§2 映射与函数映射
映射是指两个集合之间的一种对应关系。
§2 映射与函数定义1.2.1 设 X,Y 是两个给定的集合，若按照某种规则 f,
使得对集合 X 中的每一个元素 x,都可以找到集合 Y 中唯一确定的元素 y与之对应，则称这个对应规则 f 是集合 X 到集合 Y 的一个 映射,
记为
f,X → Y
xyfxnull = ()。
其中 y称为在映射 f 之下 x 的 像,x 称为在映射 f 之下 y的一个 逆像
（也称为原像 ）。
映射
映射是指两个集合之间的一种对应关系。
集合 X 称为映射 f 的 定义域,记为 D
f
= X 。
在映射 f 之下,X 中元素 x 的像 y的全体称为映射 f 的 值域,记为 R
f
,
R
f
=∈{ yyY 并且 yfxxX= ∈(),}。
例1.2.1 设 X 是平面上所有三角形的全体,Y 是平面上所有圆的全体。则对应关系
f,X → Y
x ynull （ y是三角形 x的外接圆）
是一个映射,f 的定义域与值域分别为 D
f
= X 和 R
f
= Y 。
集合 X 称为映射 f 的 定义域,记为 D
f
= X 。
在映射 f 之下,X 中元素 x 的像 y的全体称为映射 f 的 值域,记为 R
f
,
R
f
=∈{ yyY 并且 yfxxX= ∈(),}。
例1.2.2 设 X },,{ γβα=,Y = {,,,}abcd，则对应关系
af =)(α,df =)(β,bf =)(γ
也是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D
f
= X },,{ γβα=,R
f
=?{,,}ab d Y。
构成一个映射必须具备下列三个基本要素,
(1) 集合 X,即定义域 D
f
= X ；
(2) 集合 Y,即限制值域的范围,RY
f；
(3) 对应规则 f,使每一个 x X∈,有唯一确定的 yfx= ()与之对应。
例1.2.2 设 X },,{ γβα=,Y = {,,,}abcd，则对应关系
af =)(α,df =)(β,bf =)(γ
也是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D
f
= X },,{ γβα=,R
f
=?{,,}ab d Y。
注
1,映射要求元素的像必须是唯一的。
例如，设
+
= RX,R=Y,对应规则 f 要求对每一个
+
∈Rx,它的像 R∈y 且满足关系 yx
2
=,这样的对应规则 f 不满足像的唯一性要求。
对于不满足像的唯一性要求的对应规则，一般只要对值域范围稍加限制，就能使它成为映射。
例1.2.3 设
+
= RX,
= RY }{
+
∈?= Rxx,则对应关系
f,X → Y
xyyxnull ()
2
=
是一个映射。
2.映射并不要求逆像也具有唯一性。
例1.2.4 设 R== YX,则
f,X → Y
xyxnull =
2
是一个映射。
例1.2.3 设
+
= RX,
= RY }{
+
∈?= Rxx,则对应关系
f,X → Y
xyyxnull ()
2
=
是一个映射。
定义1.2.2
设 f 是集合 X 到集合 Y 的一个映射，若 f 的逆像也具有唯一性，
即对 X 中的任意两个不同元素 xx
12
≠,它们的像 y
1
与 y
2
也满足 yy
12
≠,
则称 f 为 单射 ；
如果映射 f 满足 R
f
=Y,则称 f 为满射 ；
如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 是双射 （又称 一一对应） 。
例1.2.2与例1.2.3中的映射是单射,
例1.2.1与例1.2.3中的映射是满射,
例1.2.3中的映射是双射。
定义1.2.2
设 f 是集合 X 到集合 Y 的一个映射，若 f 的逆像也具有唯一性，
即对 X 中的任意两个不同元素 xx
12
≠,它们的像 y
1
与 y
2
也满足 yy
12
≠,
则称 f 为 单射 ；
如果映射 f 满足 R
f
=Y,则称 f 为满射 ；
如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 是双射 （又称 一一对应） 。
设 f,X → Y 是单射，则对应关系
g,RX
f
→
y xnull （ fx y()= ）
称为 f 的 逆映射,记为 f
1
,其定义域为 D
f
=
1
R
f
，值域为 R
f
=
1
X 。
逆映射 f
1
是 R
f
到 X 上的双射。
设
g,X → U
1
xug xnull = ()
f,U
2
→ Y
uyfunull = (),
当 RUD
gf
=
2
时,
fgnull,X → Y
xyfgxnull = (()),
称为 f 和 g 的 复合映射。
复合映射 fgnull 构成的关键在于 RD
gf
。
例1.2.5 设 R====
21
UUYX,映射 g 与 f 为,
g,X → U
1
xu xnull = sin
f,U
2
→ Y
uy
u
u
null =
+1
2
。
RD
gf
=[,]11,因此可以构成复合映射
fgnull,X → Y
xyfgx
x
x
null ==
+
(())
sin
sin1
2
。
例1.2.6 设映射 g 与 f 为
g,R → R
xu xnull =?1
2
f,
+
R → R
uyu lg=null,
则 RD
gf
=?∞?(,]1,因此不能构成复合映射 fgnull 。
但若将映射 g 的定义域作一限制，即换成映射 g
*
,
g
*
,X =?(,)11 → R
2
1 xux?=null
f,
+
R → R
uyu lg=null 。
则
f
g
DR?= ]1,0(
*
,于是可以构成复合映射
fgnull
*
,X =?(,)11 → R
)1lg(
2
xyx?=null 。
特别地，有下述两恒等式,
ff y ynull
=
1
(),yR
f
∈ ；
ffxx
=
1
null (),x X∈ 。
但若将映射 g 的定义域作一限制，即换成映射 g
*
,
g
*
,X =?(,)11 → R
2
1 xux?=null
f,
+
R → R
uyu lg=null 。
则
f
g
DR?= ]1,0(
*
,于是可以构成复合映射
fgnull
*
,X =?(,)11 → R
)1lg(
2
xyx?=null 。
例1.2.7 yx= sin,
2
π
,
2
π
→ [,]?11 是一一映射，它的逆映射是
xy= arcsin,[,]?11→
2
π
,
2
π
。
通过复合运算，得到恒等式
sin(arcsin )yy=,y ∈[,]?11；
arcsin(sin )xx=,x ∈
2
π
,
2
π
。
一元实函数
在定义1.2.1中取集合 R?X,集合 R=Y,则映射
f,X → Y
xyfxnull = ()
称为一元实函数,简称 函数。
由于函数表示的是实数集合与实数集合之间的对应关系，所以在其映射表示中，第一行是不需要的，只要写成
yfx= (),x X∈ (=D
f
)
就可以了，读作“函数 yfx= ()”或“函数 f,。
这里 f 表示的仍是一种对应规则，对于每一个 x ∈D
f
，它确定了唯一的 yfx= () R∈ 与 x相对应。
一元实函数
在定义1.2.1中取集合 R?X,集合 R=Y,则映射
f,X → Y
xyfxnull = ()
称为 一元实函数,简称 函数 。
例 将一块边长为 a的正方形皮，在四个角上各剪去一个边长为 x
的小正方形，做成一个无盖的方盒(如图1.2.1)，则方盒的容积为
Vxa x=?()2
2
，其中 x的变化范围是
2
,0
a
。
a
x
图1.2.1
初等函数
基本初等函数,
常数函数,y c= ；
幂函数,
α
xy = R∈α( )；
指数函数,ya
x
= (a > 0且 a ≠ 1)；
对数函数,yx
a
= log (a > 0且 a ≠ 1)；
三角函数,如 yx= sin,yx= cos,tany x=,coty x= 等；
反三角函数：如 yx= arcsin,yx= arccos,arctanyx= 等。
这 6类函数统称为基本初等函数。
由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为初等函数。
例如 yax bxc=++
2
,
2
log (1 )
1
a
x
y
x
+
=
+
,
y
x
x=+sin cos
1
2
,
2
1
earctan
x
y
x
=+,等等。
初等函数
基本初等函数,
常数函数,y c= ；
幂函数,
α
xy = R∈α( )；
指数函数,ya
x
= (a > 0且 a ≠ 1)；
对数函数,yx
a
= log (a > 0且 a ≠ 1)；
三角函数,如 yx= sin,yx= cos,tany x=,coty x= 等；
反三角函数：如 yx= arcsin,yx= arccos,arctanyx= 等。
这 6类函数统称为基本初等函数。
初等函数的自然定义域 是指它的自变量的最大取值范围。
x
n
（ n是正整数）,sin x,arctan x,a
x
等函数的自然定义域是
),( +∞?∞=R ；
log
a
x (a > 0,a ≠ 1)的自然定义域是 ),0( +∞=
+
R ；
arcsin x 的自然定义域是 [,]?11；
α
x 的自然定义域则要视 α 而定。
例如,x
1
3
的自然定义域是 ),( +∞?∞=R ；
x
1
3
的自然定义域是 )0,(}0{?∞=?R ∪(,)0 +∞ ；
x
3
2
的自然定义域是 [,)0 +∞ ；
x
1
4
的自然定义域是 ),0( +∞=
+
R,等等。
初等函数的 自然定义域 是指它的自变量的最大取值范围。
x
n
（ n是正整数）,sin x,arctan x,a
x
等函数的自然定义域是
),( +∞?∞=R ；
log
a
x (a > 0,a ≠ 1)的自然定义域是 ),0( +∞=
+
R ；
arcsin x 的自然定义域是 [,]?11；
α
x 的自然定义域则要视 α 而定。
例1.2.8 求下列初等函数的自然定义域与值域。
(1) yx
x
=+
1； (2) y
x
=
arcsin
21
3；
(3) yxx=+?32
2； (4)
2
2
log
34
a
x
y
xx
=
)1,0( ≠> aa 。
解 (1) D =?∞(,)0 ∪(,)0 +∞,R =?∞?(,]2 ∪[,)2 +∞ ；
(2) D =?[,]12,
=
2
π
,
2
π
R ；
(3) D =?[,]13,R = [,]02；
(4) D =?(,)12 ∪(,)4 +∞,R =?∞+∞(,)。
例1.2.8 求下列初等函数的自然定义域与值域。
(1) yx
x
=+
1； (2) y
x
=
arcsin
21
3；
(3) yxx=+?32
2； (4)
2
2
log
34
a
x
y
xx
=
)1,0( ≠> aa 。
解 (1) D =?∞(,)0 ∪(,)0 +∞,R =?∞?(,]2 ∪[,)2 +∞ ；
(2) D =?[,]12,
=
2
π
,
2
π
R ；
(3) D =?[,]13,R = [,]02；
(4) D =?(,)12 ∪(,)4 +∞,R =?∞+∞(,)。
注 当两个函数不仅函数关系相同，而且定义域也相同时，它们表示的是相同的函数，至于自变量与因变量采用什么符号是无关紧要的。
例如 xy sin=,),( +∞?∞∈x 与 vu sin=,),( +∞?∞∈v 表示的是同一个函数。
函数的分段表示，隐式表示与参数表示
函数的分段表示,设 A,B是两个互不相交的集合,)(x? 和 )(xψ
是分别定义在集合 A和集合 B上的函数，则
∈
∈
=
Bxx
Axx
xf
),(
,),(
)(
ψ
是定义在集合 AB∪ 上的函数。 这样的表示方法称为 函数的分段表示。
注 分段表示可以分成任意有限段，甚至无限多段。
例1.2.9 设一辆汽车从甲城驶往乙城。先从出发地驶到高速公路，车速45 km/h,花了 40分钟。然后在高速公路上以100 km/h 的速度行驶了1 小时45 分钟。最后从高速公路出口行驶到乙城的目的地，车速 40 km/h,花了 30分钟。求汽车行驶的路程 s（单位,km (公里 )）与行驶时间 t （单位,h (小时) ）之间的函数关系。
解
2
45,0,
3
22 5
( ) 30 100,2,
331
55 1
205 40 2,2 2
12 12 12
tt
st t t
tt
≤<
=+? ≤<
+? ≤≤
。
例1.2.9 设一辆汽车从甲城驶往乙城。先从出发地驶到高速公路，车速 45 km/h,花了 40分钟。然后在高速公路上以 100 km/h 的速度行驶了 1小时45 分钟。最后从高速公路出口行驶到乙城的目的地，车速 40 km/h,花了 30分钟。求汽车行驶的路程 s（单位,km (公里 )）与行驶时间
t
（单位,h (小时) ）之间的函数关系。
例1.2.10 符号函数 sgn x(图1.2.2),
sgn
,
,
,
x
x
x
x
=
>
=
<
10
00
10
，
，
。
y
x
O
图1.2.2
它的定义域是 D =?∞ +∞(,)，值域是 R =?{,,}101。
1?
1
例1.2.11,整数部分”函数(图1.2.3),
Z∈+<≤== nnxnnxy,1,][
。
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
图 1.2.3
它的定义域是 D =?∞ +∞(,),值域是 Z=R 。
例1.2.12,非负小数部分”函数(图1.2.4),
y xxx= =?() []
,
x ∈?∞ +∞(,)
。
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
图1.2.4
它的定义域是 D =?∞ +∞(,),值域是 )1,0[=R 。
对 x = 34.,有 []x = 3,(),x = 04；对 x =?27.,有 []x =?3,(),x = 03，等等。
显然，对于任意实数 x,成立等式 []x + ()xx= 。
函数的隐式表示,指通过方程 F xy(,)= 0来确定变量 y与 x之间函数关系的方式。
例1.2.13 圆的方程
xyR
22 2
+=
。
函数的隐式表示,指通过方程 F xy(,)= 0来确定变量 y与 x之间函数关系的方式。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
例1.2.14 Kepler方程,
yx y= +εsin,
其中 ε∈(,)01是一个常数。
函数的隐式表示,指通过方程 F xy(,)= 0来确定变量 y与 x之间函数关系的方式。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
例1.2.13 圆的方程
xyR
22 2
+=
。
函数的参数表示,引入第三个变量（例如参数 t），通过建立t
与 x,t与 y之间的函数关系，间接地确定x与 y之间的函数关系，即
[]bat
tyy
txx
,
),(
),(
∈
=
=
。
设
[ ]
{}
(),,Xxxxt tab== ∈，
[ ]
{ }
(),,Yyyyt tab== ∈，上述参数表示所确定的函数关系即为
:
() ()
fX Y
x xt yyt
→
==null 。
例 xyR
22 2
+=所确定的函数关系，可以引入参数 t表示 x轴正向按逆时针方向旋转至射线 OP的角的弧度，其中 P=P(x,y)表示圆上任意一点（图1.2.5）。则对于上半圆周（或下半圆周）,x与 y的函数关系可表示成
[] [ ])π,2π(π,0
,sin
,cos
∈∈
=
=
tx
tRy
tRx
或 。
例 xyR
22 2
+=所确定的函数关系，可以引入参数 t表示 x轴正向按逆时针方向旋转至射线 OP的角的弧度，其中 P=P(x,y)表示圆上任意一点（图1.2.5）。则对于上半圆周（或下半圆周）,x与y 的函数关系可表示成
[] [ ])π,2π(π,0
,sin
,cos
∈∈
=
=
tx
tRy
tRx
或 。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
t
旋轮线 又称 摆线,它表示一滚动的轮子上一点的运动轨迹。
例1.2.15 半径为 1 的轮子置于平地上，轮子边缘一点 A与地面相接触。求当轮子滚动时,A点运动的函数表示。
解
y
A
A t
O P π π2 x
图1.2.6
令参数 t 表示轮子转过的角度的弧度，于是得到
[ )∞∈
=
=
,0
,cos1
,sin
t
ty
ttx
。
此即为旋轮线的参数表示。
函数的简单特性
(1) 有界性
定义1.2.3 若存在两个常数 m和 M,使函数 yfx= (),x D∈ 满足
m≤ ≤fx() M,x D∈,
则称函数 f 在 D 有界 。其中m 是它的 下界,M 是它的 上界 。
有界函数的另一等价定义是,
“存在常数 M > 0,使函数 yfx= (),xD∈ 满足 |()|fx M≤,xD∈,。
(2) 单调性
定义1.2.4 对函数 yfx= (),x D∈,若对任意 xx D
12
,∈,当
xx
12
< 时成立 fx fx() ()
12
≤ （ 或 fx fx() ()
12
< ）,则称函数 f 在 D单调增加（ 或 严格单调增加 ）；
对任意 xx D
12
,∈,当 xx
12
< 时成立 fx fx() ()
12
≥ （ 或
fx fx() ()
12
> ）,则称函数 f 在 D单调减少（ 或 严格单调减少）。
函数的简单特性
(1) 有界性
定义1.2.3 若存在两个常数 m和 M,使函数 yfx= (),x D∈ 满足
m≤ ≤fx() M,x D∈,
则称函数 f 在 D有界 。其中m 是它的 下界,M 是它的 上界 。
有界函数的另一等价定义是,
“存在常数 M > 0,使函数 yfx= (),xD∈ 满足 |()|fx M≤,xD∈,。
yx=
3
,ya
x
= （ a >1）,yx
a
= log （ a >1）,arctany x= 等函数
在它们的定义域中都是严格单调增加的；
ya
x
= （ 01< <a ）,yx
a
= log （ 01< <a ）,arccoty x= 等函数
在它们的定义域中都是严格单调减少的；
y x= []是单调增加的，但不是严格单调增加的；
yx=
2
在 (,)?∞ +∞ 不具有单调性，但在 (,]?∞ 0 是严格单调减少的，
在 [,)0 +∞ 是严格单调增加的；
yx= sin 在
+?
2
π
π2,
2
π
π2 nn （ Z∈n ）是严格单调增加的，在
++?+
2
π
π)12(,
2
π
π)12( nn ( Z∈n )是严格单调减少的。
yx=
3
,yx= sin,tanyx= 等函数都是奇函数；
yx=
2
,y x= cos,y x= ||等函数都是偶函数。
(3) 奇偶性
定义1.2.5 设函数 f 的定义域 D关于原点对称,即 x D∈
∈x D。
若对一切 xD∈,成立 fx fx() ()? =,则称函数 f 是 偶函数；
若对一切 xD∈,成立 fx fx() ()? =?,则称函数 f 是 奇函数。
(3) 奇偶性
定义1.2.5 设函数 f 的定义域 D关于原点对称,即 x D∈
∈x D。
若对一切 xD∈,成立 fx fx() ()? =,则称函数 f 是 偶函数；
若对一切 xD∈,成立 fx fx() ()? =?,则称函数 f 是 奇函数。
例1.2.16 判断函数
()
fx
a
aa
x
=
+
>≠
1
1
1
2
01(,)的奇偶性。
解
2
1
1
1
)(?
+
=?
x
a
xf
2
1
1
+
=
x
x
a
a
2
1
1
1
+
+
=
x
x
a
a
2
1
1
1
+
+
=
x
a
)(xf?=,
所以 ()fx
a
x
=
+
1
1
1
2
是奇函数。
yx=
3
,yx= sin,tanyx= 等函数都是奇函数；
yx=
2
,y x= cos,y x= ||等函数都是偶函数。
(4) 周期性
定义1.2.6 若存在常数 T > 0,使得对一切 xD∈,成立
)()( xfTxf =±,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的周期。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期。
yx= sin 是 (,)?∞ +∞ 上的周期函数,π2n ( N∈n )都是它的周期，
其中 π2 是它的最小周期。
tany x= 也是周期函数，它的定义域是 \),( +∞?∞
∈+ Znn,
2
π
π,π是它的最小周期。
(4) 周期性
定义1.2.6 若存在常数 T > 0,使得对一切 xD∈,成立
)()( xfTxf =±,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的周期。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期。
并非每个周期函数都有最小周期。
例1.2.17 Dirichlet函数
Dx
x
x
()
,
,
=
0
1
为无理数，
为有理数。
这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期。因为不存在最小正有理数，所以它不可能有最小周期。
(4) 周期性
定义1.2.6 若存在常数 T > 0,使得对一切 xD∈,成立
)()( xfTxf =±,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的周期。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期。
yx= sin 是 (,)?∞ +∞ 上的周期函数,π2n ( N∈n )都是它的周期，
其中 π2 是它的最小周期。
tany x= 也是周期函数，它的定义域是 \),( +∞?∞
∈+ Znn,
2
π
π,π是它的最小周期。
两个常用不等式
定理1.2.1（三角不等式） 对于任意实数a 和 b,都有
|||| | | | | | |ab ab a b?≤+≤+。
证 对于任意实数a 和 b，有
≤ ≤|||| ||||ab ab ab,
所以
|| |||||| || ||||||a abb a abb a abb
222222
2?+≤++≤++,
开方后就得到上述不等式。
b
a a+b
图1.2.7
两个常用不等式
定理1.2.1（三角不等式） 对于任意实数a 和 b,都有
|||| | | | | | |ab ab a b?≤+≤+。
定义1.2.7 设 aa a
n12
，，，null 是 n个正数,
称
aa a
n
n12
+++null
是它们的算术平均值；
aa a
n
n
12
null 是它们的几何平均值；
+++
n
aaa
n
111
21
null 是它们的调和平均值。
定理1.2.2（平均值不等式） 对任意 n个正数 aa a
n12
，，，null,
aa a
n
n12
+ + +null
≥ aa a
n
n
12
null ≥
+++
n
aaa
n
111
21
null,
等号当且仅当 aa a
n12
，，，null 全部相等时成立 。
定义1.2.7 设 aa a
n12
，，，null 是 n个正数,
称
aa a
n
n12
+++null
是它们的算术平均值；
aa a
n
n
12
null 是它们的几何平均值；
+++
n
aaa
n
111
21
null 是它们的调和平均值 。
证 先证明左边的不等式
aa a
n
n12
+ + +null
≥ aa a
n
n
12
null 。
当 n = 12,时，不等式显然成立。
当 n
k
= 2 （
+
∈Nk ）时，不等式是
ab+
2
≥ ab 的直接推论。
当 n
k
≠ 2 时，取
+
∈Nl,使 22
1ll
n
< < 。记
aa a
n
n
12
null = a,
在
n
aaa,,,
21
null 后面加上( 2
l
n? )个 a,将其扩充成 2
l
个正数。对这 2
l
个正数应用不等式，得到
[]anaaa
l
n
l
)2(
2
1
21
++++ null ≥ ( )
l
l
n
n
aaaa
2
1
2
21
null = a,
整理后即有
aa a
n
n12
+ + +null
≥ aa a
n
n
12
null 。
对
n
aaa
1
,,
1
,
1
21
null 使用上面的结论，便得到右边的不等式。
映射是指两个集合之间的一种对应关系。
§2 映射与函数定义1.2.1 设 X,Y 是两个给定的集合，若按照某种规则 f,
使得对集合 X 中的每一个元素 x,都可以找到集合 Y 中唯一确定的元素 y与之对应，则称这个对应规则 f 是集合 X 到集合 Y 的一个 映射,
记为
f,X → Y
xyfxnull = ()。
其中 y称为在映射 f 之下 x 的 像,x 称为在映射 f 之下 y的一个 逆像
（也称为原像 ）。
映射
映射是指两个集合之间的一种对应关系。
集合 X 称为映射 f 的 定义域,记为 D
f
= X 。
在映射 f 之下,X 中元素 x 的像 y的全体称为映射 f 的 值域,记为 R
f
,
R
f
=∈{ yyY 并且 yfxxX= ∈(),}。
例1.2.1 设 X 是平面上所有三角形的全体,Y 是平面上所有圆的全体。则对应关系
f,X → Y
x ynull （ y是三角形 x的外接圆）
是一个映射,f 的定义域与值域分别为 D
f
= X 和 R
f
= Y 。
集合 X 称为映射 f 的 定义域,记为 D
f
= X 。
在映射 f 之下,X 中元素 x 的像 y的全体称为映射 f 的 值域,记为 R
f
,
R
f
=∈{ yyY 并且 yfxxX= ∈(),}。
例1.2.2 设 X },,{ γβα=,Y = {,,,}abcd，则对应关系
af =)(α,df =)(β,bf =)(γ
也是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D
f
= X },,{ γβα=,R
f
=?{,,}ab d Y。
构成一个映射必须具备下列三个基本要素,
(1) 集合 X,即定义域 D
f
= X ；
(2) 集合 Y,即限制值域的范围,RY
f；
(3) 对应规则 f,使每一个 x X∈,有唯一确定的 yfx= ()与之对应。
例1.2.2 设 X },,{ γβα=,Y = {,,,}abcd，则对应关系
af =)(α,df =)(β,bf =)(γ
也是一个映射,f 的定义域与值域分别为
D
f
= X },,{ γβα=,R
f
=?{,,}ab d Y。
注
1,映射要求元素的像必须是唯一的。
例如，设
+
= RX,R=Y,对应规则 f 要求对每一个
+
∈Rx,它的像 R∈y 且满足关系 yx
2
=,这样的对应规则 f 不满足像的唯一性要求。
对于不满足像的唯一性要求的对应规则，一般只要对值域范围稍加限制，就能使它成为映射。
例1.2.3 设
+
= RX,
= RY }{
+
∈?= Rxx,则对应关系
f,X → Y
xyyxnull ()
2
=
是一个映射。
2.映射并不要求逆像也具有唯一性。
例1.2.4 设 R== YX,则
f,X → Y
xyxnull =
2
是一个映射。
例1.2.3 设
+
= RX,
= RY }{
+
∈?= Rxx,则对应关系
f,X → Y
xyyxnull ()
2
=
是一个映射。
定义1.2.2
设 f 是集合 X 到集合 Y 的一个映射，若 f 的逆像也具有唯一性，
即对 X 中的任意两个不同元素 xx
12
≠,它们的像 y
1
与 y
2
也满足 yy
12
≠,
则称 f 为 单射 ；
如果映射 f 满足 R
f
=Y,则称 f 为满射 ；
如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 是双射 （又称 一一对应） 。
例1.2.2与例1.2.3中的映射是单射,
例1.2.1与例1.2.3中的映射是满射,
例1.2.3中的映射是双射。
定义1.2.2
设 f 是集合 X 到集合 Y 的一个映射，若 f 的逆像也具有唯一性，
即对 X 中的任意两个不同元素 xx
12
≠,它们的像 y
1
与 y
2
也满足 yy
12
≠,
则称 f 为 单射 ；
如果映射 f 满足 R
f
=Y,则称 f 为满射 ；
如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 是双射 （又称 一一对应） 。
设 f,X → Y 是单射，则对应关系
g,RX
f
→
y xnull （ fx y()= ）
称为 f 的 逆映射,记为 f
1
,其定义域为 D
f
=
1
R
f
，值域为 R
f
=
1
X 。
逆映射 f
1
是 R
f
到 X 上的双射。
设
g,X → U
1
xug xnull = ()
f,U
2
→ Y
uyfunull = (),
当 RUD
gf
=
2
时,
fgnull,X → Y
xyfgxnull = (()),
称为 f 和 g 的 复合映射。
复合映射 fgnull 构成的关键在于 RD
gf
。
例1.2.5 设 R====
21
UUYX,映射 g 与 f 为,
g,X → U
1
xu xnull = sin
f,U
2
→ Y
uy
u
u
null =
+1
2
。
RD
gf
=[,]11,因此可以构成复合映射
fgnull,X → Y
xyfgx
x
x
null ==
+
(())
sin
sin1
2
。
例1.2.6 设映射 g 与 f 为
g,R → R
xu xnull =?1
2
f,
+
R → R
uyu lg=null,
则 RD
gf
=?∞?(,]1,因此不能构成复合映射 fgnull 。
但若将映射 g 的定义域作一限制，即换成映射 g
*
,
g
*
,X =?(,)11 → R
2
1 xux?=null
f,
+
R → R
uyu lg=null 。
则
f
g
DR?= ]1,0(
*
,于是可以构成复合映射
fgnull
*
,X =?(,)11 → R
)1lg(
2
xyx?=null 。
特别地，有下述两恒等式,
ff y ynull
=
1
(),yR
f
∈ ；
ffxx
=
1
null (),x X∈ 。
但若将映射 g 的定义域作一限制，即换成映射 g
*
,
g
*
,X =?(,)11 → R
2
1 xux?=null
f,
+
R → R
uyu lg=null 。
则
f
g
DR?= ]1,0(
*
,于是可以构成复合映射
fgnull
*
,X =?(,)11 → R
)1lg(
2
xyx?=null 。
例1.2.7 yx= sin,
2
π
,
2
π
→ [,]?11 是一一映射，它的逆映射是
xy= arcsin,[,]?11→
2
π
,
2
π
。
通过复合运算，得到恒等式
sin(arcsin )yy=,y ∈[,]?11；
arcsin(sin )xx=,x ∈
2
π
,
2
π
。
一元实函数
在定义1.2.1中取集合 R?X,集合 R=Y,则映射
f,X → Y
xyfxnull = ()
称为一元实函数,简称 函数。
由于函数表示的是实数集合与实数集合之间的对应关系，所以在其映射表示中，第一行是不需要的，只要写成
yfx= (),x X∈ (=D
f
)
就可以了，读作“函数 yfx= ()”或“函数 f,。
这里 f 表示的仍是一种对应规则，对于每一个 x ∈D
f
，它确定了唯一的 yfx= () R∈ 与 x相对应。
一元实函数
在定义1.2.1中取集合 R?X,集合 R=Y,则映射
f,X → Y
xyfxnull = ()
称为 一元实函数,简称 函数 。
例 将一块边长为 a的正方形皮，在四个角上各剪去一个边长为 x
的小正方形，做成一个无盖的方盒(如图1.2.1)，则方盒的容积为
Vxa x=?()2
2
，其中 x的变化范围是
2
,0
a
。
a
x
图1.2.1
初等函数
基本初等函数,
常数函数,y c= ；
幂函数,
α
xy = R∈α( )；
指数函数,ya
x
= (a > 0且 a ≠ 1)；
对数函数,yx
a
= log (a > 0且 a ≠ 1)；
三角函数,如 yx= sin,yx= cos,tany x=,coty x= 等；
反三角函数：如 yx= arcsin,yx= arccos,arctanyx= 等。
这 6类函数统称为基本初等函数。
由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为初等函数。
例如 yax bxc=++
2
,
2
log (1 )
1
a
x
y
x
+
=
+
,
y
x
x=+sin cos
1
2
,
2
1
earctan
x
y
x
=+,等等。
初等函数
基本初等函数,
常数函数,y c= ；
幂函数,
α
xy = R∈α( )；
指数函数,ya
x
= (a > 0且 a ≠ 1)；
对数函数,yx
a
= log (a > 0且 a ≠ 1)；
三角函数,如 yx= sin,yx= cos,tany x=,coty x= 等；
反三角函数：如 yx= arcsin,yx= arccos,arctanyx= 等。
这 6类函数统称为基本初等函数。
初等函数的自然定义域 是指它的自变量的最大取值范围。
x
n
（ n是正整数）,sin x,arctan x,a
x
等函数的自然定义域是
),( +∞?∞=R ；
log
a
x (a > 0,a ≠ 1)的自然定义域是 ),0( +∞=
+
R ；
arcsin x 的自然定义域是 [,]?11；
α
x 的自然定义域则要视 α 而定。
例如,x
1
3
的自然定义域是 ),( +∞?∞=R ；
x
1
3
的自然定义域是 )0,(}0{?∞=?R ∪(,)0 +∞ ；
x
3
2
的自然定义域是 [,)0 +∞ ；
x
1
4
的自然定义域是 ),0( +∞=
+
R,等等。
初等函数的 自然定义域 是指它的自变量的最大取值范围。
x
n
（ n是正整数）,sin x,arctan x,a
x
等函数的自然定义域是
),( +∞?∞=R ；
log
a
x (a > 0,a ≠ 1)的自然定义域是 ),0( +∞=
+
R ；
arcsin x 的自然定义域是 [,]?11；
α
x 的自然定义域则要视 α 而定。
例1.2.8 求下列初等函数的自然定义域与值域。
(1) yx
x
=+
1； (2) y
x
=
arcsin
21
3；
(3) yxx=+?32
2； (4)
2
2
log
34
a
x
y
xx
=
)1,0( ≠> aa 。
解 (1) D =?∞(,)0 ∪(,)0 +∞,R =?∞?(,]2 ∪[,)2 +∞ ；
(2) D =?[,]12,
=
2
π
,
2
π
R ；
(3) D =?[,]13,R = [,]02；
(4) D =?(,)12 ∪(,)4 +∞,R =?∞+∞(,)。
例1.2.8 求下列初等函数的自然定义域与值域。
(1) yx
x
=+
1； (2) y
x
=
arcsin
21
3；
(3) yxx=+?32
2； (4)
2
2
log
34
a
x
y
xx
=
)1,0( ≠> aa 。
解 (1) D =?∞(,)0 ∪(,)0 +∞,R =?∞?(,]2 ∪[,)2 +∞ ；
(2) D =?[,]12,
=
2
π
,
2
π
R ；
(3) D =?[,]13,R = [,]02；
(4) D =?(,)12 ∪(,)4 +∞,R =?∞+∞(,)。
注 当两个函数不仅函数关系相同，而且定义域也相同时，它们表示的是相同的函数，至于自变量与因变量采用什么符号是无关紧要的。
例如 xy sin=,),( +∞?∞∈x 与 vu sin=,),( +∞?∞∈v 表示的是同一个函数。
函数的分段表示，隐式表示与参数表示
函数的分段表示,设 A,B是两个互不相交的集合,)(x? 和 )(xψ
是分别定义在集合 A和集合 B上的函数，则
∈
∈
=
Bxx
Axx
xf
),(
,),(
)(
ψ
是定义在集合 AB∪ 上的函数。 这样的表示方法称为 函数的分段表示。
注 分段表示可以分成任意有限段，甚至无限多段。
例1.2.9 设一辆汽车从甲城驶往乙城。先从出发地驶到高速公路，车速45 km/h,花了 40分钟。然后在高速公路上以100 km/h 的速度行驶了1 小时45 分钟。最后从高速公路出口行驶到乙城的目的地，车速 40 km/h,花了 30分钟。求汽车行驶的路程 s（单位,km (公里 )）与行驶时间 t （单位,h (小时) ）之间的函数关系。
解
2
45,0,
3
22 5
( ) 30 100,2,
331
55 1
205 40 2,2 2
12 12 12
tt
st t t
tt
≤<
=+? ≤<
+? ≤≤
。
例1.2.9 设一辆汽车从甲城驶往乙城。先从出发地驶到高速公路，车速 45 km/h,花了 40分钟。然后在高速公路上以 100 km/h 的速度行驶了 1小时45 分钟。最后从高速公路出口行驶到乙城的目的地，车速 40 km/h,花了 30分钟。求汽车行驶的路程 s（单位,km (公里 )）与行驶时间
t
（单位,h (小时) ）之间的函数关系。
例1.2.10 符号函数 sgn x(图1.2.2),
sgn
,
,
,
x
x
x
x
=
>
=
<
10
00
10
，
，
。
y
x
O
图1.2.2
它的定义域是 D =?∞ +∞(,)，值域是 R =?{,,}101。
1?
1
例1.2.11,整数部分”函数(图1.2.3),
Z∈+<≤== nnxnnxy,1,][
。
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
图 1.2.3
它的定义域是 D =?∞ +∞(,),值域是 Z=R 。
例1.2.12,非负小数部分”函数(图1.2.4),
y xxx= =?() []
,
x ∈?∞ +∞(,)
。
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
图1.2.4
它的定义域是 D =?∞ +∞(,),值域是 )1,0[=R 。
对 x = 34.,有 []x = 3,(),x = 04；对 x =?27.,有 []x =?3,(),x = 03，等等。
显然，对于任意实数 x,成立等式 []x + ()xx= 。
函数的隐式表示,指通过方程 F xy(,)= 0来确定变量 y与 x之间函数关系的方式。
例1.2.13 圆的方程
xyR
22 2
+=
。
函数的隐式表示,指通过方程 F xy(,)= 0来确定变量 y与 x之间函数关系的方式。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
例1.2.14 Kepler方程,
yx y= +εsin,
其中 ε∈(,)01是一个常数。
函数的隐式表示,指通过方程 F xy(,)= 0来确定变量 y与 x之间函数关系的方式。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
例1.2.13 圆的方程
xyR
22 2
+=
。
函数的参数表示,引入第三个变量（例如参数 t），通过建立t
与 x,t与 y之间的函数关系，间接地确定x与 y之间的函数关系，即
[]bat
tyy
txx
,
),(
),(
∈
=
=
。
设
[ ]
{}
(),,Xxxxt tab== ∈，
[ ]
{ }
(),,Yyyyt tab== ∈，上述参数表示所确定的函数关系即为
:
() ()
fX Y
x xt yyt
→
==null 。
例 xyR
22 2
+=所确定的函数关系，可以引入参数 t表示 x轴正向按逆时针方向旋转至射线 OP的角的弧度，其中 P=P(x,y)表示圆上任意一点（图1.2.5）。则对于上半圆周（或下半圆周）,x与 y的函数关系可表示成
[] [ ])π,2π(π,0
,sin
,cos
∈∈
=
=
tx
tRy
tRx
或 。
例 xyR
22 2
+=所确定的函数关系，可以引入参数 t表示 x轴正向按逆时针方向旋转至射线 OP的角的弧度，其中 P=P(x,y)表示圆上任意一点（图1.2.5）。则对于上半圆周（或下半圆周）,x与y 的函数关系可表示成
[] [ ])π,2π(π,0
,sin
,cos
∈∈
=
=
tx
tRy
tRx
或 。
P(x,y)
图 1.2.5
x
y
O
t
旋轮线 又称 摆线,它表示一滚动的轮子上一点的运动轨迹。
例1.2.15 半径为 1 的轮子置于平地上，轮子边缘一点 A与地面相接触。求当轮子滚动时,A点运动的函数表示。
解
y
A
A t
O P π π2 x
图1.2.6
令参数 t 表示轮子转过的角度的弧度，于是得到
[ )∞∈
=
=
,0
,cos1
,sin
t
ty
ttx
。
此即为旋轮线的参数表示。
函数的简单特性
(1) 有界性
定义1.2.3 若存在两个常数 m和 M,使函数 yfx= (),x D∈ 满足
m≤ ≤fx() M,x D∈,
则称函数 f 在 D 有界 。其中m 是它的 下界,M 是它的 上界 。
有界函数的另一等价定义是,
“存在常数 M > 0,使函数 yfx= (),xD∈ 满足 |()|fx M≤,xD∈,。
(2) 单调性
定义1.2.4 对函数 yfx= (),x D∈,若对任意 xx D
12
,∈,当
xx
12
< 时成立 fx fx() ()
12
≤ （ 或 fx fx() ()
12
< ）,则称函数 f 在 D单调增加（ 或 严格单调增加 ）；
对任意 xx D
12
,∈,当 xx
12
< 时成立 fx fx() ()
12
≥ （ 或
fx fx() ()
12
> ）,则称函数 f 在 D单调减少（ 或 严格单调减少）。
函数的简单特性
(1) 有界性
定义1.2.3 若存在两个常数 m和 M,使函数 yfx= (),x D∈ 满足
m≤ ≤fx() M,x D∈,
则称函数 f 在 D有界 。其中m 是它的 下界,M 是它的 上界 。
有界函数的另一等价定义是,
“存在常数 M > 0,使函数 yfx= (),xD∈ 满足 |()|fx M≤,xD∈,。
yx=
3
,ya
x
= （ a >1）,yx
a
= log （ a >1）,arctany x= 等函数
在它们的定义域中都是严格单调增加的；
ya
x
= （ 01< <a ）,yx
a
= log （ 01< <a ）,arccoty x= 等函数
在它们的定义域中都是严格单调减少的；
y x= []是单调增加的，但不是严格单调增加的；
yx=
2
在 (,)?∞ +∞ 不具有单调性，但在 (,]?∞ 0 是严格单调减少的，
在 [,)0 +∞ 是严格单调增加的；
yx= sin 在
+?
2
π
π2,
2
π
π2 nn （ Z∈n ）是严格单调增加的，在
++?+
2
π
π)12(,
2
π
π)12( nn ( Z∈n )是严格单调减少的。
yx=
3
,yx= sin,tanyx= 等函数都是奇函数；
yx=
2
,y x= cos,y x= ||等函数都是偶函数。
(3) 奇偶性
定义1.2.5 设函数 f 的定义域 D关于原点对称,即 x D∈
∈x D。
若对一切 xD∈,成立 fx fx() ()? =,则称函数 f 是 偶函数；
若对一切 xD∈,成立 fx fx() ()? =?,则称函数 f 是 奇函数。
(3) 奇偶性
定义1.2.5 设函数 f 的定义域 D关于原点对称,即 x D∈
∈x D。
若对一切 xD∈,成立 fx fx() ()? =,则称函数 f 是 偶函数；
若对一切 xD∈,成立 fx fx() ()? =?,则称函数 f 是 奇函数。
例1.2.16 判断函数
()
fx
a
aa
x
=
+
>≠
1
1
1
2
01(,)的奇偶性。
解
2
1
1
1
)(?
+
=?
x
a
xf
2
1
1
+
=
x
x
a
a
2
1
1
1
+
+
=
x
x
a
a
2
1
1
1
+
+
=
x
a
)(xf?=,
所以 ()fx
a
x
=
+
1
1
1
2
是奇函数。
yx=
3
,yx= sin,tanyx= 等函数都是奇函数；
yx=
2
,y x= cos,y x= ||等函数都是偶函数。
(4) 周期性
定义1.2.6 若存在常数 T > 0,使得对一切 xD∈,成立
)()( xfTxf =±,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的周期。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期。
yx= sin 是 (,)?∞ +∞ 上的周期函数,π2n ( N∈n )都是它的周期，
其中 π2 是它的最小周期。
tany x= 也是周期函数，它的定义域是 \),( +∞?∞
∈+ Znn,
2
π
π,π是它的最小周期。
(4) 周期性
定义1.2.6 若存在常数 T > 0,使得对一切 xD∈,成立
)()( xfTxf =±,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的周期。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期。
并非每个周期函数都有最小周期。
例1.2.17 Dirichlet函数
Dx
x
x
()
,
,
=
0
1
为无理数，
为有理数。
这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期。因为不存在最小正有理数，所以它不可能有最小周期。
(4) 周期性
定义1.2.6 若存在常数 T > 0,使得对一切 xD∈,成立
)()( xfTxf =±,则称函数 f 是 周期函数,T 称为它的周期。
若存在满足上述条件的最小的 T,则称它为 f 的 最小周期。
yx= sin 是 (,)?∞ +∞ 上的周期函数,π2n ( N∈n )都是它的周期，
其中 π2 是它的最小周期。
tany x= 也是周期函数，它的定义域是 \),( +∞?∞
∈+ Znn,
2
π
π,π是它的最小周期。
两个常用不等式
定理1.2.1（三角不等式） 对于任意实数a 和 b,都有
|||| | | | | | |ab ab a b?≤+≤+。
证 对于任意实数a 和 b，有
≤ ≤|||| ||||ab ab ab,
所以
|| |||||| || ||||||a abb a abb a abb
222222
2?+≤++≤++,
开方后就得到上述不等式。
b
a a+b
图1.2.7
两个常用不等式
定理1.2.1（三角不等式） 对于任意实数a 和 b,都有
|||| | | | | | |ab ab a b?≤+≤+。
定义1.2.7 设 aa a
n12
，，，null 是 n个正数,
称
aa a
n
n12
+++null
是它们的算术平均值；
aa a
n
n
12
null 是它们的几何平均值；
+++
n
aaa
n
111
21
null 是它们的调和平均值。
定理1.2.2（平均值不等式） 对任意 n个正数 aa a
n12
，，，null,
aa a
n
n12
+ + +null
≥ aa a
n
n
12
null ≥
+++
n
aaa
n
111
21
null,
等号当且仅当 aa a
n12
，，，null 全部相等时成立 。
定义1.2.7 设 aa a
n12
，，，null 是 n个正数,
称
aa a
n
n12
+++null
是它们的算术平均值；
aa a
n
n
12
null 是它们的几何平均值；
+++
n
aaa
n
111
21
null 是它们的调和平均值 。
证 先证明左边的不等式
aa a
n
n12
+ + +null
≥ aa a
n
n
12
null 。
当 n = 12,时，不等式显然成立。
当 n
k
= 2 （
+
∈Nk ）时，不等式是
ab+
2
≥ ab 的直接推论。
当 n
k
≠ 2 时，取
+
∈Nl,使 22
1ll
n
< < 。记
aa a
n
n
12
null = a,
在
n
aaa,,,
21
null 后面加上( 2
l
n? )个 a,将其扩充成 2
l
个正数。对这 2
l
个正数应用不等式，得到
[]anaaa
l
n
l
)2(
2
1
21
++++ null ≥ ( )
l
l
n
n
aaaa
2
1
2
21
null = a,
整理后即有
aa a
n
n12
+ + +null
≥ aa a
n
n
12
null 。
对
n
aaa
1
,,
1
,
1
21
null 使用上面的结论，便得到右边的不等式。
