磁场总结电流元在磁场中所受的力大小与电流元大小成正比,有：
s i nd F I d l
是电流元与磁感应强度方向间的夹角在磁场中一定位置，
s in
dF
Idl?
为一定值,与电流元无关定义：
s i n
dF
B
I d l?
磁感应强度单位 特斯拉 mN / A1)T(1
+q
v?
B?
maxF
vq
FB m a x?磁感强度大小
2,B 的定义方向 ∶ 正电荷受磁力为零的运动方向,(与 q,v
大小无关 ),称为零力线,
规定为磁感应强度 B 的方向 。
毕奥 -萨伐尔定律
,,x x y y z zB d B B d B B d B
x y zB B i B j B k
1
2
3
4
5
6
7
8
lI?d
例 1 判断下列各点磁感强度的方向和大小,
R
+
+
+
1,5 点,0d?B
3,7点,
2
0
π4
dd
R
lIB
0
2
0 45s i n
π4
dd
R
lIB
2,4,6,8 点,
yx
z
I
P
C
D
o 0r *
例 2 载流长直导线的磁场,
B?d
解
2
0 s i nd
π4
d
r
zIB
CD rzIBB 20 s i ndπ4d
s i n/,c o t 00 rrrz
20 s i n/dd rz?
方向均沿
x 轴的负方向
B?d
1?
r?
2?
2
1
ds i n
π4 0
0?
r
IB
z
zd
）（ 21
0
0 c o sc o s
π4
r
I
的方向沿 x 轴的负方向,B?
2
1
ds i n
π4 0
0?
r
IB
无限长 载流长直导线的磁场,
π
0
2
1
0
0
π2 r
IB
）（ 21
0
0 co sco s
π4
r
IB
1?
2?
P
C
D
yx
z
o
I
B?
+
I
B
r
IB
π2
0
电流与磁感强度成 右螺旋关系半无限长 载流长直导线的磁场
r
I
B P
π4
0
无限长载流长直导线的磁场
r * P
I
o
π
2
π
2
1
I
BX
I
x
真空中,半径为 R 的载流导线,通有电流 I,称 圆电流,求 其 轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小,
解 根据对称性分析
s ind BBB x
2
0 d
π4
d
r
lIB
例 3 圆形载流导线的磁场,
r B
d
B?
B?
lI?d
p
R
o *
2
322
2
0
2 ）（ Rx
IR
B
R
IB
2
0
3） 0?x
3
0
3
2
0
π22 x
ISB
x
IRB,4） Rx
2） 的方向不变 ( 和 成 右螺旋 关系）0?x B? I B?
1）若线圈有 匝N
2
322
2
0
2 ）（ Rx
IRN
B
讨论
x *
B?
xo
RI
由对称性 的总和应为零 。
+ + + +++ + + + + + +
p
R
+ +
*
例 4 载流直螺线管的磁场如图所示，有一长为 l,半径为 R的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为 N，通有电流 I,设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度,
2/322
2
0
2 ）（ Rx
IRB
解 由圆形电流磁场公式
o
x
xd
x
o p
1x
x
2x
+ + + +++ + + + + + ++ + +
2/322
2
0 d
2
d
xR
xInRB
c o tRx?
2222 c s cRxR
2
1
2/322
2
0 d
2
d
x
x xR
xRnIBB?
dc s cd 2Rx
21 ds i n20 nI 2
1 dcs c
dcs c
2 33
23
0?
R
RnIB
2?
1?
120 c o sc o s
2
nIB
讨 论
（ 1） P点位于管内 轴线中点
21 π
2/122
0
20
4/2
c os
Rl
lnInIB
222 2/
2/c o s
Rl
l
21 c o sc o s
nIB 0Rl若
(2) 无限长的 螺线管
nIB 0
2
1
（ 3）半无限长 螺线管
0,
2
π
21
或由 代入 0,π 21
120 c o sc o s
2
nIB
nI021?
x
B nI0?
O
nIB 0
Ro?
圆电流的磁场
rrrrI ddπ2
π2
d
r
r
IB d
22
dd 00
B?,0 向外例 4 半径 为 的带电薄圆盘的电荷面密度为,并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动,求圆盘 中心 的磁感应强度,
R
r
rd
2
d
2
0
0
0 RrB R,0 向内
B?
B?
S
0dd 111 SBΦ
0dd 222 SBΦ
0dc os SB
S
物理意义,通过任意闭合曲面的磁通量必等于零
（ 故磁场是 无源的,）
磁场高斯定理 0d?
SBS
1dS
1? 1B?
2dS
2?
2B
1d
2d
lI
xo
x
IB
π2
0 SB
//
xl
x
ISBΦ d
π2
dd 0
2
1
d
π2
d 0 ddS
x
xIlSBΦ
1
20 ln
π2 d
dIlΦ
例 如图载流长直导线的电流为,试求通过矩形面积的磁通量,
I
解 先求,对变磁场给出 后积分求Φd Φ
B?
B?
9-4 安培环路定理一,安培环路定理
(1)
(2)求和符号中电流强度 Ii的正负号由右手定则决定 。
叫做 B的环流。
(3)环流一般不等于零，说明磁场是有旋场 。
1、定理 ∶ 在稳恒磁场中,磁感应强度 B沿任意闭合路径的积 分,等于此闭合路径所包围的电流的代数和与真空磁导率的 乘积 。
二 安培环路定理的应用举例例 1 求长直密绕螺线管内磁场解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场,方向沿轴向,外 部磁感强度趋于零,即,0?B
PMOPNOMNl lBlBlBlBlB ddddd
IMNnMNB 0 nIB 0
无限长载流螺线管内部磁场处处相等,外部磁场为零,
2 ) 选回路,L
+++ +++ ++++++
B?磁场 的方向与电流 成 右螺旋,
B?
I L
M N
P O
d
R
NIRBlBl 0π2d
LNIB 0
当 时，螺绕环内可视为均匀场,dR2
例 2 求载流螺绕环内的磁场
R
NIB
π2
0
2） 选回路,
解 1） 对称性分析；环内线为同心圆，环外 为零,B? B
RL π2?令
I
IdS j
B
μ0
R
r
例 3、无限长载流圆柱体的磁场,总电流强度为 I，电流在截面上均匀分布,求导体内外的磁场 。
解 ∶ 1) 当
0?B
例 4 无限长载流圆柱面的磁场
r
IB
π2
0IlB
l 0d
,Rr?
,0 Rr
0dl lB
RI
1L
r
2L
r
B
Ro r
R
I
π2
0?
解
ld
I
S
B?
一 安 培 力
s ind lBI?
由于自由电子与晶格之间的相互作用，使导线在宏观上看起来受到了磁场的作用力,
安培定律 磁场对电流元的作用 力 BlIF dd
mf
dv
s indd lBIF?
lI?d
9-5 磁场对载流导线的作用力
P
x
y
o
I
B?
L
F?d
0dd 00 yBIFF xx
jBIlFF y
B I lxBIFF lyy 0 dd
BlIF dd
s i nds i ndd lBIFF x
解 取一段电流元 lI?d
c o sdc o sdd lBIFF y 结论 任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力,与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同,
例 1 求 如图不规则的平面载流导线在均匀磁场中所受的力，已知 和,B? I?
lI?d
AB
C
x
y
I
0?0?
B?
o
1F
2dF
r
lI?d
2dF
lI?d
例 2 磁场中，回路平面与磁感强度 垂直,回路由直导线 AB 和半径为 的圆弧导线 BCA 组成,电流为顺时针方向,求磁场作用于闭合导线的力,
I
B?
r
B?
jABBIjrBIF )c o s2( 02?
jABBIF1由于
021 FFF
故
B dlI 90sin=dF 2 0
( )= 2πμ I1I 2 a b+aln
= 2πμ I1 dlI 2l
无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线 CD的作用力。
I1 I 2 μ ba,,,,已知：
dl
I
I 2
dll
a b
C D
dF1
a b+
l=
dl
a2
μ I I
π
1 2F
解,（非均匀场）
（向上）
（向上）
结论,均匀 磁场中，任意形状 刚 性闭合 平面通电线圈所受的力和力矩为
BmMF,0
2/π,,m a xmBMMBm
ne? 与 成 右 螺旋I
0
p?
稳定 平衡非稳定 平衡0,//?MBm
neN I Sm 磁矩顺磁质抗磁质铁磁质 >B0B> μ r >> 1，
< B0B μ r < 1，
B0B > μ r > 1，
反向B0B 与,
B0B 与 同向,
B0B 与 同向,
10.、磁介质
（铝、氧、锰等）
（铜、铋、氢等）
（铁、钴、镍等）
I
r?
r
例 1 有两个半径分别为 和 的“无限长”
同轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为的磁介质,当两圆筒通有相反方向的电流 时，试 求
（ 1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的大小 ;（ 2）圆柱体外面一点 Q 的磁感强度,
r?
rR
I
解 对称性分析
Rdr IlH
l
d
IdH?π2
d
IH
π2
d
IHB
π2
r0
d
I
R
0,0π2 HdH
0 HB?
0, Brd
同理可求
Rdr
d
IB
π2
r0
Rd? 0 II
lHld
I
r?
r
I
R
d
7.边长为 l的正方形线圈中通有电流,此线圈在 A点（见图）产生的磁感应强度 B为
I2 2)B( 0?p l
I4 2A)( 0?p l
2 2)C( 0 Il?p
以上都不对( D )
A
I
I
[ A ]
9．一载有电流 I 的细导线分别均匀密绕在半径为 R 和 r 的长直圆筒上形成两个螺线管 ( R=2r )，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小 BR 和 Br
应满足：
.2)A( rR BB?
.)B( rR BB?
.2)C( rR BB?
.4)D( rR BB?
[ B ]
13.一铜条置于均匀磁场中，
铜条中电子流的方向如图所示,试问下述那种情况将会发生?
(A)在铜条上 a,b 两点产生电势差,且 Ua>Ub.
(B)在铜条上 a,b 两点产生电势差,且 Ua<Ub.
(C)在铜条上产生涡流,
(D)电子受到洛仑兹力而加速,
[ A ]
a b
B?
18.两半径为 R的相同导体细圆环,互相垂直放置,且两接触点 A,B连线为环的直径,现有电流 1沿 AB连线方向由 A端流入,再由 B端流出,则环中心处的磁感应强度大小为,
[ A ]
( A ) 0
( C ) R42 0
( B ) R40
( D ) R?02?
( E ) R82 0
A
o
B
19.均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为
r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面 S,则通过 S 面的磁通量的大小为
.2 (A ) 2 Brp,(B ) 2 Brp
0,)(C (D)无法确定的量,
[ B ]
22.如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，
它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是
（ A） ab边转入纸内,cd边转出纸外 。
（ B） ab边转出纸外,cd边转入纸内 。
（ C） ab边转入纸内,bc边转出纸外 。
（ D） ab边转出纸外,bc边转入纸内 。
[ A ]
a
b c
d
B
a
bI
0 x
y
B
1,如图所示,一根载流导线被弯成半径为 R的 1/4圆弧,
放在磁感应强度为 的均匀磁场中,的方向垂直纸面向内,则载流导线 所受的磁场作用力的大小为,
方向 。
B? B?
ab
2,一载流导线被弯成如图所示的形状,则 o点的磁感应强度 B=,方向 。
3,一根很长的铜导线载有电流 10安培,在导线内部通过中心线作一平面 S如图,试计算通过导线 1m长的
S平面内的磁感应通量 。
30,一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为
R1 的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 +?,其余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 –?,当圆盘以角速度? 旋装转时,测得圆盘中心点 o 的磁感应强度为零,问 R1 与
R2 满足什么关系？
1R
2R
o
解,当带电圆盘转动时,
可看作无数个圆电流的磁场在 o 点 的迭加,
半径为 r,宽为 dr 的圆电流
dI=? 2prdr? / 2p =? rdr?
磁场
dB =?0dI/2r =?0R/2
阴影部分产生的磁场感应强度为
10 021R drB
其余部分：
)(21212
1 1200?
RR RRdrB
2
10 R
1R
2R
o
12 2 RRBB 则有已知：
1R
2R
o
s i nd F I d l
是电流元与磁感应强度方向间的夹角在磁场中一定位置，
s in
dF
Idl?
为一定值,与电流元无关定义：
s i n
dF
B
I d l?
磁感应强度单位 特斯拉 mN / A1)T(1
+q
v?
B?
maxF
vq
FB m a x?磁感强度大小
2,B 的定义方向 ∶ 正电荷受磁力为零的运动方向,(与 q,v
大小无关 ),称为零力线,
规定为磁感应强度 B 的方向 。
毕奥 -萨伐尔定律
,,x x y y z zB d B B d B B d B
x y zB B i B j B k
1
2
3
4
5
6
7
8
lI?d
例 1 判断下列各点磁感强度的方向和大小,
R
+
+
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1,5 点,0d?B
3,7点,
2
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π4
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R
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2
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yx
z
I
P
C
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例 2 载流长直导线的磁场,
B?d
解
2
0 s i nd
π4
d
r
zIB
CD rzIBB 20 s i ndπ4d
s i n/,c o t 00 rrrz
20 s i n/dd rz?
方向均沿
x 轴的负方向
B?d
1?
r?
2?
2
1
ds i n
π4 0
0?
r
IB
z
zd
）（ 21
0
0 c o sc o s
π4
r
I
的方向沿 x 轴的负方向,B?
2
1
ds i n
π4 0
0?
r
IB
无限长 载流长直导线的磁场,
π
0
2
1
0
0
π2 r
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）（ 21
0
0 co sco s
π4
r
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1?
2?
P
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yx
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电流与磁感强度成 右螺旋关系半无限长 载流长直导线的磁场
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无限长载流长直导线的磁场
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真空中,半径为 R 的载流导线,通有电流 I,称 圆电流,求 其 轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小,
解 根据对称性分析
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2
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例 3 圆形载流导线的磁场,
r B
d
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lI?d
p
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o *
2
322
2
0
2 ）（ Rx
IR
B
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2
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3） 0?x
3
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3
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0
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x
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2） 的方向不变 ( 和 成 右螺旋 关系）0?x B? I B?
1）若线圈有 匝N
2
322
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2 ）（ Rx
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讨论
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B?
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由对称性 的总和应为零 。
+ + + +++ + + + + + +
p
R
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*
例 4 载流直螺线管的磁场如图所示，有一长为 l,半径为 R的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为 N，通有电流 I,设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度,
2/322
2
0
2 ）（ Rx
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解 由圆形电流磁场公式
o
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x
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1x
x
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+ + + +++ + + + + + ++ + +
2/322
2
0 d
2
d
xR
xInRB
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2222 c s cRxR
2
1
2/322
2
0 d
2
d
x
x xR
xRnIBB?
dc s cd 2Rx
21 ds i n20 nI 2
1 dcs c
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2 33
23
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R
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2?
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120 c o sc o s
2
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讨 论
（ 1） P点位于管内 轴线中点
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2/122
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(2) 无限长的 螺线管
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（ 3）半无限长 螺线管
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2
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或由 代入 0,π 21
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R
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0dd 111 SBΦ
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物理意义,通过任意闭合曲面的磁通量必等于零
（ 故磁场是 无源的,）
磁场高斯定理 0d?
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π2 d
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例 如图载流长直导线的电流为,试求通过矩形面积的磁通量,
I
解 先求,对变磁场给出 后积分求Φd Φ
B?
B?
9-4 安培环路定理一,安培环路定理
(1)
(2)求和符号中电流强度 Ii的正负号由右手定则决定 。
叫做 B的环流。
(3)环流一般不等于零，说明磁场是有旋场 。
1、定理 ∶ 在稳恒磁场中,磁感应强度 B沿任意闭合路径的积 分,等于此闭合路径所包围的电流的代数和与真空磁导率的 乘积 。
二 安培环路定理的应用举例例 1 求长直密绕螺线管内磁场解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场,方向沿轴向,外 部磁感强度趋于零,即,0?B
PMOPNOMNl lBlBlBlBlB ddddd
IMNnMNB 0 nIB 0
无限长载流螺线管内部磁场处处相等,外部磁场为零,
2 ) 选回路,L
+++ +++ ++++++
B?磁场 的方向与电流 成 右螺旋,
B?
I L
M N
P O
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R
NIRBlBl 0π2d
LNIB 0
当 时，螺绕环内可视为均匀场,dR2
例 2 求载流螺绕环内的磁场
R
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π2
0
2） 选回路,
解 1） 对称性分析；环内线为同心圆，环外 为零,B? B
RL π2?令
I
IdS j
B
μ0
R
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例 3、无限长载流圆柱体的磁场,总电流强度为 I，电流在截面上均匀分布,求导体内外的磁场 。
解 ∶ 1) 当
0?B
例 4 无限长载流圆柱面的磁场
r
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π2
0IlB
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,0 Rr
0dl lB
RI
1L
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π2
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解
ld
I
S
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一 安 培 力
s ind lBI?
由于自由电子与晶格之间的相互作用，使导线在宏观上看起来受到了磁场的作用力,
安培定律 磁场对电流元的作用 力 BlIF dd
mf
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lI?d
9-5 磁场对载流导线的作用力
P
x
y
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I
B?
L
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0dd 00 yBIFF xx
jBIlFF y
B I lxBIFF lyy 0 dd
BlIF dd
s i nds i ndd lBIFF x
解 取一段电流元 lI?d
c o sdc o sdd lBIFF y 结论 任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力,与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同,
例 1 求 如图不规则的平面载流导线在均匀磁场中所受的力，已知 和,B? I?
lI?d
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x
y
I
0?0?
B?
o
1F
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r
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2dF
lI?d
例 2 磁场中，回路平面与磁感强度 垂直,回路由直导线 AB 和半径为 的圆弧导线 BCA 组成,电流为顺时针方向,求磁场作用于闭合导线的力,
I
B?
r
B?
jABBIjrBIF )c o s2( 02?
jABBIF1由于
021 FFF
故
B dlI 90sin=dF 2 0
( )= 2πμ I1I 2 a b+aln
= 2πμ I1 dlI 2l
无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线 CD的作用力。
I1 I 2 μ ba,,,,已知：
dl
I
I 2
dll
a b
C D
dF1
a b+
l=
dl
a2
μ I I
π
1 2F
解,（非均匀场）
（向上）
（向上）
结论,均匀 磁场中，任意形状 刚 性闭合 平面通电线圈所受的力和力矩为
BmMF,0
2/π,,m a xmBMMBm
ne? 与 成 右 螺旋I
0
p?
稳定 平衡非稳定 平衡0,//?MBm
neN I Sm 磁矩顺磁质抗磁质铁磁质 >B0B> μ r >> 1，
< B0B μ r < 1，
B0B > μ r > 1，
反向B0B 与,
B0B 与 同向,
B0B 与 同向,
10.、磁介质
（铝、氧、锰等）
（铜、铋、氢等）
（铁、钴、镍等）
I
r?
r
例 1 有两个半径分别为 和 的“无限长”
同轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为的磁介质,当两圆筒通有相反方向的电流 时，试 求
（ 1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的大小 ;（ 2）圆柱体外面一点 Q 的磁感强度,
r?
rR
I
解 对称性分析
Rdr IlH
l
d
IdH?π2
d
IH
π2
d
IHB
π2
r0
d
I
R
0,0π2 HdH
0 HB?
0, Brd
同理可求
Rdr
d
IB
π2
r0
Rd? 0 II
lHld
I
r?
r
I
R
d
7.边长为 l的正方形线圈中通有电流,此线圈在 A点（见图）产生的磁感应强度 B为
I2 2)B( 0?p l
I4 2A)( 0?p l
2 2)C( 0 Il?p
以上都不对( D )
A
I
I
[ A ]
9．一载有电流 I 的细导线分别均匀密绕在半径为 R 和 r 的长直圆筒上形成两个螺线管 ( R=2r )，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小 BR 和 Br
应满足：
.2)A( rR BB?
.)B( rR BB?
.2)C( rR BB?
.4)D( rR BB?
[ B ]
13.一铜条置于均匀磁场中，
铜条中电子流的方向如图所示,试问下述那种情况将会发生?
(A)在铜条上 a,b 两点产生电势差,且 Ua>Ub.
(B)在铜条上 a,b 两点产生电势差,且 Ua<Ub.
(C)在铜条上产生涡流,
(D)电子受到洛仑兹力而加速,
[ A ]
a b
B?
18.两半径为 R的相同导体细圆环,互相垂直放置,且两接触点 A,B连线为环的直径,现有电流 1沿 AB连线方向由 A端流入,再由 B端流出,则环中心处的磁感应强度大小为,
[ A ]
( A ) 0
( C ) R42 0
( B ) R40
( D ) R?02?
( E ) R82 0
A
o
B
19.均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为
r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面 S,则通过 S 面的磁通量的大小为
.2 (A ) 2 Brp,(B ) 2 Brp
0,)(C (D)无法确定的量,
[ B ]
22.如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，
它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是
（ A） ab边转入纸内,cd边转出纸外 。
（ B） ab边转出纸外,cd边转入纸内 。
（ C） ab边转入纸内,bc边转出纸外 。
（ D） ab边转出纸外,bc边转入纸内 。
[ A ]
a
b c
d
B
a
bI
0 x
y
B
1,如图所示,一根载流导线被弯成半径为 R的 1/4圆弧,
放在磁感应强度为 的均匀磁场中,的方向垂直纸面向内,则载流导线 所受的磁场作用力的大小为,
方向 。
B? B?
ab
2,一载流导线被弯成如图所示的形状,则 o点的磁感应强度 B=,方向 。
3,一根很长的铜导线载有电流 10安培,在导线内部通过中心线作一平面 S如图,试计算通过导线 1m长的
S平面内的磁感应通量 。
30,一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为
R1 的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 +?,其余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 –?,当圆盘以角速度? 旋装转时,测得圆盘中心点 o 的磁感应强度为零,问 R1 与
R2 满足什么关系？
1R
2R
o
解,当带电圆盘转动时,
可看作无数个圆电流的磁场在 o 点 的迭加,
半径为 r,宽为 dr 的圆电流
dI=? 2prdr? / 2p =? rdr?
磁场
dB =?0dI/2r =?0R/2
阴影部分产生的磁场感应强度为
10 021R drB
其余部分：
)(21212
1 1200?
RR RRdrB
2
10 R
1R
2R
o
12 2 RRBB 则有已知：
1R
2R
o
