前面讨论的函数大多是 ),( yxfz = 形式,如 xyz = 和
22
yxz += 等。
这种函数表达形式通常称为显函数。
但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来 表达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 Kepler 方程
=),( yxF 10,0sin <<= εε yxy,
这里 x 是时间,y 是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度,ε 是行 星运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑,y 必定是 x 的函数，
但要将函数关系用显式表达出来却无能为力。
这种自变量和因变量混合在一起的方程（组） (,) 0Fxy=,在一 定条件下也表示 y 与 x 之间的函数关系，通称 隐函数。
那么自然要问，这种函数方程（组）在什么条件下确实表示了 一个隐函数（向量值隐函数）,如何保证该隐函数连续和可微？
§ 4 隐函数那么
（ ⅰ ）在点 ),(
00
yx 附近可以从函数方程
0),( =yxF
唯一确定隐函数
),(),(
0
ρxOxxfy ∈=,
它满足 0))(,( =xfxF,以及 )(
00
xfy = ；
（ⅱ） 隐函数 )(xfy = 在 ),(
0
ρxOx∈ 上连续 ；
（ⅲ） 隐函数 )(xfy = 在 ),(
0
ρxOx∈ 上具有连续的导数,且
(,)d
d(,)
x
y
F xyy
xFxy
=? 。
单个方程的情形
定理 12.4.1（一元隐函数存在定理） 若二元函数 ),( yxF 满 足 条件,
（ 1） 0),(
00
=yxF ；
（ 2） 在闭矩形
00
{(,)|| |,||}x y xx a yy b=?≤?≤D 上,),( yxF 连续,且具有连续偏导数 ；
（ 3） 0),(
00
≠yxF
y
。
证 不失一般性，设 0),(
00
>yxF
y
。
先证明隐函数的存在性。
由 0),(
00
>yxF
y
与 ),( yxF
y
的连续性，可知存在 ba ≤<≤< βα 0,0,
使得在闭矩形
*
00
{(,) || |,| | }xy x x y yα β=?≤?≤D 上成立
0),( >yxF
y
。
于是，对固定的
0
x,y 的函数 ),(
0
yxF 在 ],[
00
ββ +? yy 是严格单调增加的。又由于 0),(
00
=yxF,从而
0),(,0),(
0000
>+<? ββ yxFyxF 。
由于 ),( yxF 在
*
D 上连续性，于是存在 0>ρ,使得在线段
βρρ +=+<<?
000
,yyxxx
上 0),(
0
>+βyxF,而在线段
βρρ?=+<<?
000
,yyxxx
上 0),(
0
<?βyxF 。
因此，对于 ),(
00
ρρ +? xx 内的任一点 x,将 ),( yxF 看成 y 的函数，
它在 ],[
00
ββ +? yy 上是连续的，而由刚才的讨论知道
0),(,0),(
00
>+<? ββ yxFyxF,
根据零点存在定理，必有 ),(
00
ββ +?∈ yyy 使得 0),( =yxF 。 又因为在
*
D
上 0>
y
F,因此这样的 y 是唯一的。
将 y 与 x 的对应关系记为 y )(xf=,就得到定义在 ),(
00
ρρ +? xx 上的函数 )(xfy =,它满足 0))(,( ≡xfxF,而且显然成立 )(
00
xfy = 。
y
β+
0
y
0>F
0
y ),(
00
yx
y
β?
0
y
0<F
O x
0
x
0
x ρ+ x
图 12.4.2
0
x ρ?
再证隐函数 )(xfy = 在 ),(
00
ρρ +? xx 上的连续性。
设 x 为 ),(
00
ρρ +? xx 上的任一点。对于任意给定的 0>ε （ ε 充 分小）,由于 0),( =yxF （ )(xfy = ）,由前面的讨论知道
0),(,0),( >+<? εε yxFyxF 。
而由于 ),( yxF 在
*
D 上的连续性，一定存在 0>δ,使得当 ),( δxOx∈ 时，
0),(,0),( >+<? εε yxFyxF 。
通过类似前面的讨论即得到，当 ),( δxOx∈ 时，相应的隐函数值必 满足 ),()( εε +?∈ yyxf,即
ε<? |)()(| xfxf 。
这就是说,)(xfy = 在 ),(
00
ρρ +? xx 上连续。
最后证明 )(xfy = 在 ),(
00
ρρ +? xx 上的可导性。
设 x 为 ),(
00
ρρ +? xx 上的任一点。取 xΔ 充分小使得 ∈Δ+ xx
),(
00
ρρ +? xx,记 )(xfy = 以及 )( xxfyy Δ+=Δ+,则显然成立 0),( =yxF
和 0),( =Δ+Δ+ yyxxF 。
应用多元函数的微分中值定理，得到
),(),(0 yxFyyxxF?Δ+Δ+=
yyyxxFxyyxxF
yx
ΔΔ+Δ++ΔΔ+Δ+= ),(),( θθθθ,
其中 10 <<θ 。注意到在
*
D 上 0≠
y
F,因此
),(
),(
yyxxF
yyxxF
x
y
y
x
Δ+Δ+
Δ+Δ+
=
Δ
Δ
θθ
θθ
。
令 0→Δx,注意到
x
F 和
y
F 的连续性，就得到
(,)d
d(,
x
xx y
F x yy
xFy
=
=? 。
即
))(,(
))(,(
)(
xfxF
xfxF
xf
y
x
=
′
。
定理 12.4.1 只是保证了在一定的条件下，函数方程 0),( =yxF 在局部（不一定是整体）确定了 y 关于 x 的函数关系 )(xfy =,而并不意 味这种关系能用显式具体表示出来。例如 Kepler 方程
10,0sin <<= εε yxy,
如果取 yxyyxF sin),( ε=,那么 0cos1),( >?= θεyxF
y
，所以 y 对 x 的依赖关系，即隐函数 )(xfy = 是肯定存在的。但遗憾的是，它不能用显式表示。
定理 12.4.1 可以直接推广到多元函数的情形。
定理 12.4.2 （多元隐函数存在定理） 若 1+n 元函数 ),,,,(
21
yxxxF
n
"
满足条件,
（ 1） 0),,,,(
000
2
0
1
=yxxxF
n
" ；
（ 2） 在闭长方体
00
{(,)|| |,||,1,2,,}
ii i
xy y y bxx ai n=?≤?≤= "D 上,函数 F 连续,且具有连续偏导数 niFF
i
xy
,,2,1,, "= ；
（ 3） 0),,,,(
000
2
0
1
≠yxxxF
ny
" 。
那么
（ⅰ） 在点 ),,,,(
000
2
0
1
yxxx
n
" 附近可以从函数方程
0),,,,(
21
=yxxxF
n
"
唯一确定隐函数
),,,(),,,,(
2121 nn
xxxxxxfy " "= )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO "∈,
它满足 0)),,,(,,,,(
2121
=
nn
xxxfxxxF " ",以及 ),,,(
00
2
0
1
0
n
xxxfy "= ；
（ⅱ） 隐函数 ),,,(
21 n
xxxfy "= 在 )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO " 上连续 ；
（ⅲ） 隐函数 ),,,(
21 n
xxxfy "= 在 )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO " 上 具有连续 的偏导数,且
ni
yxxxF
yxxxF
x
y
ny
nx
i
i
,,2,1,
),,,,(
),,,,(
21
21
"
"
"
=?=
。
在具体计算中，方程 0),,,,(
21
=yxxxF
n
" 所确定的隐函数
),,,(
21 n
xxxfy "= 的偏导数通常可如下直接计算：在方程两边对
i
x 求偏导，利用复合函数求导的链式规则即得
0=
+
ii
x
y
y
F
x
F
,
于是
y
x
i
i
F
F
y
F
x
F
x
y
i
=
=
,ni,,2,1 "= 。
例 12.4.1 在上半椭球面 )0(1
2
2
2
2
2
2
>=++ z
c
z
b
y
a
x
上，求
x
z
和
y
z
。
解 记
01),,(
2
2
2
2
2
2
=?++=
c
z
b
y
a
x
zyxF,
则 0
2
2
>=
c
z
F
z
保证了隐函数 ),( yxfz = 的存在性。
在方程两边分别对 x 和 y 求偏导，得到
0
22
22
=
+
x
z
c
z
a
x
,0
22
22
=
+
y
z
c
z
b
y
,
从而有
z
x
a
c
x
z
2
2
=
,
z
y
b
c
y
z
2
2
=
。
例12.4.2 设方程 zzyx 4
222
=++ 确定 z 为 yx,的函数，求
2
2
x
z
和
yx
z
2
。
解 在方程 zzyx 4
222
=++ 两边对 x 求偏导,
x
z
x
z
zx
=
+ 422,
于是
z
x
x
z
=
2
。
再在前一等式两边对 x 求偏导,
2
2
2
2
2
4222
x
z
x
z
z
x
z
=
+
+,
得到
3
22
2
2
2
)2(
)2(
2
1
z
xz
z
x
z
x
z
+?
=
+
=
。
在方程 zzyx 4
222
=++ 两边对 y 求偏导,
y
z
y
z
zy
=
+ 422,
于是
z
y
y
z
=
2
。
再在前一等式两边对 x 求偏导,
yx
z
yx
z
z
y
z
x
z
=
+
22
422,
得到
3
2
)2(2 z
xy
z
y
z
x
z
yx
z
=
=
。
例 12.4.3 设方程 0),( =yzxzF 确定 z 为 yx,的函数，其中 F 具有二阶连续偏导数，求
2
2
x
z
。
解 当 0
21
≠+=
yFxF
z
F
，可以应用隐函数存在定理，在方程
0),( =yzxzF 两边对 x 求偏导,
0
21
=
+
+ F
x
z
yF
x
z
xz,
于是
21
1
yFxF
zF
x
z
+
=
。
再在前一等式两边对 x 求偏导，得到
22
2 2
111 12 2
2 2
22 0
zz z zz z z
xFzxF zxyFyFyF
xx x xx x x
+ ++ + + + + =
。
于是
.
22
22
21
22
2
1211
2
1
21
22
2
1211
2
1
2
2
yFxF
F
x
z
yF
x
z
y
x
z
xzF
x
z
xzF
x
z
yFxF
F
x
z
yF
x
z
y
x
z
xzF
x
z
xzF
x
z
x
z
+
+
++
++
=
+
+
++
++
=
将
21
1
yFxF
zF
x
z
+
=
代入上式，就得到
()
( )
()
22 2 2
22
211 1212 12
1
232
12 12
2
2
yz F F FFF FF
zFz
x
xF yF xF yF
+
=?
++
。
多个方程的情形
由线性代数的知识知道，在 0
22
11
≠
ba
ba
时，从线性方程组
=+++
=+++
0
,0
2222
1111
ydxcvbua
ydxcvbua
中可以唯一解出
)(
)()(
,
)(
)()(
2121
21212121
2121
21212121
abba
yaddaxacca
v
abba
ydbbdxcbbc
u
+?
=
+?
= 。
也就是说，这时可以确定 vu,为 yx,的函数，或者说 ),( vu 是 ),( yx 的向量值函数。
对于一般的函数方程组
=
=
0),,,(
,0),,,(
vuyxG
vuyxF
在一定的条件下，也可以在某个局部确定 vu,为 yx,的函数。
定理 12.4.3（多元向量值隐函数存在定理） 设函数 ),,,( vuyxF 和
),,,( vuyxG 满足条件,
（1 ） 0),,,(,0),,,(
00000000
== vuyxGvuyxF ；
（2 ） 在闭长方体
0000
{(,,,)|| |,||,||,||}xyuv x x a yy buu cvv d=?≤?≤?≤?≤D
上,函数 GF,连续,且具有连续偏导数 ；
（3 ） 在 ),,,(
0000
vuyx 点,行列式
0
),(
),(
≠=
vu
vu
GG
FF
vu
GF
。
那么
（ⅰ） 在点 ),,,(
0000
vuyx 附近可以从函数方程组
=
=
0),,,(
,0),,,(
vuyxG
vuyxF
唯一确定向量值隐函数
)),,((),(,
),(
),(
00
ρyxOyx
yxg
yxf
v
u
∈
=
,
它满足
=
=
,0)),(),,(,,(
,0)),(),,(,,(
yxgyxfyxG
yxgyxfyxF
以及 ),(),,(
000000
yxgvyxfu == ；
（ⅱ） 这个向量值隐函数在 )),,((
00
ρyxO 上连续 ；
（ⅲ） 这个向量值隐函数在 )),,((
00
ρyxO 上具有连续的导数,且
=
yx
yx
vu
vu
GG
FF
GG
FF
y
v
x
v
y
u
x
u
1
。
证 我们先证明向量值隐函数的存在性、连续性和可导性。
由于在点 ),,,(
0000
vuyx 处
0
),(
),(
≠=
vu
vu
GG
FF
vu
GF
,
所以
u
F 与
v
F 至少有一个在此点不为零。不妨假设
u
F 不等于零，那么对方程 0),,,( =vuyxF 应用隐函数存在定理，知道在 ),,,(
0000
vuyx 附近，存在具有连续偏导数的隐函数 ),,( vyxu φ=,满足
0)),,,(,,( =vvyxyxF φ,),,(
0000
vyxu φ=,且
u
v
v
F
F
=φ 。
将 ),,( vyxu φ= 代入 0),,,( =vuyxG,得到函数方程
0)),,,(,,(),,( == vvyxyxGvyxH φ 。
由于在 ),,(
000
vyx 点处,
0
),(
),(1
≠
=
=+
=+=
vu
GF
FF
GFGF
G
F
F
GGGH
uu
uvvu
v
u
v
uvvuv
φ,
对方程 (,,) 0Hxyv= 应用隐函数存在定理，知道在 ),,(
000
vyx 附近，存在具有连续偏导数的隐函数 ),( yxgv =,它满足 0)),(,,( =yxgyxH,即
0)),()),,(,,(,,( =yxgyxgyxyxG φ 。记 )),(,,(),( yxgyxyxf φ=,那么在 ),(
00
yx 附近成立
(,,(,),(,)) 0,
(,,(,),(,)) 0.
Fxyf xy gxy
Gxy f xy gxy
=
=
由隐函数存在定理知道函数 ),,( vyxu φ= 在 ),,(
000
vyx 附近、
),( yxgv = 在 ),(
00
yx 附近都具有连续偏导数，因此复合函数
)),(,,(),( yxgyxyxf φ= 在 ),(
00
yx 附近具有连续偏导数。即向量值函数
=
),(
),(
yxg
yxf
v
u
在某个邻域 )),,((
00
ρyxO 内具有连续导数。
为了求向量值隐函数的导数，应用多元函数求导的链式规则，就有
=
+
+
=
+
+
,0
,0
x
v
v
G
x
u
u
G
x
G
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
因此
=
x
G
x
F
x
v
x
u
v
G
u
G
v
F
u
F
。
同理得到
=
y
G
y
F
y
v
y
u
v
G
u
G
v
F
u
F
。
将两个矩阵式子合并，就得到
=
y
G
x
G
y
F
x
F
y
v
x
v
y
u
x
u
v
G
u
G
v
F
u
F
,
即
=
y
G
x
G
y
F
x
F
v
G
u
G
v
F
u
F
y
v
x
v
y
u
x
u
1
。
注 将（ⅲ）的导数公式分解出来就是
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
x
u
=
，
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
x
v
=
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vy
GF
y
u
=
，
),(
),(
),(
),(
vu
GF
yu
GF
y
v
=
。
进一步，我们考虑一般地 m 个 mn + 元函数组成的方程组
=
=
=
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
2121
21212
21211
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
" "
" "
" "
" "
称
m
mmm
m
m
m
m
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
yyy
FFF
=
"
# # #
"
"
"
"
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
21
),,,(
),,,(
为函数
m
FFF,,,
21
" 关于变量
m
yyy,,,
21
" 的 Jacobi 行列式 。
定理 12.4.4 设 m 个 mn + 元函数
),,2,1(),,,,,,,(
2121
miyyyxxxF
mni
" " " =
满足以下条件,
1） miyyyxxxF
mni
,,2,1,0),,,,,,,(
00
2
0
1
00
2
0
1
" " " == ；
2） 在闭长方体
00
12 12
{(,,,,,,,)|| |,||,1,2,,; 1,2,,}
nmiijjj
xx x yy y xx ayy bi nj m=?≤?≤== " " " "D
上,函数 ),,2,1( miF
i
"= 连续,且具有连续偏导数 ；
3） 在 ),,,,,,,(
00
2
0
1
00
2
0
1 mn
yyyxxx " " 点处,Jacobi 行列式
0
),,,(
),,,(
21
21
≠
m
m
yyy
FFF
"
"
。
那么
(ⅰ) 在点 ),,,,,,,(
00
2
0
1
00
2
0
1 mn
yyyxxx " " 的某个邻域上,可 以从函 数 方 程组
=
=
=
0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
2121
21212
21211
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
" "
" "
" "
" "
唯一确定向量值隐函数
)),,,,((),,,(,
),,,(
),,,(
),,,(
00
2
0
121
21
212
211
2
1
ρ
nn
nm
n
n
m
xxxOxxx
xxxf
xxxf
xxxf
y
y
y
" "
"
#
"
"
#
∈
=
,
它满足方程
0)),,,(,),,,,(),,,,(,,,,(
2121221121
=
nmnnni
xxxfxxxfxxxfxxxF " " " " ",
以及 ),,2,1(),,,(
00
2
0
1
0
mixxxfy
nii
" " == ；
(ⅱ) 这个向量值隐函数在 )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO " 上连续 ；
(ⅲ) 这个向量值隐函数在 )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO " 上具有连续的导数,
且
=
n
mmm
n
n
m
mmm
m
m
n
mmm
n
n
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
"
# # #
"
"
"
# # #
"
"
"
# # #
"
"
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
。
在具体计算向量值隐函数的导数时，通常用如下方法：分别对
miyyyxxxF
mni
,,2,1,0),,,,,,,(
2121
" " " ==
关于
j
x 求偏导，得到
∑
=
==
+
m
k
j
k
k
i
j
i
mi
x
y
y
F
x
F
1
,,2,1,0 " 。
解这个联立方程组，应用 Cramer 法则就得到
njmk
yyy
FFF
yyxyy
FFFFF
x
y
m
m
mkjk
mkkk
j
k
,,2,1;,,2,1,
),,,(
),,,(
),,,,,,(
),,,,,,(
21
21
111
111
" "
"
"
" "
" "
==
=
+?
+?
。
例 12.4.4 设
=
=
)(
),(
xzz
xyy
是由方程组
=
+=
0),,(
),(
zyxF
yxxfz
所确定的向量值隐函数，其中 f 和 F 分别具有连续的导数和偏导数，求
d
d
z
x
。
解 分别对方程 )( yxxfz += 和 0),,( =zyxF 的两边关于 x 求偏导数，
dd
()1 (),
dd
0.
dd
zy
f xy x fxy
xx
FFyFz
xyxzx
′
=+++ +
++=
整理后得到
dd
() ()(),
dd
dd
.
yz
xf x y f x y xf x y
xx
Fy Fz F
yx zx x
′′
++=+++
+=?
解此方程组即得
[]
()() ()
d
d
()
F F
fx y xfx y xfx y
z yx
FF
x
xf x y
zy
′′
++ +? +
=
′
++
。
例 12.4.5 设函数方程组
=++++
=++++
=++++
333333
222222
,
,
cyxwvu
byxwvu
ayxwvu
确定 wvu,,为 yx,的隐函数。求
x
w
x
v
x
u
,,。
解 将方程组化为
=?++++=
=?++++=
=?++++=
,0),,,,(
,0),,,,(
,0),,,,(
333333
222222
cyxwvuwvuyxH
byxwvuwvuyxG
ayxwvuwvuyxF
那么在
0))()((6
333
222
111
),,(
),,(
222
≠==
uwvwuv
wvu
wvu
wvu
HGF
的条件下，可以确定 ),,( wvu 为 ),( yx 的向量值函数。
此时，对以上三个方程关于 x 求偏导，得到
=+
+
+
=+
+
+
=+
+
+
.03333
,02222
,01
2222
x
x
w
w
x
v
v
x
u
u
x
x
w
w
x
v
v
x
u
u
x
w
x
v
x
u
解此方程组就得到
))((
))((
,
))((
))((
,
))((
))((
wvwu
xvxu
x
w
vwvu
xwxu
x
v
uwuv
xwxv
x
u
=
=
=
。
例12.4.6 设函数 ),( yxzz = 具有二阶连续偏导数，并满足方程
02
2
22
2
2
=
+
+
y
z
yx
z
x
z
。
对自变量作变换
=
+=
,
,
yxv
yxu
对因变量也作变换 zxyw?=,导出 w关于
vu,的偏导数所满足的方程。
解 从自变量的变换中可以解出
2
,
2
vu
y
vu
x
=
+
=,因此 zxyw?=
也是 vu,的函数。由于 wxyz?=,利用复合函数求导的链式规则对此等式两边关于 x 和 y 分别求偏导，得到
.
,
v
w
u
w
x
y
v
v
w
y
u
u
w
x
y
z
v
w
u
w
y
x
v
v
w
x
u
u
w
y
x
z
+
=
+
=
=
+
=
进一步还可得到
.2
,11
,2
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
22
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
v
w
vu
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
y
z
v
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
yx
z
v
w
vu
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
x
z
+
=
+
=
+
=
+
+
+
=
=
+
+
=
将这些表达式代入方程 02
2
22
2
2
=
+
+
y
z
yx
z
x
z
，就得到
2
1
2
2
=
u
w
。
实际上，还可以将这个方程解出来。对等式
2
1
2
2
=
u
w
两边求积分，
得到
)(
2
1
vu
u
w
φ+=
,
再求一次积分，就得到
)()(
4
1
2
vuvuw ψφ ++=,
其中 φ与 ψ 是任意的二阶连续可微函数。根据所用的变量代换，就知道方程 02
2
22
2
2
=
+
+
y
z
yx
z
x
z
的解的一般形式为
)()()()(
4
1
2
yxyxyxyxxyz+?+?= ψφ 。
这个例子说明，通过适当的变量代换，可以将微分方程化简乃至解出，这是微分方程和数学物理中常用的方法。
逆映射定理
设 D 为
2
R 中的开集,f,→D
2
R 为映射，其坐标分量函数表示为
=
=
).,(
),,(
vuyy
vuxx
如果 f 在 D 上可导（即 ),( vux 和 ),( vuy 在 D 上可偏导）,我们称
),(
),(
vu
yx
为映射 f 的 Jacobi 行列式。
定理 12.4.5 设 ∈= ),(
000
vuP D,),(),,(
000000
vuyyvuxx ==,
),(
000
yx=
′
P,且 f 在 D 上具有连续导数。 如果在
0
P 点处 f 的 Jacobi 行列式
0
),(
),(
≠
vu
yx
。
那么存在
0
P
′
的一个邻域 ),(
0
ρP
′
O,在这个邻域上存在 f 的 具有连续导数的逆映射 g,
=
=
),,(
),,(
yxvv
yxuu
),(),(
0
ρP
′
∈Oyx,
满足
（ 1） ),(),,(
000000
yxvvyxuu == ；
（ 2）
(,) (,)
,
(,) (,)
uuy x y xxy
vuv vuvxy
==?
,
(,) (,)
,
(,) (,)
vvy x y xxy
uuv uuv
=? =
。
证 考虑函数方程组
=?=
=?=
.0),(),,,(
,0),(),,,(
vuyyvuyxG
vuxxvuyxF
由假设，在 ),,,(
0000
vuyx 点处
0
),(
),(
),(
),(
≠
=
vu
yx
vu
GF
。
由向量值函数的隐函数存在定理，在 ),,,(
0000
vuyx 附近存在向量值函数
(,),
:
(,),
uuxy
vvxy
=
=
g
),(),(
0
ρP
′
∈Oyx,
满足
（ i） ),(),,(
000000
yxvvyxuu == ；
（ ii）
=
=
,)),(),,((
,)),(),,((
yyxvyxuy
xyxvyxux
而且 ),( yxu 和 ),( yxv 在 ),(
0
ρP
′
O 上具有连续的偏导数。这也说明在 ),(
0
ρP
′
O
上 g 为 f 的逆映射。
在（ ii）式中对 x 求偏导，得到
1=
+
x
v
v
x
x
u
u
x
,
0=
+
x
v
v
y
x
u
u
y
。
因此
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
vu
yx
v
y
x
u
=
=
。
同理可得
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
vu
yx
v
x
y
u
=
=
。
注 从定理的结论（2）可以立即得到
1
),(
),(
),(
),(
=
yx
vu
vu
yx
,
即映射 f 与其逆映射 g 的 Jacobi 行列式互为倒数,这是一元函数的反函数求导公式的推广。
在（ ii）式中对 x 求偏导，得到
1=
+
x
v
v
x
x
u
u
x
,
0=
+
x
v
v
y
x
u
u
y
。
因此
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
vu
yx
v
y
x
u
=
=
。
同理可得
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
vu
yx
v
x
y
u
=
=
。
例如极坐标变换（即映射）
=
=
,sin
,cos
θ
θ
ry
rx
的 Jacobi 行列式为
r
r
r
r
yx
=
=
θθ
θθ
θ cossin
sincos
),(
),(
。
因此在任意点 ),( yx （ 0
22
≠+ yx ）附近，存在逆变换
),(),,( yxyxrr θθ == 。
一般来说，连续映射不一定将开集映射为开集。例如，常值映射就不是将开集映射为开集。但若一个连续映射在某个开集上的 Jacobi
行列式恒不等于零，那么它将这个开集映射为开集，这就是下面的定理。
例如极坐标变换（即映射）
=
=
,sin
,cos
θ
θ
ry
rx
的 Jacobi 行列式为
r
r
r
r
yx
=
=
θθ
θθ
θ cossin
sincos
),(
),(
。
因此在任意点 ),( yx （ 0
22
≠+ yx ）附近，存在逆变换
),(),,( yxyxrr θθ == 。
定理 12.4.6 设 D为
2
R 中的开集,且映射 f
2
,→ RD 在 D上具有连续导数 。 如果 f 的 Jacobi 行列式在 D上恒不为零,那么 D的像集 f ()D
是开集 。
证 设 ),(
000
yx=
′
P 为 f )(D 上的任一点，那么从定理 12.4.5 的证明可知，存在
0
P
′
的一个邻域 ),(
0
ρP
′
O,使得这个邻域中的点都是 f 的像点，因此
0
P
′
是 f ()D 的内点。这就是说,f ()D 是开集。
22
yxz += 等。
这种函数表达形式通常称为显函数。
但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来 表达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 Kepler 方程
=),( yxF 10,0sin <<= εε yxy,
这里 x 是时间,y 是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度,ε 是行 星运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑,y 必定是 x 的函数，
但要将函数关系用显式表达出来却无能为力。
这种自变量和因变量混合在一起的方程（组） (,) 0Fxy=,在一 定条件下也表示 y 与 x 之间的函数关系，通称 隐函数。
那么自然要问，这种函数方程（组）在什么条件下确实表示了 一个隐函数（向量值隐函数）,如何保证该隐函数连续和可微？
§ 4 隐函数那么
（ ⅰ ）在点 ),(
00
yx 附近可以从函数方程
0),( =yxF
唯一确定隐函数
),(),(
0
ρxOxxfy ∈=,
它满足 0))(,( =xfxF,以及 )(
00
xfy = ；
（ⅱ） 隐函数 )(xfy = 在 ),(
0
ρxOx∈ 上连续 ；
（ⅲ） 隐函数 )(xfy = 在 ),(
0
ρxOx∈ 上具有连续的导数,且
(,)d
d(,)
x
y
F xyy
xFxy
=? 。
单个方程的情形
定理 12.4.1（一元隐函数存在定理） 若二元函数 ),( yxF 满 足 条件,
（ 1） 0),(
00
=yxF ；
（ 2） 在闭矩形
00
{(,)|| |,||}x y xx a yy b=?≤?≤D 上,),( yxF 连续,且具有连续偏导数 ；
（ 3） 0),(
00
≠yxF
y
。
证 不失一般性，设 0),(
00
>yxF
y
。
先证明隐函数的存在性。
由 0),(
00
>yxF
y
与 ),( yxF
y
的连续性，可知存在 ba ≤<≤< βα 0,0,
使得在闭矩形
*
00
{(,) || |,| | }xy x x y yα β=?≤?≤D 上成立
0),( >yxF
y
。
于是，对固定的
0
x,y 的函数 ),(
0
yxF 在 ],[
00
ββ +? yy 是严格单调增加的。又由于 0),(
00
=yxF,从而
0),(,0),(
0000
>+<? ββ yxFyxF 。
由于 ),( yxF 在
*
D 上连续性，于是存在 0>ρ,使得在线段
βρρ +=+<<?
000
,yyxxx
上 0),(
0
>+βyxF,而在线段
βρρ?=+<<?
000
,yyxxx
上 0),(
0
<?βyxF 。
因此，对于 ),(
00
ρρ +? xx 内的任一点 x,将 ),( yxF 看成 y 的函数，
它在 ],[
00
ββ +? yy 上是连续的，而由刚才的讨论知道
0),(,0),(
00
>+<? ββ yxFyxF,
根据零点存在定理，必有 ),(
00
ββ +?∈ yyy 使得 0),( =yxF 。 又因为在
*
D
上 0>
y
F,因此这样的 y 是唯一的。
将 y 与 x 的对应关系记为 y )(xf=,就得到定义在 ),(
00
ρρ +? xx 上的函数 )(xfy =,它满足 0))(,( ≡xfxF,而且显然成立 )(
00
xfy = 。
y
β+
0
y
0>F
0
y ),(
00
yx
y
β?
0
y
0<F
O x
0
x
0
x ρ+ x
图 12.4.2
0
x ρ?
再证隐函数 )(xfy = 在 ),(
00
ρρ +? xx 上的连续性。
设 x 为 ),(
00
ρρ +? xx 上的任一点。对于任意给定的 0>ε （ ε 充 分小）,由于 0),( =yxF （ )(xfy = ）,由前面的讨论知道
0),(,0),( >+<? εε yxFyxF 。
而由于 ),( yxF 在
*
D 上的连续性，一定存在 0>δ,使得当 ),( δxOx∈ 时，
0),(,0),( >+<? εε yxFyxF 。
通过类似前面的讨论即得到，当 ),( δxOx∈ 时，相应的隐函数值必 满足 ),()( εε +?∈ yyxf,即
ε<? |)()(| xfxf 。
这就是说,)(xfy = 在 ),(
00
ρρ +? xx 上连续。
最后证明 )(xfy = 在 ),(
00
ρρ +? xx 上的可导性。
设 x 为 ),(
00
ρρ +? xx 上的任一点。取 xΔ 充分小使得 ∈Δ+ xx
),(
00
ρρ +? xx,记 )(xfy = 以及 )( xxfyy Δ+=Δ+,则显然成立 0),( =yxF
和 0),( =Δ+Δ+ yyxxF 。
应用多元函数的微分中值定理，得到
),(),(0 yxFyyxxF?Δ+Δ+=
yyyxxFxyyxxF
yx
ΔΔ+Δ++ΔΔ+Δ+= ),(),( θθθθ,
其中 10 <<θ 。注意到在
*
D 上 0≠
y
F,因此
),(
),(
yyxxF
yyxxF
x
y
y
x
Δ+Δ+
Δ+Δ+
=
Δ
Δ
θθ
θθ
。
令 0→Δx,注意到
x
F 和
y
F 的连续性，就得到
(,)d
d(,
x
xx y
F x yy
xFy
=
=? 。
即
))(,(
))(,(
)(
xfxF
xfxF
xf
y
x
=
′
。
定理 12.4.1 只是保证了在一定的条件下，函数方程 0),( =yxF 在局部（不一定是整体）确定了 y 关于 x 的函数关系 )(xfy =,而并不意 味这种关系能用显式具体表示出来。例如 Kepler 方程
10,0sin <<= εε yxy,
如果取 yxyyxF sin),( ε=,那么 0cos1),( >?= θεyxF
y
，所以 y 对 x 的依赖关系，即隐函数 )(xfy = 是肯定存在的。但遗憾的是，它不能用显式表示。
定理 12.4.1 可以直接推广到多元函数的情形。
定理 12.4.2 （多元隐函数存在定理） 若 1+n 元函数 ),,,,(
21
yxxxF
n
"
满足条件,
（ 1） 0),,,,(
000
2
0
1
=yxxxF
n
" ；
（ 2） 在闭长方体
00
{(,)|| |,||,1,2,,}
ii i
xy y y bxx ai n=?≤?≤= "D 上,函数 F 连续,且具有连续偏导数 niFF
i
xy
,,2,1,, "= ；
（ 3） 0),,,,(
000
2
0
1
≠yxxxF
ny
" 。
那么
（ⅰ） 在点 ),,,,(
000
2
0
1
yxxx
n
" 附近可以从函数方程
0),,,,(
21
=yxxxF
n
"
唯一确定隐函数
),,,(),,,,(
2121 nn
xxxxxxfy " "= )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO "∈,
它满足 0)),,,(,,,,(
2121
=
nn
xxxfxxxF " ",以及 ),,,(
00
2
0
1
0
n
xxxfy "= ；
（ⅱ） 隐函数 ),,,(
21 n
xxxfy "= 在 )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO " 上连续 ；
（ⅲ） 隐函数 ),,,(
21 n
xxxfy "= 在 )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO " 上 具有连续 的偏导数,且
ni
yxxxF
yxxxF
x
y
ny
nx
i
i
,,2,1,
),,,,(
),,,,(
21
21
"
"
"
=?=
。
在具体计算中，方程 0),,,,(
21
=yxxxF
n
" 所确定的隐函数
),,,(
21 n
xxxfy "= 的偏导数通常可如下直接计算：在方程两边对
i
x 求偏导，利用复合函数求导的链式规则即得
0=
+
ii
x
y
y
F
x
F
,
于是
y
x
i
i
F
F
y
F
x
F
x
y
i
=
=
,ni,,2,1 "= 。
例 12.4.1 在上半椭球面 )0(1
2
2
2
2
2
2
>=++ z
c
z
b
y
a
x
上，求
x
z
和
y
z
。
解 记
01),,(
2
2
2
2
2
2
=?++=
c
z
b
y
a
x
zyxF,
则 0
2
2
>=
c
z
F
z
保证了隐函数 ),( yxfz = 的存在性。
在方程两边分别对 x 和 y 求偏导，得到
0
22
22
=
+
x
z
c
z
a
x
,0
22
22
=
+
y
z
c
z
b
y
,
从而有
z
x
a
c
x
z
2
2
=
,
z
y
b
c
y
z
2
2
=
。
例12.4.2 设方程 zzyx 4
222
=++ 确定 z 为 yx,的函数，求
2
2
x
z
和
yx
z
2
。
解 在方程 zzyx 4
222
=++ 两边对 x 求偏导,
x
z
x
z
zx
=
+ 422,
于是
z
x
x
z
=
2
。
再在前一等式两边对 x 求偏导,
2
2
2
2
2
4222
x
z
x
z
z
x
z
=
+
+,
得到
3
22
2
2
2
)2(
)2(
2
1
z
xz
z
x
z
x
z
+?
=
+
=
。
在方程 zzyx 4
222
=++ 两边对 y 求偏导,
y
z
y
z
zy
=
+ 422,
于是
z
y
y
z
=
2
。
再在前一等式两边对 x 求偏导,
yx
z
yx
z
z
y
z
x
z
=
+
22
422,
得到
3
2
)2(2 z
xy
z
y
z
x
z
yx
z
=
=
。
例 12.4.3 设方程 0),( =yzxzF 确定 z 为 yx,的函数，其中 F 具有二阶连续偏导数，求
2
2
x
z
。
解 当 0
21
≠+=
yFxF
z
F
，可以应用隐函数存在定理，在方程
0),( =yzxzF 两边对 x 求偏导,
0
21
=
+
+ F
x
z
yF
x
z
xz,
于是
21
1
yFxF
zF
x
z
+
=
。
再在前一等式两边对 x 求偏导，得到
22
2 2
111 12 2
2 2
22 0
zz z zz z z
xFzxF zxyFyFyF
xx x xx x x
+ ++ + + + + =
。
于是
.
22
22
21
22
2
1211
2
1
21
22
2
1211
2
1
2
2
yFxF
F
x
z
yF
x
z
y
x
z
xzF
x
z
xzF
x
z
yFxF
F
x
z
yF
x
z
y
x
z
xzF
x
z
xzF
x
z
x
z
+
+
++
++
=
+
+
++
++
=
将
21
1
yFxF
zF
x
z
+
=
代入上式，就得到
()
( )
()
22 2 2
22
211 1212 12
1
232
12 12
2
2
yz F F FFF FF
zFz
x
xF yF xF yF
+
=?
++
。
多个方程的情形
由线性代数的知识知道，在 0
22
11
≠
ba
ba
时，从线性方程组
=+++
=+++
0
,0
2222
1111
ydxcvbua
ydxcvbua
中可以唯一解出
)(
)()(
,
)(
)()(
2121
21212121
2121
21212121
abba
yaddaxacca
v
abba
ydbbdxcbbc
u
+?
=
+?
= 。
也就是说，这时可以确定 vu,为 yx,的函数，或者说 ),( vu 是 ),( yx 的向量值函数。
对于一般的函数方程组
=
=
0),,,(
,0),,,(
vuyxG
vuyxF
在一定的条件下，也可以在某个局部确定 vu,为 yx,的函数。
定理 12.4.3（多元向量值隐函数存在定理） 设函数 ),,,( vuyxF 和
),,,( vuyxG 满足条件,
（1 ） 0),,,(,0),,,(
00000000
== vuyxGvuyxF ；
（2 ） 在闭长方体
0000
{(,,,)|| |,||,||,||}xyuv x x a yy buu cvv d=?≤?≤?≤?≤D
上,函数 GF,连续,且具有连续偏导数 ；
（3 ） 在 ),,,(
0000
vuyx 点,行列式
0
),(
),(
≠=
vu
vu
GG
FF
vu
GF
。
那么
（ⅰ） 在点 ),,,(
0000
vuyx 附近可以从函数方程组
=
=
0),,,(
,0),,,(
vuyxG
vuyxF
唯一确定向量值隐函数
)),,((),(,
),(
),(
00
ρyxOyx
yxg
yxf
v
u
∈
=
,
它满足
=
=
,0)),(),,(,,(
,0)),(),,(,,(
yxgyxfyxG
yxgyxfyxF
以及 ),(),,(
000000
yxgvyxfu == ；
（ⅱ） 这个向量值隐函数在 )),,((
00
ρyxO 上连续 ；
（ⅲ） 这个向量值隐函数在 )),,((
00
ρyxO 上具有连续的导数,且
=
yx
yx
vu
vu
GG
FF
GG
FF
y
v
x
v
y
u
x
u
1
。
证 我们先证明向量值隐函数的存在性、连续性和可导性。
由于在点 ),,,(
0000
vuyx 处
0
),(
),(
≠=
vu
vu
GG
FF
vu
GF
,
所以
u
F 与
v
F 至少有一个在此点不为零。不妨假设
u
F 不等于零，那么对方程 0),,,( =vuyxF 应用隐函数存在定理，知道在 ),,,(
0000
vuyx 附近，存在具有连续偏导数的隐函数 ),,( vyxu φ=,满足
0)),,,(,,( =vvyxyxF φ,),,(
0000
vyxu φ=,且
u
v
v
F
F
=φ 。
将 ),,( vyxu φ= 代入 0),,,( =vuyxG,得到函数方程
0)),,,(,,(),,( == vvyxyxGvyxH φ 。
由于在 ),,(
000
vyx 点处,
0
),(
),(1
≠
=
=+
=+=
vu
GF
FF
GFGF
G
F
F
GGGH
uu
uvvu
v
u
v
uvvuv
φ,
对方程 (,,) 0Hxyv= 应用隐函数存在定理，知道在 ),,(
000
vyx 附近，存在具有连续偏导数的隐函数 ),( yxgv =,它满足 0)),(,,( =yxgyxH,即
0)),()),,(,,(,,( =yxgyxgyxyxG φ 。记 )),(,,(),( yxgyxyxf φ=,那么在 ),(
00
yx 附近成立
(,,(,),(,)) 0,
(,,(,),(,)) 0.
Fxyf xy gxy
Gxy f xy gxy
=
=
由隐函数存在定理知道函数 ),,( vyxu φ= 在 ),,(
000
vyx 附近、
),( yxgv = 在 ),(
00
yx 附近都具有连续偏导数，因此复合函数
)),(,,(),( yxgyxyxf φ= 在 ),(
00
yx 附近具有连续偏导数。即向量值函数
=
),(
),(
yxg
yxf
v
u
在某个邻域 )),,((
00
ρyxO 内具有连续导数。
为了求向量值隐函数的导数，应用多元函数求导的链式规则，就有
=
+
+
=
+
+
,0
,0
x
v
v
G
x
u
u
G
x
G
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
因此
=
x
G
x
F
x
v
x
u
v
G
u
G
v
F
u
F
。
同理得到
=
y
G
y
F
y
v
y
u
v
G
u
G
v
F
u
F
。
将两个矩阵式子合并，就得到
=
y
G
x
G
y
F
x
F
y
v
x
v
y
u
x
u
v
G
u
G
v
F
u
F
,
即
=
y
G
x
G
y
F
x
F
v
G
u
G
v
F
u
F
y
v
x
v
y
u
x
u
1
。
注 将（ⅲ）的导数公式分解出来就是
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
x
u
=
，
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
x
v
=
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vy
GF
y
u
=
，
),(
),(
),(
),(
vu
GF
yu
GF
y
v
=
。
进一步，我们考虑一般地 m 个 mn + 元函数组成的方程组
=
=
=
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
2121
21212
21211
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
" "
" "
" "
" "
称
m
mmm
m
m
m
m
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
yyy
FFF
=
"
# # #
"
"
"
"
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
21
),,,(
),,,(
为函数
m
FFF,,,
21
" 关于变量
m
yyy,,,
21
" 的 Jacobi 行列式 。
定理 12.4.4 设 m 个 mn + 元函数
),,2,1(),,,,,,,(
2121
miyyyxxxF
mni
" " " =
满足以下条件,
1） miyyyxxxF
mni
,,2,1,0),,,,,,,(
00
2
0
1
00
2
0
1
" " " == ；
2） 在闭长方体
00
12 12
{(,,,,,,,)|| |,||,1,2,,; 1,2,,}
nmiijjj
xx x yy y xx ayy bi nj m=?≤?≤== " " " "D
上,函数 ),,2,1( miF
i
"= 连续,且具有连续偏导数 ；
3） 在 ),,,,,,,(
00
2
0
1
00
2
0
1 mn
yyyxxx " " 点处,Jacobi 行列式
0
),,,(
),,,(
21
21
≠
m
m
yyy
FFF
"
"
。
那么
(ⅰ) 在点 ),,,,,,,(
00
2
0
1
00
2
0
1 mn
yyyxxx " " 的某个邻域上,可 以从函 数 方 程组
=
=
=
0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
,0),,,,,,,(
2121
21212
21211
mnm
mn
mn
yyyxxxF
yyyxxxF
yyyxxxF
" "
" "
" "
" "
唯一确定向量值隐函数
)),,,,((),,,(,
),,,(
),,,(
),,,(
00
2
0
121
21
212
211
2
1
ρ
nn
nm
n
n
m
xxxOxxx
xxxf
xxxf
xxxf
y
y
y
" "
"
#
"
"
#
∈
=
,
它满足方程
0)),,,(,),,,,(),,,,(,,,,(
2121221121
=
nmnnni
xxxfxxxfxxxfxxxF " " " " ",
以及 ),,2,1(),,,(
00
2
0
1
0
mixxxfy
nii
" " == ；
(ⅱ) 这个向量值隐函数在 )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO " 上连续 ；
(ⅲ) 这个向量值隐函数在 )),,,,((
00
2
0
1
ρ
n
xxxO " 上具有连续的导数,
且
=
n
mmm
n
n
m
mmm
m
m
n
mmm
n
n
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
"
# # #
"
"
"
# # #
"
"
"
# # #
"
"
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
。
在具体计算向量值隐函数的导数时，通常用如下方法：分别对
miyyyxxxF
mni
,,2,1,0),,,,,,,(
2121
" " " ==
关于
j
x 求偏导，得到
∑
=
==
+
m
k
j
k
k
i
j
i
mi
x
y
y
F
x
F
1
,,2,1,0 " 。
解这个联立方程组，应用 Cramer 法则就得到
njmk
yyy
FFF
yyxyy
FFFFF
x
y
m
m
mkjk
mkkk
j
k
,,2,1;,,2,1,
),,,(
),,,(
),,,,,,(
),,,,,,(
21
21
111
111
" "
"
"
" "
" "
==
=
+?
+?
。
例 12.4.4 设
=
=
)(
),(
xzz
xyy
是由方程组
=
+=
0),,(
),(
zyxF
yxxfz
所确定的向量值隐函数，其中 f 和 F 分别具有连续的导数和偏导数，求
d
d
z
x
。
解 分别对方程 )( yxxfz += 和 0),,( =zyxF 的两边关于 x 求偏导数，
dd
()1 (),
dd
0.
dd
zy
f xy x fxy
xx
FFyFz
xyxzx
′
=+++ +
++=
整理后得到
dd
() ()(),
dd
dd
.
yz
xf x y f x y xf x y
xx
Fy Fz F
yx zx x
′′
++=+++
+=?
解此方程组即得
[]
()() ()
d
d
()
F F
fx y xfx y xfx y
z yx
FF
x
xf x y
zy
′′
++ +? +
=
′
++
。
例 12.4.5 设函数方程组
=++++
=++++
=++++
333333
222222
,
,
cyxwvu
byxwvu
ayxwvu
确定 wvu,,为 yx,的隐函数。求
x
w
x
v
x
u
,,。
解 将方程组化为
=?++++=
=?++++=
=?++++=
,0),,,,(
,0),,,,(
,0),,,,(
333333
222222
cyxwvuwvuyxH
byxwvuwvuyxG
ayxwvuwvuyxF
那么在
0))()((6
333
222
111
),,(
),,(
222
≠==
uwvwuv
wvu
wvu
wvu
HGF
的条件下，可以确定 ),,( wvu 为 ),( yx 的向量值函数。
此时，对以上三个方程关于 x 求偏导，得到
=+
+
+
=+
+
+
=+
+
+
.03333
,02222
,01
2222
x
x
w
w
x
v
v
x
u
u
x
x
w
w
x
v
v
x
u
u
x
w
x
v
x
u
解此方程组就得到
))((
))((
,
))((
))((
,
))((
))((
wvwu
xvxu
x
w
vwvu
xwxu
x
v
uwuv
xwxv
x
u
=
=
=
。
例12.4.6 设函数 ),( yxzz = 具有二阶连续偏导数，并满足方程
02
2
22
2
2
=
+
+
y
z
yx
z
x
z
。
对自变量作变换
=
+=
,
,
yxv
yxu
对因变量也作变换 zxyw?=,导出 w关于
vu,的偏导数所满足的方程。
解 从自变量的变换中可以解出
2
,
2
vu
y
vu
x
=
+
=,因此 zxyw?=
也是 vu,的函数。由于 wxyz?=,利用复合函数求导的链式规则对此等式两边关于 x 和 y 分别求偏导，得到
.
,
v
w
u
w
x
y
v
v
w
y
u
u
w
x
y
z
v
w
u
w
y
x
v
v
w
x
u
u
w
y
x
z
+
=
+
=
=
+
=
进一步还可得到
.2
,11
,2
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
22
2
22
2
2
2
222
2
2
2
2
v
w
vu
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
y
z
v
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
yx
z
v
w
vu
w
u
w
v
w
vu
w
uv
w
u
w
x
z
+
=
+
=
+
=
+
+
+
=
=
+
+
=
将这些表达式代入方程 02
2
22
2
2
=
+
+
y
z
yx
z
x
z
，就得到
2
1
2
2
=
u
w
。
实际上，还可以将这个方程解出来。对等式
2
1
2
2
=
u
w
两边求积分，
得到
)(
2
1
vu
u
w
φ+=
,
再求一次积分，就得到
)()(
4
1
2
vuvuw ψφ ++=,
其中 φ与 ψ 是任意的二阶连续可微函数。根据所用的变量代换，就知道方程 02
2
22
2
2
=
+
+
y
z
yx
z
x
z
的解的一般形式为
)()()()(
4
1
2
yxyxyxyxxyz+?+?= ψφ 。
这个例子说明，通过适当的变量代换，可以将微分方程化简乃至解出，这是微分方程和数学物理中常用的方法。
逆映射定理
设 D 为
2
R 中的开集,f,→D
2
R 为映射，其坐标分量函数表示为
=
=
).,(
),,(
vuyy
vuxx
如果 f 在 D 上可导（即 ),( vux 和 ),( vuy 在 D 上可偏导）,我们称
),(
),(
vu
yx
为映射 f 的 Jacobi 行列式。
定理 12.4.5 设 ∈= ),(
000
vuP D,),(),,(
000000
vuyyvuxx ==,
),(
000
yx=
′
P,且 f 在 D 上具有连续导数。 如果在
0
P 点处 f 的 Jacobi 行列式
0
),(
),(
≠
vu
yx
。
那么存在
0
P
′
的一个邻域 ),(
0
ρP
′
O,在这个邻域上存在 f 的 具有连续导数的逆映射 g,
=
=
),,(
),,(
yxvv
yxuu
),(),(
0
ρP
′
∈Oyx,
满足
（ 1） ),(),,(
000000
yxvvyxuu == ；
（ 2）
(,) (,)
,
(,) (,)
uuy x y xxy
vuv vuvxy
==?
,
(,) (,)
,
(,) (,)
vvy x y xxy
uuv uuv
=? =
。
证 考虑函数方程组
=?=
=?=
.0),(),,,(
,0),(),,,(
vuyyvuyxG
vuxxvuyxF
由假设，在 ),,,(
0000
vuyx 点处
0
),(
),(
),(
),(
≠
=
vu
yx
vu
GF
。
由向量值函数的隐函数存在定理，在 ),,,(
0000
vuyx 附近存在向量值函数
(,),
:
(,),
uuxy
vvxy
=
=
g
),(),(
0
ρP
′
∈Oyx,
满足
（ i） ),(),,(
000000
yxvvyxuu == ；
（ ii）
=
=
,)),(),,((
,)),(),,((
yyxvyxuy
xyxvyxux
而且 ),( yxu 和 ),( yxv 在 ),(
0
ρP
′
O 上具有连续的偏导数。这也说明在 ),(
0
ρP
′
O
上 g 为 f 的逆映射。
在（ ii）式中对 x 求偏导，得到
1=
+
x
v
v
x
x
u
u
x
,
0=
+
x
v
v
y
x
u
u
y
。
因此
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
vu
yx
v
y
x
u
=
=
。
同理可得
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
vu
yx
v
x
y
u
=
=
。
注 从定理的结论（2）可以立即得到
1
),(
),(
),(
),(
=
yx
vu
vu
yx
,
即映射 f 与其逆映射 g 的 Jacobi 行列式互为倒数,这是一元函数的反函数求导公式的推广。
在（ ii）式中对 x 求偏导，得到
1=
+
x
v
v
x
x
u
u
x
,
0=
+
x
v
v
y
x
u
u
y
。
因此
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
y
x
v
vu
yx
v
y
x
u
=
=
。
同理可得
),(
),(
,
),(
),(
vu
yx
u
x
y
v
vu
yx
v
x
y
u
=
=
。
例如极坐标变换（即映射）
=
=
,sin
,cos
θ
θ
ry
rx
的 Jacobi 行列式为
r
r
r
r
yx
=
=
θθ
θθ
θ cossin
sincos
),(
),(
。
因此在任意点 ),( yx （ 0
22
≠+ yx ）附近，存在逆变换
),(),,( yxyxrr θθ == 。
一般来说，连续映射不一定将开集映射为开集。例如，常值映射就不是将开集映射为开集。但若一个连续映射在某个开集上的 Jacobi
行列式恒不等于零，那么它将这个开集映射为开集，这就是下面的定理。
例如极坐标变换（即映射）
=
=
,sin
,cos
θ
θ
ry
rx
的 Jacobi 行列式为
r
r
r
r
yx
=
=
θθ
θθ
θ cossin
sincos
),(
),(
。
因此在任意点 ),( yx （ 0
22
≠+ yx ）附近，存在逆变换
),(),,( yxyxrr θθ == 。
定理 12.4.6 设 D为
2
R 中的开集,且映射 f
2
,→ RD 在 D上具有连续导数 。 如果 f 的 Jacobi 行列式在 D上恒不为零,那么 D的像集 f ()D
是开集 。
证 设 ),(
000
yx=
′
P 为 f )(D 上的任一点，那么从定理 12.4.5 的证明可知，存在
0
P
′
的一个邻域 ),(
0
ρP
′
O,使得这个邻域中的点都是 f 的像点，因此
0
P
′
是 f ()D 的内点。这就是说,f ()D 是开集。
