产生导数的实际背景
微积分的发明人之一──Newton 最早用导数研究的是如何确定力学中运动物体的瞬时速度问题。
一个运动物体在时刻 t 的位移可以用函数 sst= ()来描述，它在时间段 [,]tt t+Δ 中位移的改变量为 Δ Δsst t st= +?()()，所以当 Δt很小的 时候，它在时刻 t的瞬时速度可以近似地用它在 [,]tt t+Δ 中的平均速度
vt
s
t
st t st
t
()
()()
==
+?Δ
Δ
Δ
Δ
来代替。而瞬时速度是当 Δt → 0 时 vt()的极限值，即
vt
s
t
st t st
t
tt
() lim lim
()()
==
+?
→→ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
00
。
于是
vt s t() ()= ′,
也即运动物体的速度是它的位移函数的导数。
§ 2 导数的意义和性质将“速度”这个概念加以推广 ── 凡是牵涉到某个量的变化 快慢的，诸如物理学中的光热磁电的各种传导率、化学中的反应速率、
经济学中的资金流动速率、人口学中的人口增长速率等等，统统都 可以看成是广义的“速度”，因而都可以用导数来表达。换句话说，导数实际上是因变量关于自变量的变化率。
比如，设函数 ppt= ()表示某个地区在时刻 t 的人口数，那么当
Δt → 0 时，便得到该地区在时刻 t的人口增长速率为
′ ==
+?
→→
pt
p
t
pt t pt
t
tt
( ) lim lim
()()
ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
00
,
即人口增长速率是人口数量函数的导数。
导数的几何意义
设 yfx= ()是平面上的一条光滑的
连续曲线,))(,( xfx 是曲线上一个定点，
))(,( xxfxx Δ+Δ+ 是曲线上的一个动点，
过 (,())xfx和 (,()xxfxx+ +Δ Δ 两点可以唯一确定曲线的一条过点 (,())xfx的割线，并且，当点 (,()xxfxx+ +Δ Δ 在曲线上移动时将引起割线位置的不断变化。曲线的切线定义应该是：如果在点 (,()xxfxx+ +Δ Δ 沿着曲线无限趋近于点 (,())xfx（即 Δx → 0）时，
这些变化的割线存在着唯一的极限位置，则处于这个极限位置的直线就被称为曲线 )(xfy = 在点 (,())xfx 处的切线 （图4.2.3）。
现求过点 (,())xfx的切线的斜率。因为割线的斜率为
Δ
Δ
Δ
Δ
y
x
fx x fx
x
=
+?()()
,
因此，过点 (,())xfx的切线斜率就是极限
lim lim
()()
ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
xx
y
x
fx x fx
x
→→
=
+?
00
的值，即 fx()在 x处的导数值 ′fx()──这就是导数的几何意义。
由此进一步可得，曲线 )(xfy = 在点 ))(,(
000
xfxP 处的切线方程是
))(()(
000
xxxfxfy?
′
=? 。
过
0
P 点且与切线垂直的直线称为曲线 )(xfy = 在点
0
P 处的法线，于是当 0)(
0
≠
′
xf 时，在点
0
P 处的法线方程是
)(
)(
1
)(
0
0
0
xx
xf
xfy?
′
=? 。
例4.2.1 求抛物线 )0(2
2
>= ppxy 上任意一点 (,)xy
00
处的切线斜率。
解 设 (,)xy
00
属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将方程改写成
)0(2)( ≥== xpxxfy,
则它在 (,)xy
00
处的切线斜率应为
00
00
0
00 0
2( ) 2
()()
lim lim
2lim
(( ) ) 2
xx
x
px x px
fx x fx
xx
px
p
xxxx x
Δ→ Δ→
Δ→
+Δ?
+Δ?
=
ΔΔ
Δ
==
+Δ +?Δ
，
由此很容易求得它在任意一点处的切线方程。
从这个结论出发可以得到抛物线的一个重要的光学性质。
记抛物线的方程为 )0(2
2
>= ppxy,设它在点 (,)xy
00
处的切线与 x
轴的夹角为
1
θ,由于 ypx
00
2=,该切线的斜率可以写成
1
0
0
tan
2
p p
y
x
θ ==,
再记点 (,)xy
00
与抛物线的焦点
0,
2
p
的连线与 x轴的夹角为
2
θ,该连线与抛物线在点
00
(,)xy处的切线的夹角为
θ,（如图4.2.4）
由此得到
20
0
2
tan
p
x
y
=θ,
于是
12
12
tantan1
tantan
tan
θθ
θθ
θ
+
=
0
20
0
0
20
0
1
y
p
x
y
y
p
x
y
p
p
+
=
1
0
tanθ==
y
p
,
即 θ 恰好等于切线与 x轴的夹角
1
θ 。
根据光的反射定律，入射角（入射光线与反射面的法线的夹角）
等于反射角（反射光线与反射面的法线的夹角），可知任意一束从抛物线焦点处出发的光线，经抛物线的反射，反射光线与抛物线的对称轴平行。
根据这一原理，将抛物线绕它的对称轴旋转，得到一个旋转抛物面，于是，放在焦点处的点光源发出的光线，经过旋转抛物面反射后，
成为一束平行于对称轴的光线射出；反过来，由于光路的可逆性，平行于旋转抛物面对称轴的入射光线，经过旋转抛物面的反射，汇聚于它的焦点上。
探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等都是这一原理实际应用的例子。
例4.2.2 求椭圆 )0,(1
2
2
2
2
>=+ ba
b
y
a
x
上任一点 (,)xy
00
处的切线方程。
解 设 (,)xy
00
属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将此区域中的椭圆方程改写成
),()(
22
axaxa
a
b
xfy <<==
则它在
00
(,)xy处的切线斜率应为
2222
00
00
22
2 2 22 220
00 0
()
()()
lim lim
()
lim
(( ) )
xx
x
axx ax
fx x fx b
xa
xxx xbb
aa
axx ax x ax
Δ→ Δ→
Δ→
+Δ
+Δ?
=
ΔΔ
+Δ?
==
+Δ+Δ?
。
于是它在
00
(,)xy处的切线方程为
yy
b
a
x
ax
xx?=
0
0
2
0
2
0
(),
注意到 (,)xy
00
位于椭圆上,即满足
y
b
a
ax
0
2
0
2
=?,
两边整理后便得到切线方程
xx
a
yy
b
0
2
0
2
1
+
=,
这正是我们在平面解析几何中已知的结论。
可以证明椭圆的一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的任意一束光线，经椭圆反射后，反射光线必定经过它的另一个焦点（图
4.2.5）。
单侧导数
x
xfxxf
xf
x
Δ
Δ+
=
′
→Δ
)()(
lim)(
00
0
0
,
由极限存在的定义,函数 fx()在
0
x 处可导的充分必要条件是相应的左极限
x
xfxxf
xf
x
Δ
Δ+
=
′
→Δ
)()(
lim)(
00
0
0
和右极限
x
xfxxf
xf
x
Δ
Δ+
=
′
+→Δ
+
)()(
lim)(
00
0
0
存在并且相等，我们把它们分别称为 fx()在
0
x 处的 左导数 和 右导数 。
若 fx()在
0
x 处的左右导数中至少有一个不存在,或是左右导数都存在但不相等的话,fx()在
0
x 处就是不可导的。
例 4.2.3 考察函数 ||)( xxf = 在 0=x 处的可导情况。
解 当 0<x,xxxf?== ||)(,所以 )(xf 在 0=x 处的左导数为
1lim)0(
0
=
Δ
Δ?
=
′
→Δ
x
x
f
x；
而当 0>x,xxxf == ||)(,所以 )(xf 在 0=x 处的右导数为
1lim)0(
0
=
Δ
Δ
=
′
+→Δ
+
x
x
f
x
,
||)( xxf = 在 0=x 处的左右导数都存在但不相等，由定义，它在 0=x 处不可导。
例4.2.4 考察函数
≤
>
=
0,0
0,
1
sin
)(
x
x
x
x
xf
在 x = 0处的可导情况。
解 当 0<Δx 时,fx()Δ = 0，于是显然有
0
)0()(
lim)0(
0
=
Δ
Δ
=
′
→Δ
x
fxf
f
x
,
当 Δx > 0时,
fx f
x
x
x
xx
() ()
sin
sin
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ Δ
=
=
0
1
1
,
当 Δx →+0 时，上式的极限不存在，即函数在 x = 0处的右导数不存在，
由定义，它在这一点不可导。
例 4.2.5 设函数
≤+
>+
=
2,1
2,
)(
2
xax
xbx
xf,
确定 ba,，使得 )(xf 在 2=x 处可导。
解 要使 )(xf 在 2=x 处可导，首先它必须在 2=x 处连续。因此
)2()(lim)(lim
2
22
fbxxf
xx
=+=
+→+→
,
即
124 +=+ ab 。
要使 )(xf 在 2=x 处可导，必须成立 )2()2(
+?
′
=
′
ff,由
a
x
aax
x
fxf
f
xx
=
+?+
=
=
′
→?→
2
)12(1
lim
2
)2()(
lim)2(
22；
4
2
4
lim
2
)4(
lim
2
)2()(
lim)2(
2
2
2
22
=
=
+?+
=
=
′
+→+→+→
+
x
x
x
bbx
x
fxf
f
xxx
。
得到 4=a 。将 4=a 代入 124 +=+ ab,得到 5=b 。这时 4)2( =
′
f 。
对于在闭区间
[ ]
,ab上定义的函数 ()y fx=,如果 ()f x 在开区间
(,)ab上可导，并且 ()f x 在 xa= 的右导数与在 x b= 的左导数存在，则 称
()f x 在闭区间
[ ]
,ab上可导。
对于函数
22
()
b
f xax
a
=?,当 xa= ± 时，相应的左右导数为
()fa
′
=?∞,()fa
+
′
=+∞，所以函数
22
()
b
f xax
a
=? 在 xa= 的左导数与在 xa=? 的右导数不存在，即 ()f x 的可导区间为 ),( aa? 。
若将函数改为
()
3
22
()gx a x=?，则容易验证 ()gx在闭区间 [ ]aa,?
上是可导的。
注意：虽然同样都是单侧导数不存在，但例4.2.2中的函数曲线
（即上半椭圆）在 xa= ± 处的切线是存在的，只是切线的倾角是
π
2
而已，而例4.2.4中的函数曲线在 x = 0处的右侧根本就没有切线存在。
在讨论问题时应注意区分这两种不同的情况。
微积分的发明人之一──Newton 最早用导数研究的是如何确定力学中运动物体的瞬时速度问题。
一个运动物体在时刻 t 的位移可以用函数 sst= ()来描述，它在时间段 [,]tt t+Δ 中位移的改变量为 Δ Δsst t st= +?()()，所以当 Δt很小的 时候，它在时刻 t的瞬时速度可以近似地用它在 [,]tt t+Δ 中的平均速度
vt
s
t
st t st
t
()
()()
==
+?Δ
Δ
Δ
Δ
来代替。而瞬时速度是当 Δt → 0 时 vt()的极限值，即
vt
s
t
st t st
t
tt
() lim lim
()()
==
+?
→→ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
00
。
于是
vt s t() ()= ′,
也即运动物体的速度是它的位移函数的导数。
§ 2 导数的意义和性质将“速度”这个概念加以推广 ── 凡是牵涉到某个量的变化 快慢的，诸如物理学中的光热磁电的各种传导率、化学中的反应速率、
经济学中的资金流动速率、人口学中的人口增长速率等等，统统都 可以看成是广义的“速度”，因而都可以用导数来表达。换句话说，导数实际上是因变量关于自变量的变化率。
比如，设函数 ppt= ()表示某个地区在时刻 t 的人口数，那么当
Δt → 0 时，便得到该地区在时刻 t的人口增长速率为
′ ==
+?
→→
pt
p
t
pt t pt
t
tt
( ) lim lim
()()
ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
00
,
即人口增长速率是人口数量函数的导数。
导数的几何意义
设 yfx= ()是平面上的一条光滑的
连续曲线,))(,( xfx 是曲线上一个定点，
))(,( xxfxx Δ+Δ+ 是曲线上的一个动点，
过 (,())xfx和 (,()xxfxx+ +Δ Δ 两点可以唯一确定曲线的一条过点 (,())xfx的割线，并且，当点 (,()xxfxx+ +Δ Δ 在曲线上移动时将引起割线位置的不断变化。曲线的切线定义应该是：如果在点 (,()xxfxx+ +Δ Δ 沿着曲线无限趋近于点 (,())xfx（即 Δx → 0）时，
这些变化的割线存在着唯一的极限位置，则处于这个极限位置的直线就被称为曲线 )(xfy = 在点 (,())xfx 处的切线 （图4.2.3）。
现求过点 (,())xfx的切线的斜率。因为割线的斜率为
Δ
Δ
Δ
Δ
y
x
fx x fx
x
=
+?()()
,
因此，过点 (,())xfx的切线斜率就是极限
lim lim
()()
ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
xx
y
x
fx x fx
x
→→
=
+?
00
的值，即 fx()在 x处的导数值 ′fx()──这就是导数的几何意义。
由此进一步可得，曲线 )(xfy = 在点 ))(,(
000
xfxP 处的切线方程是
))(()(
000
xxxfxfy?
′
=? 。
过
0
P 点且与切线垂直的直线称为曲线 )(xfy = 在点
0
P 处的法线，于是当 0)(
0
≠
′
xf 时，在点
0
P 处的法线方程是
)(
)(
1
)(
0
0
0
xx
xf
xfy?
′
=? 。
例4.2.1 求抛物线 )0(2
2
>= ppxy 上任意一点 (,)xy
00
处的切线斜率。
解 设 (,)xy
00
属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将方程改写成
)0(2)( ≥== xpxxfy,
则它在 (,)xy
00
处的切线斜率应为
00
00
0
00 0
2( ) 2
()()
lim lim
2lim
(( ) ) 2
xx
x
px x px
fx x fx
xx
px
p
xxxx x
Δ→ Δ→
Δ→
+Δ?
+Δ?
=
ΔΔ
Δ
==
+Δ +?Δ
，
由此很容易求得它在任意一点处的切线方程。
从这个结论出发可以得到抛物线的一个重要的光学性质。
记抛物线的方程为 )0(2
2
>= ppxy,设它在点 (,)xy
00
处的切线与 x
轴的夹角为
1
θ,由于 ypx
00
2=,该切线的斜率可以写成
1
0
0
tan
2
p p
y
x
θ ==,
再记点 (,)xy
00
与抛物线的焦点
0,
2
p
的连线与 x轴的夹角为
2
θ,该连线与抛物线在点
00
(,)xy处的切线的夹角为
θ,（如图4.2.4）
由此得到
20
0
2
tan
p
x
y
=θ,
于是
12
12
tantan1
tantan
tan
θθ
θθ
θ
+
=
0
20
0
0
20
0
1
y
p
x
y
y
p
x
y
p
p
+
=
1
0
tanθ==
y
p
,
即 θ 恰好等于切线与 x轴的夹角
1
θ 。
根据光的反射定律，入射角（入射光线与反射面的法线的夹角）
等于反射角（反射光线与反射面的法线的夹角），可知任意一束从抛物线焦点处出发的光线，经抛物线的反射，反射光线与抛物线的对称轴平行。
根据这一原理，将抛物线绕它的对称轴旋转，得到一个旋转抛物面，于是，放在焦点处的点光源发出的光线，经过旋转抛物面反射后，
成为一束平行于对称轴的光线射出；反过来，由于光路的可逆性，平行于旋转抛物面对称轴的入射光线，经过旋转抛物面的反射，汇聚于它的焦点上。
探照灯、伞形太阳灶、抛物面天线等都是这一原理实际应用的例子。
例4.2.2 求椭圆 )0,(1
2
2
2
2
>=+ ba
b
y
a
x
上任一点 (,)xy
00
处的切线方程。
解 设 (,)xy
00
属于上半平面（属于下半平面时是类似的），将此区域中的椭圆方程改写成
),()(
22
axaxa
a
b
xfy <<==
则它在
00
(,)xy处的切线斜率应为
2222
00
00
22
2 2 22 220
00 0
()
()()
lim lim
()
lim
(( ) )
xx
x
axx ax
fx x fx b
xa
xxx xbb
aa
axx ax x ax
Δ→ Δ→
Δ→
+Δ
+Δ?
=
ΔΔ
+Δ?
==
+Δ+Δ?
。
于是它在
00
(,)xy处的切线方程为
yy
b
a
x
ax
xx?=
0
0
2
0
2
0
(),
注意到 (,)xy
00
位于椭圆上,即满足
y
b
a
ax
0
2
0
2
=?,
两边整理后便得到切线方程
xx
a
yy
b
0
2
0
2
1
+
=,
这正是我们在平面解析几何中已知的结论。
可以证明椭圆的一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的任意一束光线，经椭圆反射后，反射光线必定经过它的另一个焦点（图
4.2.5）。
单侧导数
x
xfxxf
xf
x
Δ
Δ+
=
′
→Δ
)()(
lim)(
00
0
0
,
由极限存在的定义,函数 fx()在
0
x 处可导的充分必要条件是相应的左极限
x
xfxxf
xf
x
Δ
Δ+
=
′
→Δ
)()(
lim)(
00
0
0
和右极限
x
xfxxf
xf
x
Δ
Δ+
=
′
+→Δ
+
)()(
lim)(
00
0
0
存在并且相等，我们把它们分别称为 fx()在
0
x 处的 左导数 和 右导数 。
若 fx()在
0
x 处的左右导数中至少有一个不存在,或是左右导数都存在但不相等的话,fx()在
0
x 处就是不可导的。
例 4.2.3 考察函数 ||)( xxf = 在 0=x 处的可导情况。
解 当 0<x,xxxf?== ||)(,所以 )(xf 在 0=x 处的左导数为
1lim)0(
0
=
Δ
Δ?
=
′
→Δ
x
x
f
x；
而当 0>x,xxxf == ||)(,所以 )(xf 在 0=x 处的右导数为
1lim)0(
0
=
Δ
Δ
=
′
+→Δ
+
x
x
f
x
,
||)( xxf = 在 0=x 处的左右导数都存在但不相等，由定义，它在 0=x 处不可导。
例4.2.4 考察函数
≤
>
=
0,0
0,
1
sin
)(
x
x
x
x
xf
在 x = 0处的可导情况。
解 当 0<Δx 时,fx()Δ = 0，于是显然有
0
)0()(
lim)0(
0
=
Δ
Δ
=
′
→Δ
x
fxf
f
x
,
当 Δx > 0时,
fx f
x
x
x
xx
() ()
sin
sin
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ Δ
=
=
0
1
1
,
当 Δx →+0 时，上式的极限不存在，即函数在 x = 0处的右导数不存在，
由定义，它在这一点不可导。
例 4.2.5 设函数
≤+
>+
=
2,1
2,
)(
2
xax
xbx
xf,
确定 ba,，使得 )(xf 在 2=x 处可导。
解 要使 )(xf 在 2=x 处可导，首先它必须在 2=x 处连续。因此
)2()(lim)(lim
2
22
fbxxf
xx
=+=
+→+→
,
即
124 +=+ ab 。
要使 )(xf 在 2=x 处可导，必须成立 )2()2(
+?
′
=
′
ff,由
a
x
aax
x
fxf
f
xx
=
+?+
=
=
′
→?→
2
)12(1
lim
2
)2()(
lim)2(
22；
4
2
4
lim
2
)4(
lim
2
)2()(
lim)2(
2
2
2
22
=
=
+?+
=
=
′
+→+→+→
+
x
x
x
bbx
x
fxf
f
xxx
。
得到 4=a 。将 4=a 代入 124 +=+ ab,得到 5=b 。这时 4)2( =
′
f 。
对于在闭区间
[ ]
,ab上定义的函数 ()y fx=,如果 ()f x 在开区间
(,)ab上可导，并且 ()f x 在 xa= 的右导数与在 x b= 的左导数存在，则 称
()f x 在闭区间
[ ]
,ab上可导。
对于函数
22
()
b
f xax
a
=?,当 xa= ± 时，相应的左右导数为
()fa
′
=?∞,()fa
+
′
=+∞，所以函数
22
()
b
f xax
a
=? 在 xa= 的左导数与在 xa=? 的右导数不存在，即 ()f x 的可导区间为 ),( aa? 。
若将函数改为
()
3
22
()gx a x=?，则容易验证 ()gx在闭区间 [ ]aa,?
上是可导的。
注意：虽然同样都是单侧导数不存在，但例4.2.2中的函数曲线
（即上半椭圆）在 xa= ± 处的切线是存在的，只是切线的倾角是
π
2
而已，而例4.2.4中的函数曲线在 x = 0处的右侧根本就没有切线存在。
在讨论问题时应注意区分这两种不同的情况。
