工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 30)
（下册）
§ 16 静不定结构
§ 16.1 概述
（ 1）强度高，刚度大。
P
2
l
2
l
A B
P
l
maxM
为相应静定结构的
8
3
maxw 为相应静定结构的
33
1
例如：
静不定静定静不定结构的特点：
（ 2）安全系数高
（ 3）结构中任意一部分构件的刚度变化会造成结构中的内力重新分布
（ 4）静不定结构会产生温度应力和装配应力温度应力装配应力
1.静不定结构和静不定次数内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的内力 。
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的约束力。
“多余约束,,并非维持结构的平衡所必需的约束。
A B
注意,多余约束力对维持平衡是多余的,但对工程实际并不多余,是为提高强度,刚度而加上去的 。
A B
C D
AB梁中 B端可动铰支座，桁架中的 CB杆称为多余约束，相应约束力或内力为“多余约束力”。
外静不定次数 =全部约束力个数 -独立的平衡方程数
=多余约束力个数静不定次数的判断：
（ 1） 外静不定结构
（ 2） 内静不定结构将结构切开一个或 n个截面 ——去掉内部多余约束使其变成静定的,则切开截面上内力分量的总数就是内静不定次数 。
切开截面内力分量的总数 =该截面内部多余约束数
（ a） 切开一个链杆 （ 二力杆 ）,只有 FN,相当于去掉 1个多余约束 。
P
（ b）切开一个单铰，有 2个内力分量,FN,FS
相当于去掉 2个多余约束。
P P
P
NF
NF
SF
NF SF
NF
（ c）切开一处刚性联结，有 3个内力分量 FN,FS,M，
相当于去掉 3个多余约束。
（ d）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉 1个多余约束（静不定次数减 1)。
F
平面问题，多一个闭合框架，就多 3次静不定。
单铰 ----连接 2杆,n次复铰 ----连接 n+1杆
n次复铰 =n个单铰
F
FN
FNFS
FS
M
(3) 内外混合静不定静不定次数 =外静不定次数 +内静不定次数
=多余约束数 （ 内外多余约束数 ）
=多余未知力个数 （ 约束力和内力 ）
=未知力个数 -平衡方程数
(e)桁 架结构杆数 S,节点数 n,若 S=2n-3 静定桁 架若 S>2n-3 静不定桁 架A B
C D S=6,n=4,6-(2× 4-3)=1次静不定例
1次静不定 4次静不定
1次静不定 0次静不定 =静定基本静定系,去掉原载荷,只考虑结构本身解除多余约束后得到的静定结构,称为原结构的基本静定系 。
相当系统,在基本静定系上，用相应的多余约束力代替被解除的多余约束，并加上原载荷，
则称为相当系统。
“相当,,相当系统的受力变形状态与原静不定结构完全相同。
1,基本静定系和相当系统
§ 16.2 力法求解静不定结构
m
（基本静定系 1）
（相当系统 1）
1X
m
基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
（基本静定系 2）
（相当系统 2）
1X
m
P
3X
2X
1X
P
3X2X
1XP
1X
2X
3X
（相当系统 5）（相当系统 4）（相当系统 3）
P P
1X
2X 3X
（相当系统 1） （相当系统 2）
P
1X
2X
3X
3次静不定
（ 2）位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方程，从而通过求解未知位移来求解多余未知力。
（ 1）力法：以多余未知力为基本未知量，将位移表示为未知力的函数，然后按位移协调条件建立方程，从而解出多余未知力。
本章重点,力法
2.求解静不定结构方法（三条件法）
F
A B
F
1X
F
BFw
1 静不定次数,1次
2 静定基和相当系统
01 BXBFB www
3 位移协调条件（保证相当系统在多余约束处的位移与原静不定系统相同）
3.力法求解简单静不定结构
1BXw
1X
EIFlw BF 485 3
EIlXw BX 3 31
1
物理条件代入位移协调方程，求解多余未知力
5
1X
FX 1651
∴
4 物理条件：位移表达为力的函数
F
BFw
1BXw
1X
01 BXBFB www 0
348
5 313
EI
lX
EI
Fl
可用图乘法计算
2） 求出后，原静不定系统就相当于在 F及共同作用下的静定梁（相当系统）,进而可按静定梁的方法求内力、作内力图、求应力和变形、
进行强度和刚度计算。
1X 1X
1） 即为原静不定结构 B端的约束力 。
A端的 3个约束力可由静力平衡方程求出。1
X
F
1X
F
A B
相当系统原静不定系统讨论：
将上例中的位移协调方程改写一下：
BBFBX www1
1?B （ B是 作用处）1X
11 1 XBXw
力与位移成线性关系
111X?
==============
FBFw 1
1Bw
则 ---- 力法正则方程
11111 FX
§ 16.3 力法正则方程
11111 FX
（ 16.1)力法正则方程
11?
——相当系统仅作用 X1 =1时，在 X1 作用点处 沿 X1 方向的广义位移。
F1? ——相当系统仅作用原载荷时，在 X1 作用点处 沿 X1 方向的广义位移。
1? ——静不定系统在 1处 沿 X1 方向的原有广义位移。 （一般为 = 0 ）
1?
双下标 ——第一下标表示位移发生地点，第二下标表示引起位移的原因。
若为二次静不定,2个多余约束，
2个多余未知力 X1,X2
22222221
11212111
F
F
XX
XX (16.2)
q
A B C
X1 X2
q
n次静不定：
iiFj
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n
nnFnnnnn
Fnn
Fnn
XXX
XXX
XXX
2211
222222121
111212111
(16.3)
说明,（ 1）系数 组成 n阶方阵
ij?
nnnn
n
n
21
22221
11211 主系数 恒为正
ii?
（ i=1,2,…,n ）
副系数
jiij
)( ji?
可正可负可为零
（位移互等定理）
iiFj
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n
nnFnnnnn
Fnn
Fnn
XXX
XXX
XXX
2211
222222121
111212111
(16.3)
（ 2）自由项
iF?
可正可负可为零
（ 3）右端项
i?
原静不定系统在多余约束处的位移 —多数为零
（ 4）系数 及自由项 的求法：
iF?ij?
即根据其物理意义在相当系统上求一系列位移：
ij?
为仅有 Xj = 1 作用时，相当系统在 Xi作用点处的位移
iF?
为仅有原载荷作用时，相当系统在 Xi作用点处的位移图乘法例如：
X1
FF
l l
1 F
F1?
X1=1
11?
（ 5）解出全部多余未知力 Xi后，在相当系统上进一步可求其它约束力、内力、应力、位移等。
（ 6）求静不定系统上某点位移，可用单位载荷法
——单位载荷加在相当系统的该点上单位载荷加在原静不定系统的该点上例如：求内力可用叠加法
i
n
i
iF MXMM?
1
1次静不定正则方程：
11111 FX
画出原载荷作用下的弯矩图 图
FM
及仅有 X1 = 1 作用下的弯矩图 图
1M
例 题 16-1 § I6 静不定结构
例题求解图示静不定系统。
解：
F
l l
1
相当系统
F
l l
1X
1
=0
系数计算：
例 题 16-1 § I6 静不定结构
例题相当系统 F
l l
1
X1
(MF)
Fl
11?
= 图自乘)(
1M
EI
llll
EI 3
82
3
222
2
11 3
11
)( 1M
2l
F1? )( FM
= 与 图互乘)(
1M
EI
FllFll
EIF 6
52
6
5
2
11 3
1
01111 FX FX F
16
5
11
1
1
例 题 16-2 § I6 静不定结构
例题
F
1X
（相）
l
11?X
)( 1M
F
2/Fl
)( FM
法 1:1次静不定
3．
EI
llll
EI 33
2
2
11 3
11
EI
FllFll
EIF 48
5
6
5
222
11 3
1
4．,代入正则方程：11? F1
IaAl
FAlX
316
5
3
3
1
EA
aXX
F
1
1111
2.正则方程：
求 DB杆的内力。
1.相当系统,切断 B
点，系统为梁 AB
IaAl FAlF N D B 316 5 3
3
F
2/l
A BC
D
2/l
a
例 题 16-2 § I6 静不定结构
例题法 2,1,相当系统
3,111
3
3
11 aEAEI
l?
EI
Fl
F 48
5 3
1
01111 FX
2,正则方程：1X
1X
F
A BC
D
1X
1X
11?X
l
1
1
NF
M
F
2/Fl
NF
F
F
M
4．
IaAl FAlX 316 5 3
3
1
5
,（拉）IaAl
FAlXF
N D B 316
5
3
3
1
切断 DB杆，系统为梁 AB+杆 DB
例 题 16-3 § I6 静不定结构
例题
1．相当系统
3．系数计算,
EI
lllllll
EI 3
4
3
2
2
11 3
11
01111 FX2．正则方程：
l
)( 1M
11?X
解,1次静不定
2
2ql
2
2ql
)( FM
2
2ql
求出刚架全部支座约束力。
2l
2l
ql
B
A
例 题 16-3 § I6 静不定结构
例题
l
qll
ll
ql
l
ql
l
EI
F
222
1
24
3
23
11 222
1?
EI
ql
4
3 4
4,代入正则方程求出,qlX F
16
9
11
1
1
l
)( 1M
11?X
2
2ql
2
2ql
)( FM
2
2ql
qlF By 169?
2l
2l
ql
B
A
例 题 16-3 § I6 静不定结构
例题
5.求其余支座 约束力
2l
2l
ql
B
A
qlF By 169?
qlqlqlF Ay 167169
根据整体平衡条件：
qlFAx? （ ）
（ ）
16
9 2qlM
A?
(?)
qlF Ay 167?
qlFAx?
16
9 2qlM
A?
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题绘出图示平面刚架的 M 图。
q
1X
2X
q
a
a
解,2 次静不定。 相当系统如图：
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题
0
0
2222121
1212111
F
F
XX
XX
3,求系数,FF 2122211211,,),(,
2．正则方程
q
2
2qa
)( FM
11?
21?
11?X
)( 1Ma
)( 2M
a
12?
22?
12?X
a
q
1X
2X
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题
EI
aaaa
EI 33
2
2
11 3
11
EI
aaaa
EI 22
11 3
2112
EIaaaaaaaEI 3432211 222
q
2
2qa
)( FM
2
2qa
11?
21?
11?X
)( 1Ma
)( 2M
a
12?
22?
12?X
a
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题
EI
qaaaqa
EIF 422
1 42
1
EI
qaaqaaaaqa
EIF 8
5
4
3
23
1
2
1 422
2
q
2
2qa
)( FM
2
2qa
11?
21?
11?X
)( 1Ma
)( 2M
a
12?
22?
12?X
a
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题
4．以上各式代入正则方程联立解得：
qaX 2831? qaX
7
3
2?
2211 MXMXMM F
5,画 M 图：
q
2
2qa
)( FM
2
2qa
11?X
)( 1Ma
)( 2M
a
12?X
a
14
2qa
28
2qa
98
9 2qa
a73
a/2
7/a
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题在载荷 P作用下，梁 AB挠曲线如虚线所示。若
AB梁与杆 CD的材料及截面形状、尺寸完全相同，
且知梁截面关于形心轴上下对称，截面高,
又知,
10
lh?
30
2l
A
I? 求（ 1）图中 D点的铅垂位移 。
（ 2）图示的转角 A 。
（ 3）结构中横截面上的,,
D?
max? max? min?
l
P
A B
D
EI
EA
l l
C
A
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题解,1．一次静不定，
相当系统（将 CD杆 切断,系统包括 AB梁和 DB杆）如图：
P
2
Pl
(MF)
11?X
11?X
1NF
2
l
)( 1 NFM?
6
5PF
N
12
Pl
l
P
A B
D
EI
EA
l l
C
A
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题
3．
EI
llll
EI
322
12
11? EI
l
5
3
322121 lPllEIF? EIPl6
3
4,（压力）PX
6
5
1?
5,
EI
Pl
EA
Pl
EI
lX
D 366
5 31
P
2
Pl
(MF)
11?X
11?X
1NF
2
l
)( 1 NFM?
2,01111 FX正则方程
l
P
A B
D
EI
EA
l l
C
A
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题
6.画出 M图
11?X
11?X
1NF
2
l
)( 1 NFM?
P
2
Pl
(MF)2211 MXMXMM F
l
P
A B
D
EI
EA
l l
C
A
6
5PF
N
12
Pl
(M)
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题
EI
Pl
Pl
l
EI
A
24
2
1
12
2
2
11
2
EI
Pl
AB 24
2
1
1
B
A
D
CM1
7．求? A
l
P
A B
D
I
I
l l
C
A 在相当系统 A端加单位力偶,画出 M1图
6
5PF
N
12
Pl
(M)
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题
8．求 及max? max?
梁 AB：
I
lPl
I
hM
20122m a x
m a xm a x
I
Pl
240
2
I
Pl
2 4 0
2
m a x
I
Pl
2 4 0
2
m a x
6
5PF
N
12
Pl
(M)
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题杆 CD：
I
lP
A
P
A
F N
306
5
6
5 2
I
Pl
36
2
∴
I
Pl
2 4 0
2
m a x I
Pl
36
2
m a xI
Pl
36
2
m i n
对整个结构，有：
I
Pl
36
2
m a x
6
5PF
N
12
Pl
(M)
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题讨论：求 的法 2,在相当系统上求 A
A?
PP 65?
EI
Pl
EI
lP
A 2416
26 22
A?
6
5PF
N
12
Pl
(M)
§ 16.4 利用对称性简化静不定结构的计算
结构对称,载荷对称,内力和变形必然对称
结构对称,载荷反对称,内力和变形必然反对称 。
FN FN
FS FSM M
对称的内力分量,轴力 FN，弯矩 M，
反对称的内力分量,剪力 FS，
x
z y
w?挠度
dx
dw转角若对称,一定反对称，反之亦然
1,结构对称，载荷也对称的奇数跨结构内力对称,∴ C处只有 FN,M
无 FSc
C处切开，改用滑动固支座即可。
C
对称结构可根据对称轴处的内力和变形特点，只取其一部分进行简化：
∴ 原 3次静不定结构的半边结构，
可等效为 2次静不定结构。
变形对称,∴ C处只有铅垂位移，
无水平位移和转角
2,结构对称，载荷反对称的奇数跨结构
P
内力反对称,C处只有剪力 FS
无 FN,M。
C处切开，改活动铰支座。
∴ 原 3次静不定结构的半边结构可等效为 1次静不定结构。
P P
c
变形反对称,C处只有水平位移和转角，无铅垂位移。
3,结构对称，载荷也对称的偶数跨结构与情形 1相比较,又 CD杆中只有可略去的轴力 FN（ 对称 ）,则用固定端代替滑动固支座即可 。
P c
P P
c
A/2 A/2
P P
c
A
6次静不定原 6次静不定结构可等效为 3次静不定结构 。
P
4．结构对称，载荷反对称的偶数跨结构等效
PP
2I 2I
P P
c
I
由于载荷反对称，切口处只有 （一对），而只使二竖杆产生等值反号的轴力，不会影响其它杆的内力。
SF SF
PP
2I 2I
SF SF
原 6次静不定结构可等效为 3次静不定问题。
而原中间竖杆的内力等于现两竖杆内力之和。
∴ 对原结构内力及变形均无影响，可以略去不计。
SF
P
2I
PP
2I 2I
SF SF
5．双对称结构：
结构和载荷关于两个互相垂直的轴都对称，
取四分之一结构进行计算。
q
q
3次（内）静不定
1次静不定例 题 16-6 § I5 能量法
例题已知,EI=常数，求 AB两点间的相对位移 。AB?
解,1．原 3次静不定结构。
双对称，四分之一结构可等效为 1次静不定结构。
AB
D
E
C
a2
a P
A
CD
2/P（等效）
2．解 1次静不定，相当系统如图,
3．正则方程 01111 FX1X 2/P（相当系统）
D C
A
EI
a
EI
a
EI
adxad
EIdsEI
MM a 57.2
2
1 2
0 0
11
11
20 0211 2s i n21 aFF dxPadPaEIdsEI MM
EI
PaPaPa
EI
222
22
1
例 题 16-6 § I5 能量法
例题
1X
2/P? A
CD
D C
A
s in2
PaM
ACF
2
PaM
CDF
4,1
1?X
的弯矩方程：
原载荷下的弯矩方程：
11?M （ AD段）
例 题 16-6
§ I5 能量法?例题
5,PaX F 3 89.0
11
1
1?
6．求原静不定系统的弯矩
11 MXMM F原
7,求,在相当系统上去掉 P及,在 A处加单位力
A? 1X
s inaM AC
aM CE
PaPaM AC 3 8 9.0s in2
PaPaPaM CE 1 1 1.03 8 9.02
1
A
CE
s in2
PaM
ACF
2PaM CDF
11?M （ AD段）
例 题 16-6
§ I5 能量法?例题
dsMMEIA 1
2
0 0
111.0s i n389.0s i n21
a dxaPaadaPPaEI
2
0
2
3
111.0s i n389.0s i n21
dEIPa
111.0c o s389.02s i n
4
1
2
1
2
0
2
0
3?
EI
Pa
EI
Pa 31 1 4 7.0?
8,
EIPaAAB
3
229.02
静不定结构：只要存在使结构变形的因素，都会产生内力和应力。（载荷、装配误差、温度、
湿度等）
静定结构：只在载荷作用下才产生内力和应力。
§ 16.5 装配应力和温度应力装配应力和温度应力求解思路：
静不定系统 相当系统（ 为多余未知力）
iX
a
a
1X
2X
列装配应力或温度应力的力法正则方程、求解
1,装配内力和应力一次静不定系统装配内力的力法正则方程：
11111 eX?
n次静不定系统装配内力的力法正则方程
ie?
：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只保留原尺寸误差 e，由 e引起的 作用点沿
iX
方向的广义位移。
iX
位移 与 方向一致时取正号，反之取负号。
可正、可负、可为零。
ie? iX
ie?
iiej
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n
2,温度内力和应力一次静不定系统温度内力的力法正则方程：
11111 tX
n次静不定系统温度内力的力法正则方程
it?
：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只保留温度变化?t，由?t引起的 作用点沿
iX
方向的广义位移。
iX
iitj
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n
位移 与 方向一致时取正号，反之取负号。
可正、可负、可为零。
it? iX
it?
ij?
仍为仅有 Xj = 1 作用时，相当系统在 Xi作用点处的位移右端项
i?
仍为原静不定系统在多余约束 Xi
处的位移 —多数为零注意 计算系数 时，不计尺寸误差或温度变化。
ij?
iiej
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n装配应力正则方程
iitj
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n温度应力正则方程例 题 16-7 § I5 能量法
例题设,,求 2杆尺寸误差产生的内力21 EE? 21 AA? 321,,NNN FFF
解,1．一次静不定，
2,01111 eX?
3．在相当系统中，只保留计算内力（不计误差 e）
11?X
压）(c o s2 121 NN FF1 3?NF则
33
3
11
33
2
11
11
c os2
c os4
c os2
AE
l
AE
l
AE
l
l
AE
1 2
3
l
e
1X
相当系统
1
3
l2
e
1 2
3
11?X
相当系统：解除中间的铰例 题 16-7
§ I5 能量法?例题
e1? 4．在相当系统中，去掉,只保留误差 e，则
1X
ee 1
5．
33
3
11
3
3311
11
1
1 c o s2
c o s2
AEAE
AEAE
l
eX e
6．
33
3
11
3
3311
13 c o s2
c o s2
AEAE
AEAE
l
eXF
N
（拉）
33
3
11
2
33113
21 c o s2
c o s
c o s2 AEAE
AEAE
l
eFFF N
NN
（压）
例 题 16-7
§ I5 能量法?例题
2．有时也利用装配应力：机械制造中的过盈配合，自行车轮的车条与轮缘的配合。
可以求出各杆应力：
（压）M P a3.6521
（拉）M P a9.1 1 23
装配应力不可忽视！
,200321 GP aEEE
,1 0 001?le,321 AAA,30讨论,1．若设
1 2
3
l
e
例 题 16-8
§ I5 能量法?例题
A
B
C D
EI
EI
l
l
EAa
求当 BC杆温度下降?t 时，
BC杆内产生的应力，已知材料的线膨胀系数为?。
解：
1,1次静不定，相当系统如图（切开 BC杆）；A B
C D
EI
EI
l
l
EA
a 1X
1X 2.正则方程 0
11111 tX
例 题 16-8
§ I5 能量法?例题
3.求系数：
令 画内力图 11?X
11 NFM?
A
B
C D
EI
EI
l
l
EA
a 1X
1X
=1
=1
1
l l
)( 1M
)( 1M
)( 1NF
EA
a
EI
l
EA
a
EI
lll
3
2113
2
2
1
2
3
11?
例 题 16-8
§ I5 能量法?例题
A
B
C D
EI
EI
l
l
EA
a
4.求?1t,去掉,当 BC杆下降?t 温度时，
在切断 BC处产生的相对位移为：
1X
tat1
t
5.
aIAl
ta E I A
EA
a
EI
l
ta
XF tN B C
32
3
3
2 3311
1
1
（拉）
6.
拉）(32 3 3 aIAl ta E IAF N B CBC
例 题 16-8
§ I5 能量法?例题例如：
A
B
C
D
EI
EI
l
l
EAa
CtmmI
mmdBC
C
mlaG P aE
20,10
,20
,/11010
,1,2 0 0
49
6
杆直径
M p aBC 3.33
1,强度,刚度比相应的静定结构显著提高
3．求解内力的方法：
2．引起结构中产生内力和应力的原因：
§ 16.6 静不定结构的特点静定结构：载荷静不定结构：载荷，温度改变、制造误差、支座移动等各种变形因素静定结构：静力平衡方程静不定结构：除静力平衡方程，还需变形几何条件（协调条件）及物理条件
4,内力分布的特点
5．静定结构任何一个约束（内、外）遭破坏，
立即发生刚体位移，完全丧失承载能力。
静定结构：只与载荷有关静不定：除载荷外,还与材料性质和截面尺寸相关因此静定结构截面尺寸设计简单：
（ 求出内力后,由强度条件即可确定截面尺寸 ） 。
而静不定结构中各部分内力分配与各部分相对刚度有关 。 改变一根杆的截面尺寸,会使得所有杆件受力重新分布 。
而静不定有多余约束,当多余约束破坏时,整个结构仍能维持原位,不发生刚体位移,还有一定承载能力 。
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 30)
（下册）
§ 16 静不定结构
§ 16.1 概述
（ 1）强度高，刚度大。
P
2
l
2
l
A B
P
l
maxM
为相应静定结构的
8
3
maxw 为相应静定结构的
33
1
例如：
静不定静定静不定结构的特点：
（ 2）安全系数高
（ 3）结构中任意一部分构件的刚度变化会造成结构中的内力重新分布
（ 4）静不定结构会产生温度应力和装配应力温度应力装配应力
1.静不定结构和静不定次数内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的内力 。
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的约束力。
“多余约束,,并非维持结构的平衡所必需的约束。
A B
注意,多余约束力对维持平衡是多余的,但对工程实际并不多余,是为提高强度,刚度而加上去的 。
A B
C D
AB梁中 B端可动铰支座，桁架中的 CB杆称为多余约束，相应约束力或内力为“多余约束力”。
外静不定次数 =全部约束力个数 -独立的平衡方程数
=多余约束力个数静不定次数的判断：
（ 1） 外静不定结构
（ 2） 内静不定结构将结构切开一个或 n个截面 ——去掉内部多余约束使其变成静定的,则切开截面上内力分量的总数就是内静不定次数 。
切开截面内力分量的总数 =该截面内部多余约束数
（ a） 切开一个链杆 （ 二力杆 ）,只有 FN,相当于去掉 1个多余约束 。
P
（ b）切开一个单铰，有 2个内力分量,FN,FS
相当于去掉 2个多余约束。
P P
P
NF
NF
SF
NF SF
NF
（ c）切开一处刚性联结，有 3个内力分量 FN,FS,M，
相当于去掉 3个多余约束。
（ d）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉 1个多余约束（静不定次数减 1)。
F
平面问题，多一个闭合框架，就多 3次静不定。
单铰 ----连接 2杆,n次复铰 ----连接 n+1杆
n次复铰 =n个单铰
F
FN
FNFS
FS
M
(3) 内外混合静不定静不定次数 =外静不定次数 +内静不定次数
=多余约束数 （ 内外多余约束数 ）
=多余未知力个数 （ 约束力和内力 ）
=未知力个数 -平衡方程数
(e)桁 架结构杆数 S,节点数 n,若 S=2n-3 静定桁 架若 S>2n-3 静不定桁 架A B
C D S=6,n=4,6-(2× 4-3)=1次静不定例
1次静不定 4次静不定
1次静不定 0次静不定 =静定基本静定系,去掉原载荷,只考虑结构本身解除多余约束后得到的静定结构,称为原结构的基本静定系 。
相当系统,在基本静定系上，用相应的多余约束力代替被解除的多余约束，并加上原载荷，
则称为相当系统。
“相当,,相当系统的受力变形状态与原静不定结构完全相同。
1,基本静定系和相当系统
§ 16.2 力法求解静不定结构
m
（基本静定系 1）
（相当系统 1）
1X
m
基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
（基本静定系 2）
（相当系统 2）
1X
m
P
3X
2X
1X
P
3X2X
1XP
1X
2X
3X
（相当系统 5）（相当系统 4）（相当系统 3）
P P
1X
2X 3X
（相当系统 1） （相当系统 2）
P
1X
2X
3X
3次静不定
（ 2）位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方程，从而通过求解未知位移来求解多余未知力。
（ 1）力法：以多余未知力为基本未知量，将位移表示为未知力的函数，然后按位移协调条件建立方程，从而解出多余未知力。
本章重点,力法
2.求解静不定结构方法（三条件法）
F
A B
F
1X
F
BFw
1 静不定次数,1次
2 静定基和相当系统
01 BXBFB www
3 位移协调条件（保证相当系统在多余约束处的位移与原静不定系统相同）
3.力法求解简单静不定结构
1BXw
1X
EIFlw BF 485 3
EIlXw BX 3 31
1
物理条件代入位移协调方程，求解多余未知力
5
1X
FX 1651
∴
4 物理条件：位移表达为力的函数
F
BFw
1BXw
1X
01 BXBFB www 0
348
5 313
EI
lX
EI
Fl
可用图乘法计算
2） 求出后，原静不定系统就相当于在 F及共同作用下的静定梁（相当系统）,进而可按静定梁的方法求内力、作内力图、求应力和变形、
进行强度和刚度计算。
1X 1X
1） 即为原静不定结构 B端的约束力 。
A端的 3个约束力可由静力平衡方程求出。1
X
F
1X
F
A B
相当系统原静不定系统讨论：
将上例中的位移协调方程改写一下：
BBFBX www1
1?B （ B是 作用处）1X
11 1 XBXw
力与位移成线性关系
111X?
==============
FBFw 1
1Bw
则 ---- 力法正则方程
11111 FX
§ 16.3 力法正则方程
11111 FX
（ 16.1)力法正则方程
11?
——相当系统仅作用 X1 =1时，在 X1 作用点处 沿 X1 方向的广义位移。
F1? ——相当系统仅作用原载荷时，在 X1 作用点处 沿 X1 方向的广义位移。
1? ——静不定系统在 1处 沿 X1 方向的原有广义位移。 （一般为 = 0 ）
1?
双下标 ——第一下标表示位移发生地点，第二下标表示引起位移的原因。
若为二次静不定,2个多余约束，
2个多余未知力 X1,X2
22222221
11212111
F
F
XX
XX (16.2)
q
A B C
X1 X2
q
n次静不定：
iiFj
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n
nnFnnnnn
Fnn
Fnn
XXX
XXX
XXX
2211
222222121
111212111
(16.3)
说明,（ 1）系数 组成 n阶方阵
ij?
nnnn
n
n
21
22221
11211 主系数 恒为正
ii?
（ i=1,2,…,n ）
副系数
jiij
)( ji?
可正可负可为零
（位移互等定理）
iiFj
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n
nnFnnnnn
Fnn
Fnn
XXX
XXX
XXX
2211
222222121
111212111
(16.3)
（ 2）自由项
iF?
可正可负可为零
（ 3）右端项
i?
原静不定系统在多余约束处的位移 —多数为零
（ 4）系数 及自由项 的求法：
iF?ij?
即根据其物理意义在相当系统上求一系列位移：
ij?
为仅有 Xj = 1 作用时，相当系统在 Xi作用点处的位移
iF?
为仅有原载荷作用时，相当系统在 Xi作用点处的位移图乘法例如：
X1
FF
l l
1 F
F1?
X1=1
11?
（ 5）解出全部多余未知力 Xi后，在相当系统上进一步可求其它约束力、内力、应力、位移等。
（ 6）求静不定系统上某点位移，可用单位载荷法
——单位载荷加在相当系统的该点上单位载荷加在原静不定系统的该点上例如：求内力可用叠加法
i
n
i
iF MXMM?
1
1次静不定正则方程：
11111 FX
画出原载荷作用下的弯矩图 图
FM
及仅有 X1 = 1 作用下的弯矩图 图
1M
例 题 16-1 § I6 静不定结构
例题求解图示静不定系统。
解：
F
l l
1
相当系统
F
l l
1X
1
=0
系数计算：
例 题 16-1 § I6 静不定结构
例题相当系统 F
l l
1
X1
(MF)
Fl
11?
= 图自乘)(
1M
EI
llll
EI 3
82
3
222
2
11 3
11
)( 1M
2l
F1? )( FM
= 与 图互乘)(
1M
EI
FllFll
EIF 6
52
6
5
2
11 3
1
01111 FX FX F
16
5
11
1
1
例 题 16-2 § I6 静不定结构
例题
F
1X
（相）
l
11?X
)( 1M
F
2/Fl
)( FM
法 1:1次静不定
3．
EI
llll
EI 33
2
2
11 3
11
EI
FllFll
EIF 48
5
6
5
222
11 3
1
4．,代入正则方程：11? F1
IaAl
FAlX
316
5
3
3
1
EA
aXX
F
1
1111
2.正则方程：
求 DB杆的内力。
1.相当系统,切断 B
点，系统为梁 AB
IaAl FAlF N D B 316 5 3
3
F
2/l
A BC
D
2/l
a
例 题 16-2 § I6 静不定结构
例题法 2,1,相当系统
3,111
3
3
11 aEAEI
l?
EI
Fl
F 48
5 3
1
01111 FX
2,正则方程：1X
1X
F
A BC
D
1X
1X
11?X
l
1
1
NF
M
F
2/Fl
NF
F
F
M
4．
IaAl FAlX 316 5 3
3
1
5
,（拉）IaAl
FAlXF
N D B 316
5
3
3
1
切断 DB杆，系统为梁 AB+杆 DB
例 题 16-3 § I6 静不定结构
例题
1．相当系统
3．系数计算,
EI
lllllll
EI 3
4
3
2
2
11 3
11
01111 FX2．正则方程：
l
)( 1M
11?X
解,1次静不定
2
2ql
2
2ql
)( FM
2
2ql
求出刚架全部支座约束力。
2l
2l
ql
B
A
例 题 16-3 § I6 静不定结构
例题
l
qll
ll
ql
l
ql
l
EI
F
222
1
24
3
23
11 222
1?
EI
ql
4
3 4
4,代入正则方程求出,qlX F
16
9
11
1
1
l
)( 1M
11?X
2
2ql
2
2ql
)( FM
2
2ql
qlF By 169?
2l
2l
ql
B
A
例 题 16-3 § I6 静不定结构
例题
5.求其余支座 约束力
2l
2l
ql
B
A
qlF By 169?
qlqlqlF Ay 167169
根据整体平衡条件：
qlFAx? （ ）
（ ）
16
9 2qlM
A?
(?)
qlF Ay 167?
qlFAx?
16
9 2qlM
A?
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题绘出图示平面刚架的 M 图。
q
1X
2X
q
a
a
解,2 次静不定。 相当系统如图：
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题
0
0
2222121
1212111
F
F
XX
XX
3,求系数,FF 2122211211,,),(,
2．正则方程
q
2
2qa
)( FM
11?
21?
11?X
)( 1Ma
)( 2M
a
12?
22?
12?X
a
q
1X
2X
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题
EI
aaaa
EI 33
2
2
11 3
11
EI
aaaa
EI 22
11 3
2112
EIaaaaaaaEI 3432211 222
q
2
2qa
)( FM
2
2qa
11?
21?
11?X
)( 1Ma
)( 2M
a
12?
22?
12?X
a
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题
EI
qaaaqa
EIF 422
1 42
1
EI
qaaqaaaaqa
EIF 8
5
4
3
23
1
2
1 422
2
q
2
2qa
)( FM
2
2qa
11?
21?
11?X
)( 1Ma
)( 2M
a
12?
22?
12?X
a
例 题 16-4 § I6 静不定结构
例题
4．以上各式代入正则方程联立解得：
qaX 2831? qaX
7
3
2?
2211 MXMXMM F
5,画 M 图：
q
2
2qa
)( FM
2
2qa
11?X
)( 1Ma
)( 2M
a
12?X
a
14
2qa
28
2qa
98
9 2qa
a73
a/2
7/a
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题在载荷 P作用下，梁 AB挠曲线如虚线所示。若
AB梁与杆 CD的材料及截面形状、尺寸完全相同，
且知梁截面关于形心轴上下对称，截面高,
又知,
10
lh?
30
2l
A
I? 求（ 1）图中 D点的铅垂位移 。
（ 2）图示的转角 A 。
（ 3）结构中横截面上的,,
D?
max? max? min?
l
P
A B
D
EI
EA
l l
C
A
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题解,1．一次静不定，
相当系统（将 CD杆 切断,系统包括 AB梁和 DB杆）如图：
P
2
Pl
(MF)
11?X
11?X
1NF
2
l
)( 1 NFM?
6
5PF
N
12
Pl
l
P
A B
D
EI
EA
l l
C
A
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题
3．
EI
llll
EI
322
12
11? EI
l
5
3
322121 lPllEIF? EIPl6
3
4,（压力）PX
6
5
1?
5,
EI
Pl
EA
Pl
EI
lX
D 366
5 31
P
2
Pl
(MF)
11?X
11?X
1NF
2
l
)( 1 NFM?
2,01111 FX正则方程
l
P
A B
D
EI
EA
l l
C
A
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题
6.画出 M图
11?X
11?X
1NF
2
l
)( 1 NFM?
P
2
Pl
(MF)2211 MXMXMM F
l
P
A B
D
EI
EA
l l
C
A
6
5PF
N
12
Pl
(M)
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题
EI
Pl
Pl
l
EI
A
24
2
1
12
2
2
11
2
EI
Pl
AB 24
2
1
1
B
A
D
CM1
7．求? A
l
P
A B
D
I
I
l l
C
A 在相当系统 A端加单位力偶,画出 M1图
6
5PF
N
12
Pl
(M)
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题
8．求 及max? max?
梁 AB：
I
lPl
I
hM
20122m a x
m a xm a x
I
Pl
240
2
I
Pl
2 4 0
2
m a x
I
Pl
2 4 0
2
m a x
6
5PF
N
12
Pl
(M)
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题杆 CD：
I
lP
A
P
A
F N
306
5
6
5 2
I
Pl
36
2
∴
I
Pl
2 4 0
2
m a x I
Pl
36
2
m a xI
Pl
36
2
m i n
对整个结构，有：
I
Pl
36
2
m a x
6
5PF
N
12
Pl
(M)
例 题 16-5 § I6 静不定结构
例题讨论：求 的法 2,在相当系统上求 A
A?
PP 65?
EI
Pl
EI
lP
A 2416
26 22
A?
6
5PF
N
12
Pl
(M)
§ 16.4 利用对称性简化静不定结构的计算
结构对称,载荷对称,内力和变形必然对称
结构对称,载荷反对称,内力和变形必然反对称 。
FN FN
FS FSM M
对称的内力分量,轴力 FN，弯矩 M，
反对称的内力分量,剪力 FS，
x
z y
w?挠度
dx
dw转角若对称,一定反对称，反之亦然
1,结构对称，载荷也对称的奇数跨结构内力对称,∴ C处只有 FN,M
无 FSc
C处切开，改用滑动固支座即可。
C
对称结构可根据对称轴处的内力和变形特点，只取其一部分进行简化：
∴ 原 3次静不定结构的半边结构，
可等效为 2次静不定结构。
变形对称,∴ C处只有铅垂位移，
无水平位移和转角
2,结构对称，载荷反对称的奇数跨结构
P
内力反对称,C处只有剪力 FS
无 FN,M。
C处切开，改活动铰支座。
∴ 原 3次静不定结构的半边结构可等效为 1次静不定结构。
P P
c
变形反对称,C处只有水平位移和转角，无铅垂位移。
3,结构对称，载荷也对称的偶数跨结构与情形 1相比较,又 CD杆中只有可略去的轴力 FN（ 对称 ）,则用固定端代替滑动固支座即可 。
P c
P P
c
A/2 A/2
P P
c
A
6次静不定原 6次静不定结构可等效为 3次静不定结构 。
P
4．结构对称，载荷反对称的偶数跨结构等效
PP
2I 2I
P P
c
I
由于载荷反对称，切口处只有 （一对），而只使二竖杆产生等值反号的轴力，不会影响其它杆的内力。
SF SF
PP
2I 2I
SF SF
原 6次静不定结构可等效为 3次静不定问题。
而原中间竖杆的内力等于现两竖杆内力之和。
∴ 对原结构内力及变形均无影响，可以略去不计。
SF
P
2I
PP
2I 2I
SF SF
5．双对称结构：
结构和载荷关于两个互相垂直的轴都对称，
取四分之一结构进行计算。
q
q
3次（内）静不定
1次静不定例 题 16-6 § I5 能量法
例题已知,EI=常数，求 AB两点间的相对位移 。AB?
解,1．原 3次静不定结构。
双对称，四分之一结构可等效为 1次静不定结构。
AB
D
E
C
a2
a P
A
CD
2/P（等效）
2．解 1次静不定，相当系统如图,
3．正则方程 01111 FX1X 2/P（相当系统）
D C
A
EI
a
EI
a
EI
adxad
EIdsEI
MM a 57.2
2
1 2
0 0
11
11
20 0211 2s i n21 aFF dxPadPaEIdsEI MM
EI
PaPaPa
EI
222
22
1
例 题 16-6 § I5 能量法
例题
1X
2/P? A
CD
D C
A
s in2
PaM
ACF
2
PaM
CDF
4,1
1?X
的弯矩方程：
原载荷下的弯矩方程：
11?M （ AD段）
例 题 16-6
§ I5 能量法?例题
5,PaX F 3 89.0
11
1
1?
6．求原静不定系统的弯矩
11 MXMM F原
7,求,在相当系统上去掉 P及,在 A处加单位力
A? 1X
s inaM AC
aM CE
PaPaM AC 3 8 9.0s in2
PaPaPaM CE 1 1 1.03 8 9.02
1
A
CE
s in2
PaM
ACF
2PaM CDF
11?M （ AD段）
例 题 16-6
§ I5 能量法?例题
dsMMEIA 1
2
0 0
111.0s i n389.0s i n21
a dxaPaadaPPaEI
2
0
2
3
111.0s i n389.0s i n21
dEIPa
111.0c o s389.02s i n
4
1
2
1
2
0
2
0
3?
EI
Pa
EI
Pa 31 1 4 7.0?
8,
EIPaAAB
3
229.02
静不定结构：只要存在使结构变形的因素，都会产生内力和应力。（载荷、装配误差、温度、
湿度等）
静定结构：只在载荷作用下才产生内力和应力。
§ 16.5 装配应力和温度应力装配应力和温度应力求解思路：
静不定系统 相当系统（ 为多余未知力）
iX
a
a
1X
2X
列装配应力或温度应力的力法正则方程、求解
1,装配内力和应力一次静不定系统装配内力的力法正则方程：
11111 eX?
n次静不定系统装配内力的力法正则方程
ie?
：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只保留原尺寸误差 e，由 e引起的 作用点沿
iX
方向的广义位移。
iX
位移 与 方向一致时取正号，反之取负号。
可正、可负、可为零。
ie? iX
ie?
iiej
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n
2,温度内力和应力一次静不定系统温度内力的力法正则方程：
11111 tX
n次静不定系统温度内力的力法正则方程
it?
：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只保留温度变化?t，由?t引起的 作用点沿
iX
方向的广义位移。
iX
iitj
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n
位移 与 方向一致时取正号，反之取负号。
可正、可负、可为零。
it? iX
it?
ij?
仍为仅有 Xj = 1 作用时，相当系统在 Xi作用点处的位移右端项
i?
仍为原静不定系统在多余约束 Xi
处的位移 —多数为零注意 计算系数 时，不计尺寸误差或温度变化。
ij?
iiej
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n装配应力正则方程
iitj
n
j
ij X
1
i=1,2,…,n温度应力正则方程例 题 16-7 § I5 能量法
例题设,,求 2杆尺寸误差产生的内力21 EE? 21 AA? 321,,NNN FFF
解,1．一次静不定，
2,01111 eX?
3．在相当系统中，只保留计算内力（不计误差 e）
11?X
压）(c o s2 121 NN FF1 3?NF则
33
3
11
33
2
11
11
c os2
c os4
c os2
AE
l
AE
l
AE
l
l
AE
1 2
3
l
e
1X
相当系统
1
3
l2
e
1 2
3
11?X
相当系统：解除中间的铰例 题 16-7
§ I5 能量法?例题
e1? 4．在相当系统中，去掉,只保留误差 e，则
1X
ee 1
5．
33
3
11
3
3311
11
1
1 c o s2
c o s2
AEAE
AEAE
l
eX e
6．
33
3
11
3
3311
13 c o s2
c o s2
AEAE
AEAE
l
eXF
N
（拉）
33
3
11
2
33113
21 c o s2
c o s
c o s2 AEAE
AEAE
l
eFFF N
NN
（压）
例 题 16-7
§ I5 能量法?例题
2．有时也利用装配应力：机械制造中的过盈配合，自行车轮的车条与轮缘的配合。
可以求出各杆应力：
（压）M P a3.6521
（拉）M P a9.1 1 23
装配应力不可忽视！
,200321 GP aEEE
,1 0 001?le,321 AAA,30讨论,1．若设
1 2
3
l
e
例 题 16-8
§ I5 能量法?例题
A
B
C D
EI
EI
l
l
EAa
求当 BC杆温度下降?t 时，
BC杆内产生的应力，已知材料的线膨胀系数为?。
解：
1,1次静不定，相当系统如图（切开 BC杆）；A B
C D
EI
EI
l
l
EA
a 1X
1X 2.正则方程 0
11111 tX
例 题 16-8
§ I5 能量法?例题
3.求系数：
令 画内力图 11?X
11 NFM?
A
B
C D
EI
EI
l
l
EA
a 1X
1X
=1
=1
1
l l
)( 1M
)( 1M
)( 1NF
EA
a
EI
l
EA
a
EI
lll
3
2113
2
2
1
2
3
11?
例 题 16-8
§ I5 能量法?例题
A
B
C D
EI
EI
l
l
EA
a
4.求?1t,去掉,当 BC杆下降?t 温度时，
在切断 BC处产生的相对位移为：
1X
tat1
t
5.
aIAl
ta E I A
EA
a
EI
l
ta
XF tN B C
32
3
3
2 3311
1
1
（拉）
6.
拉）(32 3 3 aIAl ta E IAF N B CBC
例 题 16-8
§ I5 能量法?例题例如：
A
B
C
D
EI
EI
l
l
EAa
CtmmI
mmdBC
C
mlaG P aE
20,10
,20
,/11010
,1,2 0 0
49
6
杆直径
M p aBC 3.33
1,强度,刚度比相应的静定结构显著提高
3．求解内力的方法：
2．引起结构中产生内力和应力的原因：
§ 16.6 静不定结构的特点静定结构：载荷静不定结构：载荷，温度改变、制造误差、支座移动等各种变形因素静定结构：静力平衡方程静不定结构：除静力平衡方程，还需变形几何条件（协调条件）及物理条件
4,内力分布的特点
5．静定结构任何一个约束（内、外）遭破坏，
立即发生刚体位移，完全丧失承载能力。
静定结构：只与载荷有关静不定：除载荷外,还与材料性质和截面尺寸相关因此静定结构截面尺寸设计简单：
（ 求出内力后,由强度条件即可确定截面尺寸 ） 。
而静不定结构中各部分内力分配与各部分相对刚度有关 。 改变一根杆的截面尺寸,会使得所有杆件受力重新分布 。
而静不定有多余约束,当多余约束破坏时,整个结构仍能维持原位,不发生刚体位移,还有一定承载能力 。
