在实际应用中，常常需要考察某种物理量（如温度，密度，电场强度，力，速度等）在空间的分布和变化规律，从数学和物理上看这就是 场 的概念。
设 Ω
3
R? 是一个区域，若在时刻 t,Ω中每一点 (,,)x yz都有一个确定的数值 fxyzt(,,,)（或确定的向量值 ),,,( tzyxf ）与它对应，就称函数
fxyzt(,,,)为 Ω上的 数量场 （或向量场） 。例如，某一区域上每一点的温度确定了一个数量场，它称为温度场；而某流体在某一区域上每一点的速度确定了一个向量场，它称为速度场，如此等等。如果一个场不随时间的变化而变化，就称该场为 稳定场；否则称为 不稳定场。在本节中除非特别声明，我们只考虑稳定场。
§ 5 场论初步
梯度
Ω上任何一个三元函数 ),,( zyxf 都可以看成是 Ω上的一个数量场。设 fxyx(,,)在 Ω上具有连续偏导数，则其梯度为
x yz
f ff f= ++grad ijk,
而且沿方向
kjil ),cos(),cos(),cos( zlylxl ++=
的方向导数可以表示为
f
f
l
=?
grad l 。
曲面
czyxf =),,( （常数）
称为 f 的等值面。若
zyx
fff,,不同时为零，那么
222
zyx
zyx
fff
fff
++
++
=
kji
n 为等值面上的一个单位法向量，并且有
f
f
n
=
grad 及
f
f
n
=
grad n 。
这说明,f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线 方向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 fgrad 的方向，
于是，沿着与梯度方向相同的方向,f 的函数值增加最快。而沿着与梯度方向相反的方向,f 的方向导数取到最小值 f? grad,于是,沿着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。
曲面
czyxf =),,( （常数）
称为 f 的等值面。若
zyx
fff,,不同时为零，那么
222
zyx
zyx
fff
fff
++
++
=
kji
n 为等值面上的一个单位法向量，并且有
f
f
n
=
grad 及
f
f
n
=
grad n 。
由数量场 f 产生的向量场
x yz
ff f f= ++grad i j k 称为 梯度场 。
再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数 ),( yxfz =
来表示，图 14.5.1 是等高线图，即 cyxf =),( 的图形。当雪融化时，由于重力的作用，雪水会沿高度下降最快的方向，即 f?grad 方向流动，
溪流就是这样形成的。
图14.5.1
通量与散度
设 Ω上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为
kjiv ),,(),,(),,( zyxvzyxvzyxv
zyx
++=,
其中
zyx
vvv,,具有连续偏导数。设 Σ是 Ω中的一片定向曲面，则单位 时间内通过 Σ流向指定侧的流量为
(,,)dd (,,)dd (,,)dd d
xyz
v xyz yz v xyz zx v xyz xy S
Σ Σ
Φ =++=?
∫∫ ∫∫
vn d
Σ
=?
∫∫
Sv,
其中 kjin γβα coscoscos ++= 为 Σ在 (,,)x y z 处的、在指定侧的单位法向量。
显然,0Φ > 说明向指定侧穿过曲面 Σ 的流量多于向相反方向 穿过曲面 Σ 的流量； 0Φ < 说明向指定侧穿过曲面 Σ 的流量少于向相 反方向穿过曲面 Σ 的流量； 0Φ = 说明向指定侧穿过曲面 Σ 的流量等 于向相反方向穿过曲面 Σ 的流量。
如果 Σ 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0Φ > 说明从曲面内的流出量大于流入量，此时在 Σ 内必有产生流体的源头（源） ； 0Φ <
说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 Σ 内必有排泄流体的 漏洞（汇） 。
要判断场中一点 ),,( zyxM 是否为源或汇，以及源的“强弱”或 汇的“大小”,可以作一张包含 M 的封闭曲面 Σ（定向为外侧）,考察 Σ
所围区域 V收缩到 M 点时（记为 M→V ）,d
Σ
Φ =?
∫∫
vS的值。但因为
M→V 时有 Φ →0，所以考虑
d
lim lim
MM
mm
Σ
Φ
→→
=
∫∫
VV
vS
VV
（ mV 为 V 的体积） 。由 Gauss 公式，并利用积分中值定理,
ddddd
ddd
xyz
yy
xxzz
M
vyzvzxvxy
vv
xyz m
xyz xyz
ΣΣ
Φ =?= + +
=++ =++?
∫∫ ∫∫
∫∫∫
。
V
vS
V
其中
~
M 为 V 上某一点。
于是
(,,)
(,,) (,,)
lim lim
yy
xxzz
M MM
M
vvxyz
xyz xy z
mxyzxy
Φ
→ →
=++= + +
V
V
。
因此，可以用
z
zyxv
y
zyxv
x
zyxv
z
y
x
+
+
),,(
),,(
),,(
来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小” 。
定义 14.5.1 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz Ω=++ ∈aijk
是一个向量场,),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 Ω上具有连续偏导数 。 Σ
为场中的定向曲面,称曲面积分
d
Σ
Φ =?
∫∫
aS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面 Σ的 通量 。
设 M 为这个场中任一点 。 称
)()()( M
z
R
M
y
Q
M
x
P
+
+
为向量场 a 在 M 点的 散度,记为 )(div Ma 。
由上面的流体例子可知道，如果 )(div Ma 大于零，则称在 M 点处有 正源（源） ；如果 )(div Ma 小于零，则称在 M 点处有负源 （ 汇 ） ；如果 )(div Ma =0，则称在 M 点处 无源 。如果在场中每一点都成立 0div =a,
则称 a 为 无源场 。
定义 14.5.1 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz Ω=++ ∈aijk
是一个向量场,),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 Ω上具有连续偏导数 。 Σ
为场中的定向曲面,称曲面积分
d
Σ
Φ =?
∫∫
aS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面 Σ的 通量。
设 M 为这个场中任一点。 称
)()()( M
z
R
M
y
Q
M
x
P
+
+
为向量场 a 在 M 点的散度,记为 )(div Ma 。
定理 14.5.1 a 的散度是通量关于体积的变化率，即
d
div ( ) lim
M
M
m
Σ
→
=
∫∫
V
aS
a
V
。
换句话说，散度就是穿出单位体积边界的通量 。
由向量场 a 产生的数量场 adiv 称为 散度场 。
利用散度的记号,Gauss 公式就可写成如下形式,
div d dV
=?
∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
aaS。
向量线
设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz=++ ∈aijkΩ
为向量场,Γ为 Ω 中的一条曲线。若 Γ上的每一点处的切线方向都与场向量在该点的方向一致，则称 Γ为向量场 a 的 向量线 。静电场中的电力线、磁场中的磁力线等都是向量线的实际例子。
设 M x y z(,,)为向量线上任一点，则其矢量方程为
kjir zyx ++=,
那么
dd d dxyz= ++rij k
就是向量线在 M 点处的切向量。由定义，它与在 M 点处的场向量共线，因此
ddd
(,,) (,,) (,,)
xyz
P x y zQxy zRxy z
==。
这就是向量线所满足的方程,如果解出它的话,一般就得到向量线族。
如果再利用过 M 点这个条件，就得到过 M 点的向量线。一般来说，
向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它，向量线族充满了向量场所在的空间。
例 14.5.1 由电磁学中的 Coulomb 定律，在位于原点的点电荷 q
（这里 q 表示电荷大小）所产生的静电场中，任何一点 M x yz(,,)处的电场强度为
3
0
4π
q
rε
=E r,
其中
222
zyxr ++= 为点 M 到原点的距离,kjir zyx ++=,ε
0
为真空介电常数。
将 E 具体写出来就是
3333
0000
4π 4π 4π 4π
qqxqyqz
rrrrεεεε
==++E rij k 。
由于
22 22
35 35
00 00
22
35
00
,,
4π 4π 4π 4π
3
,
4π 4π
qx q r x qy qr y
xr r yr r
qz q r z
zr r
εε εε
εε
==
=
所以
333
000
div 0
4π 4π 4π
qx qy qz
xryrzrεεε
=++=
E,0
222
≠++ zyx 。
1,设 S 是以原点为心，半径为 R 的球面，定向取外侧。注意到 在球面 S 上恒有 rR=,且 E 的方向与球面 S 的外法向量的方向相同，因此从内部穿出球面 S 的通量（称为 电通量 ）为
dΦ =?
∫∫
S
E S
222
0000
ddd
4π 4π 4π
qqqq
SSS
rRRε εεε
====
∫∫ ∫∫ ∫∫
SS S
。
2,设 Σ 为任意一张光滑或分片光滑的封闭曲面。
（ i）如果 Σ 内不含原点。记 Σ 所包围的区域为 Ω,则由 Gauss
公式得
Φ = ddivd0V
Σ
==
∫∫ ∫∫∫
ES E
Ω
。
（ ii）如果 Σ 内含有原点，那么不能直接用 Gauss 公式。在曲面 Σ
所包围的区域内取一个以原点为心的小球面 σ,定向取内侧。 记
1
Ω 为介于 σ 与 Σ 之间的区域。由 Gauss 公式得
1
dddivd0V
Σσ
+?= =
∫∫ ∫∫ ∫∫∫
ES ES E
Ω
,
因此从内部穿出曲面 Σ 的电通量
0
dd
q
Σσ
Φ
ε
=?==
∫∫ ∫∫
ES ES 。
因此，电场强度穿出任一封闭曲面的电通量等于其内部的电荷量除以
0
ε,这正是电磁学中的 Gauss 定律。
此外，利用前面的讨论，电场强度的向量线（即电力线）应满 足关系式
dddx yz
x yz
= =,
由此解得电力线的方程为
=
=
.
,
2
1
xCz
xCy
这是一族从坐标原点出发的半射线（见图 14.5.2）。
图 14.5.2
x
y
z
环量与旋度
设稳定不可压缩流体的速度场为
kjiv ),,(),,(),,( zyxvzyxvzyxv
zyx
++=,
其中
zyx
vvv,,具有连续偏导数。设 ),,(
0000
zyxM 是场中一点。如果在
0
M
点有旋涡，流体以角速度 ω 旋转（这里 ω 在旋涡的轴线上，且方向与旋涡的旋转方向成右手螺旋定则）,那么流体在
0
M 附近的任一点
),,( zyxM 的速度 v 可以表为
rvv ×+= ω
0
,
其中
0
v 表示在点
0
M 的速度,r 表示向量 MM
0
（见图 14.5.3） 。这就是说，流体在 M 点的速度是平移速度
0
v 与旋转产生的线速度 r×ω 的叠加。
0
M
M
v
r
ω
记 =ω ),,(
zyx
ωωω,),,(
0000 zyx
vvv=v,则流体在 M 点的速度
),,(
zyx
vvv=v 的分量为
).()(
),()(
),()(
000
000
000
xxyyvv
zzxxvv
yyzzvv
yxzz
xzyy
zyxx
+=
+=
+=
ωω
ωω
ωω
于是在 M 点成立
z
x
y
y
zx
x
y
z
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
ωωω 2,2,2 =
=
=
。
因此向量
kjiB
+
+
=
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
x
y
zx
y
z
2= ω
同样可以描述旋涡的强度和方向，而 B 是由速度场本身决定的，不用真正测量出角速度 ω 。
设 Γ 为场中的定向闭曲线，由 Stokes 公式
dd
ΓΣ
=?
∫∫∫
vs BS,
这里 Σ 是任意以 Γ 为边界的曲面，定向与 Γ 符合右手定则。由此 可见，曲线积分 d
Γ
∫
vs也与流体的旋转状态有密切关系。
定义 14.5.2 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz Ω=++ ∈aijk
是一个向量场,),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 Ω上具有连续偏导数。
设 Γ为场中的定向曲 线,称曲线积分
d
Γ
∫
as
为向量场 a 沿定向曲线 Γ的 环量。
设 M 为这个场中任一点。 称向量
=
M
RQP
zyx
kji
kji
MMM
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
+
+
为向量场 a 在 M 点的 旋度,记为 ()Mrot a 或 ()Mcurl a 。
由向量场 a 产生的向量场 rot a 称为旋度场 。 如果在场 中每一 点 都成立 rot a = 0,则称 a 为 无旋场 。
于是,Stokes 公式可以写成
dd
ΣΣ?
=?
∫∫∫
rot aS as,
对旋度可以作类似于散度的解释。在场中一点 M 处任取一个向量 n，作 小 平 面 片 Σ 过 M 点且以 n为法向量，并按右手定则取定 Σ? 的方向。记 Σ 的面积为 m Σ 。如果当 Σ 收缩到点 M 时（记为 MΣ → ），
d
m
Σ
Σ
∫
as
的极限存在，则称此极限值为向量场 a 在 M 点沿方向 n的环量面密度 。它是环量关于面积的变化率，即沿平面上单位面积边缘的环量。
定理 14.5.2 向量场 a 在 M 点处的旋度就是这样一个向量,a 在
M 点处沿旋度方向的环量面密度最大，而且最大值就是 ()Mcurl a 。
证 对于包含 M xyz(,,)的小平面片 Σ,及它的法向量 n，并按右手定则取定 Σ? 的方向。 记单位法向量 α(cos
||
=
n
n
,βcos,)cosγ 。由 Stokes
公式，并利用积分中值定理,
ddddP xQyRz
ΣΣ
= + +
∫∫
as
cos cos cos d
RQ PR QP
S
yz zx xy
Σ
αβγ
=? +? +?
∫∫
m
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
M
+
+
=
~
coscoscos γβα Σ,
其中
~
M 为 Σ 上某一点。
因此当 MΣ → 时,a 在 M 点沿方向 n的环量面密度为
d
lim
M
m
Σ
Σ
Σ
→
∫
as
lim cos cos cos
M
M
RQ PR QP
yz zx xy
Σ
α βγ
→
=?+?+?
M
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
+
+
= γβα coscoscos
()cos( (),)MM=?rot rot aan≤ ()Mrot a,
因此 a 在 M 点处沿旋度方向的环量面密度最大，且最大值为 ()Mrot a 。
以前面的流体速度场为例，它在与 rot a 垂直的平面上，沿单位面积边缘的环量最大（这显然符合实际），达到角速度的模的两倍。
例 14.5.2 设一根无限长直线导线载有电流 I （见图 14.5.4） 。由电磁学知，这电流产生的磁感强度 B 的大小为
0
2π
I
B
r
μ
=,
这里 r 为观察点到导线的距离，
0
μ 为真空磁导率。而磁力线是围绕该导线的圆周，电流方向、半径方向和磁感强度的方向成右手定则。
取导线为 z 轴，电流方向为 z 轴的正向。任取一张垂直于导线的平面为 xy平面。那么在点 ),,( zyxM ( 0
22
≠+ yx )处的磁感强度为
0
2
()
2π
I
yx
r
μ
=?+Bij,
其中
22
yxr += 。于是
22
0
xy z
yx
rr
==
rot
ijk
B 0,0
22
≠+ yx 。
图14.5.4
1,对位于垂直于导线的平面上的、围绕导线的任意简单闭曲线
Γ,如果我们取它的定向为从上往下看是逆时针方向,从例 14.3.5 知，
B 沿 Γ 的环量为
0
0
22
dd
dd
2π
I xy yx
sI
xy
ΓΓ Γ
μ
μ
=? = =
+
∫∫ ∫
Bs Bτ 。
2,对于空间中任意一条简单闭曲线 Γ，取它的定向为从上往下看是逆时针方向。对于任意一张以 Γ为边界曲面 Σ，取 Σ 的定向与 Γ的定向符合右手定则。
( 1 ) 如果导线不穿过曲面 Σ，那么
dd0
ΓΣ
=?=
∫∫∫
rot Bs BS 。
1,对位于垂直于导线的平面上的、围绕导线的任意简单闭曲线
Γ,如果我们取它的定向为从上往下看是逆时针方向,从例 14.3.5 知，
B 沿 Γ 的环量为
0
0
22
dd
dd
2π
I xy yx
sI
xy
ΓΓ Γ
μ
μ
=? = =
+
∫∫ ∫
Bs Bτ 。
( 2 ) 如果导线穿过曲面 Σ 一次，这时不能直接用 Stokes 定理。适当取一张垂直于导线的平面，使得它与 Σ 的交线 C 为围绕导线的简单闭曲线（见图 14.5.5） 。记曲面 Σ 在 Γ 和 C 之间的部分为
1
Σ 。那么由
Stokes 定理,
1
dd d0
ΓΣ
+?=?=
∫∫∫
rot
C
Bs Bs BS 。
注意 C 的定向取为：从上往下看是顺时针方向。因此利用（ 1）的结果可知
0
ddI
Γ
μ?==
∫∫
C
Bs Bs 。
综合上述，磁感强度沿封闭曲线 Γ
的环量与通过该曲线所围曲面的电流 I
成正比，即
0
d I
Γ
μ?=
∫
Bs,
这就是 Ampère 环路定律。
1
Σ
Σ
C
Γ
图 14.5.5
保守场与势函数
定义 14.5.3 设
kjia ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=,(,,)xyz∈Ω
为向量场,其中 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在区域 Ω 上连续 。 若存 在函数 U x y z(,,)满足 U= grada,则称向量场 a 为 有势场,并称函数 V U=? 为势函数 。
从定义可知，有势场是梯度场。一个场的势函数有无穷多个,但它们之间只相差一个常数。
定义 14.5.4 如果对于 Ω 内任意两点 A,B,积分值
ddd
L
P xQyRz++
∫
只与 A,B 两点有关,而与从 A到 B 的路径 （ 这里只考虑光滑或分段光滑曲线） L 无关,就称曲线积分 ddd
L
P xQyRz++
∫
与路径无关 。
如果在向量场 a 中曲线积分与路径无关,则称 a 为 保守场 。
显然，这等价于沿 Ω 内任意闭曲线的积分值为零。
同平面情形类似，我们引入空间单连通区域的概念。如果区域 Ω
内的任意一条封闭曲线都可以不经过 Ω 外的点而连续地收缩成 Ω 中一点，那么 Ω 称为 单连通区域 。注意单连通与二维单连通的概念是 不同的。如空心球 {(,,)| }xyz x y z13
222
<++<（图 14.5.6）是单连通的，
但不是二维单连通的；而环面的内部（图 14.5.7）是二维单连通的，
但不是单连通的。
图 14.5.6
图 14.5.7
关于保守场与有势场的关系有如下定理,
定理 14.5.3 设 Ω
3
R∈ 为单连通区域,在 Ω 上定义了向量场
kjia ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=,(,,)xyz∈Ω,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 Ω 上具有连续偏导数 。 则以下三 个命 题等价,
（ 1） a 是保守场 ；
（ 2） a 是有势场 ；
（ 3） a 是无旋场 。
证明从略。
定理 14.5.4 设函数 P x y zQx y z(,,),(,,)和 R x y z(,,)在单连通区域 Ω
上连续,若 U x y z(,,)是 1-形式 dddP xQyRz+ + 的一个 原函数 （ 即在 Ω 上恒有 dU = dddP xQyRz++）,则对于 Ω 内任意两点
Ax y z Bx y z
AAA BBB
(,,),(,,),成立
p
d d d (,,) (,,)
BBB AAA
AB
P xQy Rz Ux y zUxy z++=?
∫
,
其中
p
AB 为从 A到 B 的任意路径 。
证明从略。
例 14.5.3 设在坐标原点处有一质量为 m的质点。根据万有引力定律，它在 kjir zyx ++= 点产生的引力场，其方向指向原点，大小与它们的距离的平方成反比。因此质点的引力场可表为
kjiF
333
r
Gmz
r
Gmy
r
Gmx
=,
其中 rxyz=++
222
,G 为引力常量。
容易验证
r
Gm
zyxU =),,( 满足 U =grad F,因此 F 为有势场，它的 一个势函数为
r
Gm
zyxV?=),,( 。
将单位质量的物体从 Ax y z
AAA
(,,)处沿路径 L 移动到 Bx y z
BBB
(,,)
处，引力所作的功为
333
dddd
LL
xyz
WGmxyz
rrr
=?=? + +
∫∫
Fr,
这里 dd d dxyz= ++rijk。由于 F 为有势场，即保守场，因此 W 与路径 L
无关。显然,?
1
r
是
333
ddd
xyz
xyz
rrr
++的一个原函数，于是
(,,)
(,,)
333
(,,)
(,,)
222 222
1
ddd
11
x yz
BBB
xyz
BBB
xyz
AAA
x yz
A AA
BBB AAA
xyz
WGm x y zGm
rrr r
Gm
xyz xyz
=? + + =
=?
++ ++
∫
。
最后说一下势函数 ),,( zyxV 的物理意义。在这个力场中，设质点在无穷远点的势能为 0，那么一个单位质量的质点在点 M x y z(,,)的势能，就是将它从无穷远点 ∞移到点 M 时，克服引力所作的功，即
333
222
dddd
MM
xyz Gm Gm
Gm x y z
rrr r
xyz
∞∞
= + + =? =?
++
∫∫
Fr,
这正是势函数 ),,( zyxV 。
例 14.5.4 位于原点的点电荷 q（这里 q 表示电荷的大小）产 生的静电场的电场强度为
3333
0000
4π 4π 4π 4π
qqxqyqz
rrrrεεεε
==++E rijk,rxyz=++
222
。
容易验证,
0
4π
q
rε
=?gradE,
因此它是有势场，即保守场。
均匀带电直线的电场模型
设 L 是一条无限长的均匀带电的直线，电荷分布的线密度为 q 。
现在考察它所产生的电场中任意一点的电场强度 E 。
取这条直线为 z 轴，直线上任一点为坐标原点（见图 14.5.8）。 设
),,( zyxP 为空间上的一个点。由于 L 是无限长的，因此由对称性，在 P
点的电场强度的垂直方向分量
z
E = 0。
),0,0( z
dl
θ
Ed
P
R
r
x
y
z
O
图14.5.8
记 E 在 x 方向与 y 方向的分量
x
E,
y
E 的大小分别为
x
E,
y
E 。 任取带电直线 L 上的线微元 dl,那么它所带的电荷为 dql。若设 dl 的 坐标为 ),0,0( a,则由 Coulomb 定律，它在 P 点产生的电场强度为
33
00
1d 1d
d(()
4π 4π
ql ql
xy za
rrεε
== +?E rij k,
其中 r 为点 P 与 dl 的距离,r 为从 dl 到 P 的向量，因此 dE 在 x 轴与 y 轴方向的分量的大小分别为
3
0
1d
d
4π
x
ql
Ex
rε
=,
3
0
1d
d
4π
y
ql
E y
rε
= 。
记
22
yxR +=,则
θcos
R
r =,其中 θ 为过 dl 和 P 两点的直线与过 P
点且平行于 xy 平面的平面之间的夹角。如果记 dl 与点 ),0,0( z 的距 离
（即 || za? ）为 l,那么 θtanRl =,于是
2
d
d
cos
lR
θ
θ
= 。
所以
2
0
1
dcosd
4π
x
qx
E
R
θ θ
ε
=,
2
0
1
dcosd
4π
y
qy
E
R
θ θ
ε
= 。
由于带电直线 L 无限长，因此对应的 θ 的取值范围是 ( π 2,π 2)?,
所以
π
2
π
22
002
11
cos d
4π 2π
x
qx qx
E
RR
θθ
εε
==
∫
,
π
2
π
22
002
11
cos d
42π
y
qy qy
E
RR
θθ
πε ε
==
∫
。
于是,
22
00
11
0
2π 2π
qx qy
RRεε
= ++?E ijk
22
0
2π
qx y
xyε
+
=
+
ij
。
这说明一点的电场强度的大小与电荷分布的线密度成正比，与该点到带电直线的距离成反比，场强的方向与带电直线垂直。
由于
0
22 22
2π
0
q
xyz
xy
xy xy
ε
= =
++
rot
ijk
E 0,
因此 E 是无旋场。
E 同时也是一个有势场，它的一个势函数为
000
00
(,,)
22 22
(,,)
0
22
00
2 2 22 22
00 0
dd0d
2π
ddln,
2π 4π
xyz
xyz
xy
qxy
VU x y z
xy xy
x yqx y q
xy
x yx
ε
εε
=? =? + +?
++
+
=? + =
++
∫
∫∫
这里 0
2
0
2
0
≠+ yx 。于是，等势（等电势）线方程为
Cyx =+
22
。
由于
0
22 22
2π
0
q
xyz
xy
xy xy
ε
= =
++
rot
ijk
E 0,
因此 E 是无旋场。
再来求 E 的电力线方程。从关系式
22 22
00
ddd
0
2π 2π
xyz
qx qy
xy xyεε
==
++
即可解得电力线方程为
=
=
.
,
2
1
Cz
xCy
图 14.5.9 是 xy平面上的电力线与
等电势线的示意图（任意与其平行的
平面上的电力线和等电势线也都是这
样的形状）,其中射线为电力线，圆为
等电势线。
y
x
图 14.5.9
设 Ω
3
R? 是一个区域，若在时刻 t,Ω中每一点 (,,)x yz都有一个确定的数值 fxyzt(,,,)（或确定的向量值 ),,,( tzyxf ）与它对应，就称函数
fxyzt(,,,)为 Ω上的 数量场 （或向量场） 。例如，某一区域上每一点的温度确定了一个数量场，它称为温度场；而某流体在某一区域上每一点的速度确定了一个向量场，它称为速度场，如此等等。如果一个场不随时间的变化而变化，就称该场为 稳定场；否则称为 不稳定场。在本节中除非特别声明，我们只考虑稳定场。
§ 5 场论初步
梯度
Ω上任何一个三元函数 ),,( zyxf 都可以看成是 Ω上的一个数量场。设 fxyx(,,)在 Ω上具有连续偏导数，则其梯度为
x yz
f ff f= ++grad ijk,
而且沿方向
kjil ),cos(),cos(),cos( zlylxl ++=
的方向导数可以表示为
f
f
l
=?
grad l 。
曲面
czyxf =),,( （常数）
称为 f 的等值面。若
zyx
fff,,不同时为零，那么
222
zyx
zyx
fff
fff
++
++
=
kji
n 为等值面上的一个单位法向量，并且有
f
f
n
=
grad 及
f
f
n
=
grad n 。
这说明,f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线 方向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 fgrad 的方向，
于是，沿着与梯度方向相同的方向,f 的函数值增加最快。而沿着与梯度方向相反的方向,f 的方向导数取到最小值 f? grad,于是,沿着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。
曲面
czyxf =),,( （常数）
称为 f 的等值面。若
zyx
fff,,不同时为零，那么
222
zyx
zyx
fff
fff
++
++
=
kji
n 为等值面上的一个单位法向量，并且有
f
f
n
=
grad 及
f
f
n
=
grad n 。
由数量场 f 产生的向量场
x yz
ff f f= ++grad i j k 称为 梯度场 。
再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数 ),( yxfz =
来表示，图 14.5.1 是等高线图，即 cyxf =),( 的图形。当雪融化时，由于重力的作用，雪水会沿高度下降最快的方向，即 f?grad 方向流动，
溪流就是这样形成的。
图14.5.1
通量与散度
设 Ω上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为
kjiv ),,(),,(),,( zyxvzyxvzyxv
zyx
++=,
其中
zyx
vvv,,具有连续偏导数。设 Σ是 Ω中的一片定向曲面，则单位 时间内通过 Σ流向指定侧的流量为
(,,)dd (,,)dd (,,)dd d
xyz
v xyz yz v xyz zx v xyz xy S
Σ Σ
Φ =++=?
∫∫ ∫∫
vn d
Σ
=?
∫∫
Sv,
其中 kjin γβα coscoscos ++= 为 Σ在 (,,)x y z 处的、在指定侧的单位法向量。
显然,0Φ > 说明向指定侧穿过曲面 Σ 的流量多于向相反方向 穿过曲面 Σ 的流量； 0Φ < 说明向指定侧穿过曲面 Σ 的流量少于向相 反方向穿过曲面 Σ 的流量； 0Φ = 说明向指定侧穿过曲面 Σ 的流量等 于向相反方向穿过曲面 Σ 的流量。
如果 Σ 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0Φ > 说明从曲面内的流出量大于流入量，此时在 Σ 内必有产生流体的源头（源） ； 0Φ <
说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 Σ 内必有排泄流体的 漏洞（汇） 。
要判断场中一点 ),,( zyxM 是否为源或汇，以及源的“强弱”或 汇的“大小”,可以作一张包含 M 的封闭曲面 Σ（定向为外侧）,考察 Σ
所围区域 V收缩到 M 点时（记为 M→V ）,d
Σ
Φ =?
∫∫
vS的值。但因为
M→V 时有 Φ →0，所以考虑
d
lim lim
MM
mm
Σ
Φ
→→
=
∫∫
VV
vS
VV
（ mV 为 V 的体积） 。由 Gauss 公式，并利用积分中值定理,
ddddd
ddd
xyz
yy
xxzz
M
vyzvzxvxy
vv
xyz m
xyz xyz
ΣΣ
Φ =?= + +
=++ =++?
∫∫ ∫∫
∫∫∫
。
V
vS
V
其中
~
M 为 V 上某一点。
于是
(,,)
(,,) (,,)
lim lim
yy
xxzz
M MM
M
vvxyz
xyz xy z
mxyzxy
Φ
→ →
=++= + +
V
V
。
因此，可以用
z
zyxv
y
zyxv
x
zyxv
z
y
x
+
+
),,(
),,(
),,(
来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小” 。
定义 14.5.1 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz Ω=++ ∈aijk
是一个向量场,),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 Ω上具有连续偏导数 。 Σ
为场中的定向曲面,称曲面积分
d
Σ
Φ =?
∫∫
aS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面 Σ的 通量 。
设 M 为这个场中任一点 。 称
)()()( M
z
R
M
y
Q
M
x
P
+
+
为向量场 a 在 M 点的 散度,记为 )(div Ma 。
由上面的流体例子可知道，如果 )(div Ma 大于零，则称在 M 点处有 正源（源） ；如果 )(div Ma 小于零，则称在 M 点处有负源 （ 汇 ） ；如果 )(div Ma =0，则称在 M 点处 无源 。如果在场中每一点都成立 0div =a,
则称 a 为 无源场 。
定义 14.5.1 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz Ω=++ ∈aijk
是一个向量场,),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 Ω上具有连续偏导数 。 Σ
为场中的定向曲面,称曲面积分
d
Σ
Φ =?
∫∫
aS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面 Σ的 通量。
设 M 为这个场中任一点。 称
)()()( M
z
R
M
y
Q
M
x
P
+
+
为向量场 a 在 M 点的散度,记为 )(div Ma 。
定理 14.5.1 a 的散度是通量关于体积的变化率，即
d
div ( ) lim
M
M
m
Σ
→
=
∫∫
V
aS
a
V
。
换句话说，散度就是穿出单位体积边界的通量 。
由向量场 a 产生的数量场 adiv 称为 散度场 。
利用散度的记号,Gauss 公式就可写成如下形式,
div d dV
=?
∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
aaS。
向量线
设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz=++ ∈aijkΩ
为向量场,Γ为 Ω 中的一条曲线。若 Γ上的每一点处的切线方向都与场向量在该点的方向一致，则称 Γ为向量场 a 的 向量线 。静电场中的电力线、磁场中的磁力线等都是向量线的实际例子。
设 M x y z(,,)为向量线上任一点，则其矢量方程为
kjir zyx ++=,
那么
dd d dxyz= ++rij k
就是向量线在 M 点处的切向量。由定义，它与在 M 点处的场向量共线，因此
ddd
(,,) (,,) (,,)
xyz
P x y zQxy zRxy z
==。
这就是向量线所满足的方程,如果解出它的话,一般就得到向量线族。
如果再利用过 M 点这个条件，就得到过 M 点的向量线。一般来说，
向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它，向量线族充满了向量场所在的空间。
例 14.5.1 由电磁学中的 Coulomb 定律，在位于原点的点电荷 q
（这里 q 表示电荷大小）所产生的静电场中，任何一点 M x yz(,,)处的电场强度为
3
0
4π
q
rε
=E r,
其中
222
zyxr ++= 为点 M 到原点的距离,kjir zyx ++=,ε
0
为真空介电常数。
将 E 具体写出来就是
3333
0000
4π 4π 4π 4π
qqxqyqz
rrrrεεεε
==++E rij k 。
由于
22 22
35 35
00 00
22
35
00
,,
4π 4π 4π 4π
3
,
4π 4π
qx q r x qy qr y
xr r yr r
qz q r z
zr r
εε εε
εε
==
=
所以
333
000
div 0
4π 4π 4π
qx qy qz
xryrzrεεε
=++=
E,0
222
≠++ zyx 。
1,设 S 是以原点为心，半径为 R 的球面，定向取外侧。注意到 在球面 S 上恒有 rR=,且 E 的方向与球面 S 的外法向量的方向相同，因此从内部穿出球面 S 的通量（称为 电通量 ）为
dΦ =?
∫∫
S
E S
222
0000
ddd
4π 4π 4π
qqqq
SSS
rRRε εεε
====
∫∫ ∫∫ ∫∫
SS S
。
2,设 Σ 为任意一张光滑或分片光滑的封闭曲面。
（ i）如果 Σ 内不含原点。记 Σ 所包围的区域为 Ω,则由 Gauss
公式得
Φ = ddivd0V
Σ
==
∫∫ ∫∫∫
ES E
Ω
。
（ ii）如果 Σ 内含有原点，那么不能直接用 Gauss 公式。在曲面 Σ
所包围的区域内取一个以原点为心的小球面 σ,定向取内侧。 记
1
Ω 为介于 σ 与 Σ 之间的区域。由 Gauss 公式得
1
dddivd0V
Σσ
+?= =
∫∫ ∫∫ ∫∫∫
ES ES E
Ω
,
因此从内部穿出曲面 Σ 的电通量
0
dd
q
Σσ
Φ
ε
=?==
∫∫ ∫∫
ES ES 。
因此，电场强度穿出任一封闭曲面的电通量等于其内部的电荷量除以
0
ε,这正是电磁学中的 Gauss 定律。
此外，利用前面的讨论，电场强度的向量线（即电力线）应满 足关系式
dddx yz
x yz
= =,
由此解得电力线的方程为
=
=
.
,
2
1
xCz
xCy
这是一族从坐标原点出发的半射线（见图 14.5.2）。
图 14.5.2
x
y
z
环量与旋度
设稳定不可压缩流体的速度场为
kjiv ),,(),,(),,( zyxvzyxvzyxv
zyx
++=,
其中
zyx
vvv,,具有连续偏导数。设 ),,(
0000
zyxM 是场中一点。如果在
0
M
点有旋涡，流体以角速度 ω 旋转（这里 ω 在旋涡的轴线上，且方向与旋涡的旋转方向成右手螺旋定则）,那么流体在
0
M 附近的任一点
),,( zyxM 的速度 v 可以表为
rvv ×+= ω
0
,
其中
0
v 表示在点
0
M 的速度,r 表示向量 MM
0
（见图 14.5.3） 。这就是说，流体在 M 点的速度是平移速度
0
v 与旋转产生的线速度 r×ω 的叠加。
0
M
M
v
r
ω
记 =ω ),,(
zyx
ωωω,),,(
0000 zyx
vvv=v,则流体在 M 点的速度
),,(
zyx
vvv=v 的分量为
).()(
),()(
),()(
000
000
000
xxyyvv
zzxxvv
yyzzvv
yxzz
xzyy
zyxx
+=
+=
+=
ωω
ωω
ωω
于是在 M 点成立
z
x
y
y
zx
x
y
z
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
ωωω 2,2,2 =
=
=
。
因此向量
kjiB
+
+
=
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
v
x
y
zx
y
z
2= ω
同样可以描述旋涡的强度和方向，而 B 是由速度场本身决定的，不用真正测量出角速度 ω 。
设 Γ 为场中的定向闭曲线，由 Stokes 公式
dd
ΓΣ
=?
∫∫∫
vs BS,
这里 Σ 是任意以 Γ 为边界的曲面，定向与 Γ 符合右手定则。由此 可见，曲线积分 d
Γ
∫
vs也与流体的旋转状态有密切关系。
定义 14.5.2 设
(,,) (,,) (,,) (,,),(,,)xyz Pxyz Qxyz Rxyz xyz Ω=++ ∈aijk
是一个向量场,),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 Ω上具有连续偏导数。
设 Γ为场中的定向曲 线,称曲线积分
d
Γ
∫
as
为向量场 a 沿定向曲线 Γ的 环量。
设 M 为这个场中任一点。 称向量
=
M
RQP
zyx
kji
kji
MMM
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
+
+
为向量场 a 在 M 点的 旋度,记为 ()Mrot a 或 ()Mcurl a 。
由向量场 a 产生的向量场 rot a 称为旋度场 。 如果在场 中每一 点 都成立 rot a = 0,则称 a 为 无旋场 。
于是,Stokes 公式可以写成
dd
ΣΣ?
=?
∫∫∫
rot aS as,
对旋度可以作类似于散度的解释。在场中一点 M 处任取一个向量 n，作 小 平 面 片 Σ 过 M 点且以 n为法向量，并按右手定则取定 Σ? 的方向。记 Σ 的面积为 m Σ 。如果当 Σ 收缩到点 M 时（记为 MΣ → ），
d
m
Σ
Σ
∫
as
的极限存在，则称此极限值为向量场 a 在 M 点沿方向 n的环量面密度 。它是环量关于面积的变化率，即沿平面上单位面积边缘的环量。
定理 14.5.2 向量场 a 在 M 点处的旋度就是这样一个向量,a 在
M 点处沿旋度方向的环量面密度最大，而且最大值就是 ()Mcurl a 。
证 对于包含 M xyz(,,)的小平面片 Σ,及它的法向量 n，并按右手定则取定 Σ? 的方向。 记单位法向量 α(cos
||
=
n
n
,βcos,)cosγ 。由 Stokes
公式，并利用积分中值定理,
ddddP xQyRz
ΣΣ
= + +
∫∫
as
cos cos cos d
RQ PR QP
S
yz zx xy
Σ
αβγ
=? +? +?
∫∫
m
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
M
+
+
=
~
coscoscos γβα Σ,
其中
~
M 为 Σ 上某一点。
因此当 MΣ → 时,a 在 M 点沿方向 n的环量面密度为
d
lim
M
m
Σ
Σ
Σ
→
∫
as
lim cos cos cos
M
M
RQ PR QP
yz zx xy
Σ
α βγ
→
=?+?+?
M
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
+
+
= γβα coscoscos
()cos( (),)MM=?rot rot aan≤ ()Mrot a,
因此 a 在 M 点处沿旋度方向的环量面密度最大，且最大值为 ()Mrot a 。
以前面的流体速度场为例，它在与 rot a 垂直的平面上，沿单位面积边缘的环量最大（这显然符合实际），达到角速度的模的两倍。
例 14.5.2 设一根无限长直线导线载有电流 I （见图 14.5.4） 。由电磁学知，这电流产生的磁感强度 B 的大小为
0
2π
I
B
r
μ
=,
这里 r 为观察点到导线的距离，
0
μ 为真空磁导率。而磁力线是围绕该导线的圆周，电流方向、半径方向和磁感强度的方向成右手定则。
取导线为 z 轴，电流方向为 z 轴的正向。任取一张垂直于导线的平面为 xy平面。那么在点 ),,( zyxM ( 0
22
≠+ yx )处的磁感强度为
0
2
()
2π
I
yx
r
μ
=?+Bij,
其中
22
yxr += 。于是
22
0
xy z
yx
rr
==
rot
ijk
B 0,0
22
≠+ yx 。
图14.5.4
1,对位于垂直于导线的平面上的、围绕导线的任意简单闭曲线
Γ,如果我们取它的定向为从上往下看是逆时针方向,从例 14.3.5 知，
B 沿 Γ 的环量为
0
0
22
dd
dd
2π
I xy yx
sI
xy
ΓΓ Γ
μ
μ
=? = =
+
∫∫ ∫
Bs Bτ 。
2,对于空间中任意一条简单闭曲线 Γ，取它的定向为从上往下看是逆时针方向。对于任意一张以 Γ为边界曲面 Σ，取 Σ 的定向与 Γ的定向符合右手定则。
( 1 ) 如果导线不穿过曲面 Σ，那么
dd0
ΓΣ
=?=
∫∫∫
rot Bs BS 。
1,对位于垂直于导线的平面上的、围绕导线的任意简单闭曲线
Γ,如果我们取它的定向为从上往下看是逆时针方向,从例 14.3.5 知，
B 沿 Γ 的环量为
0
0
22
dd
dd
2π
I xy yx
sI
xy
ΓΓ Γ
μ
μ
=? = =
+
∫∫ ∫
Bs Bτ 。
( 2 ) 如果导线穿过曲面 Σ 一次，这时不能直接用 Stokes 定理。适当取一张垂直于导线的平面，使得它与 Σ 的交线 C 为围绕导线的简单闭曲线（见图 14.5.5） 。记曲面 Σ 在 Γ 和 C 之间的部分为
1
Σ 。那么由
Stokes 定理,
1
dd d0
ΓΣ
+?=?=
∫∫∫
rot
C
Bs Bs BS 。
注意 C 的定向取为：从上往下看是顺时针方向。因此利用（ 1）的结果可知
0
ddI
Γ
μ?==
∫∫
C
Bs Bs 。
综合上述，磁感强度沿封闭曲线 Γ
的环量与通过该曲线所围曲面的电流 I
成正比，即
0
d I
Γ
μ?=
∫
Bs,
这就是 Ampère 环路定律。
1
Σ
Σ
C
Γ
图 14.5.5
保守场与势函数
定义 14.5.3 设
kjia ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=,(,,)xyz∈Ω
为向量场,其中 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在区域 Ω 上连续 。 若存 在函数 U x y z(,,)满足 U= grada,则称向量场 a 为 有势场,并称函数 V U=? 为势函数 。
从定义可知，有势场是梯度场。一个场的势函数有无穷多个,但它们之间只相差一个常数。
定义 14.5.4 如果对于 Ω 内任意两点 A,B,积分值
ddd
L
P xQyRz++
∫
只与 A,B 两点有关,而与从 A到 B 的路径 （ 这里只考虑光滑或分段光滑曲线） L 无关,就称曲线积分 ddd
L
P xQyRz++
∫
与路径无关 。
如果在向量场 a 中曲线积分与路径无关,则称 a 为 保守场 。
显然，这等价于沿 Ω 内任意闭曲线的积分值为零。
同平面情形类似，我们引入空间单连通区域的概念。如果区域 Ω
内的任意一条封闭曲线都可以不经过 Ω 外的点而连续地收缩成 Ω 中一点，那么 Ω 称为 单连通区域 。注意单连通与二维单连通的概念是 不同的。如空心球 {(,,)| }xyz x y z13
222
<++<（图 14.5.6）是单连通的，
但不是二维单连通的；而环面的内部（图 14.5.7）是二维单连通的，
但不是单连通的。
图 14.5.6
图 14.5.7
关于保守场与有势场的关系有如下定理,
定理 14.5.3 设 Ω
3
R∈ 为单连通区域,在 Ω 上定义了向量场
kjia ),,(),,(),,(),,( zyxRzyxQzyxPzyx ++=,(,,)xyz∈Ω,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 Ω 上具有连续偏导数 。 则以下三 个命 题等价,
（ 1） a 是保守场 ；
（ 2） a 是有势场 ；
（ 3） a 是无旋场 。
证明从略。
定理 14.5.4 设函数 P x y zQx y z(,,),(,,)和 R x y z(,,)在单连通区域 Ω
上连续,若 U x y z(,,)是 1-形式 dddP xQyRz+ + 的一个 原函数 （ 即在 Ω 上恒有 dU = dddP xQyRz++）,则对于 Ω 内任意两点
Ax y z Bx y z
AAA BBB
(,,),(,,),成立
p
d d d (,,) (,,)
BBB AAA
AB
P xQy Rz Ux y zUxy z++=?
∫
,
其中
p
AB 为从 A到 B 的任意路径 。
证明从略。
例 14.5.3 设在坐标原点处有一质量为 m的质点。根据万有引力定律，它在 kjir zyx ++= 点产生的引力场，其方向指向原点，大小与它们的距离的平方成反比。因此质点的引力场可表为
kjiF
333
r
Gmz
r
Gmy
r
Gmx
=,
其中 rxyz=++
222
,G 为引力常量。
容易验证
r
Gm
zyxU =),,( 满足 U =grad F,因此 F 为有势场，它的 一个势函数为
r
Gm
zyxV?=),,( 。
将单位质量的物体从 Ax y z
AAA
(,,)处沿路径 L 移动到 Bx y z
BBB
(,,)
处，引力所作的功为
333
dddd
LL
xyz
WGmxyz
rrr
=?=? + +
∫∫
Fr,
这里 dd d dxyz= ++rijk。由于 F 为有势场，即保守场，因此 W 与路径 L
无关。显然,?
1
r
是
333
ddd
xyz
xyz
rrr
++的一个原函数，于是
(,,)
(,,)
333
(,,)
(,,)
222 222
1
ddd
11
x yz
BBB
xyz
BBB
xyz
AAA
x yz
A AA
BBB AAA
xyz
WGm x y zGm
rrr r
Gm
xyz xyz
=? + + =
=?
++ ++
∫
。
最后说一下势函数 ),,( zyxV 的物理意义。在这个力场中，设质点在无穷远点的势能为 0，那么一个单位质量的质点在点 M x y z(,,)的势能，就是将它从无穷远点 ∞移到点 M 时，克服引力所作的功，即
333
222
dddd
MM
xyz Gm Gm
Gm x y z
rrr r
xyz
∞∞
= + + =? =?
++
∫∫
Fr,
这正是势函数 ),,( zyxV 。
例 14.5.4 位于原点的点电荷 q（这里 q 表示电荷的大小）产 生的静电场的电场强度为
3333
0000
4π 4π 4π 4π
qqxqyqz
rrrrεεεε
==++E rijk,rxyz=++
222
。
容易验证,
0
4π
q
rε
=?gradE,
因此它是有势场，即保守场。
均匀带电直线的电场模型
设 L 是一条无限长的均匀带电的直线，电荷分布的线密度为 q 。
现在考察它所产生的电场中任意一点的电场强度 E 。
取这条直线为 z 轴，直线上任一点为坐标原点（见图 14.5.8）。 设
),,( zyxP 为空间上的一个点。由于 L 是无限长的，因此由对称性，在 P
点的电场强度的垂直方向分量
z
E = 0。
),0,0( z
dl
θ
Ed
P
R
r
x
y
z
O
图14.5.8
记 E 在 x 方向与 y 方向的分量
x
E,
y
E 的大小分别为
x
E,
y
E 。 任取带电直线 L 上的线微元 dl,那么它所带的电荷为 dql。若设 dl 的 坐标为 ),0,0( a,则由 Coulomb 定律，它在 P 点产生的电场强度为
33
00
1d 1d
d(()
4π 4π
ql ql
xy za
rrεε
== +?E rij k,
其中 r 为点 P 与 dl 的距离,r 为从 dl 到 P 的向量，因此 dE 在 x 轴与 y 轴方向的分量的大小分别为
3
0
1d
d
4π
x
ql
Ex
rε
=,
3
0
1d
d
4π
y
ql
E y
rε
= 。
记
22
yxR +=,则
θcos
R
r =,其中 θ 为过 dl 和 P 两点的直线与过 P
点且平行于 xy 平面的平面之间的夹角。如果记 dl 与点 ),0,0( z 的距 离
（即 || za? ）为 l,那么 θtanRl =,于是
2
d
d
cos
lR
θ
θ
= 。
所以
2
0
1
dcosd
4π
x
qx
E
R
θ θ
ε
=,
2
0
1
dcosd
4π
y
qy
E
R
θ θ
ε
= 。
由于带电直线 L 无限长，因此对应的 θ 的取值范围是 ( π 2,π 2)?,
所以
π
2
π
22
002
11
cos d
4π 2π
x
qx qx
E
RR
θθ
εε
==
∫
,
π
2
π
22
002
11
cos d
42π
y
qy qy
E
RR
θθ
πε ε
==
∫
。
于是,
22
00
11
0
2π 2π
qx qy
RRεε
= ++?E ijk
22
0
2π
qx y
xyε
+
=
+
ij
。
这说明一点的电场强度的大小与电荷分布的线密度成正比，与该点到带电直线的距离成反比，场强的方向与带电直线垂直。
由于
0
22 22
2π
0
q
xyz
xy
xy xy
ε
= =
++
rot
ijk
E 0,
因此 E 是无旋场。
E 同时也是一个有势场，它的一个势函数为
000
00
(,,)
22 22
(,,)
0
22
00
2 2 22 22
00 0
dd0d
2π
ddln,
2π 4π
xyz
xyz
xy
qxy
VU x y z
xy xy
x yqx y q
xy
x yx
ε
εε
=? =? + +?
++
+
=? + =
++
∫
∫∫
这里 0
2
0
2
0
≠+ yx 。于是，等势（等电势）线方程为
Cyx =+
22
。
由于
0
22 22
2π
0
q
xyz
xy
xy xy
ε
= =
++
rot
ijk
E 0,
因此 E 是无旋场。
再来求 E 的电力线方程。从关系式
22 22
00
ddd
0
2π 2π
xyz
qx qy
xy xyεε
==
++
即可解得电力线方程为
=
=
.
,
2
1
Cz
xCy
图 14.5.9 是 xy平面上的电力线与
等电势线的示意图（任意与其平行的
平面上的电力线和等电势线也都是这
样的形状）,其中射线为电力线，圆为
等电势线。
y
x
图 14.5.9
