工程力学( C)
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(22)
常见梁的横截面形式对称弯曲 或 平面弯曲,
梁有一纵向对称面,
外力作用在对称面内,
梁变形后,轴线仍在该对称面内;
5,梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
x
M qF
1F 2F
q
简支梁
F
外伸梁悬臂梁
M
常见的几种简单静定梁:
梁横截面上的内力符号规定,q
x
BA
AF BF
l
xFS
xM
q
B
BFxF
S
xM
x
xq
A
AF
剪力
SF
弯矩 M
为正
M
MS
F
为正
SF
C
对 x截面用截面法切开,C为截面形心,
0 iyF 0 SA FqxF
以 AB梁整体为对象,可求 A
处和 B处的约束力:
2
qlFF
BA
(?)
qxqlxF S 2)(
0 iCM 02)( xFqxxxM A 22)( 2qxqlxxM
取左半段为分离体:
2m a x
qlF
S?
2
m a x 8
1 qlM?
q
x
BA
AF BF
l
( M)
2
8
1ql
qxqlxF S 2)(
22)(
2qxq lx
xM
lx0
lx0
该梁内力方程为:
( FS) 2
ql
2
ql
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题简支梁在中点处受集中力偶作用,左半段有均布载荷,试求 A+,
C-,C+,B-各面上的内力并列出剪力和弯矩方程。
A B
q
2qa
a C a
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题解,1.建立 x轴(向右为正),以整体为对象求出支座约束力:
)(
4
5
2
2
3
0
22

qa
a
qaqa
FM AB
A B
q
2qa
a C a
AF BF )(
4
10 qaqaFFF
ABy
x
2.求指定截面的内力:
A+面:
AF
SF M
0
4
5

M
qaFF AS
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
C-面:
AF
M
SF
C+面:
AF
SF
M
2qa
B-面:
A B
q
2qa
a C a
AF BF
x
BF
SF
M
0
4
1

M
qaFF BS
222
4
1
2
1
4
1
qaqaqaaFM
qaqaFF
A
AS


22
4
3
2
1
4
1
qaqaaFM
qaqaFF
A
AS


例 题 1
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
M(x1)
)( 1xFS
A B
q
2qa
a C a
AF BF
x
BF
)( 2xFSM(x2)
3.列内力方程 应分为两段:
AC段:
AF x
1
)0(
24
5
)(
)0(
4
5
)(
1
2
1
11
111
ax
qx
qaxxM
axqxqaxF S


CB段:
x2
)2(
)2(
4
)2()(
)2(
4
)(
2
222
22
axa
xa
qa
xaFxM
axa
qa
xF
B
S



用截面法求任意截面上的内力时:解题指导
( 1)对静定结构先求出全部约束力。
( 2)用截面法切开取任意一半为分离体,截面上的 各未知内力分量一律设为正向 。
( 3)列平衡方程求出各内力分量的大小。
( 4)列内力方程注意 正确分段,分段点截面又称为控制面。
( 5)注意内力分量的正负符号规定,以变形定正负,与外力分量以坐标轴方向定正负不同。
6,梁的载荷集度 q,剪力 FS,弯矩 M之间的微分关系
dx
x
q(x)
x
lAF
BF
A B
SF SS dFF?
M+dMM
设 x轴向右为正,q(x)向上为正在 x截面处切取 dx梁段
0 iyF
0)()( SSS dFFdxxqF
q(x)
C
dx
)( xqdxdF S
0iCM
0)(2)( dMMdxdxxqdxFM S
SFdx
dM
( 见 § 13.2,§ 13.3)
SFdx
dM?)( xq
dx
dF S? )(
2
2
xqdx Md?
(9.3)
7.利用微分关系绘制剪力弯矩图根据微分关系( 9.3)式,可推断 FS图、
M图各段曲线的斜率(曲线走向)及 M图的曲率(弯曲形状),再结合分段点
(控制面)的内力数值,就可确定全部内力图。
FS为平行于轴线的直线,M为斜率是 FS的斜直线 。
根据微分关系绘图原则:
SFdx
dM?)(xq
dx
dF S? )(
2
2
xqdxMd?
( 1)某段梁若 q(x)=0,则 FS=常数,M=一次函数
( 2)若 q(x)=常数 =q,则 FS=一次函数,M=二次函数
FS为斜率是 q的斜直线,M为抛物线:当 q>0,
当 q<0,q=0
FS
M
q < 0q >0
(3)若某截面处 FS=0 SF
dx
dM?)(xq
dx
dF S? )(
2
2
xqdxMd?
则该截面上 M取极值:当 q>0,M取到极小值当 q<0,M取到极大值
( 4)集中力 F作用处,FS突变,跳跃值为 F,M有尖点;
集中力偶 M作用处,M突变,跳跃值为 M,FS不受影响。
F
F
M
M
FS
q < 0
M
q > 0
( 5)在梁的左右两个端面上作用的集中力、集中力偶,就是该截面上的 FS,M
利用微分关系作内力图步骤:
( 1)以整体为对象求支座约束力。
( 2)根据外力的作用点正确分段,分段点为控制面。
( 3)利用截面法求控制面上的 FS,M,得到控制点。
( 4)分段判断各段曲线形状,连接各控制点。
( 5)各控制点数值标绝对值。
( 6)内力图突变处向上突变还是向下突变,视该集中载荷对未画部分的作用是正作用还是负作用而定。
( 7)凡 FS=0和 M=0的截面,要标出其 x坐标位置例 题 2
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
外伸梁受力如图,绘制剪力弯矩图,并求和
m axSF maxM
例 题 2
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
解,1.求约束力
BF DF
)(
2
7
2
322 2


qa
a
qaaqaaaq
F B
)(21274 qaqaqaF D
2.作内力图
2qa
qa23
qa21
2
a
22qa
2qa
22 qaM B
222
2
122
2
7 qaqaaqaqaM
C
222
8
1
8
1
4
1 qaqaqaM
E
281qa
E
SF
( )
(M)
例 题 2
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
BF DF
2qa
qa23
qa21
2
a
22qa
2qa
281qa
E
3.求内力的最大值从图中可见:
qaF S 2m a x?
2
m a x 2 qaM?
(M)
SF
( )
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
a 2a
q
2
qa
A B C
悬臂梁受力如图,作剪力弯矩图,并求 和

m axSF
maxM
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
a 2a
q
2
qa
A B C
解,1.求约束力
FC
MC
)(2322 qaqaqaF C
2322
2qa
aqaaqaM C
(?)
2
2qa
M B?
2,作内力图
SF
( )
(M)
2
qa
2
3qa
a23
2
2qa
8
5
4
3
2
3
22
3
2
3
2
2
m a x
qa
aa
q
qaaqa
M

2
2qa
8
5 2qa
MMAX
MC
FC
q
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
3.求内力的最大值设距右端 xE处 M=0
2
3qa8
5 2qa
a 2a
q
2
qa
A B C
FC
M
SF
( )
(M)
2
qa
a23
2
2qa
2
2qa
xE
FC
M
xE 02223 2 EEE xqxqaxqa
03 22 aaxx EE
aaax E 2 532 53
从图中可见:
qaF S 23m a x? 2m a x 85 qaM?
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
A B C D
q
qa
2a 2aa
带有中间铰的梁,
受力如图,作剪力弯矩图。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
A B C D
q
qa
2a 2aa
解,1.求约束力此梁仍为静定,因有中间铰,必须在中间铰处切开才可求全部约束力。
A B
qa
2a a C
D
q
2aCF
DF
)(22 qaqaFF DC
对 CD:
BF
CF?
AF
对 ABC,)( qaF
C
)(32 32 qaa aqaF B
)(23 qaqaqaF A
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
2.作内力图
SF
( )
(M)
qa
2qa qa
qa
a
22 qaM B
22qa
2
2
1qa
22
2
m a x
qaaqaaqaM
注意:中间铰处
0?CM
A B C D
q
qa
2a 2aaqa 3qa qa
思考题 比较以下两梁的内力图:
A
B
C
B
C
M M
A
M
A
B
C
a a a a
MA=M
A
B
C
MM
A=M
a
MF
C?
a
MF
B?
BF?
a
MF
A?
SF
( )
(M)
SF
( )
(M)
M
a
M
M M
8.平面刚架的内力图平面刚架 —— 轴线由几段直线构成折线,折点为刚节点(保持夹角不变)的平面框架结构。
刚架横截面上的内力 —— 轴力,剪力,弯矩 MNF SF
主要内力分量有时可忽略刚架内力及内力图画法的规定:
( 1)刚架任意截面上的内力分量可用截面法求得。
( 2) 轴力图、剪力图可画在刚架任一侧,标出正负号
(仍规定 FN拉为正,FS?为正)。
( 3) 弯矩图的绝对值画在刚架受压一侧,不标正负号。
( 4)刚架的各直线段画内力图与梁的画法类似。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
求作图示刚架的内力图。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
解,1.求约束力
DF
AxF
AyF
))((32 1214 kNF D
))((221 kNF Ax
)(235 kNF Ay
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
2.作内力图
(FN)
轴力图:
2kN
2kN
kNF N 2AB段例 题 4
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
剪力图:
(FS)2kN
3kN 2kN2kNA
FSB-
FNB-M
B-
0212SBF
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
(M)
2kN
2kN
A
FSB-
FNB-M
B-
mkNM B 212122
2kN·m
3kN
SCF
MC-
MC-=3-4= - 1 kN·m
1kN·m
3kN·m
2/3m
弯矩图:
9.利用对称性与反对称性简化作图若结构关于某一轴:
( 1)结构几何对称,约束对称,载荷对称
—— 则 FS图反对称,FN图和 M图对称。
( 2)结构几何对称,约束对称,载荷反对称
—— 则 FS图对称,FN图和 M图反对称。
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题求作内力图。
a a a a
q qqa/2
A BC
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题解,1.求约束力
a a a a
q qqa/2
A BC
)(
4
5
2
2/



qa
qaqaqa
FF BA
AF BF
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
2.作内力图
2
2
1 qaM
A
a a a a
q qqa/2
A BC
4
5qa
4
5qa
2
4
1
2
3
4
5 qaaqaaqaM
C
SF
( )
(M)
qaF SA
qa
qa/4
qa/4
qa
2
2
1qa 2
2
1qa
2
4
1qa
A- MA
FSA-_
MC
FSC-_
C-5qa/4
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
求作图示刚架的内力图。
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
解,1.求约束力
AF DF
33
F
a
FaFaFaFF
DA?

例 题 6
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
2.作内力图
3
F
3
F
轴力图:
(FN)
F/3 F/3
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
3
F
3
F
剪力图:
(FS)
F/3 F/3
4F/3
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
3
F
3
F
弯矩图:
(M)
Fa
Fa 2Fa/3
2Fa/3
Fa
10.用叠加法作 内力 图
A
B C
q qaP?
aa2
A
B C
qaP?
PM
2qa
A
B C
q
221qa
qM
++qa/2
3qa/2
qa
a/2
MMM qP2a
281qa
2qa
Ma
11.平面曲杆
2F
A
O
B
a
F
曲杆横截面上的内力规定:
轴力,FN 拉为正剪力,FS 使曲杆微元顺时针转动为正弯矩,M使曲杆轴线曲率增加为正
NF
SFM
例如:半径为 a的 1/4圆弧曲杆,在?截面处切开:
内力方程为:



s i n)c o s1(2
c o ss i n2
s i nc o s2
FRFRM
FFF
FFF
S
N



曲杆:轴线为曲线的杆件极值点:
0s i n2c o s 00 PaPaddM
2
1
0
tg o6.260
FaM 2 3 6.00
曲杆的弯矩图:
Fa
A
B
6.26
Fa263.0
M
s i n2)c os1( FRFRM
(各点的内力数值在垂直于杆轴的方向上取值)
例 题 7
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题一端固定的直角曲杆,
位于水平面内,受力如图,已知,N=2P,画出该曲杆的内力图。
例 题 7
§ 9 变形体静力学概述及一般杆件内力分析
例题解,1.求固支端约束力
Pa
2P
P
PL2.画内力图
Pa M
P
FS
PL
M
P
FS
Pa
T
2P F
N