第十六章 Fourier 级数人们最熟悉的简单函数无非两类：幂函数和三角函数。英国数 学家 Taylor 在 18 世纪初找到了用幂函数的（无限）线性组合表示一 般函数 fx()的方法，即通过 Taylor 展开将函数化成幂级数形式
∑
∞
=
=
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
n
n
n
xx
n
xf
xf,
经过理论上的完善之后，它很快成为了微分学（乃至整个函数论）
的重要工具之一。
§1 函数的Fourier级数展开但是，函数的 Taylor 展开在应用中有一定的局限性。首先在实际问题中总是 （也只能） 使用 Taylor 级数的部分和,即 fx()的 n次 Taylor
多项式
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP )(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
++?
′′
+?
′
+= null
来近似地代替函数 )(xf,这时候它要求 fx()有至少 n阶的导数，这是一条件比较苛刻的条件；同时，一般来说 Taylor 多项式仅在点 x
0
附近与 fx()吻合得较为理想，也就是说，它只有局部性质。为此有必要寻找函数的新的级数展开方法。
形如
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin)
的函数项级数称为 三角级数,其中
0
a,a
n
和 b
n
（ null,2,1=n ）为常数。
19 世纪初，法国数学家和工程师 Fourier 在研究热传导问题时，
找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 fx()的方法,即把 fx()
展开成所谓的 Fourier 级数。
与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 fx()的要求要宽容得多，
并且它的部分和在整个区间都与 fx()吻合得较为理想。因此,Fourier
级数是比 Taylor 级数更有力,适用性更广泛的工具,它在声学,光学、
热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心的地位。
以下介绍有关 Fourier 级数的一些基本知识与内容,
? 如何将一个给定的函数 fx()展开为 Fourier 级数 （称为 Fourier
展开）；
? Fourier 级数的收敛条件；
? Fourier 级数的性质及某些相关问题。
与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 fx()的要求要宽容得多，
并且它的部分和在整个区间都与 fx()吻合得较为理想。因此,Fourier
级数是比 Taylor 级数更有力,适用性更广泛的工具,它在声学,光学、
热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心的地位。
周期为 2π的函数的 Fourier 展开
以下总是假设 fx()在 [ π,π]? 上 Riemann 可积或在反常积分意义 下绝对可积（为方便起见，以下都简称为“可积或绝对可积” ）,然后 按
)(xf 在 [ π,π)? 上的值周期延拓到 ),( ∞+?∞,换句话说,fx()是定义在 整个实数范围上的以 2π为周期的周期函数。
Fourier 展开的基础是三角函数的正交性。
在例 7.3.17 中证明了函数族
},cos,sin,,2cos,2sin,cos,sin,1{ nullnull nxnxxxxx
是长度为 2π的区间上的正交函数列,
π
π
cos cos dmx nx x
∫
π
π
sin sin dmx nx x
=
∫
,
π
mn
δ=?,
+
∈Nnm,,
π
π
cos sin d 0mx nx x
=
∫
,null,2,1,0=m,
+
∈Nn,
π
π
1cos dmx x
=
∫
,0
2π
m
δ?,null,2,1,0=m 。
先假定
．．
fx()可以表示成如下形式的级数
fx()=
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
也就是说假定
．．
等式右边的三角级数收敛于 )(xf,那么该如何来确定三角级数中的系数 a
n
和 b
n
。
为了回答这一问题，将等式两边同乘以 cos mx（ null,2,1,0=m ）,然后对等式两边在 [ π,π]? 上积分，假定
．．
等式右边的三角级数可以逐项 积分，并利用上述三角函数的正交性,
π
π
()cos df xmxx
=
∫
π
0
π
1
(cos sin)cos d
2
nn
n
a
anxb x mxx
∞
=
++?
∑
∫
ππ π
0
11
cos d cos cos d sin cos d
2
nn
a
mx x a nx mx x b nx mx x
∞∞
==
=+ +
∑∑
∫∫ ∫
0,0,
1
ππ
mnmn
n
aaδ δ
∞
=
=+
∑
π
m
a=,
先假定
．．
fx()可以表示成如下形式的级数
fx()=
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
也就是说假定
．．
等式右边的三角级数收敛于 )(xf,那么该如何来确定三角级数中的系数 a
n
和 b
n
。
于是就得到（将下标 m改写为 n）
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
f xnxx
∫
,null,2,1,0=n 。
将等式两边同乘以 mxsin （ …,2,1=m ）后在 [ π,π]? 上积分，同理 可得到
b
n
=
π
π
1
()sin d
π
f xnxx
∫
,null,2,1=n 。
上面两式称为 Euler-Fourier 公式 。
注意将三角级数的常数项写成
2
0
a
而不是
0
a,就是为了使系数
n
a
（ null,2,1,0=n ）有上述统一的表达式。
反过来，设周期为 2π的函数 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积，则利用 Euler- Fourier 公式就可求出系数 a
n
,b
n
，并记
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
等式右端的三角级数称为 fx()的 Fourier 级数，相应的 a
n
和 b
n
称为
fx()的 Fourier 系数 。
需要指出的是，目前在 fx()和它的 Fourier 级数之间不能用等号而只能用,~”,因为我们不知道等式右端的三角级数是否收敛，即使收敛，也不知道它是否收敛到 fx()本身。这些问题我们将在下一节讨论。
反过来，设周期为 2π的函数 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积，则利用 Euler- Fourier 公式就可求出系数 a
n
,b
n
，并记
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
等式右端的三角级数称为 fx()的 Fourier 级数，相应的 a
n
和 b
n
称为
fx()的 Fourier 系数 。
例 16.1.1 求 fx()
1,[ π,0),
0,[0,π)
x
x
∈?
=
∈
的 Fourier 级数。
解 先计算 fx()的 Fourier 系数。
a
0
=
π
π
1
()d
π
f xx
∫
=1,
对 null,2,1=n,
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
f xnxx
∫
0
π
1
cos d
π
nx x
=
∫
0
π
1
sin
π
nx
n
= = 0,
b
n
=
π
π
1
()sin d
π
f xnxx
∫
0
π
1
sin d
π
nx x
=
∫
0
π
1
cos
π
nx
n
=?
(1) 1
π
n
n
=,
于是得到 fx()的 Fourier 级数
fx()
1
11 (1) 1
~sin
2 π
n
n
nx
n
∞
=
+
∑
1 2 sin 3 sin 5 sin(2 1)
sin
2 π 35 21
xx kx
x
k
+
=? + + ++ +
+
nullnull。
fx()的图形在电工学中称为方波（图 16.1.1(a)）,上式表明它可以由一系列的正弦波（即函数 )sin(?ω +xA 表示的图形）叠加来得到。
但显然，当 0=x 和 π± 时，右端级数的和为
2
1
，不等于 fx()的值。
图 16.1.1(b)给出了在 [ π,π]? 上 fx()的 Fourier 级数的前若干项之和的逼近情况，图中的 S
m
表示
Sx
a
anxbnx
mn
n
m
() ( cos sin )=+ +
=
∑
0
1
2
,
这就是 fx()的 Fourier 级数的部分和。
正弦级数和余弦级数
由定积分的性质，若 fx()是奇函数，那么显然有 a
n
= 0，而
b
n
=
π
0
2
()sin d
π
f xnxx
∫
,null,2,1=n,
这时，相应的 Fourier 级数为
fx()~ bnx
n
n
sin
=
∞
∑
1
,
形如 bnx
n
n
sin
=
∞
∑
1
的三角级数称为 正弦级数 。如在例 16.1.1 中，令
gx f x() ()=?
1
2
（即 fx()往下移动
1
2
）,则 gx()是奇函数，从上面的结 果看到，它的 Fourier 级数确为正弦级数。
同样，若 fx()是偶函数，那么有 b
n
= 0和
a
n
=
π
0
2
()cos d
π
f xnxx
∫
,
相应的 Fourier 级数为
fx()~
a
anx
n
n
0
1
2
+
=
∞
∑
cos,
形如
a
anx
n
n
0
1
2
+
=
∞
∑
cos 的三角级数称为 余弦级数 。
例 16.1.2 将 fx() ( [0,π])xx= ∈ 分别展开为余弦级数和正弦级数。
解 先考虑余弦级数的情况。对 fx() ( [0,π])xx=∈进行偶延拓：
()f xx=
null
,[0,π),
,[π,0),
xx
xx
∈
=
∈?
则有
a
0
=
π
π
1
()d
π
f xx
=
∫
null
π
0
2
d
π
xx
∫
π
2
0
π
π
x
==,
对 null,2,1=n,有
a
n
π
π
1
()cos d
π
f xnxx
=
∫
null
π
0
2
cos d
π
xnxx=
∫
2
π
=
π
π
0
0
sin 1
sin d
xnx
nx x
nn
∫
π
2
0
2cos
π
nx
n
=
2
(1) 1
2
π
n
n
=?
2
0,2,
4
,21,
π
nk
nk
n
=
=
=+
n
b
π
π
1
()sin d 0
π
fx nxx
= =
∫
null
。
于是得到 fx()的余弦级数
fx()
2
1
π 2(1)1
~+ cos
2 π
n
n
nx
n
∞
=
∑
22 2
π 4 cos3 cos5 cos(2 1)
cos
2 π 35 (21)
xx kx
x
k
+
=? + + ++ +
+
nullnull。
这是由一系列的正弦波叠加出来的锯齿波（图 16.1.2(a)）,从图
16.1.2(b)看出，其逼近情况相当好。
再看正弦级数的情况。对 fx() ( [0,π])xx= ∈ 进行奇延拓,
~
()fx,[π,π)xx= ∈?,
则有
n
a
π
π
1
()cos d 0
π
fx nxx
= =
∫
null
,0,1,2,n = null
对 null,2,1=n,有
b
n
π
π
1
()sin d
π
fx nxx
=
∫
null
π
0
2
sin d
π
x nx x=
∫
π
0
2cos
π
xnx
n
=?
π
0
1
cos dnx x
n
+
∫
n
n 1
)1(2
+
=,
于是得到 fx()的正弦级数
fx()~
()
sin2
1
1
1
+
=
∞
∑
n
n
n
nx
+
+?+?=
+
nullnull
n
nxxx
x
n
sin)1(
3
3sin
2
2sin
sin2
1
。
这是由一系列的正弦波叠加出来的三角波（图 16.1.3(a)）,其 逼近情况见图 16.1.3(b)。 与例 16.1.1 类似,它在 π±=x 时的值是 0，与 fx()
的值不相等。
注意这两种级数的表达形式虽然大相径庭,但在下一节就会知道，若限制在 [,)0 π 上，它们的确表示同一个函数。
这是由一系列的正弦波叠加出来的三角波（图 16.1.3(a)）,其 逼近情况见图 16.1.3(b)。 与例 16.1.1 类似，它在 π±=x 时的值是 0，与 fx()
的值不相等。
任意周期的函数的 Fourier 展开
如果 fx()的周期为 2T,作变换
π
T
xt=,则
() ( )
π
T
tftfx?
==
是定义在 ),( ∞+?∞ 上的周期为 2π的函数。利用前面的结果，有
)(t? ~(cossin)
a
antb t
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
,
代回变量，就有
fx()
0
1
ππ
~cossin
2
nn
n
a nn
axbx
TT
∞
=
++
∑
,
相应的 Fourier 系数为
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
tntt?
∫
1 π
()cos d
T
T
n
f xxx
TT
=
∫
,null,2,1,0=n,
b
n
=
π
π
1
()sin d
π
tntt?
∫
1 π
()sin d
T
T
n
f xxx
TT
=
∫
,null,2,1=n 。
例 16.1.3 求 fx()
∈
∈
=
)1,0[,
],0,1[,0
2
xx
x
的 Fourier 级数。
解 在上面的公式中令 T =1，计算 fx()的 Fourier 系数，得到
a
0
=
1
()d
T
T
f xx
T
∫
1
2
0
dxx=
∫
=
1
3
,
对 null,2,1=n,利用分部积分法,
a
n
=
1 π
()cos d
T
T
n
f xxx
TT
∫
1
2
0
cos π dxnxx=
∫ 22
2(1)
π
n
n
=,
b
n
=
1 π
()sin d
T
T
n
f xxx
TT
∫
1
2
0
sin π dxnxx=
∫
1
(1)
π
n
n
+
=
33
2[( 1) 1]
π
n
n
+,
于是得到 fx()的 Fourier 级数
fx()
22
1
12 (1)
~cosπ
6 π
n
n
nx
n
∞
=
+
∑
1
32
1
1(1) (1)1
2sinπ
ππ
nn
n
nx
nn
+
∞
=
++
∑
。
fx()
22
1
12 (1)
~cosπ
6 π
n
n
nx
n
∞
=
+
∑
1
32
1
1(1) (1)1
2sinπ
ππ
nn
n
nx
nn
+
∞
=
++
∑
。
fx()的图形及由一系列正弦波叠加的近似情况见图 16.1.4。
∑
∞
=
=
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
n
n
n
xx
n
xf
xf,
经过理论上的完善之后，它很快成为了微分学（乃至整个函数论）
的重要工具之一。
§1 函数的Fourier级数展开但是，函数的 Taylor 展开在应用中有一定的局限性。首先在实际问题中总是 （也只能） 使用 Taylor 级数的部分和,即 fx()的 n次 Taylor
多项式
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP )(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
++?
′′
+?
′
+= null
来近似地代替函数 )(xf,这时候它要求 fx()有至少 n阶的导数，这是一条件比较苛刻的条件；同时，一般来说 Taylor 多项式仅在点 x
0
附近与 fx()吻合得较为理想，也就是说，它只有局部性质。为此有必要寻找函数的新的级数展开方法。
形如
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin)
的函数项级数称为 三角级数,其中
0
a,a
n
和 b
n
（ null,2,1=n ）为常数。
19 世纪初，法国数学家和工程师 Fourier 在研究热传导问题时，
找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 fx()的方法,即把 fx()
展开成所谓的 Fourier 级数。
与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 fx()的要求要宽容得多，
并且它的部分和在整个区间都与 fx()吻合得较为理想。因此,Fourier
级数是比 Taylor 级数更有力,适用性更广泛的工具,它在声学,光学、
热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心的地位。
以下介绍有关 Fourier 级数的一些基本知识与内容,
? 如何将一个给定的函数 fx()展开为 Fourier 级数 （称为 Fourier
展开）；
? Fourier 级数的收敛条件；
? Fourier 级数的性质及某些相关问题。
与 Taylor 展开相比，Fourier 展开对于 fx()的要求要宽容得多，
并且它的部分和在整个区间都与 fx()吻合得较为理想。因此,Fourier
级数是比 Taylor 级数更有力,适用性更广泛的工具,它在声学,光学、
热力学、电学等研究领域极有价值，在微分方程求解方面更是起着基本的作用。可以说，Fourier 级数理论在整个现代分析学中占有核心的地位。
周期为 2π的函数的 Fourier 展开
以下总是假设 fx()在 [ π,π]? 上 Riemann 可积或在反常积分意义 下绝对可积（为方便起见，以下都简称为“可积或绝对可积” ）,然后 按
)(xf 在 [ π,π)? 上的值周期延拓到 ),( ∞+?∞,换句话说,fx()是定义在 整个实数范围上的以 2π为周期的周期函数。
Fourier 展开的基础是三角函数的正交性。
在例 7.3.17 中证明了函数族
},cos,sin,,2cos,2sin,cos,sin,1{ nullnull nxnxxxxx
是长度为 2π的区间上的正交函数列,
π
π
cos cos dmx nx x
∫
π
π
sin sin dmx nx x
=
∫
,
π
mn
δ=?,
+
∈Nnm,,
π
π
cos sin d 0mx nx x
=
∫
,null,2,1,0=m,
+
∈Nn,
π
π
1cos dmx x
=
∫
,0
2π
m
δ?,null,2,1,0=m 。
先假定
．．
fx()可以表示成如下形式的级数
fx()=
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
也就是说假定
．．
等式右边的三角级数收敛于 )(xf,那么该如何来确定三角级数中的系数 a
n
和 b
n
。
为了回答这一问题，将等式两边同乘以 cos mx（ null,2,1,0=m ）,然后对等式两边在 [ π,π]? 上积分，假定
．．
等式右边的三角级数可以逐项 积分，并利用上述三角函数的正交性,
π
π
()cos df xmxx
=
∫
π
0
π
1
(cos sin)cos d
2
nn
n
a
anxb x mxx
∞
=
++?
∑
∫
ππ π
0
11
cos d cos cos d sin cos d
2
nn
a
mx x a nx mx x b nx mx x
∞∞
==
=+ +
∑∑
∫∫ ∫
0,0,
1
ππ
mnmn
n
aaδ δ
∞
=
=+
∑
π
m
a=,
先假定
．．
fx()可以表示成如下形式的级数
fx()=
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
也就是说假定
．．
等式右边的三角级数收敛于 )(xf,那么该如何来确定三角级数中的系数 a
n
和 b
n
。
于是就得到（将下标 m改写为 n）
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
f xnxx
∫
,null,2,1,0=n 。
将等式两边同乘以 mxsin （ …,2,1=m ）后在 [ π,π]? 上积分，同理 可得到
b
n
=
π
π
1
()sin d
π
f xnxx
∫
,null,2,1=n 。
上面两式称为 Euler-Fourier 公式 。
注意将三角级数的常数项写成
2
0
a
而不是
0
a,就是为了使系数
n
a
（ null,2,1,0=n ）有上述统一的表达式。
反过来，设周期为 2π的函数 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积，则利用 Euler- Fourier 公式就可求出系数 a
n
,b
n
，并记
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
等式右端的三角级数称为 fx()的 Fourier 级数，相应的 a
n
和 b
n
称为
fx()的 Fourier 系数 。
需要指出的是，目前在 fx()和它的 Fourier 级数之间不能用等号而只能用,~”,因为我们不知道等式右端的三角级数是否收敛，即使收敛，也不知道它是否收敛到 fx()本身。这些问题我们将在下一节讨论。
反过来，设周期为 2π的函数 fx()在 [ π,π]? 上可积或绝对可积，则利用 Euler- Fourier 公式就可求出系数 a
n
,b
n
，并记
fx()~
a
anxbnx
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
(cos sin),
等式右端的三角级数称为 fx()的 Fourier 级数，相应的 a
n
和 b
n
称为
fx()的 Fourier 系数 。
例 16.1.1 求 fx()
1,[ π,0),
0,[0,π)
x
x
∈?
=
∈
的 Fourier 级数。
解 先计算 fx()的 Fourier 系数。
a
0
=
π
π
1
()d
π
f xx
∫
=1,
对 null,2,1=n,
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
f xnxx
∫
0
π
1
cos d
π
nx x
=
∫
0
π
1
sin
π
nx
n
= = 0,
b
n
=
π
π
1
()sin d
π
f xnxx
∫
0
π
1
sin d
π
nx x
=
∫
0
π
1
cos
π
nx
n
=?
(1) 1
π
n
n
=,
于是得到 fx()的 Fourier 级数
fx()
1
11 (1) 1
~sin
2 π
n
n
nx
n
∞
=
+
∑
1 2 sin 3 sin 5 sin(2 1)
sin
2 π 35 21
xx kx
x
k
+
=? + + ++ +
+
nullnull。
fx()的图形在电工学中称为方波（图 16.1.1(a)）,上式表明它可以由一系列的正弦波（即函数 )sin(?ω +xA 表示的图形）叠加来得到。
但显然，当 0=x 和 π± 时，右端级数的和为
2
1
，不等于 fx()的值。
图 16.1.1(b)给出了在 [ π,π]? 上 fx()的 Fourier 级数的前若干项之和的逼近情况，图中的 S
m
表示
Sx
a
anxbnx
mn
n
m
() ( cos sin )=+ +
=
∑
0
1
2
,
这就是 fx()的 Fourier 级数的部分和。
正弦级数和余弦级数
由定积分的性质，若 fx()是奇函数，那么显然有 a
n
= 0，而
b
n
=
π
0
2
()sin d
π
f xnxx
∫
,null,2,1=n,
这时，相应的 Fourier 级数为
fx()~ bnx
n
n
sin
=
∞
∑
1
,
形如 bnx
n
n
sin
=
∞
∑
1
的三角级数称为 正弦级数 。如在例 16.1.1 中，令
gx f x() ()=?
1
2
（即 fx()往下移动
1
2
）,则 gx()是奇函数，从上面的结 果看到，它的 Fourier 级数确为正弦级数。
同样，若 fx()是偶函数，那么有 b
n
= 0和
a
n
=
π
0
2
()cos d
π
f xnxx
∫
,
相应的 Fourier 级数为
fx()~
a
anx
n
n
0
1
2
+
=
∞
∑
cos,
形如
a
anx
n
n
0
1
2
+
=
∞
∑
cos 的三角级数称为 余弦级数 。
例 16.1.2 将 fx() ( [0,π])xx= ∈ 分别展开为余弦级数和正弦级数。
解 先考虑余弦级数的情况。对 fx() ( [0,π])xx=∈进行偶延拓：
()f xx=
null
,[0,π),
,[π,0),
xx
xx
∈
=
∈?
则有
a
0
=
π
π
1
()d
π
f xx
=
∫
null
π
0
2
d
π
xx
∫
π
2
0
π
π
x
==,
对 null,2,1=n,有
a
n
π
π
1
()cos d
π
f xnxx
=
∫
null
π
0
2
cos d
π
xnxx=
∫
2
π
=
π
π
0
0
sin 1
sin d
xnx
nx x
nn
∫
π
2
0
2cos
π
nx
n
=
2
(1) 1
2
π
n
n
=?
2
0,2,
4
,21,
π
nk
nk
n
=
=
=+
n
b
π
π
1
()sin d 0
π
fx nxx
= =
∫
null
。
于是得到 fx()的余弦级数
fx()
2
1
π 2(1)1
~+ cos
2 π
n
n
nx
n
∞
=
∑
22 2
π 4 cos3 cos5 cos(2 1)
cos
2 π 35 (21)
xx kx
x
k
+
=? + + ++ +
+
nullnull。
这是由一系列的正弦波叠加出来的锯齿波（图 16.1.2(a)）,从图
16.1.2(b)看出，其逼近情况相当好。
再看正弦级数的情况。对 fx() ( [0,π])xx= ∈ 进行奇延拓,
~
()fx,[π,π)xx= ∈?,
则有
n
a
π
π
1
()cos d 0
π
fx nxx
= =
∫
null
,0,1,2,n = null
对 null,2,1=n,有
b
n
π
π
1
()sin d
π
fx nxx
=
∫
null
π
0
2
sin d
π
x nx x=
∫
π
0
2cos
π
xnx
n
=?
π
0
1
cos dnx x
n
+
∫
n
n 1
)1(2
+
=,
于是得到 fx()的正弦级数
fx()~
()
sin2
1
1
1
+
=
∞
∑
n
n
n
nx
+
+?+?=
+
nullnull
n
nxxx
x
n
sin)1(
3
3sin
2
2sin
sin2
1
。
这是由一系列的正弦波叠加出来的三角波（图 16.1.3(a)）,其 逼近情况见图 16.1.3(b)。 与例 16.1.1 类似,它在 π±=x 时的值是 0，与 fx()
的值不相等。
注意这两种级数的表达形式虽然大相径庭,但在下一节就会知道，若限制在 [,)0 π 上，它们的确表示同一个函数。
这是由一系列的正弦波叠加出来的三角波（图 16.1.3(a)）,其 逼近情况见图 16.1.3(b)。 与例 16.1.1 类似，它在 π±=x 时的值是 0，与 fx()
的值不相等。
任意周期的函数的 Fourier 展开
如果 fx()的周期为 2T,作变换
π
T
xt=,则
() ( )
π
T
tftfx?
==
是定义在 ),( ∞+?∞ 上的周期为 2π的函数。利用前面的结果，有
)(t? ~(cossin)
a
antb t
nn
n
0
1
2
++
=
∞
∑
,
代回变量，就有
fx()
0
1
ππ
~cossin
2
nn
n
a nn
axbx
TT
∞
=
++
∑
,
相应的 Fourier 系数为
a
n
=
π
π
1
()cos d
π
tntt?
∫
1 π
()cos d
T
T
n
f xxx
TT
=
∫
,null,2,1,0=n,
b
n
=
π
π
1
()sin d
π
tntt?
∫
1 π
()sin d
T
T
n
f xxx
TT
=
∫
,null,2,1=n 。
例 16.1.3 求 fx()
∈
∈
=
)1,0[,
],0,1[,0
2
xx
x
的 Fourier 级数。
解 在上面的公式中令 T =1，计算 fx()的 Fourier 系数，得到
a
0
=
1
()d
T
T
f xx
T
∫
1
2
0
dxx=
∫
=
1
3
,
对 null,2,1=n,利用分部积分法,
a
n
=
1 π
()cos d
T
T
n
f xxx
TT
∫
1
2
0
cos π dxnxx=
∫ 22
2(1)
π
n
n
=,
b
n
=
1 π
()sin d
T
T
n
f xxx
TT
∫
1
2
0
sin π dxnxx=
∫
1
(1)
π
n
n
+
=
33
2[( 1) 1]
π
n
n
+,
于是得到 fx()的 Fourier 级数
fx()
22
1
12 (1)
~cosπ
6 π
n
n
nx
n
∞
=
+
∑
1
32
1
1(1) (1)1
2sinπ
ππ
nn
n
nx
nn
+
∞
=
++
∑
。
fx()
22
1
12 (1)
~cosπ
6 π
n
n
nx
n
∞
=
+
∑
1
32
1
1(1) (1)1
2sinπ
ππ
nn
n
nx
nn
+
∞
=
++
∑
。
fx()的图形及由一系列正弦波叠加的近似情况见图 16.1.4。
