微分的逆运算 ── 不定积分
定义6.1.1 若在某个区间上，函数 Fx()和 fx()成立关系
′ =Fx fx() (),
或等价地,
(() ()F x f xx=dd,
则称 Fx()是 fx()在这个区间上的一个 原函数 。
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则注意，如果一个函数存在原函数，那么它的原函数必定是不唯一的。比如，若 Fx()是 fx()的原函数，那么对任何常数 C,Fx C()+ 也是
fx()的原函数。
反之，若 Gx()是 fx()的任一个原函数，则 [() ()]Fx Gx? ′= 0。于是
Fx Gx C() ()? ≡,即 Gx Fx C() ()= + 。
所以，只要求出了 fx()的任意一个原函数 Fx()，就 可以用 Fx C()+
来代表 fx()的原函数全体了。
定义6.1.2 一个函数 fx()的原函数全体称为这个函数的不定积分,记作 ()df xx
∫
。
这里，,
∫
”称为 积分号,fx()称为被积函数,x称为 积分变量 。
微分运算,d,与不定积分运算,
∫
”构成了一对逆运算,
()
()
()
Fx
f xx
Fx C
→
←
+
∫
d
d,
或者具体写成
( )
() ()f xx fxx=
∫
dd d（ 即
( )
() ()f xx f x
x
=
∫
d
d
d
）
与
() ()F xFxC= +
∫
d 。
例6.1.1 求 sin xx
∫
d 。
解 由于 (cos ) sinxxx=?dd，即 (cos) sinxxx? =dd，因此得到
sin cosxx x C=?+
∫
d 。
例6.1.2 求 xx
α
∫
d,（ 1?≠α ）。
解 由于
αα
α
xx =
′
+
+1
1
1
，因此有
1
1
1
xx x C
αα
α
+
= +
+
∫
d 。
例6.1.1 求 sin xx
∫
d 。
解 由于 (cos ) sinxxx=?dd，即 (cos) sinxxx? =dd，因此得到
sin cosxx x C=?+
∫
d 。
例6.1.3 求
x
x
∫
d
。
解 当 x > 0 时，有 (ln )x
x
′ =
1
，因此
ln
x
xC
x
= +
∫
d
()x > 0 。
当 x < 0时，有 [ln( )] ( )? ′ =
=x
xx
1
1
1
，因此
ln( )
x
xC
x
=?+
∫
d
()x < 0 。
把两式结合起来，便得到
ln | |
x
xC
x
= +
∫
d
。
不定积分的线性性质
定理6.1.1（线性性） 若函数 fx()和 gx()的原函数都存在，
则对任意常数 k
1
和 k
2
，函数 kfx kgx
12
() ()+ 的原函数也存在，且有
12 1 2
[ () ()] () ()kfx kgx x k fx x k gx x+= +
∫∫∫
ddd。
证 略。
基本的不定积分公式,
微 分 不 定 积 分
(e ) e
xx
x=dd
ee
xx
xC= +
∫
d
(ln )
x
x
x
=
d
d
ln | |
x
xC
x
= +
∫
d
1
()xxx
αα
α
=dd
1
1
1
(1)xx x C
αα
α
α
+
+
= +≠?
∫
d
(sin ) cosxxx=
cos sinxx x C= +
∫
d
(cos ) sinxxx=?dd
sin cosxx x C=?+
∫
d
2
(tan ) secxxx=
2
sec tanxx x C= +
∫
d
2
(cot ) cscxxx=?dd
2
csc cotxx x C=?+
∫
d
(sec ) tan secxxx=
tan sec secxxx xC= +
∫
d
(csc ) cot cscxxx=?dd
cot csc cscxxx xC=?+
∫
d
2
(arcsin )
1
x
x
x
=
d
d
2
arcsin
1
x
xC
x
= +
∫
d
2
(arctan )
1
x
x
x
=
+
d
d
2
arctan
1
x
xC
x
= +
+
∫
d
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出一些简单函数的不定积分。
例6.1.4 求
2
tan xx
∫
d 。
解 利用三角恒等式 1sectan
22
= xx,
2
tan xx
∫
d
22
(sec 1) sec 1xx xx x=?=
∫ ∫∫
ddd Cxx +?= tan 。
例6.1.5 求
2
sin
2
x
x
∫
d 。
解 利用三角函数的半角公式
2
cos1
2
sin
2
xx?
=,
2
1cos 1 1
sin (1 cos ) ( sin )
222 2
xx
x xxxxxC
==?=?+
∫∫ ∫
dd d 。
不定积分的线性性质和上面的不定积分表可以帮助我们求出一些简单函数的不定积分。
例6.1.4 求
2
tan xx
∫
d 。
解 利用三角恒等式 1sectan
22
= xx,
2
tan xx
∫
d
22
(sec 1) sec 1xx xx x=?=
∫ ∫∫
ddd Cxx +?= tan 。
例6.1.6 求
2
()(2)xxx x
x
x
+?
∫
d 。
解
2
()(2)xxx x
x
x
+?
∫
d
32
34xxxxx
x
x
+
=
∫
d
57
22
232
2
(34) 2
7
xxxxxxxC=?+ =?++
∫
d。
例6.1.7 求
4
2
1
x
x
x+
∫
d,
解
4422 2 2
22
22
11
11 1 1
xxxx x x
x xxx xxx x
+? +?
==?=?
++ + +
∫ ∫ ∫∫ ∫∫
dddddd
33
2
1
arctan
313
x xxxxxC
x
=?+ =?+ +
+
∫∫
dd 。
例6.1.6 求
2
()(2)xxx x
x
x
+?
∫
d 。
解
2
()(2)xxx x
x
x
+?
∫
d
32
34xxxxx
x
x
+
=
∫
d
57
22
232
2
(34) 2
7
xxxxxxxC=?+ =?++
∫
d。
例6.1.8 已知曲线 yfx= ()在任意一点 ))(,( xfx 处的切线斜率都等于 x
2
，并且曲线经过点 (,)32,求该曲线的方程。
解 由
2
xy =
′
，得到
3
2
3
x
yxx C= =+
∫
d,
将 xy==32,代入上式，即可解得 C =?7,所以曲线为
y
x
=?
3
3
7 。