Fourier 变换及其逆变换
前面关于 Fourier 级数的论述都是对周期函数而言的，那么对 于非周期函数，又该如何处理呢？
在 ),( +∞?∞ 上可积的非周期函数 fx()可以看成是周期函数的极 限情况，处理思路是这样的,
（1） 先取 fx()在 [,]?TT上的部分（即把它视为仅定义在 [,]?TT上的函数），再以 2T 为周期，将它延拓为 ),( +∞?∞ 上的周期函数 fx
T
()；
（2） 对得到的周期函数 fx
T
()作 Fourier 展开；
（3） 令 T 趋于无穷大。
§ 4 Fourier变换和 Fourier积分下面叙述处理过程（但省略具体细节） 。将 Euler 公式
ii
ee
cos
2
θ θ
θ
+
=,
ii
ii
ee i
sin (e e )
2i 2
θθ
θ θ
θ
==?
代入周期为 2T 的函数 fx
T
()的 Fourier 级数，记
π
T
是圆频率（下面就简称为频率）,
π
n
n
T
ω =,得到
fx
T
()
∑
∞
=
++
1
0
)sincos(
2
~
n
nnnn
xbxa
a
ωω
ii
0
1
ee
22 2
nn
x x
nn nn
n
aab ab
ωω
∞
=
+
=+ +
∑
。
fx
T
()
∑
∞
=
++
1
0
)sincos(
2
~
n
nnnn
xbxa
a
ωω
ii
0
1
ee
22 2
nn
x x
nn nn
n
aab ab
ωω
∞
=
+
=+ +
∑
。
记
00
ac =
,
i
nn n
ca b=?
i
1
()e d
n
T
t
T
T
f tt
T
ω?
=
∫
=
c
n
（ null,2,1=n ）,
则得到
fx
T
()~
ii
0
1
1
(e e )
22
nn
x x
nn
n
c
cc
ωω
+∞
=
++
∑
i
1
e
2
n
x
n
n
c
ω
+∞
=?∞
=
∑
,
这称为 Fourier 级数的复数形式 。
将 c
n
的表达式代入，即有
fx
T
()~
ii
1
()e d e
2
nn
T
tx
T
T
n
ft t
T
ωω
+∞
=?∞
∑
∫
。
记
1
π
nn
T
ωωω
Δ =? =，于是当 T →+∞时 0→Δω,即得到
fx()= lim ( ) ~
T
T
fx
→+∞
ii
0
1
lim ( ) e d e
2π
nn
T
tx
T
T
n
ft t
ωω
ω
ω
+∞
Δ→
=?∞
Δ
∑
∫
。
记
ii
1
() ()e d e
2π
T
tx
TT
T
ft t
ω ω
ω
=
∫
，则上式可写成
fx()~
∑
+∞
∞=
→Δ
Δ
n
nT
ωω?
ω
)(lim
0
。
由于当 0→Δω 时,)(ω?
T
将随之趋于
ii
1
() ()e d e
2π
tx
ft t
ω ω
ω
+∞
∞
=
∫
，
所以将上式右端看成
．．
)(ω? 在 ),( +∞?∞ 上的“积分”,于是（形式上
．．．
） 就有
fx()~
ii
1
()e d e d
2
tx
ft t
ωω
ω
π
+∞ +∞
∞?∞
∫∫
。
将 c
n
的表达式代入，即有
fx
T
()~
ii
1
()e d e
2
nn
T
tx
T
T
n
ft t
T
ωω
+∞
=?∞
∑
∫
。
记
1
π
nn
T
ωωω
Δ =? =，于是当 T →+∞时 0→Δω,即得到
fx()= lim ( ) ~
T
T
fx
→+∞
ii
0
1
lim ( ) e d e
2π
nn
T
tx
T
T
n
ft t
ωω
ω
ω
+∞
Δ→
=?∞
Δ
∑
∫
。
记
ii
1
() ()e d e
2π
T
tx
TT
T
ft t
ω ω
ω
=
∫
，则上式可写成
fx()~
∑
+∞
∞=
→Δ
Δ
n
nT
ωω?
ω
)(lim
0
。
方括号中的函数
i
() ()e d
x
f fx x
ω
ω
+∞
∞
=
∫
（ ),( +∞?∞∈ω ）
称为 f 的 Fourier 变换（ 或 像函数）,记为 ][ fF,即
i
[]() () ()e d,
x
F ff fx
ω
ωω
+∞
∞
==
∫
方括号中的函数
i
() ()e d
x
f fx x
ω
ω
+∞
∞
=
∫
（ ),( +∞?∞∈ω ）
称为 f 的 Fourier 变换（ 或 像函数）,记为 ][ fF,即
i
[]() () ()e d,
x
F ff fx
ω
ωω
+∞
∞
==
∫
函数
i
1
()e d
2π
x
f
ω
ω ω
+∞
∞
∫
（ ),( +∞?∞∈x ）
称为 f
的 Fourier 逆变换（ 或 像原函数）,记为 ]
[
1
fF
,即
1i
1
[]() ()e d
2π
x
Ffx f
ω
ω ω
+∞
∞
=
∫
。
函数
ii
1
()e d e d
2π
tx
ft t
ωω
ω
+∞ +∞
∞?∞
∫∫
=
i( )
1
d()ed
2π
xt
f tt
ω
ω
+∞ +∞
∞?∞
∫∫
称为 f 的 Fourier 积分。
方括号中的函数
i
() ()e d
x
f fx x
ω
ω
+∞
∞
=
∫
（ ),( +∞?∞∈ω ）
称为 f 的 Fourier 变换（ 或 像函数）,记为 ][ fF,即
i
[]() () ()e d,
x
F ff fx
ω
ωω
+∞
∞
==
∫
函数
i
1
()e d
2π
x
f
ω
ω ω
+∞
∞
∫
（ ),( +∞?∞∈x ）
称为 f
的 Fourier 逆变换（ 或 像原函数）,记为 ]
[
1
fF
,即
1i
1
[]() ()e d
2π
x
Ffx f
ω
ω ω
+∞
∞
=
∫
。
容易想到，在一定条件下，它应与 fx()相等，但研究这些条件已超出本课程的要求，现在不加证明地给出以下充分条件。
定理 16.4.1 设函数 f 在 ),( +∞?∞ 上绝对可积，且在 ),( +∞?∞ 中的任何闭区间上分段可导。 则 f 的 Fourier积分满足：对于任意 ),( +∞?∞∈x
成立
i( )
1
d()ed
2π
xt
f tt
ω
ω
+∞ +∞
∞?∞
=
∫∫
2
)()(?++ xfxf
。
所谓在闭区间上分段 可导是如下定义的,
定义 16.4.1 设函数 f 在 ],[ ba 上除有限个点
<<=
10
xxa <
2
x bx
N
=<null
外均可导，而在
i
x （ ),,2,1,0 Ni null= 处 f 的左右极限 )(?
i
xf 和 )( +
i
xf 都存在（在 ax =
0
只要求右极限存在，在 bx
N
= 只要求左极限存在）,并且极限
h
xfhxf
ii
h
)()(
lim
0
+
→
和
h
xfhxf
ii
h
)()(
lim
0
+?+
+→
都存在（在 ax =
0
只要求上述第二个极限存在，在 bx
N
= 只要求上述 第一个极限存在），那么称 f 在 ],[ ba 上 分段可导 。
例 16.4.1 求孤立矩形波
>
≤
=
δ
δ
||,0
,||,
)(
x
xh
xf
（图 16.4.1）的 Fourier 变换 )(
ωf 和
)(
ωf 的 Fourier 逆变换。
解 当 0≠ω 时,
i
() ()e d
x
ffxx
ω
ω
+∞
∞
=
∫
i
ed
x
hx
δ
ω
δ
=
∫
i
e
i
x
h
δ
ω
δ
ω
=
)sin(
2
ωδ
ω
h
=,
当 0=ω 时,
(0) ( )dffxx
+∞
∞
=
∫
= 2hδ( )(
lim
0
ω
ω
f
→
= )。
y
h
δ δ x
图 16.4.1
利用熟知的结果
0
sin π
d sgn( )
2
ax
x a
x
+∞
=
∫
,
可以求得 f
的逆变换为
Ff
=
1
[
null
]
i
1
()e d
2π
x
f
ω
ω ω
+∞
∞
∫
i
sin( )
ed
π
x
h
ω
ωδ
ω
ω
+∞
∞
=
∫
0
2sin()
cos( )d
π
h
x
ωδ
ω ω
ω
+∞
=
∫
>
±=
<
=
.||
,
,||
,0
,
2
,
δ
δ
δ
x
x
x
h
h
设 fx()在 ),( +∞?∞ 上连续,且满足定理 16.4.1 的条件，则将 f 的
Fourier 积分的实部和虚部分开，得到
fx()
1
d()cos()d
2π
f txttωω
+∞ +∞
∞?∞
=?
∫∫
i
d()sin()d
2π
f txttωω
+∞ +∞
∞?∞
+?
∫∫
，
因为
def
() ()sin ( )d
s
gftxtωω
+∞
∞
=?
∫
是奇函数（其中符号“
def
=,表示“定义为” ）,而
def
() ()cos( )d
c
gftxtωω
+∞
∞
=?
∫
是偶函数，由此得到 fx()的 Fourier 积分的三角形式 （ 也称为 实形式）
fx()
0
1
d()cos()d
π
f txttωω
+∞ +∞
∞
=?
∫∫
。
当 fx()本身是偶函数时，上式又可化成
fx()
00
2
( ) cos d cos d
π
f ttt xω ωω
+∞ +∞
=
∫∫
，
它可以看成是由 Fourier 余弦变换
0
[] () ()cos d
cc
F ff fx xxωω
+∞
==
∫
及其逆变换
1
0
2
[] ()cos d
π
cc c
F ffxω ωω
+∞
=
∫
复合而成的。
当 fx()本身是奇函数时，可以类似地得到
fx()
00
2
( )sin d sin d
π
ft tt xω ωω
+∞ +∞
=
∫∫
,
它可以看成是由 Fourier 正弦变换
0
[] () ()sin d
ss
F ff fx xxωω
+∞
==
∫
及其逆变换
1
0
2
[] ()sin d
π
ss s
F ffxω ωω
+∞
=
∫
复合而成的。
例 16.4.2 求 () e sin
x
f xx
= （ ),0[ +∞∈x ）的余弦变换。
解 由 Fourier 余弦变换公式，得到
0
esincos d
x
x xxω
+∞
∫
0
1
e [sin(1 ) sin(1 ) ]d
2
x
x xxωω
+∞
=++?
∫
∞+
+
+?
++
++++?
=
0
22
)1(1
])1cos()1()1[sin(e
)1(1
])1cos()1()1[sin(e
2
1
ω
ωωω
ω
ωωω xxxx
xx
+
+
++
+
=
22
)1(1
1
)1(1
1
2
1
ω
ω
ω
ω
4
4
2
ω
ω
+
= 。
Fourier 变换的性质
Fourier 变换和 Fourier 逆变换的下列性质对于理论分析和实际计算都很重要。
⑴ 线性性质
设
21
,cc 是常数。若 gf,的 Fourier 变换存在，则
][][][
2121
gFcfFcgcfcF +=+ ；
若 ][?],[
gFgfFf == 的 Fourier 逆变换存在，则
]?[]
[]?
[
1
2
1
121
1
gFcfFcgcfcF
+=+ 。
(2) 位移性质
若函数 f 的 Fourier 变换存在，则
0
i
0
[ ( )]( ) [ ]( ) e
x
Ffx x Ff
ω
ωω
±
±= ；
若 ][
fFf = 的 Fourier 逆变换存在，则
0
i11
0
[ ( )]( ) [ ]( )e
x
Ff xFfx
ω
ωω
±=
。
注 以上两式常简记为
0
i
0
[( )] []e
x
Ffx x Ff
ω±
±= ；
0
i11
0
[( )] []e
x
Ff Ff
ω
ωω
±=
。
(3) 时间尺度性：
=
a
f
a
axfF
ω
||
1
)]([ ；
频率尺度性,)(
1
ωaf
a
x
f
a
F =
。
(2) 位移性质
若函数 f 的 Fourier 变换存在，则
0
i
0
[ ( )]( ) [ ]( ) e
x
Ffx x Ff
ω
ωω
±
±= ；
若 ][
fFf = 的 Fourier 逆变换存在，则
0
i11
0
[ ( )]( ) [ ]( )e
x
Ff xFfx
ω
ωω
±=
。
注 以上两式常简记为
0
i
0
[( )] []e
x
Ffx x Ff
ω±
±= ；
0
i11
0
[( )] []e
x
Ff Ff
ω
ωω
±=
。
(4) 微分性质
1）设函数 )(xf 在 ),( +∞?∞ 上连续可导，且绝对可积。 若
0)(lim =
∞→
xf
x
，则有
[]i []F fFfω
′
=? ；
2）若 )(xf 和 )(xxf 在 ),( +∞?∞ 上绝对可积，则
[i ]F xf = )][(
′
fF 。
证 1） 由分部积分公式,
=′ ))(][ ωfF
i
()e d
x
f xx
ω
+∞
∞
′
∫
i
()e
x
fx
ω
+∞
∞
= +
i
i()ed
x
f xx
ω
ω
+∞
∞
∫
i[]()Ffω ω=? 。
2） [i ]( )Fxfω=
i
(i ())e d
x
xf xx
ω
+∞
∞
∫
i
d
(()e )d
d
x
f xx
ω
ω
+∞
∞
=
∫
i
dd
()e d [ ( )]( )
x
fx x Ff
ω
ω
ωω
+∞
∞
==
∫
(5) 积分性质
设函数 )(xf 和 ()d
x
f tt
∞
∫
在 ),( +∞?∞ 上绝对可积,则
()d
x
F ft t
∞
∫
1
[]
i
F f
ω
= 。
证 因为
d
()d ( )
d
x
f tt fx
x
∞
=
∫
,
且由 ()d
x
f tt
∞
∫
和 )(xf 在 ),( +∞?∞ 上的绝对可积性，易知 lim ( )d 0
x
x
f tt
∞→∞
=
∫
，
所以由 Fourier 变换的微分性质，得到
d
[ ]( ) ()d ( ) i ()d ( )
d
xx
Ff F ftt F ftt
x
ω ωω ω
∞?∞
==
∫∫
,
即
()d ( )
x
Ffttω
∞
∫
1
[]()
i
Ff ω
ω
= 。
卷积
定义 16.4.2 设函数 f 和 g 在 ),( +∞?∞ 上定义，且积分
()() ()()df gx ftgxt t
+∞
∞
=?
∫
存在，则称函数 gf? 为 f 和 g 的 卷积。
显然，卷积具有对称性，即 fggf?=? 。
关于卷积有下述两个重要的定理。
定理 16.4.2 （ 卷积的 Fourier 变换） 设函数 f 和 g 在 ),( +∞?∞ 上绝对可积，则有
][][][ gFfFgfF?=? 。
定理 16.4.3（ Parseval 等式）设函数 f 在 ),( +∞?∞ 上绝对可积,
且
2
[()]df xx
+∞
∞
∫
收敛。记 f 的 Fourier 变换为 f
，则
22
1
[()]d |()|d
2π
fx x fω ω
+∞ +∞
∞?∞
=
∫∫
。
卷积
定义 16.4.2 设函数 f 和 g 在 ),( +∞?∞ 上定义，且积分
()() ()()df gx ftgxt t
+∞
∞
=?
∫
存在，则称函数 gf? 为 f 和 g 的 卷积。
显然，卷积具有对称性，即 fggf?=? 。
例 16.4.3 求解微分方程
0)(2)()(
2
=+?
′′
xafxuaxu （ a > 0 为常数,),( +∞?∞∈x ）。
解 由 Fourier 变换的微分性质，得到
2
[]i [] []F uFu Fuωω
′′ ′
==?。
对方程两边作 Fourier 变换，整理后即有
][
2
][
22
fF
a
a
uF
ω+
= 。
利用本节习题 1（ 2） 的结果
22
||
2
][e
ω+
=
a
a
F
xa
（ a > 0 ） 和定理 16.4.2
的结论，得到
+
=
][
2
)(
22
1
fF
a
a
Fxu
ω
*
2
22
1
+
=
ωa
a
F FFf
1
[[]]
||
e*
xa
f
=
||
()e d
ax t
f tt
+∞
∞
=
∫
。
前面关于 Fourier 级数的论述都是对周期函数而言的，那么对 于非周期函数，又该如何处理呢？
在 ),( +∞?∞ 上可积的非周期函数 fx()可以看成是周期函数的极 限情况，处理思路是这样的,
（1） 先取 fx()在 [,]?TT上的部分（即把它视为仅定义在 [,]?TT上的函数），再以 2T 为周期，将它延拓为 ),( +∞?∞ 上的周期函数 fx
T
()；
（2） 对得到的周期函数 fx
T
()作 Fourier 展开；
（3） 令 T 趋于无穷大。
§ 4 Fourier变换和 Fourier积分下面叙述处理过程（但省略具体细节） 。将 Euler 公式
ii
ee
cos
2
θ θ
θ
+
=,
ii
ii
ee i
sin (e e )
2i 2
θθ
θ θ
θ
==?
代入周期为 2T 的函数 fx
T
()的 Fourier 级数，记
π
T
是圆频率（下面就简称为频率）,
π
n
n
T
ω =,得到
fx
T
()
∑
∞
=
++
1
0
)sincos(
2
~
n
nnnn
xbxa
a
ωω
ii
0
1
ee
22 2
nn
x x
nn nn
n
aab ab
ωω
∞
=
+
=+ +
∑
。
fx
T
()
∑
∞
=
++
1
0
)sincos(
2
~
n
nnnn
xbxa
a
ωω
ii
0
1
ee
22 2
nn
x x
nn nn
n
aab ab
ωω
∞
=
+
=+ +
∑
。
记
00
ac =
,
i
nn n
ca b=?
i
1
()e d
n
T
t
T
T
f tt
T
ω?
=
∫
=
c
n
（ null,2,1=n ）,
则得到
fx
T
()~
ii
0
1
1
(e e )
22
nn
x x
nn
n
c
cc
ωω
+∞
=
++
∑
i
1
e
2
n
x
n
n
c
ω
+∞
=?∞
=
∑
,
这称为 Fourier 级数的复数形式 。
将 c
n
的表达式代入，即有
fx
T
()~
ii
1
()e d e
2
nn
T
tx
T
T
n
ft t
T
ωω
+∞
=?∞
∑
∫
。
记
1
π
nn
T
ωωω
Δ =? =，于是当 T →+∞时 0→Δω,即得到
fx()= lim ( ) ~
T
T
fx
→+∞
ii
0
1
lim ( ) e d e
2π
nn
T
tx
T
T
n
ft t
ωω
ω
ω
+∞
Δ→
=?∞
Δ
∑
∫
。
记
ii
1
() ()e d e
2π
T
tx
TT
T
ft t
ω ω
ω
=
∫
，则上式可写成
fx()~
∑
+∞
∞=
→Δ
Δ
n
nT
ωω?
ω
)(lim
0
。
由于当 0→Δω 时,)(ω?
T
将随之趋于
ii
1
() ()e d e
2π
tx
ft t
ω ω
ω
+∞
∞
=
∫
，
所以将上式右端看成
．．
)(ω? 在 ),( +∞?∞ 上的“积分”,于是（形式上
．．．
） 就有
fx()~
ii
1
()e d e d
2
tx
ft t
ωω
ω
π
+∞ +∞
∞?∞
∫∫
。
将 c
n
的表达式代入，即有
fx
T
()~
ii
1
()e d e
2
nn
T
tx
T
T
n
ft t
T
ωω
+∞
=?∞
∑
∫
。
记
1
π
nn
T
ωωω
Δ =? =，于是当 T →+∞时 0→Δω,即得到
fx()= lim ( ) ~
T
T
fx
→+∞
ii
0
1
lim ( ) e d e
2π
nn
T
tx
T
T
n
ft t
ωω
ω
ω
+∞
Δ→
=?∞
Δ
∑
∫
。
记
ii
1
() ()e d e
2π
T
tx
TT
T
ft t
ω ω
ω
=
∫
，则上式可写成
fx()~
∑
+∞
∞=
→Δ
Δ
n
nT
ωω?
ω
)(lim
0
。
方括号中的函数
i
() ()e d
x
f fx x
ω
ω
+∞
∞
=
∫
（ ),( +∞?∞∈ω ）
称为 f 的 Fourier 变换（ 或 像函数）,记为 ][ fF,即
i
[]() () ()e d,
x
F ff fx
ω
ωω
+∞
∞
==
∫
方括号中的函数
i
() ()e d
x
f fx x
ω
ω
+∞
∞
=
∫
（ ),( +∞?∞∈ω ）
称为 f 的 Fourier 变换（ 或 像函数）,记为 ][ fF,即
i
[]() () ()e d,
x
F ff fx
ω
ωω
+∞
∞
==
∫
函数
i
1
()e d
2π
x
f
ω
ω ω
+∞
∞
∫
（ ),( +∞?∞∈x ）
称为 f
的 Fourier 逆变换（ 或 像原函数）,记为 ]
[
1
fF
,即
1i
1
[]() ()e d
2π
x
Ffx f
ω
ω ω
+∞
∞
=
∫
。
函数
ii
1
()e d e d
2π
tx
ft t
ωω
ω
+∞ +∞
∞?∞
∫∫
=
i( )
1
d()ed
2π
xt
f tt
ω
ω
+∞ +∞
∞?∞
∫∫
称为 f 的 Fourier 积分。
方括号中的函数
i
() ()e d
x
f fx x
ω
ω
+∞
∞
=
∫
（ ),( +∞?∞∈ω ）
称为 f 的 Fourier 变换（ 或 像函数）,记为 ][ fF,即
i
[]() () ()e d,
x
F ff fx
ω
ωω
+∞
∞
==
∫
函数
i
1
()e d
2π
x
f
ω
ω ω
+∞
∞
∫
（ ),( +∞?∞∈x ）
称为 f
的 Fourier 逆变换（ 或 像原函数）,记为 ]
[
1
fF
,即
1i
1
[]() ()e d
2π
x
Ffx f
ω
ω ω
+∞
∞
=
∫
。
容易想到，在一定条件下，它应与 fx()相等，但研究这些条件已超出本课程的要求，现在不加证明地给出以下充分条件。
定理 16.4.1 设函数 f 在 ),( +∞?∞ 上绝对可积，且在 ),( +∞?∞ 中的任何闭区间上分段可导。 则 f 的 Fourier积分满足：对于任意 ),( +∞?∞∈x
成立
i( )
1
d()ed
2π
xt
f tt
ω
ω
+∞ +∞
∞?∞
=
∫∫
2
)()(?++ xfxf
。
所谓在闭区间上分段 可导是如下定义的,
定义 16.4.1 设函数 f 在 ],[ ba 上除有限个点
<<=
10
xxa <
2
x bx
N
=<null
外均可导，而在
i
x （ ),,2,1,0 Ni null= 处 f 的左右极限 )(?
i
xf 和 )( +
i
xf 都存在（在 ax =
0
只要求右极限存在，在 bx
N
= 只要求左极限存在）,并且极限
h
xfhxf
ii
h
)()(
lim
0
+
→
和
h
xfhxf
ii
h
)()(
lim
0
+?+
+→
都存在（在 ax =
0
只要求上述第二个极限存在，在 bx
N
= 只要求上述 第一个极限存在），那么称 f 在 ],[ ba 上 分段可导 。
例 16.4.1 求孤立矩形波
>
≤
=
δ
δ
||,0
,||,
)(
x
xh
xf
（图 16.4.1）的 Fourier 变换 )(
ωf 和
)(
ωf 的 Fourier 逆变换。
解 当 0≠ω 时,
i
() ()e d
x
ffxx
ω
ω
+∞
∞
=
∫
i
ed
x
hx
δ
ω
δ
=
∫
i
e
i
x
h
δ
ω
δ
ω
=
)sin(
2
ωδ
ω
h
=,
当 0=ω 时,
(0) ( )dffxx
+∞
∞
=
∫
= 2hδ( )(
lim
0
ω
ω
f
→
= )。
y
h
δ δ x
图 16.4.1
利用熟知的结果
0
sin π
d sgn( )
2
ax
x a
x
+∞
=
∫
,
可以求得 f
的逆变换为
Ff
=
1
[
null
]
i
1
()e d
2π
x
f
ω
ω ω
+∞
∞
∫
i
sin( )
ed
π
x
h
ω
ωδ
ω
ω
+∞
∞
=
∫
0
2sin()
cos( )d
π
h
x
ωδ
ω ω
ω
+∞
=
∫
>
±=
<
=
.||
,
,||
,0
,
2
,
δ
δ
δ
x
x
x
h
h
设 fx()在 ),( +∞?∞ 上连续,且满足定理 16.4.1 的条件，则将 f 的
Fourier 积分的实部和虚部分开，得到
fx()
1
d()cos()d
2π
f txttωω
+∞ +∞
∞?∞
=?
∫∫
i
d()sin()d
2π
f txttωω
+∞ +∞
∞?∞
+?
∫∫
，
因为
def
() ()sin ( )d
s
gftxtωω
+∞
∞
=?
∫
是奇函数（其中符号“
def
=,表示“定义为” ）,而
def
() ()cos( )d
c
gftxtωω
+∞
∞
=?
∫
是偶函数，由此得到 fx()的 Fourier 积分的三角形式 （ 也称为 实形式）
fx()
0
1
d()cos()d
π
f txttωω
+∞ +∞
∞
=?
∫∫
。
当 fx()本身是偶函数时，上式又可化成
fx()
00
2
( ) cos d cos d
π
f ttt xω ωω
+∞ +∞
=
∫∫
，
它可以看成是由 Fourier 余弦变换
0
[] () ()cos d
cc
F ff fx xxωω
+∞
==
∫
及其逆变换
1
0
2
[] ()cos d
π
cc c
F ffxω ωω
+∞
=
∫
复合而成的。
当 fx()本身是奇函数时，可以类似地得到
fx()
00
2
( )sin d sin d
π
ft tt xω ωω
+∞ +∞
=
∫∫
,
它可以看成是由 Fourier 正弦变换
0
[] () ()sin d
ss
F ff fx xxωω
+∞
==
∫
及其逆变换
1
0
2
[] ()sin d
π
ss s
F ffxω ωω
+∞
=
∫
复合而成的。
例 16.4.2 求 () e sin
x
f xx
= （ ),0[ +∞∈x ）的余弦变换。
解 由 Fourier 余弦变换公式，得到
0
esincos d
x
x xxω
+∞
∫
0
1
e [sin(1 ) sin(1 ) ]d
2
x
x xxωω
+∞
=++?
∫
∞+
+
+?
++
++++?
=
0
22
)1(1
])1cos()1()1[sin(e
)1(1
])1cos()1()1[sin(e
2
1
ω
ωωω
ω
ωωω xxxx
xx
+
+
++
+
=
22
)1(1
1
)1(1
1
2
1
ω
ω
ω
ω
4
4
2
ω
ω
+
= 。
Fourier 变换的性质
Fourier 变换和 Fourier 逆变换的下列性质对于理论分析和实际计算都很重要。
⑴ 线性性质
设
21
,cc 是常数。若 gf,的 Fourier 变换存在，则
][][][
2121
gFcfFcgcfcF +=+ ；
若 ][?],[
gFgfFf == 的 Fourier 逆变换存在，则
]?[]
[]?
[
1
2
1
121
1
gFcfFcgcfcF
+=+ 。
(2) 位移性质
若函数 f 的 Fourier 变换存在，则
0
i
0
[ ( )]( ) [ ]( ) e
x
Ffx x Ff
ω
ωω
±
±= ；
若 ][
fFf = 的 Fourier 逆变换存在，则
0
i11
0
[ ( )]( ) [ ]( )e
x
Ff xFfx
ω
ωω
±=
。
注 以上两式常简记为
0
i
0
[( )] []e
x
Ffx x Ff
ω±
±= ；
0
i11
0
[( )] []e
x
Ff Ff
ω
ωω
±=
。
(3) 时间尺度性：
=
a
f
a
axfF
ω
||
1
)]([ ；
频率尺度性,)(
1
ωaf
a
x
f
a
F =
。
(2) 位移性质
若函数 f 的 Fourier 变换存在，则
0
i
0
[ ( )]( ) [ ]( ) e
x
Ffx x Ff
ω
ωω
±
±= ；
若 ][
fFf = 的 Fourier 逆变换存在，则
0
i11
0
[ ( )]( ) [ ]( )e
x
Ff xFfx
ω
ωω
±=
。
注 以上两式常简记为
0
i
0
[( )] []e
x
Ffx x Ff
ω±
±= ；
0
i11
0
[( )] []e
x
Ff Ff
ω
ωω
±=
。
(4) 微分性质
1）设函数 )(xf 在 ),( +∞?∞ 上连续可导，且绝对可积。 若
0)(lim =
∞→
xf
x
，则有
[]i []F fFfω
′
=? ；
2）若 )(xf 和 )(xxf 在 ),( +∞?∞ 上绝对可积，则
[i ]F xf = )][(
′
fF 。
证 1） 由分部积分公式,
=′ ))(][ ωfF
i
()e d
x
f xx
ω
+∞
∞
′
∫
i
()e
x
fx
ω
+∞
∞
= +
i
i()ed
x
f xx
ω
ω
+∞
∞
∫
i[]()Ffω ω=? 。
2） [i ]( )Fxfω=
i
(i ())e d
x
xf xx
ω
+∞
∞
∫
i
d
(()e )d
d
x
f xx
ω
ω
+∞
∞
=
∫
i
dd
()e d [ ( )]( )
x
fx x Ff
ω
ω
ωω
+∞
∞
==
∫
(5) 积分性质
设函数 )(xf 和 ()d
x
f tt
∞
∫
在 ),( +∞?∞ 上绝对可积,则
()d
x
F ft t
∞
∫
1
[]
i
F f
ω
= 。
证 因为
d
()d ( )
d
x
f tt fx
x
∞
=
∫
,
且由 ()d
x
f tt
∞
∫
和 )(xf 在 ),( +∞?∞ 上的绝对可积性，易知 lim ( )d 0
x
x
f tt
∞→∞
=
∫
，
所以由 Fourier 变换的微分性质，得到
d
[ ]( ) ()d ( ) i ()d ( )
d
xx
Ff F ftt F ftt
x
ω ωω ω
∞?∞
==
∫∫
,
即
()d ( )
x
Ffttω
∞
∫
1
[]()
i
Ff ω
ω
= 。
卷积
定义 16.4.2 设函数 f 和 g 在 ),( +∞?∞ 上定义，且积分
()() ()()df gx ftgxt t
+∞
∞
=?
∫
存在，则称函数 gf? 为 f 和 g 的 卷积。
显然，卷积具有对称性，即 fggf?=? 。
关于卷积有下述两个重要的定理。
定理 16.4.2 （ 卷积的 Fourier 变换） 设函数 f 和 g 在 ),( +∞?∞ 上绝对可积，则有
][][][ gFfFgfF?=? 。
定理 16.4.3（ Parseval 等式）设函数 f 在 ),( +∞?∞ 上绝对可积,
且
2
[()]df xx
+∞
∞
∫
收敛。记 f 的 Fourier 变换为 f
，则
22
1
[()]d |()|d
2π
fx x fω ω
+∞ +∞
∞?∞
=
∫∫
。
卷积
定义 16.4.2 设函数 f 和 g 在 ),( +∞?∞ 上定义，且积分
()() ()()df gx ftgxt t
+∞
∞
=?
∫
存在，则称函数 gf? 为 f 和 g 的 卷积。
显然，卷积具有对称性，即 fggf?=? 。
例 16.4.3 求解微分方程
0)(2)()(
2
=+?
′′
xafxuaxu （ a > 0 为常数,),( +∞?∞∈x ）。
解 由 Fourier 变换的微分性质，得到
2
[]i [] []F uFu Fuωω
′′ ′
==?。
对方程两边作 Fourier 变换，整理后即有
][
2
][
22
fF
a
a
uF
ω+
= 。
利用本节习题 1（ 2） 的结果
22
||
2
][e
ω+
=
a
a
F
xa
（ a > 0 ） 和定理 16.4.2
的结论，得到
+
=
][
2
)(
22
1
fF
a
a
Fxu
ω
*
2
22
1
+
=
ωa
a
F FFf
1
[[]]
||
e*
xa
f
=
||
()e d
ax t
f tt
+∞
∞
=
∫
。
