工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(9)
§ 3.5 刚体的复合运动讨论同一刚体在不同参考系（定系和动系）中的运动学量（角速度、角加速度）之间的关系。
设刚体的绝对运动为平面运动，所选择的动系牵连运动也为平面运动，则刚体的相对运动也为平面运动。
1,刚体的角速度、角加速度合成关系
A
B
x
y
O
a
x’
y’
O’
r
e
任意时刻方位角之间有
)()()( ttt rea (3.23)
求导得 rea
角速度合成关系
rea
rea
(3.24)
(3.25)
即得刚体在不同参考系中方位角的定义对（ 3.25）式求导：
dt
d
dt
d
dt
d rea
而
dt
d
dt
d e
e
a
a
,
rre
rr
dt
d
dt
d ~
利用（ 3.1）式，并注意到
re
//0
2.刚体平面运动的分解 —— 分解为平动 +定轴转动任选一个动系，则绝对运动为平面运动的刚体可分解为绝对运动（平面运动） = 牵连运动 + 相对运动其中牵连与相对运动各为何种运动，取决于动系的运动。
rea
(3.26) 角加速度合成关系即若选择一个特殊的动系 ——
动系原点 O’与刚体上的一点
A铰接,动系以点 A的运动规律作平动,则有
y’
x’
O x
y
A
B
BAr?
刚体的绝对运动 —— 平面运动动系的牵连运动 —— 与点 A相同规律的平动刚体的相对运动 —— 绕 A轴的定轴转动
0,0 ee
根据刚体角速度、角加速度合成关系有 rara,
若选取刚体上的点 B 为动点，则由速度合成关系
BArABrBeBa rvvvv
(1)
若选取刚体上的点 B 为动点，则由速度合成关系
BArABrBeBa rvvvv
(1)
又，在定系中，根据 AB两点速度关系
BAaABAAB rvvvv
（ 2）
考虑到,故两式完全相同。
ra
0
定系中 AB两点加速度关系
)( BAaaBAaA
n
BABAAB
rra
aaaa
(4)
BcBrBeBa aaaa
动点 B加速度合成关系
(3)
)( BArrBArAnBrBrA rraaaa
同样，两式完全相同。
y’
x’
O x
y
A
B
BAr?
3.一种刚体平面运动的特殊形式 —— 可分解为两个定轴转动的合成
x
y
A
O
S
x’
y’
若平面图形 S的运动满足：
S上一点 A距定系中某固定点 O距离始终不变 （即 A
点绝对运动轨迹为圆），
可取动系固连于 OA连线（动系绕 O轴定轴转动），
则 S的相对运动为绕 A轴的定轴转动。
由于 O轴 //A轴，故 分解为绕两平行轴转动的合成 。
其中特例,若
re
则根据角速度合成关系有
0 rea
刚体此种特殊的运动称为 转动偶。
利用刚体的复合运动解题的注意事项
2.常见的各种轮系机构、行星传动机构可利用刚体的复合运动观点进行求解。
1.刚体的复合运动给出的是刚体的整体运动学量 ——
刚体的角速度、角加速度的合成关系。
4.求解过程中，常同时利用点的复合运动关系式（如动点的速度合成关系、加速度合成关系）。
3.在某一参考系中作 定轴转动的定轴轮系机构 的传动，
两相互接触的齿轮或带轮角速度之间满足关系：
1
2
1
2
2
1
R
R
z
z
其中,zi为齿数,Ri为轮子半径。
行星齿轮减速机构如图所示,作定轴转动的齿轮 Ⅰ,同啮合于固定内齿轮 Ⅲ 的行星齿轮 Ⅱ,带动系杆 Ⅳ (OA)转动 。
已知各齿轮的齿数分别是 z1，
z2和 z3。 假定齿轮 Ⅰ 角速度的大小是 ω1,转向沿逆钟向,试求系杆 Ⅳ 即 OA的角速度 ω4 。
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
例 题 10
§ 3 复合运动
例题例 题 10
例题
§ 3 复合运动
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
已知齿轮 Ⅰ 的绝对角速度 ω1
(?),故如能求出它对于动系的相对角速度 ω1r,就可以求出牵连角速度 ω4 。
ω 3r= ω4
解,把动系固连于系杆 OA上,则牵连角速度 ωe就是待求的角速度 ω4 （ 设为?）,即 ωe = ω4 （?） 。
轮系对于动系的相对运动是定轴轮系传动,设内齿轮 Ⅲ 的例 题 10
例题
§ 3 复合运动即有 ω 3= ωe - ω3r= ω4 - ω3r= 0,故有 ω3r= ω4 (?)
相对角速度 ω 3r(?),绝对角速度 ω 3=0。由角速度合成关系
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
由此可得齿轮 Ⅰ 的相对角速度
4
1
3
r3
1
3
1r z
z
z
z (?)
对相对运动应用定轴系传动比公式,设 ω2r(?),ω1r (?),有例 题 10
例题根据刚体角速度合成公式，
§ 3 复合运动
ω 3r= ω4
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
ω2r
ω1r
故求得杆 OA 的绝对角速度为
1
31
1
4 zz
z
OA
(?)
,
1
2
1
2
r2
r1
R
R
z
z
,
2
3
2
3
r3
r2
R
R
z
z
其中 zi为齿轮齿数,Ri为齿轮半径
4
1
3
4r1e1 z
z (?)求得齿轮 Ⅰ 的绝对角速度例 题 11
例题 § 3 复合运动曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄 OA以匀角速度?r 作顺时针方向转动，
已知 OA=l,AB= l,求图示瞬时滑块 B的速度和加速度。
3
例题 6 的另一种解法
O
A
B?r
O
A
B?r
例 题 11
例题
§ 3 复合运动解,1.运动分析 杆 OA定轴转动，杆 AB一般平面运动，滑块 B水平平动。
已知的运动学量为 AB杆相对于 OA杆的角速度，即将动系固连于 OA杆时,AB杆的相对角速度为?r 。
2.速度分析由 AB两点绝对速度方向均为水平可知，杆 AB
为瞬时平动 即 0?AB
a?
Bv?
建立动系与杆 OA固连，则有 （设为?）OAe
OA
Av?
且 0, ABarABr 故 rOAreABa,0(?)
rOABA llvv
(?)
例 题 11
例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
Av?
Bv?
OA
2.加速度分析由于?r=常数，故?r=0,由角加速度合成关系 rea
有
OAreAB 设为 (?)
定系中 AB两点的加速度有
nBABAnAAB aaaaa
方向
0
大小？ l?OA
2OAl? ABl3
Ba?
Aa?
nAa?
BAa?
OA?
AB?
分别在 x,y方向上投影 2
3
3
rOAAB
(?) 2
3
3
rB la
(?)
例 题 12
例题 § 3 复合运动图示机构，已知系杆 OA=3R,AE=1.5R，系杆 OA
的角速度 ω0=常数，试求图示位置曲柄 O1B的角速度和角加速度。
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
例 题 12
例题 § 3 复合运动解：
1.运动分析,杆 OA,O1B定轴转动，轮?不动，
轮,Ш 和套筒 E一般平面运动。
2.速度分析,建立 动系 e1与杆 OA固连 (绕 O定轴转动动系 )。
轮系?,,Ш的相对运动为定轴轮系运动，
各轮相对角速度有
2
1
1
2
2
1
R
R
r
r
2
2
3
3
2
R
R
r
r
312 22 rrr
(1)
方向如图
r1
r2
r3动系 e1
例 题 12
例题 § 3 复合运动由于?e=?0 (?),根据角速度合成关系，
有
01101,0 rra
(?)
故 013 rr 012 22 rr(?) (?)
设?a2为 (?)，则有
0202 3 ra
(?)
设?a3为 (?)，则有
000303 ra
轮 Ш 平动！
a2
a3
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
r1
r2
r3动系 e1
a2
a3
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
r1
r2
r3
例 题 12
例题 § 3 复合运动由于轮 Ш 平动，故
03?Rvv AE
(?)
建立 动系 e2与曲柄 O1B固连 (定轴转动动系 ),动点为套筒 E。
ErEeE vvv
方向
vA vE
Eev?
Erv?
大小? O1E·?O1B?
得
h
R
BO
v E
BO 4
3360c os 0
1
1
2
3360s i n 0?Rvv
EEr
(?)
(?)
O1B
动系 e1
动系 e2
a2
a3
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
r1
r2
r3
O1B
例 题 12
例题 § 3 复合运动
3.加速度分析,对动点 E，动系 e2，有
EcErEeE aaaa
而轮 Ш平动，故 (?)nAAE aaa
即
EcEr
n
EeEe
n
A aaaaa
方向
大小 3R O1E? O1E? 2
0? BO1? 21BO? ErBO v12?
Ea?
nAa?
Eea?
nEea?
Era?
Eca?
在?方向投影，得
2
028
32718
1 Rh
Rh
BO
(负号表示?)
O1B
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(9)
§ 3.5 刚体的复合运动讨论同一刚体在不同参考系（定系和动系）中的运动学量（角速度、角加速度）之间的关系。
设刚体的绝对运动为平面运动，所选择的动系牵连运动也为平面运动，则刚体的相对运动也为平面运动。
1,刚体的角速度、角加速度合成关系
A
B
x
y
O
a
x’
y’
O’
r
e
任意时刻方位角之间有
)()()( ttt rea (3.23)
求导得 rea
角速度合成关系
rea
rea
(3.24)
(3.25)
即得刚体在不同参考系中方位角的定义对（ 3.25）式求导：
dt
d
dt
d
dt
d rea
而
dt
d
dt
d e
e
a
a
,
rre
rr
dt
d
dt
d ~
利用（ 3.1）式，并注意到
re
//0
2.刚体平面运动的分解 —— 分解为平动 +定轴转动任选一个动系，则绝对运动为平面运动的刚体可分解为绝对运动（平面运动） = 牵连运动 + 相对运动其中牵连与相对运动各为何种运动，取决于动系的运动。
rea
(3.26) 角加速度合成关系即若选择一个特殊的动系 ——
动系原点 O’与刚体上的一点
A铰接,动系以点 A的运动规律作平动,则有
y’
x’
O x
y
A
B
BAr?
刚体的绝对运动 —— 平面运动动系的牵连运动 —— 与点 A相同规律的平动刚体的相对运动 —— 绕 A轴的定轴转动
0,0 ee
根据刚体角速度、角加速度合成关系有 rara,
若选取刚体上的点 B 为动点，则由速度合成关系
BArABrBeBa rvvvv
(1)
若选取刚体上的点 B 为动点，则由速度合成关系
BArABrBeBa rvvvv
(1)
又，在定系中，根据 AB两点速度关系
BAaABAAB rvvvv
（ 2）
考虑到,故两式完全相同。
ra
0
定系中 AB两点加速度关系
)( BAaaBAaA
n
BABAAB
rra
aaaa
(4)
BcBrBeBa aaaa
动点 B加速度合成关系
(3)
)( BArrBArAnBrBrA rraaaa
同样，两式完全相同。
y’
x’
O x
y
A
B
BAr?
3.一种刚体平面运动的特殊形式 —— 可分解为两个定轴转动的合成
x
y
A
O
S
x’
y’
若平面图形 S的运动满足：
S上一点 A距定系中某固定点 O距离始终不变 （即 A
点绝对运动轨迹为圆），
可取动系固连于 OA连线（动系绕 O轴定轴转动），
则 S的相对运动为绕 A轴的定轴转动。
由于 O轴 //A轴，故 分解为绕两平行轴转动的合成 。
其中特例,若
re
则根据角速度合成关系有
0 rea
刚体此种特殊的运动称为 转动偶。
利用刚体的复合运动解题的注意事项
2.常见的各种轮系机构、行星传动机构可利用刚体的复合运动观点进行求解。
1.刚体的复合运动给出的是刚体的整体运动学量 ——
刚体的角速度、角加速度的合成关系。
4.求解过程中，常同时利用点的复合运动关系式（如动点的速度合成关系、加速度合成关系）。
3.在某一参考系中作 定轴转动的定轴轮系机构 的传动，
两相互接触的齿轮或带轮角速度之间满足关系：
1
2
1
2
2
1
R
R
z
z
其中,zi为齿数,Ri为轮子半径。
行星齿轮减速机构如图所示,作定轴转动的齿轮 Ⅰ,同啮合于固定内齿轮 Ⅲ 的行星齿轮 Ⅱ,带动系杆 Ⅳ (OA)转动 。
已知各齿轮的齿数分别是 z1，
z2和 z3。 假定齿轮 Ⅰ 角速度的大小是 ω1,转向沿逆钟向,试求系杆 Ⅳ 即 OA的角速度 ω4 。
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
例 题 10
§ 3 复合运动
例题例 题 10
例题
§ 3 复合运动
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
已知齿轮 Ⅰ 的绝对角速度 ω1
(?),故如能求出它对于动系的相对角速度 ω1r,就可以求出牵连角速度 ω4 。
ω 3r= ω4
解,把动系固连于系杆 OA上,则牵连角速度 ωe就是待求的角速度 ω4 （ 设为?）,即 ωe = ω4 （?） 。
轮系对于动系的相对运动是定轴轮系传动,设内齿轮 Ⅲ 的例 题 10
例题
§ 3 复合运动即有 ω 3= ωe - ω3r= ω4 - ω3r= 0,故有 ω3r= ω4 (?)
相对角速度 ω 3r(?),绝对角速度 ω 3=0。由角速度合成关系
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
由此可得齿轮 Ⅰ 的相对角速度
4
1
3
r3
1
3
1r z
z
z
z (?)
对相对运动应用定轴系传动比公式,设 ω2r(?),ω1r (?),有例 题 10
例题根据刚体角速度合成公式，
§ 3 复合运动
ω 3r= ω4
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
ω2r
ω1r
故求得杆 OA 的绝对角速度为
1
31
1
4 zz
z
OA
(?)
,
1
2
1
2
r2
r1
R
R
z
z
,
2
3
2
3
r3
r2
R
R
z
z
其中 zi为齿轮齿数,Ri为齿轮半径
4
1
3
4r1e1 z
z (?)求得齿轮 Ⅰ 的绝对角速度例 题 11
例题 § 3 复合运动曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄 OA以匀角速度?r 作顺时针方向转动，
已知 OA=l,AB= l,求图示瞬时滑块 B的速度和加速度。
3
例题 6 的另一种解法
O
A
B?r
O
A
B?r
例 题 11
例题
§ 3 复合运动解,1.运动分析 杆 OA定轴转动，杆 AB一般平面运动，滑块 B水平平动。
已知的运动学量为 AB杆相对于 OA杆的角速度，即将动系固连于 OA杆时,AB杆的相对角速度为?r 。
2.速度分析由 AB两点绝对速度方向均为水平可知，杆 AB
为瞬时平动 即 0?AB
a?
Bv?
建立动系与杆 OA固连，则有 （设为?）OAe
OA
Av?
且 0, ABarABr 故 rOAreABa,0(?)
rOABA llvv
(?)
例 题 11
例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
Av?
Bv?
OA
2.加速度分析由于?r=常数，故?r=0,由角加速度合成关系 rea
有
OAreAB 设为 (?)
定系中 AB两点的加速度有
nBABAnAAB aaaaa
方向
0
大小？ l?OA
2OAl? ABl3
Ba?
Aa?
nAa?
BAa?
OA?
AB?
分别在 x,y方向上投影 2
3
3
rOAAB
(?) 2
3
3
rB la
(?)
例 题 12
例题 § 3 复合运动图示机构，已知系杆 OA=3R,AE=1.5R，系杆 OA
的角速度 ω0=常数，试求图示位置曲柄 O1B的角速度和角加速度。
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
例 题 12
例题 § 3 复合运动解：
1.运动分析,杆 OA,O1B定轴转动，轮?不动，
轮,Ш 和套筒 E一般平面运动。
2.速度分析,建立 动系 e1与杆 OA固连 (绕 O定轴转动动系 )。
轮系?,,Ш的相对运动为定轴轮系运动，
各轮相对角速度有
2
1
1
2
2
1
R
R
r
r
2
2
3
3
2
R
R
r
r
312 22 rrr
(1)
方向如图
r1
r2
r3动系 e1
例 题 12
例题 § 3 复合运动由于?e=?0 (?),根据角速度合成关系，
有
01101,0 rra
(?)
故 013 rr 012 22 rr(?) (?)
设?a2为 (?)，则有
0202 3 ra
(?)
设?a3为 (?)，则有
000303 ra
轮 Ш 平动！
a2
a3
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
r1
r2
r3动系 e1
a2
a3
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
r1
r2
r3
例 题 12
例题 § 3 复合运动由于轮 Ш 平动，故
03?Rvv AE
(?)
建立 动系 e2与曲柄 O1B固连 (定轴转动动系 ),动点为套筒 E。
ErEeE vvv
方向
vA vE
Eev?
Erv?
大小? O1E·?O1B?
得
h
R
BO
v E
BO 4
3360c os 0
1
1
2
3360s i n 0?Rvv
EEr
(?)
(?)
O1B
动系 e1
动系 e2
a2
a3
O A
R R
Ш
E
O1
h
B
60o
r1
r2
r3
O1B
例 题 12
例题 § 3 复合运动
3.加速度分析,对动点 E，动系 e2，有
EcErEeE aaaa
而轮 Ш平动，故 (?)nAAE aaa
即
EcEr
n
EeEe
n
A aaaaa
方向
大小 3R O1E? O1E? 2
0? BO1? 21BO? ErBO v12?
Ea?
nAa?
Eea?
nEea?
Era?
Eca?
在?方向投影，得
2
028
32718
1 Rh
Rh
BO
(负号表示?)
O1B
