高阶导数的实际背景及定义
物体在时刻 t 的瞬时加速度为当 Δt → 0时，它的平均加速度
Δ
Δ
v
t
的极限值，即
at
v
t
vt t vt
t
vt
tt
( ) lim lim
()()
()==
+?
= ′
→→ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
00
,
也就是说，加速度函数 at()是速度函数 vt()的导函数，是位移函数 st()
的导函数的导函数，称为 st()的 二阶导数 。
§ 5 高阶导数和高阶微分定义
设 yfx= ()可导，若它的导数 ′fx()（或 )(xy
′
，
f
x
d
d
，
y
x
d
d
）仍是个可导函数，则称 ′fx()的导数 ])([
′′
xf （或 []
′
′
)(xy,
f
xx
dd
dd
，
y
xx
dd
dd
）为
fx()的 二阶导数，记为
)(xf
′′
（或 )(xy
′′
，
2
2
f
x
d
d
，
2
2
y
x
d
d
）,
并称 fx()是 二阶可导函数 （ 简称 fx()二阶可导） 或者说 fx()的 二阶导数存在。
若 ′′fx()仍是个可导函数，则称 ′′fx()的导数为 fx()的 三阶导数，
记为
)(xf
′′′
（或 )(xy
′′′
，
3
3
d
d
f
x
，
3
3
d
d
y
x
）,
并称 fx()三阶可导或者说 fx()的 三阶导数存在。
定义
设 yfx= ()可导，若它的导数 ′fx()（或 )(xy
′
，
f
x
d
d
，
y
x
d
d
）仍是个可导函数，则称 ′fx()的导数 ])([
′′
xf （或 []
′
′
)(xy,
f
xx
dd
dd
，
y
xx
dd
dd
）为
fx()的 二阶导数，记为
)(xf
′′
（或 )(xy
′′
，
2
2
f
x
d
d
，
2
2
y
x
d
d
）,
并称 fx()是 二阶可导函数 （ 简称 fx()二阶可导） 或者说 fx()的 二阶导数存在。
以此类推，可以定义 n阶导数,
定义 4.5.1 设函数 )(xfy = 的 n?1阶导数 )(
)1(
xf
n?
（ 或 )(
)1(
xy
n?
，
1
1
d
d
n
n
f
x
，
1
1
d
d
n
n
y
x
）（ ",3,2=n ） 仍是个可导函数,则称它的导数 ])([
)1(
′
xf
n
（ 或 [ ]
′
)(
)1(
xy
n
，
1
1
dd
dd
n
n
f
xx
，
1
1
dd
dd
n
n
y
xx
） 为 fx()的 n阶导数,记为
)(
)(
xf
n
（或 )(
)(
xy
n
，
d
d
n
n
f
x
，
d
d
n
n
y
x
）,
并称 fx()是 n阶可导函数 （ 简称 fx()n阶可导 ） 或者说 fx()的 n阶导 数存在 。
利用上述记号，加速度函数可以写成
2
2
)()(
t
s
tsta
d
d
=
′′
=,
Newton 第二运动定律可以写成
2
2
t
s
mF
d
d
= 。
以此类推，可以定义 n阶导数,
定义 4.5.1 设函数 )(xfy = 的 n?1阶导数 )(
)1(
xf
n?
（ 或 )(
)1(
xy
n?
，
1
1
d
d
n
n
f
x
，
1
1
d
d
n
n
y
x
）（ ",3,2=n ） 仍是个可导函数,则称它的导数 ])([
)1(
′
xf
n
（ 或 [ ]
′
)(
)1(
xy
n
，
1
1
dd
dd
n
n
f
xx
，
1
1
dd
dd
n
n
y
xx
） 为 fx()的 n阶导数,记为
)(
)(
xf
n
（或 )(
)(
xy
n
，
d
d
n
n
f
x
，
d
d
n
n
y
x
）,
并称 fx()是 n阶可导函数 （ 简称 fx()n阶可导 ） 或者说 fx()的 n阶导 数存在 。
例 4.5.1 求 y
x
= e 的 n阶导函数。
解 由
(e ) e
xx
′ =,
可知
xnxxxx
e)(e)(e)(e)(e
)(
===
′′′
=
′′
=
′
"。
类似可以得到
() (ln)
()
aaa
xn nx
= 。
例 4.5.2 求 yx= sin 和 y x= cos 的 n阶导函数。
解 因为
π
(sin ) cos sin
2
xxx
′
== +
,
利用复合函数的求导法则
ππ2π
(sin ) sin( ) cos sin
22
xx x x
′
′′
=+=+=+
,
以此类推，由数学归纳法容易证明
()
π
(sin ) sin
2
n
n
xx
=+
。
同理,yx= cos 的 n阶导数为
()
π
(cos ) cos
2
n
n
xx
=+
。
例 4.5.3 求幂函数 yx
m
= （ m是正整数）的 n阶导函数。
解 由幂函数的导函数形式，有
()xmx
mm
′ =
1
,
() ( )xmmx′′ =?
1
2
,
() ( )( )xmmmx
mm
′′′ =
12
3
,
……
因此它的 n阶导函数的一般形式为
>
≤+
=
,,0
,,)1()1(
)(
)(
mn
mnxnmmm
x
nm
nm
"
特别地
() !
()
xm
mm
= 。
例 4.5.4 求 yx= ln 的的 n阶导函数。
解 因为
(ln )x
x
x′ ==
1
1
,
于是
(ln ) ( )xx x′′ = ′ =?
12
,
(ln ) ( )xxx′′′ =? ′=
23
2,
(ln ) ( )
()
xx x
43 4
232= ′ =,
……
以此类推就可以导出它的一般规律
(ln ) ( ) ( ) ( )
()
()!
()
xnnx
n
x
nn n
n
n
=
=?
11232
1
1
1
1
"
。
附带地还得到
1
)1(
)(
!
)1()(ln
1
+
+
==
n
nn
n
x
n
x
x
。
高阶导数的运算法则
定理 4.5.1 设 fx()和 gx()都是 n次可导的,则对任意常数 c
1
和
c
2
，它们的线性组合 cf x cgx
12
() )+ ( 也是 n次可导的,且满足如 下 的 线性运算关系
[() )] () )
() () ()
cf x cgx cf x cg x
nn n
12 1 2
+( = + (。
这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况,
∑∑
==
=
n
i
n
ii
n
n
i
ii
xfcxfc
1
)(
)(
1
)()( 。
高阶导数的运算法则
定理 4.5.1 设 fx()和 gx()都是 n次可导的,则对任意常数 c
1
和
c
2
，它们的线性组合 cf x cgx
12
() )+ ( 也是 n次可导的,且满足如 下 的 线性运算关系
[() )] () )
() () ()
cf x cgx cf x cg x
nn n
12 1 2
+( = + (。
这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况,
∑∑
==
=
n
i
n
ii
n
n
i
ii
xfcxfc
1
)(
)(
1
)()( 。
定理 4.5.2 （ Leibniz 公式） 设 fx()和 gx()都是 n次可导函数,
则它们的积函数也 n次可导，且成立公式
[() )] C () )
() ( ) ()
fx gx f xg x
n
n
knk k
k
n
( = (
=
∑
0
,
这里 C
!
!( )!
n
k
n
knk
=
是组合系数。
证 用数学归纳法。 当 n =1时,
01
11
[ () )] C () ) C () ) () ) () )f x gx f xgx f xg x f xgx f xg x
′ ′′′′
( = ( + ( = ( + ( 。
这是已知的结论。
设当 nm= 时 Leibniz 公式成立，即有
[() )] C () )
() ( ) ()
fx gx f xg x
m
m
kmk k
k
m
( = (
=
∑
0
,
则当 nm= +1时,
(1) () ( ) ()
0
[())] {[())]} C[ () )]
m
mmkmkk
m
k
f xgx fxgx f xg x
+?
=
′ ′
(=?(?
∑
() () () ()
0
(1) () () (1)
00
C {[ ( )] ) ( )[ )] }
C( C(,
m
kmk k mk k
m
k
mm
kmk k kmk k
kk
fxgxfxgx
f xg x f xg x
=
+? +
==
′′
=(+
= (+ (
∑
∑∑
将右边的第一项改写成
(1) () (1) (0) (1) ()
01
C( ( C(
mm
kmk k m kmk k
kk
f x g x f x g x f x g x
+? + +?
==
( =(+
∑∑
,
而将右边的第二项改写成
1
() (1) 1(1) ()
01
1(1) () (0) (1)
1
C ( ) ) C ( ) )
C(
mm
jmj j k mk k
jk
m
kmk k m
m
k
fxgx f xgx
fxgxfxgx
+
+?+?
==
+? +
=
(= (
=(+
∑∑
∑
。
两式合并后利用组合恒等式
k
m
k
m
k
m 1
1
CCC
+
=+ 和
01
11
C=C 1
m
mm
+
++
=,
便得到
[() )] C () )
((
fx gx f xg x
m
m
kmk k
k
m
( = (
+
+
+?
=
+
∑
1)
1
1
0
1
,
即 Leibniz 公式对 nm= +1也成立。
所以，定理结论对任意正整数成立。
证毕
读者可将 Leibniz 公式和二项式展开公式
() Cab ab
n
n
knkk
k
n
+=
=
∑
0
加以比较，以便于记忆。
例 4.5.5 求函数 yx x=?()sin322
2
的 100 阶导数。
解 由幂函数的高阶导数的表达式,
),3(0)23(
,6)23(
,6)23(
)(2
2
2
≥=?
=
′′
=
′
nx
x
xx
n
因此 Leibniz 公式中的和式中，只有三项不为零。于是
100
(100) ( ) 2 ( )
100
0
(10)2 1 (9)2 2 (98)2
100 100
100 2 99 98
98 2
C(sin2) (3 2)
(sin 2 ) (3 2) C (sin 2 ) (3 2) C (sin 2 ) (3 2)
2 (3 2)sin 2 100 2 (6 )cos 2 4950 2 6 sin 2
2 [(12 29708)sin 2 1200 cos 2 ]
knk k
k
yxx
xx xx xx
xx xx x
=
=?
′ ′′
+?+?
=
=
∑
。
读者可将 Leibniz 公式和二项式展开公式
() Cab ab
n
n
knkk
k
n
+=
=
∑
0
加以比较，以便于记忆。
两个函数之商的 n阶导数
)(
)(
)(
n
xg
xf
可以化为乘积型
)(
)(
1
)(
n
xg
xf
,再用 Leibniz 公式来计算。
复合函数 yfgx= (())关于 x的二阶导数为
dd dd d dd d d dd
dd ddd dd d ddd
yyuyuyu
x xxuxxuxuxx
=?=?+?
2
22
dd dd
dd dd
yu yu
ux ux
=? +?
。
例 4.5.6 求复合函数 y
x
= e
sin
的二阶导数。
解法一 把 y
x
= e
sin
看成是由
=
=
xu
y
u
sin
,e
复合而成的函数，代入
2
22
dd d d d d
dd d d dd
yyuyu
xx u x ux
=? +?
,
便得到
sin 2 sin 2
(e ) (e) cos (e)( sin ) e (cos sin )
xu u x
xxxx
′′ ′′ ′
=? +? =?。
解法二 直接对 (e ) e cos
sin sinxx
x′ =? 再求一次导数，就得到
sin sin sin sin sin 2
(e ) (e cos ) (e ) cos e (cos ) e (cos sin )
xx x x x
xxx
′′ ′ ′ ′
=? = + =? 。
例 4.5.6 求复合函数 y
x
= e
sin
的二阶导数。
解法一 把 y
x
= e
sin
看成是由
=
=
xu
y
u
sin
,e
复合而成的函数，代入
2
22
dd d d d d
dd d d dd
yyuyu
xx u x ux
=? +?
,
便得到
sin 2 sin 2
(e ) (e) cos (e)( sin ) e (cos sin )
xu u x
xxxx
′′ ′′ ′
=? +? =?。
例 4.5.7 求由方程 e
xy
xy+?=
2
10确定的隐函数 yyx= ()的二阶导数
′′yx()。
解 在例 4.4.5 中，通过对方程 e
xy
xy+?=
2
10的两边关于 x求导，
已经求得
(e )( ) ( )
xy
yxy xyxy+ ′ ++′ =20
2
,
对上式的两边再次关于 x 求导，并注意到 y和 ′y 都是 x 的函数，便有
2 2
22
[(e )( ) (2 )] (e ) ( ) (e )( ) (2 )
(e )( ) (e )( ) (2 4 ) 0
xy xy xy
xy xy
y xy xy x yyxyyxy xy x y
yxy y y xy y xy xy
′′′′′ ′′
++ + = ++ ++ +
′′′′ ′′
=+++++++=，
整理后有
′′ =?
+ ′ + ′ ++′
+
y
yxy y y xy
xx
xy
xy
(e )[( ) ] ( )
(e )
2
224；
将已经解出的 ′ =?
+
+
y
xy
xx
xy
xy
(e )
(e )
2
代入，就得到了隐函数 yx()的二阶导数
y
′′
=
32232 3
23
2e 8 e (12 )e 6
(e )
xy xy xy
xy
y xy x y x y x y
xx
++? +
+
。
对参数形式的函数
(),
(),
xt
yt
ψ
=
=
tα β≤≤,
已知其关于 x的导函数为
d()
d()
yt
xt
ψ
′
=
′
，因此
2
2
x
y
d
d
实际上是另一参数形 式的函数
(),
()
()
()
xt
yt
t
xt
ψ
ξ
=
′
=≡
′
d
d
关于 x的导数。对它再使用参数形式的函数的求导公式
2
2
()
()
y
yt
tx
x
x t
t
ξ
′
==
′
dd
d
dd
d
d
d
,
就得到了
2
23
() () () ()
[()]
ytttt
xt
ψ? ψ?
′′′ ′′′
=
′
d
d
。
例 4.5.8 求摆线
sin,
1cos,
xt t
yt
=?
=?
02πt≤≤
在 t = π处的二阶导函数
2
2
x
y
d
d
的值。
解
(1 cos ) sin
cot
(sin) 1cos 2
y ttt
xt t t
′
===
′
d
d
。
再对函数
sin,
cot,
2
xt t
yt
x
=?
=
d
d
求关于 x的导数,得到
2
2
4
2
1
cot
csc
1
2
22
csc
(sin) 1cos 4 2
t
t
y t
xt t t
′
===?
′
d
d
,
所以当 t =π时,
2
2
x
y
d
d
的值为?
1
4
。
高阶微分
定义 设 yd 是函数 yfx= ()的一阶微分，则称 yd 的微分
yy
2
)( ddd =
为 y 的二阶微分； y
2
d 的微分
yy
32
)( ddd =
为 y 的三阶微分。一般地，若 y 的 n?1阶微分为 y
n 1?
d,定义 y 的 n阶微分为
1
()
nn
yy
=ddd, ",3,2=n 。
下面求 y 的 n阶微分的表达式,
对 yfx= ()的一阶微分的表达式
xxfy dd )(
′
=
的两边求微分，注意 xd （即 xΔ ）与自变量 x无关，视它为常量，因 此有 ()0x =dd,于是
2 2
[()] [()] ()() "()yfxx f xxf xxf xx
′′′
==?+?=dd dd d dd d,
其中
2
xd 表示
2
()xd 。
依次类推，可以导出 y 的 n阶微分的表达式
()
()
nnn
yf xx=dd, ",3,2=n,
其中
n
xd 表示 ()
n
xd 。
这个公式建立了高阶导数与高阶微分之间的关系，即 y 的 n阶微分等于它的 n阶导数乘上自变量的微分的 n次方，这也是用
n
n
x
y
d
d
来表示 fx
n()
()的原因。
下面求 y 的 n阶微分的表达式,
对 yfx= ()的一阶微分的表达式
xxfy dd )(
′
=
的两边求微分，注意 xd （即 xΔ ）与自变量 x无关，视它为常量，因 此有 ()0x =dd,于是
2 2
[()] [()] ()() "()yfxx f xxf xxf xx
′′′
==?+?=dd dd d dd d,
其中
2
xd 表示
2
()xd 。
依次类推，可以导出 y 的 n阶微分的表达式
()
()
nnn
yf xx=dd, ",3,2=n,
其中
n
xd 表示 ()
n
xd 。
请读者注意记号 )(
2
xd,
2
xd,x
2
d 之间的区别。
对于复合函数
=
=
),(
),(
xgu
ufy
这里 x是自变量,u是中间变量。对 uufy dd )(
′
= 两边求微分，得到
222
[ ()] () ( ) () ()yfuuf uuf uu f uu
′′ ′′
=?+?= +dd d dd d d。
注意 u是中间变量而非自变量，这里 u
2
d 一般不会等于零。
例 4.5.9 求函数 y
x
= e
sin
的二阶微分。
解法一 在例 4.5.6 中已经解出
′′ =?yxx
x
e(cos sin)
sin 2
,
所以
22sin22
)sin(cose xxxxyy
x
ddd?=
′′
= 。
解法二 把 y
x
= e
sin
看成是由
e
sin
u
y
ux
=
=
复合而成的函数，则
222
(e )" (e )'
uu
y uu=+ddd
sin 2 2
ecos
x
xx= d
sin 2
esin
x
xx? d
sin 2 2
e(cos sin)
x
x xx=?d 。
注意,关于自变量和中间变量的微分形式的不变性只对一阶
微分成立，而对高阶微分来讲，这一性质不复存在。
例 4.5.9 求函数 y
x
= e
sin
的二阶微分。
解法一 在例 4.5.6 中已经解出
′′ =?yxx
x
e(cos sin)
sin 2
,
所以
22sin22
)sin(cose xxxxyy
x
ddd?=
′′
= 。
物体在时刻 t 的瞬时加速度为当 Δt → 0时，它的平均加速度
Δ
Δ
v
t
的极限值，即
at
v
t
vt t vt
t
vt
tt
( ) lim lim
()()
()==
+?
= ′
→→ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
00
,
也就是说，加速度函数 at()是速度函数 vt()的导函数，是位移函数 st()
的导函数的导函数，称为 st()的 二阶导数 。
§ 5 高阶导数和高阶微分定义
设 yfx= ()可导，若它的导数 ′fx()（或 )(xy
′
，
f
x
d
d
，
y
x
d
d
）仍是个可导函数，则称 ′fx()的导数 ])([
′′
xf （或 []
′
′
)(xy,
f
xx
dd
dd
，
y
xx
dd
dd
）为
fx()的 二阶导数，记为
)(xf
′′
（或 )(xy
′′
，
2
2
f
x
d
d
，
2
2
y
x
d
d
）,
并称 fx()是 二阶可导函数 （ 简称 fx()二阶可导） 或者说 fx()的 二阶导数存在。
若 ′′fx()仍是个可导函数，则称 ′′fx()的导数为 fx()的 三阶导数，
记为
)(xf
′′′
（或 )(xy
′′′
，
3
3
d
d
f
x
，
3
3
d
d
y
x
）,
并称 fx()三阶可导或者说 fx()的 三阶导数存在。
定义
设 yfx= ()可导，若它的导数 ′fx()（或 )(xy
′
，
f
x
d
d
，
y
x
d
d
）仍是个可导函数，则称 ′fx()的导数 ])([
′′
xf （或 []
′
′
)(xy,
f
xx
dd
dd
，
y
xx
dd
dd
）为
fx()的 二阶导数，记为
)(xf
′′
（或 )(xy
′′
，
2
2
f
x
d
d
，
2
2
y
x
d
d
）,
并称 fx()是 二阶可导函数 （ 简称 fx()二阶可导） 或者说 fx()的 二阶导数存在。
以此类推，可以定义 n阶导数,
定义 4.5.1 设函数 )(xfy = 的 n?1阶导数 )(
)1(
xf
n?
（ 或 )(
)1(
xy
n?
，
1
1
d
d
n
n
f
x
，
1
1
d
d
n
n
y
x
）（ ",3,2=n ） 仍是个可导函数,则称它的导数 ])([
)1(
′
xf
n
（ 或 [ ]
′
)(
)1(
xy
n
，
1
1
dd
dd
n
n
f
xx
，
1
1
dd
dd
n
n
y
xx
） 为 fx()的 n阶导数,记为
)(
)(
xf
n
（或 )(
)(
xy
n
，
d
d
n
n
f
x
，
d
d
n
n
y
x
）,
并称 fx()是 n阶可导函数 （ 简称 fx()n阶可导 ） 或者说 fx()的 n阶导 数存在 。
利用上述记号，加速度函数可以写成
2
2
)()(
t
s
tsta
d
d
=
′′
=,
Newton 第二运动定律可以写成
2
2
t
s
mF
d
d
= 。
以此类推，可以定义 n阶导数,
定义 4.5.1 设函数 )(xfy = 的 n?1阶导数 )(
)1(
xf
n?
（ 或 )(
)1(
xy
n?
，
1
1
d
d
n
n
f
x
，
1
1
d
d
n
n
y
x
）（ ",3,2=n ） 仍是个可导函数,则称它的导数 ])([
)1(
′
xf
n
（ 或 [ ]
′
)(
)1(
xy
n
，
1
1
dd
dd
n
n
f
xx
，
1
1
dd
dd
n
n
y
xx
） 为 fx()的 n阶导数,记为
)(
)(
xf
n
（或 )(
)(
xy
n
，
d
d
n
n
f
x
，
d
d
n
n
y
x
）,
并称 fx()是 n阶可导函数 （ 简称 fx()n阶可导 ） 或者说 fx()的 n阶导 数存在 。
例 4.5.1 求 y
x
= e 的 n阶导函数。
解 由
(e ) e
xx
′ =,
可知
xnxxxx
e)(e)(e)(e)(e
)(
===
′′′
=
′′
=
′
"。
类似可以得到
() (ln)
()
aaa
xn nx
= 。
例 4.5.2 求 yx= sin 和 y x= cos 的 n阶导函数。
解 因为
π
(sin ) cos sin
2
xxx
′
== +
,
利用复合函数的求导法则
ππ2π
(sin ) sin( ) cos sin
22
xx x x
′
′′
=+=+=+
,
以此类推，由数学归纳法容易证明
()
π
(sin ) sin
2
n
n
xx
=+
。
同理,yx= cos 的 n阶导数为
()
π
(cos ) cos
2
n
n
xx
=+
。
例 4.5.3 求幂函数 yx
m
= （ m是正整数）的 n阶导函数。
解 由幂函数的导函数形式，有
()xmx
mm
′ =
1
,
() ( )xmmx′′ =?
1
2
,
() ( )( )xmmmx
mm
′′′ =
12
3
,
……
因此它的 n阶导函数的一般形式为
>
≤+
=
,,0
,,)1()1(
)(
)(
mn
mnxnmmm
x
nm
nm
"
特别地
() !
()
xm
mm
= 。
例 4.5.4 求 yx= ln 的的 n阶导函数。
解 因为
(ln )x
x
x′ ==
1
1
,
于是
(ln ) ( )xx x′′ = ′ =?
12
,
(ln ) ( )xxx′′′ =? ′=
23
2,
(ln ) ( )
()
xx x
43 4
232= ′ =,
……
以此类推就可以导出它的一般规律
(ln ) ( ) ( ) ( )
()
()!
()
xnnx
n
x
nn n
n
n
=
=?
11232
1
1
1
1
"
。
附带地还得到
1
)1(
)(
!
)1()(ln
1
+
+
==
n
nn
n
x
n
x
x
。
高阶导数的运算法则
定理 4.5.1 设 fx()和 gx()都是 n次可导的,则对任意常数 c
1
和
c
2
，它们的线性组合 cf x cgx
12
() )+ ( 也是 n次可导的,且满足如 下 的 线性运算关系
[() )] () )
() () ()
cf x cgx cf x cg x
nn n
12 1 2
+( = + (。
这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况,
∑∑
==
=
n
i
n
ii
n
n
i
ii
xfcxfc
1
)(
)(
1
)()( 。
高阶导数的运算法则
定理 4.5.1 设 fx()和 gx()都是 n次可导的,则对任意常数 c
1
和
c
2
，它们的线性组合 cf x cgx
12
() )+ ( 也是 n次可导的,且满足如 下 的 线性运算关系
[() )] () )
() () ()
cf x cgx cf x cg x
nn n
12 1 2
+( = + (。
这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况,
∑∑
==
=
n
i
n
ii
n
n
i
ii
xfcxfc
1
)(
)(
1
)()( 。
定理 4.5.2 （ Leibniz 公式） 设 fx()和 gx()都是 n次可导函数,
则它们的积函数也 n次可导，且成立公式
[() )] C () )
() ( ) ()
fx gx f xg x
n
n
knk k
k
n
( = (
=
∑
0
,
这里 C
!
!( )!
n
k
n
knk
=
是组合系数。
证 用数学归纳法。 当 n =1时,
01
11
[ () )] C () ) C () ) () ) () )f x gx f xgx f xg x f xgx f xg x
′ ′′′′
( = ( + ( = ( + ( 。
这是已知的结论。
设当 nm= 时 Leibniz 公式成立，即有
[() )] C () )
() ( ) ()
fx gx f xg x
m
m
kmk k
k
m
( = (
=
∑
0
,
则当 nm= +1时,
(1) () ( ) ()
0
[())] {[())]} C[ () )]
m
mmkmkk
m
k
f xgx fxgx f xg x
+?
=
′ ′
(=?(?
∑
() () () ()
0
(1) () () (1)
00
C {[ ( )] ) ( )[ )] }
C( C(,
m
kmk k mk k
m
k
mm
kmk k kmk k
kk
fxgxfxgx
f xg x f xg x
=
+? +
==
′′
=(+
= (+ (
∑
∑∑
将右边的第一项改写成
(1) () (1) (0) (1) ()
01
C( ( C(
mm
kmk k m kmk k
kk
f x g x f x g x f x g x
+? + +?
==
( =(+
∑∑
,
而将右边的第二项改写成
1
() (1) 1(1) ()
01
1(1) () (0) (1)
1
C ( ) ) C ( ) )
C(
mm
jmj j k mk k
jk
m
kmk k m
m
k
fxgx f xgx
fxgxfxgx
+
+?+?
==
+? +
=
(= (
=(+
∑∑
∑
。
两式合并后利用组合恒等式
k
m
k
m
k
m 1
1
CCC
+
=+ 和
01
11
C=C 1
m
mm
+
++
=,
便得到
[() )] C () )
((
fx gx f xg x
m
m
kmk k
k
m
( = (
+
+
+?
=
+
∑
1)
1
1
0
1
,
即 Leibniz 公式对 nm= +1也成立。
所以，定理结论对任意正整数成立。
证毕
读者可将 Leibniz 公式和二项式展开公式
() Cab ab
n
n
knkk
k
n
+=
=
∑
0
加以比较，以便于记忆。
例 4.5.5 求函数 yx x=?()sin322
2
的 100 阶导数。
解 由幂函数的高阶导数的表达式,
),3(0)23(
,6)23(
,6)23(
)(2
2
2
≥=?
=
′′
=
′
nx
x
xx
n
因此 Leibniz 公式中的和式中，只有三项不为零。于是
100
(100) ( ) 2 ( )
100
0
(10)2 1 (9)2 2 (98)2
100 100
100 2 99 98
98 2
C(sin2) (3 2)
(sin 2 ) (3 2) C (sin 2 ) (3 2) C (sin 2 ) (3 2)
2 (3 2)sin 2 100 2 (6 )cos 2 4950 2 6 sin 2
2 [(12 29708)sin 2 1200 cos 2 ]
knk k
k
yxx
xx xx xx
xx xx x
=
=?
′ ′′
+?+?
=
=
∑
。
读者可将 Leibniz 公式和二项式展开公式
() Cab ab
n
n
knkk
k
n
+=
=
∑
0
加以比较，以便于记忆。
两个函数之商的 n阶导数
)(
)(
)(
n
xg
xf
可以化为乘积型
)(
)(
1
)(
n
xg
xf
,再用 Leibniz 公式来计算。
复合函数 yfgx= (())关于 x的二阶导数为
dd dd d dd d d dd
dd ddd dd d ddd
yyuyuyu
x xxuxxuxuxx
=?=?+?
2
22
dd dd
dd dd
yu yu
ux ux
=? +?
。
例 4.5.6 求复合函数 y
x
= e
sin
的二阶导数。
解法一 把 y
x
= e
sin
看成是由
=
=
xu
y
u
sin
,e
复合而成的函数，代入
2
22
dd d d d d
dd d d dd
yyuyu
xx u x ux
=? +?
,
便得到
sin 2 sin 2
(e ) (e) cos (e)( sin ) e (cos sin )
xu u x
xxxx
′′ ′′ ′
=? +? =?。
解法二 直接对 (e ) e cos
sin sinxx
x′ =? 再求一次导数，就得到
sin sin sin sin sin 2
(e ) (e cos ) (e ) cos e (cos ) e (cos sin )
xx x x x
xxx
′′ ′ ′ ′
=? = + =? 。
例 4.5.6 求复合函数 y
x
= e
sin
的二阶导数。
解法一 把 y
x
= e
sin
看成是由
=
=
xu
y
u
sin
,e
复合而成的函数，代入
2
22
dd d d d d
dd d d dd
yyuyu
xx u x ux
=? +?
,
便得到
sin 2 sin 2
(e ) (e) cos (e)( sin ) e (cos sin )
xu u x
xxxx
′′ ′′ ′
=? +? =?。
例 4.5.7 求由方程 e
xy
xy+?=
2
10确定的隐函数 yyx= ()的二阶导数
′′yx()。
解 在例 4.4.5 中，通过对方程 e
xy
xy+?=
2
10的两边关于 x求导，
已经求得
(e )( ) ( )
xy
yxy xyxy+ ′ ++′ =20
2
,
对上式的两边再次关于 x 求导，并注意到 y和 ′y 都是 x 的函数，便有
2 2
22
[(e )( ) (2 )] (e ) ( ) (e )( ) (2 )
(e )( ) (e )( ) (2 4 ) 0
xy xy xy
xy xy
y xy xy x yyxyyxy xy x y
yxy y y xy y xy xy
′′′′′ ′′
++ + = ++ ++ +
′′′′ ′′
=+++++++=，
整理后有
′′ =?
+ ′ + ′ ++′
+
y
yxy y y xy
xx
xy
xy
(e )[( ) ] ( )
(e )
2
224；
将已经解出的 ′ =?
+
+
y
xy
xx
xy
xy
(e )
(e )
2
代入，就得到了隐函数 yx()的二阶导数
y
′′
=
32232 3
23
2e 8 e (12 )e 6
(e )
xy xy xy
xy
y xy x y x y x y
xx
++? +
+
。
对参数形式的函数
(),
(),
xt
yt
ψ
=
=
tα β≤≤,
已知其关于 x的导函数为
d()
d()
yt
xt
ψ
′
=
′
，因此
2
2
x
y
d
d
实际上是另一参数形 式的函数
(),
()
()
()
xt
yt
t
xt
ψ
ξ
=
′
=≡
′
d
d
关于 x的导数。对它再使用参数形式的函数的求导公式
2
2
()
()
y
yt
tx
x
x t
t
ξ
′
==
′
dd
d
dd
d
d
d
,
就得到了
2
23
() () () ()
[()]
ytttt
xt
ψ? ψ?
′′′ ′′′
=
′
d
d
。
例 4.5.8 求摆线
sin,
1cos,
xt t
yt
=?
=?
02πt≤≤
在 t = π处的二阶导函数
2
2
x
y
d
d
的值。
解
(1 cos ) sin
cot
(sin) 1cos 2
y ttt
xt t t
′
===
′
d
d
。
再对函数
sin,
cot,
2
xt t
yt
x
=?
=
d
d
求关于 x的导数,得到
2
2
4
2
1
cot
csc
1
2
22
csc
(sin) 1cos 4 2
t
t
y t
xt t t
′
===?
′
d
d
,
所以当 t =π时,
2
2
x
y
d
d
的值为?
1
4
。
高阶微分
定义 设 yd 是函数 yfx= ()的一阶微分，则称 yd 的微分
yy
2
)( ddd =
为 y 的二阶微分； y
2
d 的微分
yy
32
)( ddd =
为 y 的三阶微分。一般地，若 y 的 n?1阶微分为 y
n 1?
d,定义 y 的 n阶微分为
1
()
nn
yy
=ddd, ",3,2=n 。
下面求 y 的 n阶微分的表达式,
对 yfx= ()的一阶微分的表达式
xxfy dd )(
′
=
的两边求微分，注意 xd （即 xΔ ）与自变量 x无关，视它为常量，因 此有 ()0x =dd,于是
2 2
[()] [()] ()() "()yfxx f xxf xxf xx
′′′
==?+?=dd dd d dd d,
其中
2
xd 表示
2
()xd 。
依次类推，可以导出 y 的 n阶微分的表达式
()
()
nnn
yf xx=dd, ",3,2=n,
其中
n
xd 表示 ()
n
xd 。
这个公式建立了高阶导数与高阶微分之间的关系，即 y 的 n阶微分等于它的 n阶导数乘上自变量的微分的 n次方，这也是用
n
n
x
y
d
d
来表示 fx
n()
()的原因。
下面求 y 的 n阶微分的表达式,
对 yfx= ()的一阶微分的表达式
xxfy dd )(
′
=
的两边求微分，注意 xd （即 xΔ ）与自变量 x无关，视它为常量，因 此有 ()0x =dd,于是
2 2
[()] [()] ()() "()yfxx f xxf xxf xx
′′′
==?+?=dd dd d dd d,
其中
2
xd 表示
2
()xd 。
依次类推，可以导出 y 的 n阶微分的表达式
()
()
nnn
yf xx=dd, ",3,2=n,
其中
n
xd 表示 ()
n
xd 。
请读者注意记号 )(
2
xd,
2
xd,x
2
d 之间的区别。
对于复合函数
=
=
),(
),(
xgu
ufy
这里 x是自变量,u是中间变量。对 uufy dd )(
′
= 两边求微分，得到
222
[ ()] () ( ) () ()yfuuf uuf uu f uu
′′ ′′
=?+?= +dd d dd d d。
注意 u是中间变量而非自变量，这里 u
2
d 一般不会等于零。
例 4.5.9 求函数 y
x
= e
sin
的二阶微分。
解法一 在例 4.5.6 中已经解出
′′ =?yxx
x
e(cos sin)
sin 2
,
所以
22sin22
)sin(cose xxxxyy
x
ddd?=
′′
= 。
解法二 把 y
x
= e
sin
看成是由
e
sin
u
y
ux
=
=
复合而成的函数，则
222
(e )" (e )'
uu
y uu=+ddd
sin 2 2
ecos
x
xx= d
sin 2
esin
x
xx? d
sin 2 2
e(cos sin)
x
x xx=?d 。
注意,关于自变量和中间变量的微分形式的不变性只对一阶
微分成立，而对高阶微分来讲，这一性质不复存在。
例 4.5.9 求函数 y
x
= e
sin
的二阶微分。
解法一 在例 4.5.6 中已经解出
′′ =?yxx
x
e(cos sin)
sin 2
,
所以
22sin22
)sin(cose xxxxyy
x
ddd?=
′′
= 。
