工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 25)
（下册）
§ 12 扭转
§ 12.1 圆轴扭转时的应力分析
1,扭转的概念
4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一特点：
几何 —— 直杆（轴）
圆截面轴（实心、空心）
非圆截面轴外力 —— 仅有轴横截面内的外力偶内力 —— 横截面上只有扭矩变形 —— 横截面绕轴线转动，任意两横截面产生相对扭转角例如，传动轴：主动轮 1，从动轮 2,3
1 2 3
Mt1 Mt2 Mt3
已知：轴的转速 —— n (转 /分,r/min)
该轮传递的功率（输入或输出） —— N (KW)
则该轮处的外力偶矩为：
m i n )/(
)(9 5 4 9)(
rn
KWNmNM
t
主动轮或输入功率处 Mt与 n 同向；
从动轮或输出功率处 Mt与 n 反向。
1 2 3
Mt1 Mt2 Mt3
mNnNM t 1.2 22 83 00709 54 99 54 91
mNM t 9.9543003095492
mNM t 2.1 2 7 33 0 0409 5 4 93
70KW
30KW 40KWn=300 r/min若已知：
2228.1N?m 954.9N?m 1273.2N?m
x1 x
22228.1N?m
T(x1)
1273.2N?m
T(x2)
mNxT 1.2 2 2 8)( 1 mNxT 2.1 2 7 3)( 2
(T)
2228.1N?m
1273.2N?m
2,圆轴扭转应力分析
（ 1）圆轴扭转变形几何关系
MtMt
单元体：纯剪切?
变形后观察：轴向线，仍为直线，长短不变，倾斜?角圆周线，大小形状不变，绕杆轴转动圆轴扭转平面假定：横截面变形后仍为平面，
形状大小不变，绕杆轴转过一个角度。
R
B’
C’
R d?
表层处的单元体 ABCD
的切应变：
dx
dR
dx
Rd
AB
BB
R
O1 O2
A B
CD
dx
R
dx
d
dx
d
(a)
R
O1 O2
A B
CD
B’
C’
d?
dx
距离杆的轴线 O1O2
半径为?处的单元体的切应变为：
其中
dx
d 称为 单位长度的扭转角在某一横截面上
dxd?
常数
在横截面上半径为?处切应变,
且 半径
T
（ 2） 物理关系由剪切胡克定律
dx
dGG
（ b）
故横截面上半径为?处切应力
圆心? =0处,0
0
圆截面周边?=R处，
m a x R
横截面上切应力沿半径三角形分布，且方向垂直于半径。
T
max?
max?
（ 3）静力学关系
dx
d
dx
d
(a)
dx
dGG
（ b）
T
max?
max?
dA
横截面上分布切应力构成的合力偶矩就是该截面上的扭矩 T
dAdxdGdAdxdGdAT
AAA
2
称为 截面极惯性矩,单位,m4,cm4,mm4
记几何量 dAI
Ap
2? (12.1)
由此可求出
dx
d?
dx
dGIdA
dx
dGT
pA
2(c)
dx
dGIT
p
(c)
dx
d
dx
d
(a)
dx
dGG
（ b）
故得出：
pGI
T
dx
d (12.2)
pp I
T
GI
TG
(12.3)
ppp W
T
R
I
T
I
TR
m a x?
(12.4)
记 扭转截面系数
R
IW p
p?单位,m3,cm3,mm3
(12.5)
以上分析只适用于圆截面轴（实心、空心、圆锥轴）
几何量 Ip,Wp,
32
2
42/
0
22 DddAI
D
Ap
16
2
32
34 D
D
D
R
I
W pp
实心圆轴，直径 D,
D
)1(3232 )( 4
444
DdDI p
)1(162/ 4
3
DD IW pp
空心圆轴，内、外径 d,D,?=d/D,
Dd
圆轴扭转时横截面上的切应力分布：
T
pW
T?
m a x?
pW
T?
m a x?
pW
T?
m a x?
实心圆轴,T
pW
T?
m ax?
pW
T?
m ax?
pW
T?
m ax?
空心圆轴：
实验：圆轴扭转
3,扭转时轴内各点的应力状态
主单元体,?1 =
3= -
45°
45
°主方向为 ± 45°
主应力：
1=,?2= 0,?3= -
各点为纯剪切：
pI
T
-
4,扭转应力的测量
TT
max
1=?max
3= -?max
-
45°
纯剪应力状态：由广义胡克定律
)(1 3211 E
m a x
m a xm a x
3145
)1()()(1
EEE
1
45
m a x
E
W
T
p
5,圆轴扭转时的变形分析由单位长度的扭转角：
pGI
T
dx
d (12.2)
故得出相距 dx的两截面间的相对扭转角：
pGI
T d xd
l
TT
xA B
l
p
lAB GI
T d xd
0
A,B两截面间的相对扭转角为：
（ 12.5）
若轴在 l 段内扭矩 T=常数，则：
pGI
Tl (12.6)?的单位为弧度
pGI
Tl (12.6)
扭转变形公式其中 GIp称为 扭转刚度若轴中扭矩为分段常数
i pii
ii
IG
lT? (12.7)
l1 l2 l3
G1Ip1 G2Ip2 G3Ip3
轴向拉压与扭转的比较轴向拉压 扭转构件几何 直杆 圆截面直杆外力 轴向外力 横截面内力偶矩横截面内力轴力 FN 扭矩 T
应力公式变形公式
A
FN
pI
T
pW
T?
m a x?
EA
lFl N
pGI
Tl
6.材料扭转时的力学性能材料的扭转试验：
低碳钢：薄壁圆管扭转低碳钢
（塑性）：
沿横截面、
纵向线出现滑移线铸铁：圆轴扭转铸铁（脆性）：
沿 45° 斜面断开
7.圆轴扭转的强度与刚度计算
（ 1）扭转强度条件工作时最大切应力
m a x
m a x
pW
T (12.8)
许用切应力
nu
塑性材料：
脆性材料：
su
bu
对等截面圆轴，即：
pW
T m a x
m a x
（ 2）扭转刚度条件轴类构件对扭转角的限制条件：
单位长度的扭转角
m a x
1 8 0
pGI
T
(12.9)
单位长度许用扭转角 常用单位：
° /m
工程上,精密仪器传动轴 m/5.0~25.0
一般传动轴 m/0.1~5.0
m/0.2刚度要求不高的轴例 题 1 § 12 扭转
例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
一阶梯轴，轴直径 d2=2d1,
输入功率 N3=30KW,输出功率 N1 =13KW,N2=17KW,轴的转速 n=200rpm,若轴材料的 G=80Gpa,[?]=50Mpa,
(1)根据强度条件设计 d1,d2
(2)按此设计若 []=1.8o/m,
校核刚度条件例 题 1 § 12 扭转
例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
解,1.求出各轮处的外力偶矩，画出扭矩图
mN
n
NM
t
6 2 1
2 0 0
139 5 4 99 5 4 9 3
1
mN
n
NM
t
8 0 9
2 0 0
179 5 4 99 5 4 9 2
2
mN
n
NM
t
1 4 3 0
2 0 0
309 5 4 99 5 4 9 3
3
(T)
621N?m
1430N?m
例 题 1 § 12 扭转
例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
(T)
621N?m
1430N?m
3.强度设计
AB段,
3
1
m a x,1
16
d
T AB
mm
T
d AC
8.39
50
106211616
3
3
31
取 d1=40mm,则 d2=80mm
校核 BC段：
M p a2.14
8016
101 4 3 0
3
3
3
2
m a x,2
16 d
T BC
例 题 1 § 12 扭转
例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
(T)
621N?m
1430N?m
4.刚度条件的校核
AB段：
180
1p
AB
AB GI
T
mm /8.1/77.1
1 8 0
4080
32106 2 1
4
3
BC段：
1 8 0
2p
BC
BC GI
T
mm /8.1/2 5 4.0
1 8 0
8080
32101 4 3 0
4
3
注意单位！
例 题 2 § 12 扭转
例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
(1)求此轴两端的允许外力偶矩 [Mt]。
(2)若要求 l1,l2两段的扭转角相等,l1和 l2各长多少？
(3)校核在最大允许外力偶矩作用下，刚度条件
[]=2o/m是否满足？
图示传动轴全长
L=510mm，外径
D=50mm，长为 l1的一段内径 d1 =25mm，
另一段长为 l2，内径 d2 =38mm，材料的许用切应力
[? ]=70Mpa,G=80Gpa，
例 题 2 § 12 扭转
例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
解：
1.求允许外力偶矩由 l1段的强度条件：
1
m a x,1
p
t
W
M
mN
mmN
D
WM
pt
1 6 1 1
101.1 6 170))
2
1
(1(50
16
16
)1(
443
4
1
3
1
例 题 2 § 12 扭转
例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2由 l2段的强度条件：
2
m a x,2
p
t
W
M
mN
mmN
D
WM
pt
1 1 4 5
105.1 1 470))
50
38
(1(50
16
16
)1(
443
4
2
3
2
应取 [Mt]=Min(1611N·m,1145N·m)=1145N·m
例 题 2 § 12 扭转
例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
2.求 l1和 l2
要求?1=?2,则：
2
2
2
1
1
1
p
t
p
t
GI
lM
GI
lM
4.1)50/38(1 )2/1(111 4
4
4
2
4
1
2
1
2
1?
p
p
I
I
l
l mmll 5 1 021
mmlmml 2 1 22 9 8 21
例 题 2 § 12 扭转
例题
3.校核刚度
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
对 l1段：
mm
GI
M
p
t
/2/43.1
180
))2/1(1(50
32
1080
10101145180
443
33
1
1
对 l2段：
mllGI M
p
t /01.243.1
298
212180
1
2
1
2
2
%5%5.02 201.2
但 满足刚度条件
8.非圆截面轴的扭转与圆截面轴的扭转有本质区别：
不满足平截面假定 —— 横截面出现翘曲比较：圆截面轴的扭转矩形截面轴自由扭转的结果：
（ 1）截面周边处?的方向与边界相切
（ 2）四个角点处?=0
max
T
b
h
=0? =0
=0? =0
短边中点处切应力也较大：
m a x1
（ 3）截面内切应力最大值发生在长边中点处：
2m a x hb
T
(12.10)
(4)总扭转角
3hbG
Tl
GI
Tl
t?
(12.11)
其中,为与 有关的因数，可查表 12.1
,,bh
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0?
0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.754 0.743 0.743 0.743 0.743
表 12.1 矩形截面杆扭转时的因数?,?,?
当 h/b,即截面为狭长矩形（狭长条）,?=1/3,?=1/3
h h
b
b
22m a x
3
hb
T
hb
T
33
3
G h b
Tl
hbG
Tl
(12.12)
(12.13)
上式也可用于 L形,C形,U 形等 (展开计算长度 )
9,薄壁杆件的自由扭转工程中常见的各种型钢（ T,I,L,U，,等）
特点：横截面内壁厚远小于另一方向尺寸
（ 1）开口薄壁杆自由扭转
h1
h2
1
2
h1
1
h2
2
由若干个狭长条组合而成，截面中线不构成封闭曲线。
可分割为若干个狭长条设每个狭长条为 hi,?i
该条上担负扭矩为 Ti，扭转角为?i
则有：
截面上的总扭矩
i
iTT
截面的扭转角
i21
对每一个狭长条，有：
3
3
ii
i
i Gh
lT
即
3
3
33 iii
ii
i hl
G
l
GhT
t
i
ii
i
i Il
Gh
l
GTT
3
3
i
ii
t
hI
3
3? (12.14)
tGI
Tl (12.15)
h1
1
h2
2 T1
T2
T
33
33
ii
t
ii
t
i
h
I
Th
GI
Tl
l
GT
(12.16)
h1
1
h2
2
由式 (12.12)，对第 i个狭长条上的最大切应力，有,
33
33
ii
t
ii
t
i
h
I
Th
GI
Tl
l
GT
(12.16)
t
iii
tiiii
i
i I
Th
I
T
hh
T
3
33 3
22m a x,
（ 12.17）故整个截面上的最大切应力为：
tI
T m a x
m a x
(12.18)
截面上各部分的切应力与截面宽度呈正比
T
开口薄壁杆的扭转切应力
（ 2）闭口薄壁杆自由扭转横截面由内、外的封闭曲线构成截面中线 s
壁厚? =?(s)
(s)
C?
s? 设：沿壁厚方向上切应力均布
s?
剪力流的含义：单位长度中线的横截面积上的内力
ds
T
剪力流,t =s(s) = 常数 （ 12.19）
SSS
tdstt dsdsssT 2)()(
（ 12.20）
为截面中线 s 包围的面积
SSS
tdstt dsdsssT 2)()(
（ 12.20）
C?
s?
ds
T
Tsst )()(22
)(2)( s
Ts
（ 12.21)
截面上的最大切应力为：
m i n
m a x 2
T? (12.22)
截面两端的扭转角：
S s
ds
G
Tl
)(4 2
(12.23)
例 题 3 § 12 扭转
例题试比较相同材料（ [?]=50Mpa），不同形状的几种截面（但截面积相同）的杆件，依强度条件求出的最大允许扭矩。
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
解,（ 1）实心正方形
50][10 020 8.020 8.0 322m a x TaThbT
mkNmmNT 4.101004.150102 0 8.0 76
mkN?4.10
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(2)闭口空心圆
][
)
3
21(
16
1 5 0)1(
16 4
43
4
3m a x
T
D
T
W
T
p
mkNT 3.2750)321(15016 4
4
2?
mkN?4.10
mkN?3.27
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(3)开口空心圆
][251 253 33.0251 25 222m a x TThbT
kNT 09.450251 2 53 3 3.0 2
(展开为狭长矩形）
mkN?4.10
mkN?3.27 mkN?09.4
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(4)闭口空心正方形
][5.85.29122 2m a x TT
mkNT 2.72505.85.2912 2
mkN?4.10
mkN?3.27 mkN?09.4 mkN?2.72
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(5)开口空心正方形
mkNT 4.1505.845.291333.0 2
][5.845.291333.0 22m a x ThbT
抗扭强度依次增加：
(展开为狭长矩形）
mkN?4.10
mkN?3.27 mkN?09.4 mkN?2.72 mkN?4.1
（ 5）（ 3）（ 1）（ 2）（ 4）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 25)
（下册）
§ 12 扭转
§ 12.1 圆轴扭转时的应力分析
1,扭转的概念
4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一特点：
几何 —— 直杆（轴）
圆截面轴（实心、空心）
非圆截面轴外力 —— 仅有轴横截面内的外力偶内力 —— 横截面上只有扭矩变形 —— 横截面绕轴线转动，任意两横截面产生相对扭转角例如，传动轴：主动轮 1，从动轮 2,3
1 2 3
Mt1 Mt2 Mt3
已知：轴的转速 —— n (转 /分,r/min)
该轮传递的功率（输入或输出） —— N (KW)
则该轮处的外力偶矩为：
m i n )/(
)(9 5 4 9)(
rn
KWNmNM
t
主动轮或输入功率处 Mt与 n 同向；
从动轮或输出功率处 Mt与 n 反向。
1 2 3
Mt1 Mt2 Mt3
mNnNM t 1.2 22 83 00709 54 99 54 91
mNM t 9.9543003095492
mNM t 2.1 2 7 33 0 0409 5 4 93
70KW
30KW 40KWn=300 r/min若已知：
2228.1N?m 954.9N?m 1273.2N?m
x1 x
22228.1N?m
T(x1)
1273.2N?m
T(x2)
mNxT 1.2 2 2 8)( 1 mNxT 2.1 2 7 3)( 2
(T)
2228.1N?m
1273.2N?m
2,圆轴扭转应力分析
（ 1）圆轴扭转变形几何关系
MtMt
单元体：纯剪切?
变形后观察：轴向线，仍为直线，长短不变，倾斜?角圆周线，大小形状不变，绕杆轴转动圆轴扭转平面假定：横截面变形后仍为平面，
形状大小不变，绕杆轴转过一个角度。
R
B’
C’
R d?
表层处的单元体 ABCD
的切应变：
dx
dR
dx
Rd
AB
BB
R
O1 O2
A B
CD
dx
R
dx
d
dx
d
(a)
R
O1 O2
A B
CD
B’
C’
d?
dx
距离杆的轴线 O1O2
半径为?处的单元体的切应变为：
其中
dx
d 称为 单位长度的扭转角在某一横截面上
dxd?
常数
在横截面上半径为?处切应变,
且 半径
T
（ 2） 物理关系由剪切胡克定律
dx
dGG
（ b）
故横截面上半径为?处切应力
圆心? =0处,0
0
圆截面周边?=R处，
m a x R
横截面上切应力沿半径三角形分布，且方向垂直于半径。
T
max?
max?
（ 3）静力学关系
dx
d
dx
d
(a)
dx
dGG
（ b）
T
max?
max?
dA
横截面上分布切应力构成的合力偶矩就是该截面上的扭矩 T
dAdxdGdAdxdGdAT
AAA
2
称为 截面极惯性矩,单位,m4,cm4,mm4
记几何量 dAI
Ap
2? (12.1)
由此可求出
dx
d?
dx
dGIdA
dx
dGT
pA
2(c)
dx
dGIT
p
(c)
dx
d
dx
d
(a)
dx
dGG
（ b）
故得出：
pGI
T
dx
d (12.2)
pp I
T
GI
TG
(12.3)
ppp W
T
R
I
T
I
TR
m a x?
(12.4)
记 扭转截面系数
R
IW p
p?单位,m3,cm3,mm3
(12.5)
以上分析只适用于圆截面轴（实心、空心、圆锥轴）
几何量 Ip,Wp,
32
2
42/
0
22 DddAI
D
Ap
16
2
32
34 D
D
D
R
I
W pp
实心圆轴，直径 D,
D
)1(3232 )( 4
444
DdDI p
)1(162/ 4
3
DD IW pp
空心圆轴，内、外径 d,D,?=d/D,
Dd
圆轴扭转时横截面上的切应力分布：
T
pW
T?
m a x?
pW
T?
m a x?
pW
T?
m a x?
实心圆轴,T
pW
T?
m ax?
pW
T?
m ax?
pW
T?
m ax?
空心圆轴：
实验：圆轴扭转
3,扭转时轴内各点的应力状态
主单元体,?1 =
3= -
45°
45
°主方向为 ± 45°
主应力：
1=,?2= 0,?3= -
各点为纯剪切：
pI
T
-
4,扭转应力的测量
TT
max
1=?max
3= -?max
-
45°
纯剪应力状态：由广义胡克定律
)(1 3211 E
m a x
m a xm a x
3145
)1()()(1
EEE
1
45
m a x
E
W
T
p
5,圆轴扭转时的变形分析由单位长度的扭转角：
pGI
T
dx
d (12.2)
故得出相距 dx的两截面间的相对扭转角：
pGI
T d xd
l
TT
xA B
l
p
lAB GI
T d xd
0
A,B两截面间的相对扭转角为：
（ 12.5）
若轴在 l 段内扭矩 T=常数，则：
pGI
Tl (12.6)?的单位为弧度
pGI
Tl (12.6)
扭转变形公式其中 GIp称为 扭转刚度若轴中扭矩为分段常数
i pii
ii
IG
lT? (12.7)
l1 l2 l3
G1Ip1 G2Ip2 G3Ip3
轴向拉压与扭转的比较轴向拉压 扭转构件几何 直杆 圆截面直杆外力 轴向外力 横截面内力偶矩横截面内力轴力 FN 扭矩 T
应力公式变形公式
A
FN
pI
T
pW
T?
m a x?
EA
lFl N
pGI
Tl
6.材料扭转时的力学性能材料的扭转试验：
低碳钢：薄壁圆管扭转低碳钢
（塑性）：
沿横截面、
纵向线出现滑移线铸铁：圆轴扭转铸铁（脆性）：
沿 45° 斜面断开
7.圆轴扭转的强度与刚度计算
（ 1）扭转强度条件工作时最大切应力
m a x
m a x
pW
T (12.8)
许用切应力
nu
塑性材料：
脆性材料：
su
bu
对等截面圆轴，即：
pW
T m a x
m a x
（ 2）扭转刚度条件轴类构件对扭转角的限制条件：
单位长度的扭转角
m a x
1 8 0
pGI
T
(12.9)
单位长度许用扭转角 常用单位：
° /m
工程上,精密仪器传动轴 m/5.0~25.0
一般传动轴 m/0.1~5.0
m/0.2刚度要求不高的轴例 题 1 § 12 扭转
例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
一阶梯轴，轴直径 d2=2d1,
输入功率 N3=30KW,输出功率 N1 =13KW,N2=17KW,轴的转速 n=200rpm,若轴材料的 G=80Gpa,[?]=50Mpa,
(1)根据强度条件设计 d1,d2
(2)按此设计若 []=1.8o/m,
校核刚度条件例 题 1 § 12 扭转
例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
解,1.求出各轮处的外力偶矩，画出扭矩图
mN
n
NM
t
6 2 1
2 0 0
139 5 4 99 5 4 9 3
1
mN
n
NM
t
8 0 9
2 0 0
179 5 4 99 5 4 9 2
2
mN
n
NM
t
1 4 3 0
2 0 0
309 5 4 99 5 4 9 3
3
(T)
621N?m
1430N?m
例 题 1 § 12 扭转
例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
(T)
621N?m
1430N?m
3.强度设计
AB段,
3
1
m a x,1
16
d
T AB
mm
T
d AC
8.39
50
106211616
3
3
31
取 d1=40mm,则 d2=80mm
校核 BC段：
M p a2.14
8016
101 4 3 0
3
3
3
2
m a x,2
16 d
T BC
例 题 1 § 12 扭转
例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
(T)
621N?m
1430N?m
4.刚度条件的校核
AB段：
180
1p
AB
AB GI
T
mm /8.1/77.1
1 8 0
4080
32106 2 1
4
3
BC段：
1 8 0
2p
BC
BC GI
T
mm /8.1/2 5 4.0
1 8 0
8080
32101 4 3 0
4
3
注意单位！
例 题 2 § 12 扭转
例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
(1)求此轴两端的允许外力偶矩 [Mt]。
(2)若要求 l1,l2两段的扭转角相等,l1和 l2各长多少？
(3)校核在最大允许外力偶矩作用下，刚度条件
[]=2o/m是否满足？
图示传动轴全长
L=510mm，外径
D=50mm，长为 l1的一段内径 d1 =25mm，
另一段长为 l2，内径 d2 =38mm，材料的许用切应力
[? ]=70Mpa,G=80Gpa，
例 题 2 § 12 扭转
例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
解：
1.求允许外力偶矩由 l1段的强度条件：
1
m a x,1
p
t
W
M
mN
mmN
D
WM
pt
1 6 1 1
101.1 6 170))
2
1
(1(50
16
16
)1(
443
4
1
3
1
例 题 2 § 12 扭转
例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2由 l2段的强度条件：
2
m a x,2
p
t
W
M
mN
mmN
D
WM
pt
1 1 4 5
105.1 1 470))
50
38
(1(50
16
16
)1(
443
4
2
3
2
应取 [Mt]=Min(1611N·m,1145N·m)=1145N·m
例 题 2 § 12 扭转
例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
2.求 l1和 l2
要求?1=?2,则：
2
2
2
1
1
1
p
t
p
t
GI
lM
GI
lM
4.1)50/38(1 )2/1(111 4
4
4
2
4
1
2
1
2
1?
p
p
I
I
l
l mmll 5 1 021
mmlmml 2 1 22 9 8 21
例 题 2 § 12 扭转
例题
3.校核刚度
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
对 l1段：
mm
GI
M
p
t
/2/43.1
180
))2/1(1(50
32
1080
10101145180
443
33
1
1
对 l2段：
mllGI M
p
t /01.243.1
298
212180
1
2
1
2
2
%5%5.02 201.2
但 满足刚度条件
8.非圆截面轴的扭转与圆截面轴的扭转有本质区别：
不满足平截面假定 —— 横截面出现翘曲比较：圆截面轴的扭转矩形截面轴自由扭转的结果：
（ 1）截面周边处?的方向与边界相切
（ 2）四个角点处?=0
max
T
b
h
=0? =0
=0? =0
短边中点处切应力也较大：
m a x1
（ 3）截面内切应力最大值发生在长边中点处：
2m a x hb
T
(12.10)
(4)总扭转角
3hbG
Tl
GI
Tl
t?
(12.11)
其中,为与 有关的因数，可查表 12.1
,,bh
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0?
0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.754 0.743 0.743 0.743 0.743
表 12.1 矩形截面杆扭转时的因数?,?,?
当 h/b,即截面为狭长矩形（狭长条）,?=1/3,?=1/3
h h
b
b
22m a x
3
hb
T
hb
T
33
3
G h b
Tl
hbG
Tl
(12.12)
(12.13)
上式也可用于 L形,C形,U 形等 (展开计算长度 )
9,薄壁杆件的自由扭转工程中常见的各种型钢（ T,I,L,U，,等）
特点：横截面内壁厚远小于另一方向尺寸
（ 1）开口薄壁杆自由扭转
h1
h2
1
2
h1
1
h2
2
由若干个狭长条组合而成，截面中线不构成封闭曲线。
可分割为若干个狭长条设每个狭长条为 hi,?i
该条上担负扭矩为 Ti，扭转角为?i
则有：
截面上的总扭矩
i
iTT
截面的扭转角
i21
对每一个狭长条，有：
3
3
ii
i
i Gh
lT
即
3
3
33 iii
ii
i hl
G
l
GhT
t
i
ii
i
i Il
Gh
l
GTT
3
3
i
ii
t
hI
3
3? (12.14)
tGI
Tl (12.15)
h1
1
h2
2 T1
T2
T
33
33
ii
t
ii
t
i
h
I
Th
GI
Tl
l
GT
(12.16)
h1
1
h2
2
由式 (12.12)，对第 i个狭长条上的最大切应力，有,
33
33
ii
t
ii
t
i
h
I
Th
GI
Tl
l
GT
(12.16)
t
iii
tiiii
i
i I
Th
I
T
hh
T
3
33 3
22m a x,
（ 12.17）故整个截面上的最大切应力为：
tI
T m a x
m a x
(12.18)
截面上各部分的切应力与截面宽度呈正比
T
开口薄壁杆的扭转切应力
（ 2）闭口薄壁杆自由扭转横截面由内、外的封闭曲线构成截面中线 s
壁厚? =?(s)
(s)
C?
s? 设：沿壁厚方向上切应力均布
s?
剪力流的含义：单位长度中线的横截面积上的内力
ds
T
剪力流,t =s(s) = 常数 （ 12.19）
SSS
tdstt dsdsssT 2)()(
（ 12.20）
为截面中线 s 包围的面积
SSS
tdstt dsdsssT 2)()(
（ 12.20）
C?
s?
ds
T
Tsst )()(22
)(2)( s
Ts
（ 12.21)
截面上的最大切应力为：
m i n
m a x 2
T? (12.22)
截面两端的扭转角：
S s
ds
G
Tl
)(4 2
(12.23)
例 题 3 § 12 扭转
例题试比较相同材料（ [?]=50Mpa），不同形状的几种截面（但截面积相同）的杆件，依强度条件求出的最大允许扭矩。
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
解,（ 1）实心正方形
50][10 020 8.020 8.0 322m a x TaThbT
mkNmmNT 4.101004.150102 0 8.0 76
mkN?4.10
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(2)闭口空心圆
][
)
3
21(
16
1 5 0)1(
16 4
43
4
3m a x
T
D
T
W
T
p
mkNT 3.2750)321(15016 4
4
2?
mkN?4.10
mkN?3.27
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(3)开口空心圆
][251 253 33.0251 25 222m a x TThbT
kNT 09.450251 2 53 3 3.0 2
(展开为狭长矩形）
mkN?4.10
mkN?3.27 mkN?09.4
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(4)闭口空心正方形
][5.85.29122 2m a x TT
mkNT 2.72505.85.2912 2
mkN?4.10
mkN?3.27 mkN?09.4 mkN?2.72
例 题 3 § 12 扭转
例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(5)开口空心正方形
mkNT 4.1505.845.291333.0 2
][5.845.291333.0 22m a x ThbT
抗扭强度依次增加：
(展开为狭长矩形）
mkN?4.10
mkN?3.27 mkN?09.4 mkN?2.72 mkN?4.1
（ 5）（ 3）（ 1）（ 2）（ 4）
