曲线坐标
设 U 为 uv 平面上的开集,V 是 xy平面上开集，映射
T x x uv y yuv:(,),(,)= =
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为 Tuuxyvvxy
==
1
,(,),(,)。
在 U 中取直线 uu=
0
，就相应得到 xy平面上的一条曲线
xxuvyyuv= =(,),(,)
00
,
称之为 v -曲线；同样，取直线 vv=
0
，就相应得到 xy平面上的 u -曲线，
xxuv yyuv= =(,),(,)
00
。
§ 3 重积分的变量代换由于映射 T 是一一对应的，因此 V 上的任意一点 P 既可以唯一 地用 (,)x y 表示，也可以唯一地用 (,)uv 表示。我们称 u -曲线和 v -曲线 构成了 曲线坐标网,称 (,)uv为 P 的 曲线坐标，而称 T 为 坐标变换 。
§ 3 重积分的变量代换曲线坐标
设 U 为 uv 平面上的开集,V 是 xy平面上开集，映射
T x x uv y yuv:(,),(,)= =
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为 Tuuxyvvxy
==
1
,(,),(,)。
在 U 中取直线 uu=
0
，就相应得到 xy平面上的一条曲线
xxuvyyuv= =(,),(,)
00
,
称之为 v -曲线；同样，取直线 vv=
0
，就相应得到 xy平面上的 u -曲线，
xxuv yyuv= =(,),(,)
00
。
例如，在映射 T,xr yr= =cos,sinθ θ 下,θ -曲线是一族以原点为圆心的同心圆,r -曲线是一族从原点出发的半射线，它们构成平面上的极坐标网。 ),( θr 为点 P (,)x y 的极坐标,T 即为极坐标变换。
v uu=
0
vv=
0
O u
y u-曲线
v-曲线
O x
图 13.3.1
二重积分的变量代换
假设 x x uv y y uv= =(,),(,)具有连续偏导数，且有
),(
),(
vu
yx
≠ 0，则由连续性可知
),(
),(
vu
yx
在 U 上不变号。因此，对 U 中任意具有分段光滑边界的有界闭区域 D，记它的像为 ()T=E D?V,则 D的内点和边界分别被映为 E 的内点和边界，同时,由于连通集的像也连通,所以 ()T=E D
也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的 二重积分的变量代换公式。
定理 13.3.1(二重积分变量代换公式 ) 映射 T 和区域 D如上假设。如果二元函数 ),( yxf 在 ()T D 上连续，则
()
(,)
(,)d d ((,),(,)) d d
(,)
T
xy
f xy x y f xuv yuv u v
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
。
显然，当 ),( yxf ≡ 1 时,由以上定理得
(,)
dd
(,)
xy
uv
uv
∫∫
D
= ()mT D (即 ()T D 的面积)。
定理的证明放到下一段,现在先来看一看 Jacobi 行列式的几何 意义和应用。
v
σ
)(
00
,vu
O u
y
)(σT
O x
图 13.3.2
设 T,D满足本节开始时的假定,),(
00
vu 是区域 D中的一点,σ 是包含此点的具有分段光滑边界的小区域，并记 ()d σ 为 σ 的直径（见图
13.3.2）,
那么由定理 13.3.1 和重积分的中值定理,得
(,)
() dd
(,)
xy
mT u v
uv
σ
σ
=
∫∫
(,)
(,)
(,)
rs
xy
m
uv
σ
=?
,
其中 ),( sr 为 σ 中一点。因此
),(
0)(
00
),(
),()(
lim
vu
d
vu
yx
m
mT
=
→
σ
σ
σ
,
或等价地
)(σmT ～ σm
vu
yx
vu
),(
00
),(
),(
（ 0)( →σd ）。
这说明
),(
),(
vu
yx
的几何意义为面积的比例系数。
例 13.3.1 计算曲线 () ()xy x a a?+= >
22 2
0 所围区域 D的面积。
解 作变换 x u x yv=? =,，则曲线方程对应于 uv a
22 2
+= 。
v
uv a
22 2
+=
u
O
y
()xy x a?+=
22 2
x
O
图 13.3.3
这个变换将左边的圆盘
222
avu ≤+ 一一对应地映为右边的椭圆区域 D。由于
1
11
01
),(
),(
=
=
vu
yx
,
因此 D的面积为
222 222
2
(,)
dd dd dd π
(,)
uva uva
xy
Sxy uv uva
uv
+≤ +≤
== = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
D
。
例 13.3.2 求双曲线,xy pxy q= = 与直线 axy =,bxy = 在第一象 限所围图形的面积，其中 qp ba>> >>00,。
y
xyq=
xy p=
ybx=
yax=
D
O x
图 13.3.4
v
b
a
p q u
解 在变换 xy u
y
x
v==,下，区域 D被一一对应地映为
1
{(,) |,}uv p u qa v b= ≤≤ ≤≤D,这时有
v
u
x =,uvy =,于是
v
v
u
u
v
v
u
uv
vu
yx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
),(
),(
3
=
=
。
因此，所求面积为
11
(,) 1 1 1 1
dd dd dd d d ( )ln
(,) 2 2 2
qb
pa
xy b
xy uv uv u v q p
uv v v a
====?
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
DDD
。
极坐标变换
cos,sin,0 2π,0xr yr rθ θθ==≤≤<+∞
是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外，它是一一对应的，这时
r
r
r
r
yx
=
=
θθ
θθ
θ cossin
sincos
),(
),(
。
例 13.3.3 计算
22
sin(π )d dxyxy+
∫∫
D
，其中
22
{(,) | 1}xy x y= +≤D 。
解 引入极坐标变换 xr yr= =cos,sinθ θ,那么 D 对应于区 域
{(,) |0 1,0 2π }rrθθ=≤≤≤D 。因此
22
2π 1
00
(,)
sin(π )d d (sin π )dd(sinπ )dd
(,)
dsin(π )d 2
xy
xyxy r r rrr
r
rrr
θ θ
θ
θ
+= =
==
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
。
D DD
注 严格说来，由于极坐标变换在原点与正实轴上不是一对一的。
在应用变量代换公式时，应该去掉原点与正实轴，也就是说，应该用以下方法来计算（积分区域如图 13.3.5）,
22
22 22
00
1
1
2π
2π
sin(π )d d lim sin(π )d d lim (sin π )dd
r
xy
xyxy xyxy rrr
εε
ε
ε
εθ ε
εθ ε
θ
→→
≤≤
≤+≤
≤≤?
≤≤?
+= +=
∫∫ ∫∫ ∫∫
D
1
2π 1
2
00
sin π
lim d sin(π )d lim(2π 2) cosπ 2.
ππ
rr
rrr r
ε
εε
ε
θε
→→
==?+=
∫∫
θ y
2π ε?
x
ε
O ε 1 r
图13.3.5
这种方法的实质就是,在原积分区域 D上挖掉包含非一一对应点集的小区域，得到区域
D，再将被积函数在 D上的积分看作在
D上的积分当
D趋于 D时的极限。在了解这个原理之后，就不必每次都照 此办理，可直接仿照例题中的方法直接计算。
例13.3.4 求抛物面
azyx =+
22
和锥面
)0(2
22
>+?= ayxaz 所围成立体的体积。
解 易求得两曲面的交线在
xy 平面的投影的方程为
xya
22 2
+=。
设
222
{(,) | }xy x y a=+≤D,利用极坐标变换可得所求立体的体积为
22
22
2dd
xy
axy xy
a
+
+?
∫∫
D
=
2
0
02π
2dd
ra
r
ar rr
a
θ
θ
≤≤
≤≤
∫∫
=
2
2π
00
d2 d
a
r
ar rr
a
θ
∫∫
=
2
0
2π 2d
a
r
ar rr
a
∫
=
3
5
π
6
a 。
z
za x y=? +2
22
xyaz
22
+=
xya
222
+=
o y
x
图13.3.6
例 13.3.5 求曲线 )0,,(
2
2
2
2
2
2
>=
+ cba
c
xy
b
y
a
x
所围图形的面积。
解 由曲线的方程
2
2
2
2
2
2
c
xy
b
y
a
x
=
+ 可以看出，该曲线位于第一、三象限，且关于原点对称。因此只需计算该曲线所围图形在第一象限的部分的面积，再乘以 2 就是整个图形的面积。设该图形在第一象限的部分为 D。这个方程中有
x
a
y
b
2
2
2
2
+ 项，因此引入广义极坐标
θcosarx =,θsinbry =,
o
x
y
它的 Jacobi 行列式为
abr
brb
ara
r
yx
=
=
θθ
θθ
θ cossin
sincos
),(
),(
。
在 rθ 平面上这条曲线的像的方程是
r
ab
c
2
2
= sin cosθθ,
且 D所对应的区域为
1
2
π
(,) 0,0 sin cos
2
ab
rrθθ
c
θθ
=≤≤≤
D 。
因此所求的面积为
1
π
sin cos
2
2
00
π22 22
2
0
2dd 2 dd 2d d
sin cos d
2
ab
c
x y abr r abr r
ab ab
cc
θθ
θθ
θθθ
==
==
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
。
DD
变量代换公式的证明
将区域 D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区域 D具 有零边界，当分割充分细的时候，与区域 D边界相交的小矩形的面积 之和可以任意小，因此只需要考虑包含在区域 D内的小矩形 R 。
定义 13.3.1 形如
x
T,),(,),( vuyyuvuxx ===
或
y
T,vvuyyvuxx === ),(,),(
的映射称为本原映射。
引理 13.3.1 设 T 为本原映射,则对于每个小矩形 R,等式
(,)
(,)
()
(,)
uv
xy
mT R mR
uv
=
成立,这里 (
~
,
~
)uv 为 R 上某一点。
证 仅对本原映射
x
T 证明，对
y
T 的证明是类似的。
设在 U 上 J > 0。由于这时成立
10
(,)
0
(,)
xy y
J
yy
v
uv
uv
= ==>
,
所以在每个小矩形
[ ] [ ]
,,Ref gh=×上，对于固定的 ),(,vuyu 是 v的单调增加函数，因此 R 被一一对应地映到
)},(),(,|),{()( hxyygxyfxeyxRT ≤≤≤≤= 。
图 13.3.9
y
),( hxy
),( gxy
O e f x
v
h
g
Oe f u
所以 T R()的面积为
(,)
(,)
()
() dd d d
fyxh
eyxg
TR
mT R x y x y==
∫∫ ∫ ∫
[ (,) (,)]d ( (,) (,))( ),
f
e
yxh yxg x yuh yug f e=?=
∫
其中 eu f≤ ≤
~
。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得
mR
vu
vu
yx
mRvu
v
y
efghvu
v
y
RmT
)
~
,
~
(
),(
),(
)
~
,
~
())()(
~
,
~
()(
=
=
=,
其中 gvh< <
~
。
如果 T 的 Jacobi 行列式为负的,以上讨论中关于 y 的不等式反向，
重复以上证明可同样得到
mR
vu
yx
RmT
vu )
~
,
~
(
),(
),(
)(
= 。
下面证明变量代换公式对于本原映射成立。
引理 13.3.2 设 T 为本原映射,二元函数 ),( yxf 在 ()T D 上连续,
则
()
(,)
(,)dd ((,),(,)) dd
(,)
T
xy
f x y x yfxuv y uv uv
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
。
证 考虑上述对区域 D的分割，设
12
,,,
M
"DD D是包含在区域 D内的所有小矩形，由引理 13.3.1，在
i
D 上成立
(,)
(,)
()
(,)
ii
ii
uv
xy
mT m
uv
=
DD,
这里 (
~
,
~
)uv
ii
为
i
D 中某一点。设
~
(
~
,
~
),
~
(
~
,
~
)x xuv y yuv
iiiiii
= =,则从上式得
(,)
(,)
(,) ( ) ((,),(,)
(,)
ii
ii i ii ii i
uv
xy
f xymT fxuv yuv m
uv
=
∑∑
,
设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ρ,令 ρ 趋于 0，由二重积分的定义，即得
()
(,)
(,)dd ((,),(,)) dd
(,)
T
xy
f x y x yfxuv y uv uv
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
。
引理 13.3.3 设 T 满足定理 13.3.1 的假设,则对于任意点
0
Q =
00
(,)uv∈U,T 在点 Q
0
附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的,一 对 一的本原映射的复合 。
证 设 ),(),,(),,(
000000000
yxPvuyyvuxx === 。
由于 0),(
),(
),(
00
≠
vu
vu
yx
，行列式中必有元素不为零。不妨设
0),(
00
≠
vu
u
x
，于是，本原映射
=
=
v
vux
T
η
ξ ),,(
:
1
的 Jacobi 行列式 =
),(
),(
),(
00
vu
vu
ηξ
0),(
00
≠
vu
u
x
,
由隐函数存在定理 （或逆映射定理）,局部地可得逆映射
=
=
,
),,(
η
ηξ
v
gu
且
g(,)ξ η 在 Tu v
100
(,)的一个邻域具有连续偏导数。注意这时成立
uvvuxg =)),,(( 。
作
=
=
),),,((
,
:
2
ηηξ
ξ
gyy
x
T
则有
。),()),),,((()),,((
),,(
vuyvvvuxgygyy
vuxx
===
==
ηηξ
ξ
即 TTT =
12
D 。
下面证明二重积分变量代换公式,
根据引理 13.3.3，对 于 每 点 (,)Quv= ∈D 存在它的一个邻域 UQ
δ
()，
在这个邻域中,T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于
{ }
2
()UQQ
δ
∈D 覆盖了 D，由 Heine-Borel 定理，存在有限多个邻域
UQUQ U Q
S
Sδδ δ
1
2
1
2
2
2
2
(),(),,( ) ",
它们覆盖了 D。设
=
2
,,
2
,
2
min
21
*
S
δδδ
δ " 。
取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于 δ
*
，那么当小矩形
i
D 与
2
()
j
j
UQ
δ
相交时，
i
D 必包含在某个 ()
j
UQ
δ
中
)1( Sj ≤≤ 。于是在每个
i
D （ =i M,,2,1 " ）上成立 TTT=
21
D （为简便 起见去掉了标记 i,注意对不同的
i
D,可能有不同 T
1
和 T
2
）,这里 T
1
和 T
2
是本原映射。设
=
=
),,(
),,(
:
1
vu
vu
T
ηη
ξξ
和
=
=
).,(
),,(
:
2
ηξ
ηξ
yy
xx
T
那么
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
yx
=
ηξ
ηξ
。
由引理 13.3.2,得到
1
() ()
(,)
(,)dd ((,),(,)) d d
(,)
TT
ii
xy
fxy xy fx yξ ηξη ξη
ξη
=
∫∫ ∫∫
DD
(,) (,)
( ( (,),(,)),( (,),(,))) d d
(,) (,)
(,)
((,),(,)) dd
(,)
i
i
xy
f x uv uv y uv uv uv
uv
xy
fxuv yuv uv
uv
ξη
ξη ξη
ξη
=
=
∫∫
∫∫
。
D
D
因此
1
() ( )
(,)dd (,)dd
M
i
TT
i
f xy xy f xy xy
=
=
∑
∫∫ ∫∫
DD
1
(,) (,)
((,),(,) dd ((,),(,) dd
(,) (,)
M
i
i
xy xy
f xuv yuv u v f xuv yuv u v
uv uv
=
==
∑
∫∫ ∫∫
。
n重积分的变量代换
设 U 为
n
R （ 2>n ）上的开集，映射
),,(,),,,(:
1111 nnnn
xxyyxxyyT " " " ==
将 U 一一对应地映到
n
RV 上。进一步假设
yyx x yyx x
nnn n111 1
= =(,,),,(,,) " " "
都具有连续偏导数，而且这个映射的 Jacobi 行列式不等于零。
设? 为 U 中具有分片光滑边界的有界闭区域，则与二维情形相类似有结论,
定理 13.3.2 映射 T 和区域? 如上所设。如果 ),,,(
21 n
yyyf " 是
T (?)上的连续函数，那么变量代换公式
1
11 1 1
1()
(,,)
(,,)d d ( ( ),,( )) d d
(,,)
n
nn n n
nT
yy
fy y y y fy y xx
xx
=
∫∫
"
" " " "
"
ΩΩ
xx
成立,其中 ),,(
1 n
xx "=x 。
证明从略。
三维空间中有两种非常重要的变换，一种是柱面坐标变换（见图
13.3.10）
=
=
=
,
,sin
,cos
zz
ry
rx
θ
θ
它将 0,02π,rzθ≤ <+∞ ≤ ≤?∞< <+∞ 映为整个 xyz 空间,变换的 Jacobi 行列式为
r
zr
zyx
=
),,(
),,(
θ
。
图 13.3.10
z
(x,y,z)
O y
θ r
(x,y,0)
x
另一种是球面坐标变换（见图 13.3.11）
=
=
=
,cos
,sinsin
,cossin
θ?
θ?
rz
ry
rx
它将 0,0π,0 2πr? θ≤ <+∞ ≤ ≤ ≤ ≤ 映为整个 xyz 空间，变换的 Jacobi
行列式为
θ?
sin
),,(
),,(
2
r
r
zyx
=
。
z
(x,y,z)
r
O y
θ
(x,y,0)
x
图13.3.11
例 13.3.6 计算
22
( )dddx y xyz+
∫∫∫
Ω
，其中? 为抛物面
22
yxz += 与平面 z h= 所围的闭区域。
z
hz =
22
yxz +=
O y
x
图 13.3.12
解 引入柱面坐标变换 xr yr zz= = =cos,sin,θ θ 。在此变换下? 对应于 rzθ 空间的区域?
2
1
{(,,) |,0,0 2π,}rzr zh r hθθ=≤≤≤≤，因此
22
( )dddx y xyz+
∫∫∫
Ω
2
1
2π
233
00
π
dd d d d d
6
hh
r
rrr z r r z hθθ== =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Ω
。
例 13.3.7 求抛物面
zxy=1
22
与平面 z = 0 所围立体
的重心。设此立体具有均匀密度
1=ρ 。
解 引入柱面坐标变换
xr yr zz= = =cos,sin,θ θ 。 在此变换下?对应于 rzθ 空间的区域
2
1
{(,,) | 0 2π,0 1,0 1 }rz r z rθθ=≤≤≤≤?。因此?的质量为
2
1
2π 11 1
2
000 0
π
ddd ddd d d d 2π (1 )d
2
r
M xyz rr z rr z r r rθθ
== = =?=
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
ΩΩ
。
记立体? 的重心为 ),,( zyx 。由对称性可知 0== yx 。而
1
2
2π 11 1
22
000 0
11
ddd dd d
1 π 1
dd d (1)d.
3
r
zzxyzrzz
MM
rr zz r r r
M M
θ
θ
==
= =?=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫
ΩΩ
因此重心为
3
1
,0,0 。
z
zxy=1
22
O y
x
例 13.3.8 计算
222
()
e ddd
xyz
zxy z
++
∫∫∫
Ω
，其中
为锥面
22
yxz += 与球面 1
222
=++ zyx 所围成的如图 13.3.14 所示部分的闭区域。
解 引入球面坐标变换
θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx === 。
在此变换下?对应于区域
π
1 4
{(,,) | 0 2π,0 1,0 }rr? θθ?= ≤≤ ≤≤ ≤≤。
因此
222 2
1
2
() 3
π
2π 1
3
4
00 0
edd ecosindd
π 11
dedsincosd
22 e
xyz r
r
zxyzr r
rr
θ
θ
++?
=
==?
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫
。
ΩΩ
图13.3.14
例13.3.9 求椭球体
≤++= 1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx
的体积。
解 引入广义球面坐标变换
θ?θ? cos,sinsin,cossin crzbryarx ===,
于是?对应于区域?
1
{(,,) | 0 2π,0 1,0 π }rr? θθ?= ≤≤ ≤≤ ≤≤ 。此变 换的 Jacobi 行列式为
θ?
sin
),,(
),,(
2
abcr
r
zyx
=
。
因此椭球的体积为
1
12ππ
22
00 0
4π
d d d sin d d d d d sin d
3
xyz abcr r abc r r abcθ θ== =
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
。
ΩΩ
z
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2
1++=
O
y
x
图13.3.15
例 13.3.10 求曲面 yzyx =++
4222
)( 所围立体的体积。
解 由曲面的方程 yzyx =++
4222
)( 可以看出，该曲面位于半空间
0≥y 内，且分别关于 xy 平面和 yz 平面对称。因此只需计算它所围 立体在第一卦限上的部分的体积，再乘以 4 就是整个立体的体积。设 该立体在第一卦限上的部分为?。引入球面坐标变换
θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx === 。
那么曲面方程 yzyx =++
4222
)( 在此变换下变为
3
44
cossin
sinsin
θ
+
=r,
而?对应于区域
3
1
44
sin sin
(,,) 0 π /2,0 π /2,0
sin cos
rr
θ?
θ θ?
=≤≤≤≤
+
。
因此所求立体的体积为
1
3
44
2
ππ sin sin
2
22
sin cos
00 0
4ddd4 sinddd
4d sind d
xyz r r
rr
θ?
θ
θ
ΩΩ
+
=
=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫
ππ2
22
44
00
4sin
sin d d
3scos
θ
=
+
∫∫
π 2
2
44
0
2
4
0
4sin
d
3sin cos
4
d(tan)
31
2
π,
3
t
tt
t
+∞
=
+
==
+
=
∫
∫
令
事实上，在 )3( ≥n
n
R 上都可以引入球面坐标变换
=
=
=
=
=
,sinsinsinsin
cossinsinsin
,cossinsin
cossin
,cos
1221
,
12211
3213
,
212
11
nnn
nnn
rx
rx
rx
rx
rx
"
"
" " "
其中
121
0,0π,,0 π,0 2π
nn
r
≤<+∞≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ " 。
显然
2
22
2
2
1
rxxx
n
=+++ " 。
易计算得到这个变换的 Jacobi 行列式为
22
3
1
21
21
21
sinsinsin
),,,(
),,,(
=
=
n
nnn
n
n
r
xxx
J
"
"
"
。
例 13.3.11 求 n 维球体
22 22
12 1 2
{(,,,) | }
nn n
x xxxx xR=++≤ " "B 的体积
n
V 。
解 在球面坐标变换下，
n
B 就对应于区域
121 1
21
{(,,,,)|0,0 π,,
0 π,0 2π },
nn
nn
rrR
=≤≤≤
≤≤≤≤
" "E
因此利用球面坐标变换得
( )( ) ( )( )( )
12
12 3 2
12 32121
πππ2π
12 2
11 3 3 2 2 1
00 0 0 0
dd d
sin sin sin sin d d d d
d sin d sin d sin d d
nn
n
nn n
nn nn
n
R
nn
nn nn n
Vxxx
rr
rr
=
=
=
∫
∫
∫∫ ∫ ∫ ∫
"
" "
" 。
B
E
当 k 为正整数时,
π
π
11
2
00
sin d 2 sin d
kk
=
∫∫
,
由公式
π
2
0
(2 1)!! π
,2,
(2 )!! 2
sin d
(2 )!!
,21
(2 1)!!
n
m
nm
m
m
nm
m
=
=
= +
+
∫
即得
2
121
π,2,
!
2
π,21.
(2 1)!!
m
m
n
mm
m
R
nm
m
V
R
nm
m
++
=
=
=+
+
均匀球体的引力场模型
设有一个半径为 a的均匀球体（密度为常数 ρ ）,要计算它所产 生的引力场，即求出它对于单位质量的质点的引力。
y
dV
O
x
),0,0(
0
sP
z
图 13.3.16
以球心为原点建立直角坐标系，则球体为
}|),,{(
2222
azyxzyx ≤++= 。由对称性，只需考虑球体对在 z 轴上的具有单位质量的质点的引力。设单位质点
0
P 的位置为 ),0,0( s,显然，
球体对质点
0
P 的引力在 x 与 y 方向的分量 0==
yx
FF 。
P
用微元法求该引力在 z 方向的分量
z
F 。考虑球体上任一点
),,( zyxP,则包含 P 的体积微元 dV 的质量为 dVρ 。它对单位质点
0
P 所产生的引力的方向与 kji )(
0
szyxPP?++= 的方向相同，因此引力方向的单位向量为
222
)(
)(
),,(
szyx
szyx
zyx
++
++
=
kji
e 。
由万有引力定律,两质点之间的引力大小与这两个质点的质量的乘 积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，于是体积微元 dV 对单 位质点
0
P 的引力在 z 方向的分量为
32
22 2
dd
()
z
zs
F kV
xy zs
ρ
=
++?
,
其中 G 为引力常数。因此，整个球体对单位质点
0
P 的引力在 z 方向的分量为
32 32
22 2 22 2
ddd
() ()
z
zs zs
F GVGxy
x y zs x y zs
ρρ
==
++? ++?
∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩ
。
作球面坐标变换?θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx ===,就得到
()
()
2
32
22
2ππ
2
32
00 022
(cos )
sin d d d
2cos
(cos )sin
dd d.
2cos
z
a
rs
Fk r r
rs rs
rs
krr
rs rs
ρθ
ρ θ?
=
+?
=
+?
∫∫∫
∫∫∫
Ω
在积分
()
π
32
0 22
( cos )sin
d
2cos
rs
I
rs rs
=
+?
∫
中，令?ξ cos2
222
rssr?+=,那么
22
22
||
1
1d
2
rs
rs
rs
I
sr
ξ
ξ
+
=?
∫?
= ||
||
2
2
1
22
2
sr
sr
sr
r
rs
<?
>
=
.,
2
,,0
2
sr
s
sr
即
2π
2
2
00
2π
2
2
00
2
dd
2
dd
a
z
s
Grr
s
F
Grr
s
ρθ
ρθ
=
∫∫
∫∫
3
2
4π
,,
3
4π
,.
3
a
Gsa
s
s
Gsa
ρ
ρ
≥
=
<
上式的物理意义是,
（ 1）当 as ≥ 时，即质点在球体外或球面上，球体对质点的引力等效于将整个球体的质量
3
4π
3
a
ρ 全部集中在球心时,球心对该质点的引力。这在天体力学中有很重要的应用，在考虑星球之间的引力时，
常常将星球的质量看作是集中于球心来处理。
（ 2）当 as < 时，即质点在球体内部时，球体对质点的引力等效于一个球心与原球相同，而半径为 s 的球体对该质点的引力。即，等效于将半径为 s 的球体的质量
3
4π
3
s
ρ 全部集中在球心时，球心对该质点的引力。
设 U 为 uv 平面上的开集,V 是 xy平面上开集，映射
T x x uv y yuv:(,),(,)= =
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为 Tuuxyvvxy
==
1
,(,),(,)。
在 U 中取直线 uu=
0
，就相应得到 xy平面上的一条曲线
xxuvyyuv= =(,),(,)
00
,
称之为 v -曲线；同样，取直线 vv=
0
，就相应得到 xy平面上的 u -曲线，
xxuv yyuv= =(,),(,)
00
。
§ 3 重积分的变量代换由于映射 T 是一一对应的，因此 V 上的任意一点 P 既可以唯一 地用 (,)x y 表示，也可以唯一地用 (,)uv 表示。我们称 u -曲线和 v -曲线 构成了 曲线坐标网,称 (,)uv为 P 的 曲线坐标，而称 T 为 坐标变换 。
§ 3 重积分的变量代换曲线坐标
设 U 为 uv 平面上的开集,V 是 xy平面上开集，映射
T x x uv y yuv:(,),(,)= =
是 U 到 V 的一个一一对应，它的逆变换记为 Tuuxyvvxy
==
1
,(,),(,)。
在 U 中取直线 uu=
0
，就相应得到 xy平面上的一条曲线
xxuvyyuv= =(,),(,)
00
,
称之为 v -曲线；同样，取直线 vv=
0
，就相应得到 xy平面上的 u -曲线，
xxuv yyuv= =(,),(,)
00
。
例如，在映射 T,xr yr= =cos,sinθ θ 下,θ -曲线是一族以原点为圆心的同心圆,r -曲线是一族从原点出发的半射线，它们构成平面上的极坐标网。 ),( θr 为点 P (,)x y 的极坐标,T 即为极坐标变换。
v uu=
0
vv=
0
O u
y u-曲线
v-曲线
O x
图 13.3.1
二重积分的变量代换
假设 x x uv y y uv= =(,),(,)具有连续偏导数，且有
),(
),(
vu
yx
≠ 0，则由连续性可知
),(
),(
vu
yx
在 U 上不变号。因此，对 U 中任意具有分段光滑边界的有界闭区域 D，记它的像为 ()T=E D?V,则 D的内点和边界分别被映为 E 的内点和边界，同时,由于连通集的像也连通,所以 ()T=E D
也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的 二重积分的变量代换公式。
定理 13.3.1(二重积分变量代换公式 ) 映射 T 和区域 D如上假设。如果二元函数 ),( yxf 在 ()T D 上连续，则
()
(,)
(,)d d ((,),(,)) d d
(,)
T
xy
f xy x y f xuv yuv u v
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
。
显然，当 ),( yxf ≡ 1 时,由以上定理得
(,)
dd
(,)
xy
uv
uv
∫∫
D
= ()mT D (即 ()T D 的面积)。
定理的证明放到下一段,现在先来看一看 Jacobi 行列式的几何 意义和应用。
v
σ
)(
00
,vu
O u
y
)(σT
O x
图 13.3.2
设 T,D满足本节开始时的假定,),(
00
vu 是区域 D中的一点,σ 是包含此点的具有分段光滑边界的小区域，并记 ()d σ 为 σ 的直径（见图
13.3.2）,
那么由定理 13.3.1 和重积分的中值定理,得
(,)
() dd
(,)
xy
mT u v
uv
σ
σ
=
∫∫
(,)
(,)
(,)
rs
xy
m
uv
σ
=?
,
其中 ),( sr 为 σ 中一点。因此
),(
0)(
00
),(
),()(
lim
vu
d
vu
yx
m
mT
=
→
σ
σ
σ
,
或等价地
)(σmT ～ σm
vu
yx
vu
),(
00
),(
),(
（ 0)( →σd ）。
这说明
),(
),(
vu
yx
的几何意义为面积的比例系数。
例 13.3.1 计算曲线 () ()xy x a a?+= >
22 2
0 所围区域 D的面积。
解 作变换 x u x yv=? =,，则曲线方程对应于 uv a
22 2
+= 。
v
uv a
22 2
+=
u
O
y
()xy x a?+=
22 2
x
O
图 13.3.3
这个变换将左边的圆盘
222
avu ≤+ 一一对应地映为右边的椭圆区域 D。由于
1
11
01
),(
),(
=
=
vu
yx
,
因此 D的面积为
222 222
2
(,)
dd dd dd π
(,)
uva uva
xy
Sxy uv uva
uv
+≤ +≤
== = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
D
。
例 13.3.2 求双曲线,xy pxy q= = 与直线 axy =,bxy = 在第一象 限所围图形的面积，其中 qp ba>> >>00,。
y
xyq=
xy p=
ybx=
yax=
D
O x
图 13.3.4
v
b
a
p q u
解 在变换 xy u
y
x
v==,下，区域 D被一一对应地映为
1
{(,) |,}uv p u qa v b= ≤≤ ≤≤D,这时有
v
u
x =,uvy =,于是
v
v
u
u
v
v
u
uv
vu
yx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
),(
),(
3
=
=
。
因此，所求面积为
11
(,) 1 1 1 1
dd dd dd d d ( )ln
(,) 2 2 2
qb
pa
xy b
xy uv uv u v q p
uv v v a
====?
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
DDD
。
极坐标变换
cos,sin,0 2π,0xr yr rθ θθ==≤≤<+∞
是我们十分熟悉的。除原点与正实轴外，它是一一对应的，这时
r
r
r
r
yx
=
=
θθ
θθ
θ cossin
sincos
),(
),(
。
例 13.3.3 计算
22
sin(π )d dxyxy+
∫∫
D
，其中
22
{(,) | 1}xy x y= +≤D 。
解 引入极坐标变换 xr yr= =cos,sinθ θ,那么 D 对应于区 域
{(,) |0 1,0 2π }rrθθ=≤≤≤D 。因此
22
2π 1
00
(,)
sin(π )d d (sin π )dd(sinπ )dd
(,)
dsin(π )d 2
xy
xyxy r r rrr
r
rrr
θ θ
θ
θ
+= =
==
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
。
D DD
注 严格说来，由于极坐标变换在原点与正实轴上不是一对一的。
在应用变量代换公式时，应该去掉原点与正实轴，也就是说，应该用以下方法来计算（积分区域如图 13.3.5）,
22
22 22
00
1
1
2π
2π
sin(π )d d lim sin(π )d d lim (sin π )dd
r
xy
xyxy xyxy rrr
εε
ε
ε
εθ ε
εθ ε
θ
→→
≤≤
≤+≤
≤≤?
≤≤?
+= +=
∫∫ ∫∫ ∫∫
D
1
2π 1
2
00
sin π
lim d sin(π )d lim(2π 2) cosπ 2.
ππ
rr
rrr r
ε
εε
ε
θε
→→
==?+=
∫∫
θ y
2π ε?
x
ε
O ε 1 r
图13.3.5
这种方法的实质就是,在原积分区域 D上挖掉包含非一一对应点集的小区域，得到区域
D，再将被积函数在 D上的积分看作在
D上的积分当
D趋于 D时的极限。在了解这个原理之后，就不必每次都照 此办理，可直接仿照例题中的方法直接计算。
例13.3.4 求抛物面
azyx =+
22
和锥面
)0(2
22
>+?= ayxaz 所围成立体的体积。
解 易求得两曲面的交线在
xy 平面的投影的方程为
xya
22 2
+=。
设
222
{(,) | }xy x y a=+≤D,利用极坐标变换可得所求立体的体积为
22
22
2dd
xy
axy xy
a
+
+?
∫∫
D
=
2
0
02π
2dd
ra
r
ar rr
a
θ
θ
≤≤
≤≤
∫∫
=
2
2π
00
d2 d
a
r
ar rr
a
θ
∫∫
=
2
0
2π 2d
a
r
ar rr
a
∫
=
3
5
π
6
a 。
z
za x y=? +2
22
xyaz
22
+=
xya
222
+=
o y
x
图13.3.6
例 13.3.5 求曲线 )0,,(
2
2
2
2
2
2
>=
+ cba
c
xy
b
y
a
x
所围图形的面积。
解 由曲线的方程
2
2
2
2
2
2
c
xy
b
y
a
x
=
+ 可以看出，该曲线位于第一、三象限，且关于原点对称。因此只需计算该曲线所围图形在第一象限的部分的面积，再乘以 2 就是整个图形的面积。设该图形在第一象限的部分为 D。这个方程中有
x
a
y
b
2
2
2
2
+ 项，因此引入广义极坐标
θcosarx =,θsinbry =,
o
x
y
它的 Jacobi 行列式为
abr
brb
ara
r
yx
=
=
θθ
θθ
θ cossin
sincos
),(
),(
。
在 rθ 平面上这条曲线的像的方程是
r
ab
c
2
2
= sin cosθθ,
且 D所对应的区域为
1
2
π
(,) 0,0 sin cos
2
ab
rrθθ
c
θθ
=≤≤≤
D 。
因此所求的面积为
1
π
sin cos
2
2
00
π22 22
2
0
2dd 2 dd 2d d
sin cos d
2
ab
c
x y abr r abr r
ab ab
cc
θθ
θθ
θθθ
==
==
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
。
DD
变量代换公式的证明
将区域 D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区域 D具 有零边界，当分割充分细的时候，与区域 D边界相交的小矩形的面积 之和可以任意小，因此只需要考虑包含在区域 D内的小矩形 R 。
定义 13.3.1 形如
x
T,),(,),( vuyyuvuxx ===
或
y
T,vvuyyvuxx === ),(,),(
的映射称为本原映射。
引理 13.3.1 设 T 为本原映射,则对于每个小矩形 R,等式
(,)
(,)
()
(,)
uv
xy
mT R mR
uv
=
成立,这里 (
~
,
~
)uv 为 R 上某一点。
证 仅对本原映射
x
T 证明，对
y
T 的证明是类似的。
设在 U 上 J > 0。由于这时成立
10
(,)
0
(,)
xy y
J
yy
v
uv
uv
= ==>
,
所以在每个小矩形
[ ] [ ]
,,Ref gh=×上，对于固定的 ),(,vuyu 是 v的单调增加函数，因此 R 被一一对应地映到
)},(),(,|),{()( hxyygxyfxeyxRT ≤≤≤≤= 。
图 13.3.9
y
),( hxy
),( gxy
O e f x
v
h
g
Oe f u
所以 T R()的面积为
(,)
(,)
()
() dd d d
fyxh
eyxg
TR
mT R x y x y==
∫∫ ∫ ∫
[ (,) (,)]d ( (,) (,))( ),
f
e
yxh yxg x yuh yug f e=?=
∫
其中 eu f≤ ≤
~
。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得
mR
vu
vu
yx
mRvu
v
y
efghvu
v
y
RmT
)
~
,
~
(
),(
),(
)
~
,
~
())()(
~
,
~
()(
=
=
=,
其中 gvh< <
~
。
如果 T 的 Jacobi 行列式为负的,以上讨论中关于 y 的不等式反向，
重复以上证明可同样得到
mR
vu
yx
RmT
vu )
~
,
~
(
),(
),(
)(
= 。
下面证明变量代换公式对于本原映射成立。
引理 13.3.2 设 T 为本原映射,二元函数 ),( yxf 在 ()T D 上连续,
则
()
(,)
(,)dd ((,),(,)) dd
(,)
T
xy
f x y x yfxuv y uv uv
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
。
证 考虑上述对区域 D的分割，设
12
,,,
M
"DD D是包含在区域 D内的所有小矩形，由引理 13.3.1，在
i
D 上成立
(,)
(,)
()
(,)
ii
ii
uv
xy
mT m
uv
=
DD,
这里 (
~
,
~
)uv
ii
为
i
D 中某一点。设
~
(
~
,
~
),
~
(
~
,
~
)x xuv y yuv
iiiiii
= =,则从上式得
(,)
(,)
(,) ( ) ((,),(,)
(,)
ii
ii i ii ii i
uv
xy
f xymT fxuv yuv m
uv
=
∑∑
,
设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ρ,令 ρ 趋于 0，由二重积分的定义，即得
()
(,)
(,)dd ((,),(,)) dd
(,)
T
xy
f x y x yfxuv y uv uv
uv
=
∫∫ ∫∫
DD
。
引理 13.3.3 设 T 满足定理 13.3.1 的假设,则对于任意点
0
Q =
00
(,)uv∈U,T 在点 Q
0
附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的,一 对 一的本原映射的复合 。
证 设 ),(),,(),,(
000000000
yxPvuyyvuxx === 。
由于 0),(
),(
),(
00
≠
vu
vu
yx
，行列式中必有元素不为零。不妨设
0),(
00
≠
vu
u
x
，于是，本原映射
=
=
v
vux
T
η
ξ ),,(
:
1
的 Jacobi 行列式 =
),(
),(
),(
00
vu
vu
ηξ
0),(
00
≠
vu
u
x
,
由隐函数存在定理 （或逆映射定理）,局部地可得逆映射
=
=
,
),,(
η
ηξ
v
gu
且
g(,)ξ η 在 Tu v
100
(,)的一个邻域具有连续偏导数。注意这时成立
uvvuxg =)),,(( 。
作
=
=
),),,((
,
:
2
ηηξ
ξ
gyy
x
T
则有
。),()),),,((()),,((
),,(
vuyvvvuxgygyy
vuxx
===
==
ηηξ
ξ
即 TTT =
12
D 。
下面证明二重积分变量代换公式,
根据引理 13.3.3，对 于 每 点 (,)Quv= ∈D 存在它的一个邻域 UQ
δ
()，
在这个邻域中,T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于
{ }
2
()UQQ
δ
∈D 覆盖了 D，由 Heine-Borel 定理，存在有限多个邻域
UQUQ U Q
S
Sδδ δ
1
2
1
2
2
2
2
(),(),,( ) ",
它们覆盖了 D。设
=
2
,,
2
,
2
min
21
*
S
δδδ
δ " 。
取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于 δ
*
，那么当小矩形
i
D 与
2
()
j
j
UQ
δ
相交时，
i
D 必包含在某个 ()
j
UQ
δ
中
)1( Sj ≤≤ 。于是在每个
i
D （ =i M,,2,1 " ）上成立 TTT=
21
D （为简便 起见去掉了标记 i,注意对不同的
i
D,可能有不同 T
1
和 T
2
）,这里 T
1
和 T
2
是本原映射。设
=
=
),,(
),,(
:
1
vu
vu
T
ηη
ξξ
和
=
=
).,(
),,(
:
2
ηξ
ηξ
yy
xx
T
那么
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
yx
=
ηξ
ηξ
。
由引理 13.3.2,得到
1
() ()
(,)
(,)dd ((,),(,)) d d
(,)
TT
ii
xy
fxy xy fx yξ ηξη ξη
ξη
=
∫∫ ∫∫
DD
(,) (,)
( ( (,),(,)),( (,),(,))) d d
(,) (,)
(,)
((,),(,)) dd
(,)
i
i
xy
f x uv uv y uv uv uv
uv
xy
fxuv yuv uv
uv
ξη
ξη ξη
ξη
=
=
∫∫
∫∫
。
D
D
因此
1
() ( )
(,)dd (,)dd
M
i
TT
i
f xy xy f xy xy
=
=
∑
∫∫ ∫∫
DD
1
(,) (,)
((,),(,) dd ((,),(,) dd
(,) (,)
M
i
i
xy xy
f xuv yuv u v f xuv yuv u v
uv uv
=
==
∑
∫∫ ∫∫
。
n重积分的变量代换
设 U 为
n
R （ 2>n ）上的开集，映射
),,(,),,,(:
1111 nnnn
xxyyxxyyT " " " ==
将 U 一一对应地映到
n
RV 上。进一步假设
yyx x yyx x
nnn n111 1
= =(,,),,(,,) " " "
都具有连续偏导数，而且这个映射的 Jacobi 行列式不等于零。
设? 为 U 中具有分片光滑边界的有界闭区域，则与二维情形相类似有结论,
定理 13.3.2 映射 T 和区域? 如上所设。如果 ),,,(
21 n
yyyf " 是
T (?)上的连续函数，那么变量代换公式
1
11 1 1
1()
(,,)
(,,)d d ( ( ),,( )) d d
(,,)
n
nn n n
nT
yy
fy y y y fy y xx
xx
=
∫∫
"
" " " "
"
ΩΩ
xx
成立,其中 ),,(
1 n
xx "=x 。
证明从略。
三维空间中有两种非常重要的变换，一种是柱面坐标变换（见图
13.3.10）
=
=
=
,
,sin
,cos
zz
ry
rx
θ
θ
它将 0,02π,rzθ≤ <+∞ ≤ ≤?∞< <+∞ 映为整个 xyz 空间,变换的 Jacobi 行列式为
r
zr
zyx
=
),,(
),,(
θ
。
图 13.3.10
z
(x,y,z)
O y
θ r
(x,y,0)
x
另一种是球面坐标变换（见图 13.3.11）
=
=
=
,cos
,sinsin
,cossin
θ?
θ?
rz
ry
rx
它将 0,0π,0 2πr? θ≤ <+∞ ≤ ≤ ≤ ≤ 映为整个 xyz 空间，变换的 Jacobi
行列式为
θ?
sin
),,(
),,(
2
r
r
zyx
=
。
z
(x,y,z)
r
O y
θ
(x,y,0)
x
图13.3.11
例 13.3.6 计算
22
( )dddx y xyz+
∫∫∫
Ω
，其中? 为抛物面
22
yxz += 与平面 z h= 所围的闭区域。
z
hz =
22
yxz +=
O y
x
图 13.3.12
解 引入柱面坐标变换 xr yr zz= = =cos,sin,θ θ 。在此变换下? 对应于 rzθ 空间的区域?
2
1
{(,,) |,0,0 2π,}rzr zh r hθθ=≤≤≤≤，因此
22
( )dddx y xyz+
∫∫∫
Ω
2
1
2π
233
00
π
dd d d d d
6
hh
r
rrr z r r z hθθ== =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Ω
。
例 13.3.7 求抛物面
zxy=1
22
与平面 z = 0 所围立体
的重心。设此立体具有均匀密度
1=ρ 。
解 引入柱面坐标变换
xr yr zz= = =cos,sin,θ θ 。 在此变换下?对应于 rzθ 空间的区域
2
1
{(,,) | 0 2π,0 1,0 1 }rz r z rθθ=≤≤≤≤?。因此?的质量为
2
1
2π 11 1
2
000 0
π
ddd ddd d d d 2π (1 )d
2
r
M xyz rr z rr z r r rθθ
== = =?=
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
ΩΩ
。
记立体? 的重心为 ),,( zyx 。由对称性可知 0== yx 。而
1
2
2π 11 1
22
000 0
11
ddd dd d
1 π 1
dd d (1)d.
3
r
zzxyzrzz
MM
rr zz r r r
M M
θ
θ
==
= =?=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫
ΩΩ
因此重心为
3
1
,0,0 。
z
zxy=1
22
O y
x
例 13.3.8 计算
222
()
e ddd
xyz
zxy z
++
∫∫∫
Ω
，其中
为锥面
22
yxz += 与球面 1
222
=++ zyx 所围成的如图 13.3.14 所示部分的闭区域。
解 引入球面坐标变换
θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx === 。
在此变换下?对应于区域
π
1 4
{(,,) | 0 2π,0 1,0 }rr? θθ?= ≤≤ ≤≤ ≤≤。
因此
222 2
1
2
() 3
π
2π 1
3
4
00 0
edd ecosindd
π 11
dedsincosd
22 e
xyz r
r
zxyzr r
rr
θ
θ
++?
=
==?
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫
。
ΩΩ
图13.3.14
例13.3.9 求椭球体
≤++= 1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx
的体积。
解 引入广义球面坐标变换
θ?θ? cos,sinsin,cossin crzbryarx ===,
于是?对应于区域?
1
{(,,) | 0 2π,0 1,0 π }rr? θθ?= ≤≤ ≤≤ ≤≤ 。此变 换的 Jacobi 行列式为
θ?
sin
),,(
),,(
2
abcr
r
zyx
=
。
因此椭球的体积为
1
12ππ
22
00 0
4π
d d d sin d d d d d sin d
3
xyz abcr r abc r r abcθ θ== =
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
。
ΩΩ
z
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2
1++=
O
y
x
图13.3.15
例 13.3.10 求曲面 yzyx =++
4222
)( 所围立体的体积。
解 由曲面的方程 yzyx =++
4222
)( 可以看出，该曲面位于半空间
0≥y 内，且分别关于 xy 平面和 yz 平面对称。因此只需计算它所围 立体在第一卦限上的部分的体积，再乘以 4 就是整个立体的体积。设 该立体在第一卦限上的部分为?。引入球面坐标变换
θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx === 。
那么曲面方程 yzyx =++
4222
)( 在此变换下变为
3
44
cossin
sinsin
θ
+
=r,
而?对应于区域
3
1
44
sin sin
(,,) 0 π /2,0 π /2,0
sin cos
rr
θ?
θ θ?
=≤≤≤≤
+
。
因此所求立体的体积为
1
3
44
2
ππ sin sin
2
22
sin cos
00 0
4ddd4 sinddd
4d sind d
xyz r r
rr
θ?
θ
θ
ΩΩ
+
=
=
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫
ππ2
22
44
00
4sin
sin d d
3scos
θ
=
+
∫∫
π 2
2
44
0
2
4
0
4sin
d
3sin cos
4
d(tan)
31
2
π,
3
t
tt
t
+∞
=
+
==
+
=
∫
∫
令
事实上，在 )3( ≥n
n
R 上都可以引入球面坐标变换
=
=
=
=
=
,sinsinsinsin
cossinsinsin
,cossinsin
cossin
,cos
1221
,
12211
3213
,
212
11
nnn
nnn
rx
rx
rx
rx
rx
"
"
" " "
其中
121
0,0π,,0 π,0 2π
nn
r
≤<+∞≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ " 。
显然
2
22
2
2
1
rxxx
n
=+++ " 。
易计算得到这个变换的 Jacobi 行列式为
22
3
1
21
21
21
sinsinsin
),,,(
),,,(
=
=
n
nnn
n
n
r
xxx
J
"
"
"
。
例 13.3.11 求 n 维球体
22 22
12 1 2
{(,,,) | }
nn n
x xxxx xR=++≤ " "B 的体积
n
V 。
解 在球面坐标变换下，
n
B 就对应于区域
121 1
21
{(,,,,)|0,0 π,,
0 π,0 2π },
nn
nn
rrR
=≤≤≤
≤≤≤≤
" "E
因此利用球面坐标变换得
( )( ) ( )( )( )
12
12 3 2
12 32121
πππ2π
12 2
11 3 3 2 2 1
00 0 0 0
dd d
sin sin sin sin d d d d
d sin d sin d sin d d
nn
n
nn n
nn nn
n
R
nn
nn nn n
Vxxx
rr
rr
=
=
=
∫
∫
∫∫ ∫ ∫ ∫
"
" "
" 。
B
E
当 k 为正整数时,
π
π
11
2
00
sin d 2 sin d
kk
=
∫∫
,
由公式
π
2
0
(2 1)!! π
,2,
(2 )!! 2
sin d
(2 )!!
,21
(2 1)!!
n
m
nm
m
m
nm
m
=
=
= +
+
∫
即得
2
121
π,2,
!
2
π,21.
(2 1)!!
m
m
n
mm
m
R
nm
m
V
R
nm
m
++
=
=
=+
+
均匀球体的引力场模型
设有一个半径为 a的均匀球体（密度为常数 ρ ）,要计算它所产 生的引力场，即求出它对于单位质量的质点的引力。
y
dV
O
x
),0,0(
0
sP
z
图 13.3.16
以球心为原点建立直角坐标系，则球体为
}|),,{(
2222
azyxzyx ≤++= 。由对称性，只需考虑球体对在 z 轴上的具有单位质量的质点的引力。设单位质点
0
P 的位置为 ),0,0( s,显然，
球体对质点
0
P 的引力在 x 与 y 方向的分量 0==
yx
FF 。
P
用微元法求该引力在 z 方向的分量
z
F 。考虑球体上任一点
),,( zyxP,则包含 P 的体积微元 dV 的质量为 dVρ 。它对单位质点
0
P 所产生的引力的方向与 kji )(
0
szyxPP?++= 的方向相同，因此引力方向的单位向量为
222
)(
)(
),,(
szyx
szyx
zyx
++
++
=
kji
e 。
由万有引力定律,两质点之间的引力大小与这两个质点的质量的乘 积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，于是体积微元 dV 对单 位质点
0
P 的引力在 z 方向的分量为
32
22 2
dd
()
z
zs
F kV
xy zs
ρ
=
++?
,
其中 G 为引力常数。因此，整个球体对单位质点
0
P 的引力在 z 方向的分量为
32 32
22 2 22 2
ddd
() ()
z
zs zs
F GVGxy
x y zs x y zs
ρρ
==
++? ++?
∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩ
。
作球面坐标变换?θ?θ? cos,sinsin,cossin rzryrx ===,就得到
()
()
2
32
22
2ππ
2
32
00 022
(cos )
sin d d d
2cos
(cos )sin
dd d.
2cos
z
a
rs
Fk r r
rs rs
rs
krr
rs rs
ρθ
ρ θ?
=
+?
=
+?
∫∫∫
∫∫∫
Ω
在积分
()
π
32
0 22
( cos )sin
d
2cos
rs
I
rs rs
=
+?
∫
中，令?ξ cos2
222
rssr?+=,那么
22
22
||
1
1d
2
rs
rs
rs
I
sr
ξ
ξ
+
=?
∫?
= ||
||
2
2
1
22
2
sr
sr
sr
r
rs
<?
>
=
.,
2
,,0
2
sr
s
sr
即
2π
2
2
00
2π
2
2
00
2
dd
2
dd
a
z
s
Grr
s
F
Grr
s
ρθ
ρθ
=
∫∫
∫∫
3
2
4π
,,
3
4π
,.
3
a
Gsa
s
s
Gsa
ρ
ρ
≥
=
<
上式的物理意义是,
（ 1）当 as ≥ 时，即质点在球体外或球面上，球体对质点的引力等效于将整个球体的质量
3
4π
3
a
ρ 全部集中在球心时,球心对该质点的引力。这在天体力学中有很重要的应用，在考虑星球之间的引力时，
常常将星球的质量看作是集中于球心来处理。
（ 2）当 as < 时，即质点在球体内部时，球体对质点的引力等效于一个球心与原球相同，而半径为 s 的球体对该质点的引力。即，等效于将半径为 s 的球体的质量
3
4π
3
s
ρ 全部集中在球心时，球心对该质点的引力。
