§ 2 数列极限数列与数列极限
数列 是指按正整数编了号的一串数,
xx x
n12
,,,, " ",
通常表示成{ x
n
}，其中 x
n
称为该数列的 通项 。
数列的例子,
n
1
,1,
1
2
,
1
3
,…，
1
n
,…；
+3n
n
,
1
4
,
2
5
,
3
6
,…，
n
n+ 3
,…；
{ }
2
n
,1,4,9,…,n
2
,…；
{ }
n
)1(?,-1,1,-1,1,…,()?1
n
，…。
数列与数列极限
数列 是指按正整数编了号的一串数,
xx x
n12
,,,, " ",
通常表示成{ x
n
}，其中 x
n
称为该数列的 通项 。
§ 2 数列极限注 尽管数列与数集的记号是类似的，但两者的概念是有区别的。在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成是同一个元素；但在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不能颠倒，重复出现的数不能随便舍去。
中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率
π（即圆的周长与直径之比），采用单位圆的内接正 n边形的半周 长
n
L 去逼近它。就如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少；割之又割，
以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
极限的定义
定义2.2.1 设 {}x
n
是一给定数列,a是一个实常数。 如果对于任意给定的 0ε >,可以找到正整数 N,使得当 n N> 时，成立
｜ x
n
a｜ ε<,
则称数列 {}x
n
收敛于 a（或 a是数列 {}x
n
的 极限），记为
lim
n→∞
x
n
= a,
有时也记为
x
n
→ a (n→∞)。
如果不存在实数 a,使{ x
n
}收敛于 a,则称数列 {}x
n
发散。
注
（1）取以 a为中心,ε 为半径的一个开区间 ),( εε +? aa,称它为点 a的 ε 邻域，记为 ),( εaO,
),( εaO }|{ εε +<<?= axax 。
“当 n N> 时，成立｜ x
n
a｜ ε<,表示数列中从 N +1项起的所 有的项都落在点 a的 ε 邻域中，即
(,),
n
xOa nNε∈ > 。
由于 ε 具有任意性，也就是说邻域 ),( εaO 的长度可以任意收缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在这 个邻域中，所以不难理解,a必为这个数列的极限值。
注
（1）取以 a为中心,ε 为半径的一个开区间 ),( εε +? aa,称它为点 a的 ε 邻域,记为 ),( εaO,
),( εaO }|{ εε +<<?= axax 。
“当 n N> 时，成立｜ x
n
a｜ ε<,表示数列中从 N +1项起的所 有的项都落在点 a的 ε 邻域中，即
(,),
n
xOa nNε∈ > 。
注
（2）在上述的定义中,ε 既是任意的，又是给定的。因为只有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
（3）从极限的定义可知，一个数列 {}x
n
收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。
注
（2）在上述的定义中,ε 既是任意的，又是给定的。因为只有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
例2.2.1 证明数列
+3n
n
的极限为 1。
证 对任意给定的 0ε >,要使
1
3
+n
n
=
+
3
3n
ε<,
只须
3
3
>
ε
n 。
取 1
3
+
=
ε
N,其中 ][x 表示 x的整数部分，则当 n N> 时，必有
3
3n
ε
>?，于是成立
1
3
+n
n
=
+
3
3n
ε< 。
显然，下面两数列
{n
2
},1，4，9，…,n
2
,…
{()?1
n
},-1,1,-1,1,…
是发散数列。
显然，下面两数列
{n
2
},1，4，9，…,n
2
,…
{()?1
n
},-1,1,-1,1,…
是发散数列。
无穷小量
极限为 0的数列称为 无穷小量,例如数列
n
1
,
+
1
)1(
2
n
n
都是无穷小量。
lim { }
nn
n
xa xa
→∞
=是无穷小量。
例2.2.2 证明{ q
n
}( 1||0 << q ) 是无穷小量。
证 对任意给定的 0ε >,要找正整数 N,使得当 n N> 时,成立
=? |0|
n
q
n
q || ε<,
对上式两边取对数，即得
n >
||lg
lg
q
ε
。
为保证 N 为正整数，可取
= 1,
||lg
lg
max
q
N
ε
,则当 n N> 时，成立
=? |0|
n
q
n
q || <
||lg
lg
||
q
q
ε
ε= 。
因此 0lim =
∞→
n
n
q,即{ q
n
}是无穷小量。
注
（1）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值很小的 0ε >,不妨考虑任意给定的 q<<ε0,则 N 可取为
||lg
lg
q
ε
，当
n N> 时，成立 |0|
n
q ε? < 。
（2）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对任意给定的 0>ε 寻找正整数 N 。在上面的两例题中,N 都是通过解不等式
n
xaε?<而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的正整数N,所以在证明中常常对 适度地做一些放大处理，
这是一种常用的技巧。
n
x a?
注
（1）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值很小的 0ε >,不妨考虑任意给定的 q<<ε0,则 N 可取为
||lg
lg
q
ε
，当
n N> 时，成立 |0|
n
q ε? < 。
例 2.2.3 设 a >1，证明,lim
n→∞
a
n
= 1。
证 令 ay
n
n
=+1,y
n
0> ( ",3,2=n )，
应用二项式定理，
n
n
nnn
n
n
nyyy
nn
nyya +>++
++=+= 1
2
)1(
1)1(
2
"，
便得到
1?
n
a ||
n
y= <
a
n
1
。
例 2.2.3 设 a >1，证明,lim
n→∞
a
n
= 1。
证 令 ay
n
n
=+1,y
n
0> ( ",3,2=n )，
应用二项式定理，
n
n
nnn
n
n
nyyy
nn
nyya +>++
++=+= 1
2
)1(
1)1(
2
"，
便得到
1?
n
a ||
n
y= <
a
n
1
。
于是，对于任意给定的 0ε >,取
1a
N
ε
=
，当 n N> 时，成立
1?
n
a <
a
n
1
ε< 。
因此 lim
n→∞
a
n
= 1。
例2.2.4 证明,lim
n→∞
n
n
= 1。
证 令 ny
n
n
=+1,y
n
0> ( ",3,2=n )，应用二项式定理得
22
2
)1(
1
2
)1(
1)1(
n
n
nnn
n
n
y
nn
yy
nn
nyyn
+>++
++=+= ",
即得到
1?
n
n ||
n
y=
n
2
< 。
于是，对于任意给定的 0ε >,取
=
2
2
ε
N,当 n N> 时，成立
1?
n
n <
2
n
ε< 。
因此 lim
n→∞
n
n
= 1。
于是，对于任意给定的 0ε >,取
=
2
2
ε
N,当 n N> 时，成立
1?
n
n <
2
n
ε< 。
因此 lim
n→∞
n
n
= 1。
同理可知 lim
n→∞
11,2,3
n k
nk== "。
例2.2.4 证明,lim
n→∞
n
n
= 1。
证 令 ny
n
n
=+1,y
n
0> ( ",3,2=n )，应用二项式定理得
22
2
)1(
1
2
)1(
1)1(
n
n
nnn
n
n
y
nn
yy
nn
nyyn
+>++
++=+= ",
即得到
1?
n
n ||
n
y=
n
2
< 。
例2.2.5 证明,lim
n→∞
n
nn
2
2
1
27
1
2
+
= 。
证 首先有
2
1
72
1
2
2
+
nn
n
=
)72(2
27
+
nn
n
。
显然当 n > 6时,
<
+
)72(2
27
nn
n
8
2
4
2
n
n n
=,
于是，对任意给定的 0ε >,取
=
ε
4
,6maxN,当 n N> 时，成立
2
1
72
1
2
2
+
nn
n
<
4
n
ε< 。
因此
lim
n→∞
n
nn
2
2
1
27
1
2
+
= 。
注意：上述不等式的放大，是在条件,n > 6”前题下才成立，
所以在取 N 时，必须要求
≥
ε
4
N 与 6≥N 同时成立。
例2.2.6 证明：若 lim
n→∞
a
n
= a,则
lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + + "
= a。
证 先假设 a = 0,即｛ a
n
｝是无穷小量，则对任意给定的 0>ε,
存在正整数 N
1
，当 nN>
1
时，成立 <||
n
a
2
ε
。
现在,aa a
N12
1
+ + + "是一个固定的数，因此可以取 NN>
1
,使 得当 n N> 时成立
n
aaa
N
1
21
+++ "
2
ε
< 。
于是，利用三角不等式，就得到
n
aaa
n
+++ "
21
+
+++
=
n
aaa
N
1
21
"
n
aaa
nNN
+++
++
"
21
11
+
+++
≤
n
aaa
N
1
21
"
n
aaa
nNN
+++
++
"
21
11
< ε
εε
=+
22
。
例2.2.6 证明：若 lim
n→∞
a
n
= a,则
lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + + "
= a。
证 先假设 a = 0,即｛ a
n
｝是无穷小量，则对任意给定的 0>ε,
存在正整数 N
1
，当 nN>
1
时，成立 <||
n
a
2
ε
。
现在,aa a
N12
1
+ + + "是一个固定的数，因此可以取 NN>
1
,使 得当 n N> 时成立
n
aaa
N
1
21
+++ "
2
ε
< 。
当 a ≠ 0时，则{ aa
n
}是无穷小量，于是
lim
n→∞
+++
a
n
aaa
n
"
21
= lim
n→∞
()()()aa aa aa
n
n12
0
+? + +?
=
"
,
此即
lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + + "
= a。
数列极限的性质
为了表达上的方便，通常采用前面已经介绍过的记号,?”
与,?”,
将“对于任意给定的 0ε >,写成,0ε?>”,
将“可以找到正整数N”（即“存在正整数N”）写成,N?,，
将“当 nN> 时”（即“对于每一个 nN>,）写成,nN? >,，
于是就有下述的符号表述法,
lim
n→∞
n
x a=? 0ε? >,? N,? >nN：｜
n
x a? ｜ ε< 。
(1) 极限的唯一性
定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一。
证 假设 {}x
n
有极限 a与 b，根据极限的定义,0ε? >,
N
1
,? >nN
1
:｜ x
n
a｜
2
ε
< ；
N
2
,? >nN
2
:｜ x
n
b｜
2
ε
< 。
取 NNN= max{,}
12
,利用三角不等式，则? >nN,
｜ ab? ｜ =｜
nn
ax x b? +?｜
≤｜
n
xa? ｜ +｜ x
n
b｜
22
ε ε
ε<+=。
由 ε 可以任意接近于 0，即知 ab= 。
证 毕
(2) 数列的有界性
对于数列 {}x
n
，如果存在实数 M，使数列的所有的项都满足
x
n
≤ M,n = 123,,, ",
则称 M是数列 {}x
n
的上界。如果存在实数 m，使数列的所有的项都满足
m≤ x
n
,n = 123,,, ",
则称 m是数列 {}x
n
的下界。
一个数列 {}x
n
,若既有上界又有下界，则称之为 有界数列 。显然数列 {}x
n
有界的一个等价定义是：存在正实数 X，使数列的所 有项都满足
｜ x
n
｜ ≤ X,n = 123,,, "。
定理2.2.2 收敛数列必有界。
证 设数列 {}x
n
收敛，极限为 a，由极限的定义，取 ε = 1,则
N,? >nN：｜ x
n
a｜ 1<,即
axa
n
< < +11。
取 }1,,,,max{
21
+= axxxM
N
",}1,,,,min{
21
= axxxm
N
"，则对 {}x
n
所有的项，成立
m≤ x
n
≤ M,n = 123,,, "。
证毕
注 定理2.2.2的逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如｛ ()?1
n
｝是有界数列，但它并不收敛。
定理2.2.2 收敛数列必有界。
证 设数列 {}x
n
收敛，极限为 a，由极限的定义，取 ε = 1,则
N,? >nN：｜ x
n
a｜ 1<,即
axa
n
< < +11。
取 }1,,,,max{
21
+= axxxM
N
",}1,,,,min{
21
= axxxm
N
"，则对 {}x
n
所有的项，成立
m≤ x
n
≤ M,n = 123,,, "。
证毕
(3) 数列的保序性
定理2.2.3 设数列 {}x
n
,{}y
n
均收敛，若 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b，
且 ab<,则存在正整数 N,当 n N> 时，成立
x
n
< y
n
。
证 取 0
2
ba
ε
=>。由 lim
n→∞
x
n
= a,? N
1
,? >nN
1
:｜
n
x a? ｜
<
ba
2
，因而
x
n
<+
a
ba
2
=
+ab
2；
而由 lim
n→∞
y
n
=b,? N
2
,? >nN
2
:｜ y
n
b｜ <
ba
2
,因而
y
n
>?
b
ba
2
=
+ab
2
。
取 NNN= max{,}
12
,? >nN,
x
n
<
+
<
ab
2
y
n
。
证 毕推论
(1)若 lim
n→∞
y
n
=b 0>,则存在正整数 N,当 n N> 时,
y
n
＞ 0
2
>
b；
(2)若 lim
n→∞
y
n
=b 0<,则存在正整数 N,当 n N> 时,
y
n
0
2
<<
b
。
这说明若数列{ y
n
}收敛且极限不为 0,则当 n 充分大时,
y
n
与 0的距离不能任意小。
注 定理 2.2.3 的逆命题同样不成立。如果 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b,
且 x
n n
y< 对 n N> 成立，我们并不能得出 ab< 的结论。
反例：数列 x
n
=
1
n
与 y
n
=
2
n
。
事实上只能有如下结论,
,若 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b,且 x
n
≤ y
n
对 n N> 成立,则 ab≤ 。”
推论
(1)若 lim
n→∞
y
n
=b 0>,则存在正整数 N,当 n N> 时,
y
n
＞ 0
2
>
b；
(2)若 lim
n→∞
y
n
=b 0<,则存在正整数 N,当 n N> 时,
y
n
0
2
<<
b
。
这说明若数列{ y
n
}收敛且极限不为 0,则当 n 充分大时,
y
n
与 0的距离不能任意小。
(4) 极限的夹逼性
定理2.2.4 若三个数列 }{
n
x,}{
n
y,}{
n
z 从某项开始成立
n
x ≤
n
y ≤
n
z,
0
Nn >,
且
∞→n
lim
n
x =
∞→n
lim
n
z a=,则
∞→n
lim
n
y a= 。
证 0>?ε,由 lim
n→∞
n
x = a，可知
1
N?,? >nN
1
∶｜ x
n
a｜ ε<,
从而有 a ε? < x
n；
由 lim
n→∞
z
n
= a，可知? N
2
,? >nN
2
∶｜ z
n
a｜ ε<,从而有
z
n
a ε< + 。
取 },,max{
210
NNNN =,? >nN∶
a ε? <
nnn
xyz≤ ≤ a ε< +,
此即
｜ y
n
a｜ ε<,
所以
lim
n→∞
y
n
= a。 证毕在应用夹逼性求极限时,｛ y
n
｝ 是要求极限的数列,而{ x
n
},{z
n
往往是通过适当缩小与适当放大而得到的数列。关键在于在适当缩小与适当放大后保持 {}x
n
与{ z
n
}具有相同极限。
例2.2.7 求数列{ nn+?1 }的极限。
解 首先有
nn+?1 =
+? ++
++
()()nnnn
nn
11
1
=
++
1
1nn
。
取 0=
n
x,y
n
= nn+?1,z
n
=
1
n
，则有
x
n
<<
n
y z
n
,
且
lim
n→∞
x
n
=lim
n→∞
0=
n
z 。
利用极限的夹逼性，得到
lim( 1 ) 0
n
nn
→∞
+?=。
在应用夹逼性求极限时,｛ y
n
｝ 是要求极限的数列,而{ x
n
},{z
n
往往是通过适当缩小与适当放大而得到的数列。关键在于在适当缩小与适当放大后保持 {}x
n
与{ z
n
}具有相同极限。
例2.2.8 证明,
lim
n→∞
()aa a
nn
p
n
n
12
1
+++ "{ }
i
pi
a
≤≤
=
1
max,
其中 a
i
≥ 0(ip= 123,,,, ")。
证 不失一般性，设
{ }
1
1
max
i
ip
aa
≤≤
=,于是
a
1
≤+++()aa a
nn
p
n
n
12
1
"≤ ap
n
1
。
因为 lim
n→∞
p
n
= 1，易知 lim
n→∞
11
apa
n
=,利用极限的夹逼性，得到
lim
n→∞
()aa a
nn
p
n
n
12
1
+++ "
{ }
1
1
max
i
ip
aa
≤≤
== 。
数列极限的四则运算
定理 2.2.5 设 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b，则
(I) lim
n→∞
(α x
n
+β y
n
)=α a+β b (α,β 是常数)；
(II) lim
n→∞
(x
n
y
n
)=ab；
(III) lim
n→∞
n
n
y
x
=
a
b
(b ≠ 0)。
数列极限的四则运算
定理 2.2.5 设 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b，则
(I) lim
n→∞
(α x
n
+β y
n
)=α a+β b (α,β 是常数)；
(II) lim
n→∞
(x
n
y
n
)=ab；
(III) lim
n→∞
n
n
y
x
=
a
b
(b ≠ 0)。
证 由 lim
n→∞
x
n
= a，可知? >X 0,使得 ||x
n
≤ X,且 0ε? >,? N
1
,
>nN
1
：｜ x
n
a｜ ε< 。
由 lim
n→∞
y
n
=b,可知? N
2
,? >nN
2
,｜ y
n
b｜ ε< 。
取 NNN= max{,}
12
,? >nN,
｜( α x
n
+β?)
n
y (α a+β b)｜
≤ ||α ax
n
+?|| β by
n
<(｜ α｜+｜ β ｜) ε,
以及
()()( ),
nn n n n
xy ab x y bbxa Xbε?=?+?<+,
因此( I)和( II)成立。
对于( III)式，由定理2.2.3的推论,? N
0
,? >nN
0
：
n
y >
||b
2
。
取 NNNN= max{,,}
012
,? >nN,
b
a
y
x
n
n
=
by
byaaxb
n
nn
)()(
<
2
2(| | | |)ab
b
ε
+
,
因此( III)也成立。
证 毕取 NNN= max{,}
12
,? >nN,
｜( α x
n
+β?)
n
y (α a+β b)｜
≤ ||α ax
n
+?|| β by
n
<(｜ α｜+｜ β ｜) ε,
以及
()()( ),
nn n n n
xy ab x y bbxa Xbε?=?+?<+,
因此( I)和( II)成立。
注 在上面的证明中，最后所得到的关于
｜( α x
n
+
β
)
n
y (α a+β b)｜，｜ x
n
y
n
a b｜和
b
a
y
x
n
n
的不等式都不是小于任意给定的 0>ε,而是小于 ε乘一个常数
(｜ α｜+｜ β｜) ε，( X +｜ b｜) ε 和
2
2(||||)ab
b
ε
+
。
请读者思考一下，为什么这样做并不违背数列极限的定义。
例2.2.9 求极限 lim
n→∞
52
35 23
1nn
nn
+
+?
()
。
解
lim
n→∞
52
35 23
1nn
nn
+
+?
()
=
→∞
lim
n
n
n
+
5
3
23
5
2
5
=
5
3
。
注 在上面的证明中，最后所得到的关于
｜( α x
n
+
β
)
n
y (α a+β b)｜，｜ x
n
y
n
a b｜和
b
a
y
x
n
n
的不等式都不是小于任意给定的 0>ε,而是小于 ε乘一个常数
(｜ α｜+｜ β｜) ε，( X +｜ b｜) ε 和
2
2(||||)ab
b
ε
+
。
请读者思考一下，为什么这样做并不违背数列极限的定义。
例2.2.10 证明,当 a > 0时,lim
n→∞
a
n
=1。
证 已经知道当 a >1时,lim
n→∞
a
n
=1。当 a = 1时，结论是平凡的。
现考虑 01<<a,这时
1
1
a
>,利用极限的四则运算,
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
1
1
1
a
n
= 。
例2.2.11 求极限 lim
n→∞
( )11
22
+ nnn 。
解 lim
n→∞
( )11
22
+ nnn = lim
n→∞
2
11
22
n
nn++?
= lim
n→∞
2
1
1
1
1
1
22
++?
=
nn
。
例2.2.10 证明,当 a > 0时,lim
n→∞
a
n
=1。
证 已经知道当 a >1时,lim
n→∞
a
n
=1。当 a = 1时，结论是平凡的。
现考虑 01<<a,这时
1
1
a
>,利用极限的四则运算,
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
1
1
1
a
n
= 。
注 数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况,而不能随意推广到无限个数列或不定个数的数列上去。例如
lim
n→∞
+1
1
2
n
+ "+
+ 2
1
2
n
+
+nn
2
1
,
若轻率使用定理2.2.5性质(Ⅰ)，就会得出极限为 0的错误结论。事实上，由
n
nn
2
+
<
1
1
2
n +
+
1
2
2
n +
+…+
1
2
nn+
<
+
n
n
2
1
,
利用极限的夹逼性，就可以得到极限为 1。
例2.2.12 设 0>
n
a,且 lim
n→∞
a
n
= a，证明,
lim
n→∞
aa a
n
n
12
"= a。
证 当 a > 0时，应用平均值不等式（定理 1.2.2），有
aa a
n
n12
+ + + "
≥ aa a
n
n
12
"≥
+++
n
aaa
n
111
21
"。
将不等式的右端写成
+++ n
aaa
n
111
1
21
"，由 lim
n→∞
a
n
= a 0>,可知
lim
n→∞
1
a
n
=
1
a
，由例2.2.6和极限的四则运算，即知上面不等式左、右两端的极限都是 a。应用极限的夹逼性，便得到
lim
n→∞
aa a
n
n
12
"= a。
例2.2.12 设 0>
n
a,且 lim
n→∞
a
n
= a，证明,
lim
n→∞
aa a
n
n
12
"= a。
证 当 a > 0时，应用平均值不等式（定理 1.2.2），有
aa a
n
n12
+ + + "
≥ aa a
n
n
12
"≥
+++
n
aaa
n
111
21
"。
将不等式的右端写成
+++ n
aaa
n
111
1
21
"，由 lim
n→∞
a
n
= a 0>,可知
lim
n→∞
1
a
n
=
1
a
，由例2.2.6和极限的四则运算，即知上面不等式左、右两端的极限都是 a。应用极限的夹逼性，便得到
lim
n→∞
aa a
n
n
12
"= a。
当 a = 0时，显然有
aa a
n
n12
+ + + "
≥ aa a
n
n
12
"a=> 0 。
同样可由极限的夹逼性推出结论成立。
数列 是指按正整数编了号的一串数,
xx x
n12
,,,, " ",
通常表示成{ x
n
}，其中 x
n
称为该数列的 通项 。
数列的例子,
n
1
,1,
1
2
,
1
3
,…，
1
n
,…；
+3n
n
,
1
4
,
2
5
,
3
6
,…，
n
n+ 3
,…；
{ }
2
n
,1,4,9,…,n
2
,…；
{ }
n
)1(?,-1,1,-1,1,…,()?1
n
，…。
数列与数列极限
数列 是指按正整数编了号的一串数,
xx x
n12
,,,, " ",
通常表示成{ x
n
}，其中 x
n
称为该数列的 通项 。
§ 2 数列极限注 尽管数列与数集的记号是类似的，但两者的概念是有区别的。在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成是同一个元素；但在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不能颠倒，重复出现的数不能随便舍去。
中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率
π（即圆的周长与直径之比），采用单位圆的内接正 n边形的半周 长
n
L 去逼近它。就如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少；割之又割，
以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
极限的定义
定义2.2.1 设 {}x
n
是一给定数列,a是一个实常数。 如果对于任意给定的 0ε >,可以找到正整数 N,使得当 n N> 时，成立
｜ x
n
a｜ ε<,
则称数列 {}x
n
收敛于 a（或 a是数列 {}x
n
的 极限），记为
lim
n→∞
x
n
= a,
有时也记为
x
n
→ a (n→∞)。
如果不存在实数 a,使{ x
n
}收敛于 a,则称数列 {}x
n
发散。
注
（1）取以 a为中心,ε 为半径的一个开区间 ),( εε +? aa,称它为点 a的 ε 邻域，记为 ),( εaO,
),( εaO }|{ εε +<<?= axax 。
“当 n N> 时，成立｜ x
n
a｜ ε<,表示数列中从 N +1项起的所 有的项都落在点 a的 ε 邻域中，即
(,),
n
xOa nNε∈ > 。
由于 ε 具有任意性，也就是说邻域 ),( εaO 的长度可以任意收缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在这 个邻域中，所以不难理解,a必为这个数列的极限值。
注
（1）取以 a为中心,ε 为半径的一个开区间 ),( εε +? aa,称它为点 a的 ε 邻域,记为 ),( εaO,
),( εaO }|{ εε +<<?= axax 。
“当 n N> 时，成立｜ x
n
a｜ ε<,表示数列中从 N +1项起的所 有的项都落在点 a的 ε 邻域中，即
(,),
n
xOa nNε∈ > 。
注
（2）在上述的定义中,ε 既是任意的，又是给定的。因为只有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
（3）从极限的定义可知，一个数列 {}x
n
收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。
注
（2）在上述的定义中,ε 既是任意的，又是给定的。因为只有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N 。
例2.2.1 证明数列
+3n
n
的极限为 1。
证 对任意给定的 0ε >,要使
1
3
+n
n
=
+
3
3n
ε<,
只须
3
3
>
ε
n 。
取 1
3
+
=
ε
N,其中 ][x 表示 x的整数部分，则当 n N> 时，必有
3
3n
ε
>?，于是成立
1
3
+n
n
=
+
3
3n
ε< 。
显然，下面两数列
{n
2
},1，4，9，…,n
2
,…
{()?1
n
},-1,1,-1,1,…
是发散数列。
显然，下面两数列
{n
2
},1，4，9，…,n
2
,…
{()?1
n
},-1,1,-1,1,…
是发散数列。
无穷小量
极限为 0的数列称为 无穷小量,例如数列
n
1
,
+
1
)1(
2
n
n
都是无穷小量。
lim { }
nn
n
xa xa
→∞
=是无穷小量。
例2.2.2 证明{ q
n
}( 1||0 << q ) 是无穷小量。
证 对任意给定的 0ε >,要找正整数 N,使得当 n N> 时,成立
=? |0|
n
q
n
q || ε<,
对上式两边取对数，即得
n >
||lg
lg
q
ε
。
为保证 N 为正整数，可取
= 1,
||lg
lg
max
q
N
ε
,则当 n N> 时，成立
=? |0|
n
q
n
q || <
||lg
lg
||
q
q
ε
ε= 。
因此 0lim =
∞→
n
n
q,即{ q
n
}是无穷小量。
注
（1）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值很小的 0ε >,不妨考虑任意给定的 q<<ε0,则 N 可取为
||lg
lg
q
ε
，当
n N> 时，成立 |0|
n
q ε? < 。
（2）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对任意给定的 0>ε 寻找正整数 N 。在上面的两例题中,N 都是通过解不等式
n
xaε?<而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的正整数N,所以在证明中常常对 适度地做一些放大处理，
这是一种常用的技巧。
n
x a?
注
（1）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值很小的 0ε >,不妨考虑任意给定的 q<<ε0,则 N 可取为
||lg
lg
q
ε
，当
n N> 时，成立 |0|
n
q ε? < 。
例 2.2.3 设 a >1，证明,lim
n→∞
a
n
= 1。
证 令 ay
n
n
=+1,y
n
0> ( ",3,2=n )，
应用二项式定理，
n
n
nnn
n
n
nyyy
nn
nyya +>++
++=+= 1
2
)1(
1)1(
2
"，
便得到
1?
n
a ||
n
y= <
a
n
1
。
例 2.2.3 设 a >1，证明,lim
n→∞
a
n
= 1。
证 令 ay
n
n
=+1,y
n
0> ( ",3,2=n )，
应用二项式定理，
n
n
nnn
n
n
nyyy
nn
nyya +>++
++=+= 1
2
)1(
1)1(
2
"，
便得到
1?
n
a ||
n
y= <
a
n
1
。
于是，对于任意给定的 0ε >,取
1a
N
ε
=
，当 n N> 时，成立
1?
n
a <
a
n
1
ε< 。
因此 lim
n→∞
a
n
= 1。
例2.2.4 证明,lim
n→∞
n
n
= 1。
证 令 ny
n
n
=+1,y
n
0> ( ",3,2=n )，应用二项式定理得
22
2
)1(
1
2
)1(
1)1(
n
n
nnn
n
n
y
nn
yy
nn
nyyn
+>++
++=+= ",
即得到
1?
n
n ||
n
y=
n
2
< 。
于是，对于任意给定的 0ε >,取
=
2
2
ε
N,当 n N> 时，成立
1?
n
n <
2
n
ε< 。
因此 lim
n→∞
n
n
= 1。
于是，对于任意给定的 0ε >,取
=
2
2
ε
N,当 n N> 时，成立
1?
n
n <
2
n
ε< 。
因此 lim
n→∞
n
n
= 1。
同理可知 lim
n→∞
11,2,3
n k
nk== "。
例2.2.4 证明,lim
n→∞
n
n
= 1。
证 令 ny
n
n
=+1,y
n
0> ( ",3,2=n )，应用二项式定理得
22
2
)1(
1
2
)1(
1)1(
n
n
nnn
n
n
y
nn
yy
nn
nyyn
+>++
++=+= ",
即得到
1?
n
n ||
n
y=
n
2
< 。
例2.2.5 证明,lim
n→∞
n
nn
2
2
1
27
1
2
+
= 。
证 首先有
2
1
72
1
2
2
+
nn
n
=
)72(2
27
+
nn
n
。
显然当 n > 6时,
<
+
)72(2
27
nn
n
8
2
4
2
n
n n
=,
于是，对任意给定的 0ε >,取
=
ε
4
,6maxN,当 n N> 时，成立
2
1
72
1
2
2
+
nn
n
<
4
n
ε< 。
因此
lim
n→∞
n
nn
2
2
1
27
1
2
+
= 。
注意：上述不等式的放大，是在条件,n > 6”前题下才成立，
所以在取 N 时，必须要求
≥
ε
4
N 与 6≥N 同时成立。
例2.2.6 证明：若 lim
n→∞
a
n
= a,则
lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + + "
= a。
证 先假设 a = 0,即｛ a
n
｝是无穷小量，则对任意给定的 0>ε,
存在正整数 N
1
，当 nN>
1
时，成立 <||
n
a
2
ε
。
现在,aa a
N12
1
+ + + "是一个固定的数，因此可以取 NN>
1
,使 得当 n N> 时成立
n
aaa
N
1
21
+++ "
2
ε
< 。
于是，利用三角不等式，就得到
n
aaa
n
+++ "
21
+
+++
=
n
aaa
N
1
21
"
n
aaa
nNN
+++
++
"
21
11
+
+++
≤
n
aaa
N
1
21
"
n
aaa
nNN
+++
++
"
21
11
< ε
εε
=+
22
。
例2.2.6 证明：若 lim
n→∞
a
n
= a,则
lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + + "
= a。
证 先假设 a = 0,即｛ a
n
｝是无穷小量，则对任意给定的 0>ε,
存在正整数 N
1
，当 nN>
1
时，成立 <||
n
a
2
ε
。
现在,aa a
N12
1
+ + + "是一个固定的数，因此可以取 NN>
1
,使 得当 n N> 时成立
n
aaa
N
1
21
+++ "
2
ε
< 。
当 a ≠ 0时，则{ aa
n
}是无穷小量，于是
lim
n→∞
+++
a
n
aaa
n
"
21
= lim
n→∞
()()()aa aa aa
n
n12
0
+? + +?
=
"
,
此即
lim
n→∞
aa a
n
n12
+ + + "
= a。
数列极限的性质
为了表达上的方便，通常采用前面已经介绍过的记号,?”
与,?”,
将“对于任意给定的 0ε >,写成,0ε?>”,
将“可以找到正整数N”（即“存在正整数N”）写成,N?,，
将“当 nN> 时”（即“对于每一个 nN>,）写成,nN? >,，
于是就有下述的符号表述法,
lim
n→∞
n
x a=? 0ε? >,? N,? >nN：｜
n
x a? ｜ ε< 。
(1) 极限的唯一性
定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一。
证 假设 {}x
n
有极限 a与 b，根据极限的定义,0ε? >,
N
1
,? >nN
1
:｜ x
n
a｜
2
ε
< ；
N
2
,? >nN
2
:｜ x
n
b｜
2
ε
< 。
取 NNN= max{,}
12
,利用三角不等式，则? >nN,
｜ ab? ｜ =｜
nn
ax x b? +?｜
≤｜
n
xa? ｜ +｜ x
n
b｜
22
ε ε
ε<+=。
由 ε 可以任意接近于 0，即知 ab= 。
证 毕
(2) 数列的有界性
对于数列 {}x
n
，如果存在实数 M，使数列的所有的项都满足
x
n
≤ M,n = 123,,, ",
则称 M是数列 {}x
n
的上界。如果存在实数 m，使数列的所有的项都满足
m≤ x
n
,n = 123,,, ",
则称 m是数列 {}x
n
的下界。
一个数列 {}x
n
,若既有上界又有下界，则称之为 有界数列 。显然数列 {}x
n
有界的一个等价定义是：存在正实数 X，使数列的所 有项都满足
｜ x
n
｜ ≤ X,n = 123,,, "。
定理2.2.2 收敛数列必有界。
证 设数列 {}x
n
收敛，极限为 a，由极限的定义，取 ε = 1,则
N,? >nN：｜ x
n
a｜ 1<,即
axa
n
< < +11。
取 }1,,,,max{
21
+= axxxM
N
",}1,,,,min{
21
= axxxm
N
"，则对 {}x
n
所有的项，成立
m≤ x
n
≤ M,n = 123,,, "。
证毕
注 定理2.2.2的逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如｛ ()?1
n
｝是有界数列，但它并不收敛。
定理2.2.2 收敛数列必有界。
证 设数列 {}x
n
收敛，极限为 a，由极限的定义，取 ε = 1,则
N,? >nN：｜ x
n
a｜ 1<,即
axa
n
< < +11。
取 }1,,,,max{
21
+= axxxM
N
",}1,,,,min{
21
= axxxm
N
"，则对 {}x
n
所有的项，成立
m≤ x
n
≤ M,n = 123,,, "。
证毕
(3) 数列的保序性
定理2.2.3 设数列 {}x
n
,{}y
n
均收敛，若 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b，
且 ab<,则存在正整数 N,当 n N> 时，成立
x
n
< y
n
。
证 取 0
2
ba
ε
=>。由 lim
n→∞
x
n
= a,? N
1
,? >nN
1
:｜
n
x a? ｜
<
ba
2
，因而
x
n
<+
a
ba
2
=
+ab
2；
而由 lim
n→∞
y
n
=b,? N
2
,? >nN
2
:｜ y
n
b｜ <
ba
2
,因而
y
n
>?
b
ba
2
=
+ab
2
。
取 NNN= max{,}
12
,? >nN,
x
n
<
+
<
ab
2
y
n
。
证 毕推论
(1)若 lim
n→∞
y
n
=b 0>,则存在正整数 N,当 n N> 时,
y
n
＞ 0
2
>
b；
(2)若 lim
n→∞
y
n
=b 0<,则存在正整数 N,当 n N> 时,
y
n
0
2
<<
b
。
这说明若数列{ y
n
}收敛且极限不为 0,则当 n 充分大时,
y
n
与 0的距离不能任意小。
注 定理 2.2.3 的逆命题同样不成立。如果 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b,
且 x
n n
y< 对 n N> 成立，我们并不能得出 ab< 的结论。
反例：数列 x
n
=
1
n
与 y
n
=
2
n
。
事实上只能有如下结论,
,若 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b,且 x
n
≤ y
n
对 n N> 成立,则 ab≤ 。”
推论
(1)若 lim
n→∞
y
n
=b 0>,则存在正整数 N,当 n N> 时,
y
n
＞ 0
2
>
b；
(2)若 lim
n→∞
y
n
=b 0<,则存在正整数 N,当 n N> 时,
y
n
0
2
<<
b
。
这说明若数列{ y
n
}收敛且极限不为 0,则当 n 充分大时,
y
n
与 0的距离不能任意小。
(4) 极限的夹逼性
定理2.2.4 若三个数列 }{
n
x,}{
n
y,}{
n
z 从某项开始成立
n
x ≤
n
y ≤
n
z,
0
Nn >,
且
∞→n
lim
n
x =
∞→n
lim
n
z a=,则
∞→n
lim
n
y a= 。
证 0>?ε,由 lim
n→∞
n
x = a，可知
1
N?,? >nN
1
∶｜ x
n
a｜ ε<,
从而有 a ε? < x
n；
由 lim
n→∞
z
n
= a，可知? N
2
,? >nN
2
∶｜ z
n
a｜ ε<,从而有
z
n
a ε< + 。
取 },,max{
210
NNNN =,? >nN∶
a ε? <
nnn
xyz≤ ≤ a ε< +,
此即
｜ y
n
a｜ ε<,
所以
lim
n→∞
y
n
= a。 证毕在应用夹逼性求极限时,｛ y
n
｝ 是要求极限的数列,而{ x
n
},{z
n
往往是通过适当缩小与适当放大而得到的数列。关键在于在适当缩小与适当放大后保持 {}x
n
与{ z
n
}具有相同极限。
例2.2.7 求数列{ nn+?1 }的极限。
解 首先有
nn+?1 =
+? ++
++
()()nnnn
nn
11
1
=
++
1
1nn
。
取 0=
n
x,y
n
= nn+?1,z
n
=
1
n
，则有
x
n
<<
n
y z
n
,
且
lim
n→∞
x
n
=lim
n→∞
0=
n
z 。
利用极限的夹逼性，得到
lim( 1 ) 0
n
nn
→∞
+?=。
在应用夹逼性求极限时,｛ y
n
｝ 是要求极限的数列,而{ x
n
},{z
n
往往是通过适当缩小与适当放大而得到的数列。关键在于在适当缩小与适当放大后保持 {}x
n
与{ z
n
}具有相同极限。
例2.2.8 证明,
lim
n→∞
()aa a
nn
p
n
n
12
1
+++ "{ }
i
pi
a
≤≤
=
1
max,
其中 a
i
≥ 0(ip= 123,,,, ")。
证 不失一般性，设
{ }
1
1
max
i
ip
aa
≤≤
=,于是
a
1
≤+++()aa a
nn
p
n
n
12
1
"≤ ap
n
1
。
因为 lim
n→∞
p
n
= 1，易知 lim
n→∞
11
apa
n
=,利用极限的夹逼性，得到
lim
n→∞
()aa a
nn
p
n
n
12
1
+++ "
{ }
1
1
max
i
ip
aa
≤≤
== 。
数列极限的四则运算
定理 2.2.5 设 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b，则
(I) lim
n→∞
(α x
n
+β y
n
)=α a+β b (α,β 是常数)；
(II) lim
n→∞
(x
n
y
n
)=ab；
(III) lim
n→∞
n
n
y
x
=
a
b
(b ≠ 0)。
数列极限的四则运算
定理 2.2.5 设 lim
n→∞
x
n
= a,lim
n→∞
y
n
=b，则
(I) lim
n→∞
(α x
n
+β y
n
)=α a+β b (α,β 是常数)；
(II) lim
n→∞
(x
n
y
n
)=ab；
(III) lim
n→∞
n
n
y
x
=
a
b
(b ≠ 0)。
证 由 lim
n→∞
x
n
= a，可知? >X 0,使得 ||x
n
≤ X,且 0ε? >,? N
1
,
>nN
1
：｜ x
n
a｜ ε< 。
由 lim
n→∞
y
n
=b,可知? N
2
,? >nN
2
,｜ y
n
b｜ ε< 。
取 NNN= max{,}
12
,? >nN,
｜( α x
n
+β?)
n
y (α a+β b)｜
≤ ||α ax
n
+?|| β by
n
<(｜ α｜+｜ β ｜) ε,
以及
()()( ),
nn n n n
xy ab x y bbxa Xbε?=?+?<+,
因此( I)和( II)成立。
对于( III)式，由定理2.2.3的推论,? N
0
,? >nN
0
：
n
y >
||b
2
。
取 NNNN= max{,,}
012
,? >nN,
b
a
y
x
n
n
=
by
byaaxb
n
nn
)()(
<
2
2(| | | |)ab
b
ε
+
,
因此( III)也成立。
证 毕取 NNN= max{,}
12
,? >nN,
｜( α x
n
+β?)
n
y (α a+β b)｜
≤ ||α ax
n
+?|| β by
n
<(｜ α｜+｜ β ｜) ε,
以及
()()( ),
nn n n n
xy ab x y bbxa Xbε?=?+?<+,
因此( I)和( II)成立。
注 在上面的证明中，最后所得到的关于
｜( α x
n
+
β
)
n
y (α a+β b)｜，｜ x
n
y
n
a b｜和
b
a
y
x
n
n
的不等式都不是小于任意给定的 0>ε,而是小于 ε乘一个常数
(｜ α｜+｜ β｜) ε，( X +｜ b｜) ε 和
2
2(||||)ab
b
ε
+
。
请读者思考一下，为什么这样做并不违背数列极限的定义。
例2.2.9 求极限 lim
n→∞
52
35 23
1nn
nn
+
+?
()
。
解
lim
n→∞
52
35 23
1nn
nn
+
+?
()
=
→∞
lim
n
n
n
+
5
3
23
5
2
5
=
5
3
。
注 在上面的证明中，最后所得到的关于
｜( α x
n
+
β
)
n
y (α a+β b)｜，｜ x
n
y
n
a b｜和
b
a
y
x
n
n
的不等式都不是小于任意给定的 0>ε,而是小于 ε乘一个常数
(｜ α｜+｜ β｜) ε，( X +｜ b｜) ε 和
2
2(||||)ab
b
ε
+
。
请读者思考一下，为什么这样做并不违背数列极限的定义。
例2.2.10 证明,当 a > 0时,lim
n→∞
a
n
=1。
证 已经知道当 a >1时,lim
n→∞
a
n
=1。当 a = 1时，结论是平凡的。
现考虑 01<<a,这时
1
1
a
>,利用极限的四则运算,
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
1
1
1
a
n
= 。
例2.2.11 求极限 lim
n→∞
( )11
22
+ nnn 。
解 lim
n→∞
( )11
22
+ nnn = lim
n→∞
2
11
22
n
nn++?
= lim
n→∞
2
1
1
1
1
1
22
++?
=
nn
。
例2.2.10 证明,当 a > 0时,lim
n→∞
a
n
=1。
证 已经知道当 a >1时,lim
n→∞
a
n
=1。当 a = 1时，结论是平凡的。
现考虑 01<<a,这时
1
1
a
>,利用极限的四则运算,
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
1
1
1
a
n
= 。
注 数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况,而不能随意推广到无限个数列或不定个数的数列上去。例如
lim
n→∞
+1
1
2
n
+ "+
+ 2
1
2
n
+
+nn
2
1
,
若轻率使用定理2.2.5性质(Ⅰ)，就会得出极限为 0的错误结论。事实上，由
n
nn
2
+
<
1
1
2
n +
+
1
2
2
n +
+…+
1
2
nn+
<
+
n
n
2
1
,
利用极限的夹逼性，就可以得到极限为 1。
例2.2.12 设 0>
n
a,且 lim
n→∞
a
n
= a，证明,
lim
n→∞
aa a
n
n
12
"= a。
证 当 a > 0时，应用平均值不等式（定理 1.2.2），有
aa a
n
n12
+ + + "
≥ aa a
n
n
12
"≥
+++
n
aaa
n
111
21
"。
将不等式的右端写成
+++ n
aaa
n
111
1
21
"，由 lim
n→∞
a
n
= a 0>,可知
lim
n→∞
1
a
n
=
1
a
，由例2.2.6和极限的四则运算，即知上面不等式左、右两端的极限都是 a。应用极限的夹逼性，便得到
lim
n→∞
aa a
n
n
12
"= a。
例2.2.12 设 0>
n
a,且 lim
n→∞
a
n
= a，证明,
lim
n→∞
aa a
n
n
12
"= a。
证 当 a > 0时，应用平均值不等式（定理 1.2.2），有
aa a
n
n12
+ + + "
≥ aa a
n
n
12
"≥
+++
n
aaa
n
111
21
"。
将不等式的右端写成
+++ n
aaa
n
111
1
21
"，由 lim
n→∞
a
n
= a 0>,可知
lim
n→∞
1
a
n
=
1
a
，由例2.2.6和极限的四则运算，即知上面不等式左、右两端的极限都是 a。应用极限的夹逼性，便得到
lim
n→∞
aa a
n
n
12
"= a。
当 a = 0时，显然有
aa a
n
n12
+ + + "
≥ aa a
n
n
12
"a=> 0 。
同样可由极限的夹逼性推出结论成立。
