1
第四章 复杂形体
2
4.1 基本体的交并差
4.2 复杂形体的画图和看图方法内 容
3
4.1 基本体的交并差
A B
A?B (并 ) A-B (差 ) B-A (差 ) A?B (交 )
1.概念
4
,只用二实体相交部分来定义一实体为“交”
,用一基本体减另一基本体，所余实体为“差”
,将二基本体连在一起，
合并成一实体为“并” A?B (并 )
A-B (差 ) B -A (差 )
A?B (交 )
5
A
B
共面 无线A
B
共面无线二基本体的表面关系分析二表面共面 — 之间无线
6
A
B 相切无线
A
B
相切无线二表面相切 — 相切处无线
7
二表面相交平 平相交 曲 曲相交平 曲相交由若干段直线构成的空间折线由若干段平面曲线或直线构成的空间折线空间曲线
8
立体与立 体相交?交线（相贯线）
共性 交线为二表面所共有本节重点讨论：求交线的基本方法求交线的本质 求二表面的共有点
9
例交线形状分析由若干段平面曲线
（直线）构成的封闭的空间折线交线求法实质是求平面体各表面与回转体的交线此段外形轮廓线消失
2,求交线的基本方法求截交线问题交线投影分析
H,W投影已知
求 V投影交线的投影作图
10
此段外形轮廓线消失
① 折线的转折点即为棱线与 曲面体的交点
② 可见性判断 若变成孔将如何？③ 外形轮廓线投影分别求平面体各表面与曲面体的交线平面体与曲面体相交注意
11
讨论内表面为四棱柱孔有虚线圆柱变成圆柱筒将如何？
分别求四棱柱孔与圆柱外表面、圆柱内表面的交线无线交线不变
12
归纳相交形式外表面与外表面相交外表面与内表面相交内表面与内表面相交交线相同求交线的实质相同求交线的方法相同
13
曲面体与曲面体相交封闭,光滑 的空间曲线交线形状分析
14
交线求法例 1 圆柱与圆柱相交方法 1：利用积聚性投影用面上取点的方法求解
求 V面投影
H,W投影已知交线分析封闭的空间曲线 投影分析投影作图找特殊点找中间点判别可见性光滑连线
15
二圆柱进行,差,运算讨论
1-2
2 1
2-1
16
二圆柱进行,交,运算讨论只用二实体相交部分来定义一实体为“交”
二圆柱并、差、交运算的交线均相同
17
例 2 求二圆柱体的交线交线分析封闭的空间曲线 投影分析交线的 H,W
投影已知
求 V投影投影作图特殊点中间点光滑连接曲线
PW
检查外形轮廓线投影 大圆柱 V面外形轮廓线终止点外形轮廓线与曲线的切点小圆柱 V面外形轮廓线终止点，外形轮廓线与曲线的切点，曲线投影虚实分界点
18
例 3 多形体相交
1
32
1
2 3
分形体两两求交求 1,3交线
圆柱面 1与 圆柱面 3 先整体求交后取局部交线
P?
a'
b'(f')
c'
a(d)
b
c
e'
e
a"
d"
e" b"
(c")
d'
f
f"
圆柱面 3与 平面 P
求 2,3交线
圆柱面 2与 圆柱面 3
有虚线
19
例 4
分形体
1
3
2
4
两两求交求 1,2交线
20
1?2
1 2
21
分形体
1
3
2
4
两两求交求 1,2交线求 1,3交线求 2,4交线求 3,4交线检查加深
22
光滑空间曲线交线分析例 圆柱与圆锥相交投影分析找中间点
PW
光滑连接曲线 P?圆锥 = 圆圆?直线 =交线上的点
W面投影已知
求 V,H面投影投影作图找特殊点 P?圆柱面 = 直线方法 2,辅助平面法
— 利用,三面共点,的原理辅助面辅助面与二回转体表面交线的投影为直线或圆选择原则
23
方法 3,辅助球面法当球面与回转面共轴时，
其交线为垂直于轴线的圆条件
二相交表面均为回转面
二轴线必须相交，其交点即为辅助球面的球心
24
例 求圆柱与圆锥表面的交线交线分析交线为空间曲线 投影分析
H,V面投影均为未知投影作图求特殊点求中间点如何选择辅助面？
辅助球面球心最大球最小球球面?圆柱面球面?圆锥面光滑连接曲线交线的 H投影
25
归纳 1,求交线的基本方法利用积聚性投影 用面上取点的方法求解辅助面法辅助平面法辅助球面法利用,三面共点,的原理辅助面选择原则辅助面与二回转面交线的投影为直线或圆二回转面的轴线必须相交在何处作辅助面二回转面的共有部分 —交线共有
26
2,必须熟悉交线的基本形式
27
28
29
30
3,多形体相交形体分析,
搞清哪些形体相交，交线是什么两两求交不完整的交线,
先整体求交，再取局部交线
31
二次曲面交线的性质分析一般为四次曲线，其投影亦为四次曲线具有公共对称平面时交线在与对称平面平行的投影面上的投影为二次曲线 双曲线
3.表面交线分析
32
抛物线圆球
PV
33
交线的特殊情况两回转面轴线相交且外切于同一球时交线为二平面曲线重切点
34
交线变化趋势分析
直径相同以圆柱为例平面曲线相交体大小对交线的影响交线总是弯向直径大的圆柱的轴线
35
相交体相对位置对交线的影响交线由两支变成一支
36
4.2 复杂形体的画图和看图方法一个或多个基本体进行多次布尔运算后生成的形体称为复杂形体（组合体）
画图 由已知形体画出其投影的过程称为画图看图 根据形体的投影，经过分析，搞清其组成、形状和结构的过程称为看图
37
复杂形体的组合方式
（叠加体） （切割体）
并 差 复合
38
复杂形体的画图形体间表面连接关系分析由于形体不同、相对位置不同而产生不同的 表面连接关系
A,B不共面 A,B共面
A
B
A
B
39
不共面 共面 共面有线！ 无线！ 不要漏虚线！
40
A
B
A
B
平面 A与圆柱面 B相切平面 A与圆柱面 B相交相切处无线相交处有线
41
有交线 !
相切如何确定切点位置?注意此处无线 !
相交如何确定切点位置
42
相切相切圆柱 请同学们分析：
何处相交有交线？
何处相切无线？
分析方法形体分析法相交相交四棱柱 半圆柱
43
凸台 5
圆筒 1
支撑板 2
肋 3底板 4
例 求作轴承座的投影图形体分析画图方法形体由 1、
2,3,4、
5组合而成
（“并”）
44
底板圆筒支撑板 肋凸台凸台圆筒支撑板肋底板
画 基准线左右、上下、前后画图
依次画各立体的投影例 求作轴承座的投影图形体分析
45
基本方法 形体分析法
把复杂形体分解成若干基本形体
分析各基本体之间的相互关系画图步骤
布置图确定各投影图的位置 (定位 )
画基准线归纳
画底稿 (细实线 )
逐个完成形体，
先特征投影，后其他投影；
先外表形状，后内部形状；
先主要结构，后次要结构；
先形体，后交线。
检查,三等”关系检查相互位置检查表面连接关系检查
描粗结果线相互位置分析布尔运算分析注意何处有交线是否漏画虚线是否多画实线
46
3
2
1
例还原成基本形体依次,差,运算
P
1
2 3
4
5
6 7
8 9
1011
12
1'(2'5'6')
3'(4')
12'(11'8'7')
10'(9')
1"2"5"6"
3"4"
12"11"8"7"
10"9"
47
归纳 基本方法 形体分析法
分析经过几次,差,运算 而成
分析原始的基本 形体 ---
找出形状与之最靠近的基本 形体画图步骤
先画出原始的基本 形体投影
依次,差,运算
每次切割应从 反映特征的投影 开始画
充分利用平面的投影特性按,三等,关系作图
检查 类似图形检查
“三等”关系检查
描粗结果线
48
看图时需注意的问题必须把几个投影图联系起来进行分析复杂形体的看图
49
50
51
找出特征投影 形状特征投影抓住特征投影 是看懂图的 关键位置特征投影
52
3
4
1
2
例
1
2
3
4
找特征投影形状特征可能分散在不同的投影图中形状特征可能分散在不同的投影图中用“三等”关系对投影确定每块的形状、位置
53
线框分析三个线框代表三个面的投影
--- 平面或曲面一般情况下，投影图中一个封闭线框代表空间一个面的投影
54
一定会出现凸或凹线框里面的线框呢？
55
要注意投影图中反映形体之间连接关系的图线实线 虚线
56
有线相交无线相切
57
看图方法 形体分析法例抓特征分解形体从特征投影入手将形体分解成几部分?
对投影确定形状用“三等”关系对投影确定各部分的形状
58
综合起来想整体分析各块间相对位置及表面连接关系，
综合起来想象物体的整体形状
59
面形分析法根据平面体和曲面体的投影规律,
不同线框之间的关系,反映了形体表面的变化投影图上一个封闭线框一般情况下 平面光滑曲面利用这个规律分析和表示形体表面形状,这种方法,称为 面形分析法的投影
60
例取线框对投影 分平曲确定表面形状及相对位置关系
“三等”关系想象物体形状
61
求第三投影如何分层次难点解题思路假设结论投影规律 Y
N 验证看图举例
62
求第三投影例
63
小 结看图空间形体 投影（二维图形）
画图复杂形体画图和看图的基本方法形体分析法面形分析法
(为主 )
二者配合使用形体分析法
64
形体分析法基本要点根据复杂形体的形状特点，将其分解成若干基本体分析各基本体的形状和相互位置关系从特征投影入手利用“三等”
关系对投影确定其形状注意反映表面连接关系的线
65
面形分析法基本要点根据面的投影特性封闭线框 积聚成直线（平面）
或曲线（曲面）
从 封闭线框 入手，利用,三等,关系对投影确定各面的形状以此分析形体表面的组成及形状
第四章 复杂形体
2
4.1 基本体的交并差
4.2 复杂形体的画图和看图方法内 容
3
4.1 基本体的交并差
A B
A?B (并 ) A-B (差 ) B-A (差 ) A?B (交 )
1.概念
4
,只用二实体相交部分来定义一实体为“交”
,用一基本体减另一基本体，所余实体为“差”
,将二基本体连在一起，
合并成一实体为“并” A?B (并 )
A-B (差 ) B -A (差 )
A?B (交 )
5
A
B
共面 无线A
B
共面无线二基本体的表面关系分析二表面共面 — 之间无线
6
A
B 相切无线
A
B
相切无线二表面相切 — 相切处无线
7
二表面相交平 平相交 曲 曲相交平 曲相交由若干段直线构成的空间折线由若干段平面曲线或直线构成的空间折线空间曲线
8
立体与立 体相交?交线（相贯线）
共性 交线为二表面所共有本节重点讨论：求交线的基本方法求交线的本质 求二表面的共有点
9
例交线形状分析由若干段平面曲线
（直线）构成的封闭的空间折线交线求法实质是求平面体各表面与回转体的交线此段外形轮廓线消失
2,求交线的基本方法求截交线问题交线投影分析
H,W投影已知
求 V投影交线的投影作图
10
此段外形轮廓线消失
① 折线的转折点即为棱线与 曲面体的交点
② 可见性判断 若变成孔将如何？③ 外形轮廓线投影分别求平面体各表面与曲面体的交线平面体与曲面体相交注意
11
讨论内表面为四棱柱孔有虚线圆柱变成圆柱筒将如何？
分别求四棱柱孔与圆柱外表面、圆柱内表面的交线无线交线不变
12
归纳相交形式外表面与外表面相交外表面与内表面相交内表面与内表面相交交线相同求交线的实质相同求交线的方法相同
13
曲面体与曲面体相交封闭,光滑 的空间曲线交线形状分析
14
交线求法例 1 圆柱与圆柱相交方法 1：利用积聚性投影用面上取点的方法求解
求 V面投影
H,W投影已知交线分析封闭的空间曲线 投影分析投影作图找特殊点找中间点判别可见性光滑连线
15
二圆柱进行,差,运算讨论
1-2
2 1
2-1
16
二圆柱进行,交,运算讨论只用二实体相交部分来定义一实体为“交”
二圆柱并、差、交运算的交线均相同
17
例 2 求二圆柱体的交线交线分析封闭的空间曲线 投影分析交线的 H,W
投影已知
求 V投影投影作图特殊点中间点光滑连接曲线
PW
检查外形轮廓线投影 大圆柱 V面外形轮廓线终止点外形轮廓线与曲线的切点小圆柱 V面外形轮廓线终止点，外形轮廓线与曲线的切点，曲线投影虚实分界点
18
例 3 多形体相交
1
32
1
2 3
分形体两两求交求 1,3交线
圆柱面 1与 圆柱面 3 先整体求交后取局部交线
P?
a'
b'(f')
c'
a(d)
b
c
e'
e
a"
d"
e" b"
(c")
d'
f
f"
圆柱面 3与 平面 P
求 2,3交线
圆柱面 2与 圆柱面 3
有虚线
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例 4
分形体
1
3
2
4
两两求交求 1,2交线
20
1?2
1 2
21
分形体
1
3
2
4
两两求交求 1,2交线求 1,3交线求 2,4交线求 3,4交线检查加深
22
光滑空间曲线交线分析例 圆柱与圆锥相交投影分析找中间点
PW
光滑连接曲线 P?圆锥 = 圆圆?直线 =交线上的点
W面投影已知
求 V,H面投影投影作图找特殊点 P?圆柱面 = 直线方法 2,辅助平面法
— 利用,三面共点,的原理辅助面辅助面与二回转体表面交线的投影为直线或圆选择原则
23
方法 3,辅助球面法当球面与回转面共轴时，
其交线为垂直于轴线的圆条件
二相交表面均为回转面
二轴线必须相交，其交点即为辅助球面的球心
24
例 求圆柱与圆锥表面的交线交线分析交线为空间曲线 投影分析
H,V面投影均为未知投影作图求特殊点求中间点如何选择辅助面？
辅助球面球心最大球最小球球面?圆柱面球面?圆锥面光滑连接曲线交线的 H投影
25
归纳 1,求交线的基本方法利用积聚性投影 用面上取点的方法求解辅助面法辅助平面法辅助球面法利用,三面共点,的原理辅助面选择原则辅助面与二回转面交线的投影为直线或圆二回转面的轴线必须相交在何处作辅助面二回转面的共有部分 —交线共有
26
2,必须熟悉交线的基本形式
27
28
29
30
3,多形体相交形体分析,
搞清哪些形体相交，交线是什么两两求交不完整的交线,
先整体求交，再取局部交线
31
二次曲面交线的性质分析一般为四次曲线，其投影亦为四次曲线具有公共对称平面时交线在与对称平面平行的投影面上的投影为二次曲线 双曲线
3.表面交线分析
32
抛物线圆球
PV
33
交线的特殊情况两回转面轴线相交且外切于同一球时交线为二平面曲线重切点
34
交线变化趋势分析
直径相同以圆柱为例平面曲线相交体大小对交线的影响交线总是弯向直径大的圆柱的轴线
35
相交体相对位置对交线的影响交线由两支变成一支
36
4.2 复杂形体的画图和看图方法一个或多个基本体进行多次布尔运算后生成的形体称为复杂形体（组合体）
画图 由已知形体画出其投影的过程称为画图看图 根据形体的投影，经过分析，搞清其组成、形状和结构的过程称为看图
37
复杂形体的组合方式
（叠加体） （切割体）
并 差 复合
38
复杂形体的画图形体间表面连接关系分析由于形体不同、相对位置不同而产生不同的 表面连接关系
A,B不共面 A,B共面
A
B
A
B
39
不共面 共面 共面有线！ 无线！ 不要漏虚线！
40
A
B
A
B
平面 A与圆柱面 B相切平面 A与圆柱面 B相交相切处无线相交处有线
41
有交线 !
相切如何确定切点位置?注意此处无线 !
相交如何确定切点位置
42
相切相切圆柱 请同学们分析：
何处相交有交线？
何处相切无线？
分析方法形体分析法相交相交四棱柱 半圆柱
43
凸台 5
圆筒 1
支撑板 2
肋 3底板 4
例 求作轴承座的投影图形体分析画图方法形体由 1、
2,3,4、
5组合而成
（“并”）
44
底板圆筒支撑板 肋凸台凸台圆筒支撑板肋底板
画 基准线左右、上下、前后画图
依次画各立体的投影例 求作轴承座的投影图形体分析
45
基本方法 形体分析法
把复杂形体分解成若干基本形体
分析各基本体之间的相互关系画图步骤
布置图确定各投影图的位置 (定位 )
画基准线归纳
画底稿 (细实线 )
逐个完成形体，
先特征投影，后其他投影；
先外表形状，后内部形状；
先主要结构，后次要结构；
先形体，后交线。
检查,三等”关系检查相互位置检查表面连接关系检查
描粗结果线相互位置分析布尔运算分析注意何处有交线是否漏画虚线是否多画实线
46
3
2
1
例还原成基本形体依次,差,运算
P
1
2 3
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5
6 7
8 9
1011
12
1'(2'5'6')
3'(4')
12'(11'8'7')
10'(9')
1"2"5"6"
3"4"
12"11"8"7"
10"9"
47
归纳 基本方法 形体分析法
分析经过几次,差,运算 而成
分析原始的基本 形体 ---
找出形状与之最靠近的基本 形体画图步骤
先画出原始的基本 形体投影
依次,差,运算
每次切割应从 反映特征的投影 开始画
充分利用平面的投影特性按,三等,关系作图
检查 类似图形检查
“三等”关系检查
描粗结果线
48
看图时需注意的问题必须把几个投影图联系起来进行分析复杂形体的看图
49
50
51
找出特征投影 形状特征投影抓住特征投影 是看懂图的 关键位置特征投影
52
3
4
1
2
例
1
2
3
4
找特征投影形状特征可能分散在不同的投影图中形状特征可能分散在不同的投影图中用“三等”关系对投影确定每块的形状、位置
53
线框分析三个线框代表三个面的投影
--- 平面或曲面一般情况下，投影图中一个封闭线框代表空间一个面的投影
54
一定会出现凸或凹线框里面的线框呢？
55
要注意投影图中反映形体之间连接关系的图线实线 虚线
56
有线相交无线相切
57
看图方法 形体分析法例抓特征分解形体从特征投影入手将形体分解成几部分?
对投影确定形状用“三等”关系对投影确定各部分的形状
58
综合起来想整体分析各块间相对位置及表面连接关系，
综合起来想象物体的整体形状
59
面形分析法根据平面体和曲面体的投影规律,
不同线框之间的关系,反映了形体表面的变化投影图上一个封闭线框一般情况下 平面光滑曲面利用这个规律分析和表示形体表面形状,这种方法,称为 面形分析法的投影
60
例取线框对投影 分平曲确定表面形状及相对位置关系
“三等”关系想象物体形状
61
求第三投影如何分层次难点解题思路假设结论投影规律 Y
N 验证看图举例
62
求第三投影例
63
小 结看图空间形体 投影（二维图形）
画图复杂形体画图和看图的基本方法形体分析法面形分析法
(为主 )
二者配合使用形体分析法
64
形体分析法基本要点根据复杂形体的形状特点，将其分解成若干基本体分析各基本体的形状和相互位置关系从特征投影入手利用“三等”
关系对投影确定其形状注意反映表面连接关系的线
65
面形分析法基本要点根据面的投影特性封闭线框 积聚成直线（平面）
或曲线（曲面）
从 封闭线框 入手，利用,三等,关系对投影确定各面的形状以此分析形体表面的组成及形状
