?
定系中由杆 AB的两点加速度关系
nBABAnAnBBB aaaaaa （ 3）
由动点 C加速度合成关系
CreaCD aaaaa
(1)
例 题 7
例题
§ 3 复合运动
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
Ba?
nBa?
BAa?
nBAa?
nAa?
Crv?
ra?
aa?
a? C
上式在?方向投影可得
2)335( ra B (?)?
利用此结果，并将（ 2）代入（ 1）
Cr
n
BB
n
Aa aaaaaa
)(
2
1?
方向
大小？？
在?方向投影，求得 2
3
3613?raa
aCD
(?)
定系中由杆 AB的两点加速度关系
nBABAnAnBBB aaaaaa （ 3）
大小？ r rv
B /2
22 ABr?
CreaCD aaaaa
(1)
)(21' BACe aaaa (2)
例 题 8
例题 § 3 复合运动两个半径均为 R，圆心分别为 O和 O’的圆环可分别绕 A,B轴定轴转动，
已知 AB之间距离为 3R，
两个圆环的角速度均为
=常数，转向分别如图，
当 AOO’B四点位于同一直线上时，求两圆环相交点 M的速度和加速度。
A B
M
O O’?
A B
M
O O’?
例 题 8
例题 § 3 复合运动解,1.运动分析圆环 A和圆环 B均为定轴转动，
但所求的 相交点 M既非圆环 A上的固定物质点，也非圆环 B上的固定物质点,在运动中,M点作为任意时刻的相交点，其在两环上的相对位置是不断变化的，可视为有一小环 M同时套在两环上，取小环 M为研究对象。
2.动点动系的选择动点 --小环 M,动系 e1--固连于圆环 A,动系 e2— 固连于圆环 B
两动系的牵连运动 --均为定轴转动,动点在两动系中的相对运动轨迹 --分别沿圆周 A和圆周 B,动点的绝对运动轨迹 --？
例 题 8
例题 § 3 复合运动
3.速度分析
2211 rerea vvvvv
方向
大小 AM·?？ BM·?？A B
M
O O’?
1ev
2ev
其中 RRRBMAM 34 22
1rv?
2rv?
30
)90c o s (c o s 211
ere vvv
在?方向投影故得
Rvvv eer 330c o s/30t a n 121
方向如图
在?方向投影 c o ss i n 221 ree vvv 方向如图?Rv r 32?
故?Rvvv reax 330c o s60c o s 11
060co s60s i n 11 reay vvv
(?)
av?
例 题 8
例题 § 3 复合运动
3.加速度分析
22221111 cnrrnecnrrnea aaaaaaaaa
方向
大小?？？?
在?方向投影求出 2
2 32 Ra r
(?)
故求出
233
0
Ra
a
ay
ax
（?）
A B
M
O O’?
1rv?
2rv
y
x
nra11ra
nea1?
1Ca?
A B
M
O O’?
1rv?
2rv
y
x
nea2?
nra2?
2ra?
2Ca
例 题 8
例题 § 3 复合运动
A B
M
O O’?
av?
aa
最终结果，相交点 M的速度、加速度分别为：
233
3
Ra
Rv
M
M
(?)
(?)
例 题 9
例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
摇杆机构，曲柄 OA
长 l,以匀角速度?
绕 O轴转动，带动滑块 A在导杆 BCD的滑槽内运动，使得杆
BE沿套筒 O1滑动，
套筒可绕 O1轴定轴转动，已知?=60o，
=30?，求此时套筒
O1的角加速度。
例 题 9
例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
解,1.运动分析套筒 O1、杆 OA定轴转动，
导杆 BCD沿铅垂直线平动，滑块 A曲线平动，杆
BE一般平面运动。
运动的传递 ----通过可变接触点 A,O1及不变接触点 B。
2.速度分析
（ 1）取动点为滑块 A，动系 e1固连于导杆 BCD（平动动系）。
绝对运动轨迹 — 以 O为圆心的圆周，相对运动轨迹 — 水平直线，
e1的牵连运动 — 铅垂方向直线平动。
e1
例 题 9
例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
由速度合成关系
11 ArAeA vvv
方向Av
1Aev?
1Arv? 大小 l? v
CD? vAr1?
求出
2/3s i n
2/c o s
1
lvv
lvv
AAr
ACD
(?)
(?)
（ 2）取动点为 B点，动系 e2固连于套筒 O1（定轴转动动系），
绝对运动轨迹 — 铅垂方向直线，相对运动轨迹 — 沿 BE的直线，
e2的牵连运动 — 绕 O轴的定轴转动。
e1 e2
O
O1
L
A
B
C D
E?
Av? 1Aev?
1Arv?
例 题 9
例题 § 3 复合运动由速度合成关系
22 BrBeB vvv
方向
大小 vCD O1B·?O1? vBr2?
Bv
2Bev
2Brv?
求出
L
l
L
l
v
L
v
L
v
CDO
CDOBe
8
3
c o s
2
c o s
c o s
c o s
2
2
1
12
(?)
4s in2
lvv
CDBr
(?)
O1 e2
e1
O
O1
L
A
B
C D
E?
例 题 9
例题 § 3 复合运动
3.加速度分析
（ 1）对动点 A、动系 e1
111 crenAAA aaaaaa
方向
0 0
大小 l
n
Aa
1ea
1ra?
求得
22
1 2
360s i ns i n llaaa n
ACDe
(?)
故 B点 2
1 2
3?laa
eB
(?)e1 e2
例 题 9
例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
n
Aa
1ea
1ra?
（ 2）对动点 B、动系 e2
2222 crneeB aaaaa
方向
大小? O1B·?O1? O1B ·?2O1? 2·?O1 ·vBr2
Ba?
nea2?
2ea?
2ra?
2ca?
O1
在?方向投影，可求得
)32 338 33(21 LlLlO
（?）
O1
e2e1
2Brv
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(8)
例 题 3
例题如图所示为裁纸板的简图 。
纸板 ABCD放在传送带上,并以匀速 v1=0.05 m·s-1与 传送带一起运动,裁纸刀固定在刀架 K
上,刀架 K以匀速 v2=0.13 m·s-1
沿固定导杆 EF运动,试问导杆
EF的安装角 θ应取何值才能使切割下的纸板成矩形?
§ 3 复合运动
A B
CD
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 3
例题 § 3 复合运动
A B
CD
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 3
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－根据题目裁为矩形纸的要求，裁纸刀 K相于纸板应为垂直于纸板运动方向的直线运动。
牵连运动－ 水平向左的直线平动。
绝对运动－ 沿导杆 EF的直线运动。
动系－固连于纸板 ABCD上 。
动点－取刀架 K为动点。
2,运动分析。
解,
定系－ 固连于机座。
§ 3 复合运动?例题
y
x
y’
x’
例 题 3
例题故导杆的安装角
3,速度分析。
由几何关系可得
§ 3 复合运动方向
大小 v2 v1?
绝对速度 va,va=v2,方向沿杆 EF向左上 。
牵连速度 ve,ve=v1,方向 水平向左 。
相对速度 vr,大小未知，方向垂直于纸板运动方向。
A B
CD
E
F
K
θ
v1 2vva
1vve
θ rv?
速度合成定理例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
曲柄 OA=2l，以角速度?0 绕 O轴作定轴转动，
图示瞬时，杆 BC处于水平位置,AB=OB=l，求此时套筒 D相对于杆 BC
和杆 OA的速度。
例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
解,1,运动状态分析杆 OA定轴转动，杆 BC在水平方向直线平动，杆 AD
为一般平面运动。套筒 B可在杆 OA上滑动，套筒 D可在杆 BC上滑动。
2,动点与动系选取之一动点 1— 套筒 D
动系 1---固连于杆 BC
动系 1的牵连运动为水平平动，动点 1的相对运动轨迹为沿 BC的直线，绝对运动轨迹也为沿 BC的直线。
动系 1
3,速度分析例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
方向
1Drv
1Dev
Dav?
大小？？？
对动点 1，有速度合成关系
11 DrDeDa vvv
(1)
且由于 BC平动，有
BaDe vv
1 (2)
4,动点动系的选取之二动点 2---套筒 B,动系 2---固连于杆 OA
动系 2牵连运动为绕 O轴的定轴转动，动点 2绝对运动轨迹为水平直线，相对运动轨迹为沿 OA的直线。
动系 2
动系 1
Bav
例 题 4 § 3 复合运动
例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
1Drv?
1Dev? Dav?
方向
Bav?
2Brv?
2Bev?
大小？ l?0?
解出
3
2
30c o s
02?lvv Be
Ba
(?)
5,在定系中，由 A,D两点速度关系
D A aAaDa vvv
将（ 1）、（ 2）代入，有
D A aAaDrBa vvvv
1
方向
大小?？ 2l?0?
动系 2
Aav?
DAav
动点动系 2的速度合成关系
22 BrBeBa vvv
(3)
Bav
A aAaDrDe vvv
11
例 题 4 § 3 复合运动
例题
？ 2l?0?
D A aAaDrBa vvvv
1
O
A
BC
D
60o
30o
30o
0
1Drv?
1Dev? Dav?
Bav?
2Brv?
2Bev?
动系 2
Aav?
DAav
在杆 AD方向的?轴上投影
60c o s230c o s30c o s32 010 lvl Dr
求出 0
1?Drv
即 套筒相对于杆 BC的速度为零 。故
BaDeDrDeDa vvvvv
111而套筒 B相对于杆 OA的速度由 B点速度合成关系 (3) 求出
3330 022 /t a n?lvv BeBr (方向如图 )故 2BrOAD vv,
即 套筒 D相对于杆 OA的速度大小为,方向由 B指向 A330 /?l
22 BrBeBa vvv
(3)
§ 3.4.2 加速度合成定理
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or
r? r?
rea vvv
由速度合成定理 (3.17)
其中牵连速度为 (3.16)
rvv eOe
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vd
e
eOe
'
rdt
rdra
eeeO
~
注意 r
dt
rd
dt
rd
e
~
对 (3.17)式求绝对导数
dt
vd
dt
vd
dt
vd rea (3.18)
式中
dt
vda a
a
动点的绝对加速度
rdt
rdra
eeeO
~
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vd
e
eOe
'
)( rvra eereeO
rerre
rr vav
dt
vd
dt
vd~又
rerea vaaa
2故
)( rraa eeeOe定义 动点的牵连加速度 (3.19)
定义 动点的科氏加速度
rec va
2 (3.21)
其中 动点的相对加速度
dt
vda r
r
~
(3.20)
加速度合成关系
crea aaaa
(3.22)因此得动点的加速度合成关系式中各量的物理意义：
绝对加速度 ----定系中动点的加速度
aa
相对加速度 ---- 动系中动点的加速度
ra
牵连加速度 ----动系中与动点 M重合的 m点（牵连点）相对于定系的绝对加速度
ea?
科氏加速度 ----为动点的相对速度与动系的牵连角速度共同引起的附加加速度
ca
科氏加速度的大小
rec va?2?
动系及动点在同一平面内作平面运动时科氏加速度的方向：由 的方向随?e 的转动方向旋转 90o后得到
rv?
e
ca?
rv?
例 题 5
例题 § 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
凸轮在水平面上向右作减速运动,如图所示,
设凸轮半径为 R,图示瞬时的速度和加速度分别为和,求杆 AB在图示位置时的加速度 。
v? a
例 题 5
例题 § 3 复合运动例 题 5
例题解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox′y′，固连于凸轮。
2,运动分析。
绝对运动－直线运动。
牵连运动－水平平 动。
动点－ 顶杆 AB的端点 A。
相对运动－沿凸轮轮廓圆周线运动。
定系－ 固连于机座。
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
O x'
y'
例 题 5
例题
3,速度分析。
φ
根据速度合成定理
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
O x'
y'
ve
vavr
绝对速度,大小未知，方向沿杆
AB 向上 。
av
牵连速度,ve= v,方向 水平向右 。
ev?
相对速度,大小未知，方向沿凸轮圆周的切线 。
rv?
方向
大小？ v?
可求得,(方向如图 )
A
B
n
φ
R
va
O
例 题 5
例题
4,加速度分析。
§ 3 复合运动
ra?
ae
nra
绝对加速度,大小未知,为所要求的量，方向沿直线 AB。
aa
牵连加速度,ae= a,沿 水平 方 向 。
ea
相对加速度切向分量,大小 未知,
垂直于 OA，假设 指向 右下。
ra?
相对加速度法向分量,
大小为 arn = vr 2 / R,方向 沿 OA，
指向 O。
nra?
aa?
例 题 5
例题根据加速度合成定理上式投影到凸轮圆周的法线 n 上，得
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
va
O
ra?
ae
nra aa?
方向
大小？ a?
2
2
sinR
v
0
解得杆 AB在图示位置时的加速度
(?)
例 题 6
例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄 OA以匀角速度?r 作顺时针方向转动，
已知 OA=l,AB= l,求图示瞬时滑块 B的速度和加速度。
3
例 题 6
例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
解,1,运动分析,杆 OA定轴转动，杆 AB一般平面运动，滑块 B水平平动。
2.动点动系选择,动点 ----滑块 B，
动系 ----固连于杆 OA
动点绝对运动轨迹 --水平直线，
动点相对运动轨迹 — 以 A为圆心,AB为半径的圆周动系的牵连运动 — 绕 O轴定轴转动
3.速度分析,由动点 B的速度合成关系
OA
rea vvv
方向
大小？ OB·?OA? AB·?r
由于
rr lv?3?
故求得
rra lvv t a n
rreOA l
v
l
v?
c o s22
(?)
(?)
av?
rv?
ev
l
l3
例 题 6
例题 § 3 复合运动
3,加速度分析：
O
A
B匀?r
OA
由动点加速度合成关系
cnrrneea aaaaaa
0
方向
大小？？ 2l 2
OA? 23 rl? rOA l 32
aa?
ea?nea?
nra?
ra? = 0
上式在?方向投影，得
c o s32c o s32c o s 22 rrrra llla
ca?
由此解得
2
3
3
ra la
(?)
rv
例 题 7
例题 § 3 复合运动
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
杆 OA和杆 O1B的长度均为 r，连杆 AB长为 2r，
当杆 OA以匀角速度?
绕 O轴作定轴转动时，
通过连杆 AB与套筒 C
带动连杆 CD沿水平轨道滑动。在图示位置，
OA水平,O1B铅垂，
AC=CB=r,试求此瞬时杆 CD的速度和加速度。
例 题 7
例题 § 3 复合运动
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
解,1.运动分析,OA,O1B杆为定轴转动,CD杆水平平动,AB杆一般平面运动，套筒 C复合运动。
2.动点动系选择,
动点 ----套筒上的 C点动系 ----固连于 AB杆动点绝对轨迹 ----水平直线动点相对轨迹 ----沿 AB直线运动牵连运动 ----一般平面运动
3.速度分析,由动点 C的速度合成关系
CreCa vvv
其中 即 此瞬时杆 AB上与套筒 C点重合的 C’点的绝对速度
ev?
例 题 7
例题 § 3 复合运动
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
由 A点和 B点的速度方向可确定杆 AB此时的速度瞬心为 P
P 且
r
r
PA
v A
AB
(?)
故
rrPBv
rPCv
ABB
ABc
32
2
3
'
(方向如图）
(?)
Bv?
Av?
'Cv?
故动点 C的速度合成关系为
CrCCreCa vvvvv
'
方向
大小？ r
Cav?
Crv?
由此解得?rvvvv C
CrCaCD 3
3
30co s2
'?
方向分别如图例 题 7
例题 § 3 复合运动
3.加速度分析：
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
其中,为 AB杆上与套筒 C
点重合的点 C’的绝对加速度。
由于 C’点为 AB杆 AB连线的中点，故有
ea
)(21' BACe aaaa
(2)
nAa?
Ba?
nBa?
方向
大小？ r rv
B /2
22 ABr?
BAa?
nBAa?
Crv?
ra?
aa?
Ca?
定系中由杆 AB的两点加速度关系
nBABAnAnBBB aaaaaa （ 3）
由动点 C加速度合成关系
CreaCD aaaaa
(1)
例 题 7
例题
§ 3 复合运动
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
Ba?
nBa?
BAa?
nBAa?
nAa?
Crv?
ra?
aa?
a? C
上式在?方向投影可得
2)335( ra B (?)?
利用此结果，并将（ 2）代入（ 1）
Cr
n
BB
n
Aa aaaaaa
)(
2
1?
方向
大小？？
在?方向投影，求得 2
3
3613?raa
aCD
(?)
定系中由杆 AB的两点加速度关系
nBABAnAnBBB aaaaaa （ 3）
大小？ r rv
B /2
22 ABr?
CreaCD aaaaa
(1)
)(21' BACe aaaa (2)
例 题 8
例题 § 3 复合运动两个半径均为 R，圆心分别为 O和 O’的圆环可分别绕 A,B轴定轴转动，
已知 AB之间距离为 3R，
两个圆环的角速度均为
=常数，转向分别如图，
当 AOO’B四点位于同一直线上时，求两圆环相交点 M的速度和加速度。
A B
M
O O’?
A B
M
O O’?
例 题 8
例题 § 3 复合运动解,1.运动分析圆环 A和圆环 B均为定轴转动，
但所求的 相交点 M既非圆环 A上的固定物质点，也非圆环 B上的固定物质点,在运动中,M点作为任意时刻的相交点，其在两环上的相对位置是不断变化的，可视为有一小环 M同时套在两环上，取小环 M为研究对象。
2.动点动系的选择动点 --小环 M,动系 e1--固连于圆环 A,动系 e2— 固连于圆环 B
两动系的牵连运动 --均为定轴转动,动点在两动系中的相对运动轨迹 --分别沿圆周 A和圆周 B,动点的绝对运动轨迹 --？
例 题 8
例题 § 3 复合运动
3.速度分析
2211 rerea vvvvv
方向
大小 AM·?？ BM·?？A B
M
O O’?
1ev
2ev
其中 RRRBMAM 34 22
1rv?
2rv?
30
)90c o s (c o s 211
ere vvv
在?方向投影故得
Rvvv eer 330c o s/30t a n 121
方向如图
在?方向投影 c o ss i n 221 ree vvv 方向如图?Rv r 32?
故?Rvvv reax 330c o s60c o s 11
060co s60s i n 11 reay vvv
(?)
av?
例 题 8
例题 § 3 复合运动
3.加速度分析
22221111 cnrrnecnrrnea aaaaaaaaa
方向
大小?？？?
在?方向投影求出 2
2 32 Ra r
(?)
故求出
233
0
Ra
a
ay
ax
（?）
A B
M
O O’?
1rv?
2rv
y
x
nra11ra
nea1?
1Ca?
A B
M
O O’?
1rv?
2rv
y
x
nea2?
nra2?
2ra?
2Ca
例 题 8
例题 § 3 复合运动
A B
M
O O’?
av?
aa
最终结果，相交点 M的速度、加速度分别为：
233
3
Ra
Rv
M
M
(?)
(?)
例 题 9
例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
摇杆机构，曲柄 OA
长 l,以匀角速度?
绕 O轴转动，带动滑块 A在导杆 BCD的滑槽内运动，使得杆
BE沿套筒 O1滑动，
套筒可绕 O1轴定轴转动，已知?=60o，
=30?，求此时套筒
O1的角加速度。
例 题 9
例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
解,1.运动分析套筒 O1、杆 OA定轴转动，
导杆 BCD沿铅垂直线平动，滑块 A曲线平动，杆
BE一般平面运动。
运动的传递 ----通过可变接触点 A,O1及不变接触点 B。
2.速度分析
（ 1）取动点为滑块 A，动系 e1固连于导杆 BCD（平动动系）。
绝对运动轨迹 — 以 O为圆心的圆周，相对运动轨迹 — 水平直线，
e1的牵连运动 — 铅垂方向直线平动。
e1
例 题 9
例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
由速度合成关系
11 ArAeA vvv
方向Av
1Aev?
1Arv? 大小 l? v
CD? vAr1?
求出
2/3s i n
2/c o s
1
lvv
lvv
AAr
ACD
(?)
(?)
（ 2）取动点为 B点，动系 e2固连于套筒 O1（定轴转动动系），
绝对运动轨迹 — 铅垂方向直线，相对运动轨迹 — 沿 BE的直线，
e2的牵连运动 — 绕 O轴的定轴转动。
e1 e2
O
O1
L
A
B
C D
E?
Av? 1Aev?
1Arv?
例 题 9
例题 § 3 复合运动由速度合成关系
22 BrBeB vvv
方向
大小 vCD O1B·?O1? vBr2?
Bv
2Bev
2Brv?
求出
L
l
L
l
v
L
v
L
v
CDO
CDOBe
8
3
c o s
2
c o s
c o s
c o s
2
2
1
12
(?)
4s in2
lvv
CDBr
(?)
O1 e2
e1
O
O1
L
A
B
C D
E?
例 题 9
例题 § 3 复合运动
3.加速度分析
（ 1）对动点 A、动系 e1
111 crenAAA aaaaaa
方向
0 0
大小 l
n
Aa
1ea
1ra?
求得
22
1 2
360s i ns i n llaaa n
ACDe
(?)
故 B点 2
1 2
3?laa
eB
(?)e1 e2
例 题 9
例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
n
Aa
1ea
1ra?
（ 2）对动点 B、动系 e2
2222 crneeB aaaaa
方向
大小? O1B·?O1? O1B ·?2O1? 2·?O1 ·vBr2
Ba?
nea2?
2ea?
2ra?
2ca?
O1
在?方向投影，可求得
)32 338 33(21 LlLlO
（?）
O1
e2e1
2Brv
