1
第二章 投影变换
2
2.1 问题的提出
2.2 选择新投影面的原则
2.3 点的投影变换规律
2.4 四个基本作图问题内 容
3
2.1 问题的提出当几何元素相对于投影面处于 特殊位置时，其投影往往能 直接反映 交点、交线的位置或图形实形、线段实长。
定位问题 度量问题
4
几何元素处于一般位置时怎么办？
几何元素不动变换投影面位置投影变换目的改变几何元素与投影面之间的相对位置，使之平行或垂直投影面。借助于改变后的辅助投影，而简化解题。
投影面不动几何元素绕某轴旋转换面法旋转法
5
2.2 选择新投影面的原则如何求线段 AB的实长？
当 P1//AB时
a1b1 = ABV
H
X
P1
X1
a1
b1
A
a
b
a'
b' B
6
选择新投影面的原则
V
H
X
P1
A
a
b
a'
b' B
X1
a1
b1
新投影面必对空间几何元素处于有利于解题的位置新投影面必须垂直原投影面体系中的某一投影面以构成新的相互垂直的投影面体系
7
a
a'
ax
AV
H
X
2.3 点的投影变换规律
X1
P1
ax1
a1 XV
H
a'
a
ax
X1
H
P1
a1
ax1
点到 H面之距
8
XVH
a'
a
ax
X1
H
P1
a1
ax1
点的投影变换规律在新投影面体系中，
点的一对投影连线垂直于新投影轴新投影到新轴之距 =
被代替的投影到原投影轴之距
9
XVH
a'
a
点的二次换面
X1
X2H P1 P1
P2a1
a2
注意,必须依次更换投影面
10
2.4 四个基本作图问题将一般位置直线变换成投影面平行线例 求 AB实长及对 H面倾角?
X1
a1
b1?
实长H P
1
a'
b'
a
b O
V
HX
空间分析当 AB为新投影面的平行线时，其投影直接反映实长更换哪个投影面？
V
因为要求?（与 H面倾角），则必须保留 H面而使 AB平行 P1
如何确定 X1轴的方向
X1
a b
a1
b1
P1
H
投影分析
X1//ab
一次换面
11
将一般位置直线变换成投影面垂直线
V
H
X X1
X2
Ba
b
a'
b'
P1
b1
a1P2a2?b2
A
空间分析将一般位置直线
投影面垂直线更换一次投影面不能实现将投影面平行线更换一次投影面
投影面垂直线
P X
X1
Ba
b
P1
b1
a1P2a2?b2
A
两次换面
将一般位置直线
投影面平行线
将 投影面平行线
投影面垂直线
12
X1
X2
a2?b2a1 b
1
X1 // ab
X2? a1b1
作图
H
P1
P1 P2
将一般位置直线
投影面平行线
将 投影面平行线
投影面垂直线将一般位置线变换成投影面垂直线
X
a
b
a'
b'
H
V V
H
X X1
X2
Ba
b
a'
b'
P1
b1
a1
P2
a2?b2
A
注意新投影轴方向的确定
13
a'
b'k'
k
a
bX
V
H
过点 K作直线与
AB垂直相交并求其实长
X1 b1
k1
X2
l1
l
l'
X1//ab
k1l1//X2
H
P1
P1 P2
空间分析在什么情况下所求线段的投影直接反映其实长?
A
B
KL
Pa?b?l
k
AB? P
KL// P
kl=KL
如何将 AB变换成投影面垂直线？
//
a1
例 求点 K到直线 AB之距 投影分析如何确定新投影轴的方向
将 AB?//线
将 AB线如何返回原投影面体系
A
B
KL
Pa?b?l
k
X2?a1b1
a2?b2?l2
k2
14
将一般位置平面变换成投影面垂直面必须使平面内某一直线成为该投影面的垂直线取平面内的投影面平行线
X1
X1方向如何确定
X1? bm
m'
m
a1
c1
b1
H P1
a'
b'
c'
b
a
c
X VH
一次换面
15
a'
b'
c'
b
a
c
X VH
将一般位置平面变换成投影面平行面例 求 ABC实形空间分析平面相对于投影面处于何种位置时其投影直接反映实形投影面平行面
先将平面变换成投影面垂直面
X1
H P1 a
1
a2
b1
b2
c1
c2
X2P1
P2
1'
1
X1? b1
再将平面变换成投影面平行面
X2 // c1b1a1
实形两次换面
16
a
c
b
d
a'
c'
b'X
V
H
应用举例 例 1 ABC与 ABD夹角为 60°,求 a'd',b'd'
c1
a1
b1
X1
a2? b2
H
P1
d1
d'
X2
P1 P2
空间分析当两平面的交线
AB垂直于新投影面时它们在该投影面上的投影反映其夹角实大将 AB?
投影面垂直线
c2
d260°
投影分析
将 AB?
投影面平行线新投影轴 X1//ab
将 AB?
投影面垂直线新投影轴 X2?a1b1
17
a'
b'
c'
b
c
aX
V
H
例 2 过点 A作直线与 BC相交成 60°
X1
b1
c1
a1
X2
a2
b2
c2
m2
n2
m1
n1
m
m'
n
n'
H P1
P1
P2
空间分析 在实形图形上直接反映直线夹角大小，此题实质是求实形问题投影分析? 将平面? 投影面垂直面
X1? 平面内一投影面平行线
将平面 投影面平行面
X2 // 平面的积聚性投影
60°
60°
返回到原投影面体系
18
小 结选择新投影面的原则点的一次换面的作图四个基本作图问题：
将一般位置平面变换成投影面平行面将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置平面变换成投影面垂直面
19
解题思路空间分析?
建立所求结果的空间几何模型寻找达到此结果的途经?
分析如何从原投影面体系变换到新投影面体系 (需几次变换）
投影分析?
每一次变换中新投影轴的方向如何确定采用反推法
第二章 投影变换
2
2.1 问题的提出
2.2 选择新投影面的原则
2.3 点的投影变换规律
2.4 四个基本作图问题内 容
3
2.1 问题的提出当几何元素相对于投影面处于 特殊位置时，其投影往往能 直接反映 交点、交线的位置或图形实形、线段实长。
定位问题 度量问题
4
几何元素处于一般位置时怎么办？
几何元素不动变换投影面位置投影变换目的改变几何元素与投影面之间的相对位置，使之平行或垂直投影面。借助于改变后的辅助投影，而简化解题。
投影面不动几何元素绕某轴旋转换面法旋转法
5
2.2 选择新投影面的原则如何求线段 AB的实长？
当 P1//AB时
a1b1 = ABV
H
X
P1
X1
a1
b1
A
a
b
a'
b' B
6
选择新投影面的原则
V
H
X
P1
A
a
b
a'
b' B
X1
a1
b1
新投影面必对空间几何元素处于有利于解题的位置新投影面必须垂直原投影面体系中的某一投影面以构成新的相互垂直的投影面体系
7
a
a'
ax
AV
H
X
2.3 点的投影变换规律
X1
P1
ax1
a1 XV
H
a'
a
ax
X1
H
P1
a1
ax1
点到 H面之距
8
XVH
a'
a
ax
X1
H
P1
a1
ax1
点的投影变换规律在新投影面体系中，
点的一对投影连线垂直于新投影轴新投影到新轴之距 =
被代替的投影到原投影轴之距
9
XVH
a'
a
点的二次换面
X1
X2H P1 P1
P2a1
a2
注意,必须依次更换投影面
10
2.4 四个基本作图问题将一般位置直线变换成投影面平行线例 求 AB实长及对 H面倾角?
X1
a1
b1?
实长H P
1
a'
b'
a
b O
V
HX
空间分析当 AB为新投影面的平行线时，其投影直接反映实长更换哪个投影面？
V
因为要求?（与 H面倾角），则必须保留 H面而使 AB平行 P1
如何确定 X1轴的方向
X1
a b
a1
b1
P1
H
投影分析
X1//ab
一次换面
11
将一般位置直线变换成投影面垂直线
V
H
X X1
X2
Ba
b
a'
b'
P1
b1
a1P2a2?b2
A
空间分析将一般位置直线
投影面垂直线更换一次投影面不能实现将投影面平行线更换一次投影面
投影面垂直线
P X
X1
Ba
b
P1
b1
a1P2a2?b2
A
两次换面
将一般位置直线
投影面平行线
将 投影面平行线
投影面垂直线
12
X1
X2
a2?b2a1 b
1
X1 // ab
X2? a1b1
作图
H
P1
P1 P2
将一般位置直线
投影面平行线
将 投影面平行线
投影面垂直线将一般位置线变换成投影面垂直线
X
a
b
a'
b'
H
V V
H
X X1
X2
Ba
b
a'
b'
P1
b1
a1
P2
a2?b2
A
注意新投影轴方向的确定
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a'
b'k'
k
a
bX
V
H
过点 K作直线与
AB垂直相交并求其实长
X1 b1
k1
X2
l1
l
l'
X1//ab
k1l1//X2
H
P1
P1 P2
空间分析在什么情况下所求线段的投影直接反映其实长?
A
B
KL
Pa?b?l
k
AB? P
KL// P
kl=KL
如何将 AB变换成投影面垂直线？
//
a1
例 求点 K到直线 AB之距 投影分析如何确定新投影轴的方向
将 AB?//线
将 AB线如何返回原投影面体系
A
B
KL
Pa?b?l
k
X2?a1b1
a2?b2?l2
k2
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将一般位置平面变换成投影面垂直面必须使平面内某一直线成为该投影面的垂直线取平面内的投影面平行线
X1
X1方向如何确定
X1? bm
m'
m
a1
c1
b1
H P1
a'
b'
c'
b
a
c
X VH
一次换面
15
a'
b'
c'
b
a
c
X VH
将一般位置平面变换成投影面平行面例 求 ABC实形空间分析平面相对于投影面处于何种位置时其投影直接反映实形投影面平行面
先将平面变换成投影面垂直面
X1
H P1 a
1
a2
b1
b2
c1
c2
X2P1
P2
1'
1
X1? b1
再将平面变换成投影面平行面
X2 // c1b1a1
实形两次换面
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a
c
b
d
a'
c'
b'X
V
H
应用举例 例 1 ABC与 ABD夹角为 60°,求 a'd',b'd'
c1
a1
b1
X1
a2? b2
H
P1
d1
d'
X2
P1 P2
空间分析当两平面的交线
AB垂直于新投影面时它们在该投影面上的投影反映其夹角实大将 AB?
投影面垂直线
c2
d260°
投影分析
将 AB?
投影面平行线新投影轴 X1//ab
将 AB?
投影面垂直线新投影轴 X2?a1b1
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a'
b'
c'
b
c
aX
V
H
例 2 过点 A作直线与 BC相交成 60°
X1
b1
c1
a1
X2
a2
b2
c2
m2
n2
m1
n1
m
m'
n
n'
H P1
P1
P2
空间分析 在实形图形上直接反映直线夹角大小，此题实质是求实形问题投影分析? 将平面? 投影面垂直面
X1? 平面内一投影面平行线
将平面 投影面平行面
X2 // 平面的积聚性投影
60°
60°
返回到原投影面体系
18
小 结选择新投影面的原则点的一次换面的作图四个基本作图问题：
将一般位置平面变换成投影面平行面将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置平面变换成投影面垂直面
19
解题思路空间分析?
建立所求结果的空间几何模型寻找达到此结果的途经?
分析如何从原投影面体系变换到新投影面体系 (需几次变换）
投影分析?
每一次变换中新投影轴的方向如何确定采用反推法
