当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作功，静电场具有能量！ 从,功,,能,的观点研究静电场
dW EF q0,== dl,dl
l
r
r φ
dr
d
7.4 静电场的环路定理 电势
7.4.1 静电场力的功，环路定理
qq
επ= Eq0,dr = 2r4 0 dr0
= Eq0,dl cosφ
在 q的电场中放入 q0,从 a
点沿任意路径移动到 b
点。
ldq φ
E
r
r
a
b
φ
a
q0
E
b
)drW= επ4
qq0
επ4
qq
0
r
r
r = ( ba rr
11
a
b
00
2
b
a
r
r
dW=
qq
επ 2r4 0 dr0
静电场力做功只与被移动电荷的始末位置有关
，与路径无关。与引力场中引力做功，弹性力做功特点一样。所以，静电力是保守力，静电场是保守场。
静电场环路定律：
在静电场中，电场强度的环流为零。（ 无旋性）
高斯定理说明静电场的 有源性对于由 n 个点电荷所组成的电场有,
επW = 4
qq0 ( )
ba rr
11Σ
i =1 iiab
n
0
若 = ba rr ii 即从 a点出发再回到 a点则有,
Eq0 =.dll Eq0,dll = 0∫ ∫
l E =.dl 0∫
7,4,2、电势能静电场是保守场,静电场力作功与路径无关，
静电力是 保守力,可以引入势能的概念 。
把试验电荷从 a点移到 b点静电场力所做的功等于静电势能的减少。
0
b
a b a b
a
W q E d l W W
0
0
11
4 ab
qq
rr
若选静电场中无穷远处电势能为零，则 a点的电势能为,
E a W == a Eq,dla8 80∫
0
0
1
4 a
qq
r
电势能零点的选取,对于有限分布带电体，常取无穷远处为 电势能零点 ；在实际问题中有时选择地球表面为零势能点。
静电场中某点的电势能属于场源电荷与试验电荷构成的系统，与试验电荷有关。为表证电场本身某点的性质，引入电势的概念。
A点的电势能即是把电荷 q0从 a点移到无穷远处静电力所做的功。
E a W =a Eq,dlab或,其中 b为 零势能 点 )( b= 0?
电势,a 点的电势在数值上等于将单位正电荷从
a 点移到无穷远处静电场力对它所作的功。
电势是只与场源电荷性质及场点位置有关的量
。 表征了静电场的能量特性。
电势是标量。
单位 (伏特 ) V=J(焦耳 )/C(库仑 )，
电子伏特 =？
q0
Wa==U
a E.dl∫ a
8
7.4.3,电势 电势差
(将单位正电荷从 移到 电场力作的功,)A B
ABBAAB lEVVU d
电势差电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；
电势大小是相对的，与电势零点的选择有关,
注意
BABAAB UqVqVqW 000
静电场力的功
J10602.1eV1 19原子物理中能量单位单位,伏特 ）（ V
q r
l?d
E?
1.点电荷的电势
r
r
qE
3
0π 4?
令
0V
r
lr
r
q
V
d
π 4 30?
r
qV
0π 4?
rd
0,0
0,0
Vq
Vq
r r
rqr
3
0π 4
d
7.4.4电势的计算
r
q
U
04
U
r+
U
r
电势正负由场源电荷的正负决定 。
U1= UiU2+ =Σ+
对于点电荷系,q
2
q 1
P
r1r2
2,点电荷系的电势 电势叠加原理
+=Up E.dl8p = E8p ( +E ),dl21∫ ∫
E,dl8p= 2E,dl8p 1 +∫ +∫
επ r4
q i
i=U Σ 0
q q
π r4
1
1 π r4
2
2
=U + +
0? 0?
3,连续带电体的电势
（方法二）
πε r4
qd=Ud
0
参考点PP ldEU
定义式,
前提：场具有对称性，可方便地求出场在空间的分布
)( rEE
rqV P
0π 4
d
求电势的方法
r
q
V P
0π 4
d
利用
若已知在积分路径上 的函数表达式，
则
E?
lEV
V
A
A
d
0
点
（利用了点电荷电势,
这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为 有限大 带电体且选无限远处 为电势零点,）
rqV 0π 4/
讨论试求,将电荷r 0=0.10 m Cq 1 -8= 1.0× 0，
a b
q 1 2q0q
r rr=Ua q 1+ =0
U q 2U
q b点静电场力所作的功 。
0 从 a点 移到
Ua UWab= 0q ( )= ×2.4 10 5(J)b
×= 2.4 103 (v) Ua U ×=2.4 103 (v),b
0.1 ××=9 10
9× 1 ( 4.0 4.0
3 ) 10
8
U q q qππε=b 4
o
1
ε4 o
2+
rr =3 πε4 or
1 ( )1
3 + q2
q 8,q C= 1= 4.0× 01 2[ 例 1 ] 已知：
qdU
επ r4 o
d=
dq
R
x P
r
Rq x，,。
[ 例 2 ] 求一均匀带电圆环轴线上一点的电势。已知：
επ r4 o
1U = qd
P ∫
法一,积分法
22
04 xR
q
(标量 )
法二,定义法已知圆环轴线上场强
2/322
0 )(4 xR
qxE
dq
R
x P
r
现将单位正电荷从 p点沿 x轴移至无穷远
(方向沿 x轴 )
xxx
p xR
xRdq
E d xxdEU 2/322
22
0 )(
)(2/1
4
22
04 xR
q
讨论,
2/322
0 )(4 xR
qxE
22
04 xR
qU
1) x=0，环心处
0)0(?E
0
4
)0(
0
R
qU
结论,E=0,U不一定为零；
U=0,E不一定为零。
2) Rx
x
qU
04
点电荷电势圆环轴线上 x处
[ 例 3 ] 求一均匀带电球面的电势 。
已知,q R,。 R
+
++
++
+
++
q
P.
r求：电势分布解,定义法
r＜ R E=0
r＞ R
2
04 r
q
E
先 求电场分布，由高斯定理知
= επ4
o
q
R
<1,r R
>2,r R
R
+
++
++
+
++
q
P.
r
88,
dlE,dlE内,dlE外U = += Rr rR∫ ∫ ∫
q
R0
dr+= 8 επ 2r4 o∫
επ= 4 o.drE外r
8U =
r dr
8
επ 2r4 o
q = q
r∫ ∫
电势分布曲线。
场强分布曲线
E
U
R
R r
rO
O
8
8
2r
r
1
1
结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。
计算电量为 Q 的带电球面 球心 的电势
dU
dq
R
4 0
U dU
dq
R
Q Q
4 0
Q
R0
R
Q
o
在球面上任取一电荷元
dq
dq
则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势 思考：
电量分布均匀？
圆环、
圆弧？
例 4.平行板电容器两板间的电势差
d
0?
E
ldEU
dlE
解：
平行板电容器内部的场强为两板间的电势差
E?
ld
E d l
方向一致
ldE,均匀场
EdU
例 5,无限长,带电直导线的电势解
o
r
B
Br
P
r
令
0?BV
BP rr rEV d B r
r
r rer
d
π2 0?
r
r Bln
π2 0?
能否选？
0V
例 6.一对无限长的同轴直圆筒（ R1,R2），沿轴线方向单位长度带电量分别为 ;
1? 2?、
求,1）筒内、外电势分布；
2）两筒间电势差；
3） U-r曲线解,1）定义法,先用高斯定理求出场分布,
1Rr? 01?E
21 RrR
r
E
0
1
2 2
2Rr?
r
E
0
21
2 2
1? 2?
R1
R2
无限的电荷分布,选取电势零参考点,令 0
2?RU
1Rr?
22
1
R
r
R
r
E drldEU
1
2
0
1
21 ln20
2
1
1
R
RdrEdrE R
R
R
r
21 RrR
r
RdrEU R
r
2
0
1
22 ln2
2
2Rr?
22
c os333
R
r
R
r
drErdEU
r
R 2
0
21 ln
2
U
r
0 R
1
R2
2）
3）
1
2
0
1 ln
2
2
1
21 R
R
ldEUU
R
R
RR
电度梯势
7,5 电场强度与电势梯度的关系
7.5.1 等势面形象描述与位置有关的势的空间分布 。
1,等势面：在静电场中，电势相等的点的集合所形成的曲面。
规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的 疏密程度 同样可以表示场强的大小．
点电荷的等势面
1dl
2dl
12 dd ll?
12 EE?
点电荷的等势面电偶极子的等势面
+
电平行板电容器电场的等势面
++ ++++ +++
.dW cosθoq dl= E dl = oq E =0
电荷在等势面上移动电场力不作功，
所以有：
在等势面上oq若 A,B为一等势面上两点。
dl,设 E dl与 成 角。θ移动
θ
A
B
E
dl
oq
2,等势面与电力线的关系
BA UU? 0 BA UU
dl = 0，oq 0,，0E = =因为
π=θ 2 即 E dl，所以结论：电力线与等势面正交，垂直穿过它
3,等势面图示法等势面画法 规定,相邻两等势面之间的电势差
Δ U 相等将单位正电荷沿等势面法线方向移动 。电场线总是指向电势降低的方向。
U UB C = nΔE2 2
A
B
C
U
U
U
nΔ 2
Δ
U Δ+
U
nΔ 1E1
E2
<>nΔ 1 nΔ 2 E1 E2若 则，
即,等势面越密的地方电场强度越大。
nΔE1 1 = nΔE2 2所以
U UA B = U UB C因为
EU,dlUA B == AB E AB1 nΔ=E1 1dl∫ ∫
10c os
等势面在实际工作中具有重要意义,
电势比电场强度易计算,
用实验方法可精确地描绘出等势面,
实际上,往往由等势面的分布得知各点的电场强度的大小和方向,
7.5.2 电势与电场强度的微分关系,
作为描述电场的两个物理量,它们是同一事物的两个不同的侧面,
积分关系,
ldEU
p
p
零电势微分关系,知电势分布，求场强？
一试探电荷 0q 在电场强度为 E? 的电场中作位移 ld? ld?,( 很小,E? 视为常量 ).
电场力作正功,电势能减少,
dUqldEq 00
dl
dUEc o s
dlEdU?c o s
dl
dUE
l
lE
,电场强度在位移 ld?
方向的分量
dl
dU 电势沿 ld? 方向的单位长度的变化率,
l
UE
l?
V
VV
E?
l?d
高电势低电势
ne
e
nld
方向 与 相反，由 高 电势处指向 低 电势处
ne
nd
d
l
V
E?
大小
n
n d
d
l
VE
ndd ll lEE n
n
nd
d e
l
VE
l
VE
l d
d
直角坐标系中为求电场强度 提供了一种新的途径
E?
求 的三种方法
E?
利用电场强度叠加原理利用高斯定理利用电势与电场强度的关系物理意义
（ 1） 空间某点电场强度的大小取决于该点领域内电势 的空间变化率,V
（ 2） 电场强度的方向恒指向电势降落的方向,
讨论此式表示,电场强度在任意方向的分量,等于电势沿该方向的变化率的负值,
l
UE
l?
Ex xU= Ey yU= Ez
z
U=
)( k
z
Uj
y
Ui
x
UE
g r a d UUE 电势梯度电势梯度矢量定义：
n
方向：垂直于等势面指向电势升高的方向，
即法线 的方向。
大小：电势梯度矢量在数值上等于电势沿法线方向的方向导数，或电势沿法线方向的变化率。即等于 Ud dn 。
=grad U Uddn n
x i=
U
y j
U
z k
U+ +
电场强度大小等于在法线方向的电势变化率，其方向和电势梯度的方向相反。
= grad UUd
d n
nE =
求电场的第三种方法,
1)已知电荷分布,先求电势分布 -标量积分,
2)利用场强与电势的微分关系,求导即得 E的分布,
)( k
z
Uj
y
Ui
x
UE
求：轴线上任一点的场强。
q
επ r4 oU = επ4 o
q=
( )x 2+R2 21
= επ4
o
q
( )x 2+R2 23[ ]
x
Ex xU=E =
解：
例 1,已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：
求：任一点的场强。
επ r4 o
qU =
Er rU=E =
解：
= π4
o
q ( )
r 2
1 = ε
π4 o
q
r 2ε
例 2 已知一点电荷的电势为：
E
3,外电场对电偶极子的力矩和取向作用
F
F
q?
q?
0r
0
EqEq
FFF
s in
s in0
pE
EqrM
EpM
匀强电场中非匀强电场中
0
π
稳定平衡非稳定平衡0?M?
0 EqEqFFF
电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
F
F
q?
q?
0r
E
qVqVE p
co s)
co s
( 0
0
r
r
VVq
co s0 Eqr
EpEp
0
π
/2π 0
p?E
EpEp
能量最低
EpEp
能量最高真空中静电场小结
1,两个物理量 UE?
2,两个基本规律
0
0
Li
i
S
ldE
q
sdE
内
3,两种计算思路
)( Q
EdE
)( Q
dUU
1）积分法
0?
i
i
S
q
sdE
内
0
)(
U
P
P ldEU
2） 高斯定理 电势定义
3） 利用场强与电势关系
g r a d UE
先作电势的标量叠加，
再对电势的某一方向微分，可求出场强在该方向分量。
4,注重典型场注重叠加原理场强的叠加电势的叠加点电荷均匀带电球面无限长的带电线 (柱 )
无限大的带电面 (板 )
dW EF q0,== dl,dl
l
r
r φ
dr
d
7.4 静电场的环路定理 电势
7.4.1 静电场力的功，环路定理
επ= Eq0,dr = 2r4 0 dr0
= Eq0,dl cosφ
在 q的电场中放入 q0,从 a
点沿任意路径移动到 b
点。
ldq φ
E
r
r
a
b
φ
a
q0
E
b
)drW= επ4
qq0
επ4
0
r
r
r = ( ba rr
11
a
b
00
2
b
a
r
r
dW=
επ 2r4 0 dr0
静电场力做功只与被移动电荷的始末位置有关
，与路径无关。与引力场中引力做功，弹性力做功特点一样。所以，静电力是保守力，静电场是保守场。
静电场环路定律：
在静电场中，电场强度的环流为零。（ 无旋性）
高斯定理说明静电场的 有源性对于由 n 个点电荷所组成的电场有,
επW = 4
qq0 ( )
ba rr
11Σ
i =1 iiab
n
0
若 = ba rr ii 即从 a点出发再回到 a点则有,
Eq0 =.dll Eq0,dll = 0∫ ∫
l E =.dl 0∫
7,4,2、电势能静电场是保守场,静电场力作功与路径无关，
静电力是 保守力,可以引入势能的概念 。
把试验电荷从 a点移到 b点静电场力所做的功等于静电势能的减少。
0
b
a b a b
a
W q E d l W W
0
0
11
4 ab
rr
若选静电场中无穷远处电势能为零，则 a点的电势能为,
E a W == a Eq,dla8 80∫
0
0
1
4 a
r
电势能零点的选取,对于有限分布带电体，常取无穷远处为 电势能零点 ；在实际问题中有时选择地球表面为零势能点。
静电场中某点的电势能属于场源电荷与试验电荷构成的系统，与试验电荷有关。为表证电场本身某点的性质，引入电势的概念。
A点的电势能即是把电荷 q0从 a点移到无穷远处静电力所做的功。
E a W =a Eq,dlab或,其中 b为 零势能 点 )( b= 0?
电势,a 点的电势在数值上等于将单位正电荷从
a 点移到无穷远处静电场力对它所作的功。
电势是只与场源电荷性质及场点位置有关的量
。 表征了静电场的能量特性。
电势是标量。
单位 (伏特 ) V=J(焦耳 )/C(库仑 )，
电子伏特 =？
q0
Wa==U
a E.dl∫ a
8
7.4.3,电势 电势差
(将单位正电荷从 移到 电场力作的功,)A B
ABBAAB lEVVU d
电势差电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；
电势大小是相对的，与电势零点的选择有关,
注意
BABAAB UqVqVqW 000
静电场力的功
J10602.1eV1 19原子物理中能量单位单位,伏特 ）（ V
q r
l?d
E?
1.点电荷的电势
r
r
qE
3
0π 4?
令
0V
r
lr
r
q
V
d
π 4 30?
r
qV
0π 4?
rd
0,0
0,0
Vq
Vq
r r
rqr
3
0π 4
d
7.4.4电势的计算
r
q
U
04
U
r+
U
r
电势正负由场源电荷的正负决定 。
U1= UiU2+ =Σ+
对于点电荷系,q
2
q 1
P
r1r2
2,点电荷系的电势 电势叠加原理
+=Up E.dl8p = E8p ( +E ),dl21∫ ∫
E,dl8p= 2E,dl8p 1 +∫ +∫
επ r4
q i
i=U Σ 0
q q
π r4
1
1 π r4
2
2
=U + +
0? 0?
3,连续带电体的电势
（方法二）
πε r4
qd=Ud
0
参考点PP ldEU
定义式,
前提：场具有对称性，可方便地求出场在空间的分布
)( rEE
rqV P
0π 4
d
求电势的方法
r
q
V P
0π 4
d
利用
若已知在积分路径上 的函数表达式，
则
E?
lEV
V
A
A
d
0
点
（利用了点电荷电势,
这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为 有限大 带电体且选无限远处 为电势零点,）
rqV 0π 4/
讨论试求,将电荷r 0=0.10 m Cq 1 -8= 1.0× 0，
a b
q 1 2q0q
r rr=Ua q 1+ =0
U q 2U
q b点静电场力所作的功 。
0 从 a点 移到
Ua UWab= 0q ( )= ×2.4 10 5(J)b
×= 2.4 103 (v) Ua U ×=2.4 103 (v),b
0.1 ××=9 10
9× 1 ( 4.0 4.0
3 ) 10
8
U q q qππε=b 4
o
1
ε4 o
2+
rr =3 πε4 or
1 ( )1
3 + q2
q 8,q C= 1= 4.0× 01 2[ 例 1 ] 已知：
qdU
επ r4 o
d=
dq
R
x P
r
Rq x，,。
[ 例 2 ] 求一均匀带电圆环轴线上一点的电势。已知：
επ r4 o
1U = qd
P ∫
法一,积分法
22
04 xR
q
(标量 )
法二,定义法已知圆环轴线上场强
2/322
0 )(4 xR
qxE
dq
R
x P
r
现将单位正电荷从 p点沿 x轴移至无穷远
(方向沿 x轴 )
xxx
p xR
xRdq
E d xxdEU 2/322
22
0 )(
)(2/1
4
22
04 xR
q
讨论,
2/322
0 )(4 xR
qxE
22
04 xR
qU
1) x=0，环心处
0)0(?E
0
4
)0(
0
R
qU
结论,E=0,U不一定为零；
U=0,E不一定为零。
2) Rx
x
qU
04
点电荷电势圆环轴线上 x处
[ 例 3 ] 求一均匀带电球面的电势 。
已知,q R,。 R
+
++
++
+
++
q
P.
r求：电势分布解,定义法
r＜ R E=0
r＞ R
2
04 r
q
E
先 求电场分布，由高斯定理知
= επ4
o
q
R
<1,r R
>2,r R
R
+
++
++
+
++
q
P.
r
88,
dlE,dlE内,dlE外U = += Rr rR∫ ∫ ∫
q
R0
dr+= 8 επ 2r4 o∫
επ= 4 o.drE外r
8U =
r dr
8
επ 2r4 o
q = q
r∫ ∫
电势分布曲线。
场强分布曲线
E
U
R
R r
rO
O
8
8
2r
r
1
1
结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。
计算电量为 Q 的带电球面 球心 的电势
dU
dq
R
4 0
U dU
dq
R
Q Q
4 0
Q
R0
R
Q
o
在球面上任取一电荷元
dq
dq
则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势 思考：
电量分布均匀？
圆环、
圆弧？
例 4.平行板电容器两板间的电势差
d
0?
E
ldEU
dlE
解：
平行板电容器内部的场强为两板间的电势差
E?
ld
E d l
方向一致
ldE,均匀场
EdU
例 5,无限长,带电直导线的电势解
o
r
B
Br
P
r
令
0?BV
BP rr rEV d B r
r
r rer
d
π2 0?
r
r Bln
π2 0?
能否选？
0V
例 6.一对无限长的同轴直圆筒（ R1,R2），沿轴线方向单位长度带电量分别为 ;
1? 2?、
求,1）筒内、外电势分布；
2）两筒间电势差；
3） U-r曲线解,1）定义法,先用高斯定理求出场分布,
1Rr? 01?E
21 RrR
r
E
0
1
2 2
2Rr?
r
E
0
21
2 2
1? 2?
R1
R2
无限的电荷分布,选取电势零参考点,令 0
2?RU
1Rr?
22
1
R
r
R
r
E drldEU
1
2
0
1
21 ln20
2
1
1
R
RdrEdrE R
R
R
r
21 RrR
r
RdrEU R
r
2
0
1
22 ln2
2
2Rr?
22
c os333
R
r
R
r
drErdEU
r
R 2
0
21 ln
2
U
r
0 R
1
R2
2）
3）
1
2
0
1 ln
2
2
1
21 R
R
ldEUU
R
R
RR
电度梯势
7,5 电场强度与电势梯度的关系
7.5.1 等势面形象描述与位置有关的势的空间分布 。
1,等势面：在静电场中，电势相等的点的集合所形成的曲面。
规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的 疏密程度 同样可以表示场强的大小．
点电荷的等势面
1dl
2dl
12 dd ll?
12 EE?
点电荷的等势面电偶极子的等势面
+
电平行板电容器电场的等势面
++ ++++ +++
.dW cosθoq dl= E dl = oq E =0
电荷在等势面上移动电场力不作功，
所以有：
在等势面上oq若 A,B为一等势面上两点。
dl,设 E dl与 成 角。θ移动
θ
A
B
E
dl
oq
2,等势面与电力线的关系
BA UU? 0 BA UU
dl = 0，oq 0,，0E = =因为
π=θ 2 即 E dl，所以结论：电力线与等势面正交，垂直穿过它
3,等势面图示法等势面画法 规定,相邻两等势面之间的电势差
Δ U 相等将单位正电荷沿等势面法线方向移动 。电场线总是指向电势降低的方向。
U UB C = nΔE2 2
A
B
C
U
U
U
nΔ 2
Δ
U Δ+
U
nΔ 1E1
E2
<>nΔ 1 nΔ 2 E1 E2若 则，
即,等势面越密的地方电场强度越大。
nΔE1 1 = nΔE2 2所以
U UA B = U UB C因为
EU,dlUA B == AB E AB1 nΔ=E1 1dl∫ ∫
10c os
等势面在实际工作中具有重要意义,
电势比电场强度易计算,
用实验方法可精确地描绘出等势面,
实际上,往往由等势面的分布得知各点的电场强度的大小和方向,
7.5.2 电势与电场强度的微分关系,
作为描述电场的两个物理量,它们是同一事物的两个不同的侧面,
积分关系,
ldEU
p
p
零电势微分关系,知电势分布，求场强？
一试探电荷 0q 在电场强度为 E? 的电场中作位移 ld? ld?,( 很小,E? 视为常量 ).
电场力作正功,电势能减少,
dUqldEq 00
dl
dUEc o s
dlEdU?c o s
dl
dUE
l
lE
,电场强度在位移 ld?
方向的分量
dl
dU 电势沿 ld? 方向的单位长度的变化率,
l
UE
l?
V
VV
E?
l?d
高电势低电势
ne
e
nld
方向 与 相反，由 高 电势处指向 低 电势处
ne
nd
d
l
V
E?
大小
n
n d
d
l
VE
ndd ll lEE n
n
nd
d e
l
VE
l
VE
l d
d
直角坐标系中为求电场强度 提供了一种新的途径
E?
求 的三种方法
E?
利用电场强度叠加原理利用高斯定理利用电势与电场强度的关系物理意义
（ 1） 空间某点电场强度的大小取决于该点领域内电势 的空间变化率,V
（ 2） 电场强度的方向恒指向电势降落的方向,
讨论此式表示,电场强度在任意方向的分量,等于电势沿该方向的变化率的负值,
l
UE
l?
Ex xU= Ey yU= Ez
z
U=
)( k
z
Uj
y
Ui
x
UE
g r a d UUE 电势梯度电势梯度矢量定义：
n
方向：垂直于等势面指向电势升高的方向，
即法线 的方向。
大小：电势梯度矢量在数值上等于电势沿法线方向的方向导数，或电势沿法线方向的变化率。即等于 Ud dn 。
=grad U Uddn n
x i=
U
y j
U
z k
U+ +
电场强度大小等于在法线方向的电势变化率，其方向和电势梯度的方向相反。
= grad UUd
d n
nE =
求电场的第三种方法,
1)已知电荷分布,先求电势分布 -标量积分,
2)利用场强与电势的微分关系,求导即得 E的分布,
)( k
z
Uj
y
Ui
x
UE
求：轴线上任一点的场强。
q
επ r4 oU = επ4 o
q=
( )x 2+R2 21
= επ4
o
q
( )x 2+R2 23[ ]
x
Ex xU=E =
解：
例 1,已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：
求：任一点的场强。
επ r4 o
qU =
Er rU=E =
解：
= π4
o
q ( )
r 2
1 = ε
π4 o
q
r 2ε
例 2 已知一点电荷的电势为：
E
3,外电场对电偶极子的力矩和取向作用
F
F
q?
q?
0r
0
EqEq
FFF
s in
s in0
pE
EqrM
EpM
匀强电场中非匀强电场中
0
π
稳定平衡非稳定平衡0?M?
0 EqEqFFF
电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
F
F
q?
q?
0r
E
qVqVE p
co s)
co s
( 0
0
r
r
VVq
co s0 Eqr
EpEp
0
π
/2π 0
p?E
EpEp
能量最低
EpEp
能量最高真空中静电场小结
1,两个物理量 UE?
2,两个基本规律
0
0
Li
i
S
ldE
q
sdE
内
3,两种计算思路
)( Q
EdE
)( Q
dUU
1）积分法
0?
i
i
S
q
sdE
内
0
)(
U
P
P ldEU
2） 高斯定理 电势定义
3） 利用场强与电势关系
g r a d UE
先作电势的标量叠加，
再对电势的某一方向微分，可求出场强在该方向分量。
4,注重典型场注重叠加原理场强的叠加电势的叠加点电荷均匀带电球面无限长的带电线 (柱 )
无限大的带电面 (板 )
