1
第三章 基本体
2
3.1 基本体的投影
3.2 平面与基本体相交内 容
3
3.1 基本体的投影单一的几何体称为基本体。如：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、环等。
它们是构成形体的基本单元，在几何造型中又称为 基本 体素。
1,基本概念
4
基本体的分类表面仅由平面围成的基本体? 平面体表面包含曲面的基本体? 曲面体构成基本体的所有表面以及形成该形体的特征线（轴线）投影的总和基本体的投影
5
平面体棱柱侧棱面底面棱线底边棱柱的棱线相互平行形成由多边形沿直线拉伸而成
L
m
L? m —直棱柱
L m —斜棱柱
2,基本体的投影
6
V
W
H
棱柱的投影长高宽宽
H,V投影 — 长相等
V,W投影 — 高相等
H,W投影 — 宽相等
“三等”关系
7
在棱柱表面取点例,棱柱表面上一点 A,已知 a′,求 a,a"
注意分析点所在表面的位置
a' a"
a
A
基本方法面内取点方法
8
棱锥锥顶棱锥的棱线相交于锥顶侧棱面底面棱线底边形成由多边形沿直线拉伸而成。但拉伸过程中多边形大小均匀变化
L
m
9
V
W
H
棱锥的投影
s
a
b
c
a' c'b'
s'
b"a"(c")
s"
S
A
B
C
10
S
A
B
C
在棱锥表面取点取线例 棱锥表面的折线 MNK(m?n?k?)求另二投影如何在平面上取点？
K
m'
(k")
n s
a c
a' c'b'
s'
b"a"(c")
s"
b
M
N
分析 M? SA
N? SB
K? SBC
n'
k'
m
m"
n"
k
连线注意分析点、直线所在表面的可见性
11
O
O
曲面体（回转体）
圆柱体 形成轴线底面圆柱面
圆沿与其垂直的直线拉伸形成
矩形绕其边 旋转形成
L
圆柱面的形成轴线母线 素线
12
V W
H
O
O
圆柱体的投影对 V面的外形轮廓线对 W面的外形轮廓线外形轮廓线投影的对应关系圆柱面投影可见性判断
13
V W
H
O
O
圆柱体表面取点取线例 圆柱体表面一点 M,已知 m′ 求 m,m"
M
m'
m
m"( )
14
例 AC位于圆柱体表面，已知 a?c?,求 ac、
a?c?
a'
(c')
分析
a?c?不平行轴线故 AC为曲线作图
① 找特殊点
② 求 H投影
③ 求 W投影
④ 光滑连接曲线
b'
d'
a
c
b
d
b''
(d'')
a''
(c'')
外形轮廓线上的点是曲线投影的虚、实分界点
15
圆锥体 形成
S
底面圆锥面锥顶轴线
直角三角形绕其直角边旋转而成
L
圆沿与其垂直的直线拉伸形成。拉伸过程中其直径均匀变化圆锥面的形成过圆锥面上任一点可作一条直线通过锥顶、亦可在圆锥面上作一圆
16
V W
H
圆锥体的投影
S
s' s"
对 V面的外形轮廓线对 W面的外形轮廓线外形轮廓线投影的对应关系圆锥面投影可见性判断
s
17
V W
H
s' s"
s
圆锥体表面取点取线例 圆锥体表面一点 M，已知 m，求 m′,m"
S
M
m
m' ( )m"
如何在曲面内取点？
辅助线如何作？
作直素线
作水平圆
18
s' s"
s
例 ABC位于 圆锥体表面，已知 V投影，求 H,W
投影
a'
b'(c')
分析
ABD不通过锥顶，故为曲线作图
① 找特殊点
② 求 H,W面 投影
③ 光滑连接曲线
d' (e')
a
c
b
d"e"
(a")
b"c"
d
e
19
圆球
O
O 轴线圆球表面无直线！
形成圆绕其直径旋转而成球面圆球面的形成
20
V W
圆球的投影
a'
b
c"
O
O
外形轮廓线投影的对应关系球面投影可见性判断
21
点 N在球面的一水平圆上
n'
n
n"
圆球表面取点取线
O
O
N
( )
例 圆球表面一点 N，已知 n′,求 n,n"
22
圆环 形成圆绕与其共面、但不通过圆心的轴线旋转而成轴线圆环面圆环面的形成
23
V W
H
圆环的投影赤道圆喉圆母线圆圆心轨迹内环面 外环面
24
圆环表面取点取线
a
(b)
例 圆环表面点 A,B，已知 H投影，求 V,W投影
a'( ) a"( )
(b') (b")
分析过圆环表面任一点均可作一垂直于轴线的圆作图点 A在内环面的上半部点 B在外环面的下半部注意判断可见性
25
平面? 基本体?截交线平面体本节重点：截交线求法回转体
3.2 平面与基本体相交截平面 共有线
26
例 1
A B
C
P
求截交线并完成截头三棱锥的三投影先求棱锥侧投影 求截交线
a"
c" b"
a c
b
a'
b'
c'
截交线求法截平面?棱线 =交点截平面?棱面 =交线棱线法棱面法
1.平面与平面体相交
27
例 2 四棱柱被 P,Q截切，求侧投影
P为正垂面,p",p为类似图形? p"为四边形投影分析
Q为铅垂面,q",q'为类似图形? q"为五边形
P Q
按“三等”关系作图
p'
p
q
q'
p"
q"
1
2 3
4
1'
4' 3" 4"
1"2"
求 p"求 q
5'
6'7'
5(6)
(7)
5"
6"7"
（ 2'）
（ 3'）
类似图形
“三等”关系检查
28
平面与圆柱体相交
P?轴线截交线为圆
P//轴线截交线为矩形
P 轴线截交线为椭圆
P
P
P
2.平面与回转体相交
29
例 求圆柱体被平面 P,Q截切后的投影
P
Q
截交线分析
P//圆柱体 轴线,P?圆柱面交线为直线Q 圆柱体 轴线,Q?圆柱面交线为椭圆曲线非圆曲线画法
找特殊点
中间点
光滑连接曲线检查外形轮廓线投影
p'
q'
30
若增加圆柱孔结果将如何？
内、外交线分别求解求外表面交线求内表面交线检查孔的外形 轮廓线投影注意 检查 孔的外形轮廓线投影截平面与孔的交线检查交线无线 !
31
平面与圆锥体相交
P
P?轴线交线为圆
P
P 轴线? >?
交线为椭圆平面 P与圆锥面的交线
32
P 轴线?=?
交线为抛物线
P P
P 轴线 0<?
交线为双曲线平面 P与圆锥面的交线
33
平面 P与圆锥面的交线
P
P过锥顶交线为直线
P?轴线交线为椭圆
P 轴线?>?
P 轴线?=?
P 轴线 0<?
交线为抛物线交线为双曲线
P过锥顶交线为直线交线为圆归纳
34
例 求截交线截交线分析截交线为椭圆椭圆画法是什么点？椭圆短轴的投影截交线投影分析特殊点中间 点光滑连接曲线交线可见性
P
P
截交线投影仍为椭圆 检查 外形轮廓线投影外形轮廓线终止点截交线投影虚实分界点
35
综合举例 求作水平投影
p'
q' p"q"双曲线
PQ
求与大圆柱的交线求与小圆柱的交线 求与圆锥的交线 加深
36
平面与球体相交平面与圆球体相交其截交线均为圆例
P
Q
P面交线的 H投影为圆弧曲线投影分析
Q面交线的 W投影为圆弧曲线
37
小 结基本体的投影注意,曲面体（回转体）
重要的投影规律
—,三等”规律
— 外形轮廓线投影的对应关系
整体、局部
38
求 截交线的本质
— 求截平面与立体的共有点立体的形状截平面相对于 立体的位置截交线的形状取决于截交线投影的形状取决于 截平面相对于 投影面的位置
39
截平面与立体的 相交形式单体单面基本形式单体多面多体多面
分别分析单面与单体交线
截平面与截平面之间的交线分析
体与体连接处的交线分析
40
求 截交线的基本方法步骤定性分析截交线的形状 分析与 投影 分析截交线 画法平面体? 棱线法回转体 非圆曲线找特殊点找中间点光滑连线并判断可见性
41
回转体外形 轮廓线投影的检查检查方法类似图形 检查
“三等”关系 检查孔的 交线问题
第三章 基本体
2
3.1 基本体的投影
3.2 平面与基本体相交内 容
3
3.1 基本体的投影单一的几何体称为基本体。如：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、环等。
它们是构成形体的基本单元，在几何造型中又称为 基本 体素。
1,基本概念
4
基本体的分类表面仅由平面围成的基本体? 平面体表面包含曲面的基本体? 曲面体构成基本体的所有表面以及形成该形体的特征线（轴线）投影的总和基本体的投影
5
平面体棱柱侧棱面底面棱线底边棱柱的棱线相互平行形成由多边形沿直线拉伸而成
L
m
L? m —直棱柱
L m —斜棱柱
2,基本体的投影
6
V
W
H
棱柱的投影长高宽宽
H,V投影 — 长相等
V,W投影 — 高相等
H,W投影 — 宽相等
“三等”关系
7
在棱柱表面取点例,棱柱表面上一点 A,已知 a′,求 a,a"
注意分析点所在表面的位置
a' a"
a
A
基本方法面内取点方法
8
棱锥锥顶棱锥的棱线相交于锥顶侧棱面底面棱线底边形成由多边形沿直线拉伸而成。但拉伸过程中多边形大小均匀变化
L
m
9
V
W
H
棱锥的投影
s
a
b
c
a' c'b'
s'
b"a"(c")
s"
S
A
B
C
10
S
A
B
C
在棱锥表面取点取线例 棱锥表面的折线 MNK(m?n?k?)求另二投影如何在平面上取点？
K
m'
(k")
n s
a c
a' c'b'
s'
b"a"(c")
s"
b
M
N
分析 M? SA
N? SB
K? SBC
n'
k'
m
m"
n"
k
连线注意分析点、直线所在表面的可见性
11
O
O
曲面体（回转体）
圆柱体 形成轴线底面圆柱面
圆沿与其垂直的直线拉伸形成
矩形绕其边 旋转形成
L
圆柱面的形成轴线母线 素线
12
V W
H
O
O
圆柱体的投影对 V面的外形轮廓线对 W面的外形轮廓线外形轮廓线投影的对应关系圆柱面投影可见性判断
13
V W
H
O
O
圆柱体表面取点取线例 圆柱体表面一点 M,已知 m′ 求 m,m"
M
m'
m
m"( )
14
例 AC位于圆柱体表面，已知 a?c?,求 ac、
a?c?
a'
(c')
分析
a?c?不平行轴线故 AC为曲线作图
① 找特殊点
② 求 H投影
③ 求 W投影
④ 光滑连接曲线
b'
d'
a
c
b
d
b''
(d'')
a''
(c'')
外形轮廓线上的点是曲线投影的虚、实分界点
15
圆锥体 形成
S
底面圆锥面锥顶轴线
直角三角形绕其直角边旋转而成
L
圆沿与其垂直的直线拉伸形成。拉伸过程中其直径均匀变化圆锥面的形成过圆锥面上任一点可作一条直线通过锥顶、亦可在圆锥面上作一圆
16
V W
H
圆锥体的投影
S
s' s"
对 V面的外形轮廓线对 W面的外形轮廓线外形轮廓线投影的对应关系圆锥面投影可见性判断
s
17
V W
H
s' s"
s
圆锥体表面取点取线例 圆锥体表面一点 M，已知 m，求 m′,m"
S
M
m
m' ( )m"
如何在曲面内取点？
辅助线如何作？
作直素线
作水平圆
18
s' s"
s
例 ABC位于 圆锥体表面，已知 V投影，求 H,W
投影
a'
b'(c')
分析
ABD不通过锥顶，故为曲线作图
① 找特殊点
② 求 H,W面 投影
③ 光滑连接曲线
d' (e')
a
c
b
d"e"
(a")
b"c"
d
e
19
圆球
O
O 轴线圆球表面无直线！
形成圆绕其直径旋转而成球面圆球面的形成
20
V W
圆球的投影
a'
b
c"
O
O
外形轮廓线投影的对应关系球面投影可见性判断
21
点 N在球面的一水平圆上
n'
n
n"
圆球表面取点取线
O
O
N
( )
例 圆球表面一点 N，已知 n′,求 n,n"
22
圆环 形成圆绕与其共面、但不通过圆心的轴线旋转而成轴线圆环面圆环面的形成
23
V W
H
圆环的投影赤道圆喉圆母线圆圆心轨迹内环面 外环面
24
圆环表面取点取线
a
(b)
例 圆环表面点 A,B，已知 H投影，求 V,W投影
a'( ) a"( )
(b') (b")
分析过圆环表面任一点均可作一垂直于轴线的圆作图点 A在内环面的上半部点 B在外环面的下半部注意判断可见性
25
平面? 基本体?截交线平面体本节重点：截交线求法回转体
3.2 平面与基本体相交截平面 共有线
26
例 1
A B
C
P
求截交线并完成截头三棱锥的三投影先求棱锥侧投影 求截交线
a"
c" b"
a c
b
a'
b'
c'
截交线求法截平面?棱线 =交点截平面?棱面 =交线棱线法棱面法
1.平面与平面体相交
27
例 2 四棱柱被 P,Q截切，求侧投影
P为正垂面,p",p为类似图形? p"为四边形投影分析
Q为铅垂面,q",q'为类似图形? q"为五边形
P Q
按“三等”关系作图
p'
p
q
q'
p"
q"
1
2 3
4
1'
4' 3" 4"
1"2"
求 p"求 q
5'
6'7'
5(6)
(7)
5"
6"7"
（ 2'）
（ 3'）
类似图形
“三等”关系检查
28
平面与圆柱体相交
P?轴线截交线为圆
P//轴线截交线为矩形
P 轴线截交线为椭圆
P
P
P
2.平面与回转体相交
29
例 求圆柱体被平面 P,Q截切后的投影
P
Q
截交线分析
P//圆柱体 轴线,P?圆柱面交线为直线Q 圆柱体 轴线,Q?圆柱面交线为椭圆曲线非圆曲线画法
找特殊点
中间点
光滑连接曲线检查外形轮廓线投影
p'
q'
30
若增加圆柱孔结果将如何？
内、外交线分别求解求外表面交线求内表面交线检查孔的外形 轮廓线投影注意 检查 孔的外形轮廓线投影截平面与孔的交线检查交线无线 !
31
平面与圆锥体相交
P
P?轴线交线为圆
P
P 轴线? >?
交线为椭圆平面 P与圆锥面的交线
32
P 轴线?=?
交线为抛物线
P P
P 轴线 0<?
交线为双曲线平面 P与圆锥面的交线
33
平面 P与圆锥面的交线
P
P过锥顶交线为直线
P?轴线交线为椭圆
P 轴线?>?
P 轴线?=?
P 轴线 0<?
交线为抛物线交线为双曲线
P过锥顶交线为直线交线为圆归纳
34
例 求截交线截交线分析截交线为椭圆椭圆画法是什么点？椭圆短轴的投影截交线投影分析特殊点中间 点光滑连接曲线交线可见性
P
P
截交线投影仍为椭圆 检查 外形轮廓线投影外形轮廓线终止点截交线投影虚实分界点
35
综合举例 求作水平投影
p'
q' p"q"双曲线
PQ
求与大圆柱的交线求与小圆柱的交线 求与圆锥的交线 加深
36
平面与球体相交平面与圆球体相交其截交线均为圆例
P
Q
P面交线的 H投影为圆弧曲线投影分析
Q面交线的 W投影为圆弧曲线
37
小 结基本体的投影注意,曲面体（回转体）
重要的投影规律
—,三等”规律
— 外形轮廓线投影的对应关系
整体、局部
38
求 截交线的本质
— 求截平面与立体的共有点立体的形状截平面相对于 立体的位置截交线的形状取决于截交线投影的形状取决于 截平面相对于 投影面的位置
39
截平面与立体的 相交形式单体单面基本形式单体多面多体多面
分别分析单面与单体交线
截平面与截平面之间的交线分析
体与体连接处的交线分析
40
求 截交线的基本方法步骤定性分析截交线的形状 分析与 投影 分析截交线 画法平面体? 棱线法回转体 非圆曲线找特殊点找中间点光滑连线并判断可见性
41
回转体外形 轮廓线投影的检查检查方法类似图形 检查
“三等”关系 检查孔的 交线问题
