一致收敛的判别
定理 10.2.1 （ 函数项级数一致收敛的 Cauchy 收敛原理 ） 函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在D上一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的
ε >0，存在正整数N = N(ε )，使
│ )(
1
xu
n+
+ )(
2
xu
n+
++ "u
m
(x)│ <ε
对一切正整数m>n>N 与一切x∈D成立。
§ 2 一致收敛级数的判别与性质证 必要性。设
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 D 上一致收敛，记和函数为 S(x)，则对任意给定的 0ε >,存在正整数 N = ()N ε,使得对一切 n>N 与一切
x∈D，成立
)()(
1
xSxu
n
k
k
∑
=
<
2
ε
。
于是对一切 m>n>N 与一切 x∈D，成立
│ )(
1
xu
n+
+ )(
2
xu
n+
++ "u
m
(x)│ =?
∑
=
m
k
k
xu
1
)(
∑
=
n
k
k
xu
1
)(
≤ +?
∑
=
)()(
1
xSxu
m
k
k
)()(
1
xSxu
n
k
k
∑
=
<ε。
充分性。设任意给定的 ε >0，存在正整数 N = N(ε )，使得对一切
m>n>N 与一切 x∈D，成立
│ )(
1
xu
n+
+ )(
2
xu
n+
++ "u
m
(x)│=?
∑
=
m
k
k
xu
1
)(
∑
=
n
k
k
xu
1
)( <
2
ε
固定 x∈D，则数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设
S(x) =
∑
∞
=1
)(
n
n
xu,x∈D,
在?
∑
=
m
k
k
xu
1
)(
∑
=
n
k
k
xu
1
)( <
2
ε
中固定 n,令 ∞→m,则得到
)()(
1
xSxu
n
k
k
∑
=
≤
2
ε
<ε
对一切 x
∈
D 成立，因而
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 D 上一致收敛于 S(x)。
函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理,
函数序列{ S
n
(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是,
ε >0,? N,?m>n>N,?x∈D,
│ S
m
(x) - S
n
(x)│ <ε 。
定理 10.2.2 (Weierstrass 判别法 ) 设函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu （ x∈D）
的每一项u
n
(x)满足
│ u
n
(x)│ ≤ a
n
,x∈D,
并且数项级数
∑
∞
=1n
n
a收敛，则
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在D上一致收敛。
函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理,
函数序列{ S
n
(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是,
ε >0,? N,?m>n>N,?x∈D,
│ S
m
(x) - S
n
(x)│ <ε 。
证 由于对一切 x∈D 和正整数 m>n，有
│ )(
1
xu
n+
+ )(
2
xu
n+
++ " u
m
(x)│
≤ │ )(
1
xu
n+
│ +│ )(
2
xu
n+
│ ++ "│u
m
(x)│
≤
1+n
a +
2+n
a ++ "a
m
,
由定理 10.2.1 和数项级数的 Cauchy 收敛原理，即得到
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 D
上一致收敛。
注 此时不仅
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 D 上一致收敛，并且
∑
∞
=1
|)(|
n
n
xu 也在 D 上一致收敛。
例 10.2.1 若
∑
∞
=1n
n
a 绝对收敛，则
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在
),( +∞?∞ 上一致收敛。如：
∑
∞
=1
cos
n
p
n
nx
（ p>1），
∑
∞
=
+
1
2
1
sin)1(
n
n
n
nx
等函数项级数都在 ),( +∞?∞ 上一致收敛。
例 10.2.2 函数项级数
1
e
nx
n
x
α
∞
=
∑
)1( >α 在 ),0[ +∞ 上一致收敛。
证 记
() e
nx
n
ux x
α?
=,
则
1
() e ( )
nx
n
ux x nx
α
α
′
=?。可知 )(xu
n
在
n
x
α
= 处达到最大值
1
e n
α
α
α
，即
1
0()
e
n
ux
n
α
α
α
≤≤
,),0[ +∞∈x 。
由于 1>α,正项级数
1
1
e
n
n
α
α
α
∞
=
∑
收敛，由 Weierstrass 判别法，
1
e
nx
n
x
α
∞
=
∑
)1( >α 在 ),0[ +∞ 上一致收敛。
例10.2.3 函数项级数
1
e
nx
n
x
α
∞
=
∑
(0 1)α< ≤ 在 ),0[ +∞ 上非一致收敛。
证 记
() e
nx
n
ux x
α?
=,
我们证明
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 ),0[ +∞ 上不满足定理 10.2.1（函数项级数一致收 敛的 Cauchy 收敛原理）的条件。注意到有不等式
=
∑
+=
n
nk
k
xu
2
1
)(
(1)
e
nx
x
α?+
+
(2)
e
nx
x
α?+
+ + "
2
e
nx
x
α?
≥
2
e
nx
nx
α?
,
取
2
0
e0ε
= >,对于任意的自然数 N,可取 )(2 Nnnm >= 与
[ )+∞∈=,0
1
n
x
n
，由于 1≤α,于是成立
≥
∑
+=
n
nk
nk
xu
2
1
)(
2
e
n
nx
n
nx
α? 2
0
e ε
≥=。
由定理 10.2.1,函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 ),0[ +∞ 上非一致收敛。
定理 10.2.3 设函数项级数
∑
∞
=1
)()(
n
nn
xbxa （ x∈D）满足如下两个条件之一，则
∑
∞
=1
)()(
n
nn
xbxa在D上一致收敛。
⑴ （ Abel 判别法 ）函数序列{ a
n
(x)}对每一固定的x∈D 关于 n
是单调的，且{a
n
(x)}在D上一致有界,
│ a
n
(x)│ ≤M,x∈D,n∈N
+；
同时，
∑
∞
=1
)(
n
n
xb在D上一致收敛。
⑵ （ Dirichlet 判别法）函数序列{ a
n
(x)}对每一固定的x∈D关于
n是单调的，且{a
n
(x)}在D上一致收敛于0；同时，函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xb
的部分和序列在D上一致有界,
∑
=
n
k
k
xb
1
)( ≤M,x∈D,n∈N
+
。
证 ⑴ 由
∑
∞
=1
)(
n
n
xb 在 D 上的一致收敛性，对任意给定的 ε >0，存在正整数 N = N(ε )，使得
∑
∞
+= 1
)(
nk
k
xb <ε
对一切 m>n>N 与一切 x∈D 成立。应用 Abel 引理，得到
∑
+=
m
nk
kk
xbxa
1
)()( ≤ε (│ )(
1
xa
n+
│+ 2│a
m
(x)│ )≤3Mε
对一切 m>n>N 与一切 x∈D成立,根据 Cauchy 收敛原理( 定理 10.2.1)，
∑
∞
=1
)()(
n
nn
xbxa 在 D 上一致收敛。这就证明了 Abel 判别法。
⑵ 由 {a
n
(x)}在 D 上一致收敛于 0，对任意给定的 ε >0，存在正整数 N = N(ε )，当 n>N 时，对一切 x∈D 成立
│ a
n
(x)│ <ε。
由于对一切 m>n>N,
∑
+=
m
nk
k
xb
1
)( =?
∑
=
m
k
k
xb
1
)(
∑
=
n
k
k
xb
1
)( ≤2M,
应用 Abel 引理，得到
∑
+=
m
nk
kk
xbxa
1
)()( ≤2M (│ )(
1
xa
n+
│+2│ a
m
(x)│ )<6Mε
对一切 x∈D 成立。根据 Cauchy 收敛原理 (定理 10.2.1)，
∑
∞
=1
)()(
n
nn
xbxa
在 D 上一致收敛。这就证明了 Dirichlet 判别法。
注 在定理 10.2.3 的两个判别法的条件中，都要求{ a
n
(x)}关于 n
单调，请读者思考是什么原因。
例10.2.4 设
∑
∞
=1n
n
a 收敛，则
∑
∞
=1n
n
a x
n
在[0,1] 上一致收敛。
证 显然 {x
n
}关于 n 单调，且
│ x
n
│ ≤1,x∈ ]1,0[
对一切 n 成立；
∑
∞
=1n
n
a 是数项级数，它的收敛性就意味着关于 x 的一致收敛性。由 Abel 判别法，得到
∑
∞
=1n
n
n
xa 在 ]1,0[ 上的一致收敛性。
特别地，如
n
n
p
n
x
n
∑
∞
=
1
)1(
（ 0>p ）在 ]1,0[ 上一致收敛。
例 10.2.5 设 {a
n
}单调收敛于 0，则
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在
(0,2π) 上内闭一致收敛。
证 数列{ a
n
}收敛于 0 意味着关于 x 一致收敛于 0。另外，对 任意 0 πδ< <,当 x∈[,2π ]δ δ? 时,
∑
=
n
k
kx
1
cos =
2
sin2
2
sin
2
1
sin
x
x
xn?
+
≤
2
sin
1
δ；
∑
=
n
k
kx
1
sin =
2
sin2
2
cos
2
1
cos
x
x
xn?
+
≤
2
sin
1
δ
。
由 Dirichlet 判别法，得到
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在 [,2π ]δ δ? 上的一 致收敛性。
一致收敛级数的性质
定理 10.2.4 （ 连续性定理） 设函数序列{S
n
(x)}的每一项S
n
(x)
在[a,b] 上连续，且在[a,b]上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b] 上也连续。
证 设
0
x 是 [a,b]中任意一点。
由 {S
n
(x)}在 [a,b]上一致收敛于 S(x)，可知对任意给定的 ε >0，存在正整数 N，使得
│ S
N
(x)-S(x)│ <
3
ε
对一切 x∈[a,b]成立。特别，对
0
x 与任意的
0
x +h∈[a,b]，成立
│ S
N
(
0
x )-S(
0
x )│ <
3
ε
,
│ S
N
(
0
x +h)-S(
0
x +h)│ <
3
ε
。
由于 S
N
(x)在[ a,b]上连续，所以存在 δ >0，当│h │ <δ 时,
│S
N
(
0
x +h)-S
N
(
0
x )│ <
3
ε
。
于是当│h │ <δ 时,
│S (
0
x +h)-S(
0
x )│ ≤ |S(
0
x +h)-S
N
(
0
x +h)│
+│ S
N
(
0
x +h)-S
N
(
0
x )│+│ S
N
(
0
x )-S(
0
x )│ <ε,
所以 S(x)在
0
x 连续。
由
0
x 在[ a,b]中的任意性，就得到 S(x)在[ a,b]上连续。
在定理 10.2.4 条件下，成立
0
lim
xx→ ∞→n
lim S
n
(x) =
∞→n
lim
0
lim
xx→
S
n
(x),
即两个极限运算可以交换次序。
由于 S
N
(x)在[ a,b]上连续，所以存在 δ >0，当│h │ <δ 时,
│S
N
(
0
x +h)-S
N
(
0
x )│ <
3
ε
。
于是当│h │ <δ 时,
│S (
0
x +h)-S(
0
x )│ ≤ |S(
0
x +h)-S
N
(
0
x +h)│
+│ S
N
(
0
x +h)-S
N
(
0
x )│+│ S
N
(
0
x )-S(
0
x )│ <ε,
所以 S(x)在
0
x 连续。
由
0
x 在[ a,b]中的任意性，就得到 S(x)在[ a,b]上连续。
对应到函数项级数，连续性定理可以表述为,
定理 10.2.4' 设对每个n,u
n
(x)在[a,b]上连续，且
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在
[a,b]上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b] 上连续。这时，对任意的∈
0
x
[a,b]，成立
0
lim
xx→
∑
∞
=1
)(
n
n
xu =
∑
∞
=
→
1
)(lim
0
n
n
xx
xu,
即极限运算与无限求和运算可以交换次序。
注 由于连续性是函数的一种局部性质,因此，在每个 u
n
(x)（或
S
n
(x)）在 开区间 (a,b)上连续的前提下，只要
∑
∞
=1
)(
n
n
xu （或{ S
n
(x)}）在 (a,
b)上内闭一致收敛于 S(x)，就足以保证 S(x)在 (a,b)上连续。
例 10.2.6 由例 10.2.5，当 {a
n
}单调收敛于 0 时，函数项级数
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在 (0,2 π)上都是内闭一致收敛的。由于每项
a
n
nxsin 与 a
n
nxcos 关于 x 都是连续的，由定理 10.2.4，
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在 (0,2π)上都是连续的。例如
∑
∞
=1
sin
n
n
nx
，
∑
∞
=
+
1
2
1
cos
n
n
nxn
等，都是 (0,
2π)上的连续函数。
定理 10.2.5 设函数序列{S
n
(x)}的每一项S
n
(x)在[a,b] 上连续，
且在[a,b] 上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b]上可积，且
∫
b
a
xS )( dx =
∞→n
lim
∫
b
a
n
xS )( dx。
证 由定理 10.2.4,S(x)在 [a,b]连续,因而在[ a,b]可积。 由于{ S
n
(x)}
在 [a,b]上一致收敛于 S(x)，所以对任意给定的 ε >0，存在正整数 N，
当 n>N 时,
│ S
n
(x)-S(x)│ <ε
对一切 x∈[a,b]成立，于是
∫
b
a
n
xxS d)(
∫
b
a
xxS d)( ≤
∫
b
a
n
xSxS |)()(| dx<(b-a) ε 。
在定理 10.2.5 条件下，成立
∫
∞→
b
a n
lim S
n
(x) dx =
∞→n
lim
∫
b
a
n
xS )( dx,
即积分运算可以和极限运算交换次序。
定理 10.2.5 设函数序列{S
n
(x)}的每一项S
n
(x)在[a,b] 上连续，
且在[a,b] 上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b]上可积，且
∫
b
a
xS )( dx =
∞→n
lim
∫
b
a
n
xS )( dx。
证 由定理 10.2.4,S(x)在 [a,b]连续,因而在[ a,b]可积。 由于{ S
n
(x)}
在 [a,b]上一致收敛于 S(x)，所以对任意给定的 ε >0，存在正整数 N，
当 n>N 时,
│ S
n
(x)-S(x)│ <ε
对一切 x∈[a,b]成立，于是
∫
b
a
n
xxS d)(
∫
b
a
xxS d)( ≤
∫
b
a
n
xSxS |)()(| dx<(b-a) ε 。
对应到函数项级数，就得到
定理 10.2.5'（逐项积分定理） 设对每个n,u
n
(x)在[a,b]上连续，且
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[a,b]上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b]上可积，且
∫
b
a
xS )( dx=
∫
∑
∞
=
b
a
n
n
xxu d)(
1
=
∑
∫
∞
=1
d)(
n
b
a
n
xxu,
即积分运算可以和无限求和运算交换次序。
注 在定理 10.2.5（或定理 10.2.5'）的条件下，可以得到“对任意固定的],[
0
bax ∈,函数序列 {
∫
x
x
n
tS
0
)( d t}（或函数项级数
∑
∫
∞
=1
0
d)(
n
x
x
n
ttu ）
在[a,b]上一致收敛于
∫
x
x
tS
0
)( d t,的结论。
对应到函数项级数，就得到
定理 10.2.5'（逐项积分定理） 设对每个n,u
n
(x)在[a,b]上连续，且
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[a,b]上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b]上可积，且
∫
b
a
xS )( dx=
∫
∑
∞
=
b
a
n
n
xxu d)(
1
=
∑
∫
∞
=1
d)(
n
b
a
n
xxu,
即积分运算可以和无限求和运算交换次序。
例 10.2.7 证明：当 )1,1(?∈x 时，成立
∑
∞
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
= x
3
1
x
3
xx arctan
5
1
5
=?+ "。
证 对任意 )1,1(?∈x,可以取到 δ >0，使 x∈[1,1 ]δ δ? +?。由于在区间 [1,1 ]δ δ?+? 上，有
22221
)1()1(
≤?
nnn
x δ,而
∑
∞
=
1
22
)1(
n
n
δ 收敛，
由 Weierstrass 判别法,函数项级数
∑
∞
=
1
221
)1(
n
nn
x 在 [1,1 ]δ δ? +?上一致收敛，且
∑
∞
=
0
221
)1(
n
nn
x 在 [1,1 ]δ δ? +?上的和函数为 S(x) =
2
1
1
x+
。
应用定理 10.2.5' 进行逐项求积分
∑
∫
∞
=
1
0
221
)1(
n
x
nn
t d t =
∫
+
x
t
t
0
2
1
d
,
即得到
∑
∞
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
= x
3
1
x
3
xx arctan
5
1
5
=?+ "。
上式对一切 )1,1(?∈x 成立。
例10.2.8 证明：当 )1,1(?∈x 时，成立
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
n
x
n
= x
2
2
1
x? )1ln(
3
1
3
xx +=?+ "。
证 对任意 )1,1(?∈x,取 δ >0，使 x∈[1,1 ]δ δ? +?。类似例 10.2.7，
可知函数项级数
∑
∞
=
1
11
)1(
n
nn
x 在 [1,1 ]δ δ? +?上一致收敛于 S(x) =
x+1
1
。
应用定理 10.2.5' 进行逐项积分
∑
∫
∞
=
1
0
11
)1(
n
x
nn
t d t =
∫
+
x
t
t
0
1
d
,
即得到
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
n
x
n
= x
2
2
1
x? )1ln(
3
1
3
xx +=?+ ",)1,1(?∈x 。
定理 10.2.6 设函数序列{S
n
(x)}满足
⑴ S
n
(x)（ ",2,1=n ）在[a,b]上有连续的导函数；
⑵ {S
n
(x)}在[a,b]上点态收敛于S(x)；
⑶ {S'
n
(x)}在[a,b]上一致收敛于()xσ,
则S(x)在[a,b]上可导，且
xd
d
S(x) = ()xσ 。
证 由定理 10.2.4 与 10.2.5，可知 ()xσ 在 [a,b]连续，且
()
x
a
tσ
∫
d t =
∞→n
lim
∫
′
x
a
n
tS )( d t =
∞→n
lim [S
n
(x)-S
n
(a)] = S(x)-S(a)。
由于上式左端可导，可知 S(x)也可导，且 =
′
)(xS ()xσ 。
在定理 10.2.6 的条件下，成立
xd
d
∞→n
lim S
n
(x) =
∞→n
lim
xd
d
S
n
(x)。
即求导运算可以与极限运算交换次序。
定理 10.2.6 设函数序列{S
n
(x)}满足
⑴ S
n
(x)（ ",2,1=n ）在[a,b]上有连续的导函数；
⑵ {S
n
(x)}在[a,b]上点态收敛于S(x)；
⑶ {S'
n
(x)}在[a,b]上一致收敛于()xσ,
则S(x)在[a,b]上可导，且
xd
d
S(x) = ()xσ 。
证 由定理 10.2.4 与 10.2.5，可知 ()xσ 在 [a,b]连续，且
()
x
a
tσ
∫
d t =
∞→n
lim
∫
′
x
a
n
tS )( d t =
∞→n
lim [S
n
(x)-S
n
(a)] = S(x)-S(a)。
由于上式左端可导，可知 S(x)也可导，且 =
′
)(xS ()xσ 。
对应到函数项级数，就得到
定理 10.2.6'（逐项求导定理） 设函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu满足
⑴ u
n
(x)（ ",2,1=n ）在[ a,b]上有连续的导函数；
⑵
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[a,b]上点态收敛于S(x)；
⑶
∑
∞
=
′
1
)(
n
n
xu在[a,b]上一致收敛于)(xσ,
则S(x) =
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[ a,b]上可导，且
xd
d
∑
∞
=1
)(
n
n
xu =
∑
∞
=1
)(
d
d
n
n
xu
x
,
即求导运算可以与无限求和运算交换次序。
注 ⑴ 根据定理 10.2.5 和定理 10.2.5'的注,由 {S'
n
(x)}(或
∑
∞
=
′
1
)(
n
n
xu )
在 [a,b]上一致收敛于 ()xσ 出发，可得到{ S
n
(x)}(或
∑
∞
=1
)(
n
n
xu )在 [a,b]上不仅点态收敛，而且是一致收敛于 S(x)的结论。
⑵ 与连续性类似，由于可导性也是函数的一种局部性质，因此，
在
∑
∞
=1
)(
n
n
xu (或 {S
n
(x)})在 (a,b)收敛于 S(x),并且每个 u
n
(x)（或 S
n
(x)）在
(a,b)上有连续导函数的前提下，同样只要
∑
∞
=
′
1
)(
n
n
xu (或 { )(xS
n
′
})在 (a,b)
上内闭一致收敛，就足以保证 S(x)在开区间( a,b)上可导。
例10.2.9 证明：对一切 )1,1(?∈x,成立
∑
∞
=1n
n
nx = x + 2x
2
+ 3x
3
2
)1( x
x
=+ "。
证 函数项级数
∑
∞
=0n
n
x 在 (1,1)? 上点态收敛于 S(x) =
x?1
1
，而
∑
∞
=0n
n
x
经过逐项求导，得到
∑
∞
=
1
1
n
n
nx,对任意 0< ρ <1，当 [,]x ρ ρ∈? 时,
│ n
1?n
x │ ≤ n
1n
ρ
,
由
1
1
n
n
nρ
∞
=
∑
的收敛性，应用 Weierstrass 判别法 (定理 10.2.2)，可知
∑
∞
=
1
1
n
n
nx 在 [,]ρ ρ? 上一致收敛，换言之，函数项级数
∑
∞
=
1
1
n
n
nx 在 (1,1)? 上内闭一致收敛。
应用定理 10.2.6'，对
∑
∞
=0n
n
x =
x?1
1
进行逐项求导，即得到
∑
∞
=
1
1
n
n
nx =
2
)1(
1
x?
,
两边同时乘上 x，就得到
∑
∞
=1n
n
nx = x + 2x
2
+ 3x
3
2
)1( x
x
=+ "。
上式对一切 )1,1(?∈x 成立。
注 定理 10.2.4，定理 10.2.5 与定理 10.2.6 中的条件都是充分 而非必要的。对于定理 10.2.4 与定理 10.2.5，可以考虑例 10.1.8 中的
S
n
(x) =
22
1 xn
nx
+
，函数序列{ S
n
(x)}在 [0,1]收敛于 S(x) = 0，但收敛不 是一致的，然而 S(x) = 0 在 [0,1]连续而且可积，并且
∫
1
0
)(xS
n
dx =
n2
1
∫
+
+
1
0
22
22
1
)1d(
xn
xn
=
n2
1
)1ln(
22
xn+
∫
→
1
0
)(xS dx = 0 ( ∞→n )。
对于定理 10.2.6,可以考虑 f
n
(x) =
n2
1
ln (
22
1 xn+ ),函数序列{ f
n
(x)
在 [0,1]收敛于 f(x) = 0。由于 =
′
)(xf
n
S
n
(x) =
22
1 xn
nx
+
,{ )(xf
n
′
}在
[0,1]收敛于 S(x) = 0,但并非一致收敛。 虽然 {f
n
(x)}不满足定理 10.2.6
的条件，但仍然有 =′ )(xf S(x)的结论。
定理 10.2.4 的逆命题一般来说不成立，即 [a,b]区间上连续的函数序列 {S
n
(x)}收敛于连续函数 S(x)并不意味收敛在 [a,b]上具有一致性。但是在一定的条件下,可以得到收敛在 [a,b]上具有一致性的结论。
定理 10.2.7 (Dini 定理 ) 设函数序列{S
n
(x)}在闭区间[a,b]上点态收敛于S(x)，如果
⑴ S
n
(x)（ ",2,1=n ）在[a,b]上连续；
⑵ S(x)在[a,b]上连续；
⑶ {S
n
(x)}关于n单调，即对任意固定的x∈[a,b],{S
n
(x)}是单调数列,
则{S
n
(x)}在[a,b]上一致收敛于S(x)。
证 用反证法。设{ S
n
(x)}在 [a,b]上不一致收敛于 S(x)，则
0
ε >0,? N>0，? n>N,? x∈ [a,b]：│S
n
(x)-S(x)│ ≥
0
ε 。
依次取,
N＝1，? n
1
>1，?
1
x ∈[a,b]：│
1
n
S (
1
x )-S(
1
x )│ ≥
0
ε,
N＝n
1
，? n
2
>n
1
，?
2
x ∈[a,b]：│
2
n
S (
2
x )-S(
2
x )│ ≥
0
ε,
……
N＝n
k
-
1
,?n
k
>n
k
-
1
，?
k
x ∈[a,b]：│
k
n
S (
k
x )-S(
k
x )│ ≥
0
ε,
……
于是得到数列 {x
k
}，x
k
∈[a,b]。
由 Weierstrass 定理，{ x
k
}必有收敛子列。为叙述方便，不妨设
k
x ξ→ ∈[a,b]（ ∞→k ） 。由于
∞→n
lim S
n
(ξ ) = S(ξ )，所以对
0
ε >0，存在 N，
成立
│S
N
(ξ )-S(ξ )│ <
0
2
ε
。
由条件⑴与⑵,S
N
(x) - S(x)在 x=ξ连续，由于
k
x ξ→ （ ∞→k ）,存 在正整数 K，使
│ S
N
(x
k
)-S(x
k
)│ <
0
ε
对一切 k>K 成立。
现利用条件⑶，即{S
n
(x)}关于 n 的单调性，则当 n>N 与 k>K 时，
│ S
n
(x
k
)-S(x
k
)│ ≤│ S
N
(x
k
)-S(x
k
)│ <
0
ε 。
由于 ∞→
k
n （ ∞→k ）,当 k 充分大时，总能满足 k>K 与 n
k
>N，
于是成立
│
k
n
S (
k
x )-S(
k
x )│ <
0
ε,
这就与
│
k
n
S (
k
x )-S(
k
x )│ ≥
0
ε （ k ∈
+
N ）
产生矛盾。
注 定理 10.2.7 中的闭区间 [a,b]不能换成开区间 (a,b)。
对应函数项级数，得到
定理 10.2.7' 设函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在闭区间[a,b]上点态收敛于S(x)，如果
⑴ u
n
(x)（ ",2,1=n ）在[a,b]上连续；
⑵ S(x)在[a,b]上连续；
⑶ 对任意固定的x∈[a,b]，
∑
∞
=1
)(
n
n
xu是正项级数或负项级数,
则
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[a,b]上一致收敛于S(x)。
处处不可导的连续函数之例
在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。
随着级数理论的发展，Weierstrass 于 1872 年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结,
()
0
() sin
nn
n
f xabx
∞
=
=
∑
,ba <<< 10,1>ab 。
下图显示不同参数所对应的Weierstrass 函数的图像下面的反例是由荷兰数学家 Van Der Waerden 于 1930 年给出的。
假设? (x)表示 x 与最邻近的整数之间的距离，例如当 x = 1.26，
则? (x) = 0.26；当 x = 3.67，则? (x) = 0.33。显然? (x)是周期为 1 的连续函数，且 () 1/2x? ≤ 。
注意：当 yx,]
2
1
,[ +∈ kk 或 ]1,
2
1
[ ++ kk 时，成立 |||)()(| yxyx?= 。
Van Der Waerden 的反例为：
)(xf =
0
(10 )
10
n
n
n
x?
∞
=
∑
。
由
(10 )
10
n
n
x?
≤
n
102
1
，及
∑
∞
=
0
102
1
n
n
的收敛性，根据 Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于 ),( +∞?∞∈x 一致收敛。所以 )(xf 在 ),( +∞?∞ 连续。
现考虑 )(xf 在任意一点 x 的可导性。由于 )(xf 的周期性，不妨设
10 <≤ x,并将 x 表示成无限小数
x = 0.a
1
a
2
… a
n
…。
当 x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0。然后取
h
m
=
=?
=
,9,4,10
,8,7,6,5,3,2,1,0,10
m
m
m
m
a
a
当当
例如设 x = 0.309546…，则我们取 h
1
=
1
10
,h
2
=
2
10
,h
3
=
3
10
,
h
4
=
4
10
,h
5
=
5
10
,h
6
=
6
10
，…。显然
0→
m
h
( ∞→m )。
由
(10 )
10
n
n
x?
≤
n
102
1
，及
∑
∞
=
0
102
1
n
n
的收敛性，根据 Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于 ),( +∞?∞∈x 一致收敛。所以 )(xf 在 ),( +∞?∞ 连续。
现在证明极限
m
m
m
h
xfhxf )()(
lim
+
∞→
不存在。
m
m
h
xfhxf )()(?+
=
0
(10 ( )) (10 )
10
nn
m
n
n
m
x hx
h
∞
=
+?
∑
1
0
(10 ( )) (10 )
10
nn
m
m
n
n
m
xh x
h
=
+?
=
∑
(10 ( )) (10 )
10
nn
m
n
nm
m
xh x
h
∞
=
+?
+
∑
。
当 mn ≥ 时,? (10
n
(x + h
m
)) =? (10
n
x±
mn?
10 ) =? (10
n
x)，所以
m
m
h
xfhxf )()(?+
1
0
(10 ( )) (10 )
10
nn
m
m
n
n
m
x hx
h
=
+?
=
∑
。
当 1,,2,1,0?= mn "，在 x
n
10 的表示中
m
a 的位置是第 nm? 位小数,
,.10
121
" " "
mnn
n
aaaaax
+
=
,)1(.)(10
121
" " "±=+
+ mnnm
n
aaaaahx
由
m
h 的取法，可知 10
n
(x + h
m
)与
n
10 x 同时属于 ]
2
1
,[ +kk 或 ]1,
2
1
[ ++ kk,
因此
(
n
10 (x +
m
h ))-? (
n
10 x) =±
m
n
h10,
于是得到
m
m
h
xfhxf )()(?+
=
∑
=
±
1
0
1
m
n
,
等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知极限
∞→m
lim
m
m
h
xfhxf )()(?+
不存在，也就是说,)(xf 在任意一点 x 是不可导的。这样，一个处处连续,但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。
Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”
的产生。
所谓“分形”,就是指几何上的一种“形”,它的局部与整体按某种方式具有相似性。,形”的这种性质又称为“自相似性” 。
经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述的“自相似性” 。如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科。
定理 10.2.1 （ 函数项级数一致收敛的 Cauchy 收敛原理 ） 函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在D上一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的
ε >0，存在正整数N = N(ε )，使
│ )(
1
xu
n+
+ )(
2
xu
n+
++ "u
m
(x)│ <ε
对一切正整数m>n>N 与一切x∈D成立。
§ 2 一致收敛级数的判别与性质证 必要性。设
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 D 上一致收敛，记和函数为 S(x)，则对任意给定的 0ε >,存在正整数 N = ()N ε,使得对一切 n>N 与一切
x∈D，成立
)()(
1
xSxu
n
k
k
∑
=
<
2
ε
。
于是对一切 m>n>N 与一切 x∈D，成立
│ )(
1
xu
n+
+ )(
2
xu
n+
++ "u
m
(x)│ =?
∑
=
m
k
k
xu
1
)(
∑
=
n
k
k
xu
1
)(
≤ +?
∑
=
)()(
1
xSxu
m
k
k
)()(
1
xSxu
n
k
k
∑
=
<ε。
充分性。设任意给定的 ε >0，存在正整数 N = N(ε )，使得对一切
m>n>N 与一切 x∈D，成立
│ )(
1
xu
n+
+ )(
2
xu
n+
++ "u
m
(x)│=?
∑
=
m
k
k
xu
1
)(
∑
=
n
k
k
xu
1
)( <
2
ε
固定 x∈D，则数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设
S(x) =
∑
∞
=1
)(
n
n
xu,x∈D,
在?
∑
=
m
k
k
xu
1
)(
∑
=
n
k
k
xu
1
)( <
2
ε
中固定 n,令 ∞→m,则得到
)()(
1
xSxu
n
k
k
∑
=
≤
2
ε
<ε
对一切 x
∈
D 成立，因而
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 D 上一致收敛于 S(x)。
函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理,
函数序列{ S
n
(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是,
ε >0,? N,?m>n>N,?x∈D,
│ S
m
(x) - S
n
(x)│ <ε 。
定理 10.2.2 (Weierstrass 判别法 ) 设函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu （ x∈D）
的每一项u
n
(x)满足
│ u
n
(x)│ ≤ a
n
,x∈D,
并且数项级数
∑
∞
=1n
n
a收敛，则
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在D上一致收敛。
函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理,
函数序列{ S
n
(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是,
ε >0,? N,?m>n>N,?x∈D,
│ S
m
(x) - S
n
(x)│ <ε 。
证 由于对一切 x∈D 和正整数 m>n，有
│ )(
1
xu
n+
+ )(
2
xu
n+
++ " u
m
(x)│
≤ │ )(
1
xu
n+
│ +│ )(
2
xu
n+
│ ++ "│u
m
(x)│
≤
1+n
a +
2+n
a ++ "a
m
,
由定理 10.2.1 和数项级数的 Cauchy 收敛原理，即得到
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 D
上一致收敛。
注 此时不仅
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 D 上一致收敛，并且
∑
∞
=1
|)(|
n
n
xu 也在 D 上一致收敛。
例 10.2.1 若
∑
∞
=1n
n
a 绝对收敛，则
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在
),( +∞?∞ 上一致收敛。如：
∑
∞
=1
cos
n
p
n
nx
（ p>1），
∑
∞
=
+
1
2
1
sin)1(
n
n
n
nx
等函数项级数都在 ),( +∞?∞ 上一致收敛。
例 10.2.2 函数项级数
1
e
nx
n
x
α
∞
=
∑
)1( >α 在 ),0[ +∞ 上一致收敛。
证 记
() e
nx
n
ux x
α?
=,
则
1
() e ( )
nx
n
ux x nx
α
α
′
=?。可知 )(xu
n
在
n
x
α
= 处达到最大值
1
e n
α
α
α
，即
1
0()
e
n
ux
n
α
α
α
≤≤
,),0[ +∞∈x 。
由于 1>α,正项级数
1
1
e
n
n
α
α
α
∞
=
∑
收敛，由 Weierstrass 判别法，
1
e
nx
n
x
α
∞
=
∑
)1( >α 在 ),0[ +∞ 上一致收敛。
例10.2.3 函数项级数
1
e
nx
n
x
α
∞
=
∑
(0 1)α< ≤ 在 ),0[ +∞ 上非一致收敛。
证 记
() e
nx
n
ux x
α?
=,
我们证明
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 ),0[ +∞ 上不满足定理 10.2.1（函数项级数一致收 敛的 Cauchy 收敛原理）的条件。注意到有不等式
=
∑
+=
n
nk
k
xu
2
1
)(
(1)
e
nx
x
α?+
+
(2)
e
nx
x
α?+
+ + "
2
e
nx
x
α?
≥
2
e
nx
nx
α?
,
取
2
0
e0ε
= >,对于任意的自然数 N,可取 )(2 Nnnm >= 与
[ )+∞∈=,0
1
n
x
n
，由于 1≤α,于是成立
≥
∑
+=
n
nk
nk
xu
2
1
)(
2
e
n
nx
n
nx
α? 2
0
e ε
≥=。
由定理 10.2.1,函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu 在 ),0[ +∞ 上非一致收敛。
定理 10.2.3 设函数项级数
∑
∞
=1
)()(
n
nn
xbxa （ x∈D）满足如下两个条件之一，则
∑
∞
=1
)()(
n
nn
xbxa在D上一致收敛。
⑴ （ Abel 判别法 ）函数序列{ a
n
(x)}对每一固定的x∈D 关于 n
是单调的，且{a
n
(x)}在D上一致有界,
│ a
n
(x)│ ≤M,x∈D,n∈N
+；
同时，
∑
∞
=1
)(
n
n
xb在D上一致收敛。
⑵ （ Dirichlet 判别法）函数序列{ a
n
(x)}对每一固定的x∈D关于
n是单调的，且{a
n
(x)}在D上一致收敛于0；同时，函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xb
的部分和序列在D上一致有界,
∑
=
n
k
k
xb
1
)( ≤M,x∈D,n∈N
+
。
证 ⑴ 由
∑
∞
=1
)(
n
n
xb 在 D 上的一致收敛性，对任意给定的 ε >0，存在正整数 N = N(ε )，使得
∑
∞
+= 1
)(
nk
k
xb <ε
对一切 m>n>N 与一切 x∈D 成立。应用 Abel 引理，得到
∑
+=
m
nk
kk
xbxa
1
)()( ≤ε (│ )(
1
xa
n+
│+ 2│a
m
(x)│ )≤3Mε
对一切 m>n>N 与一切 x∈D成立,根据 Cauchy 收敛原理( 定理 10.2.1)，
∑
∞
=1
)()(
n
nn
xbxa 在 D 上一致收敛。这就证明了 Abel 判别法。
⑵ 由 {a
n
(x)}在 D 上一致收敛于 0，对任意给定的 ε >0，存在正整数 N = N(ε )，当 n>N 时，对一切 x∈D 成立
│ a
n
(x)│ <ε。
由于对一切 m>n>N,
∑
+=
m
nk
k
xb
1
)( =?
∑
=
m
k
k
xb
1
)(
∑
=
n
k
k
xb
1
)( ≤2M,
应用 Abel 引理，得到
∑
+=
m
nk
kk
xbxa
1
)()( ≤2M (│ )(
1
xa
n+
│+2│ a
m
(x)│ )<6Mε
对一切 x∈D 成立。根据 Cauchy 收敛原理 (定理 10.2.1)，
∑
∞
=1
)()(
n
nn
xbxa
在 D 上一致收敛。这就证明了 Dirichlet 判别法。
注 在定理 10.2.3 的两个判别法的条件中，都要求{ a
n
(x)}关于 n
单调，请读者思考是什么原因。
例10.2.4 设
∑
∞
=1n
n
a 收敛，则
∑
∞
=1n
n
a x
n
在[0,1] 上一致收敛。
证 显然 {x
n
}关于 n 单调，且
│ x
n
│ ≤1,x∈ ]1,0[
对一切 n 成立；
∑
∞
=1n
n
a 是数项级数，它的收敛性就意味着关于 x 的一致收敛性。由 Abel 判别法，得到
∑
∞
=1n
n
n
xa 在 ]1,0[ 上的一致收敛性。
特别地，如
n
n
p
n
x
n
∑
∞
=
1
)1(
（ 0>p ）在 ]1,0[ 上一致收敛。
例 10.2.5 设 {a
n
}单调收敛于 0，则
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在
(0,2π) 上内闭一致收敛。
证 数列{ a
n
}收敛于 0 意味着关于 x 一致收敛于 0。另外，对 任意 0 πδ< <,当 x∈[,2π ]δ δ? 时,
∑
=
n
k
kx
1
cos =
2
sin2
2
sin
2
1
sin
x
x
xn?
+
≤
2
sin
1
δ；
∑
=
n
k
kx
1
sin =
2
sin2
2
cos
2
1
cos
x
x
xn?
+
≤
2
sin
1
δ
。
由 Dirichlet 判别法，得到
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在 [,2π ]δ δ? 上的一 致收敛性。
一致收敛级数的性质
定理 10.2.4 （ 连续性定理） 设函数序列{S
n
(x)}的每一项S
n
(x)
在[a,b] 上连续，且在[a,b]上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b] 上也连续。
证 设
0
x 是 [a,b]中任意一点。
由 {S
n
(x)}在 [a,b]上一致收敛于 S(x)，可知对任意给定的 ε >0，存在正整数 N，使得
│ S
N
(x)-S(x)│ <
3
ε
对一切 x∈[a,b]成立。特别，对
0
x 与任意的
0
x +h∈[a,b]，成立
│ S
N
(
0
x )-S(
0
x )│ <
3
ε
,
│ S
N
(
0
x +h)-S(
0
x +h)│ <
3
ε
。
由于 S
N
(x)在[ a,b]上连续，所以存在 δ >0，当│h │ <δ 时,
│S
N
(
0
x +h)-S
N
(
0
x )│ <
3
ε
。
于是当│h │ <δ 时,
│S (
0
x +h)-S(
0
x )│ ≤ |S(
0
x +h)-S
N
(
0
x +h)│
+│ S
N
(
0
x +h)-S
N
(
0
x )│+│ S
N
(
0
x )-S(
0
x )│ <ε,
所以 S(x)在
0
x 连续。
由
0
x 在[ a,b]中的任意性，就得到 S(x)在[ a,b]上连续。
在定理 10.2.4 条件下，成立
0
lim
xx→ ∞→n
lim S
n
(x) =
∞→n
lim
0
lim
xx→
S
n
(x),
即两个极限运算可以交换次序。
由于 S
N
(x)在[ a,b]上连续，所以存在 δ >0，当│h │ <δ 时,
│S
N
(
0
x +h)-S
N
(
0
x )│ <
3
ε
。
于是当│h │ <δ 时,
│S (
0
x +h)-S(
0
x )│ ≤ |S(
0
x +h)-S
N
(
0
x +h)│
+│ S
N
(
0
x +h)-S
N
(
0
x )│+│ S
N
(
0
x )-S(
0
x )│ <ε,
所以 S(x)在
0
x 连续。
由
0
x 在[ a,b]中的任意性，就得到 S(x)在[ a,b]上连续。
对应到函数项级数，连续性定理可以表述为,
定理 10.2.4' 设对每个n,u
n
(x)在[a,b]上连续，且
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在
[a,b]上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b] 上连续。这时，对任意的∈
0
x
[a,b]，成立
0
lim
xx→
∑
∞
=1
)(
n
n
xu =
∑
∞
=
→
1
)(lim
0
n
n
xx
xu,
即极限运算与无限求和运算可以交换次序。
注 由于连续性是函数的一种局部性质,因此，在每个 u
n
(x)（或
S
n
(x)）在 开区间 (a,b)上连续的前提下，只要
∑
∞
=1
)(
n
n
xu （或{ S
n
(x)}）在 (a,
b)上内闭一致收敛于 S(x)，就足以保证 S(x)在 (a,b)上连续。
例 10.2.6 由例 10.2.5，当 {a
n
}单调收敛于 0 时，函数项级数
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在 (0,2 π)上都是内闭一致收敛的。由于每项
a
n
nxsin 与 a
n
nxcos 关于 x 都是连续的，由定理 10.2.4，
∑
∞
=1
cos
n
n
nxa 与
∑
∞
=1
sin
n
n
nxa 在 (0,2π)上都是连续的。例如
∑
∞
=1
sin
n
n
nx
，
∑
∞
=
+
1
2
1
cos
n
n
nxn
等，都是 (0,
2π)上的连续函数。
定理 10.2.5 设函数序列{S
n
(x)}的每一项S
n
(x)在[a,b] 上连续，
且在[a,b] 上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b]上可积，且
∫
b
a
xS )( dx =
∞→n
lim
∫
b
a
n
xS )( dx。
证 由定理 10.2.4,S(x)在 [a,b]连续,因而在[ a,b]可积。 由于{ S
n
(x)}
在 [a,b]上一致收敛于 S(x)，所以对任意给定的 ε >0，存在正整数 N，
当 n>N 时,
│ S
n
(x)-S(x)│ <ε
对一切 x∈[a,b]成立，于是
∫
b
a
n
xxS d)(
∫
b
a
xxS d)( ≤
∫
b
a
n
xSxS |)()(| dx<(b-a) ε 。
在定理 10.2.5 条件下，成立
∫
∞→
b
a n
lim S
n
(x) dx =
∞→n
lim
∫
b
a
n
xS )( dx,
即积分运算可以和极限运算交换次序。
定理 10.2.5 设函数序列{S
n
(x)}的每一项S
n
(x)在[a,b] 上连续，
且在[a,b] 上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b]上可积，且
∫
b
a
xS )( dx =
∞→n
lim
∫
b
a
n
xS )( dx。
证 由定理 10.2.4,S(x)在 [a,b]连续,因而在[ a,b]可积。 由于{ S
n
(x)}
在 [a,b]上一致收敛于 S(x)，所以对任意给定的 ε >0，存在正整数 N，
当 n>N 时,
│ S
n
(x)-S(x)│ <ε
对一切 x∈[a,b]成立，于是
∫
b
a
n
xxS d)(
∫
b
a
xxS d)( ≤
∫
b
a
n
xSxS |)()(| dx<(b-a) ε 。
对应到函数项级数，就得到
定理 10.2.5'（逐项积分定理） 设对每个n,u
n
(x)在[a,b]上连续，且
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[a,b]上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b]上可积，且
∫
b
a
xS )( dx=
∫
∑
∞
=
b
a
n
n
xxu d)(
1
=
∑
∫
∞
=1
d)(
n
b
a
n
xxu,
即积分运算可以和无限求和运算交换次序。
注 在定理 10.2.5（或定理 10.2.5'）的条件下，可以得到“对任意固定的],[
0
bax ∈,函数序列 {
∫
x
x
n
tS
0
)( d t}（或函数项级数
∑
∫
∞
=1
0
d)(
n
x
x
n
ttu ）
在[a,b]上一致收敛于
∫
x
x
tS
0
)( d t,的结论。
对应到函数项级数，就得到
定理 10.2.5'（逐项积分定理） 设对每个n,u
n
(x)在[a,b]上连续，且
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[a,b]上一致收敛于S(x)，则S(x)在[a,b]上可积，且
∫
b
a
xS )( dx=
∫
∑
∞
=
b
a
n
n
xxu d)(
1
=
∑
∫
∞
=1
d)(
n
b
a
n
xxu,
即积分运算可以和无限求和运算交换次序。
例 10.2.7 证明：当 )1,1(?∈x 时，成立
∑
∞
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
= x
3
1
x
3
xx arctan
5
1
5
=?+ "。
证 对任意 )1,1(?∈x,可以取到 δ >0，使 x∈[1,1 ]δ δ? +?。由于在区间 [1,1 ]δ δ?+? 上，有
22221
)1()1(
≤?
nnn
x δ,而
∑
∞
=
1
22
)1(
n
n
δ 收敛，
由 Weierstrass 判别法,函数项级数
∑
∞
=
1
221
)1(
n
nn
x 在 [1,1 ]δ δ? +?上一致收敛，且
∑
∞
=
0
221
)1(
n
nn
x 在 [1,1 ]δ δ? +?上的和函数为 S(x) =
2
1
1
x+
。
应用定理 10.2.5' 进行逐项求积分
∑
∫
∞
=
1
0
221
)1(
n
x
nn
t d t =
∫
+
x
t
t
0
2
1
d
,
即得到
∑
∞
=
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
= x
3
1
x
3
xx arctan
5
1
5
=?+ "。
上式对一切 )1,1(?∈x 成立。
例10.2.8 证明：当 )1,1(?∈x 时，成立
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
n
x
n
= x
2
2
1
x? )1ln(
3
1
3
xx +=?+ "。
证 对任意 )1,1(?∈x,取 δ >0，使 x∈[1,1 ]δ δ? +?。类似例 10.2.7，
可知函数项级数
∑
∞
=
1
11
)1(
n
nn
x 在 [1,1 ]δ δ? +?上一致收敛于 S(x) =
x+1
1
。
应用定理 10.2.5' 进行逐项积分
∑
∫
∞
=
1
0
11
)1(
n
x
nn
t d t =
∫
+
x
t
t
0
1
d
,
即得到
∑
∞
=
1
1
)1(
n
n
n
x
n
= x
2
2
1
x? )1ln(
3
1
3
xx +=?+ ",)1,1(?∈x 。
定理 10.2.6 设函数序列{S
n
(x)}满足
⑴ S
n
(x)（ ",2,1=n ）在[a,b]上有连续的导函数；
⑵ {S
n
(x)}在[a,b]上点态收敛于S(x)；
⑶ {S'
n
(x)}在[a,b]上一致收敛于()xσ,
则S(x)在[a,b]上可导，且
xd
d
S(x) = ()xσ 。
证 由定理 10.2.4 与 10.2.5，可知 ()xσ 在 [a,b]连续，且
()
x
a
tσ
∫
d t =
∞→n
lim
∫
′
x
a
n
tS )( d t =
∞→n
lim [S
n
(x)-S
n
(a)] = S(x)-S(a)。
由于上式左端可导，可知 S(x)也可导，且 =
′
)(xS ()xσ 。
在定理 10.2.6 的条件下，成立
xd
d
∞→n
lim S
n
(x) =
∞→n
lim
xd
d
S
n
(x)。
即求导运算可以与极限运算交换次序。
定理 10.2.6 设函数序列{S
n
(x)}满足
⑴ S
n
(x)（ ",2,1=n ）在[a,b]上有连续的导函数；
⑵ {S
n
(x)}在[a,b]上点态收敛于S(x)；
⑶ {S'
n
(x)}在[a,b]上一致收敛于()xσ,
则S(x)在[a,b]上可导，且
xd
d
S(x) = ()xσ 。
证 由定理 10.2.4 与 10.2.5，可知 ()xσ 在 [a,b]连续，且
()
x
a
tσ
∫
d t =
∞→n
lim
∫
′
x
a
n
tS )( d t =
∞→n
lim [S
n
(x)-S
n
(a)] = S(x)-S(a)。
由于上式左端可导，可知 S(x)也可导，且 =
′
)(xS ()xσ 。
对应到函数项级数，就得到
定理 10.2.6'（逐项求导定理） 设函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu满足
⑴ u
n
(x)（ ",2,1=n ）在[ a,b]上有连续的导函数；
⑵
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[a,b]上点态收敛于S(x)；
⑶
∑
∞
=
′
1
)(
n
n
xu在[a,b]上一致收敛于)(xσ,
则S(x) =
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[ a,b]上可导，且
xd
d
∑
∞
=1
)(
n
n
xu =
∑
∞
=1
)(
d
d
n
n
xu
x
,
即求导运算可以与无限求和运算交换次序。
注 ⑴ 根据定理 10.2.5 和定理 10.2.5'的注,由 {S'
n
(x)}(或
∑
∞
=
′
1
)(
n
n
xu )
在 [a,b]上一致收敛于 ()xσ 出发，可得到{ S
n
(x)}(或
∑
∞
=1
)(
n
n
xu )在 [a,b]上不仅点态收敛，而且是一致收敛于 S(x)的结论。
⑵ 与连续性类似，由于可导性也是函数的一种局部性质，因此，
在
∑
∞
=1
)(
n
n
xu (或 {S
n
(x)})在 (a,b)收敛于 S(x),并且每个 u
n
(x)（或 S
n
(x)）在
(a,b)上有连续导函数的前提下，同样只要
∑
∞
=
′
1
)(
n
n
xu (或 { )(xS
n
′
})在 (a,b)
上内闭一致收敛，就足以保证 S(x)在开区间( a,b)上可导。
例10.2.9 证明：对一切 )1,1(?∈x,成立
∑
∞
=1n
n
nx = x + 2x
2
+ 3x
3
2
)1( x
x
=+ "。
证 函数项级数
∑
∞
=0n
n
x 在 (1,1)? 上点态收敛于 S(x) =
x?1
1
，而
∑
∞
=0n
n
x
经过逐项求导，得到
∑
∞
=
1
1
n
n
nx,对任意 0< ρ <1，当 [,]x ρ ρ∈? 时,
│ n
1?n
x │ ≤ n
1n
ρ
,
由
1
1
n
n
nρ
∞
=
∑
的收敛性，应用 Weierstrass 判别法 (定理 10.2.2)，可知
∑
∞
=
1
1
n
n
nx 在 [,]ρ ρ? 上一致收敛，换言之，函数项级数
∑
∞
=
1
1
n
n
nx 在 (1,1)? 上内闭一致收敛。
应用定理 10.2.6'，对
∑
∞
=0n
n
x =
x?1
1
进行逐项求导，即得到
∑
∞
=
1
1
n
n
nx =
2
)1(
1
x?
,
两边同时乘上 x，就得到
∑
∞
=1n
n
nx = x + 2x
2
+ 3x
3
2
)1( x
x
=+ "。
上式对一切 )1,1(?∈x 成立。
注 定理 10.2.4，定理 10.2.5 与定理 10.2.6 中的条件都是充分 而非必要的。对于定理 10.2.4 与定理 10.2.5，可以考虑例 10.1.8 中的
S
n
(x) =
22
1 xn
nx
+
，函数序列{ S
n
(x)}在 [0,1]收敛于 S(x) = 0，但收敛不 是一致的，然而 S(x) = 0 在 [0,1]连续而且可积，并且
∫
1
0
)(xS
n
dx =
n2
1
∫
+
+
1
0
22
22
1
)1d(
xn
xn
=
n2
1
)1ln(
22
xn+
∫
→
1
0
)(xS dx = 0 ( ∞→n )。
对于定理 10.2.6,可以考虑 f
n
(x) =
n2
1
ln (
22
1 xn+ ),函数序列{ f
n
(x)
在 [0,1]收敛于 f(x) = 0。由于 =
′
)(xf
n
S
n
(x) =
22
1 xn
nx
+
,{ )(xf
n
′
}在
[0,1]收敛于 S(x) = 0,但并非一致收敛。 虽然 {f
n
(x)}不满足定理 10.2.6
的条件，但仍然有 =′ )(xf S(x)的结论。
定理 10.2.4 的逆命题一般来说不成立，即 [a,b]区间上连续的函数序列 {S
n
(x)}收敛于连续函数 S(x)并不意味收敛在 [a,b]上具有一致性。但是在一定的条件下,可以得到收敛在 [a,b]上具有一致性的结论。
定理 10.2.7 (Dini 定理 ) 设函数序列{S
n
(x)}在闭区间[a,b]上点态收敛于S(x)，如果
⑴ S
n
(x)（ ",2,1=n ）在[a,b]上连续；
⑵ S(x)在[a,b]上连续；
⑶ {S
n
(x)}关于n单调，即对任意固定的x∈[a,b],{S
n
(x)}是单调数列,
则{S
n
(x)}在[a,b]上一致收敛于S(x)。
证 用反证法。设{ S
n
(x)}在 [a,b]上不一致收敛于 S(x)，则
0
ε >0,? N>0，? n>N,? x∈ [a,b]：│S
n
(x)-S(x)│ ≥
0
ε 。
依次取,
N＝1，? n
1
>1，?
1
x ∈[a,b]：│
1
n
S (
1
x )-S(
1
x )│ ≥
0
ε,
N＝n
1
，? n
2
>n
1
，?
2
x ∈[a,b]：│
2
n
S (
2
x )-S(
2
x )│ ≥
0
ε,
……
N＝n
k
-
1
,?n
k
>n
k
-
1
，?
k
x ∈[a,b]：│
k
n
S (
k
x )-S(
k
x )│ ≥
0
ε,
……
于是得到数列 {x
k
}，x
k
∈[a,b]。
由 Weierstrass 定理，{ x
k
}必有收敛子列。为叙述方便，不妨设
k
x ξ→ ∈[a,b]（ ∞→k ） 。由于
∞→n
lim S
n
(ξ ) = S(ξ )，所以对
0
ε >0，存在 N，
成立
│S
N
(ξ )-S(ξ )│ <
0
2
ε
。
由条件⑴与⑵,S
N
(x) - S(x)在 x=ξ连续，由于
k
x ξ→ （ ∞→k ）,存 在正整数 K，使
│ S
N
(x
k
)-S(x
k
)│ <
0
ε
对一切 k>K 成立。
现利用条件⑶，即{S
n
(x)}关于 n 的单调性，则当 n>N 与 k>K 时，
│ S
n
(x
k
)-S(x
k
)│ ≤│ S
N
(x
k
)-S(x
k
)│ <
0
ε 。
由于 ∞→
k
n （ ∞→k ）,当 k 充分大时，总能满足 k>K 与 n
k
>N，
于是成立
│
k
n
S (
k
x )-S(
k
x )│ <
0
ε,
这就与
│
k
n
S (
k
x )-S(
k
x )│ ≥
0
ε （ k ∈
+
N ）
产生矛盾。
注 定理 10.2.7 中的闭区间 [a,b]不能换成开区间 (a,b)。
对应函数项级数，得到
定理 10.2.7' 设函数项级数
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在闭区间[a,b]上点态收敛于S(x)，如果
⑴ u
n
(x)（ ",2,1=n ）在[a,b]上连续；
⑵ S(x)在[a,b]上连续；
⑶ 对任意固定的x∈[a,b]，
∑
∞
=1
)(
n
n
xu是正项级数或负项级数,
则
∑
∞
=1
)(
n
n
xu在[a,b]上一致收敛于S(x)。
处处不可导的连续函数之例
在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。
随着级数理论的发展，Weierstrass 于 1872 年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结,
()
0
() sin
nn
n
f xabx
∞
=
=
∑
,ba <<< 10,1>ab 。
下图显示不同参数所对应的Weierstrass 函数的图像下面的反例是由荷兰数学家 Van Der Waerden 于 1930 年给出的。
假设? (x)表示 x 与最邻近的整数之间的距离，例如当 x = 1.26，
则? (x) = 0.26；当 x = 3.67，则? (x) = 0.33。显然? (x)是周期为 1 的连续函数，且 () 1/2x? ≤ 。
注意：当 yx,]
2
1
,[ +∈ kk 或 ]1,
2
1
[ ++ kk 时，成立 |||)()(| yxyx?= 。
Van Der Waerden 的反例为：
)(xf =
0
(10 )
10
n
n
n
x?
∞
=
∑
。
由
(10 )
10
n
n
x?
≤
n
102
1
，及
∑
∞
=
0
102
1
n
n
的收敛性，根据 Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于 ),( +∞?∞∈x 一致收敛。所以 )(xf 在 ),( +∞?∞ 连续。
现考虑 )(xf 在任意一点 x 的可导性。由于 )(xf 的周期性，不妨设
10 <≤ x,并将 x 表示成无限小数
x = 0.a
1
a
2
… a
n
…。
当 x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0。然后取
h
m
=
=?
=
,9,4,10
,8,7,6,5,3,2,1,0,10
m
m
m
m
a
a
当当
例如设 x = 0.309546…，则我们取 h
1
=
1
10
,h
2
=
2
10
,h
3
=
3
10
,
h
4
=
4
10
,h
5
=
5
10
,h
6
=
6
10
，…。显然
0→
m
h
( ∞→m )。
由
(10 )
10
n
n
x?
≤
n
102
1
，及
∑
∞
=
0
102
1
n
n
的收敛性，根据 Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于 ),( +∞?∞∈x 一致收敛。所以 )(xf 在 ),( +∞?∞ 连续。
现在证明极限
m
m
m
h
xfhxf )()(
lim
+
∞→
不存在。
m
m
h
xfhxf )()(?+
=
0
(10 ( )) (10 )
10
nn
m
n
n
m
x hx
h
∞
=
+?
∑
1
0
(10 ( )) (10 )
10
nn
m
m
n
n
m
xh x
h
=
+?
=
∑
(10 ( )) (10 )
10
nn
m
n
nm
m
xh x
h
∞
=
+?
+
∑
。
当 mn ≥ 时,? (10
n
(x + h
m
)) =? (10
n
x±
mn?
10 ) =? (10
n
x)，所以
m
m
h
xfhxf )()(?+
1
0
(10 ( )) (10 )
10
nn
m
m
n
n
m
x hx
h
=
+?
=
∑
。
当 1,,2,1,0?= mn "，在 x
n
10 的表示中
m
a 的位置是第 nm? 位小数,
,.10
121
" " "
mnn
n
aaaaax
+
=
,)1(.)(10
121
" " "±=+
+ mnnm
n
aaaaahx
由
m
h 的取法，可知 10
n
(x + h
m
)与
n
10 x 同时属于 ]
2
1
,[ +kk 或 ]1,
2
1
[ ++ kk,
因此
(
n
10 (x +
m
h ))-? (
n
10 x) =±
m
n
h10,
于是得到
m
m
h
xfhxf )()(?+
=
∑
=
±
1
0
1
m
n
,
等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知极限
∞→m
lim
m
m
h
xfhxf )()(?+
不存在，也就是说,)(xf 在任意一点 x 是不可导的。这样，一个处处连续,但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。
Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”
的产生。
所谓“分形”,就是指几何上的一种“形”,它的局部与整体按某种方式具有相似性。,形”的这种性质又称为“自相似性” 。
经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述的“自相似性” 。如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科。
