工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 27)
（下册）
§ 13 梁的弯曲
§ 13.4 弯曲强度条件与梁的强度计算
1,弯曲正应力强度条件梁弯曲时达到 Mmax的截面称 正应力危险截面,
梁的上下缘距中性轴最远处（此处切应力恰好为零），
—— 单向应力状态
(M)
Fl/4
F
CA B
C
M=Fl/4?
max?
max?
max?
max?
该截面上 正应力的危险点,
正应力强度条件当截面上下不对称时：
tm a xcm a x (13.7)
C
M=Fl/4
max?
max?
max?
max?
m a x
m a x
zW
M (13.6)
当截面上下对称时：
2.弯曲切应力强度条件梁弯曲时，横截面上切应力的危险点：
剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零），
—— 纯剪切应力状态F
CA B
(FS)
F/2
F/2
F/2?
max
max
切应力强度条件
m a x
m a x bI
SF
z
zS
(13.8)
3.梁的弯曲强度计算
（ 1）一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动满足）。 F
CA B
l
h
，应正确找出梁的拉应力危险点和压应力危险点（可能不在同一截面上）并分别校核。
(2)注意脆性材料且截面上下不对称的梁,
m a xm a x
(3)薄壁梁、跨度小的高梁（ l/h 较小）或支座附近有较大集中力 —— 除校核正应力强度条件外，还应校核切应力强度条件。
(4) 组合梁的特殊面（胶接面，焊接面，铆接面）
—— 应进行切应力强度校核。
(5)注意：薄壁梁截面上的特殊点,正应力、切应力同时较大 —— 属于平面应力状态,这些点的强度校核见 § I4 组合变形 。
4.梁的强度计算问题步骤三类问题强度校核截面设计
（正应力强度、切应力强度）
（一般从正应力强度出发设计截面，再校核切应力强度）
确定允许载荷
（一般从正应力强度出发定最大载荷，再校核切应力强度）
（ 1）先根据梁的受力，画出剪力、弯矩图，从中找出 。
m a xm a xm a x,,SFMM
（ 3）综合考虑内力及截面几何特点，找出梁的危险截面、危险点位置。
（ 2）根据截面几何参数，计算截面形心及关于中性轴的,。
21,,zzz WWI?maxzS
（ 4）分别计算 并带入强度条件校核。 m a xm a xm a x,,
（ 5）截面设计或确定允许载荷，一般先考虑正应力强度进行计算，再用切应力强度条件校核。
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
200
200
30
30
图示铸铁梁受力如图，截面为 T形，尺寸如图，已知：
q=10kN/m,F=20kN,[?+]=30Mpa,[?-]=60Mpa，
试校核该梁的正应力强度条件。
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
解,1.截面几何参数计算
200
200
30
30
z
y
c
截面形心坐标：
mm
y
5.157
230200
10030200)15200(30200
1
mmyy 5.7230200 12
y1
y2
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m y1
y2
解,1.截面几何参数计算
200
200
30
30
z
y
c
47
2
3
2
3
1001.6
)5.1 5 72 1 5(302 0 0
12
302 0 0
)1 0 05.1 5 7(302 0 0
12
2 0 030
mm
I
z
截面对 z轴的惯性矩：
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
2.画内力图
10kN
10kN20kN
(FS)
(M)
10kNm
20kNm
kNFF BSS 20m a x
mkNMM C 10m a x
mkNMM B 20m a x
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
3.校核正应力强度(M)
10kNm
20kNm B面,M paI yM
z
4.521001.6 5.1571020 7
6
1m a x
m a x
M paI yM
z
1.241001.6 5.721020 7
6
2m a x
m a x
C面：
M paI yM
z
2.261001.6 5.1571010 7
6
1m a x
m a x
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
3.校核正应力强度(M)
10kNm
20kNm
M p aM p a 604.52m a x
M p aM p a 302.26m a x
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
例题解,1.内力图
2.根据正应力强度选择截面
a a
l
F q
A B
F试为图示梁选用工字钢型号已知：
材料特性, M p a160
M p a1 0 0
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN?45
)(M
)( SF
危险截面：中间截面 mkNM 45
m a x
zW
M m a x
m a x?
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
例题
a a
l
F q
A B
F
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN?45
)(M
)( SF
查表，初选 I22a，截面参数为：
3309 cmW z? cmSI
zz 9.18,?
mmd 5.7?
3.校核切应力强度
kNF S 210m a x?
M paM P a
dSI
F
dI
SF
zz
S
z
zS
100][148
5.7189
10210
):(
3
m a x
m a x
*
m a xm a x
m a x
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
例题
4.改用 I25b
cmSI zz 27.21/ *?
mmd 10? a a
l
F q
A B
F
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN?45
)(M
)( SF
M paM P a
dSI
F
zz
S
10 0][7.98
107.21 2
1021 0
):(
3
m a x
m a x
m a x
故选择 I25b可同时满足正应力强度和切应力强度。
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
A B
L
C D
l
b
B
H
图示主梁 AB为 I22a工字梁，副梁 CD为矩形截面梁，
B=4cm,H=12cm,两梁材料相同，, M p a100
M p a50,L=4m,l=1m,副梁可在主梁上移动，
（ 1）若在副梁中点加集中力 F,求 F的最大允许值 [F]
（ 2）若不用副梁,F力直接加在主梁上，则 [F]=？
F
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
（ 1）在副梁中点加力 F，求最大允许值 [F]
解：
[F]应保证主、
副梁均安全副梁和主梁的内力图：
Fl/4
(M)
lF/2 F/2
A B
L
C D
l
b
B
H
F
C D
l
F
F/2 F/2
(FS)
(M)
MC MD
FA FB
2/m a x FF S
4m a x
FlM
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
lF/2 F/2
A B
L
C D
l
b
B
H
F
(FS)
(M)
MC MD
FA FB
)21( LlLFF A
当
8
7
)
2
1(
,0
m a x
F
L
l
FF S
求最大内力：
)21( LlLFFM AC
0ddM C令
)(766.0
75.1m a x
mNF
MM
mC
mlL 75.142
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
A B
L
C D
l
b
B
H
2/m a x FF S
4m a x
FlM
8
7)
21(m a x
F
L
lFF
S
)(7 6 6.0m a x mNFM
由副梁正应力强度条件：
M p aFWM 10012040 6410 23m a x
kNNF 4.38104.38 3
由主梁正应力强度条件, M p aFWM 1 0 0103 0 9 107 6 6.0 33m a x
kNNF 4.40104.40 3
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
A B
L
C D
l
b
B
H
2/m a x FF S
4m a x
FlM
8
7)
21(m a x
F
L
lFF
S
)(7 6 6.0m a x mNFM
由主梁切应力强度条件：
kNNF 811081 3
M p aFSIb F
zz
S 50
5.71898
7
):( m a x
m a x
综合以上结果，应取 [F] = 38.4kN
§ I3 梁的弯曲?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
（ 2）若不用副梁,F力直接加在主梁上，则 [F]=？
F
若 F力直接加在主梁上，则
FFL S m a x,0?
4/,2/ m a x FLML
zW
FL
4
kNNF 9.30109.30 3
):(
zz SIb
F
例 题 13-3
kNNF 9.70109.70 3
则有,[F] = 30.9kN
思考：
最合理的主梁和副梁设计？
例 题 13-4 § I3 梁的弯曲
例题
D
d
直径为 d 的钢丝绳缠绕在直径为 D 的圆柱上，已知钢材料的屈服极限为,若使钢丝绳缠绕后不产生塑性变形,D 的最小值应为多少？
S?
解,钢丝绳缠绕后产生弯曲变形，钢丝绳横截面内产生弯曲应力，若弯曲应力过大，超出屈服极限，绳内将出现塑性变形。
设弯曲后钢丝绳的曲率半径为?，则绳横截面内的弯矩为：
zEI
M?
1
zEIM?
例 题 13-4 § I3 梁的弯曲
例题
D
d
zEIM?
钢丝绳横截面的弯曲正应力
Ey
I
My
z
SEy?
m a x
m a x
又：
2,22 m a x
dydD
SdD
d
E
2
2
dEdD
S
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
例题简支梁由两块木板组成
（未粘接），两板光滑接触，
求 b
2h
2h
A
C B
P
2l 2l
M
2M
2M
P
解,各板平面假设成立单板
kNlbhP 2.23 0 0 03 1 0 02 0 0103][][
22
§ 13.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
F
x
w
x
挠曲线（轴）
w(x)
(x)
(x)
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
（ 1）截面形心的铅垂位移 —— 挠度 w(x)(向上为正 )
（ 2）截面绕中性轴转过的角度 —— 转角?(x)(?为正 )
F
x
w
x
挠曲线（轴）
w(x)
(x)
(x)
挠度方程 w = w(x) (13.9)
转角方程? =?(x) (13.10)
由平面假设，小变形时得：
dx
dw t a n (13.11)挠度转角关系
2.挠曲线近似微分方程由变形几何关系：
EI
xM
x
)(
)(
1?
平面曲线 w = w(x) 的曲率为
2
3
2 ]))((1[
)(
)(
1)(
xw
xw
x
x
小变形简化,01
dx
dw
)()(1 xwx
EI
xMxw )()(
符号的选择,与 w轴及 M的符号规定有关 —— 取 +号挠曲线近似微分方程
EI
xM
dx
wd )(
2
2
(13.12)
（若梁的 M(x)分段表示，上式也应分段表示）
0)( xw
M>0
§ 13.6 计算梁的位移的积分法挠曲线近似微分方程
EI
xM
dx
wd )(
2
2
(13.12)
对上式积分一次，得转角方程：
CdxEIMdxdwx
l
)(?
(13.13)
再积分一次，得挠度方程：
DCxdxdx
EI
Mdxxxw
l ll
)()(?
(13.14)
其中,C,D为积分常数对分段的 M(x),每段有 2个常数,— 若分 n段，有 2n个常数。
积分常数的确定：
对静定梁 —— 支座处有 2个位移约束条件若梁的 M(x)方程分为 n段表示 —— 共有 n-1个分段点共有 2n个积分常数确定 2n个积分常数的条件（定解条件）：
支座处的约束条件（ 2个）
分段点处的挠度、转角连续条件（ 2(n-1)个 ）
共 2n个条件常见的支座约束条件：
0,
0,0
wlx
wx
0,0,0 dxdwwx?
（ 2）固支端（ ）0,0w
（ 1）铰支座（ ）0?w
x
w
l
例如：
x
w
l
例如：
（ 3）弹簧铰支座（弹簧系数 k）
例如,2/FwkF
BTx
w F
l l
BA
FT
k
Fwlxwx
2,20,0
常见的分段点连续条件：
（ 1）连续的挠曲轴上的分段点连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。
第 i个分段点处：
挠度连续
ii xxixxi ww 1
xi
i
x
wi(x) wi+1(x)
Mi(x) Mi+1(x)
转角连续
ii xxixxi 1
(2) 中间铰处 仅挠度连续，转角不连续
B点挠度连续 lxlx ww 21BA Cw1(x) w2(x)l l
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
例题指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
a a a x
w F q(1)
解,此梁应分为
3段积分，
共 6个常数。
w1(x) w2(x) w3(x)
定解条件：
dx
dw
dx
dw
wwax
dx
dw
dx
dw
wwax
wx
32
32
21
21
1
,0,2
,,
0,0
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
例题
w1(x) w2(x)
解,此梁应分为 2段积分，共 4个常数。
定解条件：
x
w
la
q(2)
弹簧系数为 k
q
ql/2 ql/2
k
ql
wlax
wwax
wx
2
,
,
0,0,0
2
21
11
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题求图示梁的 和
max? maxf
解：
AC段,
111 Fxl
bxM? )0( 1 ax
BFAF
FlbF A? FlaF B?
CB段,)(
2 lxa )()( 2222 axFx
l
FbxM
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
1.列内力方程应分为 2段列内力方程：
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题
BFAF
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
2.分段积分,
AC：
1
2
11 2
1 CFx
l
bwEI
111
3
11 6
1 DxCFx
l
bE I w
22232322 6161 DxCaxFFxlbE I w
222222 2121 CaxFFxlbwEICB：
AC,
111 Fxl
bxM?
CB,)()(
2222 axFxl
FbxM
w1(x) w2(x)
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题
3.定解条件：
解得常数为：
BFAF
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
w1(x) w2(x)
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题
BFAF
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
B
设 a>b
4.求最大转角：
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题
BFAF
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
B
5.求最大挠度：
fmax
设 a>b，应在 AC段出现，令 0
11dx
dw
得：
f中 与 fmax相差由于内力 是载荷 的线性函数。
称为 叠加原理
§ 13.6 位移计算中的叠加原理
1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）
因此同理，结构中的位移 （如 ） 也是载荷的线性函数，故也有
,,,wu
mqF wwww
mqF
2.弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表 13.2
求图示梁的
EI
2l 2l
q
P
A B
C
cf
ET
qlf
cq 384
5 4?
EI
Plf
cP 48
3
q
cqf
P
cPf
例 题 13-7 § I3 梁的弯曲
例题求例 题 13-8 § I3 梁的弯曲
例题
qdx
)43(48 22 xlEIPxf CP
xlqxl qxq 00 22/)(
求
A
2
q
1Cf 2Cf
2
q
2
q
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
例题求解：
3.求结构位移的变形叠加法 —— 分段刚化法
cqf
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
例题
A A
先用载荷叠加法：
（ 1）
（ 2）
对情况（ 1）：
梁的 BC段无变形。
对情况（ 2）,应用分段刚化法。
1
EIFaf CF 3 31
(a)AB段刚化,BC段变形例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
例题
A B
1CFf
(b)BC段刚化,AB段变形
A B C
F
C
A
B C
Fa
B2
2CFf
例 题 13-10 § I3 梁的弯曲
例题
A BC
D
l l
l
EI
EAw
x
F
求图示结构 C点的挠度。
解：
1.BD刚化,AB变形
A BCl lEI
w
x
F
B点相当于简支座：
wC1
EI
Fl
EI
lFw
C 648
)2( 33
1
2.AB刚化,BD变形例 题 13-10 § I3 梁的弯曲
例题
A BC
D
l l
l
EI
EAw
x
F
wB2
EI
Fl
EI
lFw
C 648
)2( 33
1
2.AB刚化,BD变形
wC2 BD杆轴向拉伸：
EA
Fl
EA
l
F
EA
lFlw
w N B DBDBC
42
2
222
2
2
EA
Fl
EI
Flwww
CCC 46
3
21
（负号表示 ）
已知梁的直径 d 及求解,（ 1） AB刚化 BC变形
F
B
C
1Cf
1C?
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
例题
a
a
F
A
B C
（?）
x y
z
(C截面绕 x 轴转过的角度）
（ 2） BC刚化 AB变形例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
例题
a
a
F
A
B C
F
FaM?
B C
A
F
2Cf
02?C?
x y
z
对圆截面杆：
F 使 AB段弯曲
02?C?
M 使 AB段扭转
C截面绕 y轴转过的角度：
EI
Fa
BFC 2
2
BF?
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
例题
a
a
F
A
B C
F
FaM?
x y
z
FaM?
（?）
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
例题
h
b
l
一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力 F，使其平直地与刚性平面 MN接触，已知梁的 E,l,b,h，及?,
求,（ 1） F力多大可将梁压平？
（ 2）压平时梁中的最大正应力。
F F
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
例题
h
b
l
解,曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。
压平后与刚平面接触 —— 地面对梁有均布支持力 q。
q
F F 由平衡条件得：
l
FqFql 2,2
F F
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
例题
h
b
l
q
F F
l
FqFql 2,2
F F
均布载荷简支梁的弯曲挠曲线为：
)2(24 323 xlxlEIqxw
若曲梁变形前的弯曲形状恰好为此形状，则 F力刚好可使该曲梁压平。
压平时，
EI
qlllll
EI
qlw
384
5)
842(482
432
3
中?
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
例题
h
b
l
q
F F
l
FqFql 2,2
F F
EI
ql
3 8 4
5 4
3
33
34 5
16
125
1 9 2
25
3 8 4
2 l
bhEbh
l
El
l
EIqlF
8
2
m a x
qlM?
22
2
2
2
m a x
m a x 5
24
4
326
8 l
hE
bh
l
l
F
bh
ql
W
M
z
4.画出挠曲线的大致形状
(1)满足支座约束条件
(2)挠曲线的凹凸性
(3) 处为挠曲线的拐点挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。
例如：
l a
A
C B
q
拐点
281qa
q a lql 2121 2?
（ M）
A=0?B=0
§ 13.6 提高弯曲强度和刚度的措施
][m a xm a x WM
（ 1） 合理安排梁的受力
1.提高梁的强度的措施分散载荷
4
Pl
)(M
2l 2l
P
2/P
3/l 3/l3/l
2/P
Pl61
)(M
支座位置
)(M
8/81 2 Plql?
lPq /?
l
l2.0 l2.0l6.0
q
10/401 2 Plql?
2501 ql
)(M
(2) 梁的合理截面放置方向
y
z
b
h z
y
h
b
截面形状
(3) 等强度梁使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同
c o n s txW xMx )( )()(m a x
汽车上使用的叠板簧 2P 2P
车床的车刀架伸臂
P
吊车用鱼腹梁
P
2.提高梁的刚度的措施梁的弯曲变形
EI
xMw )(
（ 1）减小 M(x)
（ 2） 减小跨度
（ 3）选择合理截面，增大 Iz
（ 4） 注意各种钢材的 E值相差不大！
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 27)
（下册）
§ 13 梁的弯曲
§ 13.4 弯曲强度条件与梁的强度计算
1,弯曲正应力强度条件梁弯曲时达到 Mmax的截面称 正应力危险截面,
梁的上下缘距中性轴最远处（此处切应力恰好为零），
—— 单向应力状态
(M)
Fl/4
F
CA B
C
M=Fl/4?
max?
max?
max?
max?
该截面上 正应力的危险点,
正应力强度条件当截面上下不对称时：
tm a xcm a x (13.7)
C
M=Fl/4
max?
max?
max?
max?
m a x
m a x
zW
M (13.6)
当截面上下对称时：
2.弯曲切应力强度条件梁弯曲时，横截面上切应力的危险点：
剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零），
—— 纯剪切应力状态F
CA B
(FS)
F/2
F/2
F/2?
max
max
切应力强度条件
m a x
m a x bI
SF
z
zS
(13.8)
3.梁的弯曲强度计算
（ 1）一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动满足）。 F
CA B
l
h
，应正确找出梁的拉应力危险点和压应力危险点（可能不在同一截面上）并分别校核。
(2)注意脆性材料且截面上下不对称的梁,
m a xm a x
(3)薄壁梁、跨度小的高梁（ l/h 较小）或支座附近有较大集中力 —— 除校核正应力强度条件外，还应校核切应力强度条件。
(4) 组合梁的特殊面（胶接面，焊接面，铆接面）
—— 应进行切应力强度校核。
(5)注意：薄壁梁截面上的特殊点,正应力、切应力同时较大 —— 属于平面应力状态,这些点的强度校核见 § I4 组合变形 。
4.梁的强度计算问题步骤三类问题强度校核截面设计
（正应力强度、切应力强度）
（一般从正应力强度出发设计截面，再校核切应力强度）
确定允许载荷
（一般从正应力强度出发定最大载荷，再校核切应力强度）
（ 1）先根据梁的受力，画出剪力、弯矩图，从中找出 。
m a xm a xm a x,,SFMM
（ 3）综合考虑内力及截面几何特点，找出梁的危险截面、危险点位置。
（ 2）根据截面几何参数，计算截面形心及关于中性轴的,。
21,,zzz WWI?maxzS
（ 4）分别计算 并带入强度条件校核。 m a xm a xm a x,,
（ 5）截面设计或确定允许载荷，一般先考虑正应力强度进行计算，再用切应力强度条件校核。
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
200
200
30
30
图示铸铁梁受力如图，截面为 T形，尺寸如图，已知：
q=10kN/m,F=20kN,[?+]=30Mpa,[?-]=60Mpa，
试校核该梁的正应力强度条件。
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
解,1.截面几何参数计算
200
200
30
30
z
y
c
截面形心坐标：
mm
y
5.157
230200
10030200)15200(30200
1
mmyy 5.7230200 12
y1
y2
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m y1
y2
解,1.截面几何参数计算
200
200
30
30
z
y
c
47
2
3
2
3
1001.6
)5.1 5 72 1 5(302 0 0
12
302 0 0
)1 0 05.1 5 7(302 0 0
12
2 0 030
mm
I
z
截面对 z轴的惯性矩：
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
2.画内力图
10kN
10kN20kN
(FS)
(M)
10kNm
20kNm
kNFF BSS 20m a x
mkNMM C 10m a x
mkNMM B 20m a x
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
3.校核正应力强度(M)
10kNm
20kNm B面,M paI yM
z
4.521001.6 5.1571020 7
6
1m a x
m a x
M paI yM
z
1.241001.6 5.721020 7
6
2m a x
m a x
C面：
M paI yM
z
2.261001.6 5.1571010 7
6
1m a x
m a x
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
3.校核正应力强度(M)
10kNm
20kNm
M p aM p a 604.52m a x
M p aM p a 302.26m a x
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
例题解,1.内力图
2.根据正应力强度选择截面
a a
l
F q
A B
F试为图示梁选用工字钢型号已知：
材料特性, M p a160
M p a1 0 0
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN?45
)(M
)( SF
危险截面：中间截面 mkNM 45
m a x
zW
M m a x
m a x?
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
例题
a a
l
F q
A B
F
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN?45
)(M
)( SF
查表，初选 I22a，截面参数为：
3309 cmW z? cmSI
zz 9.18,?
mmd 5.7?
3.校核切应力强度
kNF S 210m a x?
M paM P a
dSI
F
dI
SF
zz
S
z
zS
100][148
5.7189
10210
):(
3
m a x
m a x
*
m a xm a x
m a x
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
例题
4.改用 I25b
cmSI zz 27.21/ *?
mmd 10? a a
l
F q
A B
F
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN?45
)(M
)( SF
M paM P a
dSI
F
zz
S
10 0][7.98
107.21 2
1021 0
):(
3
m a x
m a x
m a x
故选择 I25b可同时满足正应力强度和切应力强度。
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
A B
L
C D
l
b
B
H
图示主梁 AB为 I22a工字梁，副梁 CD为矩形截面梁，
B=4cm,H=12cm,两梁材料相同，, M p a100
M p a50,L=4m,l=1m,副梁可在主梁上移动，
（ 1）若在副梁中点加集中力 F,求 F的最大允许值 [F]
（ 2）若不用副梁,F力直接加在主梁上，则 [F]=？
F
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
（ 1）在副梁中点加力 F，求最大允许值 [F]
解：
[F]应保证主、
副梁均安全副梁和主梁的内力图：
Fl/4
(M)
lF/2 F/2
A B
L
C D
l
b
B
H
F
C D
l
F
F/2 F/2
(FS)
(M)
MC MD
FA FB
2/m a x FF S
4m a x
FlM
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
lF/2 F/2
A B
L
C D
l
b
B
H
F
(FS)
(M)
MC MD
FA FB
)21( LlLFF A
当
8
7
)
2
1(
,0
m a x
F
L
l
FF S
求最大内力：
)21( LlLFFM AC
0ddM C令
)(766.0
75.1m a x
mNF
MM
mC
mlL 75.142
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
A B
L
C D
l
b
B
H
2/m a x FF S
4m a x
FlM
8
7)
21(m a x
F
L
lFF
S
)(7 6 6.0m a x mNFM
由副梁正应力强度条件：
M p aFWM 10012040 6410 23m a x
kNNF 4.38104.38 3
由主梁正应力强度条件, M p aFWM 1 0 0103 0 9 107 6 6.0 33m a x
kNNF 4.40104.40 3
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
例题
A B
L
C D
l
b
B
H
2/m a x FF S
4m a x
FlM
8
7)
21(m a x
F
L
lFF
S
)(7 6 6.0m a x mNFM
由主梁切应力强度条件：
kNNF 811081 3
M p aFSIb F
zz
S 50
5.71898
7
):( m a x
m a x
综合以上结果，应取 [F] = 38.4kN
§ I3 梁的弯曲?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
（ 2）若不用副梁,F力直接加在主梁上，则 [F]=？
F
若 F力直接加在主梁上，则
FFL S m a x,0?
4/,2/ m a x FLML
zW
FL
4
kNNF 9.30109.30 3
):(
zz SIb
F
例 题 13-3
kNNF 9.70109.70 3
则有,[F] = 30.9kN
思考：
最合理的主梁和副梁设计？
例 题 13-4 § I3 梁的弯曲
例题
D
d
直径为 d 的钢丝绳缠绕在直径为 D 的圆柱上，已知钢材料的屈服极限为,若使钢丝绳缠绕后不产生塑性变形,D 的最小值应为多少？
S?
解,钢丝绳缠绕后产生弯曲变形，钢丝绳横截面内产生弯曲应力，若弯曲应力过大，超出屈服极限，绳内将出现塑性变形。
设弯曲后钢丝绳的曲率半径为?，则绳横截面内的弯矩为：
zEI
M?
1
zEIM?
例 题 13-4 § I3 梁的弯曲
例题
D
d
zEIM?
钢丝绳横截面的弯曲正应力
Ey
I
My
z
SEy?
m a x
m a x
又：
2,22 m a x
dydD
SdD
d
E
2
2
dEdD
S
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
例题简支梁由两块木板组成
（未粘接），两板光滑接触，
求 b
2h
2h
A
C B
P
2l 2l
M
2M
2M
P
解,各板平面假设成立单板
kNlbhP 2.23 0 0 03 1 0 02 0 0103][][
22
§ 13.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
F
x
w
x
挠曲线（轴）
w(x)
(x)
(x)
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
（ 1）截面形心的铅垂位移 —— 挠度 w(x)(向上为正 )
（ 2）截面绕中性轴转过的角度 —— 转角?(x)(?为正 )
F
x
w
x
挠曲线（轴）
w(x)
(x)
(x)
挠度方程 w = w(x) (13.9)
转角方程? =?(x) (13.10)
由平面假设，小变形时得：
dx
dw t a n (13.11)挠度转角关系
2.挠曲线近似微分方程由变形几何关系：
EI
xM
x
)(
)(
1?
平面曲线 w = w(x) 的曲率为
2
3
2 ]))((1[
)(
)(
1)(
xw
xw
x
x
小变形简化,01
dx
dw
)()(1 xwx
EI
xMxw )()(
符号的选择,与 w轴及 M的符号规定有关 —— 取 +号挠曲线近似微分方程
EI
xM
dx
wd )(
2
2
(13.12)
（若梁的 M(x)分段表示，上式也应分段表示）
0)( xw
M>0
§ 13.6 计算梁的位移的积分法挠曲线近似微分方程
EI
xM
dx
wd )(
2
2
(13.12)
对上式积分一次，得转角方程：
CdxEIMdxdwx
l
)(?
(13.13)
再积分一次，得挠度方程：
DCxdxdx
EI
Mdxxxw
l ll
)()(?
(13.14)
其中,C,D为积分常数对分段的 M(x),每段有 2个常数,— 若分 n段，有 2n个常数。
积分常数的确定：
对静定梁 —— 支座处有 2个位移约束条件若梁的 M(x)方程分为 n段表示 —— 共有 n-1个分段点共有 2n个积分常数确定 2n个积分常数的条件（定解条件）：
支座处的约束条件（ 2个）
分段点处的挠度、转角连续条件（ 2(n-1)个 ）
共 2n个条件常见的支座约束条件：
0,
0,0
wlx
wx
0,0,0 dxdwwx?
（ 2）固支端（ ）0,0w
（ 1）铰支座（ ）0?w
x
w
l
例如：
x
w
l
例如：
（ 3）弹簧铰支座（弹簧系数 k）
例如,2/FwkF
BTx
w F
l l
BA
FT
k
Fwlxwx
2,20,0
常见的分段点连续条件：
（ 1）连续的挠曲轴上的分段点连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。
第 i个分段点处：
挠度连续
ii xxixxi ww 1
xi
i
x
wi(x) wi+1(x)
Mi(x) Mi+1(x)
转角连续
ii xxixxi 1
(2) 中间铰处 仅挠度连续，转角不连续
B点挠度连续 lxlx ww 21BA Cw1(x) w2(x)l l
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
例题指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
a a a x
w F q(1)
解,此梁应分为
3段积分，
共 6个常数。
w1(x) w2(x) w3(x)
定解条件：
dx
dw
dx
dw
wwax
dx
dw
dx
dw
wwax
wx
32
32
21
21
1
,0,2
,,
0,0
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
例题
w1(x) w2(x)
解,此梁应分为 2段积分，共 4个常数。
定解条件：
x
w
la
q(2)
弹簧系数为 k
q
ql/2 ql/2
k
ql
wlax
wwax
wx
2
,
,
0,0,0
2
21
11
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题求图示梁的 和
max? maxf
解：
AC段,
111 Fxl
bxM? )0( 1 ax
BFAF
FlbF A? FlaF B?
CB段,)(
2 lxa )()( 2222 axFx
l
FbxM
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
1.列内力方程应分为 2段列内力方程：
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题
BFAF
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
2.分段积分,
AC：
1
2
11 2
1 CFx
l
bwEI
111
3
11 6
1 DxCFx
l
bE I w
22232322 6161 DxCaxFFxlbE I w
222222 2121 CaxFFxlbwEICB：
AC,
111 Fxl
bxM?
CB,)()(
2222 axFxl
FbxM
w1(x) w2(x)
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题
3.定解条件：
解得常数为：
BFAF
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
w1(x) w2(x)
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题
BFAF
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
B
设 a>b
4.求最大转角：
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
例题
BFAF
1x
2x
l
F
a b
w
x
A
BCEI
B
5.求最大挠度：
fmax
设 a>b，应在 AC段出现，令 0
11dx
dw
得：
f中 与 fmax相差由于内力 是载荷 的线性函数。
称为 叠加原理
§ 13.6 位移计算中的叠加原理
1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）
因此同理，结构中的位移 （如 ） 也是载荷的线性函数，故也有
,,,wu
mqF wwww
mqF
2.弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表 13.2
求图示梁的
EI
2l 2l
q
P
A B
C
cf
ET
qlf
cq 384
5 4?
EI
Plf
cP 48
3
q
cqf
P
cPf
例 题 13-7 § I3 梁的弯曲
例题求例 题 13-8 § I3 梁的弯曲
例题
qdx
)43(48 22 xlEIPxf CP
xlqxl qxq 00 22/)(
求
A
2
q
1Cf 2Cf
2
q
2
q
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
例题求解：
3.求结构位移的变形叠加法 —— 分段刚化法
cqf
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
例题
A A
先用载荷叠加法：
（ 1）
（ 2）
对情况（ 1）：
梁的 BC段无变形。
对情况（ 2）,应用分段刚化法。
1
EIFaf CF 3 31
(a)AB段刚化,BC段变形例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
例题
A B
1CFf
(b)BC段刚化,AB段变形
A B C
F
C
A
B C
Fa
B2
2CFf
例 题 13-10 § I3 梁的弯曲
例题
A BC
D
l l
l
EI
EAw
x
F
求图示结构 C点的挠度。
解：
1.BD刚化,AB变形
A BCl lEI
w
x
F
B点相当于简支座：
wC1
EI
Fl
EI
lFw
C 648
)2( 33
1
2.AB刚化,BD变形例 题 13-10 § I3 梁的弯曲
例题
A BC
D
l l
l
EI
EAw
x
F
wB2
EI
Fl
EI
lFw
C 648
)2( 33
1
2.AB刚化,BD变形
wC2 BD杆轴向拉伸：
EA
Fl
EA
l
F
EA
lFlw
w N B DBDBC
42
2
222
2
2
EA
Fl
EI
Flwww
CCC 46
3
21
（负号表示 ）
已知梁的直径 d 及求解,（ 1） AB刚化 BC变形
F
B
C
1Cf
1C?
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
例题
a
a
F
A
B C
（?）
x y
z
(C截面绕 x 轴转过的角度）
（ 2） BC刚化 AB变形例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
例题
a
a
F
A
B C
F
FaM?
B C
A
F
2Cf
02?C?
x y
z
对圆截面杆：
F 使 AB段弯曲
02?C?
M 使 AB段扭转
C截面绕 y轴转过的角度：
EI
Fa
BFC 2
2
BF?
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
例题
a
a
F
A
B C
F
FaM?
x y
z
FaM?
（?）
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
例题
h
b
l
一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力 F，使其平直地与刚性平面 MN接触，已知梁的 E,l,b,h，及?,
求,（ 1） F力多大可将梁压平？
（ 2）压平时梁中的最大正应力。
F F
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
例题
h
b
l
解,曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。
压平后与刚平面接触 —— 地面对梁有均布支持力 q。
q
F F 由平衡条件得：
l
FqFql 2,2
F F
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
例题
h
b
l
q
F F
l
FqFql 2,2
F F
均布载荷简支梁的弯曲挠曲线为：
)2(24 323 xlxlEIqxw
若曲梁变形前的弯曲形状恰好为此形状，则 F力刚好可使该曲梁压平。
压平时，
EI
qlllll
EI
qlw
384
5)
842(482
432
3
中?
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
例题
h
b
l
q
F F
l
FqFql 2,2
F F
EI
ql
3 8 4
5 4
3
33
34 5
16
125
1 9 2
25
3 8 4
2 l
bhEbh
l
El
l
EIqlF
8
2
m a x
qlM?
22
2
2
2
m a x
m a x 5
24
4
326
8 l
hE
bh
l
l
F
bh
ql
W
M
z
4.画出挠曲线的大致形状
(1)满足支座约束条件
(2)挠曲线的凹凸性
(3) 处为挠曲线的拐点挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。
例如：
l a
A
C B
q
拐点
281qa
q a lql 2121 2?
（ M）
A=0?B=0
§ 13.6 提高弯曲强度和刚度的措施
][m a xm a x WM
（ 1） 合理安排梁的受力
1.提高梁的强度的措施分散载荷
4
Pl
)(M
2l 2l
P
2/P
3/l 3/l3/l
2/P
Pl61
)(M
支座位置
)(M
8/81 2 Plql?
lPq /?
l
l2.0 l2.0l6.0
q
10/401 2 Plql?
2501 ql
)(M
(2) 梁的合理截面放置方向
y
z
b
h z
y
h
b
截面形状
(3) 等强度梁使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同
c o n s txW xMx )( )()(m a x
汽车上使用的叠板簧 2P 2P
车床的车刀架伸臂
P
吊车用鱼腹梁
P
2.提高梁的刚度的措施梁的弯曲变形
EI
xMw )(
（ 1）减小 M(x)
（ 2） 减小跨度
（ 3）选择合理截面，增大 Iz
（ 4） 注意各种钢材的 E值相差不大！
