数值积分
对于求定积分，虽然有了 Newton-Leibniz 公式，但在整个可积函数类中,能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分,也就是说，
对绝大部分在理论上可积的函数，并不能用 Newton-Leibniz 公式求得其定积分之值。
另一方面，在实际问题中，许多函数只是通过测量、试验等方法给出了在若干个离散点上的函数值，如果问题的最后解决有赖于求出这个函数在某个区间上的积分值，那么 Newton-Leibniz 公式是难有用武之地的。
所以需要寻找求定积分的各种近似方法,数值积分是其中最重要的一种。
§ 6 定积分的数值计算
从数值计算的观点来看，若能在 [,]ab上找到一个具有足够精度的替代 fx()的可积函数 px()，而 )(xp 的原函数可以用初等函数 )(xP 表示，
比如,px()为 fx()的某个插值多项式，那么便可用 px()的积分值近似地代替 fx()的积分值，即
()d
b
a
f xx
∫
()d
b
a
p xx≈
∫
b
a
xP )(= 。
此外，从定积分的几何意义知道，将积分区间分得越细，小块近似面积之和与总面积就越是接近。因此，用简单函数替代被积函数，
并将积分区间细化是数值积分的主要思想。
Newton-Cotes 求积公式
这是一个取等距结点的数值积分公式。
将积分区间 [,]ab以步长 h
ba
n
=
分成 n等份，以分点
ihax
i
+= （ nni,1,,2,1,0?= "）
为结点作 fx()的 Lagrange 插值多项式
fx()≈ )()(
0 0
i
n
i
n
ij
j
ji
j
n
xf
xx
xx
xp
∑ ∏
=
≠
=
=,
对等式两边在 [,]ab上积分，便有
()d
b
a
f xx
∫
()d
b
n
a
p xx≈
∫
=?
=
∑
() ()
()
ba C fx
i
n
i
n
i
0
,
这里,
()
0
1
d
n
b
j
n
i
a
j
ij
ji
xx
Cx
ba x x
=
≠
=
∏
∫
（令 x ath= + ）
0
0
d
n
n
j
ji
htj
t
ba i j
=
≠
=
∏
∫
0
0
1(1)
()d
!( )!
ni
n
n
j
ji
tjt
ni n i
=
≠
=?
∏
∫
。
这就是 n步 Newton-Cotes 求积公式，计算时需取 n+1个结点，相应的
C
i
n()
称为 Cotes 系数，它与积分区间和被积函数无关，可通过求多项式的积分事先算好。
Cotes 系数具有如下性质,
1,对称性。可从 C
i
n()
的表达式直接算出
C
i
n()
=
C
ni
n()
,inn=?012 1,,,,, ",
2,规范性。 由于 Newton-Cotes 公式对 fx()≡1是精确成立的，
因此
1d
b
a
x?
∫
=?
=
∑
()
()
ba C
i
n
i
n
0
,
即
C
i
n
i
n
()
=
∑
=
0
1。
Newton-Cotes 公式将求定积分问题近似地转化为一个求和问题，
下面是几个常用的情况。
⑴ 梯形公式
当 n =1时，由 Cotes 系数的性质，即知
C
0
(1)
==C
1
1
2
(1)
,
因此
()d
b
a
f xx
∫
≈
+
ba
fa fb
2
[() ()]。
它的几何意义是用以 (,)a 0,(,())afa,(,())bfb
和 (,)b 0 为顶点的直角梯形的面积近似代替由
yfx= (),xa=,x b= 和 x轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.1）,
所以称为 梯形公式 。
a
b
f(a)
f(b)
图7.6.1
⑵ Simpson 公式
当 n = 2时,
2
(2) (2)
02
0
11
(1)(2)d
46
CtttC===
∫
,
CCC
1
2
0
2
2
2
1
4
6
() () ()
= =,
因此得到 Simpson 公式
()d
b
a
f xx
∫?
+
+
+
≈ )(
2
4)(
6
bf
ba
faf
ab
。
它的几何意义是用过点 (,())afa,
++
2
,
2
ba
f
ba
和 (,())bfb 的抛物线
)(
2
xpy = 与 xa=,x b= 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积，近似代替由
yfx= (),xa=,x b= 和 x轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.2），
所以 Simpson 公式也称为抛物线公式。
⑶ Cotes 公式
当 n = 4时,
4
(4) (4)
04
0
17
( 1)( 2)( 3)( 4)d
96 90
CtttttC===
∫
,
4
(4) (4)
13
0
2
(2)(3)(4)d
24 90
CtttttC= = =
∫
,
CCC
2
4
0
4
1
4
12
12
90
() () ()
= =,
于是得到 Cotes 公式
()d
b
a
f xx
∫
{})(12)]()([32)]()([7
90
23140
xfxfxfxfxf
ab
++++
≈,
这里
x
ia ib
i
=
+()4
4
,i = 01234,,,,。
例 7.6.1 分别用以上三个公式求
1
1
ed
x
x
∫
的近似值。
解 梯形公式,I
1
11
308616127= + =
ee,…；
Simpson公式,I
2
101
1
3
4 2 362053757=++=
(e e e ),…；
Cotes公式,
I
4
11 0
1
45
7 32 12 2 350470904
1
2
1
2
=++++=
[(e e ) (e e ) e],…。
而积分的精确值为
1
1
ed
x
Ix
=
∫
=?e
e
1
= 2 350402387,…。
所以,Cotes 公式的精度最高，但它要计算 5 个函数值，而梯形公式只要计算两个就够了。
复化求积公式
要提高数值积分的精度，不能采用一味提高 Newton-Cotes 公 式的步数的办法。理论上已经证明,n较大时,Newton-Cotes 公式的 计算过程中将产生不稳定。一个顺理成章的思路是，先将积分区间分 成若干等份，再在每一个小区间上使用低步数的 Newton-Cotes 公式，
最后将各小区间上的积分近似值加起来。
⑴ 复化梯形公式
将 [,]ab以步长 h
ba
m
=
作 m等分 ihax
i
+= （ mmi,1,,2,1,0?= "），在每一个小区间 [,]xx
ii?1
使用梯形公式
()d
b
a
f xx
∫
1
1
()d
i
i
m
x
x
i
f xx
=
=
∑
∫
≈+
=
∑
h
fx fx
ii
i
m
2
1
1
[( ) ( )] 。
记
++=
∑
=
1
1
)1(
)(2)()(
2
m
i
im
xfbfaf
h
T,
则 T
m
(1)
称为将区间 m等分的 复化梯形公式。
可以证明，复化梯形公式与 ()d
b
a
f xx
∫
的误差为 ))((
2
habO?,与对整个区间直接使用梯形公式时的误差 ))((
3
abO? 相比，精度大大提高了。
⑵ 复化 Simpson 公式和复化 Cotes 公式
记 x
i?
1
2
为区间 [,]xx
ii?1
的中点，可以完全类似地得到 复化 Simpson
公式,
TS
mm
()2
≡ = [ ]
∑
=
++
m
i
i
i
i
xfxfxf
h
1
1
)()(4)(
6
2
1
+++=
∑∑
==
1
11
)(4)(2)()(
6
2
1
m
i
m
i
i
i
xfxfbfaf
h
。
实际计算时并不是直接按这个公式去求 T
m
()2
的。容易证明，复化
Simpson 公式与复化梯形公式之间存在着如下关系,
T
TT
m
mm
()
(1)
(1)
2
2
4
41
=
,
将 T
TT
m
mm
()
(1)
(1)
2
2
4
41
=
与第五章§4 的外推公式相比较，就知道复化
Simpson 公式实质上是对复化梯形公式做了一次外推的结果。 但复化
Simpson 公式的误差为
5
(( ) )Ob ah?,远远好于 T
m
(1)
和 T
m2
(1)
，这一现象符合我们在前面所说的，两个低精度的近似值进行适当外推后，可产生一个精度高得多的近似值。
仿照以上过程可导出复化 Cotes 公式 T
m
()3
，其满足关系式
T
TT
m
mm
()
()
()
3
2
2
2
2
2
4
41
=
。
对于求定积分，虽然有了 Newton-Leibniz 公式，但在整个可积函数类中,能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分,也就是说，
对绝大部分在理论上可积的函数，并不能用 Newton-Leibniz 公式求得其定积分之值。
另一方面，在实际问题中，许多函数只是通过测量、试验等方法给出了在若干个离散点上的函数值，如果问题的最后解决有赖于求出这个函数在某个区间上的积分值，那么 Newton-Leibniz 公式是难有用武之地的。
所以需要寻找求定积分的各种近似方法,数值积分是其中最重要的一种。
§ 6 定积分的数值计算
从数值计算的观点来看，若能在 [,]ab上找到一个具有足够精度的替代 fx()的可积函数 px()，而 )(xp 的原函数可以用初等函数 )(xP 表示，
比如,px()为 fx()的某个插值多项式，那么便可用 px()的积分值近似地代替 fx()的积分值，即
()d
b
a
f xx
∫
()d
b
a
p xx≈
∫
b
a
xP )(= 。
此外，从定积分的几何意义知道，将积分区间分得越细，小块近似面积之和与总面积就越是接近。因此，用简单函数替代被积函数，
并将积分区间细化是数值积分的主要思想。
Newton-Cotes 求积公式
这是一个取等距结点的数值积分公式。
将积分区间 [,]ab以步长 h
ba
n
=
分成 n等份，以分点
ihax
i
+= （ nni,1,,2,1,0?= "）
为结点作 fx()的 Lagrange 插值多项式
fx()≈ )()(
0 0
i
n
i
n
ij
j
ji
j
n
xf
xx
xx
xp
∑ ∏
=
≠
=
=,
对等式两边在 [,]ab上积分，便有
()d
b
a
f xx
∫
()d
b
n
a
p xx≈
∫
=?
=
∑
() ()
()
ba C fx
i
n
i
n
i
0
,
这里,
()
0
1
d
n
b
j
n
i
a
j
ij
ji
xx
Cx
ba x x
=
≠
=
∏
∫
（令 x ath= + ）
0
0
d
n
n
j
ji
htj
t
ba i j
=
≠
=
∏
∫
0
0
1(1)
()d
!( )!
ni
n
n
j
ji
tjt
ni n i
=
≠
=?
∏
∫
。
这就是 n步 Newton-Cotes 求积公式，计算时需取 n+1个结点，相应的
C
i
n()
称为 Cotes 系数，它与积分区间和被积函数无关，可通过求多项式的积分事先算好。
Cotes 系数具有如下性质,
1,对称性。可从 C
i
n()
的表达式直接算出
C
i
n()
=
C
ni
n()
,inn=?012 1,,,,, ",
2,规范性。 由于 Newton-Cotes 公式对 fx()≡1是精确成立的，
因此
1d
b
a
x?
∫
=?
=
∑
()
()
ba C
i
n
i
n
0
,
即
C
i
n
i
n
()
=
∑
=
0
1。
Newton-Cotes 公式将求定积分问题近似地转化为一个求和问题，
下面是几个常用的情况。
⑴ 梯形公式
当 n =1时，由 Cotes 系数的性质，即知
C
0
(1)
==C
1
1
2
(1)
,
因此
()d
b
a
f xx
∫
≈
+
ba
fa fb
2
[() ()]。
它的几何意义是用以 (,)a 0,(,())afa,(,())bfb
和 (,)b 0 为顶点的直角梯形的面积近似代替由
yfx= (),xa=,x b= 和 x轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.1）,
所以称为 梯形公式 。
a
b
f(a)
f(b)
图7.6.1
⑵ Simpson 公式
当 n = 2时,
2
(2) (2)
02
0
11
(1)(2)d
46
CtttC===
∫
,
CCC
1
2
0
2
2
2
1
4
6
() () ()
= =,
因此得到 Simpson 公式
()d
b
a
f xx
∫?
+
+
+
≈ )(
2
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6
bf
ba
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。
它的几何意义是用过点 (,())afa,
++
2
,
2
ba
f
ba
和 (,())bfb 的抛物线
)(
2
xpy = 与 xa=,x b= 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积，近似代替由
yfx= (),xa=,x b= 和 x轴所围成的曲边梯形的面积（图 7.6.2），
所以 Simpson 公式也称为抛物线公式。
⑶ Cotes 公式
当 n = 4时,
4
(4) (4)
04
0
17
( 1)( 2)( 3)( 4)d
96 90
CtttttC===
∫
,
4
(4) (4)
13
0
2
(2)(3)(4)d
24 90
CtttttC= = =
∫
,
CCC
2
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12
12
90
() () ()
= =,
于是得到 Cotes 公式
()d
b
a
f xx
∫
{})(12)]()([32)]()([7
90
23140
xfxfxfxfxf
ab
++++
≈,
这里
x
ia ib
i
=
+()4
4
,i = 01234,,,,。
例 7.6.1 分别用以上三个公式求
1
1
ed
x
x
∫
的近似值。
解 梯形公式,I
1
11
308616127= + =
ee,…；
Simpson公式,I
2
101
1
3
4 2 362053757=++=
(e e e ),…；
Cotes公式,
I
4
11 0
1
45
7 32 12 2 350470904
1
2
1
2
=++++=
[(e e ) (e e ) e],…。
而积分的精确值为
1
1
ed
x
Ix
=
∫
=?e
e
1
= 2 350402387,…。
所以,Cotes 公式的精度最高，但它要计算 5 个函数值，而梯形公式只要计算两个就够了。
复化求积公式
要提高数值积分的精度，不能采用一味提高 Newton-Cotes 公 式的步数的办法。理论上已经证明,n较大时,Newton-Cotes 公式的 计算过程中将产生不稳定。一个顺理成章的思路是，先将积分区间分 成若干等份，再在每一个小区间上使用低步数的 Newton-Cotes 公式，
最后将各小区间上的积分近似值加起来。
⑴ 复化梯形公式
将 [,]ab以步长 h
ba
m
=
作 m等分 ihax
i
+= （ mmi,1,,2,1,0?= "），在每一个小区间 [,]xx
ii?1
使用梯形公式
()d
b
a
f xx
∫
1
1
()d
i
i
m
x
x
i
f xx
=
=
∑
∫
≈+
=
∑
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fx fx
ii
i
m
2
1
1
[( ) ( )] 。
记
++=
∑
=
1
1
)1(
)(2)()(
2
m
i
im
xfbfaf
h
T,
则 T
m
(1)
称为将区间 m等分的 复化梯形公式。
可以证明，复化梯形公式与 ()d
b
a
f xx
∫
的误差为 ))((
2
habO?,与对整个区间直接使用梯形公式时的误差 ))((
3
abO? 相比，精度大大提高了。
⑵ 复化 Simpson 公式和复化 Cotes 公式
记 x
i?
1
2
为区间 [,]xx
ii?1
的中点，可以完全类似地得到 复化 Simpson
公式,
TS
mm
()2
≡ = [ ]
∑
=
++
m
i
i
i
i
xfxfxf
h
1
1
)()(4)(
6
2
1
+++=
∑∑
==
1
11
)(4)(2)()(
6
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1
m
i
m
i
i
i
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h
。
实际计算时并不是直接按这个公式去求 T
m
()2
的。容易证明，复化
Simpson 公式与复化梯形公式之间存在着如下关系,
T
TT
m
mm
()
(1)
(1)
2
2
4
41
=
,
将 T
TT
m
mm
()
(1)
(1)
2
2
4
41
=
与第五章§4 的外推公式相比较，就知道复化
Simpson 公式实质上是对复化梯形公式做了一次外推的结果。 但复化
Simpson 公式的误差为
5
(( ) )Ob ah?,远远好于 T
m
(1)
和 T
m2
(1)
，这一现象符合我们在前面所说的，两个低精度的近似值进行适当外推后，可产生一个精度高得多的近似值。
仿照以上过程可导出复化 Cotes 公式 T
m
()3
，其满足关系式
T
TT
m
mm
()
()
()
3
2
2
2
2
2
4
41
=
。
