定积分概念的导出背景
1609年至 1619年间，德国天文学家 Kepler提出了著名的“行星运动三大定律”,
⑴行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。
⑵从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。
⑶行星绕太阳公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
第七章 定积分
§1 定积分的概念和可积条件这是天文学上划时代的发现 （ Newton正是在证明这些定律的过程中发现了万有引力定律，进而创立了现代天体力学），而且也是数学发展史上的重要里程碑。
一方面,在古希腊的数学家们发现了圆锥曲线的性质之后的一千八百多年以来，人们从未想到过，这样的纯数学结果居然会有如此辉煌的实际应用价值。
另一方面，为了确定第二定律,Kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角形，运用了一些出色的技巧对它们的 面积之和求极限，成功地计算出了所扫过的面积（图7.1.1）。在其卓有成效的工作中，已包含了现代定积分思想的雏形。
例如，求由两条直角边和一条抛物线 yx=
2
所围成的所谓曲边三角形 的面积，可以采用以下的做法,
用步长 h
n
=
1
将 [,]01分成 n个长度为 h的小区间，其分割点（称为分点 ）为
xih i n n
i
= =?,,,,,012 1 "。
先在每个小区间 ],[
1 ii
xx
上，构造以 h为底、以
2
11
)(
=
ii
xxf 为高的小矩形，则所有这些小矩形的面积之和为
∑∑∑
===
=
=?=
′
n
i
n
i
n
i
in
i
nn
i
n
xhS
1
2
3
1
2
1
2
1
)1(
111；
再在每个小区间 ],[
1 ii
xx
上，构造以 h为底、以
2
)(
ii
xxf = 为高的小矩形，
则所有这些小矩形的面积之和为
∑∑∑
===
=
=?=
″
n
i
n
i
n
i
in
i
nn
i
n
xhS
1
2
3
1
2
1
2
11
。
(图7.1.2)为上述过程的图示
设曲边三角形的面积为 S,则有
nn
SSS
′ ′′
< < 。
利用数学归纳法，容易证明
=?
∑
=
n
i
i
1
2
)1(
6
)12)(1(
)1(321
2222
=?++++
nnn
n "
=
∑
=
n
i
i
1
2
6
)12)(1(
321
2222
++
=++++
nnn
n ",
令 ∞→n,得到
3
1
6
)12)(1(
limlim
3
=
=
′
∞→∞→
n
nnn
S
n
n
n
与
3
1
6
)12)(1(
limlim
3
=
++
=
″
∞→∞→
n
nnn
S
n
n
n
,
由极限的夹逼性，可知曲边三角形的面积为
1
3
S = 。
由此可以想到,如果在每个小区间 ],[
1 ii
xx
上任意取点 ∈
i
ξ ],[
1 ii
xx
，
并构造以 h为底、以
2
)(
ii
f ξξ = 为高的小矩形，则所有这些小矩形的面积之和为
∑
=
n
i
i
n
1
2
1
ξ,显然仍然有
″
≤≤
′
∑
=
n
n
i
in
S
n
S
1
2
1
ξ,
令 ∞→n,由极限的夹逼性，得到
3
11
lim
1
2
=
∑
=
∞→
n
i
i
n
n
ξ,就是所求的曲边三角形的面积。
y=f(x)
f
i
()ξ
0 x
i-1
x
i
1 x
y
利用上述思想，我们来求由连续曲线 yfx= ()（假设 fx()> 0），
直线 x a=,x b= 和 x轴围成的 曲边梯形 的面积（图7.1.3）,
在 [,]ab中取一系列的分点 x
i
，作成一种划分
P,ax x x x b
n
=<< < < =
012
",
记小区间 [,]xx
ii?1
的长度为
Δxxx
iii
=?
1
,
并在每个小区间上任意取一点 ξ
i
，用底为 Δx
i
，高为 )(
i
f ξ 的矩形面积近似代替小的曲边梯形的面积。
图7.1.3
Δx
i
i
ξ
y=f(x)
f
i
()ξ
0 ax
i-1
x
i
bx
y
那么这些小矩形面积之和
∑
=
Δ
n
i
ii
xf
1
)(ξ
就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令 )(max
1
i
ni
xΔ=
≤≤
λ,当 0→λ 时，若极限
∑
=
→
Δ
n
i
ii
xf
1
0
)(lim ξ
λ
存在，那么这个极限显然就是
所要求的曲边梯形的精确面积。
Δx
i
i
ξ
y=f(x)
f
i
()ξ
0 ax
i-1
x
i
bx
y
在许多其他领域的研究中,也大量地遇到诸如此类的和式的极限问题。比如，求一个以速度 vt()做变速运动的物体从时间 tT=
1
到时间
tT=
2
所走过的路程 S,可以先在时间段 [,]TT
12
中取一系列的分点 t
i
，
作成划分
P,Tt tt t T
n1012 2
= < < < < = ",
并在每个小区间 [,]tt
ii?1
上随意取一点
i
ξ,只要时间间隔
Δttt
iii
=?
1
充分小,)(
i
v ξ 就可以近似地看作是在 [,]tt
ii?1
时间段中的平均速度，因此在这段时间中走过的路程近似地等于 vt
ii
()ξ Δ,于是整个路程就近似等于
∑
=
Δ
n
i
ii
tv
1
)(ξ 。
若当 λ = →
≤≤
max( )
1
0
in
i
tΔ 时,极限
∑
=
→
Δ
n
i
ii
tv
1
0
)(lim ξ
λ
存在，那么这个极限就是所要求的路程 S 的精确值。
定积分的定义
定义7.1.1 设 fx()是定义于 [,]ab上的有界函数，在 [,]ab上任意取分点 {}x
ii
n
=0
，作成一种划分
P,ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
并任意取点 ∈
i
ξ [,]xx
ii?1
。 记小区间 [,]xx
ii?1
的长度为 Δxxx
iii
=?
1
,并令
λ =
≤≤
max( )
1 in
i
xΔ,若当 0→λ 时,极限
∑
=
→
Δ
n
i
ii
xf
1
0
)(lim ξ
λ
存在，且极限值既与划分 P无关，又与对
i
ξ 的取法无关，则称 fx()在
[,]ab上 Riemann可积。和式
1
()
n
ii
i
f xξ
=
Δ
∑
称为Riemann 和,其极限值 I 称为 fx()在 [,]ab上的 定积分，记为
I ＝ ()
b
a
f xx
∫
d,
这里 a 和 b 分别被称为积分的 下限和 上限 。
在上面的定义中，要求 ba < 。当 ba ≥ 时，我们规定
()
b
a
f xx
∫
d = - ()
a
b
f xx
∫
d,
并由此得到
() 0
a
a
fx x=
∫
d 。
这一定义也可以用,ε － δ 语言”表述如下,
设有定数 I,对任意给定的 0ε >,存在 0δ >,使得对任意一种划分
P,ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
和任意点 ],[
1 iii
xx
∈ξ,只要
1
max( )
i
in
xλ δ
≤≤
= Δ<，便有
εξ <?Δ
∑
=
Ixf
n
i
ii
1
)(,
则称 fx()在 [,]ab上Riemann 可积，称 I 是 fx()在 [,]ab上的定积分。
在上面的定义中，要求 ba < 。当 ba ≥ 时，我们规定
()
b
a
f xx
∫
d = - ()
a
b
f xx
∫
d,
并由此得到
() 0
a
a
fx x=
∫
d 。
注意,当 fx()在 [,]ab上可积，即要求对任意划分 P和任意
∈
i
ξ [,]xx
ii?1
，极限
∑
=
→
Δ
n
i
ii
xf
1
0
)(lim ξ
λ
都存在，则 fx()必须在 [,]ab上有界。
在上面的定义中，要求 ba < 。当 ba ≥ 时，我们规定
()
b
a
f xx
∫
d = - ()
a
b
f xx
∫
d,
并由此得到
() 0
a
a
fx x=
∫
d 。
这一定义也可以用,ε － δ 语言”表述如下,
设有定数 I,对任意给定的 0ε >,存在 0δ >,使得对任意一种划分
P,ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
和任意点 ],[
1 iii
xx
∈ξ,只要
1
max( )
i
in
xλ δ
≤≤
= Δ<，便有
εξ <?Δ
∑
=
Ixf
n
i
ii
1
)(,
则称 fx()在 [,]ab上Riemann 可积，称 I 是 fx()在 [,]ab上的定积分。
例7,1.1 讨论 Dirichlet函数
1,
()
0,
x
Dx
x
=
为有理数为无理数
在 [,]01上的可积性。
解 由于有理数和无理数在实数域上的稠密性，因此不管用什么样的划分 P对 [,]01作分割，在每个小区间 [,]xx
ii+1
中一定是既有有理数又有无理数。
于是，当将
i
ξ 全部取为有理数时,
11lim)(lim
1
0
1
0
=Δ?=Δ
∑∑
=
→
=
→
n
i
i
n
i
ii
xxf
λλ
ξ,
当将
i
ξ 全部取为无理数时，则有
00lim)(lim
1
0
1
0
=Δ?=Δ
∑∑
=
→
=
→
n
i
i
n
i
ii
xxf
λλ
ξ 。
所以尽管两个和式的极限都存在，但极限不相同，所以 Dirichlet函数在
Riemann意义下是不可积的。
Darboux和
记 fx()在 [,]ab上的上确界和下确界分别为 M 和 m，则有
mfx M≤ ≤() 。
另外,记 fx()在 [,]xx
ii?1
的上确界和下确界分别为 M
i
和 m
i
（ in=12,,, "），
即
Mfxxxx
iii
= ∈
sup { ( ) | [,]}
1
和
mfxxxx
iii
= ∈
inf { ( ) | [,]}
1
,
定义和式
SP M x
ii
i
n
()=
=
∑
Δ
1
与 SP m x
ii
i
n
()=
=
∑
Δ
1
,
它们分别被称为相应于划分P 的 Darboux大和 与 Darboux小和 （统称为
Darboux和 ），那么显然有（图7.1.4）
)()()(
1
PSxfPS
n
i
ii
≤Δ≤
∑
=
ξ 。
y
M
i
m
i
x
图7.1.4
下面不加证明引入几个引理,
引理7.1.1 若在原有划分中加入分点形成新的划分，则大和不增，小和不减。
记 S是一切可能的划分所得到的Darboux 大和的集合，而 S是一切可能的划分所得到的 Darboux小和的集合。
引理7.1.2 对任意 S ()P
1
∈S和 S ()P
2
∈S，恒有
m ()ba? ≤ S ()P
2
≤ S ()P
1
≤ M ()ba? 。
引理7.1.3（Darboux定理） 对任意在 [,]ab上有界的函数 fx(),恒有
lim ( )
λ→
=
0
SP L,lim ( )
λ→
=
0
SP l 。
Riemann 可积的充分必要条件
现在我们来导出可积的充分必要条件。
定理7.1.1 有界函数 fx()在 [,]ab可积的充分必要条件是，对任意划分，当 0)(max
1
→Δ=
≤≤
i
ni
xλ 时,Darboux大和与 Darboux小和的极限相等,
Ll=,
即成立
lim ( )
λ→
=
0
SP lim
λ→0
S ()P 。
证 先证必要性。
设 fx()可积且积分值为 I,则对任意的 0ε >,存在 0δ >,使得对任意划分
P,ax x x x b
n
= < < < < =
012
"
和任意点 ],[
1 iii
xx
∈ξ,只要 δλ <Δ=
≤≤
)(max
1
i
ni
x,便有
2
)(
1
ε
ξ <?Δ
∑
=
Ixf
n
i
ii
。
特殊地，取
i
ξ 是 [,]xx
ii?1
中满足
)(2
)(0
ab
fM
ii
<?≤
ε
ξ
的点，于是
11
() () [ ()] ( )
2( ) 2
nn
ii i i i
ii
SP f x M f x b a
ba
ε ε
ξξ
==
Δ=?Δ<=
∑∑
,
所以
()SP I?
11
() () ()
22
nn
ii ii
ii
SP fx fxI
εε
ξ ξε
==
≤?Δ+Δ?<+=
∑∑
。
这就是
lim ( )
λ→
=
0
SP I。
同理可证
lim ( )
λ→
=
0
SP I。
于是
lim ( )
λ→
=
0
SP lim
λ→0
S ()P 。
再证充分性。
按 Darboux和的定义，对任意一种划分 P，有
1
() () ()
n
ii
i
SP f xSPξ
=
≤Δ≤
∑
。
由
lim ( )
λ→
=
0
SP lim
λ→0
S ()P = I,
两边取极限，即有
Ixf
n
i
ii
=Δ
∑
=
→
1
0
)(lim ξ
λ
。
记
iii
mM?=ω
为 fx()在 [,]xx
ii?1
上的 振幅,则定理7.1.1也可以等价地表述为
定理7.1.2 有界函数 fx()在 [,]ab可积的充分必要条件是，对任意划分，当 0)(max
1
→Δ=
≤≤
i
ni
xλ 时,
0lim
1
0
=Δ
∑
=
→
n
i
ii
xω
λ
。
定理7.1.2的几何意义是当分割无限细分时（即 0→λ ），图7.1.5中的阴影部分的面积之和趋于零。
由上述充分必要条件可以判断某些函数类的可积性。
推论1 闭区间上的连续函数必定可积。
证 设 fx()在 [,]ab上连续，则它在 [,]ab上一致连续，即对任意
0ε >,存在 0>δ,对任意 ∈
′′′
xx,[,]ab，只要 δ<
′′
′
xx,就有
() ()fx fx
ba
ε
′′′
<
。
因此，对于任意划分 P，只要 δλ <Δ=
≤≤
)(max
1
i
ni
x,便有
ab
xfxf
iiii
xxxxxx
i
<?=
∈∈
ε
ω )(min)(max
],[],[
11
(,,,)in=12 ",
于是
ε
ε
ω =Δ
<Δ
∑∑
==
n
i
i
n
i
ii
x
ab
x
11
。
由定理7.1.2,fx()在 [,]ab可积。
推论2 闭区间上的单调函数必定可积。
证 不妨 设 fx()在 [,]ab上单调增加，则在任意小区间 [,]xx
ii?1
上，
fx()的振幅为
)()(
1?
=
iii
xfxfω 。
对任意给定的 0ε >,取 0
)()(
>
=
afbf
ε
δ,当 δλ <Δ=
≤≤
)(max
1
i
ni
x 时，
,)]()([
)()(
)]()([
)()(
)]()([
1
1
1
1
1
ε
ε
ε
ω
=
=
<
Δ=Δ
∑
∑∑
=
=
=
afbf
afbf
xfxf
afbf
xxfxfx
n
i
ii
n
i
iii
n
i
ii
由定理7.1.2,fx()在 [,]ab可积。
定理7.1.2对于判别函数不可积可能更为方便一些，如对例7.1.1
所述的 [,]01上的 Dirichlet函数，不管如何作分割，它在每个小区间
[,]xx
ii?1
上的振幅恒有 1=
i
ω,于是,
1limlim
1
0
1
0
=Δ=Δ
∑∑
=
→
=
→
n
i
i
n
i
ii
xx
λλ
ω,
所以 Dirichlet函数不是 Riemann可积的。
根据Darboux 定理的证明过程可以知道：对任意给定的 0>ε,只要有一个划分 ′P,使得
0()
2
SP L
ε
′
≤?< （或 0()
2
lSP
ε
′
≤?<）,
那么就一定存在某个 0δ >,对满足 δλ <Δ=
≤≤
)(max
1
i
ni
x 的任意一种划分 P，
必有
0()SP L ε≤?< （或 0()lSP ε≤?<）。
利用这一思想，即可推出如下结论。
定理7.1.3 有界函数 fx()在 [,]ab可积的充分必要条件是，对任意给定的 0>ε,存在着一种划分，使得相应的振幅满足
εω <Δ
∑
=
n
i
ii
x
1
。
推论3 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积。
证 不妨设 fx()在 [,]ab上只有一个不连续点 (,)xc ab= ∈,并设
()f xM≤ 。对任意的 0ε >,取 ''aa cb b< << <，使得 ''
6
ba
M
ε
< 。
由于 fx()在 [,']aa 上连续，所以可积，于是存在划分
(1) (1) (1) (1) (1)
01 1
:'
kk
P ap p p p a
= <<<<= ",
使得
(1) (1)
1
3
k
ii
i
x
ε
ω
=
Δ <
∑
。
由于 fx()在 [',]bb上连续，所以可积，于是存在划分
(2) (2) (2) (2) (2)
01 1
:'
ll
P bp p p p b
= <<<<= ",
使得
(2) (2)
1
3
l
ii
i
x
ε
ω
=
Δ <
∑
。
则对区间 [,]ab的划分
(1)(1) (1) (1)(2)(2) (2)(2)
01 0 1 1
:
kk ll
P ap p p p p p p p b
=<<<<<<<<<= " ",
成立
1
1
kl
ii
i
xω ε
++
=
Δ <
∑
。
显然，若对任意划分，一个函数在小区间上的振幅的最大值
max( )
i
ω 随着 0→λ 而趋于零，那它当然就是个可积函数。但定理7.1.2
同时也启发我们，若一个函数虽然它的振幅的最大值 )max(
i
ω 并不随
0→λ 而趋于零，但却可以使振幅不趋于零的小区间的长度之和任意地小，则这个函数仍然是Riemann 可积的。
例7.1.2 证明 Riemann函数
{}
1
,0,)
() 1 0
0
q
xpq pq
pp
Rx x
x
+
=∈∈?
==
NZ（互质为无理数
在 [,]01 上可积。
解 由 Riemann函数的性质，对任意给定的 0>ε,在 [,]01 上使得
()
2
Rx
ε
> 的点至多只有有限个，不妨设是 k 个，记为
01
12
= ′ < ′ < < ′ =pp p
k
"。
作区间 [,]01 的划分
01
012 21
= < < < < =
xxx x
k
",
使得满足
101 10
[,),
2
pxx xx
k
ε
′
∈?<,
223 32
(,),
2
pxx xx
k
ε
′
∈?<,
……
12423 2324
(,),
2
kkk kk
pxx xx
k
ε
′
∈?<,
22 21 21 22
(,],
2
kkk k k
pxx x x
k
ε
′
。
图7.1.6表示的是 3=k 的情况。
由于
21 1 1
21 21 2 2
10 1
kk k
ii j j j j
ij j
xx xωω ω
++
== =
Δ =Δ+Δ
∑∑ ∑
,
在右边的第一个和式中，有
21
2
j
x
k
ε
+
Δ<且
21
1
j
ω
+
≤ ；在第二个和式中，有
2
2
j
ε
ω ≤ 且
1
2
1
1
k
j
j
x
=
Δ<
∑
，因此得到
1
22
n
ii
i
xk
k
εε
ω ε
=
Δ<? +=
∑
。
由定理7.1.3,Riemann函数可积。
2
ε
x
32
x
1
x
0
4
x x
1
1
y
图7.1.6
1609年至 1619年间，德国天文学家 Kepler提出了著名的“行星运动三大定律”,
⑴行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。
⑵从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。
⑶行星绕太阳公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
第七章 定积分
§1 定积分的概念和可积条件这是天文学上划时代的发现 （ Newton正是在证明这些定律的过程中发现了万有引力定律，进而创立了现代天体力学），而且也是数学发展史上的重要里程碑。
一方面,在古希腊的数学家们发现了圆锥曲线的性质之后的一千八百多年以来，人们从未想到过，这样的纯数学结果居然会有如此辉煌的实际应用价值。
另一方面，为了确定第二定律,Kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角形，运用了一些出色的技巧对它们的 面积之和求极限，成功地计算出了所扫过的面积（图7.1.1）。在其卓有成效的工作中，已包含了现代定积分思想的雏形。
例如，求由两条直角边和一条抛物线 yx=
2
所围成的所谓曲边三角形 的面积，可以采用以下的做法,
用步长 h
n
=
1
将 [,]01分成 n个长度为 h的小区间，其分割点（称为分点 ）为
xih i n n
i
= =?,,,,,012 1 "。
先在每个小区间 ],[
1 ii
xx
上，构造以 h为底、以
2
11
)(
=
ii
xxf 为高的小矩形，则所有这些小矩形的面积之和为
∑∑∑
===
=
=?=
′
n
i
n
i
n
i
in
i
nn
i
n
xhS
1
2
3
1
2
1
2
1
)1(
111；
再在每个小区间 ],[
1 ii
xx
上，构造以 h为底、以
2
)(
ii
xxf = 为高的小矩形，
则所有这些小矩形的面积之和为
∑∑∑
===
=
=?=
″
n
i
n
i
n
i
in
i
nn
i
n
xhS
1
2
3
1
2
1
2
11
。
(图7.1.2)为上述过程的图示
设曲边三角形的面积为 S,则有
nn
SSS
′ ′′
< < 。
利用数学归纳法，容易证明
=?
∑
=
n
i
i
1
2
)1(
6
)12)(1(
)1(321
2222
=?++++
nnn
n "
=
∑
=
n
i
i
1
2
6
)12)(1(
321
2222
++
=++++
nnn
n ",
令 ∞→n,得到
3
1
6
)12)(1(
limlim
3
=
=
′
∞→∞→
n
nnn
S
n
n
n
与
3
1
6
)12)(1(
limlim
3
=
++
=
″
∞→∞→
n
nnn
S
n
n
n
,
由极限的夹逼性，可知曲边三角形的面积为
1
3
S = 。
由此可以想到,如果在每个小区间 ],[
1 ii
xx
上任意取点 ∈
i
ξ ],[
1 ii
xx
，
并构造以 h为底、以
2
)(
ii
f ξξ = 为高的小矩形，则所有这些小矩形的面积之和为
∑
=
n
i
i
n
1
2
1
ξ,显然仍然有
″
≤≤
′
∑
=
n
n
i
in
S
n
S
1
2
1
ξ,
令 ∞→n,由极限的夹逼性，得到
3
11
lim
1
2
=
∑
=
∞→
n
i
i
n
n
ξ,就是所求的曲边三角形的面积。
y=f(x)
f
i
()ξ
0 x
i-1
x
i
1 x
y
利用上述思想，我们来求由连续曲线 yfx= ()（假设 fx()> 0），
直线 x a=,x b= 和 x轴围成的 曲边梯形 的面积（图7.1.3）,
在 [,]ab中取一系列的分点 x
i
，作成一种划分
P,ax x x x b
n
=<< < < =
012
",
记小区间 [,]xx
ii?1
的长度为
Δxxx
iii
=?
1
,
并在每个小区间上任意取一点 ξ
i
，用底为 Δx
i
，高为 )(
i
f ξ 的矩形面积近似代替小的曲边梯形的面积。
图7.1.3
Δx
i
i
ξ
y=f(x)
f
i
()ξ
0 ax
i-1
x
i
bx
y
那么这些小矩形面积之和
∑
=
Δ
n
i
ii
xf
1
)(ξ
就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令 )(max
1
i
ni
xΔ=
≤≤
λ,当 0→λ 时，若极限
∑
=
→
Δ
n
i
ii
xf
1
0
)(lim ξ
λ
存在，那么这个极限显然就是
所要求的曲边梯形的精确面积。
Δx
i
i
ξ
y=f(x)
f
i
()ξ
0 ax
i-1
x
i
bx
y
在许多其他领域的研究中,也大量地遇到诸如此类的和式的极限问题。比如，求一个以速度 vt()做变速运动的物体从时间 tT=
1
到时间
tT=
2
所走过的路程 S,可以先在时间段 [,]TT
12
中取一系列的分点 t
i
，
作成划分
P,Tt tt t T
n1012 2
= < < < < = ",
并在每个小区间 [,]tt
ii?1
上随意取一点
i
ξ,只要时间间隔
Δttt
iii
=?
1
充分小,)(
i
v ξ 就可以近似地看作是在 [,]tt
ii?1
时间段中的平均速度，因此在这段时间中走过的路程近似地等于 vt
ii
()ξ Δ,于是整个路程就近似等于
∑
=
Δ
n
i
ii
tv
1
)(ξ 。
若当 λ = →
≤≤
max( )
1
0
in
i
tΔ 时,极限
∑
=
→
Δ
n
i
ii
tv
1
0
)(lim ξ
λ
存在，那么这个极限就是所要求的路程 S 的精确值。
定积分的定义
定义7.1.1 设 fx()是定义于 [,]ab上的有界函数，在 [,]ab上任意取分点 {}x
ii
n
=0
，作成一种划分
P,ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
并任意取点 ∈
i
ξ [,]xx
ii?1
。 记小区间 [,]xx
ii?1
的长度为 Δxxx
iii
=?
1
,并令
λ =
≤≤
max( )
1 in
i
xΔ,若当 0→λ 时,极限
∑
=
→
Δ
n
i
ii
xf
1
0
)(lim ξ
λ
存在，且极限值既与划分 P无关，又与对
i
ξ 的取法无关，则称 fx()在
[,]ab上 Riemann可积。和式
1
()
n
ii
i
f xξ
=
Δ
∑
称为Riemann 和,其极限值 I 称为 fx()在 [,]ab上的 定积分，记为
I ＝ ()
b
a
f xx
∫
d,
这里 a 和 b 分别被称为积分的 下限和 上限 。
在上面的定义中，要求 ba < 。当 ba ≥ 时，我们规定
()
b
a
f xx
∫
d = - ()
a
b
f xx
∫
d,
并由此得到
() 0
a
a
fx x=
∫
d 。
这一定义也可以用,ε － δ 语言”表述如下,
设有定数 I,对任意给定的 0ε >,存在 0δ >,使得对任意一种划分
P,ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
和任意点 ],[
1 iii
xx
∈ξ,只要
1
max( )
i
in
xλ δ
≤≤
= Δ<，便有
εξ <?Δ
∑
=
Ixf
n
i
ii
1
)(,
则称 fx()在 [,]ab上Riemann 可积，称 I 是 fx()在 [,]ab上的定积分。
在上面的定义中，要求 ba < 。当 ba ≥ 时，我们规定
()
b
a
f xx
∫
d = - ()
a
b
f xx
∫
d,
并由此得到
() 0
a
a
fx x=
∫
d 。
注意,当 fx()在 [,]ab上可积，即要求对任意划分 P和任意
∈
i
ξ [,]xx
ii?1
，极限
∑
=
→
Δ
n
i
ii
xf
1
0
)(lim ξ
λ
都存在，则 fx()必须在 [,]ab上有界。
在上面的定义中，要求 ba < 。当 ba ≥ 时，我们规定
()
b
a
f xx
∫
d = - ()
a
b
f xx
∫
d,
并由此得到
() 0
a
a
fx x=
∫
d 。
这一定义也可以用,ε － δ 语言”表述如下,
设有定数 I,对任意给定的 0ε >,存在 0δ >,使得对任意一种划分
P,ax x x x b
n
= < < < < =
012
",
和任意点 ],[
1 iii
xx
∈ξ,只要
1
max( )
i
in
xλ δ
≤≤
= Δ<，便有
εξ <?Δ
∑
=
Ixf
n
i
ii
1
)(,
则称 fx()在 [,]ab上Riemann 可积，称 I 是 fx()在 [,]ab上的定积分。
例7,1.1 讨论 Dirichlet函数
1,
()
0,
x
Dx
x
=
为有理数为无理数
在 [,]01上的可积性。
解 由于有理数和无理数在实数域上的稠密性，因此不管用什么样的划分 P对 [,]01作分割，在每个小区间 [,]xx
ii+1
中一定是既有有理数又有无理数。
于是，当将
i
ξ 全部取为有理数时,
11lim)(lim
1
0
1
0
=Δ?=Δ
∑∑
=
→
=
→
n
i
i
n
i
ii
xxf
λλ
ξ,
当将
i
ξ 全部取为无理数时，则有
00lim)(lim
1
0
1
0
=Δ?=Δ
∑∑
=
→
=
→
n
i
i
n
i
ii
xxf
λλ
ξ 。
所以尽管两个和式的极限都存在，但极限不相同，所以 Dirichlet函数在
Riemann意义下是不可积的。
Darboux和
记 fx()在 [,]ab上的上确界和下确界分别为 M 和 m，则有
mfx M≤ ≤() 。
另外,记 fx()在 [,]xx
ii?1
的上确界和下确界分别为 M
i
和 m
i
（ in=12,,, "），
即
Mfxxxx
iii
= ∈
sup { ( ) | [,]}
1
和
mfxxxx
iii
= ∈
inf { ( ) | [,]}
1
,
定义和式
SP M x
ii
i
n
()=
=
∑
Δ
1
与 SP m x
ii
i
n
()=
=
∑
Δ
1
,
它们分别被称为相应于划分P 的 Darboux大和 与 Darboux小和 （统称为
Darboux和 ），那么显然有（图7.1.4）
)()()(
1
PSxfPS
n
i
ii
≤Δ≤
∑
=
ξ 。
y
M
i
m
i
x
图7.1.4
下面不加证明引入几个引理,
引理7.1.1 若在原有划分中加入分点形成新的划分，则大和不增，小和不减。
记 S是一切可能的划分所得到的Darboux 大和的集合，而 S是一切可能的划分所得到的 Darboux小和的集合。
引理7.1.2 对任意 S ()P
1
∈S和 S ()P
2
∈S，恒有
m ()ba? ≤ S ()P
2
≤ S ()P
1
≤ M ()ba? 。
引理7.1.3（Darboux定理） 对任意在 [,]ab上有界的函数 fx(),恒有
lim ( )
λ→
=
0
SP L,lim ( )
λ→
=
0
SP l 。
Riemann 可积的充分必要条件
现在我们来导出可积的充分必要条件。
定理7.1.1 有界函数 fx()在 [,]ab可积的充分必要条件是，对任意划分，当 0)(max
1
→Δ=
≤≤
i
ni
xλ 时,Darboux大和与 Darboux小和的极限相等,
Ll=,
即成立
lim ( )
λ→
=
0
SP lim
λ→0
S ()P 。
证 先证必要性。
设 fx()可积且积分值为 I,则对任意的 0ε >,存在 0δ >,使得对任意划分
P,ax x x x b
n
= < < < < =
012
"
和任意点 ],[
1 iii
xx
∈ξ,只要 δλ <Δ=
≤≤
)(max
1
i
ni
x,便有
2
)(
1
ε
ξ <?Δ
∑
=
Ixf
n
i
ii
。
特殊地，取
i
ξ 是 [,]xx
ii?1
中满足
)(2
)(0
ab
fM
ii
<?≤
ε
ξ
的点，于是
11
() () [ ()] ( )
2( ) 2
nn
ii i i i
ii
SP f x M f x b a
ba
ε ε
ξξ
==
Δ=?Δ<=
∑∑
,
所以
()SP I?
11
() () ()
22
nn
ii ii
ii
SP fx fxI
εε
ξ ξε
==
≤?Δ+Δ?<+=
∑∑
。
这就是
lim ( )
λ→
=
0
SP I。
同理可证
lim ( )
λ→
=
0
SP I。
于是
lim ( )
λ→
=
0
SP lim
λ→0
S ()P 。
再证充分性。
按 Darboux和的定义，对任意一种划分 P，有
1
() () ()
n
ii
i
SP f xSPξ
=
≤Δ≤
∑
。
由
lim ( )
λ→
=
0
SP lim
λ→0
S ()P = I,
两边取极限，即有
Ixf
n
i
ii
=Δ
∑
=
→
1
0
)(lim ξ
λ
。
记
iii
mM?=ω
为 fx()在 [,]xx
ii?1
上的 振幅,则定理7.1.1也可以等价地表述为
定理7.1.2 有界函数 fx()在 [,]ab可积的充分必要条件是，对任意划分，当 0)(max
1
→Δ=
≤≤
i
ni
xλ 时,
0lim
1
0
=Δ
∑
=
→
n
i
ii
xω
λ
。
定理7.1.2的几何意义是当分割无限细分时（即 0→λ ），图7.1.5中的阴影部分的面积之和趋于零。
由上述充分必要条件可以判断某些函数类的可积性。
推论1 闭区间上的连续函数必定可积。
证 设 fx()在 [,]ab上连续，则它在 [,]ab上一致连续，即对任意
0ε >,存在 0>δ,对任意 ∈
′′′
xx,[,]ab，只要 δ<
′′
′
xx,就有
() ()fx fx
ba
ε
′′′
<
。
因此，对于任意划分 P，只要 δλ <Δ=
≤≤
)(max
1
i
ni
x,便有
ab
xfxf
iiii
xxxxxx
i
<?=
∈∈
ε
ω )(min)(max
],[],[
11
(,,,)in=12 ",
于是
ε
ε
ω =Δ
<Δ
∑∑
==
n
i
i
n
i
ii
x
ab
x
11
。
由定理7.1.2,fx()在 [,]ab可积。
推论2 闭区间上的单调函数必定可积。
证 不妨 设 fx()在 [,]ab上单调增加，则在任意小区间 [,]xx
ii?1
上，
fx()的振幅为
)()(
1?
=
iii
xfxfω 。
对任意给定的 0ε >,取 0
)()(
>
=
afbf
ε
δ,当 δλ <Δ=
≤≤
)(max
1
i
ni
x 时，
,)]()([
)()(
)]()([
)()(
)]()([
1
1
1
1
1
ε
ε
ε
ω
=
=
<
Δ=Δ
∑
∑∑
=
=
=
afbf
afbf
xfxf
afbf
xxfxfx
n
i
ii
n
i
iii
n
i
ii
由定理7.1.2,fx()在 [,]ab可积。
定理7.1.2对于判别函数不可积可能更为方便一些，如对例7.1.1
所述的 [,]01上的 Dirichlet函数，不管如何作分割，它在每个小区间
[,]xx
ii?1
上的振幅恒有 1=
i
ω,于是,
1limlim
1
0
1
0
=Δ=Δ
∑∑
=
→
=
→
n
i
i
n
i
ii
xx
λλ
ω,
所以 Dirichlet函数不是 Riemann可积的。
根据Darboux 定理的证明过程可以知道：对任意给定的 0>ε,只要有一个划分 ′P,使得
0()
2
SP L
ε
′
≤?< （或 0()
2
lSP
ε
′
≤?<）,
那么就一定存在某个 0δ >,对满足 δλ <Δ=
≤≤
)(max
1
i
ni
x 的任意一种划分 P，
必有
0()SP L ε≤?< （或 0()lSP ε≤?<）。
利用这一思想，即可推出如下结论。
定理7.1.3 有界函数 fx()在 [,]ab可积的充分必要条件是，对任意给定的 0>ε,存在着一种划分，使得相应的振幅满足
εω <Δ
∑
=
n
i
ii
x
1
。
推论3 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积。
证 不妨设 fx()在 [,]ab上只有一个不连续点 (,)xc ab= ∈,并设
()f xM≤ 。对任意的 0ε >,取 ''aa cb b< << <，使得 ''
6
ba
M
ε
< 。
由于 fx()在 [,']aa 上连续，所以可积，于是存在划分
(1) (1) (1) (1) (1)
01 1
:'
kk
P ap p p p a
= <<<<= ",
使得
(1) (1)
1
3
k
ii
i
x
ε
ω
=
Δ <
∑
。
由于 fx()在 [',]bb上连续，所以可积，于是存在划分
(2) (2) (2) (2) (2)
01 1
:'
ll
P bp p p p b
= <<<<= ",
使得
(2) (2)
1
3
l
ii
i
x
ε
ω
=
Δ <
∑
。
则对区间 [,]ab的划分
(1)(1) (1) (1)(2)(2) (2)(2)
01 0 1 1
:
kk ll
P ap p p p p p p p b
=<<<<<<<<<= " ",
成立
1
1
kl
ii
i
xω ε
++
=
Δ <
∑
。
显然，若对任意划分，一个函数在小区间上的振幅的最大值
max( )
i
ω 随着 0→λ 而趋于零，那它当然就是个可积函数。但定理7.1.2
同时也启发我们，若一个函数虽然它的振幅的最大值 )max(
i
ω 并不随
0→λ 而趋于零，但却可以使振幅不趋于零的小区间的长度之和任意地小，则这个函数仍然是Riemann 可积的。
例7.1.2 证明 Riemann函数
{}
1
,0,)
() 1 0
0
q
xpq pq
pp
Rx x
x
+
=∈∈?
==
NZ（互质为无理数
在 [,]01 上可积。
解 由 Riemann函数的性质，对任意给定的 0>ε,在 [,]01 上使得
()
2
Rx
ε
> 的点至多只有有限个，不妨设是 k 个，记为
01
12
= ′ < ′ < < ′ =pp p
k
"。
作区间 [,]01 的划分
01
012 21
= < < < < =
xxx x
k
",
使得满足
101 10
[,),
2
pxx xx
k
ε
′
∈?<,
223 32
(,),
2
pxx xx
k
ε
′
∈?<,
……
12423 2324
(,),
2
kkk kk
pxx xx
k
ε
′
∈?<,
22 21 21 22
(,],
2
kkk k k
pxx x x
k
ε
′
。
图7.1.6表示的是 3=k 的情况。
由于
21 1 1
21 21 2 2
10 1
kk k
ii j j j j
ij j
xx xωω ω
++
== =
Δ =Δ+Δ
∑∑ ∑
,
在右边的第一个和式中，有
21
2
j
x
k
ε
+
Δ<且
21
1
j
ω
+
≤ ；在第二个和式中，有
2
2
j
ε
ω ≤ 且
1
2
1
1
k
j
j
x
=
Δ<
∑
，因此得到
1
22
n
ii
i
xk
k
εε
ω ε
=
Δ<? +=
∑
。
由定理7.1.3,Riemann函数可积。
2
ε
x
32
x
1
x
0
4
x x
1
1
y
图7.1.6
