第一章 集合与映射
§1 集 合
集合论的基础是由德国数学家 Cantor 在 19 世纪 70 年代奠定的。
集合：指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的 元素。
通常用大写字母如 A BST,,,,…表示集合,
用小写字母如 abxy,,,,…表示集合的元素。
第一章 集合与映射
§1 集 合
集合论的基础是由德国数学家 Cantor 在 19 世纪 70 年代奠定的。
集合：指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的 元素。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S,记为 x S∈ 。
若 y不是集合 S 的元素，则称 y不属于 S,记为 Sy ∈ 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 QZN，，
+
和
R 来表示。
集合表示法
（1）枚举法,
光学中的三基色可以用集合{ 红，绿，蓝} 表示；
由 abcd,,,四个字母组成的集合 A可用 Aabcd= {,,,}表示；
正整数集
+
N 可以表示为 }321{ nullnull,，，，,n=
+
N ；
整数集 Z 可以表示为 }3210{ nullnull，，，，，，n±±±±=Z 。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S,记为 x S∈ 。
若 y不是集合 S 的元素，则称 y不属于 S,记为 Sy ∈ 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 QZN，，
+
和
R 来表示。
（2）描述法,Sxx P= {}具有性质 。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 Bxx=={}
2
2 ；
有理数集 Q 可以表示为
∈∈==
+
ZNQ qp
p
q
xx并且，其中；
正实数集
+
R 可以表示为 }0{ >∈=
+
xxx并且RR 。
注 集合中的元素之间并没有次序关系。
例,{,}ab,{,}ba 和 {,,}aba 表示同一个集合。
（2）描述法,Sxx P= {}具有性质 。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 Bxx=={}
2
2 ；
有理数集 Q可以表示为
∈∈==
+
ZNQ qp
p
q
xx并且，其中；
正实数集
+
R 可以表示为 }0{ >∈=
+
xxx并且RR 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为?。
例,}01{
2
=+∈ xxx并且R?= 。
子集,若 xS xT∈? ∈,则称 S 是 T的 子集，记为 S T? 。
例,RQZN
+
。
注 对任何集合 S,都有 SS? 与 S 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为?。
例,}01{
2
=+∈ xxx并且R?= 。
如果 S 中至少存在一个元素 x 不属于 T,即存在 xS∈,使
Tx ∈,则 S 不是 T的子集，记为 S T? 。
例,{}xx
2
10?=?
+
N 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为?。
例,}01{
2
=+∈ xxx并且R?= 。
子集,若 xS xT∈? ∈,则称 S 是 T的 子集，记为 S T? 。
例,RQZN
+
。
注 对任何集合 S,都有 SS? 与 S 。
例 1.1.1 Tabc= {}，,有 2
3
个子集,；
{}a,{}b,{}c ；
{}ab，,{}bc，,{}ca,；
{}abc，,。
Taa a
n
={}
12
，，，null 有 2
n
个子集。
真子集,如果 S T?,但 T S?,则称 S 是 T的一个 真子集。
Taa a
n
={}
12
，，，null 的 2
n
个子集中，有 21
n
个是真子集。
S T=,集合 S 与 T的元素完全相同。
S T=? S T? 并且 T S? 。
例 1.1.1 Tabc= {}，,有 2
3
个子集,；
{}a,{}b,{}c ；
{}ab，,{}bc，,{}ca,；
{}abc，,。
Taa a
n
={}
12
，，，null 有 2
n
个子集。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间：
{ }
(,)ab xa x b= << ；
[ ] { }
,ab xa x b= ≤≤ ；
( ] { }
,ab xa x b= <≤ ；
[ ) { }
,ab xa x b=≤<。
{ }
(,)axxa+∞= > ；
[ { }
,)axxa+∞= ≥ ；
{ }
(,)bxxb?∞= <；
] { }
(,bxxb?∞= ≤；
{ }
(,) xx?∞ +∞ = 为任意实数 （即实数集 R ）。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间：
{ }
(,)ab xa x b= << ；
[ ] { }
,ab xa x b= ≤≤ ；
( ] { }
,ab xa x b= <≤ ；
[ ) { }
,ab xa x b=≤<。
集合运算
并,ST∪ =∈ ∈{}xx S xT或者 。
交,ST∩ =∈ ∈xx S xT并且 。
T T
S S
ST∪ ST∩
图 1.1.1(a)
例,Sabc= {,,},Tbcde= {,,,}，则 ST∪ = {,,,,}abcde,ST∩ = {,}bc。
集合运算
并,ST∪ =∈ ∈{}xx S xT或者 。
交,ST∩ =∈ ∈xx S xT并且 。
T T
S S
ST∪ ST∩
图 1.1.1(a)
集合的并与交运算具有
1,交换律 AB BA∪∪=,
AB BA∩∩= 。
2,结合律 ABD AB D∪∪ ∪∪()()=,
ABD AB D∩∩ ∩∩()()= 。
3,分配律 ABD AB AD∩∪ ∩∪∩()()()=,
ABD AB AD∪∩ ∪∩∪()()()= 。
例 证明,ABD AB AD∪∩ ∪∩∪()()()= 。
第一步，证明 ABD AB AD∪∩ ∪∩∪()()()? 。
xABD∈ ∪∩()?或者 x A∈,或者 xBD∈ ∩
或者 x A∈,或者 xB∈ 并且 x D∈
xAB∈ ∪ 并且 xAD∈ ∪,
即 xAB AD∈()()∪∩∪。
第二步，证明 ()() ()AB AD A BD∪∩∪ ∪∩? 。
xAB AD∈()()∪∩∪? xAB∈ ∪ 并且 xAD∈ ∪
或者 x A∈,或者 xB∈ 并且 x D∈,
即 xABD∈ ∪∩()。
结合上述两步，得到 ABD AB AD∪∩ ∪∩∪()()()= 。
证毕
差,S \T }{ TxSxx ∈∈= 并且 。
例,{,,}abc \ },,,{ edcb = { }a,{}xx< 1 \{}xx> 0 =≤{}xx 0 。
补,假设在集合 X 中讨论问题,S 是 X 的子集，则集合 S
关于 X 的 补 集为
S
X
C
= X \ S
T X
S
S
TS \ S
X
C
图 1.1.1(b)
例,偶数集 E 关于整数集 Z 的补集为奇数集 F ；有理数集
Q 关于实数集 R 的补集为无理数集。
在不会发生混淆的前提下，通常将 S
X
C
简记为 S
C
，则
XSS
C
=∪,?=
C
SS ∩,S \T = ST
C
∩ 。
集合补的运算具有对偶律 (De Morgan 公式)
()AB A B
CCC
∪∩=,
()AB A B
CCC
∩∪= 。
证（只证 ()AB A B
CCC
∩∪= ）
xAB
C
∈()∩? BAx ∩∈
或者 Ax ∈,或者 Bx ∈
xA B
CC
∈ ∪,即
xAB
C
∈()∩? xA B
CC
∈ ∪ 。
xA B
CC
∈ ∪? 或者 x A
C
∈,或者 xB
C
∈
或者 Ax ∈,或者 Bx ∈
BAx ∩∈,即
xA B
CC
∈ ∪? xAB
C
∈()∩ 。
两方面结合起来，得到 ()AB A B
CCC
∩∪= 。
集合补的运算具有对偶律 (De Morgan 公式)
()AB A B
CCC
∪∩=,
()AB A B
CCC
∩∪= 。
有限集与无限集
有限集 由 n 个元素（ n 是非负整数）组成的集合为有限集 。
{红，绿，蓝 },{,,,}abcd 和 {}xx x
2
320?+=都是有限集。
无限集 不是有限集的集合为 无限集 。
N,Z,Q,R 都是无限集。
可列集 如果一个无限集的元素可以按某种规律排成一个序列
{}aa a
n12
，，，，null null,
则称为 可列集 。
正整数集
+
N 与 {sin }xx= 0 都是可列集。
每个无限集必包含可列子集。
无限集不一定是可列集（实数集 R 不是可列集，见§ 2.4）。
例 1.1.2 整数集 Z 是可列集。
解 Z 可表示为
0,1,-1,2,-2,…,n,-n,…。
设 A
n
（ n =1,2,3,…）是可列个集合，其中每个集合 A
n
都是可列集，则它们的并为
A
n
n=
∞
1
∪
= { }
nn
AxnxAAA ∈∈=
+
使存在,
21
Nnull∪∪null∪∪ 。
定理 1.1.1 可列个可列集之并也是可列集。
证 对任意 n∈
+
N,设 A
n
表示为
A
n
={ }xxx x
nn n nk123
,,,,,nullnull,
则 A
n
n=
∞
1
∪
的元素全体可排成如下的无穷方块阵,
x
x
x
x
11
21
31
41
null
x
x
x
x
12
22
32
42
null
x
x
x
x
13
23
33
43
null
x
x
x
x
14
24
34
44
null
null
null
null
null
null
。
x
x
x
x
11
21
31
41
null
x
x
x
x
12
22
32
42
null
x
x
x
x
13
23
33
43
null
x
x
x
x
14
24
34
44
null
null
null
null
null
null
。
对角线法则：从最左面开始，顺着逐条“对角线”（图中箭头所示）将元素按从右上至左下的次序排列，也就是把所有的元素排列成
xxxxxxxxxx
11 12 21 13 22 31 14 23 32 41
,,,,,,,,,,null 。
由于不同集合 A
i
与 A
j
（ i≠ j）的交可 能不是空集，因此有些元素可能会在排列中多次出现，只保留一个而去掉多余的，这样得到的排列仍然表示集合 A
n
n=
∞
1
∪
，定理得证。
定理 1.1.2 有理数集Q是可列集。
证 （?∞+∞,）
∪
Zn
nn
∈
+= ]1,(,只须证 ( ]01,中的有理数是可列集。
区间 ( ]01,中的有理数可唯一地表示为既约分数
q
p
，其中 p∈
+
N,
+
∈Nq,q≤p，并且 p,q 互质。按下列方式排列这些有理数,
分母 p=1 的既约分数只有一个,x
11
=1；
分母 p=2 的既约分数也只有一个,x
21
=
1
2；
分母 p=3 的既约分数有两个,xx
31 32
1
3
2
3
==,；
分母 p=4 的既约分数也只有两个,x
41
1
4
=,x
42
3
4
= ；
……,
一般地，分母 p = n 的既约分数至多不超过 n-1 个，将它们记为
)(21
,,,
nknnn
xxx null,其中 k(n)≤n-1。
于是区间 ( ]01,中的有理数全体可以排成
11 21 31 32 41 42 1 2 ( )
,,,,,,,,,,,
nn nkn
xxxxxx xx xnullnullnull
。
这就证明了有理数集 Q 是可列集。
证毕
Descartes 乘积集合
设 A与 B 是两个集合。在集合 A中任意取一个元素 x,在集合 B
中任意取一个元素 y，组成一个有序对 (,)xy。把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的
Descartes 乘积集合，记为 A B×,即
A B× =∈∈{(,) }xy x A y B并且 。
RR× 表示平面 Descartes 直角坐标系。
RRR ×× 表示空间 Descartes 直角坐标系。
例 1.1.3 设
A }{ bxaxx ≤≤∈=并且R,
B }{ dycyy ≤≤∈=并且R,
C }{ fzezz ≤≤∈=并且R,
则 A B× 就表示 Oxy 平面上一个闭矩形,A BC× × 表示 Oxyz 空间中的一个闭长方体( 图 1.1.2)。
y z
f
d
e
c
O a b x a O c d y
b
x
图 1.1.2
§1 集 合
集合论的基础是由德国数学家 Cantor 在 19 世纪 70 年代奠定的。
集合：指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的 元素。
通常用大写字母如 A BST,,,,…表示集合,
用小写字母如 abxy,,,,…表示集合的元素。
第一章 集合与映射
§1 集 合
集合论的基础是由德国数学家 Cantor 在 19 世纪 70 年代奠定的。
集合：指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
这些具体的或抽象的对象称为该集合的 元素。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S,记为 x S∈ 。
若 y不是集合 S 的元素，则称 y不属于 S,记为 Sy ∈ 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 QZN，，
+
和
R 来表示。
集合表示法
（1）枚举法,
光学中的三基色可以用集合{ 红，绿，蓝} 表示；
由 abcd,,,四个字母组成的集合 A可用 Aabcd= {,,,}表示；
正整数集
+
N 可以表示为 }321{ nullnull,，，，,n=
+
N ；
整数集 Z 可以表示为 }3210{ nullnull，，，，，，n±±±±=Z 。
若 x 是集合 S 的元素，则称 x 属于 S,记为 x S∈ 。
若 y不是集合 S 的元素，则称 y不属于 S,记为 Sy ∈ 。
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是我们常用的集合，习惯上分别用字母 QZN，，
+
和
R 来表示。
（2）描述法,Sxx P= {}具有性质 。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 Bxx=={}
2
2 ；
有理数集 Q 可以表示为
∈∈==
+
ZNQ qp
p
q
xx并且，其中；
正实数集
+
R 可以表示为 }0{ >∈=
+
xxx并且RR 。
注 集合中的元素之间并没有次序关系。
例,{,}ab,{,}ba 和 {,,}aba 表示同一个集合。
（2）描述法,Sxx P= {}具有性质 。
由 2 的平方根组成的集合 B 可表示为 Bxx=={}
2
2 ；
有理数集 Q可以表示为
∈∈==
+
ZNQ qp
p
q
xx并且，其中；
正实数集
+
R 可以表示为 }0{ >∈=
+
xxx并且RR 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为?。
例,}01{
2
=+∈ xxx并且R?= 。
子集,若 xS xT∈? ∈,则称 S 是 T的 子集，记为 S T? 。
例,RQZN
+
。
注 对任何集合 S,都有 SS? 与 S 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为?。
例,}01{
2
=+∈ xxx并且R?= 。
如果 S 中至少存在一个元素 x 不属于 T,即存在 xS∈,使
Tx ∈,则 S 不是 T的子集，记为 S T? 。
例,{}xx
2
10?=?
+
N 。
空集,一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为 空集,
记为?。
例,}01{
2
=+∈ xxx并且R?= 。
子集,若 xS xT∈? ∈,则称 S 是 T的 子集，记为 S T? 。
例,RQZN
+
。
注 对任何集合 S,都有 SS? 与 S 。
例 1.1.1 Tabc= {}，,有 2
3
个子集,；
{}a,{}b,{}c ；
{}ab，,{}bc，,{}ca,；
{}abc，,。
Taa a
n
={}
12
，，，null 有 2
n
个子集。
真子集,如果 S T?,但 T S?,则称 S 是 T的一个 真子集。
Taa a
n
={}
12
，，，null 的 2
n
个子集中，有 21
n
个是真子集。
S T=,集合 S 与 T的元素完全相同。
S T=? S T? 并且 T S? 。
例 1.1.1 Tabc= {}，,有 2
3
个子集,；
{}a,{}b,{}c ；
{}ab，,{}bc，,{}ca,；
{}abc，,。
Taa a
n
={}
12
，，，null 有 2
n
个子集。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间：
{ }
(,)ab xa x b= << ；
[ ] { }
,ab xa x b= ≤≤ ；
( ] { }
,ab xa x b= <≤ ；
[ ) { }
,ab xa x b=≤<。
{ }
(,)axxa+∞= > ；
[ { }
,)axxa+∞= ≥ ；
{ }
(,)bxxb?∞= <；
] { }
(,bxxb?∞= ≤；
{ }
(,) xx?∞ +∞ = 为任意实数 （即实数集 R ）。
在《数学分析》课程中，最常遇到的实数集的子集是区间：
{ }
(,)ab xa x b= << ；
[ ] { }
,ab xa x b= ≤≤ ；
( ] { }
,ab xa x b= <≤ ；
[ ) { }
,ab xa x b=≤<。
集合运算
并,ST∪ =∈ ∈{}xx S xT或者 。
交,ST∩ =∈ ∈xx S xT并且 。
T T
S S
ST∪ ST∩
图 1.1.1(a)
例,Sabc= {,,},Tbcde= {,,,}，则 ST∪ = {,,,,}abcde,ST∩ = {,}bc。
集合运算
并,ST∪ =∈ ∈{}xx S xT或者 。
交,ST∩ =∈ ∈xx S xT并且 。
T T
S S
ST∪ ST∩
图 1.1.1(a)
集合的并与交运算具有
1,交换律 AB BA∪∪=,
AB BA∩∩= 。
2,结合律 ABD AB D∪∪ ∪∪()()=,
ABD AB D∩∩ ∩∩()()= 。
3,分配律 ABD AB AD∩∪ ∩∪∩()()()=,
ABD AB AD∪∩ ∪∩∪()()()= 。
例 证明,ABD AB AD∪∩ ∪∩∪()()()= 。
第一步，证明 ABD AB AD∪∩ ∪∩∪()()()? 。
xABD∈ ∪∩()?或者 x A∈,或者 xBD∈ ∩
或者 x A∈,或者 xB∈ 并且 x D∈
xAB∈ ∪ 并且 xAD∈ ∪,
即 xAB AD∈()()∪∩∪。
第二步，证明 ()() ()AB AD A BD∪∩∪ ∪∩? 。
xAB AD∈()()∪∩∪? xAB∈ ∪ 并且 xAD∈ ∪
或者 x A∈,或者 xB∈ 并且 x D∈,
即 xABD∈ ∪∩()。
结合上述两步，得到 ABD AB AD∪∩ ∪∩∪()()()= 。
证毕
差,S \T }{ TxSxx ∈∈= 并且 。
例,{,,}abc \ },,,{ edcb = { }a,{}xx< 1 \{}xx> 0 =≤{}xx 0 。
补,假设在集合 X 中讨论问题,S 是 X 的子集，则集合 S
关于 X 的 补 集为
S
X
C
= X \ S
T X
S
S
TS \ S
X
C
图 1.1.1(b)
例,偶数集 E 关于整数集 Z 的补集为奇数集 F ；有理数集
Q 关于实数集 R 的补集为无理数集。
在不会发生混淆的前提下，通常将 S
X
C
简记为 S
C
，则
XSS
C
=∪,?=
C
SS ∩,S \T = ST
C
∩ 。
集合补的运算具有对偶律 (De Morgan 公式)
()AB A B
CCC
∪∩=,
()AB A B
CCC
∩∪= 。
证（只证 ()AB A B
CCC
∩∪= ）
xAB
C
∈()∩? BAx ∩∈
或者 Ax ∈,或者 Bx ∈
xA B
CC
∈ ∪,即
xAB
C
∈()∩? xA B
CC
∈ ∪ 。
xA B
CC
∈ ∪? 或者 x A
C
∈,或者 xB
C
∈
或者 Ax ∈,或者 Bx ∈
BAx ∩∈,即
xA B
CC
∈ ∪? xAB
C
∈()∩ 。
两方面结合起来，得到 ()AB A B
CCC
∩∪= 。
集合补的运算具有对偶律 (De Morgan 公式)
()AB A B
CCC
∪∩=,
()AB A B
CCC
∩∪= 。
有限集与无限集
有限集 由 n 个元素（ n 是非负整数）组成的集合为有限集 。
{红，绿，蓝 },{,,,}abcd 和 {}xx x
2
320?+=都是有限集。
无限集 不是有限集的集合为 无限集 。
N,Z,Q,R 都是无限集。
可列集 如果一个无限集的元素可以按某种规律排成一个序列
{}aa a
n12
，，，，null null,
则称为 可列集 。
正整数集
+
N 与 {sin }xx= 0 都是可列集。
每个无限集必包含可列子集。
无限集不一定是可列集（实数集 R 不是可列集，见§ 2.4）。
例 1.1.2 整数集 Z 是可列集。
解 Z 可表示为
0,1,-1,2,-2,…,n,-n,…。
设 A
n
（ n =1,2,3,…）是可列个集合，其中每个集合 A
n
都是可列集，则它们的并为
A
n
n=
∞
1
∪
= { }
nn
AxnxAAA ∈∈=
+
使存在,
21
Nnull∪∪null∪∪ 。
定理 1.1.1 可列个可列集之并也是可列集。
证 对任意 n∈
+
N,设 A
n
表示为
A
n
={ }xxx x
nn n nk123
,,,,,nullnull,
则 A
n
n=
∞
1
∪
的元素全体可排成如下的无穷方块阵,
x
x
x
x
11
21
31
41
null
x
x
x
x
12
22
32
42
null
x
x
x
x
13
23
33
43
null
x
x
x
x
14
24
34
44
null
null
null
null
null
null
。
x
x
x
x
11
21
31
41
null
x
x
x
x
12
22
32
42
null
x
x
x
x
13
23
33
43
null
x
x
x
x
14
24
34
44
null
null
null
null
null
null
。
对角线法则：从最左面开始，顺着逐条“对角线”（图中箭头所示）将元素按从右上至左下的次序排列，也就是把所有的元素排列成
xxxxxxxxxx
11 12 21 13 22 31 14 23 32 41
,,,,,,,,,,null 。
由于不同集合 A
i
与 A
j
（ i≠ j）的交可 能不是空集，因此有些元素可能会在排列中多次出现，只保留一个而去掉多余的，这样得到的排列仍然表示集合 A
n
n=
∞
1
∪
，定理得证。
定理 1.1.2 有理数集Q是可列集。
证 （?∞+∞,）
∪
Zn
nn
∈
+= ]1,(,只须证 ( ]01,中的有理数是可列集。
区间 ( ]01,中的有理数可唯一地表示为既约分数
q
p
，其中 p∈
+
N,
+
∈Nq,q≤p，并且 p,q 互质。按下列方式排列这些有理数,
分母 p=1 的既约分数只有一个,x
11
=1；
分母 p=2 的既约分数也只有一个,x
21
=
1
2；
分母 p=3 的既约分数有两个,xx
31 32
1
3
2
3
==,；
分母 p=4 的既约分数也只有两个,x
41
1
4
=,x
42
3
4
= ；
……,
一般地，分母 p = n 的既约分数至多不超过 n-1 个，将它们记为
)(21
,,,
nknnn
xxx null,其中 k(n)≤n-1。
于是区间 ( ]01,中的有理数全体可以排成
11 21 31 32 41 42 1 2 ( )
,,,,,,,,,,,
nn nkn
xxxxxx xx xnullnullnull
。
这就证明了有理数集 Q 是可列集。
证毕
Descartes 乘积集合
设 A与 B 是两个集合。在集合 A中任意取一个元素 x,在集合 B
中任意取一个元素 y，组成一个有序对 (,)xy。把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的
Descartes 乘积集合，记为 A B×,即
A B× =∈∈{(,) }xy x A y B并且 。
RR× 表示平面 Descartes 直角坐标系。
RRR ×× 表示空间 Descartes 直角坐标系。
例 1.1.3 设
A }{ bxaxx ≤≤∈=并且R,
B }{ dycyy ≤≤∈=并且R,
C }{ fzezz ≤≤∈=并且R,
则 A B× 就表示 Oxy 平面上一个闭矩形,A BC× × 表示 Oxyz 空间中的一个闭长方体( 图 1.1.2)。
y z
f
d
e
c
O a b x a O c d y
b
x
图 1.1.2
