1
第一章 投影理论
2
1.1 投影法
1.2 点的投影
1.3 直线的投影
1.4 平面的投影
1.5 直线与平面及两平面的相对位置内 容
3
投影面投影
A
a
投射线投影中心
B
C
b
c
物体
1.1 投影法投影的形成
P
S
4
中心投影法投射线汇交于投影中心投影法
S
P
5
斜投影法平行投影法投射线沿 S 方向相互平行
S S
正投影法
P P
投影法
6
平行投影法投射线相互平行 正投影法投射线汇交于投影中心归纳投影法分类 投射线类型（汇交或平行）投影面与投射线的相对位置
（倾斜或垂直）
中心投影法斜投影法投影法投射线倾斜投影面投射线垂直投影面正投影法
7
共同点（产生投影必须具备的条件）
投影中心或投射方向投影面物体投影三要素
S
P
S
P
S
P
8
1.2 点的投影
A
a
点的一个投影能确定点的空间位置吗？
矛盾如何解决？ 对！用多面投影
1,点在两投影面体系中的投影
A1
A2
P
9
两投影面体系的建立
H
V
OX
A
a
a'
ax
展开 H
V
OX
a'
a
ax
投影轴水平投影面正面投影面水平投影正面投影
1,点在两投影面体系中的投影
10
点的投影连线与投影轴的关系点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系
aa'? ox
H
V
OX
a'
a
ax
投影规律
a'ax反映点到
H 面之距
aax反映点到
V 面之距
1,点在两投影面体系中的投影
11
H
V
X
水平投影面正面投影面
O
2,点在三投影面体系中的投影
W
侧面投影面
a
a' a"
Y
Z
ax
ay
az
展开
A
侧面投影
V W
H
OX
Y
Y
Z
a'
a
a"
ax
az
12
投影规律点的投影连线与投影轴的关系点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系
2,点在三投影面体系中的投影
a'a? OX
a'a"? OZ
a'ax = 点到 H之距
a'az = 点到 W之距
aax = a?az
= 点到 V之距
OX
Y
Y
Z
a'
a
a"
ax
az
13
a
a"
用坐标表示点的空间位置
X
Z
Y
Yx y
(y,z)(x,z)
(x,y)
O
A(x,y,z)
例 求 a"
a'
14
例称点 A、点 C为对 W 面的重影点
( )a' a"
a
b'
b
b"
c'
c
c" 点 B在点 A的右方、下方、
前方点 C在点 A的正左方比较两点的相对位置
15
直线的投影由两点的同名投影的连线确定
1.3 直线的投影
a'
a
b
b'
a"
b"
16
1,直线对一个投影面的投影特性平行 垂直 倾斜直线相对投影面的位置
A
B A
B A
B
a
b
a? b a
b
P
17P — 投影 ab = AB Cos?
1,直线对一个投影面的投影特性
AB∥ P — 投影反映实长 ab = AB
AB? P — 投影积聚成一点 a? b
（积聚性）
A
B A
B A
B
a
b
a? b a
b
P
AB
18
直线相对于投影面的位置可归结为几类？
2,直线在三投影面体系中的投影特性直线相对于三投影面的位置直线对三投影面均倾斜 — 一般位置线
V
W
H
19
V
W
H
直线相对于三投影面的位置直线 // 某一投影面投影面平行线
V
W
H
//V
正平线
//W
侧平线
V
W
H
水平线 //H
20
直线相对于三投影面的位置直线? 某一投影面投影面垂直线
V
W
H
V
W
H
V
W
H
H
铅垂线正垂线
V
W
侧垂线
21
一般位置线投影面平行线投影面垂直线水平线,∥ H面正平线,∥ V面侧平线,∥ W面铅垂线,?H面正垂线,?V面侧垂线,?W面投影面平行线投影面垂直线特殊位置直线归纳 直线相对于投影面的位置
22
一般位置线 对 H,V,W面 均倾斜的直线投影特性 三个投影皆为倾斜直线，
且均不反映实长
a"
b"
a'
b'
a
b
23
投影面平行线 平行某一个投影面的直线是什么线？
为什么？
正平线平行 V面投影特性在所平行的投影面上的投影反映实长及与其它二投影面的倾角实长
另外二投影分别平行相应的投影轴一个
b' b"
a' a"
ba
一个一个
24
是什么线？
投影面垂直线 垂直某一个投影面的直线
a' a"
b"b'
a(b)
铅垂线为什么？垂直 H面投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚成一点另外二投影分别平行相应的投影轴且反映实长实长 实长积聚性
25
3,属于直线的点
a'
b'
a b
c'
c
点的投影在直线的同名投影上点将线段分割成定比 —— 定比定理
ac/cb = a'c'/c'b' = AC/CB
判定
a'
b'
b
a
k'
k
点 K属于直线 AB吗?
26
4,两直线的相对位置 平行 相交交叉 垂直两直线平行投影特性 同名投影平行 a'b'//c'd' ab//cd
且长度成比例
a'
b'
c'
d'
a b
c
d
27
AB // CD?
a
b
b'
a'
c'
d'
d
c
如何判断?
根据投影特性
a'b' /c'd'? ab/cd
求第三投影
摆出空间位置
A?B,上后?下前
C?D：上前?下后
28
两直线相交 交点为共有点
AB? CD = K
K? AB
K? CD
直线的同名投影必相交交点的投影连线符合点的投影规律投影特性
b'
a
b
c'
d'
c d
k'
k
a'
29
两直线交叉
a'
b'
c'
d'
c
a
b
d1
2
1'2'
3'
4'
3（ ）4
（ ） AB?CD?
30
两直线垂直 讨论其中一条直线为投影面平行线的情况
BC//P AB?BC
ab? bc
直角投影定理
E
F A
B
C
a
b
cP
31
a' b'
c'
d'
a
bc
d
ab?cd
已知 AB//H,AB?CD,求 cd例
32
1.4 平面的投影
1,平面表示法
a'
b'
c'
a
b c
a'
b'
c'
a
b c
a'
b'
c'
a
b c
a'
b'
c'
a
b c
用几何元素表示
a'
b'
c'
a
b c
33
用迹线表示
V
W
H
X
Y
Z
O
PPV
PH
PW
Pz
Px
Py
平面与投影面的交线称为平面的迹线正面迹线水平迹线侧面迹线
PV
PH
Px
34
V
W
H
X
Y
Z
O
P
PV P
W
PV PWPz
水平面用迹线如何表示？
Pz
35
V
W
H
X
Y
Z
O
铅垂面用迹线如何表示？
PV
PH
PWPx
Py
PV
PH
Px
Pw
Py
Py
36
2,平面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面 //P 平面?P
反映实形实形性积聚成直线积聚性类似图形类似性
P
平面 P
37
平面在三投影面体系中的投影特性平面相对于三投影面的位置平面相于投影面的位置可归纳为几类？
V
W
H
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
38
平面相对于三投影面的位置平面?某一投影面投影面垂直面
V
正垂面 铅垂面?H
W
侧垂面
V
W
H
V
W
H
V
W
H
39
平面相对于三投影面的位置平面 //某一投影面投影面平行面
//V
正平面 水平面 //H
//W
侧平面
V
W
H
V
W
H
V
W
H
40
一般位置平面投影面垂直面投影面平行面铅垂面,?H面正垂面,?V面侧垂面,?W面水平面,∥ H面正平面,∥ V面侧平面,∥ W面特殊位置平面归纳投影面垂直面投影面平行面平面相对于投影面的位置
41
一般位置平面 对 H,V,W均倾斜的平面投影特性 在 H,V,W面 上的投影皆为空间平面图形的 类似图形
a'
b'
c'
b"
a"
c"
a
b
c
42
投影面垂直面 仅垂直于一个投影面的平面是什么平面？
正垂面为什么？
积聚性
投影特性 在所垂直的投影面上的投影 积聚成直线,且反映平面与投影面的倾角另二投影为 类似图形一个类似图形一个
a'
b'
c' c"
b"
a"
a
c
b
类似图形
43
投影面平行面 平行于某一投影面的平面是什么平面？
水平面为什么？
投影特性在所平行的投影面上的投影 反映实形另二投影分别平行于相应的投影轴平行 OX轴 平行 OY轴
a
b
c
a' b' c' c" a" b"
反映实形
44
3.平面内的点和直线作图根据若直线在平面内，则该线必通过平面内的两点；或通过平面内一点并平行于该平面内一直线。
几何定理若点在平面内，则该点必属于平面内一直线。
45
点 K在平面内，已知 k'，求 k例
1'
1 k
1'
1
k
可见,在平面内取点取线二者互为条件
a'
c'
c
a
b
k'
b'
a'
c'
c
a
b
k'
b'
46
4.平面内的特殊位置直线属于平面的投影面平行线例 过点 C在该平面内作水平线
a'
b'
c'
b
a
c
分析直线的属性
L?ABC 水平线
Ｖ投影 //OX
d'
d
CD为所求
47
已知 AC为正平线，完成平面四边形的水平投影例
c
d
a'
b'
c'
d'
a
b
48
H
A
B
K k
l
LP
1
a b
AB? P
KL? P
AB // H
KL? AB
平面内垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为平面的最大斜度线
KL为平面内对 H面的 最大斜度线平面的最大斜度线
49
投影特性
kl? ab
(直角投影定理）
KL与 H面的倾角
即为平面 P与 H面的倾角
KL 是平面内对 H面 倾角 最大的直线
H
A
B
K k
l
LP
1
a b
50
1.5 直线与平面、两平面的相对位置点、直线、平面之间的相对位置从属关系平行关系相交关系属于直线的点属于平面的点属于平面的直线直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线相交直线与平面相交平面与平面相交
垂直关系 直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线垂直
51
1,平行问题定 理若直线平行于平面内一直线，则该直线平行于平面。
反之，若直线平行于平面，
则在平面内必可作一直线与该直线平行。
d'
d
a'
b'
c'
a
b
c
k'
k
l'
l
直线 // 平面平面 // 平面
52
定 理若两平面内有一对相交直线对应平行，
则该两平面平行。
a'b'
c'
b
c a
e' f'
d'
f
d
e
g'
g
53
过点 K作直线平行已知平面
c'
a'
b'
a
b
c
k'
k
m'
m
n'
n
可作多少条直线？
满足条件的直线的轨迹是什么？
例
54
若平面为特殊位置面 (如铅垂面）,过点 作直线与之平行 将如何？
直线的水平投影应平行平面具有积聚性的投影直线的正面投影呢？ 作平面与该平面平行呢？
m
m'
n'
n
a'
b'
c'
a b
c
k'
k
55
2,相交问题直线与平面相交 --交点为共有点平面与平面相交 --交线为共有线求交问题的本质是求共有点几何元素相对投影面的位置均不具有积聚性投影至少其一具有积聚性投影一般位置的相交问题 特殊位置的相交问题
56
求直线与平面的交点
k
k'
判别可见性例 1
b' e'
b
a'
c'
a
c
f'
e?f
特殊位置的相交问题
K
57
e'
f'
e
f
求直线与平面的交点
k
k'
例 2
K
58
求二平面的交线
m
n
n'
m'
例 3
b'
a'
c'
a
b
c
M
N
59
a'
b'
c'
c
b
a
d
f
e
d'
e'
f'
请同学们想一想：
若两个正垂面相交，其交线是什么线？
交线为正垂线判别可见性
m
n
m'(n')
这种相交形式称为 互交
60
一般位置的相交问题
a'
d'
e' b'
c'
a
e
d
c
b
PH
m
n
m'
n'k'
k
作图步骤
包含直线作辅助平面
求辅助平面与已知平面的交线
交线与已知直线的交点即为所求例 1 求 DE?ABC＝ K
E
D
A
B
C
M
N
K
P
61
例 2
RV
SV
求两平面的交线用求一般位置线面交点的方法求解结果
62
例 3
1' 2' 3' 4'
1 2
3 4m
m'
5' 8'
5
8n
n'
P1 P2
R
S
M
N
1 2 3 4
5
6 7
8
求两平面的交线
RV
SV
用“三面共点”原理求解作图步骤?作辅助平面（?投影面）
分别求辅助平面与二已知平面的交线
求二交线的交点即为二平面交线上的点
63
3.垂直问题直线与平面垂直几 何 定 理若一直线垂直于某平面，则此直线必垂直于该平面内的一切直线。反之若一直线垂直于某平面内二相交直线则此直线必垂直于该平面。
64
V
H
A
B
EC
Dc'
d'a'
b'
c e
a
b
AB?P（ DCE）
CD//V
CE//H
a'b'? c'd'
ab? ce
若直线垂直于平面，则直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影直线投影方向如何确定
65
例 过点 A作直线垂直于平面
a'
a
b'
b
66
两平面垂直几 何 定 理若一直线垂直于某平面，则包含此直线的一切平面均垂直于该平面。反之，
若两平面相互垂直，则由平面 A内任一点向平面 B所作的垂线必在平面 A内。
67
例 过点 A作平面垂直于平面
a'
a
b'
b
分析 包含已知平面的垂线的平面?已知平面
过点 A作直线?已知平面
包含该垂线作平面作图步骤
c'
c
平面 ABC为所求
68
例 求点 A到 BC之距
a'
a
b
c
b'
c' 分析过点 A与 BC垂直相交的直线段为点到直线之距作图步骤
过点 A作平面
S?BC
求 BC? S＝ K
连接 AK，
即为所求
k
k'
PV
此例为作两一般位置直线垂直相交的方法
s'
s
69
a'
b'
a
b
c
c'
d'
d
完成矩形 ABCD的投影分析矩形的对边相互平行邻边相互垂直本题关键是求 b'c'
作图步骤
过点 B作平面?AB
在平面内取直线 BC
作 AD//BC
CD//BA
综合问题举例
70
a'
c'
a b
已知 ABC为等边三角形,ab//OX，完成其投影
A
D
BC
分析
b'
已知 CB(=a'b'),c'b'，
求 cb
C
B
P
实长 距 P之差
CB实长
c'b'
CB距
V之差c
71
小 结点在三投影面体系中的投影作图是解决一切问题的基楚熟练掌握各种位置直线、平面的投影特性特别要 注意 H面投影与 W面投影的关系特别是 特殊位置直线、平面的投影特性
72
相交问题求一般位置直线与平面的交点作图步骤
包含直线作辅助平面（?投影面）
求辅助平面与已知平面的交线
交线与已知直线的交点即为所求求交问题的本质是求共有点求交点（线）的基本方法
— 辅助平面法利用“三面共点”原理求解
73
垂直问题直线?平面平面平面?平面直线?直线直线投影方向的确定直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影。
74
综合问题此部分是点、直线、平面的投影规律和基本作图方法的综合应用基本作图方法在平面内取点取线求直线与平面的交点及两平面的交线过点作直线及平面平行已知直线或平面过点作直线及平面垂直已知直线或平面
75
综合问题类型包括定位问题度量问题确定满足一定条件的几何元素的位置
— 常需利用轨迹求解距离、实形、角度问题
— 解题的主要基础是作直线的垂面作平面的垂线求线面交点及求线段实长
76
求解综合问题时应注意首先进行 空间分析然后确定 解题步骤最后综合运用上述知识 作图同学们应对本阶段的知识及方法进行一下小结
第一章 投影理论
2
1.1 投影法
1.2 点的投影
1.3 直线的投影
1.4 平面的投影
1.5 直线与平面及两平面的相对位置内 容
3
投影面投影
A
a
投射线投影中心
B
C
b
c
物体
1.1 投影法投影的形成
P
S
4
中心投影法投射线汇交于投影中心投影法
S
P
5
斜投影法平行投影法投射线沿 S 方向相互平行
S S
正投影法
P P
投影法
6
平行投影法投射线相互平行 正投影法投射线汇交于投影中心归纳投影法分类 投射线类型（汇交或平行）投影面与投射线的相对位置
（倾斜或垂直）
中心投影法斜投影法投影法投射线倾斜投影面投射线垂直投影面正投影法
7
共同点（产生投影必须具备的条件）
投影中心或投射方向投影面物体投影三要素
S
P
S
P
S
P
8
1.2 点的投影
A
a
点的一个投影能确定点的空间位置吗？
矛盾如何解决？ 对！用多面投影
1,点在两投影面体系中的投影
A1
A2
P
9
两投影面体系的建立
H
V
OX
A
a
a'
ax
展开 H
V
OX
a'
a
ax
投影轴水平投影面正面投影面水平投影正面投影
1,点在两投影面体系中的投影
10
点的投影连线与投影轴的关系点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系
aa'? ox
H
V
OX
a'
a
ax
投影规律
a'ax反映点到
H 面之距
aax反映点到
V 面之距
1,点在两投影面体系中的投影
11
H
V
X
水平投影面正面投影面
O
2,点在三投影面体系中的投影
W
侧面投影面
a
a' a"
Y
Z
ax
ay
az
展开
A
侧面投影
V W
H
OX
Y
Y
Z
a'
a
a"
ax
az
12
投影规律点的投影连线与投影轴的关系点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系
2,点在三投影面体系中的投影
a'a? OX
a'a"? OZ
a'ax = 点到 H之距
a'az = 点到 W之距
aax = a?az
= 点到 V之距
OX
Y
Y
Z
a'
a
a"
ax
az
13
a
a"
用坐标表示点的空间位置
X
Z
Y
Yx y
(y,z)(x,z)
(x,y)
O
A(x,y,z)
例 求 a"
a'
14
例称点 A、点 C为对 W 面的重影点
( )a' a"
a
b'
b
b"
c'
c
c" 点 B在点 A的右方、下方、
前方点 C在点 A的正左方比较两点的相对位置
15
直线的投影由两点的同名投影的连线确定
1.3 直线的投影
a'
a
b
b'
a"
b"
16
1,直线对一个投影面的投影特性平行 垂直 倾斜直线相对投影面的位置
A
B A
B A
B
a
b
a? b a
b
P
17P — 投影 ab = AB Cos?
1,直线对一个投影面的投影特性
AB∥ P — 投影反映实长 ab = AB
AB? P — 投影积聚成一点 a? b
（积聚性）
A
B A
B A
B
a
b
a? b a
b
P
AB
18
直线相对于投影面的位置可归结为几类？
2,直线在三投影面体系中的投影特性直线相对于三投影面的位置直线对三投影面均倾斜 — 一般位置线
V
W
H
19
V
W
H
直线相对于三投影面的位置直线 // 某一投影面投影面平行线
V
W
H
//V
正平线
//W
侧平线
V
W
H
水平线 //H
20
直线相对于三投影面的位置直线? 某一投影面投影面垂直线
V
W
H
V
W
H
V
W
H
H
铅垂线正垂线
V
W
侧垂线
21
一般位置线投影面平行线投影面垂直线水平线,∥ H面正平线,∥ V面侧平线,∥ W面铅垂线,?H面正垂线,?V面侧垂线,?W面投影面平行线投影面垂直线特殊位置直线归纳 直线相对于投影面的位置
22
一般位置线 对 H,V,W面 均倾斜的直线投影特性 三个投影皆为倾斜直线，
且均不反映实长
a"
b"
a'
b'
a
b
23
投影面平行线 平行某一个投影面的直线是什么线？
为什么？
正平线平行 V面投影特性在所平行的投影面上的投影反映实长及与其它二投影面的倾角实长
另外二投影分别平行相应的投影轴一个
b' b"
a' a"
ba
一个一个
24
是什么线？
投影面垂直线 垂直某一个投影面的直线
a' a"
b"b'
a(b)
铅垂线为什么？垂直 H面投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚成一点另外二投影分别平行相应的投影轴且反映实长实长 实长积聚性
25
3,属于直线的点
a'
b'
a b
c'
c
点的投影在直线的同名投影上点将线段分割成定比 —— 定比定理
ac/cb = a'c'/c'b' = AC/CB
判定
a'
b'
b
a
k'
k
点 K属于直线 AB吗?
26
4,两直线的相对位置 平行 相交交叉 垂直两直线平行投影特性 同名投影平行 a'b'//c'd' ab//cd
且长度成比例
a'
b'
c'
d'
a b
c
d
27
AB // CD?
a
b
b'
a'
c'
d'
d
c
如何判断?
根据投影特性
a'b' /c'd'? ab/cd
求第三投影
摆出空间位置
A?B,上后?下前
C?D：上前?下后
28
两直线相交 交点为共有点
AB? CD = K
K? AB
K? CD
直线的同名投影必相交交点的投影连线符合点的投影规律投影特性
b'
a
b
c'
d'
c d
k'
k
a'
29
两直线交叉
a'
b'
c'
d'
c
a
b
d1
2
1'2'
3'
4'
3（ ）4
（ ） AB?CD?
30
两直线垂直 讨论其中一条直线为投影面平行线的情况
BC//P AB?BC
ab? bc
直角投影定理
E
F A
B
C
a
b
cP
31
a' b'
c'
d'
a
bc
d
ab?cd
已知 AB//H,AB?CD,求 cd例
32
1.4 平面的投影
1,平面表示法
a'
b'
c'
a
b c
a'
b'
c'
a
b c
a'
b'
c'
a
b c
a'
b'
c'
a
b c
用几何元素表示
a'
b'
c'
a
b c
33
用迹线表示
V
W
H
X
Y
Z
O
PPV
PH
PW
Pz
Px
Py
平面与投影面的交线称为平面的迹线正面迹线水平迹线侧面迹线
PV
PH
Px
34
V
W
H
X
Y
Z
O
P
PV P
W
PV PWPz
水平面用迹线如何表示？
Pz
35
V
W
H
X
Y
Z
O
铅垂面用迹线如何表示？
PV
PH
PWPx
Py
PV
PH
Px
Pw
Py
Py
36
2,平面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面 //P 平面?P
反映实形实形性积聚成直线积聚性类似图形类似性
P
平面 P
37
平面在三投影面体系中的投影特性平面相对于三投影面的位置平面相于投影面的位置可归纳为几类？
V
W
H
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
38
平面相对于三投影面的位置平面?某一投影面投影面垂直面
V
正垂面 铅垂面?H
W
侧垂面
V
W
H
V
W
H
V
W
H
39
平面相对于三投影面的位置平面 //某一投影面投影面平行面
//V
正平面 水平面 //H
//W
侧平面
V
W
H
V
W
H
V
W
H
40
一般位置平面投影面垂直面投影面平行面铅垂面,?H面正垂面,?V面侧垂面,?W面水平面,∥ H面正平面,∥ V面侧平面,∥ W面特殊位置平面归纳投影面垂直面投影面平行面平面相对于投影面的位置
41
一般位置平面 对 H,V,W均倾斜的平面投影特性 在 H,V,W面 上的投影皆为空间平面图形的 类似图形
a'
b'
c'
b"
a"
c"
a
b
c
42
投影面垂直面 仅垂直于一个投影面的平面是什么平面？
正垂面为什么？
积聚性
投影特性 在所垂直的投影面上的投影 积聚成直线,且反映平面与投影面的倾角另二投影为 类似图形一个类似图形一个
a'
b'
c' c"
b"
a"
a
c
b
类似图形
43
投影面平行面 平行于某一投影面的平面是什么平面？
水平面为什么？
投影特性在所平行的投影面上的投影 反映实形另二投影分别平行于相应的投影轴平行 OX轴 平行 OY轴
a
b
c
a' b' c' c" a" b"
反映实形
44
3.平面内的点和直线作图根据若直线在平面内，则该线必通过平面内的两点；或通过平面内一点并平行于该平面内一直线。
几何定理若点在平面内，则该点必属于平面内一直线。
45
点 K在平面内，已知 k'，求 k例
1'
1 k
1'
1
k
可见,在平面内取点取线二者互为条件
a'
c'
c
a
b
k'
b'
a'
c'
c
a
b
k'
b'
46
4.平面内的特殊位置直线属于平面的投影面平行线例 过点 C在该平面内作水平线
a'
b'
c'
b
a
c
分析直线的属性
L?ABC 水平线
Ｖ投影 //OX
d'
d
CD为所求
47
已知 AC为正平线，完成平面四边形的水平投影例
c
d
a'
b'
c'
d'
a
b
48
H
A
B
K k
l
LP
1
a b
AB? P
KL? P
AB // H
KL? AB
平面内垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为平面的最大斜度线
KL为平面内对 H面的 最大斜度线平面的最大斜度线
49
投影特性
kl? ab
(直角投影定理）
KL与 H面的倾角
即为平面 P与 H面的倾角
KL 是平面内对 H面 倾角 最大的直线
H
A
B
K k
l
LP
1
a b
50
1.5 直线与平面、两平面的相对位置点、直线、平面之间的相对位置从属关系平行关系相交关系属于直线的点属于平面的点属于平面的直线直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线相交直线与平面相交平面与平面相交
垂直关系 直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线垂直
51
1,平行问题定 理若直线平行于平面内一直线，则该直线平行于平面。
反之，若直线平行于平面，
则在平面内必可作一直线与该直线平行。
d'
d
a'
b'
c'
a
b
c
k'
k
l'
l
直线 // 平面平面 // 平面
52
定 理若两平面内有一对相交直线对应平行，
则该两平面平行。
a'b'
c'
b
c a
e' f'
d'
f
d
e
g'
g
53
过点 K作直线平行已知平面
c'
a'
b'
a
b
c
k'
k
m'
m
n'
n
可作多少条直线？
满足条件的直线的轨迹是什么？
例
54
若平面为特殊位置面 (如铅垂面）,过点 作直线与之平行 将如何？
直线的水平投影应平行平面具有积聚性的投影直线的正面投影呢？ 作平面与该平面平行呢？
m
m'
n'
n
a'
b'
c'
a b
c
k'
k
55
2,相交问题直线与平面相交 --交点为共有点平面与平面相交 --交线为共有线求交问题的本质是求共有点几何元素相对投影面的位置均不具有积聚性投影至少其一具有积聚性投影一般位置的相交问题 特殊位置的相交问题
56
求直线与平面的交点
k
k'
判别可见性例 1
b' e'
b
a'
c'
a
c
f'
e?f
特殊位置的相交问题
K
57
e'
f'
e
f
求直线与平面的交点
k
k'
例 2
K
58
求二平面的交线
m
n
n'
m'
例 3
b'
a'
c'
a
b
c
M
N
59
a'
b'
c'
c
b
a
d
f
e
d'
e'
f'
请同学们想一想：
若两个正垂面相交，其交线是什么线？
交线为正垂线判别可见性
m
n
m'(n')
这种相交形式称为 互交
60
一般位置的相交问题
a'
d'
e' b'
c'
a
e
d
c
b
PH
m
n
m'
n'k'
k
作图步骤
包含直线作辅助平面
求辅助平面与已知平面的交线
交线与已知直线的交点即为所求例 1 求 DE?ABC＝ K
E
D
A
B
C
M
N
K
P
61
例 2
RV
SV
求两平面的交线用求一般位置线面交点的方法求解结果
62
例 3
1' 2' 3' 4'
1 2
3 4m
m'
5' 8'
5
8n
n'
P1 P2
R
S
M
N
1 2 3 4
5
6 7
8
求两平面的交线
RV
SV
用“三面共点”原理求解作图步骤?作辅助平面（?投影面）
分别求辅助平面与二已知平面的交线
求二交线的交点即为二平面交线上的点
63
3.垂直问题直线与平面垂直几 何 定 理若一直线垂直于某平面，则此直线必垂直于该平面内的一切直线。反之若一直线垂直于某平面内二相交直线则此直线必垂直于该平面。
64
V
H
A
B
EC
Dc'
d'a'
b'
c e
a
b
AB?P（ DCE）
CD//V
CE//H
a'b'? c'd'
ab? ce
若直线垂直于平面，则直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影直线投影方向如何确定
65
例 过点 A作直线垂直于平面
a'
a
b'
b
66
两平面垂直几 何 定 理若一直线垂直于某平面，则包含此直线的一切平面均垂直于该平面。反之，
若两平面相互垂直，则由平面 A内任一点向平面 B所作的垂线必在平面 A内。
67
例 过点 A作平面垂直于平面
a'
a
b'
b
分析 包含已知平面的垂线的平面?已知平面
过点 A作直线?已知平面
包含该垂线作平面作图步骤
c'
c
平面 ABC为所求
68
例 求点 A到 BC之距
a'
a
b
c
b'
c' 分析过点 A与 BC垂直相交的直线段为点到直线之距作图步骤
过点 A作平面
S?BC
求 BC? S＝ K
连接 AK，
即为所求
k
k'
PV
此例为作两一般位置直线垂直相交的方法
s'
s
69
a'
b'
a
b
c
c'
d'
d
完成矩形 ABCD的投影分析矩形的对边相互平行邻边相互垂直本题关键是求 b'c'
作图步骤
过点 B作平面?AB
在平面内取直线 BC
作 AD//BC
CD//BA
综合问题举例
70
a'
c'
a b
已知 ABC为等边三角形,ab//OX，完成其投影
A
D
BC
分析
b'
已知 CB(=a'b'),c'b'，
求 cb
C
B
P
实长 距 P之差
CB实长
c'b'
CB距
V之差c
71
小 结点在三投影面体系中的投影作图是解决一切问题的基楚熟练掌握各种位置直线、平面的投影特性特别要 注意 H面投影与 W面投影的关系特别是 特殊位置直线、平面的投影特性
72
相交问题求一般位置直线与平面的交点作图步骤
包含直线作辅助平面（?投影面）
求辅助平面与已知平面的交线
交线与已知直线的交点即为所求求交问题的本质是求共有点求交点（线）的基本方法
— 辅助平面法利用“三面共点”原理求解
73
垂直问题直线?平面平面平面?平面直线?直线直线投影方向的确定直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影。
74
综合问题此部分是点、直线、平面的投影规律和基本作图方法的综合应用基本作图方法在平面内取点取线求直线与平面的交点及两平面的交线过点作直线及平面平行已知直线或平面过点作直线及平面垂直已知直线或平面
75
综合问题类型包括定位问题度量问题确定满足一定条件的几何元素的位置
— 常需利用轨迹求解距离、实形、角度问题
— 解题的主要基础是作直线的垂面作平面的垂线求线面交点及求线段实长
76
求解综合问题时应注意首先进行 空间分析然后确定 解题步骤最后综合运用上述知识 作图同学们应对本阶段的知识及方法进行一下小结
