工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 39)
（下册）
§ 21 达朗贝尔原理
§ 21.1 惯性力的概念动力学问题动能定理动量定理动量矩定理运动学关系两点速度、
加速度关系复合运动联立求解静力学问题平衡方程
0 RF?
0 OM?
达朗贝尔原理
（动静法）
惯性力 —— 人为引入的假想力，
无施力者，与观察者有关，与真实力同样有运动、变形效应。
1.第一类惯性力在非惯性系中引入,使牛顿第二定律形式上仍成立,
2.第二类惯性力在惯性系中引入,使动力学形式上转化为静力学问题,
)( cre aaamamF
其中：牵连惯性力、科氏惯性力
x
y
z
x’
y’
z’
m
F?
a?
x
y
z
m
F?
a?
NF
在非惯性系中
rce amamamF
)()( (21.1)
amFF N
(21.2)
0)( amFF N
(21.3)
amF I达朗贝尔惯性力 （ 21.4）
0)( amFF N
(21.3)
amF I
达朗贝尔惯性力 （ 21.4）
0 IN FFF
(21.5)共点力系平衡方程质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力组成一个形式上的平衡共点力系。
§ 21.2 达朗贝尔原理
x
y
z
m
F?
a?
NF
1.质点的达朗贝尔原理
iiIi amF
达朗贝尔惯性力 （ 21.7）
0 IiNii FFF
(21.8)n个平衡的共点力系质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。
2,质点系的达朗贝尔原理
0)( iiNii amFF (21.6)
对质点系中任意质点
0)(
i
Ii
i
e
i FF
达朗贝尔原理平衡方程
0)()( )(
i
IiA
e
i
i
A FMFM
（ 21.9)
其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。
0)(
i
Ii
i
e
i FF
达朗贝尔原理平衡方程
0)()( )(
i
IiA
e
i
i
A FMFM
（ 21.9)
0)( IReR FF达朗贝尔原理平衡方程
0)( IAeA MM
（ 21.9)’
记：
i
e
i
e
R FF
)()(
i
IiIR FF
i
IiAIA FMM )(
i
e
iA
e
A FMM )(
)()(
达朗贝尔原理的平衡方程中，矩方程的矩心 A点可以任意选取。
§ 21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化
—— 简化为一等效力系（主矢 +主矩）
1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化
(1)达朗贝尔惯性力系的主矢
c
i
ii
i
IiIR amamFF
)(
0)(
i
Ii
i
e
i FF
代入即质心运动定理 ci
e
i
e
R amFF
)()(
m----质点系（刚体）的总质量
----质点系（刚体）质心 C的加速度
Ca
（ 21.10）
cIR amF
达朗贝尔惯性力系主矢
（ 21.10）
cIR amF
达朗贝尔惯性力系主矢
(2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的 O点的主矩：
iiiIiOIO amrFmM
根据
iiiiiiO amrvmrdtddtLd
dt
LdM O
IO
达朗贝尔惯性力系对固定的 O点主矩：
(21.11)
由 (21.9)’第 2式，令 A点为 O点：
0Ie OO MM
dt
LdM Oe
O
)(
对固定点 O的动量矩定理
(3)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C（可为动点）的主矩：
利用对不同点的动量矩之关系：
CCO vmOCLL
求导，并利用
Cvdt
OCd
t
vmOCvm
t
OC
t
L
t
L C
C
CO
d
d
d
d
d
d
d
d
t
vmOCvvm
t
L C
CC
C
d
d
d
d
C
CO amOC
t
L
t
L
d
d
d
d
x
y
z
C
ir
ir?
Cr
im
O
ia
Cv?
C
CO amOC
t
L
t
L
d
d
d
d
t
LM O
O d
d
I
cIR amF由于根据力系对不同点主矩之关系，有：
IRICIO FOCMM
iCn
i
C FMM I
1
I
e
1
e
iC
n
i
C FMM
由定义由 (21.9)’第 2式，令 A点为质心 C点：
x
y
z
C
ir
ir?
Cr
im
O
ia
Cv?
0Ie CC MMe
d
d
C
C M
t
L 对质心 C的动量矩定理
t
LM C
IC d
d
(21.12)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C的主矩：
（ 21.10）
cIR amF
达朗贝尔惯性力系主矢达朗贝尔惯性力系对固定点 O的主矩 dtLdM OIO （ 21.11）
达朗贝尔惯性力系对 质心 C的主矩 dtLdM CIC （ 21.12）
等效于对质点系质心 C的动量矩定理
dt
LdM C
IC
dt
LdM O
IO
等效于质点系对固定点 O的动量矩定理
cIR amF
等效于质点系的质心运动定理质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果
2.平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化若平面运动的刚体具有质量对称面，且质量对称面沿自身所在平面运动，此时 的方向恒垂直于其质量对称面，且 CL
CC JL?
可用代数量表示,?
CC JL?
（ 转向与 相同）
CL
C
Ca
dt
LdM C
IC
cIR amF
由质点系达朗贝尔惯性力系向质心 C
的简化结果：
得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果：
CIC JMCIC amF （ 21.13）
CIC JMCIC amF （ 21.13）
或：
CIC JM
CIC amF
（ 21.13）
（ 转向与 转向相反）
ICM
C
Ca
ICF
ICM
平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果：
对刚体平面运动的特例（平面平移、定轴转动），
达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便：
（ 1）刚体平面平移
C Ca?IC
F?
由于,0 0
0, ICCIC MamF
（ 21.14）
仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢,
此结果也适用于刚体作空间平移运动。
（ 2）刚体定轴转动
O
C
Ca?
nCa?
ICF?
nICF?
nCCC aaa nICICIC FFF
a.达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果为：
nnI CC amF
(21.15)
CC amFI
CIC JM
ICM
b.达朗贝尔惯性力系向转轴 O简化的结果为：
nnI CO amF
(21.15)
CO amFI
OIO JM
O
C
Ca?
nCa?
IOF?
nIOF?
惯性力系向转轴 O简化
IOM
惯性力系向质心 C简化
O
C
Ca?
nCa?
ICF?
nICF?ICM
（ 1）定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系的这两种简化方法是等价的，最容易犯的错误是，将达朗贝尔惯性力画在质心上，而将达朗贝尔惯性力偶按定轴 O，
即式 写出。
OIC JM
注意
（ 2）以上图示表示达朗贝尔惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩时，其大小不要再将对应矢量式前的,负号,带入，因为
,负号,所表示的方向（或转向）已在图中标出。以后在列写平衡方程时，就是按图示方向（或转向）来列写的。
惯性力系向质心 C简化
O
C
Ca?
nCa?
ICF?
nICF?ICM
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题均质轮 C，半径 r，质量 m，
在半径为 R 的固定圆轮上纯滚动，,已知，均质杆 OC长 R+r，质量 M,均质杆 CA长 l，质量 m，若
l=3r,R=4r,给出该刚体系统达朗贝尔惯性力系的简化结果。
R
r
C
O
A
R
r
C
O
A
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题解,设杆 OC的质心为 B
杆 AC的质心为 D
B
D
轮 C一般平面运动，杆 OC定轴转动，杆 AC定轴转动。Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
1,运动学关系轮 C, ra C?
2
22
5
)(
r
rR
rva Cn
C
杆 OC：
5
rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
OC
(?)
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题杆 OC：
5
rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
OC
(?)
252
5
2
rrrRa
OCB
10)5(2
5
2
2
22 rrrRa
OC
n
B
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
OC?
OC?
R
r
C
O
A
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
杆 AC：
5
rR
v C
AC
(?)
5
AC
(?)
10
73
52
73 rrODa
ACD
50
73)
5(2
73 222 rrODa
AC
n
D
rrrlROD 2734916)2(
2
222
AC?
AC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题
2.惯性力系简化结果
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
OC?
OC?
OC?
OC?
（ 1）轮 C，向其质心 C简化：
mrF IC?
5
2?mr
F nIC?
2
2?
mrJM CIC
（方向如图）
（ 2）杆 OC，向其质心 B简化：
2
rMF
IB? 10
2?r
MF nIB?
12
5
12
)( 22 MrrRMM
OCIB
方向如图
raC?
25?ranC?
2
ra
B? 10
2?ran
B?
5
OC
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题
（ 3）杆 AC，向其质心 D简化：
mrF ID 1073?
2
50
73?mrF n
ID?
2
2
20
3
12
)3( mrrmM
ACID
方向如图
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
OC?
OC?
OC?
OC?
5
AC
10
73 ra
D? 50
73 2?ra n
D?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题此题易错处之一：
将定轴转动杆（如杆 OC）的 达朗 贝尔 惯性力作用点画在杆的质心处，而将惯性力偶矩写为：
OCOIC JM
或将惯性力画在 O点，
惯性力偶矩写为：
OCCIO JM
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
OC?
OC?
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题此题易错处之二：
将纯滚动轮的 达朗 贝尔 惯性力作用点画在杆的质心处，而将惯性力偶矩写为：
PIC JM?
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
OC?
OC?
OC?
OC?
正确做法是：将惯性力画在轮的速度瞬心
P点，惯性力偶矩才可写为：
PIP JM?
§ 21.4 动静法及应用
（ 1）明确研究对象；
（ 2）正确进行受力分析，画出研究对象上所有主动力和外约束力；
（ 3）正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系；
（ 4）根据刚化公理，把研究对象刚化在该瞬时位置上；
（ 5）应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上的动态“平衡”方程（动态的含义是因为这些方程实质上是含运动学特征量的动力学方程）；
（ 6）解“平衡”方程。
用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤：
利用 达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法求解动力学问题 —— 动静法。
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题如图所示一半径为,质量为 的均质圆盘通过光滑销钉 A,B连接一长度为,质量为 均质细杆 AD，已知系统在力偶矩为 的主动力偶的作用下绕圆盘中心的光滑轴 O以匀角速度 转动。若,,。
当系统转至图示位置（点 O,A和 D在同一水平线上）时，
突然拔去销钉 B，试求该瞬时杆 AD的角加速度和 O处约束力。
l
r2 1m
2m
tM
12 2mm? rl 4? rOA
A BO D
tM
C
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题
A BO D
tM
C
解,分析,系统在铅垂面内匀角速度转动，主动力偶矩必定随时间变化。 当销钉 B突然 拔去后的瞬间,主动力偶 和两刚体的 角速度 都与拔去前的瞬间相同，但两刚体均有 角加速度 。
（ 1）在未拔销钉 B时求 M(t)
在突然 拔去销钉 B前的瞬间,
取整体为研究对象，画出受力图。
gm?1 gm?
2
OxF
OyF
由达朗贝尔原理知：
:0OM 022 rrgmM
grmM 16? （ 1）
以 O为原点建立坐标系 Oxy，
此时，系统的 达朗贝尔惯性力系向 O点简化结果为过 O点的一个力。
x
y
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题
（ 2） 当拔去销钉 B后的瞬间,
设圆盘和杆的角加速度分别为,,转向均为顺时针。
1? 2?
先取整体为研究对象，画出受力图（将此瞬时达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化）。
A BO D
tM
C
gm?1 gm?2OxF
OyF
x
y
1?
2?
nAa?
Aa?
为求杆质心 C的加速度，由 A,C两点加速度关系：
nCACAnAAC aaaaa
1?r 2?r 22?r 22?r？
？
nCAaCAa?
222 32 rrra Cx
21 2 rra Cy
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题
A BO D
tM
C
gm?1 gm?2OxF
OyF
x
y
1?
2?
nAa?
Aa?
nCAaCAa?
CMI
xICF
yICF
222 32 rrra Cx 21 2 rra Cy
OMI
达朗贝尔惯性力的简化结果为：
11
2
1
21 2)2(
2 mrr
mM
IO
2122 63 rmrmF xIC
)2(2)2( 211212 rmrmF yIC
21
2
2
22
3
8)4(
12 mrr
mM
IC
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题由达朗贝尔原理列出平衡方程：
:0xF 0I xCOx FF
(2)
:0yF 0I21 yCOy FgmgmF
(3)
A BO D
tM
C
gm?1 gm?2OxF
OyF
x
y
1?
2?
CMI
xICF
yICF
OMI
:0OM 022III rrgmFMMM yCCO
(4)
例 题 21-2
§ 21 达朗贝尔原理?例题
A BO D
tM
C
gm?1 gm?2OxF
OyF
x
y
1?
2?
CMI
xICF
yICF
OMI
0I xCOx FF (2)
0I21 yCOy FgmgmF (3)
022III rrgmFMMM yCCO (4)
grmM 16? （ 1）
A DC
gm?2
AxF
AyF
CMI
xICF
yICF再取杆 AD为研究对象，画受力图，
由达朗贝尔原理知：
022II rgmFM yCC (5):0AM
gr5111 gr562 216?rmF Ox gmF Oy 1513?
联立（ 1） — （ 5），得：
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O
A
B
60
OA杆长 l,质量为 m,AB为一刚度系数为 k 的弹簧，系统从图示初始位置由静止进入运动，设初始位置弹簧的伸长量为 l,不计弹簧的质量和各处的摩擦，求杆 OA转至水平位置的瞬时，杆 OA的角速度、
角加速度及 O处的约束力。
O
A
B
60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题解,系统仅重力、弹性力作功，
机械能守恒：
1122 VTVT
初始,0
1?T
222
1
2
2
2
11
kllmgklmgV
取 O点为重力势能零点，弹簧原始长度为弹性势能零点。
2
2
2
2 62
1 mlJT
O
杆 OA定轴转动，设杆水平时角速度为,则：?
22
22 2
1
2
1 klkV
A
60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O
B
A
60
代入机械能守恒式中，得：
2226
22
2
2 kll
mgklml
l
g3 （?）
设杆水平时的角加速度为
杆 OA此瞬时的 达朗贝尔惯性力向质心 C简化：
C
ICF?
nICF?
ICM
2lmmaF CIC 232 2 mglmmaF nCnIC
12
2ml
JM CIC
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O
B
A
60
C
ICF?
nICF?
ICM
2lmmaF CIC
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC
12
2ml
JM CIC
取杆 OA为分离体，画出受力图
O AC
ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
OyF
AF
对杆 OA
0 OM
060s i n2)( lFlmgFM AICIC?
其中弹簧力 klF
A?
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O
B
A
60
C
ICF?
nICF?
ICM
O AC
ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
OyF
AF
2lmmaF CIC
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC
12
2ml
JM CIC
060s i n2)( lFlmgFM AICIC?
其中弹簧力
klF A?
02 32)2(12
2
lkllmgmlml
ml
klmg
2
)3(3 (?)
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O AC
ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
OyF
AF
2lmmaF CIC
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC
12
2ml
JM CIC
其中弹簧力
klF A?
0 xF 060co s AnICOx FFF
22
360c o s klmgFFF
A
n
ICOx
负号表示（?）
0 yF 060s i n AICOy FmgFF?
60s i nAICOy FmgFF?
klmgklmgml klmgml 4 342 32 )3(32 (?)
对 OA列 x,y方向的平衡方程：
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
A B
杆 AB长 l,质量为 m，圆轮半径为 r，质量为 m，地面光滑，杆 AB从水平位置无初速释放，求杆 AB运动到铅垂位置时，（ 1） A点的速度和 AB杆的角速度。（ 2） A点的加速度和 AB杆的角加速度。（ 3）
地面对圆轮的支持力。
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题解,画出整体受力图和圆轮的受力图分析圆轮的受力，圆轮外力均过质心 A，故对质心动量矩守恒：
000 AAAAAA JLJL
0 A? 圆轮为平动
A
B
C
（ 2）当 AB杆运动到铅垂时，
设杆的角速度为,圆轮 A
点的速度为,AB
Av?
AB?
Av?
CAv
Cv?由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
A BC
gm? gm?
NF
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
AABCAAC v
lvvv
2
投影,(?)
系统整体仅受铅垂方向外力，
故水平方向动量守恒：
00 pmvmvp CA
0)2( AABA vlv?
l
v A
AB
4 (?)
A BC
gm? gm?
NF
A
B
C
AB?
Av?
CAv
Cv?
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
l
v A
AB
4 (?)
(3)系统仅受重力，机械能守恒设点 A处为势能零点，则：
011 VT初始位置：
杆铅垂位置：
22
2
2
2
222
2
3
5
1222
)
2
(
2
222
AAB
AAB
A
ABCCA
mv
ml
v
l
m
mv
Jmvmv
T
2
2
lmgV
AABC v
lv
2
A BC
gm? gm?
NF
A
B
C
AB?
Av?
CAv
Cv?
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
011 VT初始位置：
杆铅垂位置：
23
5 2
22
lmgmvVT
A
23
5 2 m g lmv
A
10
3 glv
A?
(?)
l
ggl
ll
v A
AB 5
24
10
344
(?)
A BC
gm? gm?
NF
A
B
C
AB?
Av?
CAv
Cv?
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
A
B
C
AB?
Aa?
Ca
(4) 取杆 AB为分离体，设杆 AB的角加速度
AB?
A
B
C
AB?
AyF
AxF
ICF?n
ICF
ICM
画出受力图：
由 A,C两点的加速度关系：
nCACAAnCCC aaaaaa
CAa?
nCAa?
n
Ca
投影：
AABACAC a
laaa
2
gl gllaa ABnCAnC 51252422 2
)2( AABIC almF 512 mgF nIC? ABIC
mlM?
12
2
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
gm?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
(5) 对杆 AB:
)2( AABIC almF
5
12 mgF n
IC? ABIC
mlM?
12
2
0 AM 0
2
lFM
ICIC
02)2(12
2
lalmml AABAB
l
a A
AB 2
3 (?)
(1)
0 nICAy FmgF对杆 0 yF
A
B
C
AB?
gm?
AyF
AxF
ICF?n
ICF
ICM
mgmgmgF Ay 517512 (?)
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
A
B
C
AB?
Aa?
Ca
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
AxF
xICF?y
ICF
ICM
CAa?
nCAa?
n
Ca
0212
2
lFml AxAB?
l
a A
AB 2
3 (1)
02 lFM AxIC
6
AB
Ax
mlF (2)
0 CM对杆：
(3)0
xF 0 IAAx FF
IAF
0 AyN FmgF0 yF
(4)
对轮,达朗贝尔 惯性力
AIA maF?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
A
B
C
AB?
Aa?
Ca
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
AxF
xICF?y
ICF
ICM
CAa?
nCAa?
n
Ca
A
gm?
NF
AxF
AyF
IAF
l
a A
AB 2
3 (1)
6
AB
Ax
mlF (2)
(3)
0 AAx maF
0 AyN FmgF
(4)
mgF Ay 517?
(?)
mgmgmgF N 522517 (?)
0?Aa 0?AB?
联立，可求得：
0?AxF
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 39)
（下册）
§ 21 达朗贝尔原理
§ 21.1 惯性力的概念动力学问题动能定理动量定理动量矩定理运动学关系两点速度、
加速度关系复合运动联立求解静力学问题平衡方程
0 RF?
0 OM?
达朗贝尔原理
（动静法）
惯性力 —— 人为引入的假想力，
无施力者，与观察者有关，与真实力同样有运动、变形效应。
1.第一类惯性力在非惯性系中引入,使牛顿第二定律形式上仍成立,
2.第二类惯性力在惯性系中引入,使动力学形式上转化为静力学问题,
)( cre aaamamF
其中：牵连惯性力、科氏惯性力
x
y
z
x’
y’
z’
m
F?
a?
x
y
z
m
F?
a?
NF
在非惯性系中
rce amamamF
)()( (21.1)
amFF N
(21.2)
0)( amFF N
(21.3)
amF I达朗贝尔惯性力 （ 21.4）
0)( amFF N
(21.3)
amF I
达朗贝尔惯性力 （ 21.4）
0 IN FFF
(21.5)共点力系平衡方程质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力组成一个形式上的平衡共点力系。
§ 21.2 达朗贝尔原理
x
y
z
m
F?
a?
NF
1.质点的达朗贝尔原理
iiIi amF
达朗贝尔惯性力 （ 21.7）
0 IiNii FFF
(21.8)n个平衡的共点力系质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。
2,质点系的达朗贝尔原理
0)( iiNii amFF (21.6)
对质点系中任意质点
0)(
i
Ii
i
e
i FF
达朗贝尔原理平衡方程
0)()( )(
i
IiA
e
i
i
A FMFM
（ 21.9)
其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。
0)(
i
Ii
i
e
i FF
达朗贝尔原理平衡方程
0)()( )(
i
IiA
e
i
i
A FMFM
（ 21.9)
0)( IReR FF达朗贝尔原理平衡方程
0)( IAeA MM
（ 21.9)’
记：
i
e
i
e
R FF
)()(
i
IiIR FF
i
IiAIA FMM )(
i
e
iA
e
A FMM )(
)()(
达朗贝尔原理的平衡方程中，矩方程的矩心 A点可以任意选取。
§ 21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化
—— 简化为一等效力系（主矢 +主矩）
1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化
(1)达朗贝尔惯性力系的主矢
c
i
ii
i
IiIR amamFF
)(
0)(
i
Ii
i
e
i FF
代入即质心运动定理 ci
e
i
e
R amFF
)()(
m----质点系（刚体）的总质量
----质点系（刚体）质心 C的加速度
Ca
（ 21.10）
cIR amF
达朗贝尔惯性力系主矢
（ 21.10）
cIR amF
达朗贝尔惯性力系主矢
(2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的 O点的主矩：
iiiIiOIO amrFmM
根据
iiiiiiO amrvmrdtddtLd
dt
LdM O
IO
达朗贝尔惯性力系对固定的 O点主矩：
(21.11)
由 (21.9)’第 2式，令 A点为 O点：
0Ie OO MM
dt
LdM Oe
O
)(
对固定点 O的动量矩定理
(3)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C（可为动点）的主矩：
利用对不同点的动量矩之关系：
CCO vmOCLL
求导，并利用
Cvdt
OCd
t
vmOCvm
t
OC
t
L
t
L C
C
CO
d
d
d
d
d
d
d
d
t
vmOCvvm
t
L C
CC
C
d
d
d
d
C
CO amOC
t
L
t
L
d
d
d
d
x
y
z
C
ir
ir?
Cr
im
O
ia
Cv?
C
CO amOC
t
L
t
L
d
d
d
d
t
LM O
O d
d
I
cIR amF由于根据力系对不同点主矩之关系，有：
IRICIO FOCMM
iCn
i
C FMM I
1
I
e
1
e
iC
n
i
C FMM
由定义由 (21.9)’第 2式，令 A点为质心 C点：
x
y
z
C
ir
ir?
Cr
im
O
ia
Cv?
0Ie CC MMe
d
d
C
C M
t
L 对质心 C的动量矩定理
t
LM C
IC d
d
(21.12)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C的主矩：
（ 21.10）
cIR amF
达朗贝尔惯性力系主矢达朗贝尔惯性力系对固定点 O的主矩 dtLdM OIO （ 21.11）
达朗贝尔惯性力系对 质心 C的主矩 dtLdM CIC （ 21.12）
等效于对质点系质心 C的动量矩定理
dt
LdM C
IC
dt
LdM O
IO
等效于质点系对固定点 O的动量矩定理
cIR amF
等效于质点系的质心运动定理质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果
2.平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化若平面运动的刚体具有质量对称面，且质量对称面沿自身所在平面运动，此时 的方向恒垂直于其质量对称面，且 CL
CC JL?
可用代数量表示,?
CC JL?
（ 转向与 相同）
CL
C
Ca
dt
LdM C
IC
cIR amF
由质点系达朗贝尔惯性力系向质心 C
的简化结果：
得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果：
CIC JMCIC amF （ 21.13）
CIC JMCIC amF （ 21.13）
或：
CIC JM
CIC amF
（ 21.13）
（ 转向与 转向相反）
ICM
C
Ca
ICF
ICM
平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果：
对刚体平面运动的特例（平面平移、定轴转动），
达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便：
（ 1）刚体平面平移
C Ca?IC
F?
由于,0 0
0, ICCIC MamF
（ 21.14）
仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢,
此结果也适用于刚体作空间平移运动。
（ 2）刚体定轴转动
O
C
Ca?
nCa?
ICF?
nICF?
nCCC aaa nICICIC FFF
a.达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果为：
nnI CC amF
(21.15)
CC amFI
CIC JM
ICM
b.达朗贝尔惯性力系向转轴 O简化的结果为：
nnI CO amF
(21.15)
CO amFI
OIO JM
O
C
Ca?
nCa?
IOF?
nIOF?
惯性力系向转轴 O简化
IOM
惯性力系向质心 C简化
O
C
Ca?
nCa?
ICF?
nICF?ICM
（ 1）定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系的这两种简化方法是等价的，最容易犯的错误是，将达朗贝尔惯性力画在质心上，而将达朗贝尔惯性力偶按定轴 O，
即式 写出。
OIC JM
注意
（ 2）以上图示表示达朗贝尔惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩时，其大小不要再将对应矢量式前的,负号,带入，因为
,负号,所表示的方向（或转向）已在图中标出。以后在列写平衡方程时，就是按图示方向（或转向）来列写的。
惯性力系向质心 C简化
O
C
Ca?
nCa?
ICF?
nICF?ICM
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题均质轮 C，半径 r，质量 m，
在半径为 R 的固定圆轮上纯滚动，,已知，均质杆 OC长 R+r，质量 M,均质杆 CA长 l，质量 m，若
l=3r,R=4r,给出该刚体系统达朗贝尔惯性力系的简化结果。
R
r
C
O
A
R
r
C
O
A
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题解,设杆 OC的质心为 B
杆 AC的质心为 D
B
D
轮 C一般平面运动，杆 OC定轴转动，杆 AC定轴转动。Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
1,运动学关系轮 C, ra C?
2
22
5
)(
r
rR
rva Cn
C
杆 OC：
5
rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
OC
(?)
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题杆 OC：
5
rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
OC
(?)
252
5
2
rrrRa
OCB
10)5(2
5
2
2
22 rrrRa
OC
n
B
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
OC?
OC?
R
r
C
O
A
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
杆 AC：
5
rR
v C
AC
(?)
5
AC
(?)
10
73
52
73 rrODa
ACD
50
73)
5(2
73 222 rrODa
AC
n
D
rrrlROD 2734916)2(
2
222
AC?
AC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题
2.惯性力系简化结果
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
OC?
OC?
OC?
OC?
（ 1）轮 C，向其质心 C简化：
mrF IC?
5
2?mr
F nIC?
2
2?
mrJM CIC
（方向如图）
（ 2）杆 OC，向其质心 B简化：
2
rMF
IB? 10
2?r
MF nIB?
12
5
12
)( 22 MrrRMM
OCIB
方向如图
raC?
25?ranC?
2
ra
B? 10
2?ran
B?
5
OC
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题
（ 3）杆 AC，向其质心 D简化：
mrF ID 1073?
2
50
73?mrF n
ID?
2
2
20
3
12
)3( mrrmM
ACID
方向如图
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
OC?
OC?
OC?
OC?
5
AC
10
73 ra
D? 50
73 2?ra n
D?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题此题易错处之一：
将定轴转动杆（如杆 OC）的 达朗 贝尔 惯性力作用点画在杆的质心处，而将惯性力偶矩写为：
OCOIC JM
或将惯性力画在 O点，
惯性力偶矩写为：
OCCIO JM
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
OC?
OC?
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
例题此题易错处之二：
将纯滚动轮的 达朗 贝尔 惯性力作用点画在杆的质心处，而将惯性力偶矩写为：
PIC JM?
R
r
C
O
A
B
D?Ca?
nCa?
Ba?
nBa?
nDa?
Da?
OC?
OC?
OC?
OC?
正确做法是：将惯性力画在轮的速度瞬心
P点，惯性力偶矩才可写为：
PIP JM?
§ 21.4 动静法及应用
（ 1）明确研究对象；
（ 2）正确进行受力分析，画出研究对象上所有主动力和外约束力；
（ 3）正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系；
（ 4）根据刚化公理，把研究对象刚化在该瞬时位置上；
（ 5）应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上的动态“平衡”方程（动态的含义是因为这些方程实质上是含运动学特征量的动力学方程）；
（ 6）解“平衡”方程。
用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤：
利用 达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法求解动力学问题 —— 动静法。
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题如图所示一半径为,质量为 的均质圆盘通过光滑销钉 A,B连接一长度为,质量为 均质细杆 AD，已知系统在力偶矩为 的主动力偶的作用下绕圆盘中心的光滑轴 O以匀角速度 转动。若,,。
当系统转至图示位置（点 O,A和 D在同一水平线上）时，
突然拔去销钉 B，试求该瞬时杆 AD的角加速度和 O处约束力。
l
r2 1m
2m
tM
12 2mm? rl 4? rOA
A BO D
tM
C
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题
A BO D
tM
C
解,分析,系统在铅垂面内匀角速度转动，主动力偶矩必定随时间变化。 当销钉 B突然 拔去后的瞬间,主动力偶 和两刚体的 角速度 都与拔去前的瞬间相同，但两刚体均有 角加速度 。
（ 1）在未拔销钉 B时求 M(t)
在突然 拔去销钉 B前的瞬间,
取整体为研究对象，画出受力图。
gm?1 gm?
2
OxF
OyF
由达朗贝尔原理知：
:0OM 022 rrgmM
grmM 16? （ 1）
以 O为原点建立坐标系 Oxy，
此时，系统的 达朗贝尔惯性力系向 O点简化结果为过 O点的一个力。
x
y
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题
（ 2） 当拔去销钉 B后的瞬间,
设圆盘和杆的角加速度分别为,,转向均为顺时针。
1? 2?
先取整体为研究对象，画出受力图（将此瞬时达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化）。
A BO D
tM
C
gm?1 gm?2OxF
OyF
x
y
1?
2?
nAa?
Aa?
为求杆质心 C的加速度，由 A,C两点加速度关系：
nCACAnAAC aaaaa
1?r 2?r 22?r 22?r？
？
nCAaCAa?
222 32 rrra Cx
21 2 rra Cy
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题
A BO D
tM
C
gm?1 gm?2OxF
OyF
x
y
1?
2?
nAa?
Aa?
nCAaCAa?
CMI
xICF
yICF
222 32 rrra Cx 21 2 rra Cy
OMI
达朗贝尔惯性力的简化结果为：
11
2
1
21 2)2(
2 mrr
mM
IO
2122 63 rmrmF xIC
)2(2)2( 211212 rmrmF yIC
21
2
2
22
3
8)4(
12 mrr
mM
IC
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
例题由达朗贝尔原理列出平衡方程：
:0xF 0I xCOx FF
(2)
:0yF 0I21 yCOy FgmgmF
(3)
A BO D
tM
C
gm?1 gm?2OxF
OyF
x
y
1?
2?
CMI
xICF
yICF
OMI
:0OM 022III rrgmFMMM yCCO
(4)
例 题 21-2
§ 21 达朗贝尔原理?例题
A BO D
tM
C
gm?1 gm?2OxF
OyF
x
y
1?
2?
CMI
xICF
yICF
OMI
0I xCOx FF (2)
0I21 yCOy FgmgmF (3)
022III rrgmFMMM yCCO (4)
grmM 16? （ 1）
A DC
gm?2
AxF
AyF
CMI
xICF
yICF再取杆 AD为研究对象，画受力图，
由达朗贝尔原理知：
022II rgmFM yCC (5):0AM
gr5111 gr562 216?rmF Ox gmF Oy 1513?
联立（ 1） — （ 5），得：
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O
A
B
60
OA杆长 l,质量为 m,AB为一刚度系数为 k 的弹簧，系统从图示初始位置由静止进入运动，设初始位置弹簧的伸长量为 l,不计弹簧的质量和各处的摩擦，求杆 OA转至水平位置的瞬时，杆 OA的角速度、
角加速度及 O处的约束力。
O
A
B
60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题解,系统仅重力、弹性力作功，
机械能守恒：
1122 VTVT
初始,0
1?T
222
1
2
2
2
11
kllmgklmgV
取 O点为重力势能零点，弹簧原始长度为弹性势能零点。
2
2
2
2 62
1 mlJT
O
杆 OA定轴转动，设杆水平时角速度为,则：?
22
22 2
1
2
1 klkV
A
60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O
B
A
60
代入机械能守恒式中，得：
2226
22
2
2 kll
mgklml
l
g3 （?）
设杆水平时的角加速度为
杆 OA此瞬时的 达朗贝尔惯性力向质心 C简化：
C
ICF?
nICF?
ICM
2lmmaF CIC 232 2 mglmmaF nCnIC
12
2ml
JM CIC
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O
B
A
60
C
ICF?
nICF?
ICM
2lmmaF CIC
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC
12
2ml
JM CIC
取杆 OA为分离体，画出受力图
O AC
ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
OyF
AF
对杆 OA
0 OM
060s i n2)( lFlmgFM AICIC?
其中弹簧力 klF
A?
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O
B
A
60
C
ICF?
nICF?
ICM
O AC
ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
OyF
AF
2lmmaF CIC
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC
12
2ml
JM CIC
060s i n2)( lFlmgFM AICIC?
其中弹簧力
klF A?
02 32)2(12
2
lkllmgmlml
ml
klmg
2
)3(3 (?)
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
例题
O AC
ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
OyF
AF
2lmmaF CIC
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC
12
2ml
JM CIC
其中弹簧力
klF A?
0 xF 060co s AnICOx FFF
22
360c o s klmgFFF
A
n
ICOx
负号表示（?）
0 yF 060s i n AICOy FmgFF?
60s i nAICOy FmgFF?
klmgklmgml klmgml 4 342 32 )3(32 (?)
对 OA列 x,y方向的平衡方程：
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
A B
杆 AB长 l,质量为 m，圆轮半径为 r，质量为 m，地面光滑，杆 AB从水平位置无初速释放，求杆 AB运动到铅垂位置时，（ 1） A点的速度和 AB杆的角速度。（ 2） A点的加速度和 AB杆的角加速度。（ 3）
地面对圆轮的支持力。
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题解,画出整体受力图和圆轮的受力图分析圆轮的受力，圆轮外力均过质心 A，故对质心动量矩守恒：
000 AAAAAA JLJL
0 A? 圆轮为平动
A
B
C
（ 2）当 AB杆运动到铅垂时，
设杆的角速度为,圆轮 A
点的速度为,AB
Av?
AB?
Av?
CAv
Cv?由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
A BC
gm? gm?
NF
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
AABCAAC v
lvvv
2
投影,(?)
系统整体仅受铅垂方向外力，
故水平方向动量守恒：
00 pmvmvp CA
0)2( AABA vlv?
l
v A
AB
4 (?)
A BC
gm? gm?
NF
A
B
C
AB?
Av?
CAv
Cv?
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
l
v A
AB
4 (?)
(3)系统仅受重力，机械能守恒设点 A处为势能零点，则：
011 VT初始位置：
杆铅垂位置：
22
2
2
2
222
2
3
5
1222
)
2
(
2
222
AAB
AAB
A
ABCCA
mv
ml
v
l
m
mv
Jmvmv
T
2
2
lmgV
AABC v
lv
2
A BC
gm? gm?
NF
A
B
C
AB?
Av?
CAv
Cv?
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
011 VT初始位置：
杆铅垂位置：
23
5 2
22
lmgmvVT
A
23
5 2 m g lmv
A
10
3 glv
A?
(?)
l
ggl
ll
v A
AB 5
24
10
344
(?)
A BC
gm? gm?
NF
A
B
C
AB?
Av?
CAv
Cv?
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
A
B
C
AB?
Aa?
Ca
(4) 取杆 AB为分离体，设杆 AB的角加速度
AB?
A
B
C
AB?
AyF
AxF
ICF?n
ICF
ICM
画出受力图：
由 A,C两点的加速度关系：
nCACAAnCCC aaaaaa
CAa?
nCAa?
n
Ca
投影：
AABACAC a
laaa
2
gl gllaa ABnCAnC 51252422 2
)2( AABIC almF 512 mgF nIC? ABIC
mlM?
12
2
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
gm?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
(5) 对杆 AB:
)2( AABIC almF
5
12 mgF n
IC? ABIC
mlM?
12
2
0 AM 0
2
lFM
ICIC
02)2(12
2
lalmml AABAB
l
a A
AB 2
3 (?)
(1)
0 nICAy FmgF对杆 0 yF
A
B
C
AB?
gm?
AyF
AxF
ICF?n
ICF
ICM
mgmgmgF Ay 517512 (?)
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
A
gm?
NF
AxF
AyF
′
′
A
B
C
AB?
Aa?
Ca
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
AxF
xICF?y
ICF
ICM
CAa?
nCAa?
n
Ca
0212
2
lFml AxAB?
l
a A
AB 2
3 (1)
02 lFM AxIC
6
AB
Ax
mlF (2)
0 CM对杆：
(3)0
xF 0 IAAx FF
IAF
0 AyN FmgF0 yF
(4)
对轮,达朗贝尔 惯性力
AIA maF?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
例题
A
B
C
AB?
Aa?
Ca
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
AxF
xICF?y
ICF
ICM
CAa?
nCAa?
n
Ca
A
gm?
NF
AxF
AyF
IAF
l
a A
AB 2
3 (1)
6
AB
Ax
mlF (2)
(3)
0 AAx maF
0 AyN FmgF
(4)
mgF Ay 517?
(?)
mgmgmgF N 522517 (?)
0?Aa 0?AB?
联立，可求得：
0?AxF
