场论基础一,场的概念、标量场和矢量场
1。 数学上引入场的概念，用于描述物理量在空间的分布和变化规律。如果空间的每一点都对应着某个物理量的确定值，就说在着空间里确定了该物理量的场。
若该物理量是数量（标量） —— 标量场,如温度场、密度场、电位场；若是矢量，这个场为 矢量场,如力场、速度场、电场、磁场、
引力场等。
稳定场和不稳定场。
2、标量场的等值面一个标量场可以用一个函数表示,
u=u(x,y,z).
标量场的等值面,u=u(x,y,z)=c,(c为常数）
在几何上为一曲面。
在平面标量场中，为等值线。
3,方向导数,函数 u(M)在某一点 M处沿某一方向对距离的变化率。
l
u
E
l
4,标量场的梯度,在数量场 u(M)中的一点 M，
存在矢量 G，其方向为函数 u(M)在 M点处变化率最大的方向，其摸正好是这个最大变化率的数值，则称 矢量 G为函数 u(M)在点 M处的梯度。 梯度为矢量。
,G gra du u i j k
x y z
二：矢量场及其完备描述
1、场线场线即矢量线，引入矢量场中直观地表示矢量的分布情况。
（ 1）场线上每一点的切线方向既是场中该点处矢量的方向；（ 2）场线的密度大小代表场中矢量的摸量大小。
2.对闭合曲面的通量通量 —— 在任意一个矢量场 A(x,y,z)中，通过曲面 S的通量定义为矢量函数对该曲面的面积分,
a) 穿过面元 dS的通量,d?=A? dS=A?nds，
表示穿过面元的场线条数。
b)穿过封闭曲面 S的通量?
既是穿出穿入高斯面的场线的代数和，有正有负。
S
A d s
当?>0时，表示穿出的场线多于穿入的场线，曲面内有
,源,。反之，曲面内有消耗场线的,汇,。当?=0时，
有两种可能,1）该矢量场的场线是封闭曲线，这样穿过曲面的场线净条数为零； 2）曲面内无源无汇
c) 通量和散度。
高斯公式,穿过封闭曲面 S的通量 =该曲面所围体积 V内的散度的体积分。
条件：矢量场 A(x,y,z)中矢量 A及其分量在任一曲面 S和所围体积 V内都有一阶连续偏导数。
SV
A d s A d V
3、对闭合曲线的环流 旋度环流和旋度：
矢量场 A(x,y,z)沿一条规定了绕行方向的有向闭合曲线 L的线积分称为该矢量场对闭合曲线 L
的环流 。
环流：
L
A d l
旋度：
A
旋度：矢量 A对空间一阶导数的叉乘。
条件：矢量 A的任意空间分量在任一闭合曲线 L上及在以 L为边界的曲面 S上都有一阶连续偏导数。
斯托克斯公式：矢量 通过闭合曲线 L上的环流
=该矢量的旋度对 L所围曲面 S的面积分 。
散度为标量，而旋度为矢量无旋场 —— 旋度处处为零的矢量场；
有旋场 —— 矢量场中旋度不是处处为零
LS
A d l A d s
4、场的确定性问题：
在空间某区域内，如果一个矢量场 A的散度、
旋度及该区域的 边界条件唯一确定，那么，
在这个区域内矢量 A=A(x,y,z)就唯一地确定了。
从物理的角度，若知道矢量场 A对任意闭合曲面的通量和对任意闭合曲线的环流，满足一定边界条件，那么，在这个区域内矢量
A=A(x,y,z)就唯一地确定了。
3） 研究电场强度和磁感应强度对一个闭合曲面的通量。注意它们的有源与无源性。
4） 研究电场强度和磁感应强度对一个闭合回路的环流，注意它们的有旋性和无旋性。
三、电场和磁场的描述电场 E和磁场 B都是矢量场。
主要问题：
1） 电场和磁场与空间坐标的函数关系。
2） 用电场线和磁感应线形象地描述电场和磁场的分布
1。 数学上引入场的概念，用于描述物理量在空间的分布和变化规律。如果空间的每一点都对应着某个物理量的确定值，就说在着空间里确定了该物理量的场。
若该物理量是数量（标量） —— 标量场,如温度场、密度场、电位场；若是矢量，这个场为 矢量场,如力场、速度场、电场、磁场、
引力场等。
稳定场和不稳定场。
2、标量场的等值面一个标量场可以用一个函数表示,
u=u(x,y,z).
标量场的等值面,u=u(x,y,z)=c,(c为常数）
在几何上为一曲面。
在平面标量场中，为等值线。
3,方向导数,函数 u(M)在某一点 M处沿某一方向对距离的变化率。
l
u
E
l
4,标量场的梯度,在数量场 u(M)中的一点 M，
存在矢量 G，其方向为函数 u(M)在 M点处变化率最大的方向，其摸正好是这个最大变化率的数值，则称 矢量 G为函数 u(M)在点 M处的梯度。 梯度为矢量。
,G gra du u i j k
x y z
二：矢量场及其完备描述
1、场线场线即矢量线，引入矢量场中直观地表示矢量的分布情况。
（ 1）场线上每一点的切线方向既是场中该点处矢量的方向；（ 2）场线的密度大小代表场中矢量的摸量大小。
2.对闭合曲面的通量通量 —— 在任意一个矢量场 A(x,y,z)中，通过曲面 S的通量定义为矢量函数对该曲面的面积分,
a) 穿过面元 dS的通量,d?=A? dS=A?nds，
表示穿过面元的场线条数。
b)穿过封闭曲面 S的通量?
既是穿出穿入高斯面的场线的代数和，有正有负。
S
A d s
当?>0时，表示穿出的场线多于穿入的场线，曲面内有
,源,。反之，曲面内有消耗场线的,汇,。当?=0时，
有两种可能,1）该矢量场的场线是封闭曲线，这样穿过曲面的场线净条数为零； 2）曲面内无源无汇
c) 通量和散度。
高斯公式,穿过封闭曲面 S的通量 =该曲面所围体积 V内的散度的体积分。
条件：矢量场 A(x,y,z)中矢量 A及其分量在任一曲面 S和所围体积 V内都有一阶连续偏导数。
SV
A d s A d V
3、对闭合曲线的环流 旋度环流和旋度：
矢量场 A(x,y,z)沿一条规定了绕行方向的有向闭合曲线 L的线积分称为该矢量场对闭合曲线 L
的环流 。
环流：
L
A d l
旋度：
A
旋度：矢量 A对空间一阶导数的叉乘。
条件：矢量 A的任意空间分量在任一闭合曲线 L上及在以 L为边界的曲面 S上都有一阶连续偏导数。
斯托克斯公式：矢量 通过闭合曲线 L上的环流
=该矢量的旋度对 L所围曲面 S的面积分 。
散度为标量，而旋度为矢量无旋场 —— 旋度处处为零的矢量场；
有旋场 —— 矢量场中旋度不是处处为零
LS
A d l A d s
4、场的确定性问题：
在空间某区域内，如果一个矢量场 A的散度、
旋度及该区域的 边界条件唯一确定，那么，
在这个区域内矢量 A=A(x,y,z)就唯一地确定了。
从物理的角度，若知道矢量场 A对任意闭合曲面的通量和对任意闭合曲线的环流，满足一定边界条件，那么，在这个区域内矢量
A=A(x,y,z)就唯一地确定了。
3） 研究电场强度和磁感应强度对一个闭合曲面的通量。注意它们的有源与无源性。
4） 研究电场强度和磁感应强度对一个闭合回路的环流，注意它们的有旋性和无旋性。
三、电场和磁场的描述电场 E和磁场 B都是矢量场。
主要问题：
1） 电场和磁场与空间坐标的函数关系。
2） 用电场线和磁感应线形象地描述电场和磁场的分布
