第一类曲线积分
设一条具有质量的空间曲线 L 上任一点 (,,)x y z 处的线密度为
ρ(,,)x y z 。将 L 分成 n 个小曲线段
i
L ni,,2,1( "= ）,并在
i
L 上任取一点
),,(
iii
ζηξ,那么当每个
i
L 的长度 Δs
i
都很小时，
i
L 的质量就近似地等 于
iiii
sΔ),,( ζηξρ,于是整条 L的质量就近似地等于
∑
=
Δ
n
i
iiii
s
1
),,( ζηξρ 。
当对 L的分割越来越细时，这个近似值的极限就是 L的质量。
§ 1 第一类曲线积分与第一类曲面积分第十四章 曲线积分、曲面积分与场论利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。
定义 14.1.1 设 L 是空间
3
R 上一条可求长的连续曲线,其端点为 A和 B,函数 fxyz(,,)在 L 上有界 。 令
n
PBPA ==,
0
。 在 L 上从 A到 B 顺序地插入分点
121
,,,
n
PPP ",再分别在每个小弧段
ii
PP
1?
上任取一点
),,(
iii
ζηξ,并记第 i 个小弧段
ii
PP
1?
的长度为 Δs
i
（ ni,,2,1 "= ）,作和式
∑
=
Δ
n
i
iiii
sf
1
),,( ζηξ 。
如果当所有小弧段的最大长度 λ趋于零时,这个和式的极限存在，且极限值与分点 }{
i
P 的取法及弧段
ii
PP
1?
上的点 ),,(
iii
ζηξ 的取法无关,则称这个极限值为 fxyz(,,)在曲线 L 上的第一类曲线积分,记为
(,,)d
L
f xyz s
∫
或 ()d
L
f Ps
∫
。
即
0
1
(,,)d lim (,,)
n
iii i
i
L
f x y zs f s
λ
ξηζ
→
=
= Δ
∑
∫
。
其中 fxyz(,,)称为被积函数,L 称为积分路径 。
这样，本节一开始所要求的曲线 L质量就可表为
(,,)d
L
M xyz sρ=
∫
。
在平面情形下，函数 ),( yxf 在平面曲线 L上的第一类曲线积分 记为 (,)d
L
f xy s
∫
。
第一类曲线积分具有以下性质,
性质 1 （ 线性性） 如果函数 fg,在 L 上的第一类曲线积分存在，
则对于任何常数 βα,,gf βα + 在 L 上的第一类曲线积分也存在,且成立
()ddd
LLL
f gs fs gsαβ α β+=+
∫ ∫∫
。
性质 2 （ 路径可加性 ） 设曲线 L分成了两段
12
,LL。如果函数 f 在
L 上的第一类曲线积分存在，则它在
1
L 和
2
L 上的第一 类曲线 积 分也存在。 反之,如果函数 f 在
1
L 和
2
L 上的第一类曲线积分存在,则它在 L上的第一类曲线积分也存在。并成立
12
ddd
LLL
fs fs fs=+
∫ ∫∫
。
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L的方程为
xxt yyt zzt t= = = ≤ ≤(),(),(),α β,
其中 )(),(),( tztytx 具有连续导数,且 )(),(),( tztytx ′′′ 不同时为零 （即 L为光滑曲线）,那么 L是可求长的，且曲线的弧长为
222
() () ()dsxty tztt
β
α
′′′
=++
∫
。
定理 14.1.1 设 L为光滑曲线,函数 fxyz(,,)在 L 上连续 。 则 fxyz(,,)
在 L上的第一类曲线积分存在,且
222
(,,)d ((),(),()) () () ()d
L
f xyz s f xt yt zt x t y t z t t
β
α
′′′
=++
∫∫
。
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L的方程为
xxt yyt zzt t= = = ≤ ≤(),(),(),α β,
其中 )(),(),( tztytx 具有连续导数,且 )(),(),( tztytx
′′′ 不同时为零 （即
L为光滑曲线）,那么 L是可求长的，且曲线的弧长为
222
() () ()dsxty tztt
β
α
′′′
=++
∫
。
证 记
222
( (),(),()) () () ()dI f xt y tzt x t y tztt
β
α
′′′
=++
∫
。
作区间 [,]α β 的划分
012
:Ptttα = <<< " β=<
n
t,在 L上顺次插入分点 )1,,2,1())(),(),((?= nitztytxP
iiii
",并设 ))(),(),((
0
ααα zyxP =,
))(),(),(( βββ zyxP
n
= 。记小弧段
ii
PP
1?
的长度为
i
sΔ,那么它的弧长为
222
1
() () ()d
t
i
i
t
i
sxty tztt
′′′
Δ= + +
∫
。令
∑
=
Δ=
n
i
iiii
szyxf
1
))(),(),(( ξξξσ,
其中 ))(),(),((
iii
zyx ξξξ 为弧段
ii
PP
1?
上任意一点。那么
[]
222
1
222
1
1
( ( ),( ),( )) ( (),(),()) () () ()d
( ( ),( ),( )) ( ( ),( ),( )) ( ) ( ) ( )d
n
iiii
i
n
t
i
iii
t
i
i
Ifxyzsfxtytztxtytztt
f xyz fxtytztxtytztt
β
α
σξξξ
ξξξ
=
=
′′′
= Δ? + +
′′′
=?
∑
∫
∑
∫
。
设 L的弧长为 s。由于 fxyz(,,)在紧集 L上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ε，当 max=λ (
i
sΔ )充分小时,),,( zyxf 在每个弧段
ii
PP
1?
上的振幅均小于
s
ε
。于是成立
222
1
1
222
( ( ),( ),( )) ( ( ),( ),( )) ( ) ( ) ( )d
() () ()d
n
t
i
iii
t
i
i
Ifxyzfxtytztxtytzt
xt yt ztt s
ss
β
α
σξξ
εε
ε
=
′′′
≤? + +
′′′
<++==
∑
∫
∫
。
从而得到
(,,)d
L
f xyz s=
∫
lim
λ
σ
→
=
0
I 。
特别地，如果平面光滑曲线 L的方程为
yyx axb= ≤ ≤(),,
则
2
(,)d (,())1 ()d
b
a
L
f xy s f xyx y x x
′
=+
∫∫
。
设 L的弧长为 s。由于 fxyz(,,)在紧集 L上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ε，当 max=λ (
i
sΔ )充分小时,),,( zyxf 在每个弧段
ii
PP
1?
上的振幅均小于
s
ε
。于是成立
222
1
1
222
( ( ),( ),( )) ( ( ),( ),( )) ( ) ( ) ( )d
() () ()d
n
t
i
iii
t
i
i
Ifxyzfxtytztxtytzt
xt yt ztt s
ss
β
α
σξξ
εε
ε
=
′′′
≤? + +
′′′
<++==
∑
∫
∫
。
从而得到
(,,)d
L
f xyz s=
∫
lim
λ
σ
→
=
0
I 。
A
BO
x
y
a
图14.1.2
例14.1.1 计算
22
ed
xy
L
I s
+
=
∫
，其中 L为圆周 xya
22 2
+=，直线 y x=
及 x轴在第一象限所围图形的边界。
解
p
22 22 22
ededed
xy xy xy
OA OB
AB
Isss
+++
=++
∫∫∫
。
线段 OA的方程为 20,axxy ≤≤=,所以
22 2
2
0
ed e2de1
a
xy xa
OA
sx
+
= =?
∫∫
。
圆弧
p
AB 的参数方程为 cos,sin,0 π 4xa yaθ θθ= =≤≤，所以
p
22 π 4
0
π
ed ed e
4
xy aa
AB
saaθ
+
==
∫∫
。
线段 OB 的方程为 0,0yxa= ≤≤，所以
22
0
edede1
a
xy xa
OB
sx
+
= =?
∫∫
。
因此
aa
aI e
4
)1(e2
π
+?= 。
A
BO
x
y
a
图14.1.2
例14.1.1 计算
22
ed
xy
L
I s
+
=
∫
，其中 L为圆周 xya
22 2
+=，直线 y x=
及 x轴在第一象限所围图形的边界。
例14.1.2 已知一条非均匀金属线 L的方程为
10,e,sine,cose ≤≤=== tztytx
ttt
,
它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点
(1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M。
解 由题意,L在 ),,( zyx 点的线密度为
2t222
k
zyx
k
zyx
e2
),,( =
++
=ρ,
其中 k 为常数。由 ρ (,,)101 1= 得 k = 2,所以
t
zyx
2
e),,(
=ρ 。因此
11
21
00
(,,)d e 3ed 3 e d 3(1 e )
tt t
L
Mxyzs tρ
===?
∫∫ ∫
。
例14.1.2 已知一条非均匀金属线 L的方程为
10,e,sine,cose ≤≤=== tztytx
ttt
,
它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点
(1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M。
例14.1.3 计算
22
(2)d
L
Ixy zs=++
∫
，其中 L为球面 xyza
222 2
++=
和平面 xyz++=0的交线。
解 由对称性得
222 222
1
ddd( )d
3
LLL L
xs ys zs x y z s===++
∫∫∫ ∫
。
由于在 L上成立 xyza
222 2
++=，且 L是一个半径为 a的圆周，因此
222 2 2 3
()ddd2π
LLL
xyzs asas a++ = = =
∫∫∫
。
同理
11
ddd ( )d 0d0
33
L
LLL L
xs ys zs x y z s s= ==++= =
∫∫∫ ∫ ∫
。
于是
22 2 2 3
4
(2)d d2dπ
3
LLLL
I xy zs xs ys zs a=++ =+ + =
∫∫∫∫
。
例14.1.3 计算
22
(2)d
L
Ixy zs=++
∫
，其中 L为球面 xyza
222 2
++=
和平面 xyz++=0的交线。
曲面的面积
设曲面 ∑ 的方程为
),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx ===,(,)uv∈D,
即
kjir ),(),(),(),( vuzvuyvuxvu ++=,(,)uv∈D,
这里 D为 uv平面上具有光滑（或分段光滑）边界的有界闭区域。假 设这个映射是一一对应的（这样的曲面称为 简单曲面）,且 x y z,,对 uv和有连续偏导数，相应的 Jacobi 矩阵
=
v
z
u
z
v
y
u
y
v
x
u
x
J
满秩，则曲面 ∑ 是光滑的。
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点
),,(
000
zyxQ （
000
(,),xxuv=
000000
(,),(,)y yu v z zu v= = ）,
曲线 ir ),(),(
00
vuxvu = j),(
0
vuy+ k),(
0
vuz+ 就是曲面上过 Q点的 u?曲线；
曲线 ir ),(),(
00
vuxvu = j),(
0
vuy+ k),(
0
vuz+ 就是曲面上过 Q点的 v?曲线。
这两条曲线在 Q点的切向量分别为
kjir ),(),(),(),(
00000000
vu
u
z
vu
u
y
vu
u
x
vu
u
+
+
=,
kjir ),(),(),(),(
00000000
vu
v
z
vu
v
y
vu
v
x
vu
v
+
+
=,
因此,Jacobi 矩阵满秩就保证了 ),(
00
vu
u
r 与 ),(
00
vu
v
r 线性无关，它们所张成的过 Q点的平面就是曲面 ∑ 在 Q点的切平面，向量
),(),(
0000
vuvu
vu
rr ×
就是曲面 ∑ 在 Q点的法向量，它的模长
),(),(
0000
vuvu
vu
rr ×
就是切平面上以 ),(
00
vu
u
r 和 ),(
00
vu
v
r 为邻边的平行四边形的面积。
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点
),,(
000
zyxQ （
000
(,),xxuv=
000000
(,),(,)y yu v z zu v= = ）,
曲线 ir ),(),(
00
vuxvu = j),(
0
vuy+ k),(
0
vuz+ 就是曲面上过 Q点的 u?曲线；
曲线 ir ),(),(
00
vuxvu = j),(
0
vuy+ k),(
0
vuz+ 就是曲面上过 Q点的 v?曲线。
这两条曲线在 Q点的切向量分别为
kjir ),(),(),(),(
00000000
vu
u
z
vu
u
y
vu
u
x
vu
u
+
+
=,
kjir ),(),(),(),(
00000000
vu
v
z
vu
v
y
vu
v
x
vu
v
+
+
=,
现在利用微元法来计算曲面 ∑ 的面积。
先考察 D中一个小矩形 σ,它的四个顶点为
),(),,(),,(),,(
004003002001
vvuPvvuuPvuuPvuP Δ+Δ+Δ+Δ+ 。
v
P
4
P
3
P
1
P
2
O u
图14.1.3
Q
1
2
Q
3
Q
4
Q
O
x
y
z
设 σ 被映为 ∑ 上的以 QQQQ
1234
,,,为顶点的小曲面片 σ
~
，这里
Q xuv yuv zuv
Qxuuvyuuvzuuv
Qxuuvvyuuvvzuuvv
Qxuv vyu
1000000
2000000
30 0 0 0 0 0
400
=
=+ + +
=++ ++ ++
=+
((,),(,),(,))
((,),(,),(,))
(,),(,),(,))
((,),(；
ΔΔΔ
ΔΔ ΔΔ ΔΔ
Δ
00 00
,),(,))vvzuvv++。
那么
,)(),(),(),(
,)(),(),(),(
00000041
00000021
vovvuvuvvuQQ
uouvuvuvuuQQ
v
u
Δ+Δ=?Δ+=
Δ+Δ=?Δ+=
rrr
rrr
这里 )( uo Δ,)( vo Δ 表示向量，其模分别是 uΔ 和 vΔ 的高阶无穷小量。
显然，小曲面片 σ
~
的面积近似地等于
21
QQ 与
41
QQ 所张成的平行四边形的面积，忽略高阶无穷小量后，
21
QQ 与
41
QQ 所张成的平行四边 形的面积近似地等于 vuvuvu
vu
ΔΔ× )()(
0,00,0
rr 。这就是说，忽略高阶无穷小量后，小曲面片 σ
~
的面积近似地等于切平面上由 uvu
u
Δ)(
0,0
r 和 vvu
v
Δ)(
0,0
r
所张成的平行四边形的面积 vuvuvu
vu
ΔΔ× )()(
0,00,0
rr 。因此，曲面的面 积微分
0,0 0,0
d()()d
uv
Suvuvuv=×rr 。
于是,曲面的面积就为
(,) (,)dd
uv
Suvuvuv=×
∫∫
D
rr 。
至于如何计算曲面的面积，我们有以下的定理,
定理 14.1.2 对满足上述假设条件的曲面 ∑,它的面积为
2
ddSEGFuv=?
∫∫
D
。
其中
,;
222
222
vvvvv
vuvuvuvu
uuuuu
zyxG
zzyyxxF
zyxE
++=?=
++=?=
++=?=
rr
rr
rr
它称为曲面的 Gauss 系数 。
证 由于
。；
kjir
kjir
vvvv
uuuu
zyx
zyx
++=
++=
则
。kjikjikjirr
),(
),(
),(
),(
),(
),(
)()(
vu
yx
vu
xz
vu
zy
zyxzyx
vvvuuuvu
+
+
=++×++=×
所以
222
2
),(
),(
),(
),(
),(
),(
+
+
=×
vu
yx
vu
xz
vu
zy
vu
rr,
直接计算就得知
222
2
),(
),(
),(
),(
),(
),(
+
+
=?
vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG 。
因此
(,) (,)dd
uv
Suvuvuv=×
∫∫
D
rr
2
ddEG F u v=?
∫∫
D
。
现在考虑两种特殊情况,
(1) 曲面 ∑ 的方程为 (,),(,)z f xy xy= ∈D，其中 fxy(,)为连续可微函数,D为具有分段光滑边界的有界区域。
这时 ∑ 的方程为
kjir ),( yxfyx ++= 。
因此
kjrkir ),(,),( yxfyxf
yyxx
+=+= 。
而 EG F f f f f f f
xyxy xy
=+ +? =++
2 22 2 22
11 1()()() 。于是,∑ 的面积为
22
1(,)(,)dd
xy
Sfxyfxyxy=+ +
∫∫
D
。
(2) 曲面 ∑ 的方程为 H x y z(,,)= 0，其中 H x y z(,,)具有连续偏导数，
且在 ∑ 上 Hxyz
z
(,,)≠ 0。进一步假设 ∑ 在 xy平面上的投影将 ∑ 一一对应地映为具有分段光滑边界的有界区域 D。
这时由一一对应性，从 H xyz(,,)= 0就可得出 z 为 yx,的函数,
(,),(,)zfxy xy= ∈D。
由于在 ∑ 上 Hxyz
z
(,,)≠ 0，由隐函数存在定理，可知
f
H
H
f
H
H
x
x
z
y
y
z
=? =?,。
从而 ∑ 的面积为
22
22
1 dd 1 dd dd
y
x
xy
zz z
H H
H
S ffx y x y x y
HH H
= + + = +? +? =
∫∫ ∫∫ ∫∫
grad
。
DD D
例 14.1.4 求抛物面 zx y=+
22
被平面 z =1所割下的有界部分 ∑ 的面积。
z
z = 1
zx y=+
22
O y
x
图14.1.4
解 曲面 ∑ 的方程为 zx y=+
22
,(,)xy∈D，这里 D为它在 xy平面的投影区域 }1|),{(
22
≤+ yxyx 。因此
22 22
2π 1
2
00
1dd14()d
51
d14d π
6
xy
Szzxy x y x y
rrrθ
=++ =++
=+=
∫∫ ∫∫
∫∫
。
DD
例 14.1.4 求抛物面 zx y=+
22
被平面 z = 1所割下的有界部分 ∑ 的面积。
z
z = 1
zx y=+
22
O y
x
图14.1.4
例14.1.5 设 ∑ 为球面 xyz Rz
222
2++= 包含在锥面 )(3
222
yxz += 内的部分，求它的面积。
图 14.1.5
z
xyz Rz
222
2++=
)
222
(3 yxz +=
O y
x
解法一 在球面坐标
θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx ===
下，所给的球面方程为 rR= 2cos?，于是 Σ的参数方程为
θθ
2
cos2,sincossin2,coscossin2 RzRyRx ===,
其中
π
02π,0
6
θ?≤ ≤≤≤。经计算可知
EG F R?=
242
42sin?。
注意到对称性,∑ 的面积为它在第一卦限部分面积的 4 倍，所以 ∑ 的面积为
ππ
22 2
26
00
0 π 2
0 π 6
4 2 sin 2 d d 8 d sin 2 d πSR R R
θ
θ θ
≤≤
≤≤
===
∫∫ ∫ ∫
。
解法二 球面的方程为 Hxyz x y z Rz(,,)=++? =
222
20。这时
HxHyHzR
xyz
= = =?2222,,。
由于 ∑ 在 xy平面的投影为
22 2
3
(,)|
4
xy x y R
=+≤
D,所以 ∑ 的面积为
22 2
()
dd
xy zR
Sx
zR
++?
=
∫∫
D
。
注意到在球面上成立
2222
)( RRzyx =?++,就得到
3
2π
2
2
222 2200
d
dd d π
()
R
Rrr
Sx R
Rxy Rr
θ===
+?
∫∫ ∫ ∫
D
。
例 14.1.6 设一元函数 )(xf 在 ],[ ba 上具有连续导数，且满足
0)( >xf,求曲线 )(xfy = 绕 x轴旋转一周所成的旋转曲面的面积 S 。
解 由对称性，该旋转曲面的面积是曲面在 0,0 ≥≥ zy 部分的面 积的 4 倍，而旋转曲面在 0,0 ≥≥ zy 部分的方程为
22
)( yxfz?=,(,) {(,)| 0(),}xy x yyfxa x b∈ =≤≤≤D 。
由于
2222
)(
,
)(
)()(
yxf
y
z
yxf
xfxf
z
yx
=
′
=,)(0,xfybxa <≤≤≤,
所以
2
22
22
()
2 2
220
()1 ()
41 dd4 dd
()
1
4()1 ()d d2π ()1 ()d.
()
xy
bfx b
a a
fx f x
Szzxy y
fx y
f xfxx y fxfxx
fx y
′
+
=++ =
′′
=+ = +
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
DD
这与第七章第4节的结论相吻合。
Schwarz 的例子
我们将光滑曲线的内接折线长度的极限定义为曲线的弧长，但这一定义不能推广到光滑曲面的面积定义上去。 Schwarz 举出一个例子：即使对一段圆柱面，都无法用“内接多面形之面积的极限”来定义它的面积。
设一圆柱面的高是 h，半径是 r,那么它的面积显然是 2πrh。在这个圆柱面上取 三点 A,B 和 C,使得 BA,在同一高度上，而 C
和 BA,不在同一高度上，且 C 在 BA,的连线上的投影 C
′
恰是线段 AB 的的中点(图
14.1.6)。 图14.1.6
如图 14.1.7 所示，作出圆柱面的内接多面形，它是由许多三角形连结起来的，每一个三角形都如同三角形 ABC 。问题是当这些三角形的直径都趋于 0 时，它们的面积之和的极限是否为圆柱面的面 积
2πrh呢？
图 14.1.7
把圆柱面的底圆 m等分，高 n等分，这时图14.1.7 中的三角形 共有 mn2 个，并且都是全等的。易计算每个三角形的底边（即平行于 底圆的边）长是
π
2sinr
m
，高是
22
2
π
1cos
h
r
mn
+
,那么其面积为
1 π
2sin
2
r
m
22
2
π
1cos
h
r
mn
+
=
2
24
2
ππ
sin 4 sin
2
h
rr
mmn
+ 。
于是所有小三角形组成的内接多面形的面积
mn
S 为
2
24
2
ππ
2 sin 4 sin
2
mn
h
Smnr r
mmn
=+
4
42 2
24
ππ
sin sin
π
2
2π 1
ππ
4
2
rn
mm
rh
hm
mm
= +
。
由于当 ∞→m,∞→n 时，上式中两圆括号内的值都趋于 1,因此
mn
S
的极限与
2
m
n
的极限有关。 当
2
m
n
的极限不存在时，
mn
S 的极限也不存在；
当
2
m
n
有极限 l时，
mn
S 的极限为
422
2
π
() 2π
4
rl
Sl r h= + 。
这一极限与 l有关，即与 nm,同时趋于无穷大的方式有关。只有当 l
＝ 0 时它才是圆柱面的面积 2πrh。
由于 nm,可以各自独立地趋于无穷大，所以
mn
S 确实没有一个与 nm,增加方式无关的极限。也就是说，无法用“内接多面形之面积的极限”来定义曲面的面积。
再来看一下 l＝0 的几何意义：设 θ是三角形所在平面与圆柱面母线的夹角(图14.1.8)，那么当 0=l,即 0
2
→
m
n
时，显然有
2
2
2
2
ππ π
cos 2 sin sin
π
22
tan 0
π
2
2
rr r
rn
mm m
hh
hm
nn m
θ
=== →
,
这说明只有当三角形所在的平面趋于切平面时，
mn
S 才可能以圆柱 面的面积为极限。这正好与前面关于曲面面积的讨论相吻合。
图 14.1.8
第一类曲面积分
设空间中一曲面 ∑ 上分布着质量，任一点 (,,)xyz 处的面密度（ 单位面积上的质量）由分布函数 ρ(,,)x yz确定，问如何求出 ∑ 的总质量。
解决这一问题的思路是：把曲面 ∑ 分成许多小片，取每一小片 质量的近似值并相加，得到曲面 ∑ 质量的近似值，再取极限（令每一小片直径的最大值趋于零）以获得精确值。这同样是一个积分的概念。
定义 14.1.2 设曲面 ∑ 为有界光滑（ 或分片光滑 ） 曲面,函数
zfxyz= (,,)在 ∑ 上有界。 将曲面 ∑ 用一个光滑曲线网分成 n片小曲面
12
,,,
n
ΣΣ ΣΔΔ Δ ",并记
i
ΔΣ 的面积为 ΔS
i
。 在每片
i
ΣΔ 上任取一点
),,(
iii
ζηξ,作和式
∑
=
Δ
n
i
iiii
Sf
1
),,( ζηξ 。
如果当所有小曲面
i
ΣΔ 的最大直径 λ趋于零时,这个和式的极限存在,
且极限值与小曲面的分法和点 ),,(
iii
ζηξ 的取法无关,则 称 此极 限值 为
fxyz(,,)在曲面 ∑ 上的第一类曲面积分,记为 (,,)df xyz S
Σ
∫∫
,即
(,,)df xyz S
Σ
∫∫
=
∑
=
→
Δ
n
i
iiii
Sf
1
0
),,(lim ζηξ
λ
,
其中 ),,( zyxf 称为被积函数,∑ 称为 积分曲面 。
这样，本小节一开始所要求的曲面 ∑ 的总质量为
(,,)dM xyz S
Σ
ρ=
∫∫
。
设 ∑ 的方程为
(,),(,),(,),(,)x xuv y yuv z zuv uv=== ∈D,
这里 D为 uv平面上具有分段光滑边界的区域。进一步设这个映射是 一一对应的,且满足本节第二部分开始时的假设。那么如果 fxyz(,,)在 ∑
上连续，则它在 ∑ 上的第一类曲面积分存在，且成立以下计算公式
2
(,,)d ((,),(,),(,)) ddf xyz S f xuv yuv zuv EG F uv
Σ
=?
∫∫ ∫∫
D
。
特别地，当 ∑ 的方程为
),( yxzz =,(,)xy∈D
时，成立
22
(,,)d (,,(,))1 (,) (,)dd
xy
f xyz S f xyzxy z xy z xy xy
Σ
=++
∫∫ ∫∫
D
。
这样，本小节一开始所要求的曲面 ∑ 的总质量为
(,,)dM xyz S
Σ
ρ=
∫∫
。
例 14.1.7 计算
I =
222
444
d
xyz
S
abc
Σ
++
∫∫
,
其中 ∑ 为椭球面 1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
（ 0,,>cba ）。
解 椭球面的参数方程为
θ?θ? cos,sinsin,cossin czbyax ===,
其中 02π,0 πθ?≤ ≤≤≤。经计算得到
θ?
θ?
θ?
θ?
θ?
cossin
),(
),(
,sinsin
),(
),(
,cossin
),(
),(
22
ab
yx
ac
xz
bc
zy
=
=
=
,
所以
22 2
2
22 22 2
22
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
cos sin sin sin cos
()sin
yz zx xy
EG F
abc
abc
θ?θ?θ
θ? θ
= + +
=++。
这时被积函数化为
2
2
2
22
2
22
4
2
4
2
4
2
cossinsinsincos
cbac
z
b
y
a
xθ?θ
++=++ 。
由被积函数与积分曲面的对称性，只要计算它在第一卦限的积分后 再乘 8。所以
22 22 2
ππ
[0,] [0,]
22
222
cos sin sin sin cos
8sd
4111
π
3
I abc
abc
abc
abc
θ? θ
θ
×
=++
=++
∫∫
。
例 14.1.8 设圆锥面 zxy
222
=+上具有均匀的单位面密度，它被平面 z a= 和 )0( babz <<= 所截部分为 ∑ 。求 ∑ 对位于原点处、具有单位质量的质点的引力。
解 设 ∑ 对质点的引力为 FFFF
xyz
= (,,),由对称性,引力在 x轴和 y
轴方向的分量为零，即 FF
xy
= = 0。
对于曲面上任一点 P x y z(,,),包含它的曲面面积微元 dS 所具有的质量为 1dS? 。由万有引力定律,dS 对锥面顶点处的质点的引力在 z 轴上的分量为
222
d
cos
S
G
xyz
θ
++
,
其中 G 为引力常数,θ为矢径 OP与 z 轴之间的夹角,
它恰好为锥面的半顶角
π
4
。所以由微元法可知
222
d
2( )
z
S
FG
xyz
Σ
=
++
∫∫
。
z
b
zxy
222
=+
a
O y
x
由于 ∑ 的方程为
22
,(,)zxy xy= +∈D,
这里 D为它在 xOy平面上的投影 {(,)| }xy a x y b
2222
≤+≤,因此
22
222
222 22
2π
2
0
1
1dd
2( )
11
dd dd
2( )
d
d πln
2
b
a
FG zzxy
xyz
GxyGxy
xyz xy
rr b
GG
ra
θ
=++
++
==
++ +
==
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
。
D
DD
通讯卫星的电波覆盖的地球面积
将通讯卫星发射到赤道的上空，使它位于赤道所在的平面内。
如果卫星自西向东地绕地球飞行一周的时间正好等于地球自转一周的时间，那么它始终在地球某一个位置的上空，即相对静止的。 这样的卫星称为地球同步卫星。
现在来计算该卫星的电波所能覆盖的地球的表面积。设地球的半径 R 为 6371km，地球自转的角速度
2π
24 3600
ω =
×
，由于卫星绕地 球飞行一周的时间，正好等于地球自转一周的时间，因此 ω也就是卫 星绕地球飞行的角速度。
先确定卫星离地面的高度 h。要使卫星不会脱离其预定轨道,卫星所受地球的引力必须与它绕地球 飞行所受的离心力相等，即
)(
)(
2
2
hRm
hR
GMm
+=
+
ω,
其中 M 为地球的质量,m为卫星的质量,G 是引力常数。由于重力加速度（即在地面的单位质量所受的引力）
2
R
GM
g =,那么从上式得到
2
2
2
2
22
3
)(
ωωω
R
g
R
R
GMGM
hR =?==+,
于是
R
R
gh?=
3
2
2
ω
。
将
2π
6371000,,9.8
24 3600
Rgω== =
×
代入上式，就得到卫星的离地面的 高度为
22 2
3
2
6371000 24 3600
9.8 6371000 36000000 (m) 36000 (km)
4π
h
××
=×? ≈ = 。
为了计算卫星的电波所覆盖的地球表面的面积，取地心为坐标原点。取过地心与卫星中心、方向从地心到卫星中心的有向直线为 z 轴（见图 14.1.10，为简明起见，只画出了 xz 平面），则卫星的电波所覆盖的地球表面的面积为
dSS
Σ
=
∫∫
,
其中 ∑ 是上半球面
2222
Rzyx =++
)0( ≥z 上满足 αcosRz ≥ 的部分，即
∑,
222
yxRz=,α
2222
sinRyx ≤+ 。
z
卫星
h
α
O x
图 14.1.10
利用第一类曲面积分的计算公式得
2
2
222
1dd d
zz R
Sxyxy
xy
Rxy
=+ + =
∫∫ ∫∫
DD
,
这里 D为 xy平面上区域 }sin|),{(
2222
αRyxyx ≤+ 。利用极坐标变换得
( )
sin
2π sin
22 2
2200
0
ddπ 2π (1 cos )
R
R
R
SrrrR
Rr
α
α
θ α==?=?
∫∫
。
因为 cos
R
Rh
α =
+
，所以
22
36000000
2π 2π 6371000
6371000 36000000
h
SR
Rh
==××
+ +
14 2 8 2
2.16575 10 (m ) 2.16575 10 (km )=× =× 。
由于
22
2π 4π
2( )
hh
SR R
Rh Rh
==
+ +
,
且
2
4πR 正是地球的表面积，而
4248.0
)360000006371000(2
36000000
)(2
≈
+
=
+ hR
h
,
因此卫星的电波覆盖了地球表面三分之一以上的面积。从理论上说，
只要在赤道上空使用三颗相间 2π 3的通讯卫星，它们的电波就可以 覆盖几乎整个地球表面。
设一条具有质量的空间曲线 L 上任一点 (,,)x y z 处的线密度为
ρ(,,)x y z 。将 L 分成 n 个小曲线段
i
L ni,,2,1( "= ）,并在
i
L 上任取一点
),,(
iii
ζηξ,那么当每个
i
L 的长度 Δs
i
都很小时，
i
L 的质量就近似地等 于
iiii
sΔ),,( ζηξρ,于是整条 L的质量就近似地等于
∑
=
Δ
n
i
iiii
s
1
),,( ζηξρ 。
当对 L的分割越来越细时，这个近似值的极限就是 L的质量。
§ 1 第一类曲线积分与第一类曲面积分第十四章 曲线积分、曲面积分与场论利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。
定义 14.1.1 设 L 是空间
3
R 上一条可求长的连续曲线,其端点为 A和 B,函数 fxyz(,,)在 L 上有界 。 令
n
PBPA ==,
0
。 在 L 上从 A到 B 顺序地插入分点
121
,,,
n
PPP ",再分别在每个小弧段
ii
PP
1?
上任取一点
),,(
iii
ζηξ,并记第 i 个小弧段
ii
PP
1?
的长度为 Δs
i
（ ni,,2,1 "= ）,作和式
∑
=
Δ
n
i
iiii
sf
1
),,( ζηξ 。
如果当所有小弧段的最大长度 λ趋于零时,这个和式的极限存在，且极限值与分点 }{
i
P 的取法及弧段
ii
PP
1?
上的点 ),,(
iii
ζηξ 的取法无关,则称这个极限值为 fxyz(,,)在曲线 L 上的第一类曲线积分,记为
(,,)d
L
f xyz s
∫
或 ()d
L
f Ps
∫
。
即
0
1
(,,)d lim (,,)
n
iii i
i
L
f x y zs f s
λ
ξηζ
→
=
= Δ
∑
∫
。
其中 fxyz(,,)称为被积函数,L 称为积分路径 。
这样，本节一开始所要求的曲线 L质量就可表为
(,,)d
L
M xyz sρ=
∫
。
在平面情形下，函数 ),( yxf 在平面曲线 L上的第一类曲线积分 记为 (,)d
L
f xy s
∫
。
第一类曲线积分具有以下性质,
性质 1 （ 线性性） 如果函数 fg,在 L 上的第一类曲线积分存在，
则对于任何常数 βα,,gf βα + 在 L 上的第一类曲线积分也存在,且成立
()ddd
LLL
f gs fs gsαβ α β+=+
∫ ∫∫
。
性质 2 （ 路径可加性 ） 设曲线 L分成了两段
12
,LL。如果函数 f 在
L 上的第一类曲线积分存在，则它在
1
L 和
2
L 上的第一 类曲线 积 分也存在。 反之,如果函数 f 在
1
L 和
2
L 上的第一类曲线积分存在,则它在 L上的第一类曲线积分也存在。并成立
12
ddd
LLL
fs fs fs=+
∫ ∫∫
。
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L的方程为
xxt yyt zzt t= = = ≤ ≤(),(),(),α β,
其中 )(),(),( tztytx 具有连续导数,且 )(),(),( tztytx ′′′ 不同时为零 （即 L为光滑曲线）,那么 L是可求长的，且曲线的弧长为
222
() () ()dsxty tztt
β
α
′′′
=++
∫
。
定理 14.1.1 设 L为光滑曲线,函数 fxyz(,,)在 L 上连续 。 则 fxyz(,,)
在 L上的第一类曲线积分存在,且
222
(,,)d ((),(),()) () () ()d
L
f xyz s f xt yt zt x t y t z t t
β
α
′′′
=++
∫∫
。
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L的方程为
xxt yyt zzt t= = = ≤ ≤(),(),(),α β,
其中 )(),(),( tztytx 具有连续导数,且 )(),(),( tztytx
′′′ 不同时为零 （即
L为光滑曲线）,那么 L是可求长的，且曲线的弧长为
222
() () ()dsxty tztt
β
α
′′′
=++
∫
。
证 记
222
( (),(),()) () () ()dI f xt y tzt x t y tztt
β
α
′′′
=++
∫
。
作区间 [,]α β 的划分
012
:Ptttα = <<< " β=<
n
t,在 L上顺次插入分点 )1,,2,1())(),(),((?= nitztytxP
iiii
",并设 ))(),(),((
0
ααα zyxP =,
))(),(),(( βββ zyxP
n
= 。记小弧段
ii
PP
1?
的长度为
i
sΔ,那么它的弧长为
222
1
() () ()d
t
i
i
t
i
sxty tztt
′′′
Δ= + +
∫
。令
∑
=
Δ=
n
i
iiii
szyxf
1
))(),(),(( ξξξσ,
其中 ))(),(),((
iii
zyx ξξξ 为弧段
ii
PP
1?
上任意一点。那么
[]
222
1
222
1
1
( ( ),( ),( )) ( (),(),()) () () ()d
( ( ),( ),( )) ( ( ),( ),( )) ( ) ( ) ( )d
n
iiii
i
n
t
i
iii
t
i
i
Ifxyzsfxtytztxtytztt
f xyz fxtytztxtytztt
β
α
σξξξ
ξξξ
=
=
′′′
= Δ? + +
′′′
=?
∑
∫
∑
∫
。
设 L的弧长为 s。由于 fxyz(,,)在紧集 L上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ε，当 max=λ (
i
sΔ )充分小时,),,( zyxf 在每个弧段
ii
PP
1?
上的振幅均小于
s
ε
。于是成立
222
1
1
222
( ( ),( ),( )) ( ( ),( ),( )) ( ) ( ) ( )d
() () ()d
n
t
i
iii
t
i
i
Ifxyzfxtytztxtytzt
xt yt ztt s
ss
β
α
σξξ
εε
ε
=
′′′
≤? + +
′′′
<++==
∑
∫
∫
。
从而得到
(,,)d
L
f xyz s=
∫
lim
λ
σ
→
=
0
I 。
特别地，如果平面光滑曲线 L的方程为
yyx axb= ≤ ≤(),,
则
2
(,)d (,())1 ()d
b
a
L
f xy s f xyx y x x
′
=+
∫∫
。
设 L的弧长为 s。由于 fxyz(,,)在紧集 L上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ε，当 max=λ (
i
sΔ )充分小时,),,( zyxf 在每个弧段
ii
PP
1?
上的振幅均小于
s
ε
。于是成立
222
1
1
222
( ( ),( ),( )) ( ( ),( ),( )) ( ) ( ) ( )d
() () ()d
n
t
i
iii
t
i
i
Ifxyzfxtytztxtytzt
xt yt ztt s
ss
β
α
σξξ
εε
ε
=
′′′
≤? + +
′′′
<++==
∑
∫
∫
。
从而得到
(,,)d
L
f xyz s=
∫
lim
λ
σ
→
=
0
I 。
A
BO
x
y
a
图14.1.2
例14.1.1 计算
22
ed
xy
L
I s
+
=
∫
，其中 L为圆周 xya
22 2
+=，直线 y x=
及 x轴在第一象限所围图形的边界。
解
p
22 22 22
ededed
xy xy xy
OA OB
AB
Isss
+++
=++
∫∫∫
。
线段 OA的方程为 20,axxy ≤≤=,所以
22 2
2
0
ed e2de1
a
xy xa
OA
sx
+
= =?
∫∫
。
圆弧
p
AB 的参数方程为 cos,sin,0 π 4xa yaθ θθ= =≤≤，所以
p
22 π 4
0
π
ed ed e
4
xy aa
AB
saaθ
+
==
∫∫
。
线段 OB 的方程为 0,0yxa= ≤≤，所以
22
0
edede1
a
xy xa
OB
sx
+
= =?
∫∫
。
因此
aa
aI e
4
)1(e2
π
+?= 。
A
BO
x
y
a
图14.1.2
例14.1.1 计算
22
ed
xy
L
I s
+
=
∫
，其中 L为圆周 xya
22 2
+=，直线 y x=
及 x轴在第一象限所围图形的边界。
例14.1.2 已知一条非均匀金属线 L的方程为
10,e,sine,cose ≤≤=== tztytx
ttt
,
它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点
(1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M。
解 由题意,L在 ),,( zyx 点的线密度为
2t222
k
zyx
k
zyx
e2
),,( =
++
=ρ,
其中 k 为常数。由 ρ (,,)101 1= 得 k = 2,所以
t
zyx
2
e),,(
=ρ 。因此
11
21
00
(,,)d e 3ed 3 e d 3(1 e )
tt t
L
Mxyzs tρ
===?
∫∫ ∫
。
例14.1.2 已知一条非均匀金属线 L的方程为
10,e,sine,cose ≤≤=== tztytx
ttt
,
它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点
(1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M。
例14.1.3 计算
22
(2)d
L
Ixy zs=++
∫
，其中 L为球面 xyza
222 2
++=
和平面 xyz++=0的交线。
解 由对称性得
222 222
1
ddd( )d
3
LLL L
xs ys zs x y z s===++
∫∫∫ ∫
。
由于在 L上成立 xyza
222 2
++=，且 L是一个半径为 a的圆周，因此
222 2 2 3
()ddd2π
LLL
xyzs asas a++ = = =
∫∫∫
。
同理
11
ddd ( )d 0d0
33
L
LLL L
xs ys zs x y z s s= ==++= =
∫∫∫ ∫ ∫
。
于是
22 2 2 3
4
(2)d d2dπ
3
LLLL
I xy zs xs ys zs a=++ =+ + =
∫∫∫∫
。
例14.1.3 计算
22
(2)d
L
Ixy zs=++
∫
，其中 L为球面 xyza
222 2
++=
和平面 xyz++=0的交线。
曲面的面积
设曲面 ∑ 的方程为
),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx ===,(,)uv∈D,
即
kjir ),(),(),(),( vuzvuyvuxvu ++=,(,)uv∈D,
这里 D为 uv平面上具有光滑（或分段光滑）边界的有界闭区域。假 设这个映射是一一对应的（这样的曲面称为 简单曲面）,且 x y z,,对 uv和有连续偏导数，相应的 Jacobi 矩阵
=
v
z
u
z
v
y
u
y
v
x
u
x
J
满秩，则曲面 ∑ 是光滑的。
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点
),,(
000
zyxQ （
000
(,),xxuv=
000000
(,),(,)y yu v z zu v= = ）,
曲线 ir ),(),(
00
vuxvu = j),(
0
vuy+ k),(
0
vuz+ 就是曲面上过 Q点的 u?曲线；
曲线 ir ),(),(
00
vuxvu = j),(
0
vuy+ k),(
0
vuz+ 就是曲面上过 Q点的 v?曲线。
这两条曲线在 Q点的切向量分别为
kjir ),(),(),(),(
00000000
vu
u
z
vu
u
y
vu
u
x
vu
u
+
+
=,
kjir ),(),(),(),(
00000000
vu
v
z
vu
v
y
vu
v
x
vu
v
+
+
=,
因此,Jacobi 矩阵满秩就保证了 ),(
00
vu
u
r 与 ),(
00
vu
v
r 线性无关，它们所张成的过 Q点的平面就是曲面 ∑ 在 Q点的切平面，向量
),(),(
0000
vuvu
vu
rr ×
就是曲面 ∑ 在 Q点的法向量，它的模长
),(),(
0000
vuvu
vu
rr ×
就是切平面上以 ),(
00
vu
u
r 和 ),(
00
vu
v
r 为邻边的平行四边形的面积。
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点
),,(
000
zyxQ （
000
(,),xxuv=
000000
(,),(,)y yu v z zu v= = ）,
曲线 ir ),(),(
00
vuxvu = j),(
0
vuy+ k),(
0
vuz+ 就是曲面上过 Q点的 u?曲线；
曲线 ir ),(),(
00
vuxvu = j),(
0
vuy+ k),(
0
vuz+ 就是曲面上过 Q点的 v?曲线。
这两条曲线在 Q点的切向量分别为
kjir ),(),(),(),(
00000000
vu
u
z
vu
u
y
vu
u
x
vu
u
+
+
=,
kjir ),(),(),(),(
00000000
vu
v
z
vu
v
y
vu
v
x
vu
v
+
+
=,
现在利用微元法来计算曲面 ∑ 的面积。
先考察 D中一个小矩形 σ,它的四个顶点为
),(),,(),,(),,(
004003002001
vvuPvvuuPvuuPvuP Δ+Δ+Δ+Δ+ 。
v
P
4
P
3
P
1
P
2
O u
图14.1.3
Q
1
2
Q
3
Q
4
Q
O
x
y
z
设 σ 被映为 ∑ 上的以 QQQQ
1234
,,,为顶点的小曲面片 σ
~
，这里
Q xuv yuv zuv
Qxuuvyuuvzuuv
Qxuuvvyuuvvzuuvv
Qxuv vyu
1000000
2000000
30 0 0 0 0 0
400
=
=+ + +
=++ ++ ++
=+
((,),(,),(,))
((,),(,),(,))
(,),(,),(,))
((,),(；
ΔΔΔ
ΔΔ ΔΔ ΔΔ
Δ
00 00
,),(,))vvzuvv++。
那么
,)(),(),(),(
,)(),(),(),(
00000041
00000021
vovvuvuvvuQQ
uouvuvuvuuQQ
v
u
Δ+Δ=?Δ+=
Δ+Δ=?Δ+=
rrr
rrr
这里 )( uo Δ,)( vo Δ 表示向量，其模分别是 uΔ 和 vΔ 的高阶无穷小量。
显然，小曲面片 σ
~
的面积近似地等于
21
QQ 与
41
QQ 所张成的平行四边形的面积，忽略高阶无穷小量后，
21
QQ 与
41
QQ 所张成的平行四边 形的面积近似地等于 vuvuvu
vu
ΔΔ× )()(
0,00,0
rr 。这就是说，忽略高阶无穷小量后，小曲面片 σ
~
的面积近似地等于切平面上由 uvu
u
Δ)(
0,0
r 和 vvu
v
Δ)(
0,0
r
所张成的平行四边形的面积 vuvuvu
vu
ΔΔ× )()(
0,00,0
rr 。因此，曲面的面 积微分
0,0 0,0
d()()d
uv
Suvuvuv=×rr 。
于是,曲面的面积就为
(,) (,)dd
uv
Suvuvuv=×
∫∫
D
rr 。
至于如何计算曲面的面积，我们有以下的定理,
定理 14.1.2 对满足上述假设条件的曲面 ∑,它的面积为
2
ddSEGFuv=?
∫∫
D
。
其中
,;
222
222
vvvvv
vuvuvuvu
uuuuu
zyxG
zzyyxxF
zyxE
++=?=
++=?=
++=?=
rr
rr
rr
它称为曲面的 Gauss 系数 。
证 由于
。；
kjir
kjir
vvvv
uuuu
zyx
zyx
++=
++=
则
。kjikjikjirr
),(
),(
),(
),(
),(
),(
)()(
vu
yx
vu
xz
vu
zy
zyxzyx
vvvuuuvu
+
+
=++×++=×
所以
222
2
),(
),(
),(
),(
),(
),(
+
+
=×
vu
yx
vu
xz
vu
zy
vu
rr,
直接计算就得知
222
2
),(
),(
),(
),(
),(
),(
+
+
=?
vu
yx
vu
xz
vu
zy
FEG 。
因此
(,) (,)dd
uv
Suvuvuv=×
∫∫
D
rr
2
ddEG F u v=?
∫∫
D
。
现在考虑两种特殊情况,
(1) 曲面 ∑ 的方程为 (,),(,)z f xy xy= ∈D，其中 fxy(,)为连续可微函数,D为具有分段光滑边界的有界区域。
这时 ∑ 的方程为
kjir ),( yxfyx ++= 。
因此
kjrkir ),(,),( yxfyxf
yyxx
+=+= 。
而 EG F f f f f f f
xyxy xy
=+ +? =++
2 22 2 22
11 1()()() 。于是,∑ 的面积为
22
1(,)(,)dd
xy
Sfxyfxyxy=+ +
∫∫
D
。
(2) 曲面 ∑ 的方程为 H x y z(,,)= 0，其中 H x y z(,,)具有连续偏导数，
且在 ∑ 上 Hxyz
z
(,,)≠ 0。进一步假设 ∑ 在 xy平面上的投影将 ∑ 一一对应地映为具有分段光滑边界的有界区域 D。
这时由一一对应性，从 H xyz(,,)= 0就可得出 z 为 yx,的函数,
(,),(,)zfxy xy= ∈D。
由于在 ∑ 上 Hxyz
z
(,,)≠ 0，由隐函数存在定理，可知
f
H
H
f
H
H
x
x
z
y
y
z
=? =?,。
从而 ∑ 的面积为
22
22
1 dd 1 dd dd
y
x
xy
zz z
H H
H
S ffx y x y x y
HH H
= + + = +? +? =
∫∫ ∫∫ ∫∫
grad
。
DD D
例 14.1.4 求抛物面 zx y=+
22
被平面 z =1所割下的有界部分 ∑ 的面积。
z
z = 1
zx y=+
22
O y
x
图14.1.4
解 曲面 ∑ 的方程为 zx y=+
22
,(,)xy∈D，这里 D为它在 xy平面的投影区域 }1|),{(
22
≤+ yxyx 。因此
22 22
2π 1
2
00
1dd14()d
51
d14d π
6
xy
Szzxy x y x y
rrrθ
=++ =++
=+=
∫∫ ∫∫
∫∫
。
DD
例 14.1.4 求抛物面 zx y=+
22
被平面 z = 1所割下的有界部分 ∑ 的面积。
z
z = 1
zx y=+
22
O y
x
图14.1.4
例14.1.5 设 ∑ 为球面 xyz Rz
222
2++= 包含在锥面 )(3
222
yxz += 内的部分，求它的面积。
图 14.1.5
z
xyz Rz
222
2++=
)
222
(3 yxz +=
O y
x
解法一 在球面坐标
θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx ===
下，所给的球面方程为 rR= 2cos?，于是 Σ的参数方程为
θθ
2
cos2,sincossin2,coscossin2 RzRyRx ===,
其中
π
02π,0
6
θ?≤ ≤≤≤。经计算可知
EG F R?=
242
42sin?。
注意到对称性,∑ 的面积为它在第一卦限部分面积的 4 倍，所以 ∑ 的面积为
ππ
22 2
26
00
0 π 2
0 π 6
4 2 sin 2 d d 8 d sin 2 d πSR R R
θ
θ θ
≤≤
≤≤
===
∫∫ ∫ ∫
。
解法二 球面的方程为 Hxyz x y z Rz(,,)=++? =
222
20。这时
HxHyHzR
xyz
= = =?2222,,。
由于 ∑ 在 xy平面的投影为
22 2
3
(,)|
4
xy x y R
=+≤
D,所以 ∑ 的面积为
22 2
()
dd
xy zR
Sx
zR
++?
=
∫∫
D
。
注意到在球面上成立
2222
)( RRzyx =?++,就得到
3
2π
2
2
222 2200
d
dd d π
()
R
Rrr
Sx R
Rxy Rr
θ===
+?
∫∫ ∫ ∫
D
。
例 14.1.6 设一元函数 )(xf 在 ],[ ba 上具有连续导数，且满足
0)( >xf,求曲线 )(xfy = 绕 x轴旋转一周所成的旋转曲面的面积 S 。
解 由对称性，该旋转曲面的面积是曲面在 0,0 ≥≥ zy 部分的面 积的 4 倍，而旋转曲面在 0,0 ≥≥ zy 部分的方程为
22
)( yxfz?=,(,) {(,)| 0(),}xy x yyfxa x b∈ =≤≤≤D 。
由于
2222
)(
,
)(
)()(
yxf
y
z
yxf
xfxf
z
yx
=
′
=,)(0,xfybxa <≤≤≤,
所以
2
22
22
()
2 2
220
()1 ()
41 dd4 dd
()
1
4()1 ()d d2π ()1 ()d.
()
xy
bfx b
a a
fx f x
Szzxy y
fx y
f xfxx y fxfxx
fx y
′
+
=++ =
′′
=+ = +
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫
DD
这与第七章第4节的结论相吻合。
Schwarz 的例子
我们将光滑曲线的内接折线长度的极限定义为曲线的弧长，但这一定义不能推广到光滑曲面的面积定义上去。 Schwarz 举出一个例子：即使对一段圆柱面，都无法用“内接多面形之面积的极限”来定义它的面积。
设一圆柱面的高是 h，半径是 r,那么它的面积显然是 2πrh。在这个圆柱面上取 三点 A,B 和 C,使得 BA,在同一高度上，而 C
和 BA,不在同一高度上，且 C 在 BA,的连线上的投影 C
′
恰是线段 AB 的的中点(图
14.1.6)。 图14.1.6
如图 14.1.7 所示，作出圆柱面的内接多面形，它是由许多三角形连结起来的，每一个三角形都如同三角形 ABC 。问题是当这些三角形的直径都趋于 0 时，它们的面积之和的极限是否为圆柱面的面 积
2πrh呢？
图 14.1.7
把圆柱面的底圆 m等分，高 n等分，这时图14.1.7 中的三角形 共有 mn2 个，并且都是全等的。易计算每个三角形的底边（即平行于 底圆的边）长是
π
2sinr
m
，高是
22
2
π
1cos
h
r
mn
+
,那么其面积为
1 π
2sin
2
r
m
22
2
π
1cos
h
r
mn
+
=
2
24
2
ππ
sin 4 sin
2
h
rr
mmn
+ 。
于是所有小三角形组成的内接多面形的面积
mn
S 为
2
24
2
ππ
2 sin 4 sin
2
mn
h
Smnr r
mmn
=+
4
42 2
24
ππ
sin sin
π
2
2π 1
ππ
4
2
rn
mm
rh
hm
mm
= +
。
由于当 ∞→m,∞→n 时，上式中两圆括号内的值都趋于 1,因此
mn
S
的极限与
2
m
n
的极限有关。 当
2
m
n
的极限不存在时，
mn
S 的极限也不存在；
当
2
m
n
有极限 l时，
mn
S 的极限为
422
2
π
() 2π
4
rl
Sl r h= + 。
这一极限与 l有关，即与 nm,同时趋于无穷大的方式有关。只有当 l
＝ 0 时它才是圆柱面的面积 2πrh。
由于 nm,可以各自独立地趋于无穷大，所以
mn
S 确实没有一个与 nm,增加方式无关的极限。也就是说，无法用“内接多面形之面积的极限”来定义曲面的面积。
再来看一下 l＝0 的几何意义：设 θ是三角形所在平面与圆柱面母线的夹角(图14.1.8)，那么当 0=l,即 0
2
→
m
n
时，显然有
2
2
2
2
ππ π
cos 2 sin sin
π
22
tan 0
π
2
2
rr r
rn
mm m
hh
hm
nn m
θ
=== →
,
这说明只有当三角形所在的平面趋于切平面时，
mn
S 才可能以圆柱 面的面积为极限。这正好与前面关于曲面面积的讨论相吻合。
图 14.1.8
第一类曲面积分
设空间中一曲面 ∑ 上分布着质量，任一点 (,,)xyz 处的面密度（ 单位面积上的质量）由分布函数 ρ(,,)x yz确定，问如何求出 ∑ 的总质量。
解决这一问题的思路是：把曲面 ∑ 分成许多小片，取每一小片 质量的近似值并相加，得到曲面 ∑ 质量的近似值，再取极限（令每一小片直径的最大值趋于零）以获得精确值。这同样是一个积分的概念。
定义 14.1.2 设曲面 ∑ 为有界光滑（ 或分片光滑 ） 曲面,函数
zfxyz= (,,)在 ∑ 上有界。 将曲面 ∑ 用一个光滑曲线网分成 n片小曲面
12
,,,
n
ΣΣ ΣΔΔ Δ ",并记
i
ΔΣ 的面积为 ΔS
i
。 在每片
i
ΣΔ 上任取一点
),,(
iii
ζηξ,作和式
∑
=
Δ
n
i
iiii
Sf
1
),,( ζηξ 。
如果当所有小曲面
i
ΣΔ 的最大直径 λ趋于零时,这个和式的极限存在,
且极限值与小曲面的分法和点 ),,(
iii
ζηξ 的取法无关,则 称 此极 限值 为
fxyz(,,)在曲面 ∑ 上的第一类曲面积分,记为 (,,)df xyz S
Σ
∫∫
,即
(,,)df xyz S
Σ
∫∫
=
∑
=
→
Δ
n
i
iiii
Sf
1
0
),,(lim ζηξ
λ
,
其中 ),,( zyxf 称为被积函数,∑ 称为 积分曲面 。
这样，本小节一开始所要求的曲面 ∑ 的总质量为
(,,)dM xyz S
Σ
ρ=
∫∫
。
设 ∑ 的方程为
(,),(,),(,),(,)x xuv y yuv z zuv uv=== ∈D,
这里 D为 uv平面上具有分段光滑边界的区域。进一步设这个映射是 一一对应的,且满足本节第二部分开始时的假设。那么如果 fxyz(,,)在 ∑
上连续，则它在 ∑ 上的第一类曲面积分存在，且成立以下计算公式
2
(,,)d ((,),(,),(,)) ddf xyz S f xuv yuv zuv EG F uv
Σ
=?
∫∫ ∫∫
D
。
特别地，当 ∑ 的方程为
),( yxzz =,(,)xy∈D
时，成立
22
(,,)d (,,(,))1 (,) (,)dd
xy
f xyz S f xyzxy z xy z xy xy
Σ
=++
∫∫ ∫∫
D
。
这样，本小节一开始所要求的曲面 ∑ 的总质量为
(,,)dM xyz S
Σ
ρ=
∫∫
。
例 14.1.7 计算
I =
222
444
d
xyz
S
abc
Σ
++
∫∫
,
其中 ∑ 为椭球面 1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
（ 0,,>cba ）。
解 椭球面的参数方程为
θ?θ? cos,sinsin,cossin czbyax ===,
其中 02π,0 πθ?≤ ≤≤≤。经计算得到
θ?
θ?
θ?
θ?
θ?
cossin
),(
),(
,sinsin
),(
),(
,cossin
),(
),(
22
ab
yx
ac
xz
bc
zy
=
=
=
,
所以
22 2
2
22 22 2
22
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
cos sin sin sin cos
()sin
yz zx xy
EG F
abc
abc
θ?θ?θ
θ? θ
= + +
=++。
这时被积函数化为
2
2
2
22
2
22
4
2
4
2
4
2
cossinsinsincos
cbac
z
b
y
a
xθ?θ
++=++ 。
由被积函数与积分曲面的对称性，只要计算它在第一卦限的积分后 再乘 8。所以
22 22 2
ππ
[0,] [0,]
22
222
cos sin sin sin cos
8sd
4111
π
3
I abc
abc
abc
abc
θ? θ
θ
×
=++
=++
∫∫
。
例 14.1.8 设圆锥面 zxy
222
=+上具有均匀的单位面密度，它被平面 z a= 和 )0( babz <<= 所截部分为 ∑ 。求 ∑ 对位于原点处、具有单位质量的质点的引力。
解 设 ∑ 对质点的引力为 FFFF
xyz
= (,,),由对称性,引力在 x轴和 y
轴方向的分量为零，即 FF
xy
= = 0。
对于曲面上任一点 P x y z(,,),包含它的曲面面积微元 dS 所具有的质量为 1dS? 。由万有引力定律,dS 对锥面顶点处的质点的引力在 z 轴上的分量为
222
d
cos
S
G
xyz
θ
++
,
其中 G 为引力常数,θ为矢径 OP与 z 轴之间的夹角,
它恰好为锥面的半顶角
π
4
。所以由微元法可知
222
d
2( )
z
S
FG
xyz
Σ
=
++
∫∫
。
z
b
zxy
222
=+
a
O y
x
由于 ∑ 的方程为
22
,(,)zxy xy= +∈D,
这里 D为它在 xOy平面上的投影 {(,)| }xy a x y b
2222
≤+≤,因此
22
222
222 22
2π
2
0
1
1dd
2( )
11
dd dd
2( )
d
d πln
2
b
a
FG zzxy
xyz
GxyGxy
xyz xy
rr b
GG
ra
θ
=++
++
==
++ +
==
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
。
D
DD
通讯卫星的电波覆盖的地球面积
将通讯卫星发射到赤道的上空，使它位于赤道所在的平面内。
如果卫星自西向东地绕地球飞行一周的时间正好等于地球自转一周的时间，那么它始终在地球某一个位置的上空，即相对静止的。 这样的卫星称为地球同步卫星。
现在来计算该卫星的电波所能覆盖的地球的表面积。设地球的半径 R 为 6371km，地球自转的角速度
2π
24 3600
ω =
×
，由于卫星绕地 球飞行一周的时间，正好等于地球自转一周的时间，因此 ω也就是卫 星绕地球飞行的角速度。
先确定卫星离地面的高度 h。要使卫星不会脱离其预定轨道,卫星所受地球的引力必须与它绕地球 飞行所受的离心力相等，即
)(
)(
2
2
hRm
hR
GMm
+=
+
ω,
其中 M 为地球的质量,m为卫星的质量,G 是引力常数。由于重力加速度（即在地面的单位质量所受的引力）
2
R
GM
g =,那么从上式得到
2
2
2
2
22
3
)(
ωωω
R
g
R
R
GMGM
hR =?==+,
于是
R
R
gh?=
3
2
2
ω
。
将
2π
6371000,,9.8
24 3600
Rgω== =
×
代入上式，就得到卫星的离地面的 高度为
22 2
3
2
6371000 24 3600
9.8 6371000 36000000 (m) 36000 (km)
4π
h
××
=×? ≈ = 。
为了计算卫星的电波所覆盖的地球表面的面积，取地心为坐标原点。取过地心与卫星中心、方向从地心到卫星中心的有向直线为 z 轴（见图 14.1.10，为简明起见，只画出了 xz 平面），则卫星的电波所覆盖的地球表面的面积为
dSS
Σ
=
∫∫
,
其中 ∑ 是上半球面
2222
Rzyx =++
)0( ≥z 上满足 αcosRz ≥ 的部分，即
∑,
222
yxRz=,α
2222
sinRyx ≤+ 。
z
卫星
h
α
O x
图 14.1.10
利用第一类曲面积分的计算公式得
2
2
222
1dd d
zz R
Sxyxy
xy
Rxy
=+ + =
∫∫ ∫∫
DD
,
这里 D为 xy平面上区域 }sin|),{(
2222
αRyxyx ≤+ 。利用极坐标变换得
( )
sin
2π sin
22 2
2200
0
ddπ 2π (1 cos )
R
R
R
SrrrR
Rr
α
α
θ α==?=?
∫∫
。
因为 cos
R
Rh
α =
+
，所以
22
36000000
2π 2π 6371000
6371000 36000000
h
SR
Rh
==××
+ +
14 2 8 2
2.16575 10 (m ) 2.16575 10 (km )=× =× 。
由于
22
2π 4π
2( )
hh
SR R
Rh Rh
==
+ +
,
且
2
4πR 正是地球的表面积，而
4248.0
)360000006371000(2
36000000
)(2
≈
+
=
+ hR
h
,
因此卫星的电波覆盖了地球表面三分之一以上的面积。从理论上说，
只要在赤道上空使用三颗相间 2π 3的通讯卫星，它们的电波就可以 覆盖几乎整个地球表面。
