静电场中的导体及电介质第 8 章
1.导体 conductor 存在大量的可自由移动的带电粒子，在外电场作用下能传导电流。
3.半导体 semiconductor 在外电场作用下的导电性能介于上述两者之间。
2.绝缘体 也称 电介质 dielectric
原子核和电子间的引力很大，电子处于束缚态 。在外电场作用下，几乎不导电。
导体 绝缘体通常的金属称为一类导体，它们是以金属键结合的晶体,处于晶格结点上的原子核很容易失去外层电子,成为正离子,脱离原子核的价电子,可在整个金属中自由移动,称为 自由电子,
将导体放入电场中,由于场对导体中电荷的作用,使电荷重新分布,从而也改变了原先的场分布,
金属导体、电介质及场间的相互影响及相互作用同样,将电介质放入电场,场对电介质中电荷发生作用,也要引起 电荷重新分布,相应的,需求解新的场分布,
本章即研究导体、电介质与场的相互作用及影响。
8-1 静电场中的导体一、静电感应与静电平衡静电感应 —— 在静电场力作用下，导体中电荷重新分布的现象。
在静电感应现象中在导体上出现的电荷,
称为感应电荷,
+ +++++ +++
一 静电感应 静电平衡条件感应电荷导体的静电感应过程无外电场时 (电中性 )
+
+ +
+
+
+ +
++
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
+
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E E外 E感+ ==内 0
导体达到静 电 平衡
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E外E
感金属球放入前电场为一均匀场
E
金属球放入后电力线发生弯曲电场为一非均匀场
+++
++
++ E
用场强来描写：
1,导体内部场强处处为零；
2,表面场强垂直于导体表面 。
静电平衡 —— 导体中电荷的宏观定向运动终止，电荷分布不随时间改变。
静电平衡条件：
用电势来描写：
1,导体为一等势体；
2,导体表面是一个等势面。
++ +
+
++
导体是等势体
ne
τe
静电平衡条件
（ 1）导体内部任何一点处的电场强度为零；
（ 2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直,
E?
l?d
导体表面是等势面
0d lEU
导体内部电势相等
0d
ABAB
lEU
lE d?
A
B
1,实心导体电荷分布在导体表面，导体内部场强处处为零。
二、静电平衡时导体上的电荷分布由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，
可以得出导体上的电荷分布。
E d S
S
0
q dVi
i V
0
0
证明：在导体内任取体积元由高斯定理
体积元任取 证毕
0?内E
dV
导体带电只能在表面！
1.导体体内处处不带电,
0d lEU ABAB
若内表面带电所以内表面 不 带电
S
++ --
A B
结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
+ +
+
+
+
++
+
+
+矛盾
0d i
S
qSE,
导体是等势体
0d lEU ABAB
2 空腔导体 空腔内无电荷
q?
空腔内有电荷
q?
2S
00d
1
i
S
qSE,
qq内
qQ?
1S
电荷分布在表面上内表面上有电荷吗？
00d
2
i
S
qSE,
结论 当空腔内有电荷 时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷,外表面有感应电荷 （电荷守恒） 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。 q?
q?
q?
+0 E= 表 S + 0
σε=
o
E表
σ E
S
三、导体的表面场强
E表 =σε
o
∮ E.dSE.dSs =
侧E
.dS
内 E
.dS
表+ +
∫∫ ∫
σ S=
0
1
方向垂直于表面在比较平坦部分 (曲率较小 )电荷面密度较小，
在表面凹进部分带电面密度最小。
尖端放电孤立带电导体球孤立导体
C
四,孤立带电导体表面电荷分布一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷分布由实验得出定性的分布：
在表面凸出的尖锐部分 (曲率是正值且较大 )电荷面密度较大，
++
++
+
+
+
+
+
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关,
导体表面电荷分布
EE ;,
0?
E
带电导体尖端附近电场最强带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，
即 尖端放电,
尖端放电会损耗电能,还会干扰精密测量和对通讯产生 危害,然而尖端放电也有很广泛的 应用,
尖端放电现象
E?
尖端放电现象的 利 与 弊
2.基本性质方程
0?内E cUor?
0?
i
i
S
q
sdE
L
ldE 0
i
i c o n s tQ,
有导体存在时静电场场量的计算原则,
1.静电平衡的条件
3.电荷守恒定律上一章 已知 q分布 求电场分布此章 假定达到静电平衡
Q的重新分布利用静电平衡条件
E（ r）｛
U(r)
ε ε ε εσ σ σ σ
E1 EE E 2 34
.,b2σ
1σ 4σ3σ
2qq1
++b =1ε
o2
2
ε o2
3
ε o2
4
ε o2 0点：
=1σa o2 2σ o2 3σ o2 4σ o2 0点：
已知两金属板带电分别为 q1 2q，
求,1σ 2σ 3σ 4σ，，,
。
。
a
[例 1]
S3σ
=
=
++
1σ
ε2
2σ
ε2
3σ
ε2
4σ
ε2 0
=1σε2 2σε2 3σε2 4σε2 0
S2σS1σ
S4σ+
+ q1
= 2q
o o o o
o o o o
σ
qq 21
σ σσ21 3 4
由电荷守恒：
1σ
2= q+
4σ =
q1
S2
2σ 3σ=
2q=q1
S2
解得：
σ
qq 21
σ σσ21 3 4
=
++
1σ
ε2
2σ
ε2
3σ
ε2
4σ
ε2 0
=1σε2 2σε2 3σε2 4σε2 0
o o o o
o o o o
(1)
(2)
σσ q
S3σ
=S2S1
S4σ+
+ 1
= 2q
（ 3）
（ 4）
1σ
2= q+
4σ =
q1
S2
2σ 3σ=
2q=q1
S2
σ
qq 21
σ σσ21 3
讨论：
21 qq 041
s
q
32
平行板电容器无限大带电平面
02?
E
无限大带电金属板
02?
E
E?E?
E? E?
E? E?
1?
2?
导体表面附近
0?
E
矛盾？
qqq 21
电荷守恒对称性
21 qq?
｝ 221
qqq
221
法一,1? 2?
0?内E
00
2
2?
E
（注意：用高斯定理求出的就是合场强）法二：
1? 2?
SSE )(12 21
0
00
1
2?
E
法三：
0
1
0
2
0
1
21 22?
EEE
合
02?
合E
1? 2?
1E
2E
1E
2E
2E
1E
221
（高斯面）
例 3 无限大的带电平面的场中，
平行放臵一无限大不带电金属平板求：金属板两面电荷面密度
21,
P
21
0
222 0
2
0
1
0
211
2
1
2?
解,设金属板面电荷密度
21
由对称性和电量守恒导体体内任一点 P场强为零
x
02?
0
1
2?
0
2
2?
例 4 金属球 A与金属球壳 B同心放置求,1)电量分布
q
Q
A
B
o
已知：球 A半径为
0R
0R
带电为
q
金属壳 B内外半径分别为
21 RR,
12 RR
带电为
Q
AU BU
2)球 A和壳 B的电势
A
B
o
0R
q
12 RR
Q
解：
1)导体带电在表面
球 A的电量只可能在球的表面
壳 B有两个表面电量可能分布在内、外两个表面
由于 A B同心放置仍维持球对称
电量在表面均匀分布
q
qQQ B外球 A均匀分布着电量
qQ B内
B
A
o
q
0R12 RR
由高斯定理和电量守恒可以证明壳 B的电量分布是
q?
qQ?
相当于均匀带电的球面相当于一个均匀带电的球面
qQ B内证明壳 B上电量的分布：
在 B内紧贴内表面作高斯面
qQQ B外
0
S
sdE
0
i
iq
B A
o
q S
S
面 S的电通量高斯定理电荷守恒定律
q?
qQ?
由静电平衡条件知：
0?内E
0R1R
2R
201000 444 R
qQ
R
q
R
q
U A
204 R
qQ
U B
等效为,在真空中三个均匀带电的球面利用叠加原理
8.1,3 导体静电平衡性质的应用静电屏蔽腔内、腔外的场互不影响静电屏蔽的装置 ---接地导体壳腔内场 只与内部带电量及内部几何条件及介质有关,对外场无影响。
腔外场 只由外部带电量和外部几何条件及介质决定，不进入腔内场。
1 屏蔽外电场
E?
外电场空腔导体可以屏蔽外电场,使空腔内物体不受外电场影响,这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等,
E?
空腔导体屏蔽外电场
q?
接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响,
问,空间各部分的电场强度如何分布？
接地导体电势为零
q
2 屏蔽腔内电场
+
+
++
+
+
+
+
q
则
RB ldEU
例 导体 A和 B 同心放置 如图
A
B
q
只需知壳外表面的带电量和球壳 B的外半径
R
R
q
04
欲求壳 B的电势电介质及其极化近年来电介质的研究有很大发展，新型的、具有特殊性能的电介质材料不断被发现和制造出来。
电介质的应用，不仅限于绝缘和储能，而且涉及换能、热电探测、电光调制、非线性光学、光信息存储和实时处理。
电介质已成为完成和执行特殊功能的重要材料 。
电介质物理成为与固体物理、晶体学和光学有密切联系的一个重要领域,
一,有极分子及无极分子有极分子：分子正负电荷中心不重合 。
C
H+
H+H+
H+
甲烷分子正负电荷中心重合
Pe 分子电偶极矩
H
O
+H+ +
水分子正电荷中心负电荷中心
Pe
8-2 静电场中的 电介质无极分子：分子正负电荷中心重合；
+
-
1,无极分子的位移极化无外电场时，分子正负电荷中心重合，介质不带电。
加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心发生相对位移不再重合，出现电偶极矩。 p
e
+ ff
l
E外
pee
+
二、介质的极化
E外
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
加上外电场后，由于电偶极矩的出现，在介质左右的两个端面上出现极化电荷层 。
无外电场时，有极分子电矩取向不同，
整个介质不带电。
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
2,有极分子的转向极化在外电场中有极分子的固有电矩要受到一个力矩作用
+
pe E
2,有极分子的转向极化
EM p= e×
在外电场中有极分子的固有电矩要受到一个力矩作用
+
pef
f
E
2,有极分子的转向极化在此力矩作用下，使电矩方向转向和外电场方向一致。
+
pef
f
EM p= e×
E
2,有极分子的转向极化无外电场时，有极分子电矩取向不同，
整个介质不带电。
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
E外加上外电场后，电矩受力矩作用而发生转向，
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
E外
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
加上外电场后，电矩受力矩作用而发生转向，
E外
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
加上外电场后，电矩受力矩作用而发生转向，在介质左右两端面上出现极化电荷。
+ + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
r?
- - - - - - - - - - -
电极化强度
V
p
P
表面 极化电荷面密度
nP?'?
'' Sl SlVpP
l
P?
S?
:电极化强度
p?,分子偶极矩的 单位,2mC
P?
P?
三,电介质的极化规律
1.各向同性线性电介质 isotropy linearity
2.各向异性线性电介质 anisotropy
介质的电极化率张量描述
EP e 0 1 re
无量纲的纯数
e? E
与 无关
e? E
与,与晶轴的方位有关研究板内的场均匀极化 表面出现束缚电荷内部的场由自由电荷和束缚电荷共同产生
EEE 0
以平行板电容器为例 自由电荷面密度为
0?
00
r?
充满相对介电常数为 的均匀各向同性线性电介质 r?
0?
四 电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
E0E E= +
E0E E=
E 介质中的合场强
E0 自由电荷的场强
E 极化电荷的场强
σE =ε
0
矢量式标量式
0
0
0?
E
自由电荷与极化电荷共同产生场
+ + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
d r
EEE 0
r
E
0
0?
r
E
0?
0 单独普遍?
0
0
0?
E
0?
E
0E
共同产生
r?
00
E?
o?
0
0
EP rn 10
联立
)
1
1(' 0
r
QQ
)'(1 0
00
0
r
ε=σ ( )1 1r?0
'Q 束缚电荷
0Q
自由电荷分布在介质表面
0
r
r' 1 QQ
)(1d '0
0
QQSE
S
EED r0
电位移矢量 （均匀各相同性介质）
0?
0
'
'? + + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
r?
S
电容率
r0
r0
0d
QSE
S
有介质 时的 高斯 定理
i
iS QSD 0d
§ 8.3 电位移矢量?D
电位移矢量 electric displacement
vector
量纲
PD
单位 C/m2
各向同性线性介质 EED r 0
介质方程
1?r?
介质相对电容率
D d S q
S
i
i
0
的高斯定理?D
自由电荷介质中的高斯定理：在任何电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和。
说明：
1,D只是一个辅助量 - 解决有介质时，束缚电荷 q’一般未知情况下的场的求解问题。
2,D线与 E线不同。
D线：起始于正自由电荷，终止于负自由电荷。
E线：起始于一切正电荷（自由、束缚），
终止于一切负电荷（自由、束缚） 。
D的通量仅与自由电荷有关。 而 E的通量不仅与自由电荷有关，且与束缚电荷有关。
在具有某种对称性的情况下，可以首先从高斯定理出发 解出 D?
D E P q
有介质时求场的步骤：
即：已知自由电荷分布 Q0及介质电容率
例 1 均匀带电 Q导体球置于均匀各向同性介质中 如图示求,1）场的分布
01?E
i
s
qsdD
导体内部
0Rr
<
01?D
1r?
内
10 RrR
< <
QrD?24?
0?
0R
1r?
2r?
12 RR
Q
22 4 r
QD
2） 电势 的分布解,1）
2
0
2
1
4 r
Q
E
r
ED r
0?
2r?
内
21 RrR
< <
23 4 r
QD
2
0
3
2
4 r
Q
E
r
2Rr
>
24 4 r
QD
2
0
4 4 r
Q
E
2）
2
1
0
2
10
4321
R
R
R
R
RR
drEdrEdrEldEU
]1)11(1)11(1[
4 2211001
21
RRRRR
QU
rr
2
1 2
1
4322
R
R
r
R
Rr
drEdrEdrEldEU
]1)11(1)11(1[
4 221102
21
RRRRr
QU
rr
)( 0Rr?
)( 10 RrR
2
2
433
R
R
rr
drEdrEldEU
]1)11(1[
4 2203
2
RRr
QU
r
)( 21 RrR
rr
drEldEU 44
r
QU
0
4 4
)( 2Rr?
0?
0R
1r?
2r?
12 RR
Q
例 2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
0
内部均匀分布体电荷密度为求：介质板内、外的 DE
解,
D E P?
面对称 平板
r相对介电常数为取坐标系如图 0?x 0?E处以 处的面为对称面0?x
底面积设
0S
r?
0
d
x
0
S
0S
x
的自由电荷
S过场点作正柱形高斯面
x d? 2 000 22 SxDS
D x 0
x d? 2 dSDS 0002
D d 02
r?
0
d
x
0
S
x x
E
D
r
0
0
0
x
r
x d? 2 D x
0
x d? 2 D d 0
2 E
D d
0
0
02
均匀场
x
E
0
例 3 把一块相对电容率 的电介质,放在极板间相距 的平行平板电容器的两极板之间,
放入之前,两极板的电势差是,试求两极板间电介质内的电场强度,电极化强度,极板和电介质的电荷面密度,电介质内的电位移,
3r
V1000
E P
D
mm1?d
解
13161
30 mkV10mV10mV10
1 00 0
d
UE
12 mkV1033.3
260r mC1089.5)1( -EP
26000 mC1085.8 E
26 mC1089.5' P?
26000r0 mC1085.8 -EED
r0?EE?
§ 8.4 电容器及电容 capacitor capacity
一,孤立导体的电容电容只与几何因素和介质有关固有的容电本领单位,法拉 F
QU?孤立导体的电势
U
QC?
定义
SI量纲：
U
Q
C? 132 ITML
IT 2421 ITLM
04
1
R m9109
ER
310?
例 真空中孤立导体球的电容 (如图 )
R
QU
04
U
QC?
Q设球带电为 R
导体球电势导体球电容
R04
介质几何问题
F1欲得到 的电容孤立导体球的半径 R
由孤立导体球电容公式知
(地球半径 )
F10pF1 12
F10μF1 6
二,导体组的电容由静电屏蔽 --导体壳内部的场只由腔内的电量和几何条件及介质决定 (相当于孤立 )
腔内导体表面与壳的内表面形状及相对位置设 Q
A
B
E? ABU?
U
QC
U
QC
定义几何条件
Q
QQ?
内表面电容的计算电容器电容
U
Q
VV
QC
BA
电容的大小仅与导体的 形状、相对位置,其间的电 介质 有关,与所带电荷量 无关,
三 电容器电容的计算
AVBV
Q? Q?
1） 设两极板分别带电 ； 2） 求 ；Q? E?
U C3） 求 ； 4） 求,
步骤
lEU ABAB d
典型的电容器平行板
d
球形
21 RR
柱形
1R
2R
d
S
1 平板电容器
+
+
+
+
+
+
Q Q?
-
-
-
-
-
-
S
QE
00
（ 2） 两带电平板间的电场强度
（ 1） 设 两导体板分别带电 Q?
S
QdEdU
0?
（ 3） 两带电平板间的电势差
d
S
U
QC
0
（ 4） 平板电容器电容
2 柱形电容器 单位长度的电容设单位长度带电量为?
r
E
02
dr
r
U
R
R
2
1 0
2
U
C
1
2
0
ln
2 R
R
柱形
1R
2R
21 RrR
< <
1
2
0
ln
2
R
R
r?
E?
3 球形电容器的电容设 A球带 +Q,B球带 -Q
由高斯定理知：
2
04 r
QE
BA RrR
ARBR
B A
两球间电势差：
)11(
44 020 BA
R
R
R
R
AB RR
Q
r
drQldEU B
A
B
A
电容
)(4 0
AB
BA
AB RR
RR
U
QC
R2
d
E?
)(π2π2 00 xdx
EEE
x
xdx
xEU
Rd
R
Rd
R
d)11(
π2
d
0?
R
d
R
Rd ln
π
ln
π 00?
单位长度的 电容
R
d
UC lnπ 0?
解 设两金属线的电荷线密度为
E
E
例 两半径为 的平行长直导线中心间距为,
且,求单位长度的电容,
R d
Rd
o x
P
x xd?
四、电容器的串联和并联
1、电容器的并联
C1
C2
U
特点：各电容上 U同。
目的：增大电容。
并联后相当极板面积增大
U
C
Q=Q1+Q2=U（ C1+C2）
=UC
等效
C= C1+C2=∑Ci
2、电容器的串联
C1 C2
U1 U2
特点：各电容上 Q同。
目的：耐压。
等效
U
C
U=U1+U2=Q（ 1/C1+1/C2）
U=Q/C =Q（ 1/C1+1/C2）
21
111
CCC
i iCC
11
3,求此电容器之电容。 (两种方法 )
+
d
d1
2
ε 0
ε r BC
A+ ++ ++ D
1
D2
E
E
1
2
σ
σ
ε
[ 例 1 ] 一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为
r 。1,用高斯定理求：
D1 D2,,E E1 2,；
A BU U ；；2求：
d
d1
2
ε 0
ε r
B
C
A + ++ ++
D1
+ ++ +
σ
σ
S
εE
σ+= +0 0DS = S
D ==σ D
1
11
0
D =dS,D dS上,D dS下,D dS侧,+ +
s
d
d1 ε 0
ε r
B
C
A + ++ ++
D2
+ ++ +
σ
σ
S2
sD =dS,D dS上,D dS下,D dS侧,+ +2
s
εε r
S
E
σ+= +0 0 D S=
D ==σ D
2
22
0
D dS上,2 cos180o =
+
d
d 1
2
ε 0
ε r BC
A+ ++ ++ D
1
D2
E
E
1
2
σ
σε
SC =
U UA Bσ
r
ε 0=
dd
1
2+
S
C B
εεε
εε
=U UA B dlE,A 1 dlE,C 2+
0
=
0
σσ
ε 0σ dlA
C
d
C
B
+
0 r
σ
= dd 1 2+ r
l
例 2:平行板电容器，设带自由电荷,左、
右充不同介质。
0Q
0Q
1r? 2r
右左 UU? 右左 EE?
2
2
右E1
1
左E
021 Qqq
除 s/2
解,设左、右电荷面密度分别为 及 。导体是等势体，
1? 2?
2
2
1
1
（ 1）
sQ /2 021 （ 2）
（ 1）、（ 2）联立
s
Q 0
21
1
1
2
s
Q 0
21
2
2
2
自由电荷在左、右板上分布不同，以抵消极化电荷的不同，使板间的合场在左右相同。
电容
d
s
dE
Qc
2
)( 210
左另法：也可视为电容并联
d
s
d
sccc 2/2/ 21
21
d
s
2
)( 21
对比上例：平行板电容器，设带自由电荷 0Q
上、下充不同介质。
§ 8.5 静电场的能量一,带电体系的静电能
electrostatic energy
状态 a时的静电能是什么？
定义,把系统从状态 a 无限分裂到彼此相距无限远的状态中 静电场力作的功,叫作系统在状态 a时的静电势能。简称静电能。
相互作用能带电体系处于状态 a
或：
把这些带电体从无限远离的状态聚合到状态 a的过程中,外力克服静电力作的功。
W q
q
r
q U1 2
0
1 124
作功与路径无关表达式相同? q U2 21
为了便于推广 写为 W q U q U1
2
1
21 1 2 2
i
i
iUqW 2
1
Ui 除 qi
以外的电荷在 q
i
处的电势点电荷系也可以先移动 2q 在 所在处的电势 12 qq 状态 a
q r q1 2
若带电体连续分布
W dqU
Q
1
2
U,所有电荷在 dq 处的电势如 带电导体球
dq
W dq
Q
R
Q
1
2 4 0
Q
R
2
08
Q R带电量 半径静电能 = 自能 + 相互作用能
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -E
C
Q
2
2
二,电容器的电能
qCqqUW ddd
2
2
e 2
1
2
1
2
CUQU
C
QW电容器贮存的电能
Q
qq
C
W
0
d1
2
2
1
2
1 CUQUW
U
qd
+
U
QC?
三 静电场的能量 能量密度
2
e 2
1 CUW?
物理意义 电场是一种物质，它具有能量,
电场空间所存储的能量
VV VEVwW d21d 2ee?
电场能量密度
EDEw
2
1
2
1 2
e
2)(
2
1 Ed
d
S SdE 2
2
1
1R
2R
例 1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为和,所带电荷为,若在两球壳间充以电容率为的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？ 2R
1R
Q?
解
r2π4
1 e
r
QE
r
rd
42
2
2
e π322
1
r
QEw
r
r
QVwW d
π8
dd 2
2
ee
)11(
π8
d
π8
d
21
2R
R 2
2
ee
2
1 RR
Q
r
rQWW
12
12
2
21
2
e
π42
1
)
11
(
π8
RR
RR
Q
RR
Q
W
C
QW
2
2
e?
12
12π4
RR
RRC
（球形电容器电容）
讨 论
2R
1
2
e π8 R
QW
（ 1）
（ 2）
（孤立导体球贮存的能量）
)(
π2 210
RrR
r
E
10
m a x
b π2 RE?
1
2
00
lnπ2dπ2 2
1 R
R
r
rU R
R?
解
1?r?
例 2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击穿场强是,电容器外半径,
在空气不被击穿的情况下，内半径 可使电容器存储能量最多,
-16b mV103E m10
22R
1?R
（ 空气 ）
1
2
0
2
e lnπ42
1
R
RUW
单位长度的电场能量
l
+
+
+
+
-
-
-
-
1R
2R
++
++++++
_
_
_
_
_
_
_ _
1b0m a x π2 RE
1
22
1
2
b0e lnπ R
RREW
0)1ln2(π
d
d
1
2
1
2
b0
1
e
R
RRE
R
W?
m1007.6m
e
10
e
3
2
2
1
RR
10
m a x
b π2 RE?
1
2
0
2
e lnπ4 R
RW
l
+
+
+
+
-
-
-
-
1R
2R
++
++++++
_
_
_
_
_
_
_ _
V1010.9
e2
ln 32b
1
2
1bm a x
RE
R
RREU
例 3。 U 为稳压电源，为一电容为 C 的空气平行板电容器充电,在电源保持连接的情况下,试求把两个极板间距增大至 n 倍时外力所做的功。
解：因保持与电源连接,两极间电势保持不变,
而电容值为
dSC /0
电容器储存的电场能量由 2/2CUW e?
)/(' 0 ndSC nC /?
2/'' 2UCW e? nCU 2/?
eee WWW '?
)/(2/2 CnCU 0
1
2
2
n
nCU
在两极板间距增大过程中电容器上带电量由 Q
减至 Q’,电源作功：
UQQW )'(1
在拉开极板过程中,外力做功为 W2,
UCUUC )'(
012 n nCU
根据功能原理,W1+W2=?W
n
nCU
n
nCU 11
2
2
2
.01
2
2
n
nCU
12 WWW e
外力作正功小结：
1、导体静电平衡条件。
求电荷重新分布下的场强、电势分布。
2、导体组电容定义及求法。
BA UU
QC
设带电求 E 求
BA UU? 求 C
3、有介质时高斯定理
is
i
qsdD 0 （面内自由电荷）
求 ED
ED r 0?
求 U
定义法
D E dVdVwW ee
2
1
在空间遍及场存
4、电场能量
C
QQUCUW
e 22
1
2
1 22
电场能量密度 Wewe=
V
1
2= ε E
2 1
2= ED
1.导体 conductor 存在大量的可自由移动的带电粒子，在外电场作用下能传导电流。
3.半导体 semiconductor 在外电场作用下的导电性能介于上述两者之间。
2.绝缘体 也称 电介质 dielectric
原子核和电子间的引力很大，电子处于束缚态 。在外电场作用下，几乎不导电。
导体 绝缘体通常的金属称为一类导体，它们是以金属键结合的晶体,处于晶格结点上的原子核很容易失去外层电子,成为正离子,脱离原子核的价电子,可在整个金属中自由移动,称为 自由电子,
将导体放入电场中,由于场对导体中电荷的作用,使电荷重新分布,从而也改变了原先的场分布,
金属导体、电介质及场间的相互影响及相互作用同样,将电介质放入电场,场对电介质中电荷发生作用,也要引起 电荷重新分布,相应的,需求解新的场分布,
本章即研究导体、电介质与场的相互作用及影响。
8-1 静电场中的导体一、静电感应与静电平衡静电感应 —— 在静电场力作用下，导体中电荷重新分布的现象。
在静电感应现象中在导体上出现的电荷,
称为感应电荷,
+ +++++ +++
一 静电感应 静电平衡条件感应电荷导体的静电感应过程无外电场时 (电中性 )
+
+ +
+
+
+ +
++
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
+
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E E外 E感+ ==内 0
导体达到静 电 平衡
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E外E
感金属球放入前电场为一均匀场
E
金属球放入后电力线发生弯曲电场为一非均匀场
+++
++
++ E
用场强来描写：
1,导体内部场强处处为零；
2,表面场强垂直于导体表面 。
静电平衡 —— 导体中电荷的宏观定向运动终止，电荷分布不随时间改变。
静电平衡条件：
用电势来描写：
1,导体为一等势体；
2,导体表面是一个等势面。
++ +
+
++
导体是等势体
ne
τe
静电平衡条件
（ 1）导体内部任何一点处的电场强度为零；
（ 2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直,
E?
l?d
导体表面是等势面
0d lEU
导体内部电势相等
0d
ABAB
lEU
lE d?
A
B
1,实心导体电荷分布在导体表面，导体内部场强处处为零。
二、静电平衡时导体上的电荷分布由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，
可以得出导体上的电荷分布。
E d S
S
0
q dVi
i V
0
0
证明：在导体内任取体积元由高斯定理
体积元任取 证毕
0?内E
dV
导体带电只能在表面！
1.导体体内处处不带电,
0d lEU ABAB
若内表面带电所以内表面 不 带电
S
++ --
A B
结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
+ +
+
+
+
++
+
+
+矛盾
0d i
S
qSE,
导体是等势体
0d lEU ABAB
2 空腔导体 空腔内无电荷
q?
空腔内有电荷
q?
2S
00d
1
i
S
qSE,
qq内
qQ?
1S
电荷分布在表面上内表面上有电荷吗？
00d
2
i
S
qSE,
结论 当空腔内有电荷 时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷,外表面有感应电荷 （电荷守恒） 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。 q?
q?
q?
+0 E= 表 S + 0
σε=
o
E表
σ E
S
三、导体的表面场强
E表 =σε
o
∮ E.dSE.dSs =
侧E
.dS
内 E
.dS
表+ +
∫∫ ∫
σ S=
0
1
方向垂直于表面在比较平坦部分 (曲率较小 )电荷面密度较小，
在表面凹进部分带电面密度最小。
尖端放电孤立带电导体球孤立导体
C
四,孤立带电导体表面电荷分布一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷分布由实验得出定性的分布：
在表面凸出的尖锐部分 (曲率是正值且较大 )电荷面密度较大，
++
++
+
+
+
+
+
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关,
导体表面电荷分布
EE ;,
0?
E
带电导体尖端附近电场最强带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，
即 尖端放电,
尖端放电会损耗电能,还会干扰精密测量和对通讯产生 危害,然而尖端放电也有很广泛的 应用,
尖端放电现象
E?
尖端放电现象的 利 与 弊
2.基本性质方程
0?内E cUor?
0?
i
i
S
q
sdE
L
ldE 0
i
i c o n s tQ,
有导体存在时静电场场量的计算原则,
1.静电平衡的条件
3.电荷守恒定律上一章 已知 q分布 求电场分布此章 假定达到静电平衡
Q的重新分布利用静电平衡条件
E（ r）｛
U(r)
ε ε ε εσ σ σ σ
E1 EE E 2 34
.,b2σ
1σ 4σ3σ
2qq1
++b =1ε
o2
2
ε o2
3
ε o2
4
ε o2 0点：
=1σa o2 2σ o2 3σ o2 4σ o2 0点：
已知两金属板带电分别为 q1 2q，
求,1σ 2σ 3σ 4σ，，,
。
。
a
[例 1]
S3σ
=
=
++
1σ
ε2
2σ
ε2
3σ
ε2
4σ
ε2 0
=1σε2 2σε2 3σε2 4σε2 0
S2σS1σ
S4σ+
+ q1
= 2q
o o o o
o o o o
σ
qq 21
σ σσ21 3 4
由电荷守恒：
1σ
2= q+
4σ =
q1
S2
2σ 3σ=
2q=q1
S2
解得：
σ
qq 21
σ σσ21 3 4
=
++
1σ
ε2
2σ
ε2
3σ
ε2
4σ
ε2 0
=1σε2 2σε2 3σε2 4σε2 0
o o o o
o o o o
(1)
(2)
σσ q
S3σ
=S2S1
S4σ+
+ 1
= 2q
（ 3）
（ 4）
1σ
2= q+
4σ =
q1
S2
2σ 3σ=
2q=q1
S2
σ
qq 21
σ σσ21 3
讨论：
21 qq 041
s
q
32
平行板电容器无限大带电平面
02?
E
无限大带电金属板
02?
E
E?E?
E? E?
E? E?
1?
2?
导体表面附近
0?
E
矛盾？
qqq 21
电荷守恒对称性
21 qq?
｝ 221
qqq
221
法一,1? 2?
0?内E
00
2
2?
E
（注意：用高斯定理求出的就是合场强）法二：
1? 2?
SSE )(12 21
0
00
1
2?
E
法三：
0
1
0
2
0
1
21 22?
EEE
合
02?
合E
1? 2?
1E
2E
1E
2E
2E
1E
221
（高斯面）
例 3 无限大的带电平面的场中，
平行放臵一无限大不带电金属平板求：金属板两面电荷面密度
21,
P
21
0
222 0
2
0
1
0
211
2
1
2?
解,设金属板面电荷密度
21
由对称性和电量守恒导体体内任一点 P场强为零
x
02?
0
1
2?
0
2
2?
例 4 金属球 A与金属球壳 B同心放置求,1)电量分布
q
Q
A
B
o
已知：球 A半径为
0R
0R
带电为
q
金属壳 B内外半径分别为
21 RR,
12 RR
带电为
Q
AU BU
2)球 A和壳 B的电势
A
B
o
0R
q
12 RR
Q
解：
1)导体带电在表面
球 A的电量只可能在球的表面
壳 B有两个表面电量可能分布在内、外两个表面
由于 A B同心放置仍维持球对称
电量在表面均匀分布
q
qQQ B外球 A均匀分布着电量
qQ B内
B
A
o
q
0R12 RR
由高斯定理和电量守恒可以证明壳 B的电量分布是
q?
qQ?
相当于均匀带电的球面相当于一个均匀带电的球面
qQ B内证明壳 B上电量的分布：
在 B内紧贴内表面作高斯面
qQQ B外
0
S
sdE
0
i
iq
B A
o
q S
S
面 S的电通量高斯定理电荷守恒定律
q?
qQ?
由静电平衡条件知：
0?内E
0R1R
2R
201000 444 R
R
q
R
q
U A
204 R
U B
等效为,在真空中三个均匀带电的球面利用叠加原理
8.1,3 导体静电平衡性质的应用静电屏蔽腔内、腔外的场互不影响静电屏蔽的装置 ---接地导体壳腔内场 只与内部带电量及内部几何条件及介质有关,对外场无影响。
腔外场 只由外部带电量和外部几何条件及介质决定，不进入腔内场。
1 屏蔽外电场
E?
外电场空腔导体可以屏蔽外电场,使空腔内物体不受外电场影响,这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等,
E?
空腔导体屏蔽外电场
q?
接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响,
问,空间各部分的电场强度如何分布？
接地导体电势为零
q
2 屏蔽腔内电场
+
+
++
+
+
+
+
q
则
RB ldEU
例 导体 A和 B 同心放置 如图
A
B
q
只需知壳外表面的带电量和球壳 B的外半径
R
R
q
04
欲求壳 B的电势电介质及其极化近年来电介质的研究有很大发展，新型的、具有特殊性能的电介质材料不断被发现和制造出来。
电介质的应用，不仅限于绝缘和储能，而且涉及换能、热电探测、电光调制、非线性光学、光信息存储和实时处理。
电介质已成为完成和执行特殊功能的重要材料 。
电介质物理成为与固体物理、晶体学和光学有密切联系的一个重要领域,
一,有极分子及无极分子有极分子：分子正负电荷中心不重合 。
C
H+
H+H+
H+
甲烷分子正负电荷中心重合
Pe 分子电偶极矩
H
O
+H+ +
水分子正电荷中心负电荷中心
Pe
8-2 静电场中的 电介质无极分子：分子正负电荷中心重合；
+
-
1,无极分子的位移极化无外电场时，分子正负电荷中心重合，介质不带电。
加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心发生相对位移不再重合，出现电偶极矩。 p
e
+ ff
l
E外
pee
+
二、介质的极化
E外
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
加上外电场后，由于电偶极矩的出现，在介质左右的两个端面上出现极化电荷层 。
无外电场时，有极分子电矩取向不同，
整个介质不带电。
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
2,有极分子的转向极化在外电场中有极分子的固有电矩要受到一个力矩作用
+
pe E
2,有极分子的转向极化
EM p= e×
在外电场中有极分子的固有电矩要受到一个力矩作用
+
pef
f
E
2,有极分子的转向极化在此力矩作用下，使电矩方向转向和外电场方向一致。
+
pef
f
EM p= e×
E
2,有极分子的转向极化无外电场时，有极分子电矩取向不同，
整个介质不带电。
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
E外加上外电场后，电矩受力矩作用而发生转向，
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
E外
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
加上外电场后，电矩受力矩作用而发生转向，
E外
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
加上外电场后，电矩受力矩作用而发生转向，在介质左右两端面上出现极化电荷。
+ + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
r?
- - - - - - - - - - -
电极化强度
V
p
P
表面 极化电荷面密度
nP?'?
'' Sl SlVpP
l
P?
S?
:电极化强度
p?,分子偶极矩的 单位,2mC
P?
P?
三,电介质的极化规律
1.各向同性线性电介质 isotropy linearity
2.各向异性线性电介质 anisotropy
介质的电极化率张量描述
EP e 0 1 re
无量纲的纯数
e? E
与 无关
e? E
与,与晶轴的方位有关研究板内的场均匀极化 表面出现束缚电荷内部的场由自由电荷和束缚电荷共同产生
EEE 0
以平行板电容器为例 自由电荷面密度为
0?
00
r?
充满相对介电常数为 的均匀各向同性线性电介质 r?
0?
四 电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
E0E E= +
E0E E=
E 介质中的合场强
E0 自由电荷的场强
E 极化电荷的场强
σE =ε
0
矢量式标量式
0
0
0?
E
自由电荷与极化电荷共同产生场
+ + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
d r
EEE 0
r
E
0
0?
r
E
0?
0 单独普遍?
0
0
0?
E
0?
E
0E
共同产生
r?
00
E?
o?
0
0
EP rn 10
联立
)
1
1(' 0
r
)'(1 0
00
0
r
ε=σ ( )1 1r?0
'Q 束缚电荷
0Q
自由电荷分布在介质表面
0
r
r' 1 QQ
)(1d '0
0
QQSE
S
EED r0
电位移矢量 （均匀各相同性介质）
0?
0
'
'? + + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
r?
S
电容率
r0
r0
0d
QSE
S
有介质 时的 高斯 定理
i
iS QSD 0d
§ 8.3 电位移矢量?D
电位移矢量 electric displacement
vector
量纲
PD
单位 C/m2
各向同性线性介质 EED r 0
介质方程
1?r?
介质相对电容率
D d S q
S
i
i
0
的高斯定理?D
自由电荷介质中的高斯定理：在任何电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和。
说明：
1,D只是一个辅助量 - 解决有介质时，束缚电荷 q’一般未知情况下的场的求解问题。
2,D线与 E线不同。
D线：起始于正自由电荷，终止于负自由电荷。
E线：起始于一切正电荷（自由、束缚），
终止于一切负电荷（自由、束缚） 。
D的通量仅与自由电荷有关。 而 E的通量不仅与自由电荷有关，且与束缚电荷有关。
在具有某种对称性的情况下，可以首先从高斯定理出发 解出 D?
D E P q
有介质时求场的步骤：
即：已知自由电荷分布 Q0及介质电容率
例 1 均匀带电 Q导体球置于均匀各向同性介质中 如图示求,1）场的分布
01?E
i
s
qsdD
导体内部
0Rr
<
01?D
1r?
内
10 RrR
< <
QrD?24?
0?
0R
1r?
2r?
12 RR
Q
22 4 r
QD
2） 电势 的分布解,1）
2
0
2
1
4 r
Q
E
r
ED r
0?
2r?
内
21 RrR
< <
23 4 r
QD
2
0
3
2
4 r
Q
E
r
2Rr
>
24 4 r
QD
2
0
4 4 r
Q
E
2）
2
1
0
2
10
4321
R
R
R
R
RR
drEdrEdrEldEU
]1)11(1)11(1[
4 2211001
21
RRRRR
QU
rr
2
1 2
1
4322
R
R
r
R
Rr
drEdrEdrEldEU
]1)11(1)11(1[
4 221102
21
RRRRr
QU
rr
)( 0Rr?
)( 10 RrR
2
2
433
R
R
rr
drEdrEldEU
]1)11(1[
4 2203
2
RRr
QU
r
)( 21 RrR
rr
drEldEU 44
r
QU
0
4 4
)( 2Rr?
0?
0R
1r?
2r?
12 RR
Q
例 2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
0
内部均匀分布体电荷密度为求：介质板内、外的 DE
解,
D E P?
面对称 平板
r相对介电常数为取坐标系如图 0?x 0?E处以 处的面为对称面0?x
底面积设
0S
r?
0
d
x
0
S
0S
x
的自由电荷
S过场点作正柱形高斯面
x d? 2 000 22 SxDS
D x 0
x d? 2 dSDS 0002
D d 02
r?
0
d
x
0
S
x x
E
D
r
0
0
0
x
r
x d? 2 D x
0
x d? 2 D d 0
2 E
D d
0
0
02
均匀场
x
E
0
例 3 把一块相对电容率 的电介质,放在极板间相距 的平行平板电容器的两极板之间,
放入之前,两极板的电势差是,试求两极板间电介质内的电场强度,电极化强度,极板和电介质的电荷面密度,电介质内的电位移,
3r
V1000
E P
D
mm1?d
解
13161
30 mkV10mV10mV10
1 00 0
d
UE
12 mkV1033.3
260r mC1089.5)1( -EP
26000 mC1085.8 E
26 mC1089.5' P?
26000r0 mC1085.8 -EED
r0?EE?
§ 8.4 电容器及电容 capacitor capacity
一,孤立导体的电容电容只与几何因素和介质有关固有的容电本领单位,法拉 F
QU?孤立导体的电势
U
QC?
定义
SI量纲：
U
Q
C? 132 ITML
IT 2421 ITLM
04
1
R m9109
ER
310?
例 真空中孤立导体球的电容 (如图 )
R
QU
04
U
QC?
Q设球带电为 R
导体球电势导体球电容
R04
介质几何问题
F1欲得到 的电容孤立导体球的半径 R
由孤立导体球电容公式知
(地球半径 )
F10pF1 12
F10μF1 6
二,导体组的电容由静电屏蔽 --导体壳内部的场只由腔内的电量和几何条件及介质决定 (相当于孤立 )
腔内导体表面与壳的内表面形状及相对位置设 Q
A
B
E? ABU?
U
QC
U
QC
定义几何条件
Q
QQ?
内表面电容的计算电容器电容
U
Q
VV
QC
BA
电容的大小仅与导体的 形状、相对位置,其间的电 介质 有关,与所带电荷量 无关,
三 电容器电容的计算
AVBV
Q? Q?
1） 设两极板分别带电 ； 2） 求 ；Q? E?
U C3） 求 ； 4） 求,
步骤
lEU ABAB d
典型的电容器平行板
d
球形
21 RR
柱形
1R
2R
d
S
1 平板电容器
+
+
+
+
+
+
Q Q?
-
-
-
-
-
-
S
QE
00
（ 2） 两带电平板间的电场强度
（ 1） 设 两导体板分别带电 Q?
S
QdEdU
0?
（ 3） 两带电平板间的电势差
d
S
U
QC
0
（ 4） 平板电容器电容
2 柱形电容器 单位长度的电容设单位长度带电量为?
r
E
02
dr
r
U
R
R
2
1 0
2
U
C
1
2
0
ln
2 R
R
柱形
1R
2R
21 RrR
< <
1
2
0
ln
2
R
R
r?
E?
3 球形电容器的电容设 A球带 +Q,B球带 -Q
由高斯定理知：
2
04 r
QE
BA RrR
ARBR
B A
两球间电势差：
)11(
44 020 BA
R
R
R
R
AB RR
Q
r
drQldEU B
A
B
A
电容
)(4 0
AB
BA
AB RR
RR
U
QC
R2
d
E?
)(π2π2 00 xdx
EEE
x
xdx
xEU
Rd
R
Rd
R
d)11(
π2
d
0?
R
d
R
Rd ln
π
ln
π 00?
单位长度的 电容
R
d
UC lnπ 0?
解 设两金属线的电荷线密度为
E
E
例 两半径为 的平行长直导线中心间距为,
且,求单位长度的电容,
R d
Rd
o x
P
x xd?
四、电容器的串联和并联
1、电容器的并联
C1
C2
U
特点：各电容上 U同。
目的：增大电容。
并联后相当极板面积增大
U
C
Q=Q1+Q2=U（ C1+C2）
=UC
等效
C= C1+C2=∑Ci
2、电容器的串联
C1 C2
U1 U2
特点：各电容上 Q同。
目的：耐压。
等效
U
C
U=U1+U2=Q（ 1/C1+1/C2）
U=Q/C =Q（ 1/C1+1/C2）
21
111
CCC
i iCC
11
3,求此电容器之电容。 (两种方法 )
+
d
d1
2
ε 0
ε r BC
A+ ++ ++ D
1
D2
E
E
1
2
σ
σ
ε
[ 例 1 ] 一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为
r 。1,用高斯定理求：
D1 D2,,E E1 2,；
A BU U ；；2求：
d
d1
2
ε 0
ε r
B
C
A + ++ ++
D1
+ ++ +
σ
σ
S
εE
σ+= +0 0DS = S
D ==σ D
1
11
0
D =dS,D dS上,D dS下,D dS侧,+ +
s
d
d1 ε 0
ε r
B
C
A + ++ ++
D2
+ ++ +
σ
σ
S2
sD =dS,D dS上,D dS下,D dS侧,+ +2
s
εε r
S
E
σ+= +0 0 D S=
D ==σ D
2
22
0
D dS上,2 cos180o =
+
d
d 1
2
ε 0
ε r BC
A+ ++ ++ D
1
D2
E
E
1
2
σ
σε
SC =
U UA Bσ
r
ε 0=
dd
1
2+
S
C B
εεε
εε
=U UA B dlE,A 1 dlE,C 2+
0
=
0
σσ
ε 0σ dlA
C
d
C
B
+
0 r
σ
= dd 1 2+ r
l
例 2:平行板电容器，设带自由电荷,左、
右充不同介质。
0Q
0Q
1r? 2r
右左 UU? 右左 EE?
2
2
右E1
1
左E
021 Qqq
除 s/2
解,设左、右电荷面密度分别为 及 。导体是等势体，
1? 2?
2
2
1
1
（ 1）
sQ /2 021 （ 2）
（ 1）、（ 2）联立
s
Q 0
21
1
1
2
s
Q 0
21
2
2
2
自由电荷在左、右板上分布不同，以抵消极化电荷的不同，使板间的合场在左右相同。
电容
d
s
dE
Qc
2
)( 210
左另法：也可视为电容并联
d
s
d
sccc 2/2/ 21
21
d
s
2
)( 21
对比上例：平行板电容器，设带自由电荷 0Q
上、下充不同介质。
§ 8.5 静电场的能量一,带电体系的静电能
electrostatic energy
状态 a时的静电能是什么？
定义,把系统从状态 a 无限分裂到彼此相距无限远的状态中 静电场力作的功,叫作系统在状态 a时的静电势能。简称静电能。
相互作用能带电体系处于状态 a
或：
把这些带电体从无限远离的状态聚合到状态 a的过程中,外力克服静电力作的功。
W q
q
r
q U1 2
0
1 124
作功与路径无关表达式相同? q U2 21
为了便于推广 写为 W q U q U1
2
1
21 1 2 2
i
i
iUqW 2
1
Ui 除 qi
以外的电荷在 q
i
处的电势点电荷系也可以先移动 2q 在 所在处的电势 12 qq 状态 a
q r q1 2
若带电体连续分布
W dqU
Q
1
2
U,所有电荷在 dq 处的电势如 带电导体球
dq
W dq
Q
R
Q
1
2 4 0
Q
R
2
08
Q R带电量 半径静电能 = 自能 + 相互作用能
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -E
C
Q
2
2
二,电容器的电能
qCqqUW ddd
2
2
e 2
1
2
1
2
CUQU
C
QW电容器贮存的电能
Q
C
W
0
d1
2
2
1
2
1 CUQUW
U
qd
+
U
QC?
三 静电场的能量 能量密度
2
e 2
1 CUW?
物理意义 电场是一种物质，它具有能量,
电场空间所存储的能量
VV VEVwW d21d 2ee?
电场能量密度
EDEw
2
1
2
1 2
e
2)(
2
1 Ed
d
S SdE 2
2
1
1R
2R
例 1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为和,所带电荷为,若在两球壳间充以电容率为的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？ 2R
1R
Q?
解
r2π4
1 e
r
QE
r
rd
42
2
2
e π322
1
r
QEw
r
r
QVwW d
π8
dd 2
2
ee
)11(
π8
d
π8
d
21
2R
R 2
2
ee
2
1 RR
Q
r
rQWW
12
12
2
21
2
e
π42
1
)
11
(
π8
RR
RR
Q
RR
Q
W
C
QW
2
2
e?
12
12π4
RR
RRC
（球形电容器电容）
讨 论
2R
1
2
e π8 R
QW
（ 1）
（ 2）
（孤立导体球贮存的能量）
)(
π2 210
RrR
r
E
10
m a x
b π2 RE?
1
2
00
lnπ2dπ2 2
1 R
R
r
rU R
R?
解
1?r?
例 2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击穿场强是,电容器外半径,
在空气不被击穿的情况下，内半径 可使电容器存储能量最多,
-16b mV103E m10
22R
1?R
（ 空气 ）
1
2
0
2
e lnπ42
1
R
RUW
单位长度的电场能量
l
+
+
+
+
-
-
-
-
1R
2R
++
++++++
_
_
_
_
_
_
_ _
1b0m a x π2 RE
1
22
1
2
b0e lnπ R
RREW
0)1ln2(π
d
d
1
2
1
2
b0
1
e
R
RRE
R
W?
m1007.6m
e
10
e
3
2
2
1
RR
10
m a x
b π2 RE?
1
2
0
2
e lnπ4 R
RW
l
+
+
+
+
-
-
-
-
1R
2R
++
++++++
_
_
_
_
_
_
_ _
V1010.9
e2
ln 32b
1
2
1bm a x
RE
R
RREU
例 3。 U 为稳压电源，为一电容为 C 的空气平行板电容器充电,在电源保持连接的情况下,试求把两个极板间距增大至 n 倍时外力所做的功。
解：因保持与电源连接,两极间电势保持不变,
而电容值为
dSC /0
电容器储存的电场能量由 2/2CUW e?
)/(' 0 ndSC nC /?
2/'' 2UCW e? nCU 2/?
eee WWW '?
)/(2/2 CnCU 0
1
2
2
n
nCU
在两极板间距增大过程中电容器上带电量由 Q
减至 Q’,电源作功：
UQQW )'(1
在拉开极板过程中,外力做功为 W2,
UCUUC )'(
012 n nCU
根据功能原理,W1+W2=?W
n
nCU
n
nCU 11
2
2
2
.01
2
2
n
nCU
12 WWW e
外力作正功小结：
1、导体静电平衡条件。
求电荷重新分布下的场强、电势分布。
2、导体组电容定义及求法。
BA UU
QC
设带电求 E 求
BA UU? 求 C
3、有介质时高斯定理
is
i
qsdD 0 （面内自由电荷）
求 ED
ED r 0?
求 U
定义法
D E dVdVwW ee
2
1
在空间遍及场存
4、电场能量
C
QQUCUW
e 22
1
2
1 22
电场能量密度 Wewe=
V
1
2= ε E
2 1
2= ED
