Green 公式
设 L 为平面上的一条曲线,它的方程是 jir )()()( tytxt +=,βα ≤≤ t 。
如果 )()( βα rr =,而且当 ),(,
21
βα∈tt,
21
tt ≠ 时总成立 )()(
21
tt rr ≠,则 称
L 为 简单闭曲线 （或 Jordan 曲线 ） 。这就是说，简单闭曲线除两个 端点相重合外，曲线自身不相交。
设 D为平面上的一个区域。 如果 D内的任意一条封闭曲线都可以不经过 D外的点而连续地收缩成 D中一点，那么 D称为 单连通区域 。
否则它称为 复连通区域 。例如，圆盘 }1|),{(
22
<+ yxyx 是单连通区域，
而圆环
<+< 1
2
1
),(
22
yxyx 是复连通区域。
§ 3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式单连通区域 D也可以这样叙述,D内的任何一条封闭曲线所围的点集仍属于 D。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”,而复连通区域之中会有“洞” 。
对于平面区域 D,给它的边界?D规定一个正向,如果一个人沿?D
的这个方向行走时,D总是在他左边。 这个定向也称为 D的 诱导定向，
带有这样定向的?D称为 D的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区域 D由 L 与 l 所围成，那么在我们规定的正向下,L 为逆时针方向,而
l 为顺时针方向。
D
L
l
图14.3.1
定理 14.3.1 （ Green 公式 ） 设 D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通闭区域 。 如果函数 P x y Q x y(,),(,)在 D上具有连续偏导数,那么
dd dd
QP
P xQy x y
xy
+=?
∫∫∫
DD
,
其中?D取正向，即诱导定向 。
证 先假设 D可同时表示为以下两种形式
12
{(,)| () (),}xy y x yyxaxb=≤≤≤D
}),()(|),{(
21
dycyxxyxyx ≤≤≤≤=
的情形（这时平行于 x 轴或 y 轴的直线与区域 D的边界至多交两点） 。
这样的区域称为 标准区域 。
下面在这种假设下证明定理（参见图 14.3.2）。
()
2
x x y=
)(
1
yxx =
yy x=
2
()
yy x=
1
()
abO x
y
c
d
图14.3.2
[]
2
1
()
()
21 1 2
dd d d
(,( )) (,( )) d (,( ))d (,( ))d
(,)d,
byx
ayx
bba
aab
PP
xy x y
yy
P xy x Pxy x x Pxy x x Pxy x x
Pxy x
=
=?=
=?
∫∫ ∫ ∫
∫
∫
D
D
式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有
[]
2
1
()
()
21 2 1
dd d d
( (),) ((),)d ( (),)d ((),)d
(,)d
dxy
cxy
c
cc
QQ
xy y x
xx
Qx yy Qx yy y Qx yyy Qx yyy
Qxy y
=
=?= +
=
∫∫ ∫ ∫
∫
∫
。
D
D
两式合并就得到所需的结果。
再证区域 D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图
14.3.3 的区域，在这种区域上，平行于 y 轴的直线与 D的边界的交点可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将 D分割成两个标准区域
1
D 与
2
D （
1
D 的边界为曲线 ABMA，
2
D 的边界为曲线 ANBA） 。因此可以应用 Green 公式得到
11
dd dd
QP
P xQy xy
xy
+=?
∫∫∫
D D
,
22
dd dd
QP
P xQy xy
xy
+=?
∫∫∫
D D
。
2
D
1
D
Ox
N
AB
M
y
图14.3.3
注意
1
D 与
2
D 的公共边界 AB,其方向相对于
1
D 而言是从 A到 B,
相对于
2
D 而言是从 B 到 A，两者方向正好相反，所以将上面的两式相加便得
dd dd
QP
P xQy xy
xy
+=?
∫∫∫
DD
。
对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略。
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。
以只有一个洞为例（见图 14.3.4）,用光滑曲线连结其外边界 L 上一点 M 与内边界 l 上一点 N,将 D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到
图 14.3.4
dd d d
dd dd,
LMN l NM
Ll
QP
xy Px Qy
xy
P xQy PxQy
=++++
=+ += +
∫ ∫∫∫∫
∫∫ ∫
D
D
其中 L 为逆时针方向,l 为顺时针方向，这与?D的诱导定向相同。
D
L
l
M
N
Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第 二类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论,
1,记取诱导定向的?D 上的单位切向量为 τ,单位外法向量为 n
（见图 14.3.5）,那么显然有
cos(),cos(?=yn τ ),x,),cos( xn =sin( τ ),x 。
因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式
dd d d
FG
xy Fy Gx
xy
+=?=
∫∫ ∫ ∫
DDD
[ sin(,) cos(,)]dF xG xsτ τ?
=
∫
D
[cos(,) cos(,)]dF xG y s+nn,
这个形式便于记忆和推广。
D
τ
n
D
图14.3.5
2,Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 )(xf 在 ],[ ba 上 具有连续导数,取 [,][0,1]ab= ×D （见图 14.3.6）。在 Green 公式中取 0=P,
)(xfQ =,就得到
()dd ()df xxy fxy
′
=
∫∫ ∫
DD
。
利用化累次积分的方法，等式左边就是
1
0
d()d ()d
bb
aa
yfxx fxx
′′
=
∫∫ ∫
。而 等式右边等于
10
01
( )d ( )d ( )d ( )d ( ) ( )
AB BC CD DA BC DA
f xy fxy fby fay fb fa+++ =+ = + =?
∫∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫
。
这就得到 Newton-Leibniz 公式
()d
b
a
f xx
′
∫
= )()( afbf? 。
a bx
1
D
y
O
图14.3.6
3,从 Green 公式还可以得到一个求区域面积的方法,
设 D为平面上的有界闭区域,其边界为分段光滑的简单闭曲线。
则它的面积为
1
dd dd
2
Sxy yx xyyx
==?=?
∫∫∫
DD D
,
其中?D取正向。
例14.3.1 计算椭圆
x
a
y
b
ab
2
2
2
2
10+= >(,)所围图形的面积。
解 椭圆的参数方程为
cos,sin,0 2πxa ybθ θθ= =≤≤。
设椭圆的正向边界为 L，那么所求面积为
()
2π 2π
22
00
11
dd cos sind dπ
22
L
ab
Sxyyxabab abθθθ θ=?= + = =
∫∫ ∫
。
图14.3.7
x
a
y
b
2
2
2
2
1+=
O
x
y
例14.3.2 计算
22 22
dln( )d
L
Ixy x y xy xxyy
=+++++
∫
,其中 L 为曲线 sin,0 πyxx= ≤≤与直线段 0,0 πyx= ≤≤所围区域 D的正向边界。
解 令
22 22
,ln()P x y Q y xy xxy
=+ = +++
，则
22
2
22
,
yx
y
y
x
Q
yx
y
y
P
+
+=
+
=
。
由 Green 公式得到
π sin π
223
00 0
14
dd dd d d sin d
39
x
QP
Ixyxyyx
xy
=?== = =
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
DD
。
xy sin=
O
x
y
π
图14.3.8
例14.3.3 计算
( )( )
esin d ecos d
xx
L
Iymyxymy=?+?
∫
，其中 L 为圆
)0()(
222
>=+? aayax 的上半圆周，方向为从点 )0,2( aA 到原点 O(,)00 。
解 现在积分曲线不是闭的，不能直接用 Green 公式，但添加一条直线段 OA（方向从 O到 A）后,L 与 OA合起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲线所围的区域为 D。这时
。y
x
Q
my
y
P
myQmyyP
xx
xx
cose,cose
,cose,sine
=
=
=?=
利用 Green 公式，得到
( ) ( ) ( ) ( )
2
e sin d e cos d e sin d e cos d
π
2
xx xx
L OA
y my x y m yymy x y m y
ma
mdxdy
+?+?+?
==
∫∫
∫∫
。
D
(2,0)Aa
22 2
()xa y a?+=
O x
y
图14.3.9
再计算沿 OA的曲线积分。因为 OA的方程为 axy 20:,0 →=,那么
()( )
2
0
esin d ecos d 0d 0 0
a
xx
OA
ymyx ymy x? +?=+=
∫∫
。
代入前面的式子，就得到
()()
2
π
esin d ecos d
2
xx
L
ma
ymyx ymy?+?=
∫
。
曲线积分与路径无关的条件
容易想像，若一个函数沿着连接 A,B 两个端点的一条路径 L 积分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同而不同。
但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功，
可以仅与路径的端点有关而与路径无关。 下面就来探讨曲线积分与 路径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义,
定义 14.3.1 设 D为平面区域,P x y Q x y(,),(,)为 D上的连续函数 。
如果对于 D内任意两点 A,B,积分值
dd
L
P xQy+
∫
只与 A,B 两点有关，而与从 A到 B 的路径 L （这里只考虑光滑或分段光滑曲线）无关，就称曲线积分 dd
L
P xQy+
∫
与路径无关 。否则称为与路径有关 。
曲线积分与路径无关的条件
容易想像，若一个函数沿着连接 A,B 两个端点的一条路径 L 积分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同而不同。
但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功，
可以仅与路径的端点有关而与路径无关。 下面就来探讨曲线积分与 路径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义,
定理 14.3.2 （ Green 定理） 设 D为平面上的单连通区域,
P x y Q x y(,),(,)在 D上具有连续偏导数 。 则下面的四个命题等价,
(1) 对于 D内的任意一条光滑 （ 或分段光滑 ） 闭曲线 L,
dd0
L
Px Qy+ =
∫；
(2) 曲线积分 dd
L
P xQy+
∫
与路径无关；
(3) 存在 D上的可微函数 U x y(,),使得
dddUPxQy= +,
即 ddP xQy+ 为 U x y(,)的全微分,这时称 U x y(,)为 1-形式 ddP xQy+ 的 原函数 ；
(4) 在 D内成立等式
P Q
y x
=
。
证 （ 1）?（ 2）,设 A,B 为 D内任意两点，
1
L 和
2
L 是 D中从 A到
B 的任意两条路径，则
12
()LL= +?C 就是 D中的一条闭曲线。因此
0 =
12 1 2
dd dd dd dd
LL L L
P xQy Px Qy Px Qy Px Qy
+=+ += +? +
∫∫∫ ∫∫
C
,
于是
12
dd dd
LL
P xQy PxQy+= +
∫∫
,
因此曲线积分与路径无关。
（ 2）?（ 3）,取一定点 ∈),(
00
yx D,作函数
00
(,)
(,)
(,) d d
xy
xy
Uxy Px Qy=+
∫
,
这里积分沿从 ),(
00
yx 到 ),( yx 的任意路径。 由于曲线积分与路径无关，因此 U x y(,)是有确定意义的。取如图 14.3.10 所示的积分路径时，就成立
( )
00 00
(,) (,)
(,) (,)
(,)(,)1
dd dd
xxy xy
xy xy
UUx xyUxy
P xQy Px Qy
xxx
+Δ
Δ+Δ?
==+?+
ΔΔΔ
∫∫
(,)
(,)
11
dd (,)d(,)
xxy xx
xy x
P xQy Ptyt P yξ
+Δ +Δ
=+= =
∫∫
,
其中 ξ在 x 与 x x+Δ 之间，这是利用了积分中值定理。因此
),(),(limlim
00
yxPyP
x
U
x
U
xx
==
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
ξ 。
同理可证 ),( yxQ
y
U
=
。所以在 D内成立 dddUPxQy= + 。
(,)x x y+Δ
(,)x y
00
(),x y
x
y
O
图14.3.10
（ 3）?（ 4）,由于存在 D上的可微函数 U,使得 dddUPxQy= +,
因此
),(),,( yxQ
y
U
yxP
x
U
=
=
。
又由于函数 P xy(,)和 Qxy(,)在 D内具有连续偏导数，于是
x
Q
yx
U
xy
U
y
P
=
=
=
22
。
（ 4）?（ 1）,对于包含在 D内的光滑 （或分段光滑） 闭曲线 L,
设它包围的图形是
D，那么由 Green 公式就得到
dd dd0
L
QP
Px Qy xy
xy
+ =? =
∫∫∫
D
。
（ 3）?（ 4）,由于存在 D上的可微函数 U,使得 dddUPxQy= +,
因此
),(),,( yxQ
y
U
yxP
x
U
=
=
。
又由于函数 P xy(,)和 Qxy(,)在 D内具有连续偏导数，于是
x
Q
yx
U
xy
U
y
P
=
=
=
22
。
上面的证明还给出了当曲线积分与路径无关时,ddP xQy+ 在 D上的原函数的构造方法，即
00
(,)
(,)
(,) d d
xy
xy
Uxy Px Qy=+
∫
。
设 ∈),(),,(
BBAA
yxByxA D,对于从 A到 B 的任意路径 L,任取一条 D
内从 (,)xy
00
到 A的路径 l,则
(,) d d,(,) d d
AA BB
llL
Ux y Px Qy Ux y Px Qy
+
=+ = +
∫∫
。
因此
dd dd dd (,)(,)
BB AA
LlLl
P xQy Px Qy Px Qy Ux y Ux y
+
+= +? +=?
∫∫∫
。
于是得到,
定理 14.3.3 设 D为平面单连通区域,P xy(,)和 Qxy(,)为 D上的连续函数。那么曲线积分 dd
L
P xQy+
∫
与路径无关的充分必要条件是在
D上存在 ddP xQy+ 的一个原函数 Uxy(,)。这时，对于 D内任意两点
Ax y Bx y
AA BB
(,),(,)，计算公式
p
dd (,)(,)
BB AA
AB
P xQyUxy Uxy+=?
∫
。
成立，其中
p
AB 为任意从 A到 B 的路径。
求 ddP xQy+ 的原函数常用的是如图 14.3.11 所示的两个常规积分路径。
由于
00
(,)
00
(,)
(,) (,) d d
xy
xy
Uxy Ux y Px Qy?= +
∫
,
如果积分路径取 ANB，则
00
00
(,)
00
(,)
00
0
(,) d d (,)
dd dd(,)
(,)d (,)d,
xy
xy
AN NB
xy
Uxy Px Qy Ux y
P xQy PxQyUxy
Pxy x Qxy y c
=++
=++++
=++
∫
∫∫
∫∫
其中 cUxy= (,)
00
为任意常数。如果积分路径取 AMB，同样可以得到
00
0
(,) (,)d (,)d
yx
Uxy Qx y y Pxy y c= ++
∫∫
。
(,)B xy
0
(,)Nxy
00
(,)A x y
0
(,)M xy
图14.3.11
例 14.3.4 证明在整个 xy平面上，
()( )
esin d ecos
xx
y my x y mx y?+?
是某个函数的全微分，求这样一个函数，并计算
( ) ( )
esin d ecos d
xx
L
I y my x y mx y=?+?
∫
,
其中 L 为从 (,)00 到 (,)11 的任意一条道路。
解 令 mxyyxQmyyyxP
xx
=?= cose),(,sine),(,于是恒成立
x
Q
my
y
P
x
=?=
cose 。
由定理 14.3.2 知
( ) ( )
esin d ecos d
xx
y my x y mx y?+?是某个函数的全微分。
取路径如图 14.3.12，那么它的一个原函数为
( ) ( )
()()
()
(,)
(0,0)
00
(,) esin d ecos d
esin d ecos d
0d e cos d e sin,
xy
xx
xx
OA AB
xy
xx
U x y y my x y mx y
y my x y mx y
x y mx y y mxy
=?+?
=+? +?
=+?=?
∫
∫∫
∫∫
于是由定理 14.3.3 得到
( ) ( )
esin d ecos d
(1,1) (0,0) e sin 1
xx
L
I y my x y mx y
UU m
=?+?
=? =?
∫
。
B x y(,)
A x(,)0
Ox
y
图14.3.12
例14.3.5 计算
22
dd
L
xy yx
xy
+
∫
，其中 L 为一条不经过原点的简单闭曲线，方向为逆时针方向。
解 设 L 所围的区域为 D。 这时 Pxy
y
xy
Qxy
x
xy
(,),(,)=
+
=
+
22 22
，
22
22
222
0
()
Pyx Q
xy
yxy x
= =+≠
+?
,。
于是当 D不包含原点时，由 Green 公式即得
22
dd
0
L
xy yx
xy
=
+
∫
。
当 D包含原点时,函数 QP,在原点不满足
Green 公式的条件，因此不能直接使用。但在
D中挖去一个以原点为心，半径为 r 的小圆盘后，对于余下的部分 Green 公式的条件就满足了。记 D中挖去小圆盘后的区域为
1
D,小圆盘的边界为 l（见图 14.3.13）,在区域
1
D 上应用 Green 公式得
22 22
dd dd
0
Ll
xy yx xy yx
xy xy
=
++
∫∫
。
注意上式对 l 取的方向是逆时针方向，这时 l 的参数方程为
cos,sin (0 2π)xr yrθ θθ= =≤≤,
因此
22 22
2π
22 22 2
0
dd dd cos sin
d2π
Ll
xy yx xy yx r r
xy xy r
θθ
θ
+
= ==
++
∫∫∫
。
这个例子说明，定理 14.3.2 中对于区域是单连通和函数 QP,具有连续偏导数的要求是必要的。
L
l
D
1
x
y
图14.3.13
Gauss 公式
设 Ω为空间上的一个区域。如果 Ω内的任何一张封闭曲面所围的立体仍属于 Ω，那么称 Ω为 二维单连通区域,否则称 Ω为 二维复连通区域 。通俗地说，二维单连通区域之中不含有“洞”,而二维复连通区域之中含有“洞” 。例如，单位球 {(,,)| }xyz x y z
222
1++<是二维单 连通区域，而空心球
222
2
1
|),,{( zyxzyx ++< }1< 是二维复连通区域。
定理 14.3.4 （ Gauss 公式） 设 Ω是
3
R 上由光滑 （ 或分片光滑 ）
的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域,函数 ),,(),,,( zyxQzyxP 和
R x y z(,,)在 Ω上具有连续偏导数。 则成立
ddd dd dd dd
PQR
x yz Pyz Qzx Rxy
xyz
++ = + +
∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
,
这里?Ω 的定向为外侧，它称为 Ω的 诱导定向 。
Gauss 公式
设 Ω为空间上的一个区域。如果 Ω内的任何一张封闭曲面所围的立体仍属于 Ω，那么称 Ω为 二维单连通区域,否则称 Ω为 二维复连通区域。通俗地说，二维单连通区域之中不含有“洞”,而二维复连通区域之中含有“洞” 。例如，单位球 {(,,)| }xyz x y z
222
1++<是二维单 连通区域，而空心球
222
2
1
|),,{( zyxzyx ++< }1< 是二维复连通区域。
证 考虑 Ω 可同时表为以下三种形式
12
12
{(,,) | (,) (,),(,) }
{(,,) | (,) (,),(,) }
{(,,)| (,) (,),(,) }
= ≤≤ ≤
=≤≤
≤
ΩΩ
Ω
Ω
xy
zx
yz
xyz z xy z z xy xy
xyz y zx y y zx zx
xyz x yz x x yz yz
的情形，其中,,ΩΩΩ
xyzxyz
分别为 Ω 在 yzzxxy,,平面的投影（见图
14.3.14）,这样的区域称为标准区域。
图 14.3.14
x
1
(,)zzxy=
zz xy=
2
(,)
xy
Ω
Ω
y
z
O
设
1
Σ 为曲面
1
(,),(,)
xy
z z xy xy= ∈Ω,
2
Σ 为曲面
2
(,),(,)
xy
z z xy xy= ∈Ω,
按照所规定的定向，
1
Σ 的定向为下侧；
2
Σ 的定向为上侧。那么利用
Ω的第一种表示就有
[]
2
1
(,)
(,)
21
21
ddd dd d
(,,(,)) (,,(,))dd
(,,)dd (,,)dd (,,)dd
zxy
zxy
xy
xy
RR
xyz xy z
zz
Rxyz xy Rxyz xy xy
Rxy zxy Rxy zxy Rxy zxy
ΣΣ?
=
=?
=+=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
ΩΩ
Ω
Ω
同理利用 Ω的第二种表示和第三种表示可证
ddd (,,)dd
Q
xyz Qxyz zx
y
=
∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
,ddd (,,)dd
P
xyz Pxyz yz
x
=
∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
。
三式相加就是 Gauss 公式。
设
1
Σ 为曲面
1
(,),(,)
xy
z z xy xy= ∈Ω,
2
Σ 为曲面
2
(,),(,)
xy
zzxy xy= ∈Ω,
按照所规定的定向，
1
Σ 的定向为下侧；
2
Σ 的定向为上侧。那么利用 Ω
的第一种表示就有
[]
2
1
(,)
(,)
21
21
ddd dd d
(,,(,)) (,,(,))dd
(,,)dd (,,)dd (,,)dd
zxy
zxy
xy
xy
RR
xyz xy z
zz
Rxyz xy Rxyz xy xy
Rxyz xy Rxyz xy Rxyz xy
ΣΣ?
=
=?
=+=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
ΩΩ
Ω
Ω
当 Ω可分成有限块标准区域时，可添加辅助曲面（见图
14.3.15）,将其分成一块块标准区域。如同讨论 Green 公式的情 形一样，对每块标准区域应用 Gauss 公式，再把它们加起来。注意到如果一片曲面为两块不同标准区域的共同边界时，会出现沿它不同侧面的两个曲面积分，在相加时它们就会互相抵消，最后只留下的是沿 Ω? 的曲面积分。
图 14.1.15
Gauss 公式也可以推广到具有有限个“洞”的二维复连通区域上去。如对图 14.3.16 所示的有一个“洞”的区域，用适当的曲面将它分割成两个二维单连通区域后分别应用 Gauss 公式，再相加，即可推出 Gauss 公式依然成立。注意，这时区域外面的边界还是取外侧，但内部的边界却取内侧。但相对于区域，它们事实上都是外侧。
图14.3.16
Gauss 公式说明了在空间中一个区域 Ω上的三重积分与沿其边界
Ω 的曲面积分间的内在关系，可视为 Green 公式的一个推广。与
Green 公式一样,Gauss 公式的一个直接应用就是可用沿区域 Ω 的 边界的曲面积分来计算 Ω 的体积，具体的说就是
ddd dd dd dd
1
dd dd dd,
3
Vxy zxy z y zx zxy
xyz yzx zxy
====
=++
∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
ΩΩΩΩ
Ω
其中?Ω 的定向为外侧。
例 14.3.6 用上述公式计算椭球面
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2
1++=所围椭球的体积。
解 椭球面的参数方程为
θ?θ? cos,sinsin,cossin czbyax ===,02π,0 πθ?≤ ≤≤≤,
于是
(,)
sin cos
(,)
xy
ab
θ
=
。
由以上公式得到椭球的体积为
02π
0 π
2ππ
22
00
02π
0 π
(,)
cos d d
(,)
4
sin cos d d d sin cos d π
3
xy
Vzdxdy c
abc abc abc
θ
θ
θ
θ
θ θ
≤≤
≤≤
≤≤
≤≤
==
=
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫
。
Ω
例 14.3.7 求
333
dd dd ddxyz yzx zxy
Σ
++
∫∫
,Σ 为球面 xyza
222 2
++=，
方向取外侧。
解 由 Gauss 公式并应用球面坐标变换得
2222
333 222
2ππ
45
000
dd dd dd 3 ( )ddd
12
3d d sind π
5
xyza
a
xyz y zx z xy x y zxy z
rraθ
Σ
++≤
++= ++
==
∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
。
例 14.3.8 设某种流体的速度为 kjiv zyx ++=,求单位时间内流体流过曲面 Σ,)0(
22
hyzxy ≤≤+= 的流量，其中 Σ 的方向取左侧。
解 流量的计算公式为
dddddS xyz yzx zxy
ΣΣ
Φ =?= + +
∫∫ ∫∫
vn 。
由于 Σ 不是封闭曲面，但添加一片曲面
hzxhy ≤+=
22
,:σ
后,Σ σ+ 就是封闭曲面，这里 σ 的方向取右侧。
22
yx z=+
y h=
x
y
z
O
hy =
图14.3.17
记 Σ σ+ 所围的区域为 Ω,则由 Gauss 公式，得到
2
2π
2
00
dd dd dd dd dd dd
3π
3ddd 3 d d d,
2
hh
r
x yz yzx zxy xyz yzx zxy
xyz rr y h
Σσ
Ω
θ
+++ ++
== =
∫∫ ∫∫
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
其中计算三重积分时利用了柱面坐标变换 yyrxrz ===,sin,cos θθ 。由于
22
2
dd dd dd dd dd π
xzh
x yz yzx zxy yzx hzx h
σσ
+≤
++= = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
,
所以
22 2
3ππ
dd dd dd πxyz y zx zxy hh h
Σ
Φ =++=?=
∫∫
。
hy =
Stokes 公式
设 Σ为具有分段光滑边界的非封闭光滑双侧曲面。选定曲面的一侧，并如下规定 Σ 的边界?Σ 的一个正向：如果一个人保持与曲面 选定一侧的法向量同向站立，当他沿?Σ的这个方向行走时，曲面 Σ总 是在他左边。Σ的这个定向也称为 Σ的诱导定向，这种定向方法称为 右手定则 。
定理 14.3.5（ Stokes 公式） 设 Σ为光滑曲面,其边界?Σ为分 段光滑闭曲线 。 若函数 P x y z Qxy z Rxy z(,,),(,,),(,,)在 Σ及其边界?Σ上具有连续偏导数,则成立
dddP xQy Rz
Σ
++
∫
dd dd dd
RQ P R QP
y zzxxy
yz zx xy
Σ
=? +? +?
∫∫
cos cos cos d
RQ PR QP
S
yz zx xy
Σ
αβγ
=? +? +?
∫∫
,
其中?Σ取诱导定向 。
证 只证明 Σ 可同时表为以下三种形式
{(,,)| (,),(,) }
xy
xyz z zxy xyΣ Σ= =∈
{(,,)| (,),(,) }
{(,,) | (,),(,) }
zx
yz
xyz y yzx zx
xyz x xyz yz
Σ
Σ
== ∈
的情形，其中,,
xyzxyz
ΣΣΣ分别为 Σ 在 yzzxxy,,平面的投影（见图
14.3.18）,这样的曲面称为标准曲面。
xy
Σ
Σ?
Σ
O
x
y
z
图14.3.18
不妨设 Σ 的定向为上侧。利用曲线积分的计算公式，由 Σ 的第 一种表示易得
(,,)d (,,(,))d
xy
P xyz x Pxyzxy x
ΣΣ
=
∫∫
,
其中
xy
Σ? 为
xy
Σ 的正向边界。再对后积分应用 Green 公式,
(,,(,))d (,,(,))dd
(,,(,)) (,,(,)) dd
xy xy
xy
Pxyzxy x Pxyzxy xy
y
PPz
xyzxy xyzxy xy
yzy
ΣΣ
Σ
=?
=? +?
∫∫∫
∫∫
。
注意到曲面取上侧，则 Σ 的法向量的方向余弦为
2
2
1
(cos,cos,cos ),,1
1
zz
x y
zz
xy
αβγ
=
++
,
因此
cos
cos
z
y
β
γ
=?
。所以
(,,(,)) (,,(,)) dd
dd cos d
xy
PPz
xyzxy xyzxy xy
yzy
PPz P Pz
x yS
yzy yzy
Σ
ΣΣ
γ
+?
=+? =+?
∫∫
∫∫ ∫∫
cos
cos d cos d
cos
cos d cos d d d d d
PP
SS
yz
PP PP
SSxy zx
yz z
ΣΣ
ΣΣ ΣΣ
β
γγ
γ
γβ
=?
=?=?
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
。
结合这几式就得
(,,)d dd dd
PP
P x y zx zx xy
zy
ΣΣ?
=?
∫∫∫
。
同理可得
(,,)d dd dd
QQ
Qxy z y x yyz
xz
ΣΣ?
=?
∫∫∫
,(,,)d dd dd
RR
Rxy zz y zzx
yx
ΣΣ?
=?
∫∫∫
。
三式相加即得到 Stokes 公式。
利用行列式记号，可以将 Stokes 公式写成
dd dd dd cos cos cos
ddd d
yz zx xy
P xQyRz S
xyz x y z
PQR P Q R
ΣΣ Σ
α βγ
++= =
∫∫∫ ∫
。
Stokes 定理说明了沿曲面 Σ 的曲面积分与沿其边界 Σ? 的曲线 积分间的内在关系。它也是 Green 公式的一个自然推广。
同理可得
(,,)d dd dd
QQ
Qxy z y x yyz
xz
ΣΣ?
=?
∫∫∫
,(,,)d dd dd
RR
Rxy zz y zzx
yx
ΣΣ?
=?
∫∫∫
。
三式相加即得到 Stokes 公式。
例 14.3.9 计算
22 22 2 2
()d()d()d
L
I y zxzxy x y z=?+? +?
∫
，其中 L为 平面 x y z+ + = 1被三个坐标平面所截三角形 Σ 的边界,若从 x 轴的正向 看去，定向为逆时针方向。
xyz+ + =1
y
x
z
1
1
1
O
图14.3.19
解 由Stokes公式得到
22 22 2 2
()d()d()d
L
I yzxzxyxyz=?+? +?
∫
[]
222222
cos cos cos
d
2 ( )cos ( )cos ( )cos d
S
xyz
yzzxxy
yz xz xy S
Σ
Σ
αβγ
αβγ
=
=? + + + + +
∫∫
∫∫
。
由于 Σ 的方程为 x y z+ + = 1，定向为上侧，则易计算
3
1
coscoscos === γβα 。
注意到在三角形 Σ 上成立 x y z+ + = 1，且 Σ 的面积为
3
2
，就得到
44
()d d2
33
IxyzSS
ΣΣ
=?++=? =?
∫∫ ∫∫
。
例 14.3.10 计算
22 22 2 2
()d()d()d
L
I y zxzxy x y z=+++ ++
∫
，其 中 L是上半球面 xyz Rxz
222
20++= ≥()与圆柱面 xy rxRr
22
20+= >>()的交线,从
z 轴的正向看去，是逆时针方向。
xyz Rx
222
2++=
xy rx
22
2+=
x
y
z
O
图14.3.20
解 记在球面 xyz Rx
222
2++= 上由 L 所围的曲面为 Σ 。由于 L 的定向，为应用 Stokes 定理取 Σ 的定向为上侧，所以其法向量的方向余弦为
R
z
R
y
R
Rx
==
= γβα cos,cos,cos 。
由 Stokes 定理得到
()
22 22 2 2
2222 2 2
()d()d()d
cos cos cos
d
2 ( )cos ( )cos ( )cos d
2( ) ( ) ( ) d 2 d d
L
Iyzxzxyxyz
S
xyz
yzzxxy
yz zx xy S
xR y z
yz zx xy S zS yS
RRR
Σ
Σ
Σ ΣΣ
αβγ
αβγ
=+++ ++
=
+++
=?+? +?
=?+?+? =?
∫
∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
由于曲面 Σ 关于 xz 平面对称，因此
d0yS
Σ
=
∫∫
。
而在上半球面 xyz Rxz
222
20++= ≥()上,zRxxy=2
22
,所以在 Σ 上有
z
R
z
y
z
Rx
y
z
x
z
=+
+=
+
+
2
2
2
2
22
)(
11 。
利用曲面积分的计算公式就得到
=I 2
222 222
2
() ()
d2 dd2 dd2π
xr y r xr y r
R
zS z xy R xy rR
z
Σ
+≤?+≤
===
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
设 L 为平面上的一条曲线,它的方程是 jir )()()( tytxt +=,βα ≤≤ t 。
如果 )()( βα rr =,而且当 ),(,
21
βα∈tt,
21
tt ≠ 时总成立 )()(
21
tt rr ≠,则 称
L 为 简单闭曲线 （或 Jordan 曲线 ） 。这就是说，简单闭曲线除两个 端点相重合外，曲线自身不相交。
设 D为平面上的一个区域。 如果 D内的任意一条封闭曲线都可以不经过 D外的点而连续地收缩成 D中一点，那么 D称为 单连通区域 。
否则它称为 复连通区域 。例如，圆盘 }1|),{(
22
<+ yxyx 是单连通区域，
而圆环
<+< 1
2
1
),(
22
yxyx 是复连通区域。
§ 3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式单连通区域 D也可以这样叙述,D内的任何一条封闭曲线所围的点集仍属于 D。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”,而复连通区域之中会有“洞” 。
对于平面区域 D,给它的边界?D规定一个正向,如果一个人沿?D
的这个方向行走时,D总是在他左边。 这个定向也称为 D的 诱导定向，
带有这样定向的?D称为 D的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区域 D由 L 与 l 所围成，那么在我们规定的正向下,L 为逆时针方向,而
l 为顺时针方向。
D
L
l
图14.3.1
定理 14.3.1 （ Green 公式 ） 设 D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通闭区域 。 如果函数 P x y Q x y(,),(,)在 D上具有连续偏导数,那么
dd dd
QP
P xQy x y
xy
+=?
∫∫∫
DD
,
其中?D取正向，即诱导定向 。
证 先假设 D可同时表示为以下两种形式
12
{(,)| () (),}xy y x yyxaxb=≤≤≤D
}),()(|),{(
21
dycyxxyxyx ≤≤≤≤=
的情形（这时平行于 x 轴或 y 轴的直线与区域 D的边界至多交两点） 。
这样的区域称为 标准区域 。
下面在这种假设下证明定理（参见图 14.3.2）。
()
2
x x y=
)(
1
yxx =
yy x=
2
()
yy x=
1
()
abO x
y
c
d
图14.3.2
[]
2
1
()
()
21 1 2
dd d d
(,( )) (,( )) d (,( ))d (,( ))d
(,)d,
byx
ayx
bba
aab
PP
xy x y
yy
P xy x Pxy x x Pxy x x Pxy x x
Pxy x
=
=?=
=?
∫∫ ∫ ∫
∫
∫
D
D
式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有
[]
2
1
()
()
21 2 1
dd d d
( (),) ((),)d ( (),)d ((),)d
(,)d
dxy
cxy
c
cc
xy y x
xx
Qx yy Qx yy y Qx yyy Qx yyy
Qxy y
=
=?= +
=
∫∫ ∫ ∫
∫
∫
。
D
D
两式合并就得到所需的结果。
再证区域 D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图
14.3.3 的区域，在这种区域上，平行于 y 轴的直线与 D的边界的交点可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将 D分割成两个标准区域
1
D 与
2
D （
1
D 的边界为曲线 ABMA，
2
D 的边界为曲线 ANBA） 。因此可以应用 Green 公式得到
11
dd dd
QP
P xQy xy
xy
+=?
∫∫∫
D D
,
22
dd dd
QP
P xQy xy
xy
+=?
∫∫∫
D D
。
2
D
1
D
Ox
N
AB
M
y
图14.3.3
注意
1
D 与
2
D 的公共边界 AB,其方向相对于
1
D 而言是从 A到 B,
相对于
2
D 而言是从 B 到 A，两者方向正好相反，所以将上面的两式相加便得
dd dd
QP
P xQy xy
xy
+=?
∫∫∫
DD
。
对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略。
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。
以只有一个洞为例（见图 14.3.4）,用光滑曲线连结其外边界 L 上一点 M 与内边界 l 上一点 N,将 D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到
图 14.3.4
dd d d
dd dd,
LMN l NM
Ll
QP
xy Px Qy
xy
P xQy PxQy
=++++
=+ += +
∫ ∫∫∫∫
∫∫ ∫
D
D
其中 L 为逆时针方向,l 为顺时针方向，这与?D的诱导定向相同。
D
L
l
M
N
Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第 二类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论,
1,记取诱导定向的?D 上的单位切向量为 τ,单位外法向量为 n
（见图 14.3.5）,那么显然有
cos(),cos(?=yn τ ),x,),cos( xn =sin( τ ),x 。
因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式
dd d d
FG
xy Fy Gx
xy
+=?=
∫∫ ∫ ∫
DDD
[ sin(,) cos(,)]dF xG xsτ τ?
=
∫
D
[cos(,) cos(,)]dF xG y s+nn,
这个形式便于记忆和推广。
D
τ
n
D
图14.3.5
2,Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 )(xf 在 ],[ ba 上 具有连续导数,取 [,][0,1]ab= ×D （见图 14.3.6）。在 Green 公式中取 0=P,
)(xfQ =,就得到
()dd ()df xxy fxy
′
=
∫∫ ∫
DD
。
利用化累次积分的方法，等式左边就是
1
0
d()d ()d
bb
aa
yfxx fxx
′′
=
∫∫ ∫
。而 等式右边等于
10
01
( )d ( )d ( )d ( )d ( ) ( )
AB BC CD DA BC DA
f xy fxy fby fay fb fa+++ =+ = + =?
∫∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫
。
这就得到 Newton-Leibniz 公式
()d
b
a
f xx
′
∫
= )()( afbf? 。
a bx
1
D
y
O
图14.3.6
3,从 Green 公式还可以得到一个求区域面积的方法,
设 D为平面上的有界闭区域,其边界为分段光滑的简单闭曲线。
则它的面积为
1
dd dd
2
Sxy yx xyyx
==?=?
∫∫∫
DD D
,
其中?D取正向。
例14.3.1 计算椭圆
x
a
y
b
ab
2
2
2
2
10+= >(,)所围图形的面积。
解 椭圆的参数方程为
cos,sin,0 2πxa ybθ θθ= =≤≤。
设椭圆的正向边界为 L，那么所求面积为
()
2π 2π
22
00
11
dd cos sind dπ
22
L
ab
Sxyyxabab abθθθ θ=?= + = =
∫∫ ∫
。
图14.3.7
x
a
y
b
2
2
2
2
1+=
O
x
y
例14.3.2 计算
22 22
dln( )d
L
Ixy x y xy xxyy
=+++++
∫
,其中 L 为曲线 sin,0 πyxx= ≤≤与直线段 0,0 πyx= ≤≤所围区域 D的正向边界。
解 令
22 22
,ln()P x y Q y xy xxy
=+ = +++
，则
22
2
22
,
yx
y
y
x
Q
yx
y
y
P
+
+=
+
=
。
由 Green 公式得到
π sin π
223
00 0
14
dd dd d d sin d
39
x
QP
Ixyxyyx
xy
=?== = =
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
DD
。
xy sin=
O
x
y
π
图14.3.8
例14.3.3 计算
( )( )
esin d ecos d
xx
L
Iymyxymy=?+?
∫
，其中 L 为圆
)0()(
222
>=+? aayax 的上半圆周，方向为从点 )0,2( aA 到原点 O(,)00 。
解 现在积分曲线不是闭的，不能直接用 Green 公式，但添加一条直线段 OA（方向从 O到 A）后,L 与 OA合起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲线所围的区域为 D。这时
。y
x
Q
my
y
P
myQmyyP
xx
xx
cose,cose
,cose,sine
=
=
=?=
利用 Green 公式，得到
( ) ( ) ( ) ( )
2
e sin d e cos d e sin d e cos d
π
2
xx xx
L OA
y my x y m yymy x y m y
ma
mdxdy
+?+?+?
==
∫∫
∫∫
。
D
(2,0)Aa
22 2
()xa y a?+=
O x
y
图14.3.9
再计算沿 OA的曲线积分。因为 OA的方程为 axy 20:,0 →=,那么
()( )
2
0
esin d ecos d 0d 0 0
a
xx
OA
ymyx ymy x? +?=+=
∫∫
。
代入前面的式子，就得到
()()
2
π
esin d ecos d
2
xx
L
ma
ymyx ymy?+?=
∫
。
曲线积分与路径无关的条件
容易想像，若一个函数沿着连接 A,B 两个端点的一条路径 L 积分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同而不同。
但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功，
可以仅与路径的端点有关而与路径无关。 下面就来探讨曲线积分与 路径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义,
定义 14.3.1 设 D为平面区域,P x y Q x y(,),(,)为 D上的连续函数 。
如果对于 D内任意两点 A,B,积分值
dd
L
P xQy+
∫
只与 A,B 两点有关，而与从 A到 B 的路径 L （这里只考虑光滑或分段光滑曲线）无关，就称曲线积分 dd
L
P xQy+
∫
与路径无关 。否则称为与路径有关 。
曲线积分与路径无关的条件
容易想像，若一个函数沿着连接 A,B 两个端点的一条路径 L 积分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同而不同。
但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功，
可以仅与路径的端点有关而与路径无关。 下面就来探讨曲线积分与 路径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义,
定理 14.3.2 （ Green 定理） 设 D为平面上的单连通区域,
P x y Q x y(,),(,)在 D上具有连续偏导数 。 则下面的四个命题等价,
(1) 对于 D内的任意一条光滑 （ 或分段光滑 ） 闭曲线 L,
dd0
L
Px Qy+ =
∫；
(2) 曲线积分 dd
L
P xQy+
∫
与路径无关；
(3) 存在 D上的可微函数 U x y(,),使得
dddUPxQy= +,
即 ddP xQy+ 为 U x y(,)的全微分,这时称 U x y(,)为 1-形式 ddP xQy+ 的 原函数 ；
(4) 在 D内成立等式
P Q
y x
=
。
证 （ 1）?（ 2）,设 A,B 为 D内任意两点，
1
L 和
2
L 是 D中从 A到
B 的任意两条路径，则
12
()LL= +?C 就是 D中的一条闭曲线。因此
0 =
12 1 2
dd dd dd dd
LL L L
P xQy Px Qy Px Qy Px Qy
+=+ += +? +
∫∫∫ ∫∫
C
,
于是
12
dd dd
LL
P xQy PxQy+= +
∫∫
,
因此曲线积分与路径无关。
（ 2）?（ 3）,取一定点 ∈),(
00
yx D,作函数
00
(,)
(,)
(,) d d
xy
xy
Uxy Px Qy=+
∫
,
这里积分沿从 ),(
00
yx 到 ),( yx 的任意路径。 由于曲线积分与路径无关，因此 U x y(,)是有确定意义的。取如图 14.3.10 所示的积分路径时，就成立
( )
00 00
(,) (,)
(,) (,)
(,)(,)1
dd dd
xxy xy
xy xy
UUx xyUxy
P xQy Px Qy
xxx
+Δ
Δ+Δ?
==+?+
ΔΔΔ
∫∫
(,)
(,)
11
dd (,)d(,)
xxy xx
xy x
P xQy Ptyt P yξ
+Δ +Δ
=+= =
∫∫
,
其中 ξ在 x 与 x x+Δ 之间，这是利用了积分中值定理。因此
),(),(limlim
00
yxPyP
x
U
x
U
xx
==
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
ξ 。
同理可证 ),( yxQ
y
U
=
。所以在 D内成立 dddUPxQy= + 。
(,)x x y+Δ
(,)x y
00
(),x y
x
y
O
图14.3.10
（ 3）?（ 4）,由于存在 D上的可微函数 U,使得 dddUPxQy= +,
因此
),(),,( yxQ
y
U
yxP
x
U
=
=
。
又由于函数 P xy(,)和 Qxy(,)在 D内具有连续偏导数，于是
x
Q
yx
U
xy
U
y
P
=
=
=
22
。
（ 4）?（ 1）,对于包含在 D内的光滑 （或分段光滑） 闭曲线 L,
设它包围的图形是
D，那么由 Green 公式就得到
dd dd0
L
QP
Px Qy xy
xy
+ =? =
∫∫∫
D
。
（ 3）?（ 4）,由于存在 D上的可微函数 U,使得 dddUPxQy= +,
因此
),(),,( yxQ
y
U
yxP
x
U
=
=
。
又由于函数 P xy(,)和 Qxy(,)在 D内具有连续偏导数，于是
x
Q
yx
U
xy
U
y
P
=
=
=
22
。
上面的证明还给出了当曲线积分与路径无关时,ddP xQy+ 在 D上的原函数的构造方法，即
00
(,)
(,)
(,) d d
xy
xy
Uxy Px Qy=+
∫
。
设 ∈),(),,(
BBAA
yxByxA D,对于从 A到 B 的任意路径 L,任取一条 D
内从 (,)xy
00
到 A的路径 l,则
(,) d d,(,) d d
AA BB
llL
Ux y Px Qy Ux y Px Qy
+
=+ = +
∫∫
。
因此
dd dd dd (,)(,)
BB AA
LlLl
P xQy Px Qy Px Qy Ux y Ux y
+
+= +? +=?
∫∫∫
。
于是得到,
定理 14.3.3 设 D为平面单连通区域,P xy(,)和 Qxy(,)为 D上的连续函数。那么曲线积分 dd
L
P xQy+
∫
与路径无关的充分必要条件是在
D上存在 ddP xQy+ 的一个原函数 Uxy(,)。这时，对于 D内任意两点
Ax y Bx y
AA BB
(,),(,)，计算公式
p
dd (,)(,)
BB AA
AB
P xQyUxy Uxy+=?
∫
。
成立，其中
p
AB 为任意从 A到 B 的路径。
求 ddP xQy+ 的原函数常用的是如图 14.3.11 所示的两个常规积分路径。
由于
00
(,)
00
(,)
(,) (,) d d
xy
xy
Uxy Ux y Px Qy?= +
∫
,
如果积分路径取 ANB，则
00
00
(,)
00
(,)
00
0
(,) d d (,)
dd dd(,)
(,)d (,)d,
xy
xy
AN NB
xy
Uxy Px Qy Ux y
P xQy PxQyUxy
Pxy x Qxy y c
=++
=++++
=++
∫
∫∫
∫∫
其中 cUxy= (,)
00
为任意常数。如果积分路径取 AMB，同样可以得到
00
0
(,) (,)d (,)d
yx
Uxy Qx y y Pxy y c= ++
∫∫
。
(,)B xy
0
(,)Nxy
00
(,)A x y
0
(,)M xy
图14.3.11
例 14.3.4 证明在整个 xy平面上，
()( )
esin d ecos
xx
y my x y mx y?+?
是某个函数的全微分，求这样一个函数，并计算
( ) ( )
esin d ecos d
xx
L
I y my x y mx y=?+?
∫
,
其中 L 为从 (,)00 到 (,)11 的任意一条道路。
解 令 mxyyxQmyyyxP
xx
=?= cose),(,sine),(,于是恒成立
x
Q
my
y
P
x
=?=
cose 。
由定理 14.3.2 知
( ) ( )
esin d ecos d
xx
y my x y mx y?+?是某个函数的全微分。
取路径如图 14.3.12，那么它的一个原函数为
( ) ( )
()()
()
(,)
(0,0)
00
(,) esin d ecos d
esin d ecos d
0d e cos d e sin,
xy
xx
xx
OA AB
xy
xx
U x y y my x y mx y
y my x y mx y
x y mx y y mxy
=?+?
=+? +?
=+?=?
∫
∫∫
∫∫
于是由定理 14.3.3 得到
( ) ( )
esin d ecos d
(1,1) (0,0) e sin 1
xx
L
I y my x y mx y
UU m
=?+?
=? =?
∫
。
B x y(,)
A x(,)0
Ox
y
图14.3.12
例14.3.5 计算
22
dd
L
xy yx
xy
+
∫
，其中 L 为一条不经过原点的简单闭曲线，方向为逆时针方向。
解 设 L 所围的区域为 D。 这时 Pxy
y
xy
Qxy
x
xy
(,),(,)=
+
=
+
22 22
，
22
22
222
0
()
Pyx Q
xy
yxy x
= =+≠
+?
,。
于是当 D不包含原点时，由 Green 公式即得
22
dd
0
L
xy yx
xy
=
+
∫
。
当 D包含原点时,函数 QP,在原点不满足
Green 公式的条件，因此不能直接使用。但在
D中挖去一个以原点为心，半径为 r 的小圆盘后，对于余下的部分 Green 公式的条件就满足了。记 D中挖去小圆盘后的区域为
1
D,小圆盘的边界为 l（见图 14.3.13）,在区域
1
D 上应用 Green 公式得
22 22
dd dd
0
Ll
xy yx xy yx
xy xy
=
++
∫∫
。
注意上式对 l 取的方向是逆时针方向，这时 l 的参数方程为
cos,sin (0 2π)xr yrθ θθ= =≤≤,
因此
22 22
2π
22 22 2
0
dd dd cos sin
d2π
Ll
xy yx xy yx r r
xy xy r
θθ
θ
+
= ==
++
∫∫∫
。
这个例子说明，定理 14.3.2 中对于区域是单连通和函数 QP,具有连续偏导数的要求是必要的。
L
l
D
1
x
y
图14.3.13
Gauss 公式
设 Ω为空间上的一个区域。如果 Ω内的任何一张封闭曲面所围的立体仍属于 Ω，那么称 Ω为 二维单连通区域,否则称 Ω为 二维复连通区域 。通俗地说，二维单连通区域之中不含有“洞”,而二维复连通区域之中含有“洞” 。例如，单位球 {(,,)| }xyz x y z
222
1++<是二维单 连通区域，而空心球
222
2
1
|),,{( zyxzyx ++< }1< 是二维复连通区域。
定理 14.3.4 （ Gauss 公式） 设 Ω是
3
R 上由光滑 （ 或分片光滑 ）
的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域,函数 ),,(),,,( zyxQzyxP 和
R x y z(,,)在 Ω上具有连续偏导数。 则成立
ddd dd dd dd
PQR
x yz Pyz Qzx Rxy
xyz
++ = + +
∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
,
这里?Ω 的定向为外侧，它称为 Ω的 诱导定向 。
Gauss 公式
设 Ω为空间上的一个区域。如果 Ω内的任何一张封闭曲面所围的立体仍属于 Ω，那么称 Ω为 二维单连通区域,否则称 Ω为 二维复连通区域。通俗地说，二维单连通区域之中不含有“洞”,而二维复连通区域之中含有“洞” 。例如，单位球 {(,,)| }xyz x y z
222
1++<是二维单 连通区域，而空心球
222
2
1
|),,{( zyxzyx ++< }1< 是二维复连通区域。
证 考虑 Ω 可同时表为以下三种形式
12
12
{(,,) | (,) (,),(,) }
{(,,) | (,) (,),(,) }
{(,,)| (,) (,),(,) }
= ≤≤ ≤
=≤≤
≤
ΩΩ
Ω
Ω
xy
zx
yz
xyz z xy z z xy xy
xyz y zx y y zx zx
xyz x yz x x yz yz
的情形，其中,,ΩΩΩ
xyzxyz
分别为 Ω 在 yzzxxy,,平面的投影（见图
14.3.14）,这样的区域称为标准区域。
图 14.3.14
x
1
(,)zzxy=
zz xy=
2
(,)
xy
Ω
Ω
y
z
O
设
1
Σ 为曲面
1
(,),(,)
xy
z z xy xy= ∈Ω,
2
Σ 为曲面
2
(,),(,)
xy
z z xy xy= ∈Ω,
按照所规定的定向，
1
Σ 的定向为下侧；
2
Σ 的定向为上侧。那么利用
Ω的第一种表示就有
[]
2
1
(,)
(,)
21
21
ddd dd d
(,,(,)) (,,(,))dd
(,,)dd (,,)dd (,,)dd
zxy
zxy
xy
xy
RR
xyz xy z
zz
Rxyz xy Rxyz xy xy
Rxy zxy Rxy zxy Rxy zxy
ΣΣ?
=
=?
=+=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
ΩΩ
Ω
Ω
同理利用 Ω的第二种表示和第三种表示可证
ddd (,,)dd
Q
xyz Qxyz zx
y
=
∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
,ddd (,,)dd
P
xyz Pxyz yz
x
=
∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
。
三式相加就是 Gauss 公式。
设
1
Σ 为曲面
1
(,),(,)
xy
z z xy xy= ∈Ω,
2
Σ 为曲面
2
(,),(,)
xy
zzxy xy= ∈Ω,
按照所规定的定向，
1
Σ 的定向为下侧；
2
Σ 的定向为上侧。那么利用 Ω
的第一种表示就有
[]
2
1
(,)
(,)
21
21
ddd dd d
(,,(,)) (,,(,))dd
(,,)dd (,,)dd (,,)dd
zxy
zxy
xy
xy
RR
xyz xy z
zz
Rxyz xy Rxyz xy xy
Rxyz xy Rxyz xy Rxyz xy
ΣΣ?
=
=?
=+=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
ΩΩ
Ω
Ω
当 Ω可分成有限块标准区域时，可添加辅助曲面（见图
14.3.15）,将其分成一块块标准区域。如同讨论 Green 公式的情 形一样，对每块标准区域应用 Gauss 公式，再把它们加起来。注意到如果一片曲面为两块不同标准区域的共同边界时，会出现沿它不同侧面的两个曲面积分，在相加时它们就会互相抵消，最后只留下的是沿 Ω? 的曲面积分。
图 14.1.15
Gauss 公式也可以推广到具有有限个“洞”的二维复连通区域上去。如对图 14.3.16 所示的有一个“洞”的区域，用适当的曲面将它分割成两个二维单连通区域后分别应用 Gauss 公式，再相加，即可推出 Gauss 公式依然成立。注意，这时区域外面的边界还是取外侧，但内部的边界却取内侧。但相对于区域，它们事实上都是外侧。
图14.3.16
Gauss 公式说明了在空间中一个区域 Ω上的三重积分与沿其边界
Ω 的曲面积分间的内在关系，可视为 Green 公式的一个推广。与
Green 公式一样,Gauss 公式的一个直接应用就是可用沿区域 Ω 的 边界的曲面积分来计算 Ω 的体积，具体的说就是
ddd dd dd dd
1
dd dd dd,
3
Vxy zxy z y zx zxy
xyz yzx zxy
====
=++
∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
ΩΩΩΩ
Ω
其中?Ω 的定向为外侧。
例 14.3.6 用上述公式计算椭球面
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2
1++=所围椭球的体积。
解 椭球面的参数方程为
θ?θ? cos,sinsin,cossin czbyax ===,02π,0 πθ?≤ ≤≤≤,
于是
(,)
sin cos
(,)
xy
ab
θ
=
。
由以上公式得到椭球的体积为
02π
0 π
2ππ
22
00
02π
0 π
(,)
cos d d
(,)
4
sin cos d d d sin cos d π
3
xy
Vzdxdy c
abc abc abc
θ
θ
θ
θ
θ θ
≤≤
≤≤
≤≤
≤≤
==
=
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫
。
Ω
例 14.3.7 求
333
dd dd ddxyz yzx zxy
Σ
++
∫∫
,Σ 为球面 xyza
222 2
++=，
方向取外侧。
解 由 Gauss 公式并应用球面坐标变换得
2222
333 222
2ππ
45
000
dd dd dd 3 ( )ddd
12
3d d sind π
5
xyza
a
xyz y zx z xy x y zxy z
rraθ
Σ
++≤
++= ++
==
∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
。
例 14.3.8 设某种流体的速度为 kjiv zyx ++=,求单位时间内流体流过曲面 Σ,)0(
22
hyzxy ≤≤+= 的流量，其中 Σ 的方向取左侧。
解 流量的计算公式为
dddddS xyz yzx zxy
ΣΣ
Φ =?= + +
∫∫ ∫∫
vn 。
由于 Σ 不是封闭曲面，但添加一片曲面
hzxhy ≤+=
22
,:σ
后,Σ σ+ 就是封闭曲面，这里 σ 的方向取右侧。
22
yx z=+
y h=
x
y
z
O
hy =
图14.3.17
记 Σ σ+ 所围的区域为 Ω,则由 Gauss 公式，得到
2
2π
2
00
dd dd dd dd dd dd
3π
3ddd 3 d d d,
2
hh
r
x yz yzx zxy xyz yzx zxy
xyz rr y h
Σσ
Ω
θ
+++ ++
== =
∫∫ ∫∫
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
其中计算三重积分时利用了柱面坐标变换 yyrxrz ===,sin,cos θθ 。由于
22
2
dd dd dd dd dd π
xzh
x yz yzx zxy yzx hzx h
σσ
+≤
++= = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
,
所以
22 2
3ππ
dd dd dd πxyz y zx zxy hh h
Σ
Φ =++=?=
∫∫
。
hy =
Stokes 公式
设 Σ为具有分段光滑边界的非封闭光滑双侧曲面。选定曲面的一侧，并如下规定 Σ 的边界?Σ 的一个正向：如果一个人保持与曲面 选定一侧的法向量同向站立，当他沿?Σ的这个方向行走时，曲面 Σ总 是在他左边。Σ的这个定向也称为 Σ的诱导定向，这种定向方法称为 右手定则 。
定理 14.3.5（ Stokes 公式） 设 Σ为光滑曲面,其边界?Σ为分 段光滑闭曲线 。 若函数 P x y z Qxy z Rxy z(,,),(,,),(,,)在 Σ及其边界?Σ上具有连续偏导数,则成立
dddP xQy Rz
Σ
++
∫
dd dd dd
RQ P R QP
y zzxxy
yz zx xy
Σ
=? +? +?
∫∫
cos cos cos d
RQ PR QP
S
yz zx xy
Σ
αβγ
=? +? +?
∫∫
,
其中?Σ取诱导定向 。
证 只证明 Σ 可同时表为以下三种形式
{(,,)| (,),(,) }
xy
xyz z zxy xyΣ Σ= =∈
{(,,)| (,),(,) }
{(,,) | (,),(,) }
zx
yz
xyz y yzx zx
xyz x xyz yz
Σ
Σ
== ∈
的情形，其中,,
xyzxyz
ΣΣΣ分别为 Σ 在 yzzxxy,,平面的投影（见图
14.3.18）,这样的曲面称为标准曲面。
xy
Σ
Σ?
Σ
O
x
y
z
图14.3.18
不妨设 Σ 的定向为上侧。利用曲线积分的计算公式，由 Σ 的第 一种表示易得
(,,)d (,,(,))d
xy
P xyz x Pxyzxy x
ΣΣ
=
∫∫
,
其中
xy
Σ? 为
xy
Σ 的正向边界。再对后积分应用 Green 公式,
(,,(,))d (,,(,))dd
(,,(,)) (,,(,)) dd
xy xy
xy
Pxyzxy x Pxyzxy xy
y
PPz
xyzxy xyzxy xy
yzy
ΣΣ
Σ
=?
=? +?
∫∫∫
∫∫
。
注意到曲面取上侧，则 Σ 的法向量的方向余弦为
2
2
1
(cos,cos,cos ),,1
1
zz
x y
zz
xy
αβγ
=
++
,
因此
cos
cos
z
y
β
γ
=?
。所以
(,,(,)) (,,(,)) dd
dd cos d
xy
PPz
xyzxy xyzxy xy
yzy
PPz P Pz
x yS
yzy yzy
Σ
ΣΣ
γ
+?
=+? =+?
∫∫
∫∫ ∫∫
cos
cos d cos d
cos
cos d cos d d d d d
PP
SS
yz
PP PP
SSxy zx
yz z
ΣΣ
ΣΣ ΣΣ
β
γγ
γ
γβ
=?
=?=?
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
。
结合这几式就得
(,,)d dd dd
PP
P x y zx zx xy
zy
ΣΣ?
=?
∫∫∫
。
同理可得
(,,)d dd dd
Qxy z y x yyz
xz
ΣΣ?
=?
∫∫∫
,(,,)d dd dd
RR
Rxy zz y zzx
yx
ΣΣ?
=?
∫∫∫
。
三式相加即得到 Stokes 公式。
利用行列式记号，可以将 Stokes 公式写成
dd dd dd cos cos cos
ddd d
yz zx xy
P xQyRz S
xyz x y z
PQR P Q R
ΣΣ Σ
α βγ
++= =
∫∫∫ ∫
。
Stokes 定理说明了沿曲面 Σ 的曲面积分与沿其边界 Σ? 的曲线 积分间的内在关系。它也是 Green 公式的一个自然推广。
同理可得
(,,)d dd dd
Qxy z y x yyz
xz
ΣΣ?
=?
∫∫∫
,(,,)d dd dd
RR
Rxy zz y zzx
yx
ΣΣ?
=?
∫∫∫
。
三式相加即得到 Stokes 公式。
例 14.3.9 计算
22 22 2 2
()d()d()d
L
I y zxzxy x y z=?+? +?
∫
，其中 L为 平面 x y z+ + = 1被三个坐标平面所截三角形 Σ 的边界,若从 x 轴的正向 看去，定向为逆时针方向。
xyz+ + =1
y
x
z
1
1
1
O
图14.3.19
解 由Stokes公式得到
22 22 2 2
()d()d()d
L
I yzxzxyxyz=?+? +?
∫
[]
222222
cos cos cos
d
2 ( )cos ( )cos ( )cos d
S
xyz
yzzxxy
yz xz xy S
Σ
Σ
αβγ
αβγ
=
=? + + + + +
∫∫
∫∫
。
由于 Σ 的方程为 x y z+ + = 1，定向为上侧，则易计算
3
1
coscoscos === γβα 。
注意到在三角形 Σ 上成立 x y z+ + = 1，且 Σ 的面积为
3
2
，就得到
44
()d d2
33
IxyzSS
ΣΣ
=?++=? =?
∫∫ ∫∫
。
例 14.3.10 计算
22 22 2 2
()d()d()d
L
I y zxzxy x y z=+++ ++
∫
，其 中 L是上半球面 xyz Rxz
222
20++= ≥()与圆柱面 xy rxRr
22
20+= >>()的交线,从
z 轴的正向看去，是逆时针方向。
xyz Rx
222
2++=
xy rx
22
2+=
x
y
z
O
图14.3.20
解 记在球面 xyz Rx
222
2++= 上由 L 所围的曲面为 Σ 。由于 L 的定向，为应用 Stokes 定理取 Σ 的定向为上侧，所以其法向量的方向余弦为
R
z
R
y
R
Rx
==
= γβα cos,cos,cos 。
由 Stokes 定理得到
()
22 22 2 2
2222 2 2
()d()d()d
cos cos cos
d
2 ( )cos ( )cos ( )cos d
2( ) ( ) ( ) d 2 d d
L
Iyzxzxyxyz
S
xyz
yzzxxy
yz zx xy S
xR y z
yz zx xy S zS yS
RRR
Σ
Σ
Σ ΣΣ
αβγ
αβγ
=+++ ++
=
+++
=?+? +?
=?+?+? =?
∫
∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
由于曲面 Σ 关于 xz 平面对称，因此
d0yS
Σ
=
∫∫
。
而在上半球面 xyz Rxz
222
20++= ≥()上,zRxxy=2
22
,所以在 Σ 上有
z
R
z
y
z
Rx
y
z
x
z
=+
+=
+
+
2
2
2
2
22
)(
11 。
利用曲面积分的计算公式就得到
=I 2
222 222
2
() ()
d2 dd2 dd2π
xr y r xr y r
R
zS z xy R xy rR
z
Σ
+≤?+≤
===
∫∫ ∫∫ ∫∫
。
