多元函数
定义 11.2.1 设 D 是
n
R 上的点集,D 到 R 的映射
:f → RD,
z 6x
称为 n 元函数,记为 ()zf= x 。 这时,D 称为 f 的 定义域,()f D =
{R| (),}zzf∈ =∈xxD称为 f 的 值域,Γ=
1
{(,) R | (),}
n
zzf
+
∈= ∈xxx称为
f 的 图像。
§ 2 多元连续函数例 11.2.1
2
2
2
2
1
b
y
a
x
z= 是二元函数，其定义域为
D=
22
2
22
(,) 1
xy
xy
ab
∈ +≤
R,
函数的图像是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。
z
2
2
2
2
1
b
y
a
x
z=
O y
x
图 11.2.1
多元函数的极限
定义 11.2.2 设 D 是
n
R 上的开集,( )∈=
00
2
0
10
,,,
n
xxx "x D 为 一 定点,)(xfz = 是定义在 D \ {
0
x }上的 n 元函数,A是一个实数 。 如果对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 ),(
0
δxx O∈ \ {
0
x }时,成立
ε<? Af )(x,
则称 x 趋于
0
x 时 f 收敛,并称 A为 f 当 x 趋于
0
x 时的（ n 重）极限，
记为
0
lim
xx→
)(xf = A,或 )(xf A→ （
0
xx→ ）,或
Axxxf
n
xx
xx
xx
nn
=
→
→
→
),,,(lim
21
0
0
22
0
11
"
"
。
注 在上面的定义中,“
0
(,)O δ∈xx\ {
0
x }”也可以用下面的条件
,||,||
0
22
0
11
δδ <?<? xxxx,||,
0
δ<?
nn
xx " x≠
0
x
替代。
多元函数的极限
定义 11.2.2 设 D 是
n
R 上的开集,( )∈=
00
2
0
10
,,,
n
xxx "x D 为 一 定点,)(xfz = 是定义在 D \ {
0
x }上的 n 元函数,A是一个实数 。 如果对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 ),(
0
δxx O∈ \ {
0
x }时,成立
ε<? Af )(x,
则称 x 趋于
0
x 时 f 收敛,并称 A为 f 当 x 趋于
0
x 时的（ n 重）极限,
记为
0
lim
xx→
)(xf = A,或 )(xf A→ （
0
xx→ ）,或
Axxxf
n
xx
xx
xx
nn
=
→
→
→
),,,(lim
21
0
0
22
0
11
"
"
。
例 11.2.2 设
22
sin)(),(
yx
y
yxyxf
+
+=,证明
0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
。
证 由于
22
sin)(|0),(|
yx
y
yxyxf
+
+=? ≤ || yx + ≤ |||| yx +,
所以，对于任意给定的 0>ε,只要取
2
ε
δ =,那 么 当 δδ <?<? |0|,|0| yx,
且 )0,0(),( ≠yx 时,
|0),(|?yxf ≤ ε
εε
δδ =+=+<+
22
|||| yx 。
这说明了 0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
。
对一元函数而言，只要在
0
x 的左、右极限存在且相等，那么函 数在
0
x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义,则要求当 x以任何方式趋于
0
x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变 量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在。
例 11.2.3 设 )0,0(),(,),(
22
≠
+
= yx
yx
xy
yxf 。
当点 x ),( yx= 沿 x 轴和 y 轴趋于 )0,0( 时,),( yxf 的极限都是 0。但当点 x ),( yx= 沿直线 mxy = 趋于 )0,0( 时,
2222
2
00
1
lim),(lim
m
m
xmx
mx
yxf
x
mxy
x
+
=
+
=
→
=
→
,
对于不同的 m有不同的极限值。 这说明 ),( yxf 在点 )0,0( 的极限不存在。
对一元函数而言，只要在
0
x 的左、右极限存在且相等，那么函 数在
0
x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义,则要求当 x以任何方式趋于
0
x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变 量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在。
下例说明即使点 x 沿任意直线趋于
0
x 时,),( yxf 的极限都存在且相等，仍无法保证函数 f 在
0
x 处有极限。
例 11.2.4 设 )0,0(),(,
)(
),(
24
22
≠
+
= yx
xy
xy
yxf 。
当点 x ),( yx= 沿直线 mxy = 趋于 )0,0( 时,成立
1
)(
lim),(lim
244
222
00
=
+
=
→
=
→
xxm
xxm
yxf
x
mxy
x；
当点 x ),( yx= 沿 y 轴趋于 )0,0( 时，也成立 1),(lim
0
0
=
=
→
yxf
x
y
,因此当点 x ),( yx=
沿任何直线趋于 )0,0( 时,),( yxf 极限存在且相等。
但 ),( yxf 在点 )0,0( 的极限不存在。事实上,f 在抛物线 xy =
2
上的值为 0，因此当点 x ),( yx= 沿这条抛物线趋于 )0,0( 时，它的极限为 0。
一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、
局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不再细述，请读者自行加以证明。
累次极限
对重极限 ),(lim
),(),(
00
yxf
yxyx →
（即 ),(lim
0
0
yxf
yy
xx
→
→
）,人们很自然会想到的是，
能否在一定条件下将重极限 ),( yx ),(
00
yx→ 分解成为两个独立的极限
0
xx → 和
0
yy →,再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？
这后一种极限称为 累次极限 。
一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、
局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不再细述，请读者自行加以证明。
定义11.2.3 设 D是
2
R 上的开集,∈),(
00
yx D为一定点,z = ),( yxf
为定义在 D )},{(\
00
yx 上的二元函数。 如果对于每个固定的
0
yy ≠,极限 ),(lim
0
yxf
xx→
存在,并且极限
),(limlim
00
yxf
xxyy →→
存在,那么称此极限值为函数 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 的先对 x后对 y 的 二次极限。
同理可定义先对 y 后对 x的二次极限 ),(limlim
00
yxf
yyxx →→
。
累次极限存在与重极限存在的关系很复杂。 例 11.2.3 和例 11.2.4
其实已经告诉我们，二次极限存在不能保证二重极限存在（请读者思考理由） 。而从下面的例子可以知道，二重极限存在同样不能保证二次极限存在。
例11.2.5 （二重极限存在，但两个二次极限不存在）设
==
≠≠+
=
.00,0
,00,
1
cos
1
sin)(
),(
22
yx
yx
yx
yx
yxf
或且
由于
|),(| yxf ≤
22
yx +,
所以 0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
。但在 )0,0( 点两个二次极限显然不存在。
累次极限存在与重极限存在的关系很复杂。 例 11.2.3 和例 11.2.4
其实已经告诉我们，二次极限存在不能保证二重极限存在（请读者思考理由） 。而从下面的例子可以知道，二重极限存在同样不能保证二次极限存在。
例 11.2.6 （二重极限存在，两个二次极限中有一个不存在）
设
==
≠≠
=
.00,0
,00,
1
sin
),(
yx
yx
x
y
yxf
或且
在 )0,0( 点显然有 0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
，即二重极限存在。且
),(limlim
00
yxf
yx →→
= 0
1
sinlimlim
00
=
→→
x
y
yx
,
但先对 x后对 y 的二次极限不存在。
此外一个二次极限存在不能保证另一个二次极限也存在；即使两个二次极限都存在，也不一定相等。也就是说,两个极限运算不一定可以交换次序 （参见本节习题 8（ 2））。
例 11.2.6 （二重极限存在，两个二次极限中有一个不存在）
设
==
≠≠
=
.00,0
,00,
1
sin
),(
yx
yx
x
y
yxf
或且
在 )0,0( 点显然有 0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
，即二重极限存在。且
),(limlim
00
yxf
yx →→
= 0
1
sinlimlim
00
=
→→
x
y
yx
,
但先对 x后对 y 的二次极限不存在。
在二重极限存在时，我们有下面的结果,
定理 11.2.1 若二元函数 ),( yxf 在 ),(
00
yx 点存在二重极限
Ayxf
yxyx
=
→
),(lim
),(),(
00
,
且当
0
xx ≠ 时存在极限
)(),(lim
0
xyxf
yy
=
→
,
那么 ),( yxf 在 ),(
00
yx 点的先对 y 后对 x的二次极限存在且与二重极限相等,即
Ayxfxyxf
yxyxxxyyxx
===
→→→→
),(lim)(lim),(limlim
),(),(
00000
。
证 只要证明 Ax
xx
=
→
)(lim
0
即可。
对于任意给定的 0>ε,由于 Ayxf
yxyx
=
→
),(lim
),(),(
00
，所以存在 0>δ,
使得当 δ<?+?<
2
0
2
0
)()(0 yyxx 时有
2
),(
ε
<? Ayxf,
于是对于每个满足 δ<?< ||0
0
xx 的 x，令
0
yy →,就得到
AyxfAx
yy
=?
→
),(lim)(
0
≤ ε
ε
<
2
。
这就是说，对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 δ<?< ||0
0
xx 时，
ε? <? |)(| Ax 。
同样可证：在二重极限存在的情况下，如果当
0
yy ≠ 时存在极限
)(),(lim
0
yyxf
xx
φ=
→
，那么
),(lim)(lim),(limlim
),(),(
00000
yxfyyxf
yxyxyyxxyy →→→→
== φ 。
所以，若函数 ),( yxf 的二重极限及两个二次极限都存在，则三者必相等，即
),(lim),(limlim),(limlim
),(),(
000000
yxfyxfyxf
yxyxyyxxxxyy →→→→→
== 。
这意味着，此时 极限运算可以交换次序 。
多元函数的连续性
定义 11.2.4 设 D 是
n
R 上的开集,)(xfz = 是定义在 D 上的函数，
0
x ∈D 为一定点。 如果
0
lim
xx→
f (x) = f (
0
x ),
则称函数 f 在点
0
x 连续 。 用,δε?,语言来说就是,如果 对于 任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 ),(
0
δxx O∈ 时,成立
| f ( x ) - f (
0
x ) |＜ ε,
则称函数 f 在点
0
x 连续。
如果函数 f 在 D 上每一点连续,就称 f 在 D 上连续,或称 f 是 D
上的连续函数。
例11.2.7 函数
22
sin),( yxyxf += 在
2
R 上连续。
证 设 ),(
00
yx 为
2
R 上的任一点，则有
|),(),(|
00
yxfyxf? = |sinsin|
2
0
2
0
22
yxyx +?+
=
2
sin
2
cos2
2
0
2
0
22
2
0
2
0
22
yxyxyxyx +?+
+++
≤
2
sin2
2
0
2
0
22
yxyx +?+
2
0
2
0
22
yxyx +?+≤
≤
2
0
2
0
)()( yyxx?+? （利用三角不等式） 。
于是，对于任意给定的 0>ε,取 εδ =,当 δ<?+?
2
0
2
0
)()( yyxx 时就成立
ε<? ),(),(
00
yxfyxf 。
这说明 ),( yxf 在 ),(
00
yx 点连续。由于 ),(
00
yx 为
2
R 上的任一点，所以
),( yxf 在
2
R 上连续。
例11.2.7 函数
22
sin),( yxyxf += 在
2
R 上连续。
证 设 ),(
00
yx 为
2
R 上的任一点，则有
|),(),(|
00
yxfyxf? = |sinsin|
2
0
2
0
22
yxyx +?+
=
2
sin
2
cos2
2
0
2
0
22
2
0
2
0
22
yxyxyxyx +?+
+++
≤
2
sin2
2
0
2
0
22
yxyx +?+
2
0
2
0
22
yxyx +?+≤
≤
2
0
2
0
)()( yyxx?+? （利用三角不等式） 。
一元连续函数和差积商及复合函数性质同样可以平行地推广到多元连续函数。
例 11.2.8 计算极限
22(,) (1,0)
ln( e )
lim
y
xy
x
x y
→
+
+
。
解 注意到函数 ln( e )
y
x+ 和
22
yx + 在其自然定义域上的连续性，
由极限的运算法则，得到
(,) (1,0)
22 22(,) (1,0)
(,) (1,0)
lim ln( e )
ln( e )
lim ln 2
lim
y
y
xy
xy
xy
x
x
xy xy
→
→
→
+
+
==
++
。
例 11.2.9 计算极限
22
22(,) (0,0)
sin sin( 1)
lim
xy
yxy
xy
→
++
+
。
解 利用 1
sin
lim
0
=
→
t
t
t
，得到
22
22(,) (0,0)
sin ( 1)
lim
xy
yxy
xy
→
++
+
=
22
22(,) (0,0)
sin( 1)
lim ( 1)
(1)
xy
yxy
y
yxy
→
++
+
++
=
22
22(,) (0,0) (,) (0,0)
sin sin( 1)
lim lim ( 1)
(1)
xy xy
yxy
y
yxy
→→
++
+
++
=1。
向量值函数
平面解析几何中熟知的参数方程
=
=
),(
),(
ty
tx
ψ
],[
10
ttt∈
是一元函数的另一种推广：多个因变量（ x 和 y）按某种规律，随自变量 t 的变化而相应变化。
定义 11.2.5 设 D 是
n
R 上的点集,D 到
m
R 的映射
,→fD
m
R,
),,,(
21 n
xxx "=x ),,,(
21 m
zzz " 6 =z
称为 n元 m 维向量值函数（ 或 多元函数组 ）,记为 )(xfz = 。 D 称为 f
的 定义域,(){|(),}
m
=∈ = ∈Rf Dz zf xxD称为 f 的 值域。
多元函数是 1=m 的特殊情形。
向量值函数
平面解析几何中熟知的参数方程
=
=
),(
),(
ty
tx
ψ
],[
10
ttt∈
是一元函数的另一种推广：多个因变量（ x 和 y）按某种规律，随自变量 t 的变化而相应变化。
显然，每个
i
z （ mi,,2,1 "= ）都是 x 的函数 )(x
ii
fz =,它称为 f 的第 i
个坐标（或分量）函数，于是,f 可以表达为分量形式
=
=
=
),(
),(
),(
22
11
x
x
x
mm
fz
fz
fz
" "
∈xD。
因此 f 又可表示为
),,,(
21 m
fff "=f 。
例 11.2.10 映射
3
:[0,) [0,2π]+∞ × → Rf,
),,(),( zyxr 6θ
的具体分量形式是
==
==
==
,),(
,sin),(
,cos),(
rrzz
rryy
rrxx
θ
θθ
θθ
[0,),[0,2π]r θ∈+∞∈,
这是二元三维向量值函数，在空间解析几何中知道，这是三维空间 上的一张半圆锥面。
定 义 11.2.2' 设 D 是
n
R 上的开集，
0
∈xD为一定点,
0
:\{}
m
→ RfD x 是映射（向量值函数）,A是一个 m 维向量。 如果对 于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 }{\),(
00
xxx δO∈ 时，成立
ε<? Axf )( （ 即 ),()( εAxf O∈ ）,
则称 A为 x趋于
0
x 时 f 的 极限，并称 x趋于
0
x 时 f 收敛。记为
Axf =
→
)(lim
0
xx
或 )()(
0
xxAxf →→ 。
定义 11.2.4' 设 D是
n
R 上的开集,
0
∈xD 为一定点 。 f
m
→:RD 是映射 （向量值函数） 。如果 f 满足
)()(lim
0
0
xfxf =
→xx
,
那么称 f 在
0
x 点 连续 。 用,δε?,语言来说就是,如果对于任 意 给 定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 ),(
0
δxx O∈ 时,成立
| )(xf - )(
0
xf |＜ ε （即 )),(()(
0
εxfxf O∈ ）,
则称 f 在点
0
x 连续。
如果映射 f 在 D上每一点连续，就称 f 在 D上连续。这时称映射 f
为 D上的连续映射 。
定理 11.2.2 设 D是
n
R 上的开集，
0
∈xD为一定点。 那么映射
:
m
→ RfD 在
0
x 点连续的充分必要条件为：函数
m
fff,,,
21
" 在
0
x 点连续。
定理的证明可由不等式
|)()(|
0
xx
jj
ff? ≤
∑
=
=?
m
i
ii
ff
1
2
00
))()((|)()(| xxxfxf
≤
∑
=
m
i
ii
ff
1
0
|)()(| xx （ mj,,2,1 "= ）
直接得到。
定理 11.2.2 设 D是
n
R 上的开集，
0
∈xD为一定点。 那么映射
:
m
→ RfD 在
0
x 点连续的充分必要条件为：函数
m
fff,,,
21
" 在
0
x 点连续。
例 11.2.11 设 D = },|),{(
2
dvcbuavu <<<<∈R 。映射
3
,→ RfD,
),,(),( zyxvu 6
是二元三维向量值函数，它写成分量形式就是
=
=
=
),,(
),,(
),,(
vuzz
vuyy
vuxx
(,)uv∈D。
如果 ),(),,(),,( vuzvuyvux 都是 D上的连续函数，从几何上看，这就是 三维空间上的连续曲面的一般方程。
设? 是
k
R 上的开集,D 为
n
R 上的开集。 g：
k
→ RD 与 f,?
m
→ R
为映射。若 g 的值域 ()gD满足 ()gD,则可以定义 复合映射
,
m
→ R DfgD,
(()) 6ufgu。
定理11.2.3 如果 g在 D上连续,f在?上连续,那么复合映射 Dfg
在 D 上连续 。
定义 11.2.1 设 D 是
n
R 上的点集,D 到 R 的映射
:f → RD,
z 6x
称为 n 元函数,记为 ()zf= x 。 这时,D 称为 f 的 定义域,()f D =
{R| (),}zzf∈ =∈xxD称为 f 的 值域,Γ=
1
{(,) R | (),}
n
zzf
+
∈= ∈xxx称为
f 的 图像。
§ 2 多元连续函数例 11.2.1
2
2
2
2
1
b
y
a
x
z= 是二元函数，其定义域为
D=
22
2
22
(,) 1
xy
xy
ab
∈ +≤
R,
函数的图像是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。
z
2
2
2
2
1
b
y
a
x
z=
O y
x
图 11.2.1
多元函数的极限
定义 11.2.2 设 D 是
n
R 上的开集,( )∈=
00
2
0
10
,,,
n
xxx "x D 为 一 定点,)(xfz = 是定义在 D \ {
0
x }上的 n 元函数,A是一个实数 。 如果对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 ),(
0
δxx O∈ \ {
0
x }时,成立
ε<? Af )(x,
则称 x 趋于
0
x 时 f 收敛,并称 A为 f 当 x 趋于
0
x 时的（ n 重）极限，
记为
0
lim
xx→
)(xf = A,或 )(xf A→ （
0
xx→ ）,或
Axxxf
n
xx
xx
xx
nn
=
→
→
→
),,,(lim
21
0
0
22
0
11
"
"
。
注 在上面的定义中,“
0
(,)O δ∈xx\ {
0
x }”也可以用下面的条件
,||,||
0
22
0
11
δδ <?<? xxxx,||,
0
δ<?
nn
xx " x≠
0
x
替代。
多元函数的极限
定义 11.2.2 设 D 是
n
R 上的开集,( )∈=
00
2
0
10
,,,
n
xxx "x D 为 一 定点,)(xfz = 是定义在 D \ {
0
x }上的 n 元函数,A是一个实数 。 如果对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 ),(
0
δxx O∈ \ {
0
x }时,成立
ε<? Af )(x,
则称 x 趋于
0
x 时 f 收敛,并称 A为 f 当 x 趋于
0
x 时的（ n 重）极限,
记为
0
lim
xx→
)(xf = A,或 )(xf A→ （
0
xx→ ）,或
Axxxf
n
xx
xx
xx
nn
=
→
→
→
),,,(lim
21
0
0
22
0
11
"
"
。
例 11.2.2 设
22
sin)(),(
yx
y
yxyxf
+
+=,证明
0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
。
证 由于
22
sin)(|0),(|
yx
y
yxyxf
+
+=? ≤ || yx + ≤ |||| yx +,
所以，对于任意给定的 0>ε,只要取
2
ε
δ =,那 么 当 δδ <?<? |0|,|0| yx,
且 )0,0(),( ≠yx 时,
|0),(|?yxf ≤ ε
εε
δδ =+=+<+
22
|||| yx 。
这说明了 0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
。
对一元函数而言，只要在
0
x 的左、右极限存在且相等，那么函 数在
0
x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义,则要求当 x以任何方式趋于
0
x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变 量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在。
例 11.2.3 设 )0,0(),(,),(
22
≠
+
= yx
yx
xy
yxf 。
当点 x ),( yx= 沿 x 轴和 y 轴趋于 )0,0( 时,),( yxf 的极限都是 0。但当点 x ),( yx= 沿直线 mxy = 趋于 )0,0( 时,
2222
2
00
1
lim),(lim
m
m
xmx
mx
yxf
x
mxy
x
+
=
+
=
→
=
→
,
对于不同的 m有不同的极限值。 这说明 ),( yxf 在点 )0,0( 的极限不存在。
对一元函数而言，只要在
0
x 的左、右极限存在且相等，那么函 数在
0
x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义,则要求当 x以任何方式趋于
0
x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变 量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在。
下例说明即使点 x 沿任意直线趋于
0
x 时,),( yxf 的极限都存在且相等，仍无法保证函数 f 在
0
x 处有极限。
例 11.2.4 设 )0,0(),(,
)(
),(
24
22
≠
+
= yx
xy
xy
yxf 。
当点 x ),( yx= 沿直线 mxy = 趋于 )0,0( 时,成立
1
)(
lim),(lim
244
222
00
=
+
=
→
=
→
xxm
xxm
yxf
x
mxy
x；
当点 x ),( yx= 沿 y 轴趋于 )0,0( 时，也成立 1),(lim
0
0
=
=
→
yxf
x
y
,因此当点 x ),( yx=
沿任何直线趋于 )0,0( 时,),( yxf 极限存在且相等。
但 ),( yxf 在点 )0,0( 的极限不存在。事实上,f 在抛物线 xy =
2
上的值为 0，因此当点 x ),( yx= 沿这条抛物线趋于 )0,0( 时，它的极限为 0。
一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、
局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不再细述，请读者自行加以证明。
累次极限
对重极限 ),(lim
),(),(
00
yxf
yxyx →
（即 ),(lim
0
0
yxf
yy
xx
→
→
）,人们很自然会想到的是，
能否在一定条件下将重极限 ),( yx ),(
00
yx→ 分解成为两个独立的极限
0
xx → 和
0
yy →,再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？
这后一种极限称为 累次极限 。
一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、
局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不再细述，请读者自行加以证明。
定义11.2.3 设 D是
2
R 上的开集,∈),(
00
yx D为一定点,z = ),( yxf
为定义在 D )},{(\
00
yx 上的二元函数。 如果对于每个固定的
0
yy ≠,极限 ),(lim
0
yxf
xx→
存在,并且极限
),(limlim
00
yxf
xxyy →→
存在,那么称此极限值为函数 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 的先对 x后对 y 的 二次极限。
同理可定义先对 y 后对 x的二次极限 ),(limlim
00
yxf
yyxx →→
。
累次极限存在与重极限存在的关系很复杂。 例 11.2.3 和例 11.2.4
其实已经告诉我们，二次极限存在不能保证二重极限存在（请读者思考理由） 。而从下面的例子可以知道，二重极限存在同样不能保证二次极限存在。
例11.2.5 （二重极限存在，但两个二次极限不存在）设
==
≠≠+
=
.00,0
,00,
1
cos
1
sin)(
),(
22
yx
yx
yx
yx
yxf
或且
由于
|),(| yxf ≤
22
yx +,
所以 0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
。但在 )0,0( 点两个二次极限显然不存在。
累次极限存在与重极限存在的关系很复杂。 例 11.2.3 和例 11.2.4
其实已经告诉我们，二次极限存在不能保证二重极限存在（请读者思考理由） 。而从下面的例子可以知道，二重极限存在同样不能保证二次极限存在。
例 11.2.6 （二重极限存在，两个二次极限中有一个不存在）
设
==
≠≠
=
.00,0
,00,
1
sin
),(
yx
yx
x
y
yxf
或且
在 )0,0( 点显然有 0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
，即二重极限存在。且
),(limlim
00
yxf
yx →→
= 0
1
sinlimlim
00
=
→→
x
y
yx
,
但先对 x后对 y 的二次极限不存在。
此外一个二次极限存在不能保证另一个二次极限也存在；即使两个二次极限都存在，也不一定相等。也就是说,两个极限运算不一定可以交换次序 （参见本节习题 8（ 2））。
例 11.2.6 （二重极限存在，两个二次极限中有一个不存在）
设
==
≠≠
=
.00,0
,00,
1
sin
),(
yx
yx
x
y
yxf
或且
在 )0,0( 点显然有 0),(lim
)0,0(),(
=
→
yxf
yx
，即二重极限存在。且
),(limlim
00
yxf
yx →→
= 0
1
sinlimlim
00
=
→→
x
y
yx
,
但先对 x后对 y 的二次极限不存在。
在二重极限存在时，我们有下面的结果,
定理 11.2.1 若二元函数 ),( yxf 在 ),(
00
yx 点存在二重极限
Ayxf
yxyx
=
→
),(lim
),(),(
00
,
且当
0
xx ≠ 时存在极限
)(),(lim
0
xyxf
yy
=
→
,
那么 ),( yxf 在 ),(
00
yx 点的先对 y 后对 x的二次极限存在且与二重极限相等,即
Ayxfxyxf
yxyxxxyyxx
===
→→→→
),(lim)(lim),(limlim
),(),(
00000
。
证 只要证明 Ax
xx
=
→
)(lim
0
即可。
对于任意给定的 0>ε,由于 Ayxf
yxyx
=
→
),(lim
),(),(
00
，所以存在 0>δ,
使得当 δ<?+?<
2
0
2
0
)()(0 yyxx 时有
2
),(
ε
<? Ayxf,
于是对于每个满足 δ<?< ||0
0
xx 的 x，令
0
yy →,就得到
AyxfAx
yy
=?
→
),(lim)(
0
≤ ε
ε
<
2
。
这就是说，对于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 δ<?< ||0
0
xx 时，
ε? <? |)(| Ax 。
同样可证：在二重极限存在的情况下，如果当
0
yy ≠ 时存在极限
)(),(lim
0
yyxf
xx
φ=
→
，那么
),(lim)(lim),(limlim
),(),(
00000
yxfyyxf
yxyxyyxxyy →→→→
== φ 。
所以，若函数 ),( yxf 的二重极限及两个二次极限都存在，则三者必相等，即
),(lim),(limlim),(limlim
),(),(
000000
yxfyxfyxf
yxyxyyxxxxyy →→→→→
== 。
这意味着，此时 极限运算可以交换次序 。
多元函数的连续性
定义 11.2.4 设 D 是
n
R 上的开集,)(xfz = 是定义在 D 上的函数，
0
x ∈D 为一定点。 如果
0
lim
xx→
f (x) = f (
0
x ),
则称函数 f 在点
0
x 连续 。 用,δε?,语言来说就是,如果 对于 任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 ),(
0
δxx O∈ 时,成立
| f ( x ) - f (
0
x ) |＜ ε,
则称函数 f 在点
0
x 连续。
如果函数 f 在 D 上每一点连续,就称 f 在 D 上连续,或称 f 是 D
上的连续函数。
例11.2.7 函数
22
sin),( yxyxf += 在
2
R 上连续。
证 设 ),(
00
yx 为
2
R 上的任一点，则有
|),(),(|
00
yxfyxf? = |sinsin|
2
0
2
0
22
yxyx +?+
=
2
sin
2
cos2
2
0
2
0
22
2
0
2
0
22
yxyxyxyx +?+
+++
≤
2
sin2
2
0
2
0
22
yxyx +?+
2
0
2
0
22
yxyx +?+≤
≤
2
0
2
0
)()( yyxx?+? （利用三角不等式） 。
于是，对于任意给定的 0>ε,取 εδ =,当 δ<?+?
2
0
2
0
)()( yyxx 时就成立
ε<? ),(),(
00
yxfyxf 。
这说明 ),( yxf 在 ),(
00
yx 点连续。由于 ),(
00
yx 为
2
R 上的任一点，所以
),( yxf 在
2
R 上连续。
例11.2.7 函数
22
sin),( yxyxf += 在
2
R 上连续。
证 设 ),(
00
yx 为
2
R 上的任一点，则有
|),(),(|
00
yxfyxf? = |sinsin|
2
0
2
0
22
yxyx +?+
=
2
sin
2
cos2
2
0
2
0
22
2
0
2
0
22
yxyxyxyx +?+
+++
≤
2
sin2
2
0
2
0
22
yxyx +?+
2
0
2
0
22
yxyx +?+≤
≤
2
0
2
0
)()( yyxx?+? （利用三角不等式） 。
一元连续函数和差积商及复合函数性质同样可以平行地推广到多元连续函数。
例 11.2.8 计算极限
22(,) (1,0)
ln( e )
lim
y
xy
x
x y
→
+
+
。
解 注意到函数 ln( e )
y
x+ 和
22
yx + 在其自然定义域上的连续性，
由极限的运算法则，得到
(,) (1,0)
22 22(,) (1,0)
(,) (1,0)
lim ln( e )
ln( e )
lim ln 2
lim
y
y
xy
xy
xy
x
x
xy xy
→
→
→
+
+
==
++
。
例 11.2.9 计算极限
22
22(,) (0,0)
sin sin( 1)
lim
xy
yxy
xy
→
++
+
。
解 利用 1
sin
lim
0
=
→
t
t
t
，得到
22
22(,) (0,0)
sin ( 1)
lim
xy
yxy
xy
→
++
+
=
22
22(,) (0,0)
sin( 1)
lim ( 1)
(1)
xy
yxy
y
yxy
→
++
+
++
=
22
22(,) (0,0) (,) (0,0)
sin sin( 1)
lim lim ( 1)
(1)
xy xy
yxy
y
yxy
→→
++
+
++
=1。
向量值函数
平面解析几何中熟知的参数方程
=
=
),(
),(
ty
tx
ψ
],[
10
ttt∈
是一元函数的另一种推广：多个因变量（ x 和 y）按某种规律，随自变量 t 的变化而相应变化。
定义 11.2.5 设 D 是
n
R 上的点集,D 到
m
R 的映射
,→fD
m
R,
),,,(
21 n
xxx "=x ),,,(
21 m
zzz " 6 =z
称为 n元 m 维向量值函数（ 或 多元函数组 ）,记为 )(xfz = 。 D 称为 f
的 定义域,(){|(),}
m
=∈ = ∈Rf Dz zf xxD称为 f 的 值域。
多元函数是 1=m 的特殊情形。
向量值函数
平面解析几何中熟知的参数方程
=
=
),(
),(
ty
tx
ψ
],[
10
ttt∈
是一元函数的另一种推广：多个因变量（ x 和 y）按某种规律，随自变量 t 的变化而相应变化。
显然，每个
i
z （ mi,,2,1 "= ）都是 x 的函数 )(x
ii
fz =,它称为 f 的第 i
个坐标（或分量）函数，于是,f 可以表达为分量形式
=
=
=
),(
),(
),(
22
11
x
x
x
mm
fz
fz
fz
" "
∈xD。
因此 f 又可表示为
),,,(
21 m
fff "=f 。
例 11.2.10 映射
3
:[0,) [0,2π]+∞ × → Rf,
),,(),( zyxr 6θ
的具体分量形式是
==
==
==
,),(
,sin),(
,cos),(
rrzz
rryy
rrxx
θ
θθ
θθ
[0,),[0,2π]r θ∈+∞∈,
这是二元三维向量值函数，在空间解析几何中知道，这是三维空间 上的一张半圆锥面。
定 义 11.2.2' 设 D 是
n
R 上的开集，
0
∈xD为一定点,
0
:\{}
m
→ RfD x 是映射（向量值函数）,A是一个 m 维向量。 如果对 于任意给定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 }{\),(
00
xxx δO∈ 时，成立
ε<? Axf )( （ 即 ),()( εAxf O∈ ）,
则称 A为 x趋于
0
x 时 f 的 极限，并称 x趋于
0
x 时 f 收敛。记为
Axf =
→
)(lim
0
xx
或 )()(
0
xxAxf →→ 。
定义 11.2.4' 设 D是
n
R 上的开集,
0
∈xD 为一定点 。 f
m
→:RD 是映射 （向量值函数） 。如果 f 满足
)()(lim
0
0
xfxf =
→xx
,
那么称 f 在
0
x 点 连续 。 用,δε?,语言来说就是,如果对于任 意 给 定的 0>ε,存在 0>δ,使得当 ),(
0
δxx O∈ 时,成立
| )(xf - )(
0
xf |＜ ε （即 )),(()(
0
εxfxf O∈ ）,
则称 f 在点
0
x 连续。
如果映射 f 在 D上每一点连续，就称 f 在 D上连续。这时称映射 f
为 D上的连续映射 。
定理 11.2.2 设 D是
n
R 上的开集，
0
∈xD为一定点。 那么映射
:
m
→ RfD 在
0
x 点连续的充分必要条件为：函数
m
fff,,,
21
" 在
0
x 点连续。
定理的证明可由不等式
|)()(|
0
xx
jj
ff? ≤
∑
=
=?
m
i
ii
ff
1
2
00
))()((|)()(| xxxfxf
≤
∑
=
m
i
ii
ff
1
0
|)()(| xx （ mj,,2,1 "= ）
直接得到。
定理 11.2.2 设 D是
n
R 上的开集，
0
∈xD为一定点。 那么映射
:
m
→ RfD 在
0
x 点连续的充分必要条件为：函数
m
fff,,,
21
" 在
0
x 点连续。
例 11.2.11 设 D = },|),{(
2
dvcbuavu <<<<∈R 。映射
3
,→ RfD,
),,(),( zyxvu 6
是二元三维向量值函数，它写成分量形式就是
=
=
=
),,(
),,(
),,(
vuzz
vuyy
vuxx
(,)uv∈D。
如果 ),(),,(),,( vuzvuyvux 都是 D上的连续函数，从几何上看，这就是 三维空间上的连续曲面的一般方程。
设? 是
k
R 上的开集,D 为
n
R 上的开集。 g：
k
→ RD 与 f,?
m
→ R
为映射。若 g 的值域 ()gD满足 ()gD,则可以定义 复合映射
,
m
→ R DfgD,
(()) 6ufgu。
定理11.2.3 如果 g在 D上连续,f在?上连续,那么复合映射 Dfg
在 D 上连续 。
